Formulario_ Integrales. Derivadas. Geometría analítica, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Formulario_ Integrales. Derivadas. Geometría analítica y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Formulario a ➟ integrales 277 AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán ➠ Formulario A: Integrales En este formulario: ∈a b p q C, , , , son constantes reales, N∈m n, son enteros positivos y =u u x( ) y =v v x( ) son funciones que dependen x. Fórmulas básicas 1. ∫ =dx C0 2. ∫ = +k dx kx C 3. a u b v dx a udx b vdx C∫ ∫∫( )⋅ ± ⋅ = ± + 4. ∫ = + + ∀ ≠ − + u du u n C n 1 ; 1n n 1 regla de la potencia 5. ∫ ∫= −u dv uv vdu integración por partes 6. ∫ = +a du a a C ln( ) n n 7. ∫ = + du u u Cln | | 8. ∫ = +e dx e Cu u Fórmulas trigonométricas 9. ∫ = − +u du u Csen( ) cos( ) 10. ∫ = +u du u Ccos( ) sen( ) 11. u du u C u C tan( ) ln sen( ) ln cos( )∫ [ ] [ ] = + − +     12. ∫ [ ]= +u du u Ccot( ) ln sen( ) 13. ∫ π [ ] = + + +        +       u du u u C u C sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan 2 4 14. ∫ [ ] = − +         +       u du u u C u C csc( ) ln csc( ) cot( ) ln tan 2 15. ∫ = +u du u Csec ( ) tan( )2 16. ∫ = − +u du u Ccsc ( ) cot( )2 17. ∫ = − +u du u u Ctan ( ) tan( )2 18. ∫ = − − +u du u u Ccot ( ) cot( )2 19. ∫ [ ] = − + − +       u du u u C u u u C sen ( ) 2 sen(2 ) 4 1 2 sen( )cos( ) 2 20. ∫ [ ] = + + + +       u du u u C u u u C cos ( ) 2 sen(2 ) 4 1 2 sen( )cos( ) 2 21. ∫ = +u u du u Csec( ) tan( ) sec( ) 22. ∫ = − +u u du c Ccsc( )cot( ) csc( ) Fórmulas trigonométricas hiperbólicas 23. ∫ = +u du u Csenh( ) cosh( ) 24. ∫ = +u du u Ccosh( ) senh( ) 25. ∫ [ ]= +u du u Ctanh( ) ln cosh( ) 26. ∫ [ ]= +u du u Ccoth( ) ln senh( ) 27. ∫ ( ) [ ] = + +     − − u du u C e C sech( ) sen tanh( ) 2 tanh u 1 1 28. ∫ ( ) =         + − +       − u du u C e C csch( ) ln tanh 2 2coth u1 29. ∫ = +u du u Csech ( ) tanh( )2 30. ∫ = − +u du u Ccsch ( ) coth( )2 31. ∫ = − +u du u u Ctanh ( ) tanh( )2 32. ∫ = − +u du u u Ccoth ( ) coth( )2 33. ∫ [ ] = − + − +       u du u u C u u u C senh ( ) senh(2 ) 4 2 1 2 senh( )cosh( ) 2 34. ∫ [ ] = + + + +       u du u u C u u u C cosh ( ) senh(2 ) 4 2 1 2 senh( )cosh( ) 2 35. ∫ = − +u u du u Csech( ) tanh( ) sech( ) 36. ∫ = − +u u du u Ccsch( )coth( ) csch( ) Formulario a ➟ integrales Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 278 Fórmulas con 56. ∫ + = + + du au b au b a C2 57. ∫ + = − + + u au b du au b a au b C2( 2 ) 3 2 58. ∫ + = − + + + u au b du a u abu b a au b C2(3 4 8 ) 15 2 2 2 2 3 59. ∫ + = + − + +     + − + − +        − du u au b b au b b au b b C b au b b C 1 ln 2 tan 1 60. ∫ ∫+ = − + − + du u au b au b bu a b du u au b22 61. ∫ + = + +au b du au b a C2 ( ) 3 3 62. ∫ + = − + +u au b du au b a au b C2(3 2 ) 15 ( )2 3 63. ∫ + = − + + +u au b du a u abu b a au b C2(15 12 8 ) 105 ( )2 2 2 2 3 3 64. ∫ ∫ + = + + + au b u du au b b du u au b 2 65. ∫ ∫ + = − + + + au b u du au b u a du u au b22 66. ∫ ∫+ = + + − + + −u au b du u au b m a mb m a u au b du2 (2 1) 2 (2 1) m m m 1 67. ∫∫ + = − + − − − − +− − du u au b au b m bu m a m b du u au b( 1) (2 3) (2 2)m m m1 1 68. ∫∫ + = + + − + +−u au b du u m a au b mb m a u au bdu2 (2 3) ( ) 2 (2 3) m m m 3 2 1 69. ∫∫ + = − + − + − +− − au b u du au b m u a m du u au b( 1) 2( 1)m m m1 1 70. ∫∫ + = − + − − − − + − − au b u du au b m bu m a m b au b u du( ) ( 1) (2 5) (2 2)m m m 3 2 1 1 71. ∫ + = + + + + au b du au b a m C( ) 2( ) ( 2) m m 2 2 2 72. ∫ + = + + − + + + + + u au b du au b a m b au b a m C( ) 2( ) ( 4) 2 ( ) ( 2) m m m 2 4 2 2 2 2 2 73. ∫ + = + + − + + + + + + + + + u au b du au b a m b au b a m b au b a m C( ) 2( ) ( 6) 4 ( ) ( 4) 2 ( ) ( 2) m m m m 2 2 6 2 3 4 2 3 2 2 2 3 ∫ + = + + − + + + + + + + + + u au b du au b a m b au b a m b au b a m C( ) 2( ) ( 6) 4 ( ) ( 4) 2 ( ) ( 2) m m m m 2 2 6 2 3 4 2 3 2 2 2 3 Fórmulas con 37. ∫ ( ) + = + + du au b a au b C1 ln 38. ∫ ( ) + = − + + u au b du u a b a au b Cln2 39. ∫ ( ) + = + − + + + + u au b du au b a b au b a b a au b C( ) 2 2 ( ) ln 2 2 3 3 2 3 40. ∫ + = + − + + + − + + u au b du au b a b au b a b au b a b a au b C( ) 3 3 ( ) 2 3 ( ) ln( ) 3 3 4 2 4 2 4 3 4 ∫ + = + − + + + − + + u au b du au b a b au b a b au b a b a au b C( ) 3 3 ( ) 2 3 ( ) ln( ) 3 3 4 2 4 2 4 3 4 41. ∫ + = +     + du u au b b u au b C ( ) 1 ln 42. ∫ + = − + +    + du u au b bu a b au b u C ( ) 1 ln2 2 43. ∫ + = − + + du au b a au b C ( ) 1 ( )2 44. ∫ + = + + + + u au b du b a au b a au b C ( ) ( ) 1 ln( )2 2 2 45. ∫ + = + − + − + + u au b du au b a b a au b b a au b C ( ) ( ) 2 ln( ) 2 2 3 2 3 3 46. ∫ + = + + +     + du u au b b au b b u au b C ( ) 1 ( ) 1 ln2 2 47. ∫ + = − + − + +    + du u au b a b au b b u a b au b u C ( ) ( ) 1 2 ln2 2 2 2 3 48. ∫ + = − + + du au b au b C ( ) 1 2( )3 2 49. ∫ + = − + + + + u au b du a au b b a au b C ( ) 1 ( ) 2 ( )3 2 2 2 50. ∫ + = + − + + + + u au b du b a au b b a au b a au b C ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ln( ) 2 3 3 2 3 2 3 51. ∫ + = + +au b du au b a C( ) ( ) 2 2 52. ∫ + = + + + ∀ ≠ − + au b du au b n a C n( ) ( ) ( 1) 1n n 1 53. ∫ + = + + − + + ∀ ≠ − − + + u au b du au b n a b au b n a n( ) ( ) ( 2) ( ) ( 1) 1, 2 n n n2 2 1 2 54. ∫ + = + + − + + + + + + ∀ ≠ − − − + + + u au b du au b n a b au b n a b au b n a C n( ) ( ) ( 3) 2 ( ) ( 2) ( ) ( 1) 1, 2, 3n n n n 2 3 3 2 3 2 1 3 ∫ + = + + − + + + + + + ∀ ≠ − − − + + + u au b du au b n a b au b n a b au b n a C n( ) ( ) ( 3) 2 ( ) ( 2) ( ) ( 1) 1, 2, 3n n n n 2 3 3 2 3 2 1 3 55. ∫ ∫ ∫ ∫ + = + + + + + + + + + + − + + + − + + + + + + +           + − + − + + + u au b du u au b m n nb m n u au b du u au b m n a mb m n a u au b du u au b n b m n n b u au b du ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) 2 ( 1) ( ) m n m n m n m n m n m n m n 1 1 1 1 1 1 1 Formulario a ➟ integrales 281 AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 144. ∫ + = − + − + +      + u a u du u a u a a u a u C 2 1 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 2 145. ∫ ( )+ = + + du u a u a u a C 2 2 3 2 2 2 2 146. ∫ ( )+ = − + + u u a du u a C1 2 2 3 2 2 2 147. ∫ ( ) ( )+ = − + + + + + u u a du u u a u u a Cln 2 2 2 3 2 2 2 2 2 148. ∫ ( )+ = + + + + u u a du u a a u a C 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 149. ∫ ( )+ = + − + +      + du u u a a u a a a u a u C1 1 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 150. ∫ ( )+ = − + − + + du u u a u a a u u a u a C 2 2 2 3 2 2 2 4 4 2 2 151. ∫ ( )+ = − + − + + + +      + du u u a a u u a a u a a a u a u C1 2 3 2 3 2 ln 3 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 5 2 2 ∫ ( )+ = − + − + + + +      + du u u a a u u a a u a a a u a u C1 2 3 2 3 2 ln 3 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 5 2 2 152. ∫ ( )( ) ( ) + = + + + + + + +u a du u u a a u u a a u u a C 4 3 8 3 8 ln2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 ∫ ( )( ) ( ) + = + + + + + + +u a du u u a a u u a a u u a C 4 3 8 3 8 ln2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 153. ∫ ( ) ( ) + = + +u u a du u a C 5 2 2 3 2 2 2 5 2 154. ∫ ( )( ) ( ) ( ) + = + − + − + − + + +u u a du u u a a u u a a u u a a u u a C 6 24 16 16 ln2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 2 2 ∫ ( )( ) ( ) ( ) + = + − + − + − + + +u u a du u u a a u u a a u u a a u u a C 6 24 16 16 ln2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 2 2 155. ∫ ( ) ( )+ = + + + − + +      + u a u du u a a u a a a u a u C 3 ln 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 156. ∫ ( )( ) ( )+ = − + + + + + + + u a u du u a u u u a a u u a C3 2 3 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ∫ ( )( ) ( )+ = − + + + + + + + u a u du u a u u u a a u u a C3 2 3 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 157. ∫ ( ) ( )+ = − + + + − + +      + u a u du u a u u a a a u a u C 2 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ∫ ( ) ( )+ = − + + + − + +      + u a u du u a u u a a a u a u C 2 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 Fórmulas con 158. ∫ ( ) − = + − + du u a u u a Cln 2 2 2 2 159. ∫ − = − + u u a du u a C 2 2 2 2 160. ∫ ( ) − = − + + − + u u a du u u a a u u a C 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 161. ∫ ( ) − = − + − + u u a du u a a u a C 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 162. ∫ − =     +−du u u a a u a C1 sec 2 2 1 163. ∫ − = − + du u u a u a a u C 2 2 2 2 2 2 164. ∫ − = − +     +−du u u a u a a u a u a C 2 1 2 sec 3 2 2 2 2 2 2 3 1 165. ∫ ( )− = − − + − +u a du u u a a u u a C 2 2 ln2 2 2 2 2 2 2 166. ∫ ( ) − = − +u u a du u a C 3 2 2 2 2 3 2 167. ∫ ( )( ) − = − + − − + − +u u a du u u a a u u a a u u a C 4 8 8 ln2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 ∫ ( )( ) − = − + − − + − +u u a du u u a a u u a a u u a C 4 8 8 ln2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 168. ∫ ( ) ( ) − = − + − +u u a du u a a u a C 5 3 3 2 2 2 2 5 2 2 2 3 2 169. ∫ − = − −     +−u a u du u a a u a Csec 2 2 2 2 1 170. ∫ ( )− = − − + + − + u a u du u a u u u a Cln 2 2 2 2 2 2 2 171. ∫ − = − − +     +−u a u du u a u a u a C 2 1 2 sec 2 2 3 2 2 2 1 172. ∫ ( )− = − − + du u a u a u a C 2 2 3 2 2 2 2 Formulario a ➟ integrales Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 282 173. ∫ ( )− = − − + u u a du u a C1 2 2 3 2 2 2 174. ∫ ( ) ( )− = − − + + − + u u a du u u a u u a Cln 2 2 2 3 2 2 2 2 2 175. ∫ ( )− = − − − + u u a du u a a u a C 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 176. ∫ ( )− = − − −     +−du u u a a u a a u a C1 1 sec 2 2 3 2 2 2 2 3 1 177. ∫ ( )− = − − − − + du u u a u a a u u a u a C 2 2 2 3 2 2 2 4 4 2 2 178. ∫ ( )− = − − − −     +−du u u a a u u a a u a a u a C1 2 3 2 3 2 sec 3 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 5 1 179. ∫ ( )( )− = − −    − − + − +u a du u u a u a a u u a C2 1 8 5 16 3 8 ln2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 ∫ ( )( )− = − −    − − + − +u a du u u a u a a u u a C2 1 8 5 16 3 8 ln2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 180. ∫ ( ) ( ) − = − +u u a du u a C 5 2 2 3 2 2 2 5 2 181. ∫ ( )( ) ( ) ( ) − = − + − − − + + − +u u a du u u a a u u a a u u a a u u a C 6 24 16 16 ln2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 2 2 ∫ ( )( ) ( ) ( ) − = − + − − − + + − +u u a du u u a a u u a a u u a a u u a C 6 24 16 16 ln2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 2 2 182. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − + − +u u a du u a a u a C 7 5 3 2 2 3 2 2 2 7 2 2 2 2 5 2 183. ∫ ( ) ( )− = − − − +     +−u a u du u a a u a a u a C 3 sec 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 1 184. ∫ ( )( ) ( )− = − − + − − + − + u a u du u a u u u a a u u a C3 2 3 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ∫ ( )( ) ( )− = − − + − − + − + u a u du u a u u u a a u u a C3 2 3 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 185. ∫ ( ) ( )− = − − + − −     +−u a u du u a u u a a u a C 2 3 2 3 2 sec 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 1 Fórmulas con 186. ∫ − =     +−du a u u a Csen 2 2 1 187. ∫ − = − − + u a u du a u C 2 2 2 2 188. ∫ − = − − +     +−u a u du u a u a u a C 2 2 sen 2 2 2 2 2 2 1 189. ∫ ( ) − = − − − + u a u du a u a a u C 3 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 190. ∫ − = − + −      + du u a u a a a u u C1 ln 2 2 2 2 191. ∫ − = − − + du u a u a u a u C 2 2 2 2 2 2 192. ∫ − = − − − + −      + du u a u a u a u a a a u u C 2 1 2 ln 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 193. ∫ − = − +     +−a u du u a u a u a C 2 2 sen2 2 2 2 2 1 194. ∫ ( ) − = − − +u a u du a u C 3 2 2 2 2 3 2 195. ∫ ( ) − = − − + − +     +−u a u du u a u a u a u a u a C 4 8 8 sen2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 4 1 196. ∫ ( ) ( ) − = − − − +u a u du a u a a u C 5 3 3 2 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 197. ∫ − = − − + −      + a u u du a u a a a u u Cln 2 2 2 2 2 2 198. ∫ − = − − −     +−a u u du a u u u a Csen 2 2 2 2 2 1 199. ∫ − = − − + + −      + a u u du a u u a a a u u C 2 1 2 ln 2 2 3 2 2 2 2 2 200. ∫ ( )− = − + du a u u a a u C 2 2 3 2 2 2 2 201. ∫ ( )− = − + u a u du a u C1 2 2 3 2 2 2 202. ∫ ( )− = − −     +−u a u du u a u u a Csen 2 2 2 3 2 2 2 1 203. ∫ ( )− = − + − + u a u du a u a a u C 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 204. ∫ ( )− = − − + −      + du u a u a a u a a a u u C1 1 ln 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 205. ∫ ( )− = − − + − + du u a u a u a u u a a u C 2 2 2 3 2 2 2 4 4 2 2 Formulario a ➟ integrales 283 AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 206. ∫ ( )− = − − + − − + −      + du u a u a u a u a a u a a a u u C1 2 3 2 3 2 ln 3 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 5 2 2 ∫ ( )− = − − + − − + −      + du u a u a u a u a a u a a a u u C1 2 3 2 3 2 ln 3 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 5 2 2 207. ∫ ( ) ( ) − = − + − +     +a u du u a u a u a u a u a C 4 3 8 3 8 sen2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 4 208. ∫ ( ) ( ) − = − − +u a u du a u C 5 2 2 3 2 2 2 5 2 209. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − − + − + − +     +−u a u du u a u a u a u a u a u a u a C 6 24 16 16 sen2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 1 ∫ ( ) ( ) ( ) − = − − + − + − +     +−u a u du u a u a u a u a u a u a u a C 6 24 16 16 sen2 2 2 3 2 2 2 5 2 2 2 2 3 2 4 2 2 6 1 210. ∫ ( ) ( ) ( ) − = − − − +u a u du a u a a u C 7 5 3 2 2 3 2 2 2 7 2 2 2 2 5 2 211. ∫ ( ) ( )− = − + − − + −      + a u u du a u a a u a a a u u C 3 ln 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 ∫ ( ) ( )− = − + − − + −      + a u u du a u a a u a a a u u C 3 ln 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 212. ∫ ( ) ( )− = − − − − +     + a u u du a u u u a u a u a C3 2 3 2 sen 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 213. ∫ ( ) ( )− = − − − − + + −      + a u u du a u u a u a a a u u C 2 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ∫ ( ) ( )− = − − − − + + −      + a u u du a u u a u a a a u u C 2 3 2 3 2 ln 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 Fórmulas con 214. ∫ + + = − + −     + − + − − + + −       +         − du au bu c ac b au b ac b C b ac au b b ac au b b ac C 2 4 tan 2 4 1 4 ln 2 4 2 4 2 2 1 2 2 2 2 215. ∫∫ ( ) + + = + + − + + u au bu c du a au bu c b a du au bu c 1 2 ln 22 2 2 216. ∫∫ ( ) + + = − + + + − + + u au bu c du u a b a au bu c b ac a du au bu c2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫∫ ( ) + + = − + + + − + + u au bu c du u a b a au bu c b ac a du au bu c2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 217. ∫∫ ( )+ + = + +     − + + du u au bu c c u au bu c b c du au bu c 1 2 ln 22 2 2 2 218. ∫ ∫( )+ + = + +    − + − + + du u au bu c b c au bu c u cu b ac c du au bu c2 ln 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫( )+ + = + +    − + − + + du u au bu c b c au bu c u cu b ac c du au bu c2 ln 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 219. ∫∫ ( ) ( )( )+ + = + − + + + − + + du au bu c au b ac b au bu c a ac b du au bu c 2 4 2 42 2 2 2 2 2 ∫∫ ( ) ( )( )+ + = + − + + + − + + du au bu c au b ac b au bu c a ac b du au bu c 2 4 2 42 2 2 2 2 2 220. ∫∫ ( ) ( )( )+ + = − + − + + − − + + u au bu c du bu c ac b au bu c b ac b du au bu c 2 4 42 2 2 2 2 2 ∫∫ ( ) ( )( )+ + = − + − + + − − + + u au bu c du bu c ac b au bu c b ac b du au bu c 2 4 42 2 2 2 2 2 221. ∫∫ ( ) ( ) ( )( )+ + = − + + + + + − + + u au bu c du b ac u bc a ac b au bu c c ac b du au bu c 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫∫ ( ) ( ) ( )( )+ + = − + + + + + − + + u au bu c du b ac u bc a ac b au bu c c ac b du au bu c 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 222. ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ + = + + − + + + + + du u au bu c c au bu c b c du au bu c c du u au bu c 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ + = + + − + + + + + du u au bu c c au bu c b c du au bu c c du u au bu c 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 223. ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ + = − + + − + + − + + du u au bu c cu au bu c a c du au bu c b c du u au bu c 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ + = − + + − + + − + + du u au bu c cu au bu c a c du au bu c b c du u au bu c 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 224. ∫∫ ∫( )+ + = − − + + − + + − − −u au bu c du u a m c a u au bu c du b a u au bu c du 1 m m m m 2 1 2 2 1 2 ∫∫ ∫( )+ + = − − + + − + + − − −u au bu c du u a m c a u au bu c du b a u au bu c du 1 m m m m 2 1 2 2 1 2 225. ∫ ∫∫( ) ( ) ( )( )+ + = − − − + + − + +− − − du u au bu c c n u b c du u au bu c a c du u au bu c 1 1n n n n2 1 1 2 2 2 ∫ ∫∫( ) ( ) ( )( )+ + = − − − + + − + +− − − du u au bu c c n u b c du u au bu c a c du u au bu c 1 1n n n n2 1 1 2 2 2 Fórmulas con 226. ∫ ( ) + = + − +       + −    +−du u a a a u u au a a u a a C1 6 ln 1 3 tan 2 33 3 2 2 2 2 2 1 227. ∫ ( )+ = − + +       + −    +−u u a du a u au a u a a u a a C1 6 ln 1 3 tan 2 33 3 2 2 2 1 228. ∫ ( ) + = + + u u a du u a C1 3 ln 2 3 3 3 3 Formulario a ➟ integrales Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 286 291. ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − − + + + ≠au bu du a b u a b a b u a b C a bcos cos sen 2 sen 2 292. ∫ ( )− = −     + du au a au C 1 cos 1 cot 2 293. ∫ ( )− = −     +         + u au du u a au a au C 1 cos cot 2 2 ln sen 22 294. ∫ ( )+ =     + du au a au C 1 cos 1 tan 2 295. ∫ ( )+ =     +         + u au du u a au a au C 1 cos tan 2 2 ln cos 22 296. ∫ ( )( )− = −     −     + du au a au a au C 1 cos 1 2 cot 2 1 6 cot 22 3 297. ∫ ( )( )+ =     +     + du au a au a au C 1 cos 1 2 tan 2 1 6 tan 22 3 Fórmulas con 298. ∫ ( ) ( ) ( )= +au au du au a Csen cos sen 2 2 299. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − −  − − +  + +pu qu du p q u p q p q u p q Csen cos cos 2 cos 2 300. ∫ ( ) ( ) ( ) ( )= + + + au au du au a n Csen cos sen 1 n n 1 301. ∫ ( ) ( ) ( ) ( )= − + + + au au du au a n Ccos sen cos 1 n n 1 302. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au au du u au a Csen cos 8 sen 4 32 2 2 303. ∫ ( ) ( ) ( )=   + du au au a au C sen cos 1 ln tan 304. ∫ π ( ) ( ) ( )= +        − + du au au a au a au C sen cos 1 ln tan 4 2 1 sen2 305. ∫ ( ) ( ) ( )=         + + du au au a au a au C sen cos 1 ln tan 2 1 cos2 306. ∫ ( ) ( ) ( )= − + du au au au a C sen cos 2cot 2 2 2 307. ∫ π( ) ( ) ( )= − + +        + au au du au a a au Csen cos sen 1 ln tan 4 2 2 308. ∫ ( ) ( ) ( )= +         + au au du au a a au Ccos sen cos 1 ln tan 2 2 309. ∫ π ( ) ( )± = ±        + du au au a au C sen cos 1 2 ln tan 8 2 310. ∓∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± = ±  + au au au du u a au au Csen sen cos 2 1 2 ln sen cos 311. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± = ±  ± + au au au du a au au u Ccos sen cos 1 2 ln sen cos 2 Fórmulas con 312. ∫ ( ) ( ) ( ) = −   +   +       au du a au C a au C tan 1 ln cos 1 ln sec 313. ∫ ( ) ( )= − +au du au a u Ctan tan2 314. ∫ ( ) ( ) ( )= +   +au du au a a au Ctan tan 2 1 ln cos3 2 315. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )= − − − −au du au a n au dutan tan 1 tann n n 1 2 316. ∫ ( ) ( ) ( ) ( )= + + + au au du au a n Ctan sec tan 1 n n 2 1 317. ∫ ( ) ( ) ( )=   + au au du a au Csec tan 1 ln tan 2 318. ∫ ( ) ( )=   + du au a au C tan 1 ln sen 319. ∫ ( ) ( ) ( )= +   − +u au du u au a a au u Ctan tan 1 ln cos 2 2 2 2 Fórmulas con 320. ∫ ( ) ( )=   +au du a au Ccot 1 ln sen 321. ∫ ( ) ( )= − − +au du au a u Ccot cot2 322. ∫ ( ) ( ) ( )= − −   +au du au a a au Ccot cot 2 1 ln sen3 2 323. ∫ ( ) ( ) ( ) ( )= − + + − au au du au a n Ccot csc cot 1 n n 2 1 324. ∫ ( ) ( ) ( )= −   + au au du a au Ccsc cot 1 ln cot 2 Formulario a ➟ integrales 287 AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 325. ∫ ( ) ( )= −   + du au a au C cot 1 ln cos 326. ∫ ( ) ( ) ( )= − +   − +u au du u au a a au u Ccot cot 1 ln sen 2 2 2 2 327. ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )= − − − − −au du au a n au ducot cot 1 cotn n n 1 2 Fórmulas con 328. ∫ π( ) ( ) ( ) = +  + +        +        au du a au au C a au C sec 1 ln sec tan 1 ln tan 4 2 329. ∫ ( ) ( )= +au du au a Csec tan2 330. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + +  +au du au au a a au au Csec sec tan 2 1 2 ln sec tan3 331. ∫ ( ) ( ) ( )= +au au du au an Csec tan secn n 332. ∫ ( ) ( )= + du au au a C sec sen 333. ∫ ( ) ( ) ( )= +   +u au du u a au a au Csec tan 1 ln cos2 2 334. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + − − − −au du au au a n n n au dusec sec tan 1 2 1 secn n n 2 2 Fórmulas con 335. ∫ ( ) ( ) ( ) = −  +         +        au du a au au C a au C csc 1 ln csc cot 1 ln tan 2 336. ∫ ( ) ( )= − +au du au a Ccsc cot2 337. ∫ ( ) ( ) ( )= − +         +au du au au a a au Ccsc csc cot 2 1 2 ln tan 2 3 338. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au au du au na Ccsc cot cscn n 339. ∫ ( ) ( )= − + du au au a C csc cos 340. ∫ ( ) ( ) ( )= − +   +u au du u au a a au Ccsc cot 1 ln sen2 2 341. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − + − − − −au du au au a n n n au ducsc csc cot 1 2 1 cscn n n 2 2 Fórmulas con funciones trigonométricas inversas 342. ∫     =     + − +− −u a du u u a a u Csen sen1 1 2 2 343. ∫     = −         + − +− −u u a du u a u a u a u Csen 2 4 sen 4 1 2 2 1 2 2 344. ∫ ( )    =     + + − +− −u u a du u u a u a a u Csen 3 sen 2 9 2 1 3 1 2 2 2 2 345. ∫     = +     ⋅ ⋅ + ⋅     ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − u a u du u a u a u a u a sen 2 3 3 1 3 2 4 5 5 1 3 5 2 4 6 7 7 1 3 5 7 346. ∫     = −     − + −        + − −u a u du u a u a a a u u C sen sen 1 ln 1 2 1 2 2 347. ∫         =         − + −     +− − −u a dx u u a u a a u a Csen sen 2 2 sen1 2 1 2 2 2 1 348. ∫     =     − − +− −u a du u u a a u Ccos cos1 1 2 2 349. ∫     = −         − − +− −u u a du u a u a u a u Ccos 2 4 cos 4 1 2 2 1 2 2 350. ∫ ( )( )    =     − − − +− −u u a du u u a u a a u Ccos 3 cos 2 9 2 1 3 1 2 2 2 2 351. ∫ ∫ π ( )     = −     − −u a u du u u a u du cos 2 ln sen1 1 352. ∫     = −     + + −      + − −u a u du u a u a a a u u C cos cos 1 ln 1 2 1 2 2 353. ∫         =         − − −     +− − −u a du u u a u a u u a Ccos cos 2 2 cos1 2 1 2 2 2 1 354. ∫ ( )    =     − + +− −u a du u u a a u a Ctan tan 2 ln1 1 2 2 Formulario a ➟ integrales Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 288 355. ∫ ( )    = +     − +− −u u a du u a u a au Ctan 1 2 tan 2 1 2 2 1 356. ∫ ( )    =     − + + +− −u u a du u u a au a u a Ctan 3 tan 6 6 ln2 1 3 1 2 3 2 2 357. ∫     = −     +     −     + ⋅ ⋅ ⋅ − u a u du u a u a u a u a tan 3 5 7 1 3 2 5 2 7 2 358. ∫     = −     − +    + − − u a u du u a u a a u a u C tan tan 1 2 ln 1 2 1 2 2 2 359. ∫ ( )    =     + + +− −u a du u u a a u a Ccot cot 2 ln1 1 2 2 360. ∫ ( )    = +     + +− −u u a du u a u a au Ccot 1 2 cot 2 1 2 2 1 361. ∫ ( )    =     + − + +− −u u a du u u a au a u a Ccot 3 cot 6 6 ln2 1 3 1 2 3 2 2 362. ∫ ∫ π ( )     = −     − −u a u du u u a u du cot 2 ln tan1 1 363. ∫     = −     + +    + − −u a u du u a u a u a u C cot cot 1 2 ln 1 2 1 2 2 2 364. ∫∫     = +     − + − − + − + u u a du u m u a m u a u dusen 1 sen 1 1 m m m 1 1 1 1 2 2 365. ∫∫     = +     + + − − + − + u u a du u m u a m u a u ducos 1 cos 1 1 m m m 1 1 1 1 2 2 366. ∫ ∫    = +     − + + − + − + u u a du u m u a a m u u a dutan 1 tan 1 m m m 1 1 1 1 2 2 367. ∫∫     = +     + + + − + − + u u a du u m u a a m u u a ducot 1 cot 1 m m m 1 1 1 1 2 2 Fórmulas con 368. ∫ = +e du e a Cau au 369. ∫ = −    +ue du e a u a C1au au 370. ∫ = − +    +u e du e a u u a a C2 2au au 2 2 2 371.  ∫ ∫ ( ) ( )= − − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + −      + ∀ =        − − −u e du u e a n a u e du e a u nu a n n u a n a C n1 1 ! n au n au n au au n n n n n 1 1 2 2  ∫ ∫ ( ) ( )= − − + − + ⋅ ⋅ ⋅ −      + ∀ =        − − −u e du u e a n a u e du e a u nu a n n u a n a C n1 1 ! n au n au n au au n n n n n 1 1 2 2 372. ∫ ( ) ( ) ( )= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ e u du u au au auln 1 1! 2 2! 3 3! au 2 3 373. ∫∫ ( )= − − + −− − e u du e n u a n e u du 1 1 au n au n au n1 1 374. ∫ ( ) + = − + + du p pe u p ap p qe C1 lnau au 375. ∫ ( ) ( ) ( ) + = + + − + + du p qe u p ap p qe ap p qe C1 1 ln au au au 2 2 2 376. ∫ + =     + − − − + −             +            − − du pe qe a pq p q e C a pq e q p e q p C 1 tan 1 2 ln au au au au au 1 377. ∫ ( ) ( ) ( ) = −  − +e bu du e a bu b bu a b Csen sen cosau au 2 2 378. ∫ ( ) ( ) ( ) = +  + +e bu du e a bu b bu a b Ccos cos senau au 2 2 379. ∫ ∫( ) ( )= −e u du e u a a e u duln ln 1au au au Fórmulas con 380. ∫ ( ) ( )= − +u du u u u Cln ln 381. ∫ ( ) ( ) ( )  =   − + +u du u u u u u Cln ln 2 ln 2 2 2 382. ∫ ∫( ) ( ) ( )  =   −   − u du u u n u duln ln lnn n n 1 383. ∫ ( ) ( )= −    +u u du u u Cln 2 ln 1 2 2 384. ∫ ( ) ( )= + − +     + + u u du u m u m Cln 1 ln 1 1 m m 1 385. ∫ ( ) ( )= + u u du u Cln 1 2 ln2 Formulario B ➟ DerivaDas 291 AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán ➠ Formulario B: Derivadas En este formulario: c es una constante real, f g, y u son funciones derivables en x . FÓRMULAS GENERALES 1. ( ) = d dx c 0 2. ( ) ( )= d dx cf x c d dx f x( ) ( ) 3. [ ]± = ′ ± ′ d dx f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ) 4. [ ] = ′ + ′ d dx f x g x f x g x g x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. [ ]       = ′ − ′d dx f x g x g x f x f x g x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6. ( )  = ′ d dx f u f u du dx ( ) 7. ( ) = −d dx u nu du dx n n 1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. ( ) =d dx x xsen cos 9. ( ) = −d dx x xcos sen 10. ( ) =d dx x xtan sec2 11. ( ) = −d dx x xcot csc2 12. ( ) =d dx x x xsec sec tan 13. ( ) = −d dx x x xcsc csc cot 14. ( ) = d dx u u du dx sen cos 15. ( ) = − d dx u u du dx cos sen 16. ( ) = d dx u u du dx tan sec2 17. ( ) = − d dx u u du dx cot csc2 18. ( ) = d dx u u u du dx sec sec tan 19. ( ) = − d dx u u u du dx csc csc cot FUNCIONES LOGARÍTMICAS 20. ( ) = d dx ex ex 21. ( ) = d dx ax ax aln 22. ( ) = d dx x x ln 1 23. ( ) = d dx a x x a log 1 ln 24. ( ) = d dx ex ex 25. ( ) = d dx ax ax aln 26. ( ) = d dx x x ln 1 27. ( ) = d dx a x x a log 1 ln FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 28. ( )− = − d dx x x sen 1 1 1 2 29. ( )− = − − d dx x x cos 1 1 1 2 30. ( )− = + d dx x x tan 1 1 1 2 31. ( )− = − + d dx x x cot 1 1 1 2 32. ( )− = − d dx x x x sec 1 1 2 1 Formulario B ➟ DerivaDas Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 292 33. ( )− = − − d dx x x x csc 1 1 2 1 34. ( ) = − −d dx u u du dx sen 1 1 1 2 35. ( ) = − − −d dx u u du dx cos 1 1 1 2 36. ( ) = + −d dx u u du dx tan 1 1 1 2 37. ( ) = − + −d dx u u du dx cot 1 1 1 2 38. ( ) = − −d dx u u u du dx sec 1 1 1 2 39. ( ) = − − −d dx u u u du dx csc 1 1 1 2 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 40. ( ) =d dx x xsenh cosh 41. ( ) = d dx x xcosh senh 42. ( ) =d dx x h xtanh sec 2 43. ( ) = −d dx x h xcoth csc 2 44. ( ) = −d dx hx hx xsec sec tanh 45. ( ) = −d dx hx hx xcsc csc coth 46. ( ) = d dx u u du dx senh cosh 47. ( ) = d dx u u du dx cosh senh 48. ( ) = d dx u h u du dx tanh sec 2 49. ( ) = − d dx u h u du dx coth csc 2 50. ( ) = − d dx hu hu u du dx sec sec tanh 51. ( ) = − d dx hu hu u du dx csc csc coth FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 52. ( )− = + d dx x x senh 1 1 1 2 53. ( )− = − d dx x x cosh 1 1 2 1 54. ( )− = − d dx x x tanh 1 1 1 2 55. ( )− = − − d dx x x coth 1 1 1 2 56. ( ) = − − −d dx h x x x sec 1 1 1 2 57. ( ) = − + −d dx h x x x csc 1 1 1 2 58. ( )− = + d dx u u du dx senh 1 1 1 2 59. ( )− = − d dx u u du dx cosh 1 1 2 1 60. ( )− = − d dx u u du dx tanh 1 1 1 2 61. ( )− = − − d dx u u du dx coth 1 1 1 2 62. ( )− = − − d dx h u u u du dx sec 1 1 1 2 63. ( )− = − + d dx h u u u du dx csc 1 1 2 1 FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 293 AlfaomegaCÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN Triángulo rectángulo b a h = =A ch ab1 2 1 2 , = + +P a b c , = +c a b2 2 2 Triángulo equilátero ba a =h a3 2 , =A a3 4 2 , =P a3 Cuadrado a a =A a2 , =P a4 Rectángulo b h = + =P b h A bh2 2 , Romboide b h =A bh Trapezoide b a h = +A a b h1 2 ( ) Círculo r π=A r 2 , π=P r2 Corona circular r R π ( )= −A R r2 2 , =P a3 Sector circular r sθ θ=A r1 2 2 , θ=s r Esfera r π=V r4 3 3, π=S r4 2 Cono circular recto h r π=V r1 3 3, π= +S r r h2 2 Cilindro circular recto h r π=V r h2 , π=S rh2 lateral π π= +S rh r2 2 2 total Figuras geométricas ➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría c Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría Alfaomega CÁlCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 296 Ecuación de la recta punto-pendiente ( )− = −y y m x x1 1 (x1 , y1) y x Puntos de intersección de la recta + = ∀ ≠ ≠ x a y b a b1 0; 0 (0 , b) (a , 0) y x Ecuación de la circunferencia con centro en el origen + =x y r2 2 2 y r x Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen. ( ) ( )− + − =x h y k r2 2 2 y r xx (h , k) Parábola =     −        = = − x py p p p p p p y p 2 ; Foco F= 0, 2 ; Extremos Izq , 2 ;Der , 2 Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2 2 y F x (-h , )p 2 ( p , )p 2 (0 , )p 2 y = - p 2 Parábola = − −    − −    −    = = x py p p p p p p y p 2 ; Foco F= 0, 2 ; Extremos Izq , 2 ;Der , 2 Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2 2 y F x ( p ,- )p 2 (-p , )p 2 (0 ,- )p 2 y = p 2 Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría 297 AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán Parábola =     −        = = − y px p p p p p p x p 2 ; Foco F= 2 ,0 ; Extremos Inf 2 , ;Sup 2 , Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2 2 F ( , p )p 2 ( ,- p )p 2 ( ,0 )p 2 x = - p 2 x y Parábola = − −    − −    −    = = y px p p p p p p x p 2 ; Foco F= 2 ,0 ; Extremos Inf 2 , ;Sup 2 , Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2 2 ( - ,- p )p 2 (- , p)p 2 ( - ,0 )p 2 x = p 2 y Elipse centro en el origen ( ) ( ) + = − − x a y b a b F dF F dF 1 dF= ,0 ; ,0 2 2 2 2 2 2 1 2 y dF(- dF, 0) (dF, 0) x ab F2F1 Elipse centro en el origen ( ) ( ) + = − − y a x b a b F dF F dF 1 dF= 0, ; 0, 2 2 2 2 2 2 1 2 y dF ( 0, dF ) ( 0, -dF ) x a A b F2 F1 x Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría Alfaomega CÁlCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán 298 Hipérbola ( ) ( ) − = + − x a y b a b F dF F dF 1 dF= ,0 ; ,0 2 2 2 2 2 2 1 2 y dF(- dF, 0) (dF, 0) xF2 F1 Hipérbola ( ) ( ) − = + − y a x b a b F dF F dF 1 dF= 0, ; 0, 2 2 2 2 2 2 1 2 y dF ( 0, dF ) ( 0, -dF ) x F2 F1 División de un segmento en una razón = − − = − − r x x x x r y y y y r r 2 1 1 2 1 1 y x D C E B R S A ( x2 , y2 ) ( x2 , yr ) ( x2 , y1 )( xr , y1 ) ( x1 , y1 ) ( xr , yr ) Distancia de un punto a una recta Ax By C P x y d Ax Bx C A B Ecuación general de la recta 0 Entonces: 1, 1 Pr 1 2 2 2( ) + + = = + + + y x dPr P Ax +By +C =0 ( x1 , y1 )