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¡Descarga green en ciencias ciencias y más Apuntes en PDF de Ciencias solo en Docsity! Caṕıtulo 11 El teorema de Green El teorema de Green relaciona la integral de ĺınea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Este tipo de teoremas resulta muy útil porque, dados un cam- po vectorial y una curva cerrada simple sobre la cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad más simple entre integrar el campo directa- mente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre en recinto que delimita la curva. Por otro lado, la relación aśı establecida entre la integral de ĺınea sobre una curva y la integral doble sobre la región interior a ésta permite a veces obtener información sobre una función o su integral en un recinto a partir del comportamiento de la función sobre la frontera de dicho recinto. Los ejemplos y ejercicios de este caṕıtulo ilustrarán las diversas posibilidades y aplicaciones de este tipo de resultados, que generalizaremos a integrales sobre superficies en R3 en los siguientes caṕıtulos. Antes de enunciar el teorema de Green convendŕıa precisar qué enten- demos por una curva cerrada simple orientada positivamente. Sabemos ya que toda curva simple tiene dos posibles orientaciones, y que éstas son in- variantes por reparametrizaciones cuyas funciones de cambio de variables tiene derivada positiva. Ahora bien, ¿cómo distinguir entre una y otra ori- entación? ¿Qué hacer para privilegiar y reconocer una de las dos? Hay varios procedimientos para conseguir esto. Quizá el más intuitivo sea el siguiente, que presenta el concepto de normal unitaria exterior a una curva. Si C es una curva cerrada simple regular a trozos en R2, parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), el vector normal unitario exterior a C se define por N(t) = 1√ x′(t)2 + y′(t)2 ( y′(t),−x′(t) ) . 113 114 CAPÍTULO 11. EL TEOREMA DE GREEN Nótese que N es ortogonal al vector tangente o velocidad de la curva, V (t) = (x′(t), y′(t)). Consideremos estos vectores sumergidos en R3 (con coordenada z = 0). Diremos que C está orientada positivamente si el producto vectorial N × V (que tiene la dirección del eje z en este caso) tiene coordenada z positiva (es decir, N × V apunta hacia arriba) para cada t. Esta definición corresponde intuitivamente a decir que C se recorre en el sentido contrario al de las agujas del reloj, o bien que si recorremos C con la orientación positiva entonces N apunta hacia afuera de la región interior a C, y que dicha región interior queda siempre a mano izquierda según se va recorriendo C. Otra posibilidad para definir la orientación de una curva cerrada simple seŕıa utilizar el número de giros (the winding number); ver el problema 11.17. Diremos que una curva cerrada simple C ⊂ R2 es regular a trozos si se puede parametrizar mediante un camino γ que a su vez puede escribirse como concatenación γ1 ∗ ...∗γk de una cantidad finita de caminos γj : [aj , bj ] → R2 cada uno de los cuales es de clase C1 y satisface que γ′j(t) 6= 0 para todo t ∈ [aj , bj ] (en particular, γ podrá dejar de ser diferenciable en una cantidad finita de puntos, pero incluso en estos tendrá derivadas laterales). Para esta clase de curvas cerradas simples enunciaremos y demostraremos el teorema de Green. Teorema 11.1 (de Green) Sea C una curva cerrada simple regular a tro- zos, positivamente orientada, en el plano R2, y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea F = (P,Q) : D −→ R2 un campo vectorial de clase C1. Entonces se tiene que∫ C Pdx+Qdy = ∫ D (∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy. Antes de dar una demostración de este importante teorema, veamos al- gunos ejemplos y aplicaciones del mismo. Ejemplo 11.2 Integrar el campo F (x, y) = (x, xy) sobre la circunferencia x2 + y2 = 1 recorrida en sentido positivo. Ejemplo 11.3 Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x, y) = (y + 3x, 2y − x) al mover una part́ıcula a lo largo de la elipse 4x2 + y2 = 4. Ejemplo 11.4 Hallar el valor de la integral∫ C (5− xy − y2)dx− (2xy − x2)dy, donde C es el borde del cuadrado [0, 1]× [0, 1]. 117 con ϕ, ψ funciones reales de clase C1 a trozos. Como antes, D está limitado por una curva cerrada simple C = ∂D regular a trozos que puede expresarse como concatenación de cuatro caminos regulares a trozos: C = −C1 + C2 + C3 − C4, donde C1 está parametrizado por γ1(t) = (ϕ(t), t), c ≤ t ≤ d; C2 es γ2(t) = (t, c), con ϕ(c) ≤ t ≤ ψ(c); C3 es γ3(t) = (ψ(t), t), c ≤ t ≤ d; y C4 es γ4(t) = (t, d), con ϕ(d) ≤ t ≤ ψ(d). A lo largo de C2 y de C4, y = y(t) es constante, luego dy = 0 sobre estos caminos, y las correspondientes integrales de ĺınea son cero; para C1 y C3 se tiene dy = 1. Entonces,∫ ∂D Qdy = − ∫ C1 Qdy + ∫ C2 Qdy + ∫ C3 Qdy − ∫ C4 Qdy = − ∫ C1 Qdy + ∫ C3 Qdy = − ∫ d c Q(ϕ(t), t)dt+ ∫ d c Q(ψ(t), t)dt, y por otro lado,∫ D ∂Q ∂x dxdy = ∫ d c [ ∫ ψ(y) ϕ(y) ∂Q ∂x dx ] dy =∫ d c [ Q(ψ(y), y)−Q((ϕ(y); y) ] dy = ∫ d c Q(ψ(t), t)dt− ∫ d c Q(ϕ(t), t)dt; luego, juntando estas igualdades, obtenemos 11.2. Paso 3. De acuerdo con la observación que hemos hecho antes y con lo probado en los pasos 1 y 2, la fórmula de Green (∗) es válida para toda región D que sea a la vez de tipo I y de tipo II. Todos los ćırculos, los rectángulos y los triángulos constituyen ejemplos de regiones que son de tipo I y II simultáneamente. Por tanto, el teorema de Green es válido para todos estos tipos de curvas. También podŕıa probarse, utilizando el teorema del cambio de variables, que la igualdad (∗) es cierta para cualquier región D que sea difeomorfa con un ćırculo, un rectángulo o un triángulo (ejercicio 11.12). Paso 4. El siguiente paso consiste en establecer la validez de (∗) para to- da región D que pueda descomponerse como unión finita de regiones si- multáneamente de tipo I y II. Más precisamente, se prueba (∗) para todo recinto D ⊂ R2 de la forma D = n⋃ i=1 Di, 118 CAPÍTULO 11. EL TEOREMA DE GREEN donde todos los Di son regiones de tipo I y II simultáneamente, con inte- riores disjuntos dos a dos, y cuyos bordes, Ci = ∂Di, están positivamente orientados, y de forma que se cumplen: si una curva Ci tiene una parte en común con otro camino Cj entonces esa parte no es común a ningún otro Ck con k 6= i, j; si Ci tiene un trozo en común con Cj entonces Ci recorre ese trozo común en sentido contrario al que lo hace Cj ; y si Ci tiene un trozo en común con C = ∂D entonces ambos caminos recorren dicho trozo en el mismo sentido (hágase un dibujo aqúı). Podemos aplicar la fórmula (∗) a cada regiónDi y sumar todas las igualdades correspondientes para obtener que∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dxdy = n∑ i=1 ∫ Di ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dxdy = n∑ i=1 ∫ ∂Di Pdx+Qdy. Pero en esta suma de integrales de ĺınea, las integrales sobre Ci = ∂Di pueden descomponerse a su vez en sumas finitas de integrales sobre curvas simples de dos tipos: o bien son trozos del camino Ci comunes a algún otro de los Cj , o bien son partes de C = ∂D. La suma total de todas las integrales sobre caminos del primero de estos tipos es igual a cero ya que, al integrar y sumar, cada una de estas curvas se recorre exactamente dos veces, y con orientaciones opuestas, de modo que la suma de las dos integrales que se hacen sobre cada camino del primer tipo es cero. Por otro lado, la suma de todas las integrales sobre los caminos del segundo tipo es igual a la integral del campo (P,Q) sobre C, ya que C puede expresarse como concatenación 119 de todos los caminos del segundo tipo. Por consiguiente, n∑ i=1 ∫ ∂Di Pdx+Qdy = ∫ ∂D Pdx+Qdy, lo que combinado con las igualdades anteriores nos permite concluir que∫ ∂D Pdx+Qdy = ∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dxdy, para todo recinto que pueda romperse en una cantidad finita de recintos de tipo I y II simultáneamente. En particular se obtiene que (∗) es válida para toda curva cerrada simple E que sea poligonal (a saber, concatenación finita de segmentos de recta), ya que una tal curva siempre puede triangularse, es decir expresarse como una unión finita E = n⋃ i=1 Ti, donde los Ti son triángulos (y por tanto regiones de tipo I y II simultánea- mente) orientados de modo que si Ti y Tj tienen un lado común entonces Ti recorre este lado en sentido contrario a como lo hace Tj (hágase aqúı otro dibujo). Paso 5. La última parte de la prueba del teorema de Green consiste en aproximar la curva dada C por una curva cerrada simple poligonal P de modo que la región D interior a P queda dentro del dominio del campo F = (P,Q) y cuyo área, a(D), es también una buena aproximación del área de la región interior a C, es decir a(D). Se aplica entonces el teore- ma de Green establecido en el paso anterior para curvas cerradas simples poligonales y se concluye que (∗) es aproximadamente válida para D, más 122 CAPÍTULO 11. EL TEOREMA DE GREEN Podemos entonces añadir todos los puntos necesarios a la partición de [a, b] sobre la que venimos trabajando para que la nueva partición, que seguiremos denotando a = t0 < t1 < ... < tN = b, satisfaga que ti− ti−1 ≤ δ2 ≤ δ1 ≤ δ0, y por tanto también que∣∣∣∣∣ ∫ γ Pdx+Qdy − N∑ i=1 〈F (γ(ti−1)), γ′(ti−1)〉(ti − ti−1) ∣∣∣∣∣ ≤ ε, (2) a la vez que ‖γ(ti)− γ(ti−1)− γ′+(ti−1)(ti − ti−1)‖ ≤ ε M(b− a) (ti − ti−1); pero esta última desigualdad implica que∣∣∣∣∣ N∑ i=1 〈F (γ(ti−1)), γ′+(ti−1)(ti − ti−1)〉 − N∑ i=1 〈F (γ(ti−1)), γ(ti)− γ(ti−1)〉 ∣∣∣∣∣ ≤ M ε M(b− a) (b− a) = ε, lo que junto con (2) permite obtener∣∣∣∣∣ ∫ γ Pdx+Qdy − N∑ i=1 〈F (γ(ti−1)), γ(ti)− γ(ti−1)〉 ∣∣∣∣∣ ≤ 2ε, (3) y que a su vez combinado con (1) nos da∣∣∣∣∫ P Pdx+Qdy − ∫ C Pdx+Qdy ∣∣∣∣ ≤ 3ε, (4) para toda curva cerrada simple poligonal P que una γ(t1), γ(t2), ..., γ(tN−1), γ(tN ) = γ(t0), en este orden, y siempre y cuando 0 < ti − ti−1 ≤ δ2 ≤ δ1 para todo i = 1, ..., N . Por otra parte, como ∂D = C tiene contenido cero, existe una colección finita Q1, ..., Qk de cubos abiertos que recubren C y cuyos volúmenes suman menos que ε/M . Definamos U = ⋃k j=1Qj . Como U es abierto y contiene al compacto C, tenemos que la distancia de C al complementario de U es positiva, es decir, d(C,R2 \ U) > 0. Pongamos ahora δ3 = mı́n{δ1, δ2, d(C,R2 \ U) 2(Lip(γ) + 1) }; 123 entonces, añadiendo puntos si fuera necesario a la partición a = t0 < t1 < ... < tN de [a, b] sobre la que venimos trabajando, podemos suponer que ti − ti−1 ≤ δ3 para todo i = 1, ..., N , lo cual implica que la poligonal P que une los puntos γ(t1), γ(t2), ..., γ(tN ) = γ(t0) queda dentro del abierto U (en efecto, para todo z del segmento [γ(ti−1), γ(ti)], se tiene d(z, C) ≤ Lip(γ)(ti − ti−1) ≤ Lip(γ)d(C,R2 \ U) 2(Lip(γ) + 1) < d(C,R2 \ U), luego z ∈ U). Definamos también W = D ∪ U y V = D \ U , que son conjuntos con área que cumplen que a(D)− ε M ≤ a(D)−a(U) ≤ a(V ) ≤ a(D) ≤ a(W ) ≤ a(D)+a(U) ≤ a(D)+ ε M . Sean entonces D la región interior a la poligonal cerrada simple P que une los puntos γ(t1), γ(t2), ..., γ(tN ) = γ(t0) en este orden. Como P ⊂ U , es claro que V ⊂ D ⊂W, y entonces a(D)− ε M ≤ a(V ) ≤ a(D) ≤ a(W ) ≤ a(D) + ε M . Por consiguiente,∣∣∣∣∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy − ∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy ∣∣∣∣ ≤∫ R2 ∣∣∣∣∂Q∂x − ∂P∂y ∣∣∣∣ |1D − 1D| dxdy ≤ ∫ R2 M |1D − 1D| dxdy ≤ M (a(D \D) + a(D \ D)) ≤M ( ε M + ε M ) = 2ε, es decir ∣∣∣∣∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy − ∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy ∣∣∣∣ ≤ 2ε. (5) Finalmente, combinando (4) y (5) y usando que∫ P Pdx+Qdy = ∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy 124 CAPÍTULO 11. EL TEOREMA DE GREEN (es decir, la fórmula de Green demostrada ya en el paso 4 para recintos limitados por curvas cerradas simples poligonales), deducimos que∣∣∣∣∫ C Pdx+Qdy − ∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy ∣∣∣∣ ≤ 5ε, y como esto sirve para todo ε > 0 se concluye que∫ C Pdx+Qdy = ∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy, es decir, la fórmula de Green es válida en el caso general de una curva cerrada simple regular a trozos. 2 Una aplicación importante de la fórmula de Green para el área encerrada por una curva plana es la desigualdad isoperimétrica: Teorema 11.7 De todas las curvas cerradas simples en R2 con longitud fija `, las que encierran mayos área son las circunferencias de radio r = `/2π. Es decir, si C es una curva cerrada simple de longitud `, y A es el área de la región D encerrada por C, entonces `2 − 4πA ≥ 0, y la igualdad se da si y sólo si C es una circunferencia. La demostración de este resultado puede consultarse, por ejemplo, en el libro de Do Carmo, Geometŕıa diferencial de curvas y superficies, editado por Alianza Universidad (Madrid 1990), páginas 46-48. Problemas 11.8 Utilizar el teorema de Green para calcular ∫ C(y 2 + x3)dx + x4dy, donde 1. C es la frontera de [0, 1]× [0, 1], orientado positivamente. 2. C es la frontera del cuadrado de vértices (a, b) con |a| = |b| = 2, orientado negativamente. 127 1. C2 está en la región interior a C1. 2. Los puntos interiores a C1 que son exteriores a C2 pertenecen a A. Probar que entonces se tiene que∫ C1 Pdx+Qdy = ∫ C2 Pdx+Qdy, siempre que ambas curvas se recorran en el mismo sentido. Nótese que cuan- do A es simplemente conexo (no tiene agujeros) esto implica que ∫ γ F · ds es independiente del camino. Indicación: Usar el problema anterior (n = 1). 11.17 El número de giros (the winding number). Sea C una curva regular a trozos en R2, parametrizada por γ(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b. Se define el número de giros de γ con respecto de un punto p = (x0, y0) no situado sobre la curva γ como W (C, p) = 1 2π ∫ C (x− x0)dy − (y − y0)dx (x− x0)2 + (y − y0)2 . Puede demostrarse que W (C, p) es siempre un número entero. En el caso en que C sea una curva cerrada simple, probar que W (C, p) = 0 si p está en la región exterior a C, mientras que W (C, p) = 1 si p es interior a C y esta curva está orientada positivamente, y W (C, p) = −1 si p es interior a C y C está orientada negativamente. Indicación: usar el problema anterior, tomando una de las dos curvas como una circunferencia adecuada. 128 CAPÍTULO 11. EL TEOREMA DE GREEN 11.18 Para (x, y) 6= (0, 0) consideramos ϕ(x, y) = log √ x2 + y2 y F = (∂ϕ∂y ,− ∂ϕ ∂x ). Sea C una curva de Jordan regular a trozos, contenida en {(x, y) : 1 < x2 + y2 < 25}. Hallar los posibles valores de la integral de F a lo largo de C. 11.19 ¿Existe alguna curva cerrada simple en el plano que tenga una lon- gitud de 6 metros y que delimite un área de 3 metros cuadrados? 11.20 Sea C una curva cerrada simple en R2. Supongamos que C está para- metrizada por γ : [a, b] → R2 que es regular a trozos (es decir, γ puede escribirse como concatenación de caminos de clase C1 con velocidad no nula en todos los puntos). Demostrar que existe δ > 0 tal que si a = t0 < t1 < ... < tN = b es una partición de [a, b] tal que ti − ti−1 ≤ δ para todo i = 1, ..., N , entonces la poligonal P que une los puntos γ(t1), γ(t2), ..., γ(tN ) = γ(t0) es también cerrada simple.