Fluidos. Problemas tema 13 Tipler, Ejercicios de Física

¡Descarga Fluidos. Problemas tema 13 Tipler y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! FLUIDOS Densidad 1. Un cilindro de cobre tiene una longitud de 6 cm y un radio de 2 cm. Hallar su masa. Utilizando la densidad del cobre: 𝝆𝝆 = 𝟖𝟖,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗 𝑽𝑽 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟕𝟕,𝟓𝟓𝟗𝟗𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟕𝟕,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟕𝟕𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 2. Hallar la masa de una esfera de plomo de 2 cm de radi. La densidad del plomo: 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗 𝑽𝑽 = 𝟓𝟓 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟗𝟗 = 𝟓𝟓 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗 = 𝟗𝟗,𝟗𝟗𝟓𝟓𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟗𝟗,𝟗𝟗𝟓𝟓𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟕𝟕𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 3. Hallar la masa del aire contenido en una habitación de 4 m por 5 m por 4 m. Utilizando la densidad del aire: 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗 𝑽𝑽 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟓𝟓 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟖𝟖𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝑽𝑽 = 𝟓𝟓 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟗𝟗 = 𝟓𝟓 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗 = 𝟗𝟗,𝟗𝟗𝟓𝟓𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 4. Una puerta de roble maciza posee una altura de 200 cm, una anchura de 75 cm y un espesor de 4 cm. ¿Cuál es su peso? Utilizando como densidad del roble el valor medio: 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟓𝟓,𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 5. Se llena un recipiente de 60 mL con mercurio a 0ºC (figura). Cuando se eleva la temperatura a 80ºC, se salen 1,47 g de mercurio del recipiente. Suponiendo que el volumen del recipiente permanece constante, calcular la densidad del mercurio a 80º C si su densidad a 0º C es de 13 645 kg/m3. A 0º C: 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟎𝟎𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ �𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒎𝒎𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒎𝒎𝟗𝟗 � = 𝟏𝟏.𝟖𝟖𝟏𝟏𝟖𝟖𝟕𝟕 𝒌𝒌𝒌𝒌 A 80º C: 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟏𝟏𝟖𝟖𝟕𝟕 − 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟏𝟏.𝟖𝟖𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 Suponiendo que el volumen del recipiente se mantiene: 𝝆𝝆 = 𝒎𝒎 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏.𝟖𝟖𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 �𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎∗ 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒎𝒎𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒎𝒎𝟗𝟗 � = 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗 Presión 6. Si la presión manométrica se duplica, la presión absoluta a) Se reduce a la mitad. b) Se duplica. c) No se modifica. d) Se eleva al cuadrado. e) Falta información para determinar el efecto. Respuesta correcta la e. 7. Las lecturas barométricas en los países de habla inglesa suelen venir dadas en pulgadas de mercurio (pulHg). Hallar en pulHg la presión de 101 kPa. 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌∗𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟗𝟗,𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟓𝟓𝟕𝟕 𝒎𝒎 Utilizando la equivalencia m/pulgada: 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟓𝟓𝟕𝟕 𝒎𝒎∗ 𝟏𝟏 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒌𝒌𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝒎𝒎 = 𝟐𝟐𝟗𝟗,𝟖𝟖 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒌𝒌𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷𝒑𝒑 8. La presión sobre la superficie de un lago es la presión atmosférica Pat=101 kPa. a) ¿A qué profundidad la presión es el doble de la atmosférica? b) Si la presión en la superficie de un recipiente profundo que contiene mercurio es Pat. ¿a qué profundidad la presión es igual a 2 Pat? a) Usando la densidad del agua: 103 kg/m3. 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝒌𝒌 ∗ ∆𝒉𝒉 = ∆𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∆𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷∗𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗 𝒎𝒎 b) Usando la densidad del mercurio: 13,6 103 kg/m3. 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌 ∗ 𝒌𝒌 ∗ ∆𝒉𝒉 = ∆𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑷𝑷 c) ∆𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌∗𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟗𝟗,𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟓𝟓𝟕𝟕 𝒎𝒎 9. a) Calcular la presión absoluta en el fondo de una piscina de agua de 5,0 m de profundidad. b) Calcular la presión manométrica a la misma profundidad. a) 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒑𝒑 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟐𝟐𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟖𝟖 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 b) 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒑𝒑 = 𝑷𝑷𝒎𝒎𝑷𝑷𝒎𝒎 + 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 ; 𝑷𝑷𝒎𝒎𝑷𝑷𝒎𝒎 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒑𝒑 − 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟖𝟖 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 10. Cuando una mujer con tacones altos da un paso, momentáneamente descarga todo su peso sobre el tacón de uno de sus zapatos, que tiene un radio de 0,4 cm. Si su masa es de 56 kg, ¿Cuál es la presión que su tacón ejerce sobre el suelo? 𝑷𝑷 = 𝒎𝒎∗𝒌𝒌 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟎𝟎∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟐𝟗𝟗𝟏𝟏𝟕𝟕𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟐𝟗𝟗𝟏𝟏𝟕𝟕𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟐𝟐𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 11. Se utiliza un elevador hidráulico para levantar un automóvil de 1500 kg de masa. El radio del eje del elevador es 8 cm y el del pistón es de 1 cm. ¿Cuánta fuerza deberá aplicarse al pistón para levantar el automóvil? En la prensa hidráulica: 𝑭𝑭𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑭𝑭𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 El volumen desplazado en los dos pistones es el mismo: 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒉𝒉𝟏𝟏 𝑭𝑭𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒉𝒉𝟏𝟏 El trabajo hecho por la fuerza 1: 𝑾𝑾𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟏𝟏 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒉𝒉𝟏𝟏 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏 = 𝑭𝑭𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 = 𝑾𝑾𝟐𝟐 20. Un cubo hueco de arista a está medio lleno de agua de densidad ρ. Determinar la fuerza ejercida por el agua sobre una cara del cubo. La presión varía con la profundidad, no la podemos considerar constante. Consideramos la franja del dibujo a una profundidad h y con una anchura dh. En ella la presión será: 𝒅𝒅𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 La fuerza sobre la franja: 𝒅𝒅𝑭𝑭 = 𝒅𝒅𝑷𝑷 ∗ 𝒅𝒅𝑨𝑨 = (𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉) ∗ 𝑷𝑷 ∗ 𝒅𝒅𝒉𝒉 Para obtener la fuerza integramos la expresión anterior: 𝑭𝑭 = ∫ (𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉) ∗ 𝑷𝑷 ∗ 𝒅𝒅𝒉𝒉𝑷𝑷/𝟐𝟐 𝟏𝟏 = �𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 ∗∗ 𝑷𝑷 ∗ 𝒉𝒉 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗∗ 𝑷𝑷 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝑷𝑷/𝟐𝟐 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 ∗ 𝑷𝑷 𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑷𝑷 𝟗𝟗 𝟓𝟓 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 ∗ 𝑷𝑷𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟖𝟖 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑷𝑷𝟗𝟗 21. El volumen de un cono de altura h y radio de la base r es 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉. Se llena con agua un recipiente cónico de 25 cm de altura que se apoya sobre su base de radio 15 cm. a) Hallar el volumen y el peso del agua contenida en el recipiente. b) Hallar la fuerza ejercida por el agua sobre la base del recipiente. Explicar cómo puede ser mayor esta fuerza que el peso del agua. a) 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟓𝟓 = 𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟓𝟓,𝟖𝟖𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝑷𝑷 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 = 𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟗𝟗 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟓𝟓𝟕𝟕.𝟖𝟖 𝑵𝑵 b) 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷𝒑𝒑 ∗ 𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟗𝟗 𝑵𝑵 La fuerza sobre la base dependerá únicamente de la altura de la columna del agua y del área de esta, no de su masa. Fuerza ascensional 22. ¿Se cumple el principio de Arquímedes en un satélite que gira alrededor de la Tierra en una órbita circular? Razonar la respuesta. No, en el satélite se cumple gef=𝑭𝑭𝒌𝒌 −𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝑹𝑹 = 𝟏𝟏 , no hay fuerza de flotación, no hay arriba y abajo. 23. Una roca de masa M con una densidad doble a la del agua está en el fondo de un acuario lleno de agua. La fuerza normal ejercida sobre la roca por el fondo del tanque es a) 2Mg b) Mg c) Mg/2 d) Cero La fuerza de flotación es: 𝑬𝑬 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 La fuerza resultante sobre el fondo, será igual a la normal: 𝑵𝑵 = 𝑷𝑷− 𝑬𝑬 = 𝝆𝝆𝒓𝒓 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 − 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 − 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 𝑵𝑵 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 = 𝑴𝑴∗𝒌𝒌 𝟐𝟐 Respuesta c. 24. Una roca se lanza a una piscina llena de agua a temperatura uniforme. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) La fuerza ascensional sobre la roca es nula cuando ésta se hunde. b) La fuerza ascensional sobre la roca crece cuando ésta se hunde. c) La fuerza ascensional sobre la roca disminuye cuando ésta se hunde. d) La fuerza ascensional sobre la roca es constante cuando ésta se hunde. e) La fuerza ascensional sobre la roca cuando ésta se hunde es distinta de cero al principio, pero se anula cuando se alcanza la velocidad límite. El empuje, que es la fuerza ascensional depende de la densidad del líquido, del volumen de cuerpo sumergido y de la gravedad, por ello la respuesta correcta es la b. 25. Una pecera descansa sobre una balanza. Súbitamente el pez nada hacia arriba para tomar alimento. ¿qué ocurre con la lectura de la balanza? No variará, las fuerzas que actúan sobre el pez son el empuje y su peso, pero la balanza marca la fuerza que hace el conjunto pez pecera sobre ella, y este conjunto es siempre el mismo. 26. Dos objetos están equilibrados como indica la figura. Los objetos tienen volúmenes idénticos, pero masas distintas. ¿Se perturbará el equilibrio si el sistema está completamente sumergido en agua? Razonar la respuesta. Al sumergirlos en agua el empuje de los dos objetos no será el mismo que en el aire, de forma que el que tenga más volumen tendrá un empuje mayor. El peso aparente de cada uno será diferente, de forma que el sistema no estará en equilibrio. 27. Un bloque de 200 g de plomo y otro de 200 g de cobre descansan sobre el fondo de un acuario lleno de agua. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La fuerza ascensional es mayor en el plomo que en el cobre. b) La fuerza ascensional es mayor en el cobre que en el plomo. c) La fuerza ascensional es la misma en ambos bloques. d) Se necesita más información para decidir entre les anteriores. La densidad del plomo es mayor que la del cobre, por ello el volumen del bloque de plomo será menor que el del bloque de cobre. Esto hará que el empuje experimentado pr el bloque de plomo sea menor que el experimentado por el bloque de cobre. Respuesta b. 28. UN bloque de 20 cm3 de plomo y otro de 20 cm3 de cobre descansan sobre el fondo de un acuario lleno de agua. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La fuerza ascensional es mayor en el plomo que en el cobre. b) La fuerza ascensional es mayor en el cobre que en el plomo. c) La fuerza ascensional es la misma en ambos bloques. d) Se necesita más información para decidir entre les anteriores. El volumen es el mismo en los dos bloques la fuerza ascensional es la misma para los dos. Respuesta c. 29. Una pieza de cobre (densidad específica 9,0) de 500 g se sumerge en agua y se suspende de un dinamómetro (figura). ¿qué fuerza indicará el índice del dinamómetro? 𝑬𝑬 = 𝒅𝒅𝑷𝑷𝒌𝒌 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒅𝒅𝑷𝑷𝒌𝒌 ∗ 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝟗𝟗.𝟏𝟏 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑵𝑵 La fuerza F que marcará el dinamómetro: 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 − 𝑬𝑬 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌− 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒓𝒓 � = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟗𝟗 � = 𝟓𝟓.𝟗𝟗𝟎𝟎 𝑵𝑵 30. Cuando se ata una piedra de 60 N a un dinamómetro y se sumerge en el agua, el índice de la escala marca 40 N. Calcular la densidad específica de la piedra. 𝑷𝑷 − 𝑬𝑬 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒓𝒓 � 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝑷𝑷−𝑬𝑬 𝒎𝒎∗𝒌𝒌 = 𝒎𝒎∗𝒌𝒌−𝑬𝑬 𝒎𝒎∗𝒌𝒌 39. Un objeto posee una fuerza ascensional neutra cuando su densidad se iguala a la del líquido en donde se encuentra sumergido, de forma que ni flota i se hunde. ¿qué masa de plomo debería añadirse a un nadador de 85 kg y de densidad media 0,96 kg/L que bucea en agua dulce para que su fuerza ascensional fuese neutra? 𝑬𝑬 = 𝑷𝑷𝒎𝒎 + 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂; 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ �𝑽𝑽𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 + 𝑽𝑽𝒎𝒎� ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 +𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ �𝑽𝑽𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 + 𝑽𝑽𝒎𝒎� = 𝒎𝒎𝒎𝒎 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ � 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒎𝒎 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒂𝒂 � = 𝒎𝒎𝒎𝒎 +𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 Despejando la masa del plomo: 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝒎𝒎𝒎𝒎∗𝝆𝝆𝑷𝑷𝒂𝒂∗(𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷−𝝆𝝆𝒎𝒎) 𝝆𝝆𝒎𝒎∗(𝝆𝝆𝑷𝑷𝒂𝒂−𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷) = 𝟖𝟖𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗∗(𝟏𝟏−𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟎) 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟎∗(𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟗𝟗−𝟏𝟏) = 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 40. Un vaso de masa 1 kg contiene 2 kg de agua y descansa sobre una balanza. Un bloque de 2 kg de aluminio (densidad específica 2,70) suspendido de un dinamómetro se sumerge en agua. Determinar las lecturas de ambas balanzas (figura). La balaznza superior medirá el peso aparente del aluminio. Balanza superior: 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒄𝒄𝒂𝒂𝒑𝒑𝒓𝒓𝑷𝑷 = 𝒎𝒎𝑨𝑨𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 − 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝑨𝑨𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎𝑨𝑨𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 − 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝒎𝒎𝑨𝑨𝒑𝒑 𝝆𝝆𝑨𝑨𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒄𝒄𝒂𝒂𝒑𝒑𝒓𝒓𝑷𝑷 = �𝟏𝟏 − 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑨𝑨𝒑𝒑 � ∗ 𝒌𝒌 ∗𝒎𝒎𝑨𝑨𝒑𝒑 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒄𝒄𝒂𝒂𝒑𝒑𝒓𝒓𝑷𝑷 = �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟏𝟏 � ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟗𝟗𝟓𝟓 𝑵𝑵 La balanza inferior mide la reacción de la fuerza resultante sobre la base. Actúan por tanto el peso del agua, el peso del vaso y la reacción del empuje: 𝑵𝑵 = �𝒎𝒎𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 + 𝒎𝒎𝒗𝒗𝑷𝑷𝒑𝒑𝒕𝒕� ∗ 𝒌𝒌 + 𝑬𝑬 = �𝒎𝒎𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 +𝒎𝒎𝒗𝒗𝑷𝑷𝒑𝒑𝒕𝒕� ∗ 𝒌𝒌 + 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝑨𝑨𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 𝑵𝑵 = �𝒎𝒎𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 + 𝒎𝒎𝒗𝒗𝑷𝑷𝒑𝒑𝒕𝒕� ∗ 𝒌𝒌 + 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝒎𝒎𝑨𝑨𝒑𝒑 𝝆𝝆𝑨𝑨𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 𝑵𝑵 = (𝟐𝟐+ 𝟏𝟏) ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟗𝟗𝟎𝟎,𝟕𝟕 𝑵𝑵 41. Un barco que navega por agua de mar (densidad específica 1,03) se encuentra de repente navegando por agua dulce dónde lógicamente se hunde levemente. Cuando en un puerto descarga 600 000 kg, vuelve a su posición original. Suponiendo que los laterales del barco son verticales en la línea de flotación, calcular la masa del barco antes de la descarga. En el mar: 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 ; 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 En el agua dulce, una vez descargado: �𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 − 𝒎𝒎𝒅𝒅𝑷𝑷𝒑𝒑𝒄𝒄𝑷𝑷𝒓𝒓𝒌𝒌𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷� ∗ 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒑𝒑𝒑𝒑𝒄𝒄𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 �𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 − 𝒎𝒎𝒅𝒅𝑷𝑷𝒑𝒑𝒄𝒄𝑷𝑷𝒓𝒓𝒌𝒌𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷� = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒑𝒑𝒑𝒑𝒄𝒄𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 Dividiendo las dos ecuaciones: 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑− 𝒎𝒎𝒅𝒅𝑷𝑷𝒑𝒑𝒄𝒄𝑷𝑷𝒓𝒓𝒌𝒌𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒑𝒑𝒑𝒑𝒄𝒄𝑷𝑷 Despejando la masa total: 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓∗𝒎𝒎𝒅𝒅𝑷𝑷𝒑𝒑𝒄𝒄𝑷𝑷𝒓𝒓𝒌𝒌𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓−𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒑𝒑𝒑𝒑𝒄𝒄𝑷𝑷 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝒌𝒌𝒌𝒌 42. El hidrómetro que se muestra en la figura es un dispositivo para medir la densidad de los líquidos. El depósito contiene perdigones de plomo, y la densidad del líquido se puede leer directamente a partir del nivel del líquido en la escala calibrada. El volumen del depósito es de 20 mL, la longitud del vástago de la escala 15 cm, su diámetro 5,0 mm y la masa del vidrio 6,0 g. a) ¿Qué masa de perdigones de plomo debe añadirse para que el líquido de menor densidad que pueda medirse sea de 0,90 kg/L? b) ¿Cuál es la máxima densidad de un líquido que pueda medirse? a) Para el hidrómetro, en el caso de densidad mínima el volumen sumergido será máximo, depósito y columna: 𝑬𝑬 = 𝑷𝑷 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒍𝒍𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽𝒎𝒎𝑷𝑷𝒙𝒙 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 El volumen es: 𝑽𝑽𝒎𝒎𝑷𝑷𝒙𝒙 = 𝑽𝑽𝒕𝒕𝒑𝒑𝒑𝒑𝒎𝒎𝑷𝑷𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑷𝑷𝒑𝒑+ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐𝟏𝟏+ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 = 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 +𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒍𝒍𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽𝒎𝒎𝑷𝑷𝒙𝒙 ∗ 𝒌𝒌 = (𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 + 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕) ∗ 𝒌𝒌 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒍𝒍𝒎𝒎 ∗ 𝑽𝑽𝒎𝒎𝑷𝑷𝒙𝒙 −𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟏𝟏𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒎𝒎− 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 b) En este caso el volumen sumergido será mínimo, el bulbo. c) 𝝆𝝆𝒎𝒎𝑷𝑷𝒙𝒙 ∗ 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒍𝒍𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝒎𝒎𝑷𝑷𝒙𝒙 = 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒍𝒍𝒎𝒎 = 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂+𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒍𝒍𝒎𝒎 = (𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏+𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎)𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎 Principio de continuidad y ecuación de Bernoulli 43. En unos almacenes se exhibe una pelota de playa que se sostiene en el aire de una corriente que procede de un tubo conectado al escape de un aspirador doméstico. ¿Cómo debe soplar el aire sobre la pelota: por encima o por debajo de la pelota? Razonar la respuesta. Sopla por debajo de la pelota, de forma que según la ecuación de Bernoulli: 𝑷𝑷 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 Si aumenta la velocidad del fluido disminuye la presión de forma que la menor presión dentro respecto de la presión atmosférica fuera mantiene la pelota en el chorro. 44. Un tubo horizontal se estrecha en una conducción pasando de un diámetro de 10 cm a otro de 5 cm. Un fluido circula por su interior desde el diámetro mayor al menor. a) La velocidad y la presión se incrementan. b) La velocidad crece y la presión disminuye. c) La velocidad disminuye y la presión crece. d) La velocidad y la presión decrecen. e) La velocidad o la presión cambian, pero no ambas a la vez. Por la ecuación de continuidad: 𝑭𝑭𝒑𝒑𝒑𝒑𝑭𝑭𝒕𝒕 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 = 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒎𝒎𝒑𝒑𝒂𝒂𝑷𝑷𝒎𝒎𝒂𝒂𝑷𝑷 Si el área disminuye la velocidad aumenta. Por la ecuación de Bernoulli: 𝑷𝑷 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝒕𝒕𝒎𝒎𝒑𝒑𝒂𝒂𝑷𝑷𝒎𝒎𝒂𝒂𝑷𝑷 Al aumentar la velocidad la presión deberá disminuir. Respuesta b. 45. Cuando el agua sale de un grifo, la corriente vertical se estrecha al caer el agua. ¿ Por qué? En la caída la velocidad del agua aumenta, la presión interna disminuye, la presión externa del aire produce su estrechamiento. 46. El agua fluye a través de una manguera de 3 cm de diámetro a una velocidad de 0,65 m/s. El diámetro de la boquilla es de 0,30 cm. a) ¿A qué velocidad pasa el agua a través de la boquilla? b) Si la bomba situada en un extremo de la manguera y la boquilla en el otro extremo tienen la misma altura, y si la presión en la boquilla es la presión atmosférica, ¿Cuál es la presión en la bomba? a) Por la ecuación de continuidad: 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝟏𝟏∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟓𝟓 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟓𝟓.𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒑𝒑 b) Por la ecuación de Bernoulli: 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑹𝑹 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑹𝑹/𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑹𝑹 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒗𝒗𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐� Usando la ecuación de continuidad: 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝒅𝒅𝒍𝒍𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏 𝒅𝒅í𝑷𝑷 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉𝒕𝒕𝒓𝒓𝑷𝑷 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒑𝒑 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟖𝟖𝒎𝒎𝟗𝟗 𝒑𝒑 𝑰𝑰 = 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝑹𝑹; 𝒗𝒗𝑹𝑹 = 𝑰𝑰 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟕𝟕𝟖𝟖 𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒑𝒑 𝑰𝑰 = 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 = 𝟓𝟓∗𝑰𝑰 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟗𝟗𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒑𝒑 �𝒗𝒗𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐� = −𝟖𝟖𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑹𝑹 𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑹𝑹 − 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑹𝑹 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟖𝟖𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷 53. A través de un venturímetro como el siguiente Fluye agua a lo largo de una tubería de diámetro 9,5 cm que en el estrechamiento se reduce a 5,6 cm. El manómetro en U está parcialmente lleno de mercurio. Determinar la velocidad de flujo del agua en la tubería de 9,5 cm de diámetro si la diferencia en los niveles de mercurio del tubo en U es de 2,40 cm. Aplicamos la ecuación de Bernoulli: 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝒕𝒕𝒓𝒓 𝒑𝒑𝑷𝑷 𝑷𝑷𝒄𝒄𝒑𝒑𝑷𝑷𝒄𝒄𝒍𝒍ó𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑷𝑷 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒎𝒎𝒂𝒂𝒍𝒍𝒎𝒎𝒑𝒑𝒍𝒍𝒅𝒅𝑷𝑷𝒅𝒅: 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝟏𝟏∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝒗𝒗𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑷𝑷𝟏𝟏 − 𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝟏𝟏𝟐𝟐� La diferencia de presiones viene indicada por el tubo en U: 𝑷𝑷𝟏𝟏 − 𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝟏𝟏𝟐𝟐� 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟓𝟓∗𝒗𝒗𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟓𝟓 − 𝒗𝒗𝟏𝟏𝟐𝟐� 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ �𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟓𝟓 − 𝟏𝟏�𝒗𝒗𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐∗𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌∗𝒌𝒌∗𝒉𝒉 𝝆𝝆∗� 𝒅𝒅𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝟓𝟓−𝟏𝟏� 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟗𝟗.𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗�𝟗𝟗.𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟓𝟓.𝟎𝟎𝟓𝟓 −𝟏𝟏� = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟖𝟖 𝒎𝒎/𝒑𝒑 𝑰𝑰 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟗𝟗𝟓𝟓𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟖𝟖 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒎𝒎𝟗𝟗/𝒑𝒑 54. Un bombero sujeta una manguera con un codo como se indica en la figura. De la manguera sale el agua en un chorro de 1.5 cm de radio y con una velocidad de 30 m/s. a) ¿Qué masa de agua sale de la manguera en 1 s? b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento horizontal de esta agua? c) Antes de llegar al codo, el agua tiene una cantidad de movimiento hacia arriba, mientras que después es horizontal. Dibujar un diagrama vectorial de los vectores cantidad de movimiento inicial y final y hallar la variación de dicha cantidad de movimiento del agua en el codo en 1 s. A partir de este valor hallar la fuerza ejercida sobre el agua por la manguera. a) 𝑰𝑰 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 = 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐𝒎𝒎𝟗𝟗 𝒑𝒑 Massa en 1 s= 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐𝒎𝒎𝟗𝟗 𝒑𝒑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒑𝒑 b) 𝒑𝒑𝒇𝒇𝒙𝒙 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟏𝟏.𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗𝟏𝟏 = 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗𝒎𝒎/𝒑𝒑 c) ∆𝒑𝒑�⃗ = 𝒑𝒑�⃗𝒇𝒇 − 𝒑𝒑�⃗𝒍𝒍 = 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟎𝟎 𝒊𝒊 − 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟎𝟎 𝒋𝒋 ∆𝒑𝒑 = �𝟎𝟎𝟗𝟗𝟎𝟎𝟐𝟐 + 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒑𝒑 𝑭𝑭 ���⃗ ∗ ∆𝒂𝒂 = ∆𝒑𝒑�⃗ ; 𝑭𝑭 ���⃗ = ∆𝒑𝒑�⃗ ∆𝒂𝒂 = 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟎𝟎 𝒊𝒊 − 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟎𝟎 𝒋𝒋 ;𝑭𝑭 = 𝟖𝟖𝟗𝟗𝟗𝟗 𝑵𝑵 55. Una fuente diseñada para lanzar una columna de agua de 12 m de altura al aire, tiene una boquilla de 1 cm de diámetro al nivel del suelo. La bomba de agua está a 3 m por debajo del suelo. La tubería que la conecta a la boquilla tiene un diámetro de 2 cm. Hallar la presión que debe suministrar la bomba. Siendo a el punto inicial, salida de la bomba, y b el punto final de la boquilla.. 𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝑷𝑷 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂𝟐𝟐 En el punto b la presión es la atmosférica y la altura en a será cero. 𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂𝟐𝟐 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ (𝒗𝒗𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝑷𝑷𝟐𝟐) Usando la ecuación de continuidad podemos hallar la relación de velocidades: 𝑨𝑨𝑷𝑷 ∗ 𝒗𝒗𝑷𝑷 = 𝑨𝑨𝒂𝒂 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 ; 𝒗𝒗𝑷𝑷 = 𝑨𝑨𝒂𝒂 𝑨𝑨𝑷𝑷 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 ; 𝒗𝒗𝑷𝑷 = 𝒅𝒅𝒂𝒂 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝑷𝑷𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 𝟓𝟓 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂 Para el agua que sale de la boquilla tenemos un lanzamiento vertical, en el punto más alto velocidad nula: 𝟏𝟏𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝒂𝒂𝟐𝟐 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 ; 𝒗𝒗𝒂𝒂 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 𝒗𝒗𝑷𝑷 = 𝟏𝟏 𝟓𝟓 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 Volviendo a Bernoulli: 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 − 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉) 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝒂𝒂 + 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 = 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ (𝒉𝒉𝒂𝒂 + 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒉𝒉) 𝑷𝑷𝑷𝑷 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ �𝟗𝟗+ 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐� = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑷𝑷 56. En la figura del problema 51, a) Hallar la distancia x a la que el agua incide sobre el suelo en función de h y H. b) Demostrar que existen dos valores de h que son equidistantes del punto h=1/2H que dan la misma distancia x. c) Demostrar que x es máxima cuando h=1/2H. ¿Cuál es el valor de esta distancia máxima x? a) Aplicando Bernoulli a los puntos a y b: 𝑷𝑷𝑷𝑷 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑯𝑯 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑷𝑷𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝒂𝒂 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ (𝑯𝑯− 𝒉𝒉) + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂𝟐𝟐 En el punto a la velocidad se pude considerar nula, las presiones en a y b son la presión atmosférica. 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑯𝑯 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ (𝑯𝑯− 𝒉𝒉) + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒌𝒌 ∗ 𝑯𝑯 = 𝒌𝒌 ∗ (𝑯𝑯− 𝒉𝒉) + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝒂𝒂𝟐𝟐 𝒗𝒗𝒂𝒂 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 Para el agua que sale tenemos un tiro horizontal. ∆𝒚𝒚 = 𝑯𝑯 − 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ ∆𝒂𝒂𝟐𝟐 ∆𝒂𝒂 = �𝟐𝟐∗(𝑯𝑯−𝒉𝒉) 𝒌𝒌 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷 𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒅𝒅𝒍𝒍𝒑𝒑𝒂𝒂𝑷𝑷𝒎𝒎𝒄𝒄𝒍𝒍𝑷𝑷 𝒉𝒉𝒕𝒕𝒓𝒓𝒍𝒍𝒉𝒉𝒕𝒕𝒎𝒎𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑: Esto causa una diferencia de presión en el elemento, y por tanto, una fuerza hacia la derecha. 67. Una masa de plomo de 0,5 kg está sumergida en un recipiente lleno de agua hasta los bordes y sobre la cual flota un bloque de madera. La masa de plomo se eleva lentamente mediante un alambre delgado y, cuando se extrae del agua, se observa que el nivel del líquido desciende un poco. La masa de plomo se sitúa sobre el bloque de madera y éste sigue flotando. Cuando el plomo se sitúa sobre el bloque de madera, a) Un poco de agua se derrama por el borde del recipiente. b) El nivel del agua asciende exactamente hasta el borde, como estaba anteriormente. c) El nivel del agua asciende, pero no alcanza el borde del recipiente. d) No hay suficiente información para decidir entre las tres opciones. Para compensar el peso de la madera y el plomo se necesitará un volumen sumergido de madera mayor que el del plomo, su densidad es menor, por tanto la respuesta a es la correcta. 68. Una persona está sentada en un bote que flota en un estanque muy pequeño. Toma el ancla y la echa al agua. ¿Se modifica el nivel de agua en el estanque? Cuando el ancla está dentro, el bote estará más hundido que cuando el ancla está fuera, por tanto, el volumen del agua descenderá. 69. El tablero de una mesita de juego mide 80 cm por 80 cm. ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre su parte superior por la atmósfera? ¿Por qué no se rompe la mesa? 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑺𝑺 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏.𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏.𝟖𝟖 = 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑵𝑵 La fuerza actúa en la cara superior y inferior, está compensada. 70. Una pelota de ping-pong está sujeta mediante una cuerda al fondo de una vasija. Cuando la vasija se llena con agua, de modo que la pelota está totalmente sumergida, la tensión de la cuerda es 2,8 10-2 N. Determinar el diámetro de la pelota. 𝑬𝑬 = 𝑻𝑻 +𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 ; 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎∗ 𝒌𝒌 + 𝑻𝑻 𝝆𝝆 ∗ 𝟓𝟓 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟗𝟗 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 + 𝑻𝑻 𝒓𝒓 = �𝟗𝟗 𝟓𝟓 ∗ 𝒎𝒎∗𝒌𝒌+𝑻𝑻 𝝅𝝅∗𝝆𝝆 𝟗𝟗 Usamos como masa de la pilota m=4 g. 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ �𝟗𝟗 𝟓𝟓 ∗ 𝒎𝒎∗𝒌𝒌+𝑻𝑻 𝝅𝝅∗𝝆𝝆 𝟗𝟗 = �𝟎𝟎 ∗ 𝒎𝒎∗𝒌𝒌+𝑻𝑻 𝝅𝝅∗𝝆𝝆 𝟗𝟗 = �𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏+𝟐𝟐,𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟗𝟗 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒎𝒎 71. El agua de mar tiene un módulo de compresibilidad de 2,3 109 N/m2. Hallar la densidad del agua de mar a una profundidad en donde la presión vale 800 atm si la densidad en la superficie es de 1025 kg/m3. 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 Como la masa es constante: 𝒅𝒅𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒅𝒅𝑽𝑽+ 𝑽𝑽 ∗ 𝒅𝒅𝝆𝝆 = 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝝆𝝆 𝝆𝝆 = −𝒅𝒅𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝒕𝒕 ∆𝝆𝝆 𝝆𝝆 = −∆𝑽𝑽 𝑽𝑽 El módulo de compresibilidad es: 𝑩𝑩 = − ∆𝑷𝑷 ∆𝑽𝑽 𝑽𝑽 = ∆𝑷𝑷 ∆𝝆𝝆 𝝆𝝆𝒕𝒕 ∆𝝆𝝆 = 𝝆𝝆 − 𝝆𝝆𝒕𝒕 = 𝝆𝝆𝒕𝒕∗∆𝑷𝑷 𝑩𝑩 ; 𝝆𝝆 = 𝝆𝝆𝒕𝒕 �𝟏𝟏+ ∆𝑷𝑷 𝑩𝑩 � 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟗𝟗 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎∗𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 𝟐𝟐,𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟗𝟗𝑵𝑵 𝒎𝒎𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗 72. Un coche se sale de la carretera en una curva y se hunde en un lago hasta una profundidad de 8 m. el conductor piensa que la única solución es salir del coche y nadar hasta la superficie. Si embargo, aunque la puerta no está deteriorada, no hay forma de abrirla. Si la superficie exterior del coche es 0,9 m2. a) ¿Qué fuerza ejerce el aire sobre la parte interior de la puerta? b) ¿Qué fuerza ejerce el agua sobre la parte interior de la puerta, suponiendo que allí se encuentra a la presión atmosférica? c) ¿Qué deberá hacer el ocupante del coche para abrir la puerta y salvar su vida? a) 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑺𝑺 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏,𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟗𝟗𝟏𝟏 𝑵𝑵 b) 𝑷𝑷 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟗𝟗 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑵𝑵 𝒌𝒌𝒌𝒌 ∗ 𝟖𝟖 𝒎𝒎 = 𝟕𝟕𝟖𝟖𝟓𝟓𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝑺𝑺 = 𝟕𝟕𝟖𝟖𝟓𝟓𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏,𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗𝟐𝟐 𝑵𝑵 c) Bajar la ventanilla, dejar entrar el agua y salir cuando el coche está lleno de agua. De esta forma la presión actuará dentro y fuera del coche. 73. Un bloque sólido cúbico de arista 0,6 m está suspendido de una balanza de muelle. Si el bloque se sumerge en agua, la balanza marca una lectura que es el 80 % de la correspondiente al bloque en el aire. Determinar la densidad de del bloque. 𝑬𝑬 + 𝟏𝟏,𝟖𝟖 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌−𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐 ∗𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 ; 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐 ∗𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆𝒄𝒄 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝒄𝒄 = 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟏𝟏,𝟐𝟐 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗 74. Cuando se sumerge en agua, un bloque de cobre tiene un peso aparente de 56 N. ¿qué fracción del bloque de cobre se sumergirá al flotar sobre mercurio en una cubeta? En el mercurio: 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 = 𝝆𝝆𝑪𝑪𝒑𝒑 ∗ 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒑𝒑𝑷𝑷𝒓𝒓𝒑𝒑𝒕𝒕 ∗ 𝒌𝒌 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒑𝒑𝑷𝑷𝒓𝒓𝒑𝒑𝒕𝒕 = 𝝆𝝆𝑪𝑪𝒑𝒑 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒌𝒌 = 𝟖𝟖,𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟗𝟗,𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟓𝟓𝟕𝟕 𝑽𝑽𝒕𝒕𝒑𝒑𝒑𝒑𝒎𝒎𝑷𝑷𝒎𝒎 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓𝒌𝒌𝒍𝒍𝒅𝒅𝒕𝒕 𝟎𝟎𝟓𝟓,𝟕𝟕 % 75. Un bloque de 4,5 kg de cierto material flota sobre etanol con el 10 % de su volumen por encima de la superficie del líquido. ¿qué fracción de este bloque se sumergirá si flota sobre agua? En el etanol: 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒂𝒂𝑷𝑷𝒎𝒎𝒕𝒕𝒑𝒑 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑷𝑷𝒂𝒂𝑷𝑷𝒎𝒎𝒕𝒕𝒑𝒑 = 𝒎𝒎∗ 𝒌𝒌 En el agua: 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 = 𝒎𝒎∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒂𝒂𝑷𝑷𝒎𝒎𝒕𝒕𝒑𝒑 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑷𝑷𝒂𝒂𝑷𝑷𝒎𝒎𝒕𝒕𝒑𝒑 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒂𝒂𝑷𝑷𝒎𝒎𝒕𝒕𝒑𝒑∗𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑷𝑷𝒂𝒂𝑷𝑷𝒎𝒎𝒕𝒕𝒑𝒑 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗∗𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓 Volumen sumergido 72,54 %. 76. ¿Cuál es la fuerza ascensional que actúa sobre el cuerpo de una persona cuando flota a) En un lago de agua dulce (densidad específica=1,0). b) En el océano (densidad específica= 1,03). Como está flotando en los dos casos el empuje es el valor del peso. Cambia en cada caso el volumen de persona sumergido, en el océano el volumen sumergido será menor dado que la densidad es mayor. En el lago el volumen sumergido aumentará. 77. Cuando una persona flota en agua dulce, el 96 % de su cuerpo está sumergido ¿Cuál es el volumen de agua desplazado por esta persona cuando está totalmente sumergido? 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝑽𝑽 ;𝑽𝑽 = 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷∗𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟎𝟎 78. Un bloque de madera de masa 1,5 kg flota sobre el agua con el 68 % de su volumen sumergido. Un bloque de plomo se sitúa sobre la madera y ésta se sumerge completamente. Determinar la masa del plomo. Para el bloque de madera: 𝒎𝒎𝒎𝒎𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷 ∗ 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝒎𝒎𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟖𝟖 ∗ 𝑽𝑽 𝝆𝝆𝒎𝒎𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟖𝟖 = 𝟎𝟎𝟖𝟖𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗 𝑽𝑽 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷 𝝆𝝆𝒎𝒎𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷 En el caso de tener el plomo encima: 𝒎𝒎𝒎𝒎𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷 ∗ 𝒌𝒌 +𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝒎𝒎𝑷𝑷𝒅𝒅𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 +𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 𝒉𝒉𝑩𝑩 = (𝟏𝟏𝟓𝟓𝟗𝟗𝟗𝟗𝟖𝟖𝟓𝟓−𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓) 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟗𝟗 ∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟓𝟓,𝟏𝟏 𝒎𝒎 ?? 84. Repetir el problema 83 con la velocidad de flujo reducida a 0,6 L/s y el tamaño de la abertura en C reducido de modo que la presión del tubo en A permanezca invariable. 𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝒑𝒑𝑷𝑷𝒂𝒂𝒓𝒓𝑷𝑷,𝑨𝑨 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝑨𝑨 ; 𝒉𝒉𝑨𝑨 = 𝑷𝑷𝑨𝑨 𝝆𝝆∗𝒌𝒌 𝒉𝒉𝑨𝑨 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎∗𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟗𝟗 ∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟐𝟐,𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝑰𝑰𝒗𝒗,𝑨𝑨 = 𝒗𝒗𝑨𝑨 ∗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 ; 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝑰𝑰𝒗𝒗,𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝒎𝒎 𝒑𝒑 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝝅𝝅∗𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟕𝟕,𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒑𝒑 𝒗𝒗𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝑨𝑨∗𝑨𝑨𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 𝒓𝒓𝑨𝑨 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝑩𝑩 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟎𝟎𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨 𝑷𝑷𝑩𝑩 = 𝑷𝑷𝑨𝑨 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ (𝒗𝒗𝑨𝑨𝟐𝟐 − 𝒗𝒗𝑩𝑩𝟐𝟐 ) 𝑷𝑷𝑩𝑩 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒎𝒎 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟗𝟗 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟎𝟎𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐� ∗ 𝟕𝟕,𝟎𝟎𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟖𝟖𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓𝟗𝟗 𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑷𝑷𝑩𝑩,𝒄𝒄𝑷𝑷𝒑𝒑𝒍𝒍𝒂𝒂𝒓𝒓𝑷𝑷 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝑩𝑩 ; 𝒉𝒉𝑩𝑩 = 𝑷𝑷𝑩𝑩,𝒄𝒄𝑷𝑷𝒑𝒑𝒍𝒍𝒂𝒂𝒓𝒓𝑷𝑷 𝝆𝝆∗𝒌𝒌 𝒉𝒉𝑩𝑩 = �𝟏𝟏𝟖𝟖𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓𝟗𝟗−𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓�𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟗𝟗 ∗𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑵𝑵 𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟖𝟖,𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒎𝒎 85. La figura es un esquema de un aspirador, un aparato simple que puede utilizarse para conseguir un vacío parcial en un recinto conectado al tubo vertical en B. Un agitador conectado al extremo de una manguera de riego puede utilizarse para suministrar un fertilizante dispuesto Enel recinto. Supongamos que el diámetro en A es 2,0 cm y el diámetro en C, donde el agua se vierte a la atmosfera, es de 1,0 cm. Si la velocidad de flujo es de 0,5 L/s y la presión manométrica en A es de 0,187 atm, ¿qué diámetro del estrechamiento en B es necesario para conseguir una presión de 0,1 atm en el recinto? Con la ecuación de continuidad: 𝑰𝑰𝑨𝑨 = 𝒗𝒗𝑨𝑨 ∗ 𝑨𝑨𝑨𝑨 ; 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝑰𝑰𝑨𝑨 𝑨𝑨𝑨𝑨 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝒎𝒎𝟗𝟗/𝒑𝒑 (𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐)𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒑𝒑 Usando la ecuación de Bernouilli: 𝑷𝑷𝑨𝑨 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝑩𝑩 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝑩𝑩𝟐𝟐 𝒗𝒗𝑩𝑩 = �𝟐𝟐 𝝆𝝆 ∗ (𝑷𝑷𝑨𝑨 − 𝑷𝑷𝑩𝑩) + 𝒗𝒗𝑨𝑨𝟐𝟐 𝒗𝒗𝑩𝑩 = � 𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ (𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟖𝟖𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟏𝟏.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓) + 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟗𝟗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟓𝟓.𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒑𝒑 Con la ecuación del flujo: 𝑰𝑰𝑨𝑨 = 𝑰𝑰𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝑩𝑩 ∗ 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝑩𝑩 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝑩𝑩𝟐𝟐 𝒓𝒓𝑩𝑩 = � 𝑰𝑰𝑩𝑩 𝒗𝒗𝑩𝑩∗𝝅𝝅 = �𝟏𝟏.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟓𝟓,𝟗𝟗∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒎𝒎 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎 86. Una boya cilíndrica a la entrada de un puerto tiene un diámetro de 0,9 m y una altura de 2,6 m. La masa de la boya es 600 kg. Está sujeta al fondo del mar con un cable de nailon de masa despreciable. La densidad específica del agua de mar es 1,025. a) ¿Qué parte de la boya es visible cuando el cable está flojo? b) Si una onda de marea sumerge completamente la boya, ¿Cuál es la tensión en el cable rígido? c) Si el cable se rompe, ¿Cuál sería la aceleración inicial hacia arriba de la boya? a) 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒕𝒕𝒚𝒚𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑽𝑽 = 𝝆𝝆𝒂𝒂𝒕𝒕𝒚𝒚𝑷𝑷 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 = 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒚𝒚𝑷𝑷 𝑽𝑽𝒂𝒂𝒕𝒕𝒚𝒚𝑷𝑷∗𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 = 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒕𝒕𝒚𝒚𝑷𝑷 𝝅𝝅∗𝒅𝒅 𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗𝒉𝒉∗𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗𝟐𝟐.𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟓𝟓𝟓𝟓 ; 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 = 𝟗𝟗𝟓𝟓,𝟓𝟓 % 𝑽𝑽𝒗𝒗𝒍𝒍𝒑𝒑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏− 𝟗𝟗𝟓𝟓,𝟓𝟓 = 𝟎𝟎𝟓𝟓,𝟎𝟎 % b) 𝑻𝑻 = 𝑬𝑬 − 𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 ∗ 𝒌𝒌 −𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 = �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∗ 𝟐𝟐.𝟎𝟎 − 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏� ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎 𝑵𝑵 c) 𝑬𝑬 − 𝑷𝑷 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑷𝑷 ;𝑷𝑷 = 𝑬𝑬−𝑷𝑷 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟕𝟕.𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝒑𝒑𝟐𝟐 87. Dos vasos comunicantes contienen un líquido de densidad ρo (figura). Las áreas de las secciones rectas de las vasijas son A y 3 A. Determinar el cambio de altura del nivel del líquido si un objeto de masa m y densidad ρ’=0,8 ρo se introduce en una de las vasijas. Para el cuerpo introducido: 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 𝒎𝒎 = 𝝆𝝆𝒕𝒕 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒎𝒎 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒎𝒎 = 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝒕𝒕 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒎𝒎 = ∆𝑽𝑽𝑨𝑨 + ∆𝑽𝑽𝟗𝟗𝑨𝑨 = 𝑨𝑨 ∗ ∆𝒉𝒉 + 𝟗𝟗 ∗ 𝑨𝑨 ∗ ∆𝒉𝒉 ∆𝒉𝒉 = 𝒎𝒎 𝟓𝟓∗𝑨𝑨∗𝝆𝝆𝒕𝒕 88. Si un manómetro lleno de aceite (ρo=900 kg/m3) puede leerse con precisión de ±0,05 mm, ¿Cuál es el cambio de presión más pequeño que puede detectarse? ∆𝑷𝑷 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ ∆𝒉𝒉 = 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑷𝑷𝑷𝑷 89. Un dique rectangular de 30 m de ancho soporta un volumen de agua hasta una altura de 25 m. a) Despreciando la presión atmosférica, determinar la fuerza total debida a la presión del agua que actúa sobre una banda delgada de altura delgada dy localizada a la profundidad y. b) Integrar el resultado de la parte (a) para determinar la fuerza horizontal total debida a la acción del agua sobre el dique. c) ¿Por qué es razonable despreciar la presión atmosférica? a) 𝑷𝑷 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝑭𝑭 = 𝑷𝑷 ∗ 𝒅𝒅𝑺𝑺 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒚𝒚 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒚𝒚 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒅𝒅𝒚𝒚 b) 𝑭𝑭 = ∫ 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒚𝒚 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒅𝒅𝒚𝒚𝒉𝒉 𝟏𝟏 = 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒉𝒉 𝟐𝟐 𝟐𝟐 Usando L=30 m, h=25 m y 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗. 𝑭𝑭 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟗𝟗𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟗𝟗𝟎𝟎𝟖𝟖𝟕𝟕𝟓𝟓𝟏𝟏 𝑷𝑷𝑷𝑷 c) La presión atmosférica actúa sobre las dos partes del dique, por tanto, está compensada. 90. Un tubo en U se llena de agua hasta que el nivel líquido esté a 28 cm por encima del fondo del tubo. En una de las ramas del tubo se vierte ahora un aceite de densidad específica 0,78 hasta que el nivel del agua en la otra rama se encuentra a 34 cm por encima del fondo del tubo. Determinar el nivel de las interfases aceite-aire y aceite-agua en la rama donde se hizo el vertido del aceite. 𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒉𝒉𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟖𝟖 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟎𝟎 − 𝒉𝒉𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟎𝟎 − 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟓𝟓 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 Por igualdad de presión en las dos ramas: 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝒍𝒍𝒂𝒂𝑷𝑷 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝒍𝒍𝒂𝒂𝑷𝑷 + 𝝆𝝆𝑾𝑾 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝝆𝝆𝑾𝑾 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒉𝒉𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝒍𝒍𝒂𝒂𝑷𝑷 = 𝝆𝝆𝑾𝑾∗(𝒉𝒉𝟐𝟐𝟏𝟏−𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏) 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝒍𝒍𝒂𝒂𝑷𝑷 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟓𝟓−𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟖𝟖 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎 La altura de la rama izquierda: 𝒉𝒉𝒕𝒕 = 𝒉𝒉𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒉𝒉𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝒍𝒍𝒂𝒂𝑷𝑷 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐+ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟕𝟕𝟓𝟓 𝒎𝒎 𝑷𝑷−𝑪𝑪∗∆𝒉𝒉 ≈ 𝟏𝟏 − 𝑪𝑪 ∗ ∆𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 − ∆𝒉𝒉 𝒉𝒉𝒕𝒕 𝑷𝑷(𝒉𝒉 + ∆𝒉𝒉) = 𝑷𝑷(𝒉𝒉) ∗ �𝟏𝟏 − ∆𝒉𝒉 𝒉𝒉𝒕𝒕 � c) 𝑷𝑷(𝒉𝒉) = 𝑷𝑷𝒕𝒕 ∗ 𝑷𝑷−𝑪𝑪∗𝒉𝒉 𝒑𝒑𝒎𝒎𝑷𝑷 = 𝒑𝒑𝒎𝒎𝑷𝑷𝒕𝒕 − 𝑪𝑪 ∗ 𝒉𝒉 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏 𝒉𝒉 ∗ 𝒑𝒑𝒎𝒎 �𝑷𝑷𝒕𝒕 𝑷𝑷 � 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏 𝟓𝟓,𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝒑𝒑𝒎𝒎� 𝑷𝑷𝒕𝒕 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑷𝑷𝒕𝒕 � = 𝟏𝟏 𝟓𝟓,𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝒑𝒑𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎−𝟏𝟏 97. Un submarino tiene una masa total de 2,4 106 kg, incluyendo la tripulación y el equipo. La nave consta de dos partes: el tanque de presión que tiene un volumen de 2 103 m3 y los tanques de inmersión que tienen un volumen de 4 102 m3. Cuando el submarino navega sobre la superficie, los tanques de inmersión se llenan de aire, cuando navega en el seno del mar, estos tanques se llenan de agua marina. a) ¿Qué fracción del volumen del submarino está por encima de la superficie cuando os tanques están llenos de aire? b) ¿qué cantidad de agua debe admitirse en los tanques para que el submarino neutralice exactamente su peso con la fuerza ascensional? Despreciar la masa del aire en los tanques y utilizar el valor 1.025 para la densidad específica del agua de mar. a) 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓𝒌𝒌 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓𝒌𝒌 = 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓𝒌𝒌 𝑽𝑽 = 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝒎𝒎 𝝆𝝆𝑻𝑻 = 𝝆𝝆𝑻𝑻 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 = 𝒎𝒎𝑻𝑻 𝑽𝑽𝟏𝟏+𝑽𝑽𝟐𝟐 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 = 𝒎𝒎𝑻𝑻 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷∗(𝑽𝑽𝟏𝟏+𝑽𝑽𝟐𝟐) 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒎𝒎𝑷𝑷𝒓𝒓𝒌𝒌 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓∗(𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗+𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐) = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎 %𝑽𝑽𝒕𝒕𝒑𝒑𝒑𝒑𝒎𝒎𝑷𝑷𝒎𝒎 𝒇𝒇𝒑𝒑𝑷𝑷𝒓𝒓𝑷𝑷:𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟓𝟓𝟎𝟎 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓𝟓 % 98. Una tripulación de salvamentos marinos levanta del fondo del mar un cajón que mide 1,4 m X 0,75 m X 0,5 m. La densidad media del cajón vacío es igual a la del agua de mar, 1025 103 kg/m3, y su masa cuando está vacío es 32 kg. El cajón contiene lingotes de oro que llena el 36 % de su volumen; el volumen restante está lleno de agua de mar. a) ¿Cuál es la tensión del cable que eleva el cajón con los lingotes mientras está por debajo de la superficie del agua? b) ¿Cuál es la tensión del cable mientras el cajón se eleva a la cubierta del barco si (1) el cajón no pierde agua en el ascenso?, y (2) si el cajón se eleva tan lentamente que pierde toda el agua que contenía en su interior? a) 𝑻𝑻 + 𝑬𝑬 = 𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝑭𝑭ó𝒎𝒎 + 𝑷𝑷𝒕𝒕𝒓𝒓𝒕𝒕 + 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 𝑻𝑻 = 𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝑭𝑭ó𝒎𝒎 + 𝑷𝑷𝑨𝑨𝒑𝒑 + 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 − 𝑬𝑬 𝑻𝑻 = (𝒎𝒎𝒄𝒄𝑷𝑷𝑭𝑭ó𝒎𝒎 + 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝝆𝝆𝑨𝑨𝒑𝒑 ∗ 𝑽𝑽 + 𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟓𝟓 ∗ 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽 − 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽) ∗ 𝒌𝒌 𝑻𝑻 = �𝟗𝟗𝟐𝟐+ 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟗𝟗.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 − 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗� ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟗𝟗𝟓𝟓𝟏𝟏𝟗𝟗𝟕𝟕 𝑵𝑵 b) Sin perdida de agua: 𝑻𝑻 = 𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝑭𝑭ó𝒎𝒎 + 𝑷𝑷𝑨𝑨𝒑𝒑 + 𝑷𝑷𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 = �𝒎𝒎𝒄𝒄𝑷𝑷𝑭𝑭ó𝒎𝒎 + 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝝆𝝆𝑨𝑨𝒑𝒑 ∗ 𝑽𝑽 + 𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟓𝟓 ∗ 𝝆𝝆𝑷𝑷𝒌𝒌𝒑𝒑𝑷𝑷 ∗ 𝑽𝑽� ∗ 𝒌𝒌 𝑻𝑻 = (𝟗𝟗𝟐𝟐 + 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟗𝟗.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 + 𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗) ∗ 𝟗𝟗. 𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟓𝟓𝟕𝟕𝟎𝟎 𝑵𝑵 Con perdida de agua: 𝑻𝑻 = 𝑷𝑷𝒄𝒄𝑷𝑷𝑭𝑭ó𝒎𝒎 + 𝑷𝑷𝑨𝑨𝒑𝒑 = �𝒎𝒎𝒄𝒄𝑷𝑷𝑭𝑭ó𝒎𝒎 + 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝝆𝝆𝑨𝑨𝒑𝒑 ∗ 𝑽𝑽� ∗ 𝒌𝒌 𝑻𝑻 = �𝟗𝟗𝟐𝟐+ 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟗𝟗.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗� ∗ 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟏𝟏𝟗𝟗𝟖𝟖 𝑵𝑵 99. Cuando el hidrómetro del problema 42 se sitúa en un líquido cuya densidad específica es mayor que cierto valor mínimo, el instrumento flota con una parte del tubo de vidrio por encima del nivel de líquido. Consideremos un hidrómetro que tiene un bulbo esférico de 2,4 cm de diámetro. El tubo de vidrio unido al bulbo tiene 20 cm de longitud y un diámetro de 7,5 mm. La masa del hidrómetro antes de que se introduzcan en su interior bolitas de plomo y se suelde el vástago es de 7,28 g. a) ¿Qué masa de plomo debe introducirse en el bulbo para que el hidrómetro flote justamente en un líquido de densidad específica 0,78? b) Si el hidrómetro se introduce ahora en agua, ¿qué longitud del vástago aparece por encima de la superficie del agua? c) El hidrómetro se introduce en un líquido de densidad desconocida y la longitud del tubo por encima de la superficie es de 12,2 cm. Determinar la densidad específica del líquido. a) 𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕 = 𝟓𝟓 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟗𝟗 = 𝟓𝟓 𝟗𝟗 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟗𝟗 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗𝟖𝟖 𝒎𝒎𝟗𝟗 𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉 = 𝝅𝝅 ∗ �𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟓𝟓 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝟖𝟖𝟗𝟗𝟓𝟓𝟕𝟕 𝒎𝒎𝟗𝟗 Con la condición de flotar en el líquido: 𝑬𝑬 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 ∗ 𝒌𝒌 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 ∗ 𝒌𝒌 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 ∗ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 Consideramos que el hidrómetro está totalmente sumergido: 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 = 𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕 + 𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ (𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕 + 𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕) −𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 = 𝟕𝟕𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ (𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟗𝟗𝟖𝟖+ 𝟖𝟖.𝟖𝟖𝟗𝟗𝟓𝟓𝟕𝟕) ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟎𝟎 − 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌 b) 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ 𝑽𝑽𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ (𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕 + 𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕) = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 +𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ �𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕 + 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉� = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 𝒉𝒉 = �𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕+𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 − 𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕� ∗ 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒉𝒉 = �𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗+𝟓𝟓.𝟐𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟗𝟗𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟎𝟎� ∗ 𝟏𝟏 𝝅𝝅∗�𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟓𝟓 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 Por encima del agua la longitud será: 𝒉𝒉𝑷𝑷𝒎𝒎𝒄𝒄𝒍𝒍𝒎𝒎𝑷𝑷 = 𝒉𝒉𝒂𝒂𝒕𝒕𝒂𝒂𝑷𝑷𝒑𝒑 − 𝒉𝒉𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂 = 𝟐𝟐𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟖𝟖 𝒄𝒄𝒎𝒎 c) 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 ∗ �𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕 + 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒉𝒉� = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕 + 𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝒎𝒎𝒗𝒗𝒍𝒍𝒅𝒅𝒓𝒓𝒍𝒍𝒕𝒕+𝒎𝒎𝑷𝑷𝒂𝒂 (𝑽𝑽𝒂𝒂𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒕𝒕+ 𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝒉𝒉) 𝝆𝝆𝒑𝒑𝒍𝒍𝒍𝒍 = 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗+𝟓𝟓.𝟐𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝟕𝟕.𝟐𝟐𝟗𝟗𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟎𝟎+𝝅𝝅∗�𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟓𝟓 𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 ∗(𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟏𝟏−𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐) = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒌𝒌/𝒎𝒎𝟗𝟗 La densidad específica es 1.174 100. Un barril grande de cerveza de altura H y área A1 se llena con cerveza. La parte superior está abierta a la presión atmosférica. En la parte inferior existe una espita abierta de área A2, mucho menor que A1. a) Demostrar que la velocidad de la cerveza que sale por la espita es aproximadamente �𝟐𝟐𝒌𝒌𝒉𝒉 cuando la altura de la cerveza es h. b) Demostrar que en la aproximación según la cual 𝑨𝑨𝟐𝟐 ≪ 𝑨𝑨𝟏𝟏, la variación de altura h por unidad de tiempo de la cerveza viene dada por 𝒅𝒅𝒉𝒉 𝒅𝒅𝒂𝒂 = −𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 (𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝒉𝒉)𝟏𝟏/𝟐𝟐 c) Calcular h en función del tiempo si h=H para t=0. d) Hallar el tiempo total necesario para vaciar la cuba si H=2 m, A1= 0,8 m2, y A2= (10-4) A1. a) Utilizamos la ecuación de Bernouilli, los puntos son el superior i la espita. 𝑷𝑷𝟏𝟏 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑷𝑷𝟐𝟐 + 𝝆𝝆 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐 En la parte superior, 𝒗𝒗𝟏𝟏 ≈ 𝟏𝟏 ; tomamos 𝒉𝒉𝟐𝟐 ≈ 𝟏𝟏; las presiones son las atmosféricas y h1=h. 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 b) Usamos la ecuación de continuidad: 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 −𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ 𝒅𝒅𝒉𝒉 𝒅𝒅𝒂𝒂 = 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 ; 𝒅𝒅𝒉𝒉 𝒅𝒅𝒂𝒂 = −𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 c) 𝒅𝒅𝒉𝒉 𝒅𝒅𝒂𝒂 = −𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒉𝒉 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐∗�𝟐𝟐∗𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒉𝒉 √𝒉𝒉 = 𝒅𝒅𝒂𝒂 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐∗�𝟐𝟐∗𝒌𝒌 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒉𝒉 √𝒉𝒉 𝒉𝒉 𝑯𝑯 = ∫ 𝒅𝒅𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒂𝒂 − 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐∗�𝟐𝟐∗𝒌𝒌 ∗ �√𝑯𝑯− √𝒉𝒉� = 𝒂𝒂 √𝒉𝒉 = −𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒂𝒂 + √𝑯𝑯 𝒉𝒉 = (√𝑯𝑯− 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒂𝒂)𝟐𝟐 d) 𝒉𝒉 = (√𝑯𝑯− 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒂𝒂)𝟐𝟐 Usamos h=0 𝟏𝟏 = √𝑯𝑯− 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒂𝒂 𝒂𝒂 = 𝑨𝑨𝟏𝟏 𝑨𝑨𝟐𝟐∗�𝟐𝟐∗𝒌𝒌 ∗ √𝑯𝑯 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓∗𝟏𝟏.𝟖𝟖∗√𝟐𝟐∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ �√𝟐𝟐� = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏 √𝟐𝟐∗𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ √𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒑𝒑