Formulario de integrales y derivadas, Apuntes de Cálculo

¡Descarga Formulario de integrales y derivadas y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity! Formulario de Prec´alculo. 5. Leyes de los logaritmos. a) loga(P Q) = loga(P) + loga(Q) 1. Los N´umeros. b) loga P Q = loga(P) − loga(Q) 1. Leyes de los exponentes y radicales. a) aman = am+n b) (am)n = amn c) (ab)n = anbn c) loga(Q n) = n loga(Q) d) alog a (x) = x d) a n =an b n e)a m a n = am−n f ) a−n = 1an b e) loga(a x) = x g) a1/n =√n a h) am/n =√nam i) am/n = ( √n a)m j)√ n ab =√n a√nb k)nra b=√n a √n bl)mp√n a = mn√a 2. Productos Notables. a) Binomios Conjugados: (x + y)(x − y) = x2 − y2 b) Binomio al Cuadrado: (x ± y)2 = x2 ± 2xy + y2 c) Binomio al Cubo: (x ± y)3 = x3 ± 3x2y + 3xy2 ± y3 d) (x + y)2 = x2 + 2 xy + y2 e) (x − y)2 = x2 − 2 xy + y2 f ) (x + y)3 = x3 + 3 x2y + 3 xy2 + y3 g) (x − y)3 = x3 − 3 x2y + 3 xy2 − y3 f ) loga(1) = 0 g) alog a (a) = 1 h) log(x) = log10(x) i) ln(x) = loge(x) j) Cambio de base: loga(Q) = logb(Q) logb(a) 2. Soluciones Exactas de ecuacio nes Algebraicas 6. Soluciones Exactas de Ecuaciones Algebraicas. a) La Ecuaci´on Cuadr´atica: ax2 + bx + c = 0 tiene h) (x + y)4 = x4 + 4 x3y + 6 x2y2 + 4 xy3 + y4 i) (x − y)4 = x4 − 4 x3y + 6 x2y2 − 4 xy3 + y4 j) (x + y)5 = x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5 xy4+y5 soluciones: x =−b ± √b2 − 4ac 2a k) (x − y)5 = x5 −5 x4y + 10 x3y2 −10 x2y3 + 5 xy4−y5 3. Teorema del Binomio. Sea n ∈ N, entonces: El n´umero b2−4ac se llama discriminante de la ecua ci´on. i) Si b2 − 4ac > 0 las ra´ıces son reales y diferentes. ii) Si b2 − 4ac = 0 las ra´ıces son reales e iguales. xn−ryr Nota: n (x + y)n =Xn r=0 = nCr =n! n r iii) Si b2 − 4ac < 0 las ra´ıces son complejas conjuga das. b) Para la Ecuaci´on C´ubica: x3 + ax2 + bx + c = 0 sean: r r!(n − r)! 9, R =9ab − 27c − 2a3 Q =3b − a2 54 4. Factores Notables. a) Diferencia de Cuadrados: x2 − y2 = (x + y)(x − y) q S =3 R + pQ3 + R2, T =3q R − pQ3 + R2 b) Suma de Cubos: x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2) c) Diferencia de Cubos: x3 −y3 = (x−y)(x2 +xy +y2) d) Trinomio Cuadrado Perfecto: x2±2xy+y2 = (x±y)2 Entonces las soluciones son: x1 =S + T − a3 2+ a 3 + (S − T ) √3 ! e) x2 − y2 = (x − y) (x + y) f ) x3 − y3 = (x − y)x2 + xy + y 2 x2 = − S + T i 2 g) x3 + y3 = (x + y)x2 − xy + y 2 h) x4 − y4 = (x − y) (x + y)x2 + y 2 x3 = − 2+ a 3 − (S − T ) √3 S + T 2 ! i i) x5 − y5 = (x − y)x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y 4 j) x5 + y5 = (x + y)x4 − x3y + x2y2 − xy3 + y 4 k) x6−y6 = (x − y) (x + y)x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2 l) x4 + x2y2 + y4 =x2 + xy + y 2 x2 − xy + y 2 m) x4 + 4 y4 =x2 − 2 xy + 2 y 2 x2 + 2 xy + 2 y 2 1 El n´umero Q3+R2se llama discriminante de la ecua ci´on. i) Si Q3 + R2 > 0, hay una ra´ız real y dos son com plejas conjugadas. ii) Si Q3 + R2 = 0, las ra´ıces son reales y por lo me nos dos son iguales. iii) Si Q3 + R2 < 0, las ra´ıces son reales y diferentes. 3. Funciones Trigonom´etricas. 3.1. Relaciones entre Funciones Trigo nom´etricas. csc(A) = 1 sen(A)sen2(A) + cos2(A) = 1 sec(A) = 1 cos(A)sec2(A) − tan2(A) = 1 tan(A) = sen(A) cos3(A) = 3 4cos(A) + 1 4cos(3A) sen4(A) = 3 8 −1 2cos(2A) + 1 8cos(4A) cos4(A) = 3 8 + 1 2cos(2A) + 1 8cos(4A) sen5(A) = 5 8sen(A) −5 16 sen(3A) + 1 16 sen(5A) cos5(A) = 5 8cos(A) + 5 16 cos(3A) + 1 16 cos(5A) 3.3. Suma, Diferencia y Producto las Funcio nes Trigonom´etricas. cos(A)csc2(A) − cot2(A) = 1 cot(A) = cos(A) sen(A)=1 tan(A) 3.2. Potencias de Funciones Trigonom´etricas. sen(A) + sen(B) = 2 sen A+B 2 sen(A) − sen(B) = 2 sen A−B 2 cos(A) + cos(B) = 2 cos A+B 2 cos(A) − cos(B) = 2 sen A+B 2 cos A−B 2 cos A+B 2 cos A−B 2 sen B−A 2 sen2(A) = 1 2 − 1 2cos(2A) cos2(A) = 1 2 +1 2cos(2A) sen3(A) = 3 4sen(A) − 1 4sen(3A) 4. Funciones Hiperb´olicas. Seno hiperb´olico de x = senh(x) = ex − e−x 2 Coseno hiperb´olico de x = cosh(x) = ex + e−x 2 Tangente hiperb´olica de x = tanh(x) = ex − e−x ex + e−x 4 = 1 2[u − sen u cos u] 20) Rcos2 udu =u 2 +sen 2u 4 =1 2[u + sen u cos u] 21) Rsec u tan udu = sec u 22) Rcsc u cot udu = − csc u Hiperb´olicas. 23) Rsenh udu = cosh u 24) Rcosh udu = senh u 25) Rtanh udu = ln[cosh u] 26) Rcoth udu = ln[senh u] 27) Rsechudu = sen−1[tanh u] = 2 tan−1[eu] 28) R cschudu = ln tanh u 2 = −2 coth−1[eu] 29) Rsech2udu = tanh u 30) Rcsch2udu = − coth u 31) Rtanh2udu = u − tanh u 32) Rcoth2udu = u − coth u 33) Rsenh2udu = senh 2u 4 − u 2 = 1 2[senh u cosh u − u] 34) Rcosh2udu = senh 2u 4 + u 2 = 1 2[senh u cosh u + u] 35) Rsechu tanh udu = −sechu 36) Rcschu coth udu = −cschu Integrales con au + b. 37) Rdu R 7) au du =au ln(a)+ C au+b =1 aln (au + b) 38) Rudu Rdu au+b =u a −ba 2 ln (au + b) 39) Ru 2du au+b =(au+b)2 a 3 + b2 8) u= ln |u| + C a 3 ln (au + b) 40) Ru 3du 2a 3 −2b(au+b) au+b =(au+b)3 3a 4 −3b(au+b)2 2a 4 +3b2(au+b) a 4 −b3 Trigonom´etricas. a 4 ln (au + b) 41) Rdu u 9) Rsen udu = − cos u u(au+b) =1 bln 42) Rdu au+b 10) Rcos udu = sen u 11) Rtan udu = ln[sec u] = − ln[cos u] + C 12) Rcot udu = ln sen u u2 (au+b) = − 1 bu + ab 2 ln au+b u 43) Rdu (au+b) 2 = −1 a(au+b) 44) Rudu (au+b) 2 = b a2 (au+b) + 1a 2 ln (au + b) 45) Ru 2du a 3 −b2 13) R sec udu = ln[sec u + tan u] = ln tan u 2 +π 4 (au+b) 2 =au+b a3 (au+b) −2b a 3 ln (au + b) 14) R csc udu = ln[csc u − cot u] = ln tan u 2 15) Rsec2 udu = tan u 46) Rdu u(au+b) 2 = 1 b(au+b) + 1b 2 ln 47) Rdu u2(au+b) 2 =−a u au+b 16) Rcsc2 udu = − cot u b2 (au+b) −1b2 u +2a b 3 ln au+b u 48) Rdu (au+b) 3 =−1 2(au+b)2 4 49) Rudu (au+b) 3 = −1 a2 (au+b) + b 2a2(au+b)2 71) R(au + b)m/2du =2(au+b)(m+2)/2 a(m+2) 50) Ru 2du a3 (au+b) −b2 72) Ru(au + b)m/2du =2(au+b)(m+4)/2 (au+b) 3 =2b 51) R(au + b) du =(au+b)2 2a 2a3(au+b) 2 +1a 3 ln (au + b) a2 (m+4) −2b(au+b)(m+2)/2 a2(m+2) 73) Ru2(au + b)m/2du =2(au+b)(m+6)/2 a3 (m+6) −4b(au+b)(m+4)/2 52) R(au + b)ndu =(au+b)n+1 (n+1)apara n 6= −1 53) Ru (au + b)ndu =(au+b)n+2 (n+2)a 2 −b(au+b)n+1 (n+1)a 2 para n 6= −1, −2 74) R (au+b)m/2 a3(m+4) +2b2(au+b)(m+2)/2 a3(m+2) m + bR (au+b)(m−2)/2 54) Ru2(au + b)ndu =(au+b)n+3 (n+3)a 3 −2b(au+b)n+2 (n+2)a 3 +b2(au+b)n+1 (n+1)a3 para n 6= −1, −2, −3 udu =2(au+b)m/2 75) R (au+b)m/2 u 2 du = −(au+b)(m+2)/2 bu +ma 2b udu R (au+b)m/2 udu 76) Rdu b(m−2)(au+b) (m−2)/2 + 1 bRdu 55) Rum (au + b)ndu = u(au+b) m/2 = 2 u(au+b)(m−2)/2 = um+1(au+b)n m+n+1 +nb m+n+1 um(au+b)n+1 (m+n+1)a −mb Rum (au + b)n−1du Rum−1(au + b)ndu Integrales con u2 + a2. 77) Rdu u2+a 2 = 1 atan−1 ua (m+n+1)a −um+1(au+b)n+1 Rum (au + b)n+1 du (n+1)b + m+n+2 (n+1)b Integrales con √au + b. 56) R√du au+b= 2√au+b a u2+a 2 =1 2ln u2 + a 2 78) Rudu 79) Ru 2du u2+a 2 = u − a tan−1 ua u2+a 2 =u2 2 −a2 2ln u2 + a 2 80) Ru 3du 57) R√udu au+b= 2(au−2b) 3a2 58) Ru2 √au + b √au + b 81) Rdu u(u2+a2 ) = 12a 2 ln 82) Rdu u2 u2+a2 au+b= 2(3a2u2−4ab u+8b2) √du 15a3 u2(u2+a2 ) = −1 a2 u −1a 3 tan−1 ua 59) Rdu u √ au+b= √ 1 bln √ au+b− √b √ au+b+ √b q 83) Rdu u3(u2+a2 ) = −1 2a2u 2 −12a 4 ln 84) Rdu u2 u2+a2 √ 2 −btan−1 au+b −b (u2+a2) 2 = u 2a2(u2+a2 ) + 12a 3 tan−1 ua 60) Rdu bu −a 2bRdu 85) Rudu u 2√ au+b= −√au+b 61) R √au + b du = 2 √(au+b)3 3a 62) R u √au + b du =2(3au−2b) 15a2 q u √au+b (au + b)3 (u2+a2) 2 = −1 2(u2+a2) 86) Ru 2du (u2+a2) 2 =−u 2(u2+a2 ) +1 2atan−1 ua 87) Ru 3du (u2+a2) 2 = a2 2(u2+a2 ) + 1 2ln(u2 + a2) 63) Ru 2√au + b du =2(15a2u2−12ab u+8b2) 105a3 udu = 2 √ au + b + bRdu 64) R √au+b q (au + b)3 88) Rdu u(u2+a2) 2 =1 2a2(u2+a2 ) +12a 4 ln 89) Rdu u2(u2+a2) 2 = −1 a4 u −u u2 (u2+a2) 65) R √au+b u √au+b u +a 2Rdu 2a4(u2+a2 ) −3 2a 5 tan−1 ua u 2 du = −√au+b 66) Rum √ au+bdu =2um√au+b u √au+b Rum−1 90) Rdu u3(u2+a2) 2 = −1 2a4u 2 −1 2a4(u2+a2 ) −1a 6 ln R u2 u2+a2 (2m+1)a − 2mb (2m+1)a 67) Rdu √ au+bdu Rdu 91) Rdu (u2+a2) n =u 2a2(n−1)(u2+a2) n−1 +2n−3 (2n−2)a2 du (u2+a2)n−1 u m√ au+b= −√au+b (m−1)bu m−1 −(2m−3)a (2m−2)b 68) Ru m√au + bdu =2um (2m+3)a(au + b)3/2 u m−1√au+b 92) Rudu (u2+a2) n =−1 2(n−1)(u2+a2)n−1 93) Rdu R −2mb Ru m−1√au + bdu u(u2+a2) n = 1 2a2(n−1)(u2+a2) n−1 + 1a2 du u(u2+a2)n−1 69) R √au+b (2m+3)a Rdu 94) Ru mdu R R u m du = −√au+b (m−1)u m−1 + a 2(m−1) 70) R √au+b u m du =−(au+b)3/2 u m−1√au+b R √au+b 120) Rdu a2−u2 (u2+a2) 3/2 = √ −u (u2+a2) 3/2 = √u2 + a2 + a2 u2(a2−u2 ) =1 a2 u +12a 3 ln 121) Rdu u3(a2−u2 ) = − 1 a+u a−u u2 148) Ru 3du 149) Rdu √u2+a2 a 2√u2+a 2 − 1a 3 ln a+ √u2+a2 2a2u 2 + 12a 4 ln a2−u2 6 u(u2+a2) 3/2 = 1 u 150) Rdu u2(u2+a2) 3/2 = −√u2+a2 a4 u −u a 4√u2+a2 151) Rdu 2a2u 2√u2+a 2 −3 171) R √u2−a2 u 3 du = −√u2−a2 2u 2 +1 2asec−1 ua 172) Rdu (u2−a2) 3/2 = −u a 2√u2−a2 u3(u2+a2) 3/2 =−1 2a 4√u2+a2 173) Rudu +3 2a 5 ln a+ √u2+a2 u (u2−a2) 3/2 = √ −1 u2−a2 174) Ru 2du u2−a 2 + ln u + √u2 − a 2 152) R u2 + a 2 3/2 du =u(u2+a2)3/2 4 +3a2 u √u2+a2 8 + 3 8a 4 ln u + √u2 + a 2 (u2−a2) 3/2 = − √ u (u2−a2) 3/2 = √u2 − a2 −a2 175) Ru 3du √u2−a2 176) Rdu a 2√u2−a 2 − 1a 3 sec−1 ua 153) Ruu2 + a 2 3/2 du =(u2+a2)5/2 5 154) Ru2u2 + a 2 3/2 du =u(u2+a2)5/2 6 −a2u(u2+a2)3/2 24 u(u2−a2) 3/2 = −1 177) Rdu u2(u2−a2) 3/2 = −√u2−a2 a4 u − u a 4√u2−a2 178) Rdu u3(u2−a2) 3/2 =1 2a2u 2√u2−a 2 −3 2a 5 sec−1 ua −a4 u √u2+a2 16 ln u + √u2 + a 2 2a 4√u2−a 2 −3 155) R (u2+a2)3/2 16 −a6 3 + a 2√u2 + a2 179) R u2 − a 2 3/2 du =u(u2−a2)3/2 4 −3a2 u √u2−a2 udu =(u2+a2)3/2 8 − a3ln a+ √u2+a2 u + 3 8a 4 ln u + √u2 + a 2 180) Ruu2 − a 2 3/2 du =(u2−a2)5/2 156) R (u2+a2)3/2 5 u + 3u√u2+a2 u 2 du = −(u2+a2)3/2 2 181) Ru2u2 − a 2 3/2 du =u(u2−a2)5/2 6 +a2u(u2−a2)3/2 +3 2a 2 ln u + √u2 + a 2 −a4 u √u2−a2 24 16 ln u + √u2 − a 2 157) R (u2+a2)3/2 2u 2 +3 2 √u2 + a2 16 +a6 u 3 du = −(u2+a2)3/2 182) Ru3u2 − a 2 3/2 du =(u2−a2)7/2 − 3 2a ln a+ √u2+a2 u 183) R (u2−a2)3/2 7 +a2(u2−a2)5/2 5 3 − a 2√u2 − a2 + a3sec−1 ua Integrales con √u2 − a2. udu =(u2−a2)3/2 184) R (u2−a2)3/2 u + 3u√u2−a2 u 2 du = −(u2−a2)3/2 2 u2−a 2 = ln u + √u2 − a 2 158) R√du u2−a 2 = √u2 − a2 159) R√udu 185) R (u2−a2)3/2 −3 2a 2 ln u + √u2 − a 2 2u 2 + 3√u2−a2 160) Ru2 2 + a2 2ln u + √u2 − a 2 u 3 du = −(u2−a2)3/2 2 −3 2a sec−1 ua u2−a 2 = u√u2−a2 √du Integrales con √a2 − u2. 161) Ru3 3 + a 2√u2 − a2 186) R√du u2−a 2 =(u2−a2)3/2 √du u √u2−a 2 =1 asec−1u a 162) Rdu 163) Rdu a2−u 2 = sen−1 ua a2−u 2 = − √a2 − u2 187) R√udu 188) Ru2 a2−u 2 = − u√a2−u2 u 2√u2−a 2 =√u2−a2 a2u 164) Rdu 2a 3 sec−1u a √du 189) Ru3 2 +a2 2sen−1 ua 3 − a 2√a2 − u2 u 3√u2−a 2 =√u2−a2 2a2u 2 +1 2 −a2 2ln u + √u2 − a 2 165) R √u2 − a2 du = u√u2−a2 166) R u √u2 − a2 du =(u2−a2)3/2 3 167) Ru 2√u2 − a2du =u(u2−a2)3/2 4 +a2 u √u2−a2 8 −a4 8ln u + √u2 − a 2 168) Ru 3√u2 − a2 du =(u2−a2)5/2 5 +a2(u2−a2)3/2 3 udu = √u2 − a2 − a sec−1 ua 169) R √u2−a2 a2−u 2 =(a2−u2)3/2 √du 190) Rdu u √a2−u 2 = −1 aln( a+√a2−u2 u) 191) Rdu u 2√a2−u 2 = −√a2−u2 a2u 192) Rdu u 3√a2−u 2 = −√a2−u2 2a2u 2 −12a 3 ln( a+√a2−u2 u) 193) R √a2 − u2 du = u√a2−u2 2 + a2 2sen−1 ua 194) R u √a2 − u2 du = −(a2−u2)3/2 3 195) Ru 2√a2 − u2du = −u(a2−u2)3/2 4 +a2 u √a2−u2 8 + a4 8sen−1 ua 170) R √u2−a2 u + ln u + √u2 − a 2 196) Ru 3√a2 − u2 du =(a2−u2)5/2 u 2 du = −√u2−a2 5 −a2(a2−u2)32 3 7 udu = √a2 − u2 − a ln a+ √a2−u2 197) R √a2−u2 u 218) Rdu u2(au2 +bu+c) =b2c 2 ln au2+bu+c u2 −1cu 198) R √a2−u2 u 2 du = −√a2−u2 u − sen−1 ua +b2−2ac 2c2 Rdu au2+bu+c 199) R √a2−u2 u 3 du = −√a2−u2 a+ √a2−u2 219) Rdu (4ac−b2)(au2 +bu+c) +2a Rdu 2u 2 +1 2aln u 200) Rdu (au2+bu+c) 2 =2au+b 220) Rudu 4ac−b2 au2+bu+c Rdu (a2−u2) 3/2 =u a 2√a2−u2 201) Rudu (a2−u2) 3/2 = √ 1 a2−u2 202) Ru 2du (a2−u2) 3/2 = √ u (au2+bu+c) 2 = − bu+2c (4ac−b2)(au2 +bu+c) − b 4ac−b2 221) Ru 2du (au2+bu+c) 2 =(b2−2ac)u+bc a(4ac+b2)(au2 +bu+c) +2c 4ac−b2 au2+bu+c Rdu au2+bu+c a2−u 2 − sen−1 ua 222) Rdu 2c(au2 +bu+c) −b 2cRdu (a2−u2) 3/2 = √a2 − u2 + a2 203) Ru 3du √a2−u2 u(au2+bu+c) 2 =1 +1 cRdu u(au2+bu+c) (au2+bu+c)2 h 1 − u√2 1 + u√2 i sen2 (au) = −1 acot(a u) +1 tan−1 − tan−1 267) Rdu 2a sen2 (au) + 1 2aln tan au 2 2a 5√2 a a u4+a 4 =1 4ln u4 + a 4 241) Ru 3du sen3 (au) = −cos(au) 268) Rsen(pu) sen(qu)du =sen[(p−q)u] 2(p−q) −sen[(p+q)u] 242) Rdu u(u4+a4 ) =1 4a 4 ln u4 u4+a4 1−sen(au) =1 atan π 4 +au 2 269) Rdu 2(p+q) 243) Rudu 2a 2 tan−1 u2 1−sen(au) = u atan π 4 + au 2 + 2a 2 ln sen π 4 − au 2 270) Rudu u4+a 4 = 1 244) Rdu a2 2a4u 2 −12a 6 tan−1 u2 271) Rdu 1+sen(au) = −1 atan π 4 −au 2 u3(u4+a4 ) = −1 a2 272) Rudu 245) Rdu u4−a 4 = 1 4a 3 ln u−a u+a − 12a 3 tan−1 ua 1+sen(au) = −u atan π 4 −au 2 +2a 2 ln sen π 4 +au 2 (1−sen(au)) 2 =1 2atan π 4 +au 2 +1 6atan3π 4 +au 2 246) Rudu u4−a 4 =1 4a 2 ln u2−a2 u2+a2 273) Rdu 274) Rdx (1+senax) 2 = −1 2atan π 4 −ax 2 −1 6atan3π 4 −ax 2 247) Ru 2du u4−a 4 = 1 4aln 248) Ru 3du u−a u+a + 1 2atan−1 ua Integrales con cos(au). u4−a 4 =1 4ln u4 − a 4 275) Rcos(au)du =sen(au) 249) Rdu u(u4−a4 ) =1 4a 4 ln u4−a4 u4 a 276) Ru cos(au)du =cos(au) a 2 +u sen(au) 250) Rdu u2(u4−a4 ) =1 a4 u +1 4a 5 ln u−a u+a +12a 5 tan−1 ua a 277) Ru2cos(au)du =2u a 2 cos(au) + u2 a −2a3 sen(au) 251) Rdu u3(u4−a4 ) = 1 2a4u 2 + 1 4a 6 ln u2−a2 u2+a2 278) Ru3 cos(au)du = 3u2 a 2 −6a4 279) Run cos(au)du =un sen(au) cos(au)+ u3 a −6u a3 sen(au) Integrales con sen(au). 252) Rsen(au)du = −cos(au) a −n a Run−1sen(au)du 280) Runcos(au)du = −un sen(au) a +nun−1 a 2 cos(au) a 253) Ru sen(au)du =sen(au) −n(n−1) a2 Run−2cos(au)du a 2 −u cos(au) 281) Rcos2(au)du =u 2 +sen(2au) a 254) Ru2sen(au)du =2u a 2 sen(au) + a 3 −u2 2 a cos(au) 4a 282) Rcos3(au)du =sen(au) a −sen3(au) 255) Ru3 sen(au)du = 3u2 a 2 − 6a4 sen(au)+ a 3 − u3 6u a cos(au) 3a 283) Rcos4(au)du =3u 8 +sen 2(au) 4a +sen 4(au) 32a 256) Run sen(au)du = −un cos(au) a + n a Run−1cos(au)du 257) Runsen(au)du = −un cos(au) a +nun−1 a 2 sen(au) Run−2sen(au)du 284) Ru cos2(au)du =u2 4 +u sen 2(au) 4a +cos 2(au) 8a2 285) R cos(au) udu = ln u −(au)2 2·2! + (au)4 4·4! − (au)6 6·6! + . . . −n(n−1) 286) R cos(au) u − aR sen(au) a2 258) Rsen2(au)du = u 2 −sen(2au) u 2 du = −cos(au) 287) Rdu udu 4a 259) Rsen3(au)du = −cos(ax) a +cos3(au) cos(au) = 1 aln [sec(au) + tan(au)] = 1 aln tan π 4 + au 2 288) Rudu cos(au) = 3a 260) Rsen4(au)du =3u 8 −sen(2au) 4a +sen(4au) 32a o 9 = 1a2 n(au)2 2 +(au)4 8 +5(au)6 144 + . . . +E n(au)2n+2 (2n+2)(2n)! + . . . 289) Rdu cos2 (au) =tan(au) a 317) R sec 2(au) tan(au)du = 1 aln tan(au) 290) Rdu 2a cos2 (au) +1 2aln tan π 4 +au 2 318) Rdu cos3 (au) =sen(au) 291) Rcos(au) cos(pu)du =sen[(a−p)u] 2(a−p) −sen[(a+pu)] 2(a+p) 292) Rdu 1−cos(au) = −1 acot au2 293) Rudu 1−cos(au) = −u acot au 2 + 2a 2 ln sen au2 294) Rdu 1+cos(au) =1 atan au2 295) Rudu 1+cos(au) =u atan au 2 +2a 2 ln cos au2 296) Rdu (1−cos(au)) 2 = −1 2acot au 2 −1 6acot3 au2 297) Rdu (1+cos(au)) 2 =1 2atan au 2 +1 6atan3 au2 Integrales con sen(au) y cos(au). 298) Rsen(au) cos(au)du =sen2(au) 2a 299) Rsen(pu) cos(qu)du = −cos[(p−q)u] 2(p−q) −cos[(p+q)u] 2(p+q) 300) Rsenn(au) cos(au)du =senn+1(au) (n+1)a 301) Rcosn(au) sen(au)du = −cosn+1(au) (n+1)a 302) Rsen2(au) cos2(au)du = u 8 −sen 4(au) tan(au) = 1 aln sen(au) 319) Ru tan2(au)du =u tan(au) a +1a 2 ln cos(au) −u22 Integrales con cot(au). 320) Rcot(au)du =1 aln sen(au) 321) Rcot2(au)du = −cot(au) a − u 322) Rcot3(au)du = −cot2(au) 2a −1 aln sen(au) 323) Rcotn(au) csc2(au)du = −cotn+1(au) (n+1)a 324) R csc 2(au) cot(au)du = −1 aln cot(au) 325) Rdu cot(au) = −1 aln cos(au) 326) Ru cot2(au)du = −u cot(au) a +1a 2 ln sen(au) −u22 (n−1)a − Rcotn−2(au)du 327) Rcotn(au)du = −cotn−1(au) Integrales con sec(au). 328) Rsec(au)du = 1 aln [sec(au) + tan(au)] = 1 aln tan ax 2 + π 4 303) Rdu sen(au) cos(au) =1 aln [tan(au)] 304) Rdu 32a 329) Rsec2(au)du =tan(au) a sen2 (au) cos(au) = 1 aln tan π 4 + au 2 − 1 a sen(au) sen(au) cos2 (au) =1 aln tan au 2 +1 330) Rsec3(au)du =sec(au) tan(au) 2a +1 2aln [sec(au) + tan(au)] 305) Rdu 306) Rdu sen2(au) cos2 (au) = −2 cot(2au) a a cos(au) 331) Rsecn(au) tan(au)du =secn(au) na 332) Rdu sec(au) =sen(au) 307) R sen 2(au) a a +1 aln tan au 2 +π 4 cos(au)du = −sen(au) 333) Ru sec2(au)du = x atan(au) + 1a 2 ln cos(au) 308) R cos 2(au) a +1 aln tan au 2 sen(au)du =cos(au) 334) Rsecn(au)du =secn−2(au) tan(au) Rsecn−2(au)du 309) Rdu a √ 2ln tan au 2 ±π 8 a(n−1) +n−2 sen(au)±cos(au) =1 310) R sen(au)du sen(au)±cos(au) =x 2 ∓ 1 2aln [sen(au) ± cos(au)] n−1 Integrales con csc(au). 311) R cos(au)du sen(au)±cos(au) = ±x 2 +1 2aln [sen(au) ± cos(au)] u 2 du = −ln u 363) R cot −1(u/a) u 2 du = −cot−1(u/a) u + 1 2aln 364) Rum sen−1(u/a)du =um+1 u2+a2 u2 Rum+1 u −1u 387) Rln2udu = u ln2u − 2u ln u + 2u 388) Rln n udu m+1 sen−1(u/a)−1 m+1 365) Rum cos−1(u/a)du =um+1 m+1 cos−1(u/a)+ 1 m+1 366) Rum tan−1(u/a)du =um+1 m+1 tan−1(u/a) −a √a2−u 2 du Rum+1 √a2−u 2 du Rum+1 u2+a 2 du u =lnn+1 u n+1 389) Rdu u ln u = ln (ln u) 390) Rln u2 + a 2 du = u ln u2 + a 2 − 2u + 2a arctan ua m+1 367) Rum cot−1(u/a)du =um+1 Rum+1 391) Rln u2 − a 2 du = u ln u2 − a 2 − 2u + a ln u+a m+1 cot−1(u/a) + a m+1 u2+a 2 du 11 u−a Integrales con senh(au). 392) Rsenh(au)du =cosh(au) a 393) Ru senh(au)du =u cosh(au) a −senh(au) Integrales con cosh(au). 406) Rcosh(au)du =senh(au) a 407) Ru cosh(au)du =u senh(au) a −cosh(au) a2 394) Ru2 senh(au)du = u2 408) Ru2cosh(au)du = −2u cosh(au) a2 u2 cosh(au) −2u a 2 senh(au) 395) R senh(au) a +2a3 senh(au) 409) R cosh(au) a 2 + a +2a3 udu = au +(au)3 3·3! + (au)5 5·5! + . . . udu = ln u +(au)2 2·2! + (au)4 4·4! + (au)6 6·6! + . . . 396) R senh(au) u + aR cosh(au) 410) R cosh(au) u + aR senh(au) u 2 du = −senh(au) senh(au) =1 aln tanh au 2 397) Rdu udu u 2 du = −cosh(au) 411) Rdu cosh(au) =2 atan−1eau udu 398) Rsenh2(au)du =senh(au) cosh(au) 2a − u2 412) Rcosh2(au)du = u 2 +senh(au) cosh(au) 2a 399) Ru senh2(au)du =u senh(2au) 8a 2 −u24 413) Ru cosh2(au)du =u2 4 +u senh(2au) 4a −cosh(2au) 400) Rdu senh2 (au) = −coth(au) a 4a −cosh(2au) 8a2 414) Rdu cosh2 (au) =tanh(au) a 401) Rsenh(au) senh(pu)du =senh[(a+p)u] 2(a+p) −senh[(a−p)u] 2(a−p) 402) Rum senh(au)du =um cosh(au) a −m a Rum−1cosh(au)du 415) Rcosh(au) cosh(pu)du =senh[(a−pu)] 2(a−p) +senh[(a+p)u] 2(a+p) 416) Rum cosh(au)du =um senh(au) a −m a Rum−1senh(au)du 403) Rsenhn(au)du =senhn−1(au) cosh(au) an −n−1 n Rsenhn−2(au)du 417) Rcoshn(au)du =coshn−1(au) senh(au) an +n−1 n Rcoshn−2(au)du 404) R senh(au) u n du =− senh(au) (n−1)u n−1 + a n−1 405) Rdu senhn (au) =− cosh(au) R cosh(au) u n−1 du Rdu 418) R cosh(au) u n du =− cosh(au) (n−1)u n−1 + a n−1 419) Rdu coshn (au) =senh(au) R senh(au) u n−1 du Rdu a(n−1) senhn−1 (au) − n−2 n−1 senhn−2(au) coshn−2(au) 12 a(n−1) coshn−1 (au) + n−2 n−1