Distribuciones de variables aleatorias: discretas y continuas, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Distribuciones de variables aleatorias: discretas y continuas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución Binomial Las características la distribución binomial son: a) Ésta distribución arroja dos tipos de resultados, Ej.: Defectuoso, no defectuoso, cara o cruz, etc., denominados “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito). b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir, no cambian. c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí. d) El número de repeticiones n es constante. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución Binomial: características La media de la variable aleatoria Binomial esta definida por: La varianza está definida por: Y la desviación estándar de X es: EJEMPLO DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución Multinomial Las características de esta distribución son: a) La distribución multinomial arroja más de dos tipos de resultados. b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes. c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes, y permiten k resultados mutuamente excluyentes con probabilidad p1, p2, p3, … ,pk . Además el número de repeticiones n es constante. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución Multinomial d) El tipo de categoría dependen del número de resultados como ser: 1º resultado → 1º tipo de categoría 2º resultado → 2º tipo de categoría . . . . kº resultado → kº tipo de categoría DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución Multinomial: Características: La media de esta distribución es: Y la varianza es: EJEMPLO DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución de Poisson La distribución de Poisson mide la probabilidad de un suceso aleatorio a lo largo de un intervalo espacial o temporal. Esta distribución tiene las siguientes características: a) La ocurrencia de los eventos en unidades de medida contiguas son independientes. b) El número promedio de ocurrencias de eventos en una unidad de medida es conocido e igual a λ . c) La probabilidad de ocurrencia del evento es constante para dos intervalos de unidad de medida cualesquiera. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución de Poisson Se dice que la variable aleatoria X, cuyos valores posibles son x = 0, 1, 2… tiene distribución de Poisson con parámetro λ (λ >0), si su función de probabilidad es la ecuación: DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución de Poisson: Características: La media de la distribución de Poisson está dado por: La varianza es: EJEMPLO DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución Geométrica Esta distribución es un caso especial de la Binomial, en la cual se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento. La distribución de probabilidad geométrica esta definida por la ecuación: DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Distribución Geométrica En la ecuación anterior: g(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el evento x por primera y única vez p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso Para hallar la función de distribución acumulada se emplea la ecuación: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Uniforme Usa parámetros α y β y tiene una densidad de probabilidad: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Uniforme: Características: La media de la distribución uniforme se define por: Y la varianza, calculando primero: Resolviendo se tiene: Luego: EJEMPLO DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Normal Características: a) Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x; - ∞< x < ∞ b) La función que nos define esta distribución es: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Normal e) El área total bajo la curva es 1. f) Sí se suma a μ ± σ , se observa que aproximadamente el 68.26% de los datos se encuentran bajo la curva, si se suma a μ ± 2σ , el 95.44% de los datos estará entre esos límites y si se suma a μ ± 3σ , entonces el 99.74% de los datos caerá dentro de esos límites. Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datos que se analizan tienen una distribución normal; ya que para trabajar los datos con esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomarán de un análisis de los datos con la distribución normal, serían erróneas. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Normal La función f(x, μ , σ2), se integra entre los límites de la variable x; esto es, La integral anterior da el área bajo la curva de la función, desde a hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Normal Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x, esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera: Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las probabilidades es la que nos da el área que se muestra a continuación: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Exponencial Sea X una variable aleatoria continua. Se dice que X tiene una distribución exponencial con parámetro real λ, si su función de densidad esta dado por la ecuación: En la ecuación anterior el parámetro real λ es una constante positiva. Además ε = 2.718. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Exponencial La función de distribución de la variable aleatoria X con Distribución exponencial es: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Exponencial: Características La media de la distribución exponencial es: Y la varianza: EJEMPLO DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Log-Normal Para encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor entre “a” y “b” (0 < a < b) se debe evaluar: Si se sustituye y = ln x, el integrando se convierte en la distribución normal con α = μ y σ = β: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Log-Normal La ultima ecuación de la lámina anterior es igual a: Donde F es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Log-Normal: Características La media de la Distribución Log-Normal es: Y la varianza es: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Gamma La integración por partes muestra que: Por consiguiente: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Gamma: Características Para hallar la media: Haciendo: haciendo uso de: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Gamma: Características La Varianza se halla haciendo uso de las mismas propiedades: Para el caso especial de α =1 → distribución exponencial cuya propiedad de densidad es: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Gamma de tres parámetros o Pearson tipo III Para: La función acumulada es: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Donde la variable reducida y gamma de 3 parámetros o Pearson tipo III, es: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Log-Pearson tipo III Se dice que una variable aleatoria X, tiene una distribución log-Pearson tipo III, si su función de densidad de probabilidad es: Para: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Gumbel Su función de distribución acumulada es: Donde la variable aleatoria reducida Gumbel, se define como: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Weibull Esta distribución está muy cerca de la distribución exponencial. La densidad de probabilidad de la distribución Weibull es: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Weibull: Características La media de la Distribución Weibull es: La varianza es: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución Chi Cuadrado Gráficamente: La media y la varianza son: DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución t de Student La función de densidad de la distribución t de Student es: Es una curva simétrica respecto de 0. Se la compara con la curva normal, sólo que es ligeramente mas achatada. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Distribución t de Student