Guía completa de Algebra Lineal, Guías, Proyectos, Investigaciones de Álgebra Lineal

¡Descarga Guía completa de Algebra Lineal y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! UTPL La Universidad Católica de Loja Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer MESS TT MESS Algebra Lineal Ac) Guía didáctica Glosario Referencias iS CARRERA CICLO Logística y Transporte 2 Tecnologías de la Información Administracion de Empresas Contabilidad y Auditoría Economía Finanzas ; ÁREA da las UTPL Departamento de Química y Ciencias Exactas Sección Físico Química y Matemáticas Preliminares Primer MESS Segundo bimestre Ac) Referencias Álgebra Lineal Guía didáctica Autores: Puchaicela Huaca Luis Patricio Fernandez Arias Jose Miguel AN MATE_1108 iS Asesoría virtual www.utpl.edu.ec 7. 8. 9. UNIDAD 3. DETERMINANTES 3.1. 3.2. 3.3. Definición y propiedades Desarrollo por cofactores Aplicación de determinantes, inversa y resolución de sistemas lineales Autoevaluación 3 SEGUNDO BIMESTRE UNIDAD 4. VECTORES EN R” 4.1. 4.2. 4.3. 44. Vectores R?y R? Longitud, distancia y producto punto entre vectores en R? y R? Vectores R” Producto cruz Autoevaluación 4 UNIDAD 5. ESPACIOS VECTORIALES REALES 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. Espacios vectoriales Subespacios Espacio generado e independencia lineal Base y dimensión Rango y nulidad Autoevaluación 5 Solucionario Glosario Referencias bibliográficas 57 57 58 60 68 68 70 11 73 76 79 79 80 82 85 88 93 97 106 108 Preliminares Primer TT MESS Ac) Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal L 3. Introducción Álgebra Lineal es una asignatura de la unidad organizacional curricular de diferentes campos de formación de la Modalidad Abierta y a Distancia de la Primer Universidad Técnica Particular de Loja (UTPL), es impartida a los estudiantes bimestre que se encuentran cursando el segundo ciclo de la carrera de Tecnologías de la TT Información con un total de 160 horas destinadas al proceso de aprendizaje de las AS unidades de formación básica. Ac) La necesidad de adquirir conocimientos de manera crítica y constructiva para ES generar nuevas contribuciones científicas, requiere de una formación sólida en ciencias fundamentales, tal es así que; álgebra lineal permite al futuro profesional (sl resolver situaciones cotidianas con mucho fundamento y criterio, estudiar esta ciencia fundamental le permitirá analizar situaciones y plantearse las soluciones Referencias iS adecuadas. Muchos problemas que acontecen en la vida real tienen que ver con el componente de álgebra lineal y sus aplicaciones. Existen problemas que pueden modelarse mediante: ecuaciones, matrices, vectores, entre otros principios que han sido incluidos para poder potenciar su formación. La asignatura se ha formulado para que los estudiantes generen conocimiento, desarrollen capacidad de aplicación, generen habilidades y destrezas en las operaciones que conllevan la aplicación de fundamentos de álgebra lineal; adicionalmente, se pretende despertar el interés por el desarrollo de la fundamentación matemática y su aplicabilidad en el ejercicio de la carrera profesional. Las temáticas incluidas en la asignatura de álgebra lineal se las analizará en cinco unidades de la siguiente manera: Primera unidad; sistemas de ecuaciones lineales, aquí se realizará un acercamiento a los teoremas fundamentales del álgebra lineal. Unidad dos; matrices complejidad de las ecuaciones alcanza 1] 6 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal niveles complejos para la solución de problemas reales y los métodos de solución de sistemas complejos. Unidad tres determinantes que abordará contenidos específicos de solución de sistemas complejos de ecuaciones lineales. Unidad cuatro se estudiará la temática de vectores, con estos contenidos se abordarán aplicaciones de ciencias e ingenierías indispensables en el entendimiento de fenómenos físicos ya que es indispensable comprender su valor y sentido. La Unidad Cinco contendrá la temática de espacios vectoriales siendo necesario comprender que las dimensiones en Rn van a representar eventos de la realidad que van más allá de las dos dimensiones. De todo este proceso de revisión de contenidos de cada uno de los temas analizados el estudiante tendrá la posibilidad de ir encaminando sus conocimientos asistido por el docente. Les invito a realizar su preparación con mucho optimismo y recuerde que cuenta con su profesor para orientarle y apoyarle cuando usted lo requiera, será un gusto acompañarle y facilitar su aprendizaje. ¡Bienvenido! No hay nada en la vida que no contenga sus lecciones. Si estás vivo, siempre tendrás algo para aprender. Benjamin Franklin 1] 7 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Glosario Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal 5. Orientaciones generales para el estudio El dominio de los temas y procesos de operaciones numéricas que se desarrollan en la asignatura implican realizar una serie de actividades las cuales deben tener Primer disciplina en su cumplimiento. Para la asignatura de álgebra lineal el estudiante bimestre deberá asignar el tiempo necesario y esforzarse a fin de cursar con éxito el presente periodo académico y para esto damos las siguientes orientaciones: Segundo MESS . Orientación 1: El alumno dispondrá de una fuente de estudio y consulta, el AE EA texto básico, además se le brindará una guía didáctica que será el apoyo y nexo entre profesor y estudiante a fin de que pueda aprovechar de mejor manera la interpretación de los conocimientos y temas referidos en el texto (ell básico. Referencias iS . Orientación 2: Asigne el tiempo diario de estudio a los temas que constan en el plan docente los contenidos se han distribuido por semanas por lo que, es necesario que la dedicación, lectura y análisis de los temas los realice proporcionalmente durante el tiempo establecido, a fin de que exista un avance progresivo y no se acumulen los temas por revisar, siga el orden de los temas que le facilitará la comprensión e interpretación de los contenidos. . Orientación 3: En cada tema analizado en la guía didáctica, se proponen ejercicios por resolver y además al finalizar cada unidad, el estudiante deberá desarrollar una autoevaluación, al verificar las respuestas en el solucionario, el estudiante podrá interrogarse respecto a su avance y nivel de las competencias adquiridas. . Orientación 4: Semanalmente se facilitarán tutorías a fin de solventar inquietudes respecto a los contenidos del programa académico, puede contactarse vía telefónica en el horario de tutoría, aproveche la oportunidad de poder dirigirse a su tutor y solicitar la asesoría que usted requiera, recurra al uso del Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA) con todas sus herramientas 1] 10 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal de interacción como: el chat, mensajería y la posibilidad de escribir al correo electrónico. Tera . Orientación 5: Es necesario que pueda tener acceso a internet Preliminares periódicamente ya que el profesor apoyará los contenidos semanalmente mediante el Entorno Virtual de Aprendizaje (EVA), el cual servirá de Primer nexo entre profesor y alumno, además en el entorno se desarrollarán las ES actividades síncronas y asíncronas las cuales serán calificadas, por lo que es necesario que interactúe constantemente. Segundo MESS . Orientación 6: El sistema de evaluación incluye las calificaciones de dos bimestres, cada bimestre tendrá una tarea, una actividad síncrona, una actividad asíncrona, evaluaciones parciales (cuestionarios) y una evaluación presencial. Todas estas actividades tienen calificación y deben ser agendadas por cada uno de los profesionales en formación para su desarrollo adecuado cumpliendo con las fechas establecidas en el plan Referencias docente. iS . Orientación 7: El puntaje mínimo para aprobar la asignatura es de 28/40 puntos, los cuales pueden obtenerse de forma acumulativa con todos los elementos indicados anteriormente, en caso de que el estudiante no obtenga la nota mínima deberá rendir una prueba final. . Orientación 8: Para facilidad del desarrollo sistemático de los contenidos de la asignatura se tiene el plan docente y que guiará durante el semestre el proceso de su formación. Se requiere que lo revise y pueda agendar las actividades de formación. . Orientación 9: Se pide a todos los profesionales en formación desarrollar la tarea de la asignatura de manera progresiva y así combinar adecuadamente la revisión de contenidos con el desarrollo de ejercicios y completar la misma en los tiempos estipulados por la institución para la subida de la tarea. 1] n Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal . Orientación 10: En la guía didáctica constan imágenes relacionadas con ciertas actividades sugeridas y que se requiere las desarrolle el estudiante, Índice así encontrará: Preliminares Primer MESS TT Al inicio de cada tema, usted debe realizar la lectura previa de un apartado bimestre específico del texto básico, la actividad de lectura será fundamental para poder orientar adecuadamente al estudiante y aplicar de forma detallada los tin] procesos en la resolución de ejercicios, se enfatizará en la guía didáctica lo más importante de cada sección. Glosario e bd Referencias iS Al final de cada unidad revisada se proponen actividades con las cuales deberá profundizar respecto al tema, y así adquirir las destrezas y habilidades para el desarrollo de ejercicios. Al final de cada unidad se propone una autoevaluación por lo que se invita a realizarla para validar su nivel de aprendizaje y adquisición de competencias, usted debe desarrollar las pruebas propuestas comparando con las respuestas en el solucionario; además podrá evaluar si su nivel es el adecuado o si necesita una mayor profundización en el estudio de los temas tratados. 1] 12 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Es pertinente definir de manera generalizada a una ecuación lineal de n variables Xy XX, X, a una que tiene la siguiente estructura: ax, +ax,+axX3t...... aX = b Donde los coeficientes a,, a, a, .....,a, y el término b son valores constantes y pueden ser cualquier número o escalar. 1.2. Sistemas lineales Un sistema lineal en su concepto básico no es más que un conjunto finito de ecuaciones lineales las cuales poseen variables comunes, se designa como m al número de ecuaciones y n al número de incógnitas que posean las ecuaciones que forman parte del sistema lineal, Ej: EJEMPLO 3 |Número de ecuaciones lineales e incógnitas Sit 3x +2y +5z =12 Xx +5y +3z =14 me2, n= 3 2x +2y =4 x +2y =3m3n=2 3x +2y =5 2x +Y =3m=2n=2 2x +3y =5 2x + +z -2w =2 m=2 n=4 2x +3y -22 +3w =5 ? En conclusión, se podría denotar un sistema lineal mediante la siguiente estructura: 011% +0y2X2 013% ++ QinXy =bj Q21X, +0z2X2 +H0y3%3 + 0 Xp =D, 1] 15 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre AmiX1 FQm2Xz FO 3X3 ++ OnXa = Din Preliminares Donde los subíndices de a indican, el primero el número de ecuación y el segundo al tipo de variable a la que corresponde dicho coeficiente, Ej: Die Az, es el coeficiente ubicado en la ecuación 2 y variable x,. TT o o o o ES 1.3. Solución de sistema de ecuaciones lineales o : : : . Ac) Dar solución a un sistema lineal es determinar el valor de las variables comunes que poseen las ecuaciones que forman el sistema lineal, es decir es determinar los valores de X,, X, Xz.....- X, que satisfagan cada ecuación del sistema lineal, por ejemplo ponemos dos sistemas de ecuaciones que puede analizarlos: Referencias EJEMPLO 4 [Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas bibliográficas = = El E 7 1 a o dl 1 7 : (1) sistema de dos incógnitas x +2y -3z =4 2x +3y +2 =13 (2) sistema de tres incógnitas 3x -y -z.=6 En (1) la solución del sistema sería x =1, y =2, y en (2) la solución es x =3, y =2, z=1, remplazando los valores de las incógnitas se obtendría: 2D) +22) =6 1 +32) =7 m 3 +22) 300 =4 2(3) +32) +1 =13 (2) (3) -2 -1 =6 Más adelante iremos revisando como cada uno de los sistemas pueden adoptar un procedimiento de su resolución paso a paso. 1] 16 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre 1.3.1. Sistema lineal equivalente y operaciones fundamentales Índice Si comparamos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aparentemente son diferentes: Preliminares EJEMPLO 5 [Sistemas lineales equivalentes Primer bimestre x +2y -3z =4 3x -y -Z.=6 TO 2x +3y +z =13 >(3) 2x +3y +z =13(4) MESS B3x y» /-2=. =6 3x +5y -2z =17 Ac) Sin embargo, si analizamos que en cada uno los valores de las variables luego de realizar todas las operaciones son los mismos, es decir para las variables x=3, y=2 y z=1 son la misma solución en ambos sistemas, podemos denominarlos sistemas equivalentes y podríamos deducir que el sistema (4) puede provenir : . o Referencias del sistema (3) o el (3) del (4) realizando algunos procedimientos que se basan en bibliográficas las siguientes operaciones fundamentales: 1. Intercambiar dos ecuaciones 2. Multiplicar una ecuación por cualquier número excepto el cero 3. Sumar una ecuación una o varias veces a otra Analicemos en los siguientes pasos, como el sistema (3) pudo convertirse en el sistema (4) aplicando las operaciones fundamentales: 1. Partamos del sistema (3), e intercambiamos las ecuaciones 1 por la 3: x +2y -3z =4 3x -y -2z.=6 2x +3y +2 =13(g) > 2x +3y +z =13 B3x -y -Zz. =6 x +2y -3z =4 1] 17 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Como se podrá observar, ahora el sistema (5), se ha transformado de tal Manera que las ecuaciones 2 y 3 poseen dos variables. La Ahora el objetivo será eliminar la variable y, para lo cual trabajaremos Preliminares con las ecuaciones 2 y 3 en las cuales ya se ha eliminado la variable x, repetiremos el paso 1 aplicado ahora a la variable y, es decir eliminaremos Primer la variable y de la ecuación 3, mediante operaciones con la ecuación 2 ES 3. Ala ecuación 3, restarle 7 veces la ecuación 2 Segundo MESS La ecuación 2, -y + 7z = 5 por 7 resulta, -7y + 49z = 35, por lo tanto al restarle a la ecuación 3, 7 veces la 2, obtendremos: TEO 2x +4y -6z2 =8 0 -y +72 =5 (6) 0. 0 -4lz =-41 Nos encontramos que la ecuación 3 del sistema original (5), posee Referencias ans . . iS únicamente la variable z, la cual al despejarla obtendremos su valor, z= 1. Y Obtenido el valor de z, el resto del proceso consiste en aplicar sustituciones regresivas, es decir el valor de z sustituirlo en la ecuación 2 del sistema (6) para obtener el valor de la variable y, y luego obtenidos los valores de z y de y, los reemplazamos en la ecuación 1 del sistema (6), obteniéndose todos los valores de las variables del sistema. 4. Sustituimos el valor de z=1 en la ecuación 2 de (6): y +7(1)=5 y=7-5 y =2 5. Sustituimos los valores de z y de y en la ecuación 1 del sistema (6) 2x + 4(2) - 6(1) = 8 x = (8-8+6)/2 x=3 1] 20 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Por lo tanto la solución del sistema (5) es, x= 3, y =2, z= 1 uN Índice No importa el número de variables que posea el sistema, el proceso de eliminación aplicado, se realiza para suprimir todas las variables posibles Preliminares hasta obtener un sistema equivalente con al menos una ecuación en función de una sola variable que será despejada para solucionar el resto de . . Primer variables del sistema. MESS En el proceso las operaciones fundamentales aplicadas pueden utilizarse de Segundo MESS diferente orden o forma, no alterarán la respuesta siempre y cuando se las aplique adecuadamente, un proceso generalmente utilizado es transformar o . . iz on Ac) el coeficiente de la variable X de la primer ecuación en 1, para luego facilitar la operaciones al ser aplicada al resto de ecuaciones, Ej: 2x +4y -67 =8 EN 2x +3y +z =13(5) 3x -y -z. =6 Referencias iS 1. Dividir la ecuación 1 para el coeficiente de x de la propia ecuación, es decir dividirla para 2 x +2y -3z =4 2x +3y +z =13 B3x -y -2.=6 2. Enel sistema formado, restar a la ecuación 2, dos veces la ecuación 1 y a la 3 tres veces la ecuación 1 x +2y -3z 0 y +7z 0 -7y +8z Ahora se trabajará las ecuaciones 2 y 3 del sistema resultante, como se puede observar el coeficiente de y en la segunda ecuación es 1 negativo, podemos dejarlo como está y operar, con otros valores 1] 21 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre es conveniente repetir el paso 1 transformando el coeficiente de y a 1 positivo, lo cual es factible dividiendo la ecuación para el propio coeficiente de y, es decir que en este caso es -1. 3. Dividir la ecuación 2 para -1 x +2y -3z =4 x +2y -3z =4 0 y +72 = 5530 y -7z 0 -7y +82 =-6 0 -7y +8z =-6 4. Sumar a la ecuación 3, siete veces la ecuación 2 x +2y -3z =4 x +2y 3z =4 0 y -7z =-5>50 y Ta =-5 0 -7y +82 =-6 0 0. -4lz =-41 Por lo tanto z=1, y al sustituir su valor en la ecuación 2, obtendremos el valor de y = 2, ambos valores z y el de y, al ser sustituidos en la ecuación nos permitirá obtener el valor de x = 3. 1.4. Sistema Lineal consistente Al resolver un sistema lineal, nos podemos encontrar con las situaciones en que el sistema pueda tener solución única, infinitas soluciones o no tener solución, a los dos primeros casos se los denomina consistentes y al tercer caso como inconsistente. 1.4.1. Sistema lineal consistente determinado Un sistema lineal compatible determinado es un sistema que tiene solución, y dicha solución es única, en el siguiente sistema de dos variables analizaremos el presente caso: 1] 22 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Plantearemos otro tipo de ejercicio en el cual puede darse la circunstancia de tener una infinidad de soluciones x +3y 2 =4 2x +y +z =5 Al restar dos veces la ecuación 1 a la ecuación 2 obtenemos. x +3y z =4 0 -5y +32 =-3 Como siempre debemos analizar la última ecuación y nos encontramos con la situación de que para dar solución a la ecuación 2, podemos asignar cualquier valor a z, (z puede ser cualquier número de los reales) y obtendremos un valor para y, obtenidos dichos valores reemplazarlos en la ecuación 1, por lo que los valores de x y de y estarán en función del valor que se le asigne a z, es decir: x +3y zz =4 0 -5y +32 =-3 z = soluciones, cualquier valor de los reales y = (3z+3)/5, despejado en la ecuación 2 x= 4-3y+z = 4-[3(32+3)/5]+z, despejado de la ecuación 1 La representación gráfica en un sistema consistente indeterminado de 2 variables sería la de dos líneas rectas superpuestas, es decir con intersección en una infinidad de puntos, infinitas soluciones como se indica en la figura 2(a). Para un sistema de 3 variables gráficamente puede suceder la intersección de tres planos que se corten en una recta como el de la figura 2(b) aunque pueden darse otras alternativas para este tipo de sistemas. 1] 25 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Figura 2(a). Sistema lineal con dos incógnitas, infinitas soluciones Índice tz: ax 4y=106 o E ya Preliminares Primer MESS RAT rl bimestre Ac) Referencias iS Figura 2(b). Sistema lineal con tres incógnitas, infinitas soluciones 1.5. Sistemas lineales inconsistentes Aquellos sistemas que no poseen valores comunes de sus variables para que las ecuaciones que lo forman se cumplan, son denominados sistemas sin solución o inconsistentes. 1] 26 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre EJEMPLO 9 |Sistema lineal sin solución x +y =3 2x +2y =9 Al resolverlo, restamos dos veces la ecuación 1 a la 2 2x +y =3 0x +0y =3 Si analizamos la segunda ecuación, para cualquier valor que tome xo y que multiplicaran a O, no admite una solución igual a 3, es decir 0H 3. A continuación, proponemos otro ejemplo para el caso de sistemas inconsistentes de dos variables 2x +2y =0 3x +2y =5 B3x +4y =5 Podemos restar a la ecuación 3 la ecuación 2 2x +2y =0 3x +2y =5 0x +2y =0 En la ecuación 1 dividir dicha ecuación para el coeficiente de x, es decir 2 x +y =0 3x +2y =5 0x +2y =0 Restamos tres veces la ecuación 1 a la ecuación 2 x +y =0 0 -y =5 0 +2y =0 1] 27 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer TT MESS Ac) Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Autoevaluación 1 A continuación, se propone algunos ejercicios y actividades respecto al tema de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y formas de resolución Primer de los sistemas de ecuaciones lineales; esto le permitirán confirmar y afianzar bimestre sus conocimientos. Adicionalmente usted encontrará al final el solucionario a las TT MESS Fundamentos .— Ac) 1. Escriba en el paréntesis respectivo las letras Vo FE, según sean verdaderos o falsos los siguientes enunciados ES a ( ) Una ecuación de la forma y = mx que expresa la variable y preguntas propuestas. Referencias en función de la variable x y la constante m, dicha ecuación ES puede ser denominada ecuación lineal. b. ( ) La representación gráfica de una ecuación lineal corresponde a una parábola. Cc ( ) Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de m ecuaciones, cada una de ellas con n incógnitas. d. ( ) En la ecuación a,x, + ax, + a,X, +... + a2,X, = b, los elementos a, a, a,... a, se denominan variables. e ( ) Los sistemas lineales compatibles pueden no tener solución o pueden tener solución única. tf ( ) Los sistemas lineales pueden no tener solución, o pueden tener solución única o infinita. 1] 30 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre 2. Enlas siguientes expresiones, la que corresponde a una función lineal es: uN Índice a. X,+2x,+3x,=b 2+ + 3= Ef b axftax tax?=b Preliminares Cc. 3x2+5y+z=b Primer 3. Relacione las alternativas que gráficamente pueden presentar un sistema de ESE ecuaciones lineales con dos incógnitas: TT 1. Solución única a. las rectas no se intersecan, no existe punto común. 2. Sin solución b. las rectas se intersecan exactamente en un solo punto 3. Infinitas soluciones c. las restas coinciden una con otra en ES toda su extensión Referencias iS 4. Relacione la denominación que se adjudica a un sistema lineal respecto a la resolución: 1. Consistente a. El sistema no posee solución 2. Inconsistente b. El sistema tiene una solución o infinitas soluciones c. el sistema siempre presenta infinitas soluciones 5. Enla representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales que no tiene solución, las líneas rectas: a. Tienen infinitos puntos de intersección. b. Tienen un único punto de intersección. Cc. No tienen puntos de intersección. 1] 31 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre 6. Enla representación gráfica de un sistema lineal que tiene infinitas soluciones, las rectas: rro a. Tienen infinitos puntos de intersección OMS b. Tienen un único punto de intersección Cc. No tienen puntos de intersección Primer MESS 7. Enla representación gráfica de un sistema lineal que tiene solución única, las rectas: Segundo MESS a. Tienen infinitos puntos de intersección b. — Tienen un único punto de intersección Al Cc. No tienen puntos de intersección 8. Una solución de un sistema lineal, son los valores de las variables para los ES cuales: Referencias iS a. Todas las ecuaciones del sistema se satisfacen b. Todas las ecuaciones del sistema no se satisfacen Cc. Al menos una de las ecuaciones del sistema se satisface Ejercicios de aplicación 9. Enel siguiente sistema lineal realizar la o las operaciones solicitadas, cada paso se aplicará al sistema resultante anterior: x +2y -3z =6 x +2y +z =13 3x +6y -9z 10 a. Multiplicar por 2 la ecuación 1 b. Intercambiar la ecuación 1 por 3 Cc. Adicionar a la ecuación 3, dos veces la ecuación 1 d. multiplicar por 3 la ecuación 2 1] 32 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Ex +4y +5z =7 9. 2x +3y +4z =4 3x +4y +2z =2 B3y +2z =2 h. 2x +3y +42 =4 3x +2y +2z =2 2x +Y +52 =3 ¡ 3x +2y +42 =2 0 2x +3y +22 =1 x +5y +z =0 2x +Y +5z =3 3x +2y +42 =2 L 2x +3y +22 =1 4x +6y +42 =2 -2x +y +22 =3 k 2x -3y +5z =2 3x +4y -2z =1 x +2y +3z =0 2x +2y +6z =1 3x +4y +% =1 -2x +y +7z +3w X +2y +32 +2w Mo 3x +3y +4z +w 5x +4y +2z +4w Primer bimestre Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Referencias iS DOBOnOB Retroalimentación general para la solución de la autoevaluación Es importante que desarrolle la autoevaluación haciendo una revisión de la literatura como de los ejercicios propuestos, los mismos que muestran con claridad la forma en cómo se resuelven paso a paso. ES Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre A continuación, algunas consideraciones para la resolución de los ejercicios . Es indispensable revisar las propiedades de los exponentes en la determinación del grado de una ecuación para determinar si es lineal o no. . Considerar que m representa el número de ecuaciones lineales y n el número de incógnitas o variables presentes en un sistema. . Si se tiene un único punto de intersección entre las rectas estas tendrán una única solución, si estas rectas están superpuestas se tendrán infinitas soluciones. Si las rectas no se cruzan en ningún punto en el espacio evidentemente no se tendrá ninguna solución al sistema de ecuaciones. . Para el desarrollo de los ejercicios se debe tener presente que existe consistencia cuando el sistema presenta al menos una solución, inconsistencia cuando no existe solución. . Se pueden aplicar diversas metodologías en la solución de un sistema de ecuaciones aplicando operaciones fundamentales entre ellas hasta encontrar la solución definitiva. 1] 36 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre UNIDAD 2. MATRICES ol 2.1. Matrices Es necesario antes de iniciar, que realice un repaso del texto básico en la sección 1.2 Matrices, analizar cuando existe igualdad de matrices, la adición, multiplicación por un escalar y transpuesta de una matriz. Los sistemas lineales pueden ser expresados mediante una forma matricial, ya sea escribiendo únicamente los coeficientes de las variables (matriz de coeficientes) encerrados en corchetes, o también incluir sus términos independientes (matriz aumentada): EJEMPLO 1 [Matriz aumentada Sistema de ecuaciones lineales x +y +2= 2 2x +5y +3z= 1 3x -y -22= -1 Forma matriz aumentada 11 102 2.5 3: 1 3 -1 -2: -1 Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de números con m filas y n columnas, se denota con una letra mayúscula y sus elementos con minúsculas: Una matriz está constituida por elementos ay findica el número de fila y j el número de columna en la cual está Ubicado. En la matriz A, el elemento a,,, se encuentra Ubicado en fila 1 y columna 2,¡= 1, j= 2. 1] 37 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Es necesario que aplique sus conocimientos y desarrolle “. ejercicios planteados de la sección 1.2 Matrices del texto base. 2.2. Producto punto y multiplicación de matrices La aplicación y desarrollo de ejercicios del presente tema requieren que previamente se analice de forma detallada en el texto básico el contenido de la sección 1.3 Producto punto y multiplicación de matrices, realice una lectura comprensiva antes de introducirse al estudio en la guía. Una multiplicación de dos matrices A y B, es una operación en la que se desarrolla la suma de productos al combinar una fila de la matriz A con una columna de la matriz B, la fila de A debe contener el mismo número de elementos que posee la columna de B, se operan los elementos respetando el orden de ubicación, el primer elemento de la fila de A multiplicado por el primer elemento de la columna de B, más el producto del segundo elemento de la fila de A por el segundo elemento de la columna de B, se continúa dicho proceso hasta agotar los elementos, cada fila de A se opera con cada columna de B. EJEMPLO 3 [Multiplicación de matrices Con vectores a y b, obtener el producto punto: A Con matrices A y B, ontener el produco AB a.b=(1.2) + (2.3)+(3.4)=2+6+12=20 128 1.3.4 A=|3 7 4 B=|-3 2 3 9.56 -2. 3 -1 1] 40 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer TT MESS Ac) Glosario Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Al multiplicar la matriz A por B tenemos: 1(0)+2(3)+8(-2) — 1(3)+20)+8(3) 1(4) + 2(3) + 8(-D) AB=|3(0+7(3)+4(-2) 36)+70)+48B) —3(0+768)+4D AD+5(3)+6(2) IB+50)+6(B) 94+56)+6D Nótese que para formar la primera fila de la matriz resultante (AB) se operó la fila primera de A por cada una de las columnas de B, este proceso se continúa para cada una de las filas de A. AB =|-26 35 29 -21 31 >] -18 55 45 Recuerde que para poder realizar una multiplicación de matrices es necesario que el número de columnas de la matriz A, sea del mismo número de las filas de B. A B = AB mxn nxp mxp Los valores de m y p determinan el tamaño de la matriz resultante. mxn nxp mxp Los valores de m y p dan el tamaño de la matriz resultante. Otra forma de realizarse la multiplicación de matrices AB, es basado en la operación de una combinación lineal como se indica en el ejemplo 15 de la sección 1.3 Producto punto y multiplicación de matrices del texto básico. Si AB=C, cada columna de C es el resultado de sumar los productos de cada columna de A por los elementos de cada columna de B según corresponda. 1] 41 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Referencias iS DOBOnOB Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre EJEMPLO 4 [Multiplicación de matrices con combinación lineal 128 13 4 A=|3 7 4 B=|-3 2 | 9.56 2.3 -1 1 2 8 113|+ al + ap 9 5 6. 1 2 8 -21 31 2 AB=|3|3|+ 2]|7|+ ala = [2s 35 25) 9 5 6 -18 55 45 1 2 8 413|+ sal + als 9 5. 6. Una aplicación especial de las matrices es que pueden ayudarnos a expresar sistemas lineales basados en la operación de multiplicación. EJEMPLO 5 [Sistema lineal expresado en forma matricial Sea el sistema lineal Aj1X1 +F0j2X2 +HlizXz he... Az1X¡ 0¿Xz HOa3X3 e. +H01nXn =D; +A2nXn =b, AmiX1 FQm2Xz FQm3X3 +ho. FQmnXn =Dm Podemos sustituir las ecuaciones lineales por ecuaciones matriciales sencillas, tomando en cuenta que dos matrices son iguales si y solo si sus elementos correspondientes son iguales. 1% +F0Q7%) +F0j3x3 +. +A nn b, 021%, +0z2X) +0¿3X3 +. +H4znXn | — | Pa Qm1iX1 *FQmzXz Flm3Xz +. +OmnXn Don. Modalidad Abierta y a Distancia IM «2 Preliminares Primer TT MESS Ac) Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre 128 12.2 3 4 10 A+B=|3 7 a+ 7 1J>: 14 5| 9 5.612 3 2 11 8 8 Aplicando la propiedad conmutativa de la suma de matrices se puede reducir el Preliminares proceso a: ES 3 4 10 B+A=|4 14 5 | 11 8 8 TT MESS Tomar en cuenta que 122 17 1/+ 2 3 2 Ac) B+A= 128 3 4 10 3 7 e] -[s 14 s| 956 41.8 8 Glosario Una vez revisado los temas solicitados, es momento z Referencias = = El E 7 1 a o Aj de aplicar lo aprendido, desarrolle algunos ejercicios bibliográficas “« propuestos del texto básico al final de la sección 1.4 Propiedades de las operaciones con matrices. 2.4. Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales Iniciamos un nuevo tema, es adecuado que realice una lectura comprensiva previa del texto básico, lea el contenido de la sección 1.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, debe tener claro los procesos para resolver sistemas lineales. Una matriz se encuentra en forma escalonada reducida si cumple con ciertas características o propiedades las cuales se describen en la definición de la página 62 sección 1.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, es necesario que las lea y las tenga presentes para el desarrollo de ejercicios. En los ejemplos 1 y 2 de la sección mencionada anteriormente, puede notarse las características y ejemplos de matrices que cumplen y no cumplen con la forma escalonada por filas (o renglones) y forma escalonada reducida por filas. 1] 45 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Existen 3 operaciones elementales que se pueden realizar en las filas (o columnas) de una matriz, las cuales usted como estudiante debe conocerlas para poder aplicarlas satisfactoriamente: 1. Intercambiar dos filas (o renglones) 2. Multiplicar o dividir una fila por un número diferente de cero 3. Sumar o restar a una fila, otra fila multiplicada por un número diferente de cero Todas estas operaciones nos permiten transformar una matriz en otra matriz denominada equivalente, con lo cual si la matriz es una matriz aumentada que representa un sistema lineal, el sistema no se altera y las variables mantendrán la misma solución. EJEMPLO 7 ¡Operaciones elementales aplicadas en una matriz 11 1-2 A=|[2 5 3 q (1 3 -1 -2-1 Paso 1. Dado que en la primera fila (f1) el valor es uno, nos sirve y no realizaremos intercambio de ecuaciones, (en caso de no ser uno y no querer intercambiar filas podemos a la fila donde se encuentra el elemento a,, dividirla para a,,) utilizamos este elemento (pivote) para tratar de eliminar los componentes que están en la segunda (f2) y tercera fila (f3) debajo del pivote, a la segunda fila le restaremos 2 veces la primera y a la tercera fila (o renglón) le restaremos 3 veces la primera: 11 1 2 A=|2 5 3 1 12> 12-211 3 -1 -2-1 1.1 1 2 A=l0 3 1 - 3 f3> f3-3H 0.4 -5 -7 1] 46 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer TT MESS Ac) Glosario Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Paso 2. Ahora trabajamos con el primer elemento no nulo de f2, que es 3 (pivote), dividimos la fila 2 para 3 (debemos transformar a 1 siempre al elemento utilizado como pivote), luego adicionamos 4 veces f2 a f3: 1141 02 A=|0 3 1 3 12 > 12/3 0-4 -5 -7 11.1 02 A=|0 1 1/3 -1 | osos 0-4 5 -7 11 1 2 A=| 0 1 1/3 -1 0 0 -11/3 -11 Paso 3. Finalmente multiplicamos la fila 3 (-11/3 nuevo pivote) por -3/11 para transformarlo a 1. 11. 1 02 A=| 0 1 1/3 -1 [estara 0 0 -11/3 -11 11.1 2 1 A=| 01 ¿-1[(0 0.0.1 3 Ha quedado la matriz A transformada a una forma escalonada por renglones. e : sy o operaciones elementales de fila para transformar a una -“ *“« forma escalonada, realice ejercicios propuestos al final de la Es necesario tener práctica en la aplicación de las sección 1.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. 2.5. Resolución de sistemas lineales Es factible utilizar la forma escalonada para resolver un sistema lineal, en el ejemplo anterior (7), dada la matriz A (1), el sistema lineal original puede ser expresado en un sistema matricial similar a (1). 1] 47 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Referencias iS DOBOnOB Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Luego utilizamos como pivote al elemento a,, = 1, y eliminamos con dicho elemento al elemento a,, = 1, por lo que debemos restar f2 a f1. La A= o 1 o : > jr > 1-12 Preliminares 0.0 1 : 3 Primer 100:1 MESS A=|0 1 0 :-2 ] (4) 0.01 :3 TT MESS Por lo que comparando la matriz final (4), con las variables en el sistema lineal original, sería la siguiente expresión: A Ac) x +0y +0z = 1 x = 1 0x +y +0z =-2 y = 2 a 0x +0y +z = 3 2 =3 Glosario Como se puede observar con el método Gauss-Jordan se obtiene directamente is los valores de las variables del sistema lineal, para sistemas homogéneos se pueden presentar siempre una solución trivial o infinitas soluciones, refiérase a los ejemplos 13, 14 y 15 de la sección 1.6. del texto básico. Realizar adecuadamente un proceso de eliminación para resolver sistemas lineales por el método de Gauss-Jordan “« requiere mucha práctica, le invito a resolver ejercicios planteados al final de la sección 1.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, aplicando dicha metodología. 2.6. La inversa de una matriz Los conocimientos de matriz inversa son fundamentales en álgebra lineal, es necesario profundizar respecto al tema por lo cual debe realizar lectura del texto básico en la sección 1.7 La inversa de una matriz. 1] 50 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Una matriz invertible (no singular) A es una matriz de orden nxn (cuadrada) para la cual existe una matriz B de orden nxn tal que AB =BA =/., B sería la matriz nxn? inversa de A (B=A"). Si A no cumple dicha propiedad, es una matriz no invertible llamada también singular. Recuerde que un requisito fundamental para determinar la matriz inversa de A, es que A sea una matriz de orden nxn, es decir una matriz cuadrada. Para poder determinar la inversa de una matriz A, ., su aplicación puede nxn? realizarse adjuntando una matriz identidad /___ y operar mediante la forma nxn escalonada reducida para transformar la matriz A en una matriz identidad / y la matriz inicial / será transformada en la inversa de A, ejemplo: EJEMPLO 9|Obtención de la inversa de una matriz 123 Siendo A= . 5 a vamos a determinar A”: 108 Paso 1. Adjuntamos la matriz identidad /__. y operamos nxn 123:100 ? 5 3:0 1 o 123 12-21 y f3>3-£1 108:0 0 1 1 2 1.00 o 1 2 1 o 13>f3+2f1 0 -2 1.01 o 3: 1.000 001 -3:-2 1 o 13>f3/-1 0.0 1: -5 2 1 12 3 1.00 o 1. 3. :-2 1 o 1131-33 y 2 >f2+3f3 0.0 1 5 2-1 1] 51 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Referencias iS DOBOnOB Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre 0:-14 6 3 0: 13 -5 3 11>11-2f2 0.0. 1: 5 -2 -1 sl on Ron 0.1 0:13 -5 -3 [ 0 0: -40 10 a Preliminares 0.001: 5 -2 -1 Primer Si en la última fila se obtuviera una expresión del tipo 0 0 0: 5 -2 -1, una fila nula para |, implica que la matriz no tiene inversa. TO MESS Por lo tanto ahora tenemos una expresión /A”, lo que implica que AA* = / 1 2 3]f-40 10 9 100 E 5 JE -5 a|-jo 1 o 1.0 8ll5 -2 -1 0.0 1 Ac) Glosario Es de notar que al realizar las operaciones elementales de fila, la matriz inicial se . . . . : o Referencias convierte en otra matriz a la cual se denomina equivalente, mientras se continúe bibliográficas = = El E 7 1 a o realizando operaciones elementales en una matriz siempre se obtendrá una matriz equivalente a la matriz inicial. Una de las principales aplicaciones de la matriz inversa es la resolución de sistemas lineales, dicha aplicación pude usted observarla en los ejemplos 7, 8 y 9 de la sección 1.7 del texto básico. Es hora de aplicar lo aprendido del presente contenido, aplique sus conocimientos y aumente su destreza resolviendo los ejercicios propuestos de la sección 1.7 del texto básico Se sugiere como opcional revisar los temas de matrices elementales en la sección 1.5 del texto complementario de autoría de Anton y factorización LU en la sección 1.8 del texto de los autores Kolman y Hill. Los temas pueden ser analizados de igual manera en las secciones 2.6 y 2.7 del texto de Grossman y Flores. 1] 52 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre X + 2y +2z= 9 b. 2x +4y -3z= 11 Índice 3x +6y -5z= 16 3. Realice la multiplicación matricial AB, AC y BC. 4 1 4 3 1 2 124 LaS A= »B=|0 -1 3 E 2 i ES L 6 ol 2.7 52 24 ES ' o o o o Segundo 4. Por el método de Gauss-Jordan determine si es factible las soluciones de los EA siguientes sistemas lineales: ii o 2x + y +2z2=7 a. 4x +8y -6z= 2 XxX +2y +3z=9 b. - = 2x y o + 27 8 Referencias 3x .2= 3 bibliográficas 3x + 6y -67 = 9 CC. 2x -5y +4z= 6 5x +28y -26z= -8 5. Determine la inversa de la matriz si existe. _[p2 -3 a Bl 5 2 1.1 8 e “8 15 1 3 bo AS 35 5.0 e lí 1] 55 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Retroalimentación general para la solución de la autoevaluación Es importante que desarrolle la autoevaluación haciendo una revisión de la literatura como de los ejercicios propuestos, los mismos que muestran con claridad la forma en cómo se resuelven paso a paso. A continuación, algunas consideraciones para la resolución de los ejercicios. . Considerar que la ley de la cancelación no se aplica en la multiplicación de matrices por lo que AxB'BxA . Si un producto AxB es la matriz cero, en general, no se puede inducir a la conclusión de que A=0 o B=0 . La manera mas rápida de calcular un producto es aplicando las leyes fundamentales de potenciación o radicación según el caso del producto propuesto, para esto debe comprender efectivamente como es su representación. . En las operaciones con matrices debe recordar la ley de los signos para su uso correcto en la solución de los problemas. Ha desarrollado su segunda autoevaluación, seguro que lo realizó con éxito, ¡Felicitaciones! con la misma dedicación y esmero le invito a continuar con el resto de unidades. Es tiempo de iniciar el desarrollo de la tarea, mantenga contacto en el EVA y cualquier inquietud respecto a los contenidos consúltelos a su profesor tutor vía correo electrónico o vía telefónica según horario establecido para las tutorías. 1] 56 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Glosario Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre UNIDAD 3. DETERMINANTES las secciones 3.1 Definición y propiedades y 3.2 Desarrollo Comenzaremos la nueva unidad, es necesario que el tema a tratar lo estudie previamente del texto básico, por lo cual deberá realizar una lectura comprensiva del texto básico de por cofactores y aplicaciones. 3.1. Definición y propiedades En esta unidad analizaremos la función determinante, que asocia un número real f(x) con un matriz cuadrada X, entre las aplicaciones más importantes que se operan con determinantes está la obtención de inversa y resolución de sistemas lineales. En los ejemplos 4, 5, 6 y 7 de la sección 3.1 Definición y propiedades se puede apreciar el proceso de obtención del valor del determinante para matrices de orden 1x1, 2x2 y 3x3, para matrices de mayor tamaño es necesario realizar otros procesos. EJEMPLO 1 [Obtención del valor del determinante por Sarrus Apliquemos los procesos analizados para obtener el valor del determinante de la siguiente matriz de orden 3x3, por el método denominado de Sarrus: 3.1.0 A=|-2 -4 | 5 4-2 Podemos construir una expresión a la cual le adicionamos la columna 1 y la columna 2 a la derecha de la columna 3. 1] 57 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer TT MESS Ac) Glosario Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Aj, = (-1)%1(0) = 0 Aga = (192) = -2 Luego se obtiene el valor del determinante como la sumatoria de cada cofactor A, por el elemento a; de la matriz inicial correspondiente: aA,, = (1)62) =-2 a,A,, = (3)(0) = 0 a,A,, = (1)(0) = 0 AA, = (2)62) = -4 det(A) = -2+0+0-4 det(A) = -6 Es necesario practicar el nuevo método aplicado para obtención del determinante, en el texto básico al final de e e. “o A e a la sección 3.2 Desarrollo por cofactores y aplicaciones, ha se proponen algunos ejercicios donde podrá practicar el método para obtener menores y obtener el determinante. 3.3. Aplicación de determinantes, inversa y resolución de sistemas lineales Si ya realizó la lectura de la sección 3.2 del texto básico notará que obtener los cofactores de los elementos de la matriz A, permitirá formar la matriz de cofactores, la transpuesta de la matriz de cofactores forma la matriz adjunta de A (adjA). La inversa de A se puede definir como el cociente entre su adjunta y el valor del determinante de A: a 1 . O UA 1] 60 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer TT MESS Ac) Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre EJEMPLO 3 ¡Obtención de la inversa por mediante determinantes A= 3.2 -1 163 2 4 0 Paso 1. Obtenemos el valor de su determinante según el proceso analizado en las secciones 3.1 o 3.2 de la presente guía didáctica, por lo que el valor del determinante es 64. Paso 2. Formamos la matriz de los menores, basados en el proceso realizado en el ejercicio anterior de la sección 2.2 det(m)=[% gj=12 detm=[) gls detm,)=[) %,]=-10 det (M,,) =[*, ls det (M,,) =[3 2 det (M,,) =[3 2-0 det (M,,) =|; 31 det (M,,) =|; 10 det (M,,) =[ ¿to Paso 3. Luego obtenemos la matriz de cofactores (C) mediante A; = E1)det(M,), para A,,= (-1)**1(12) = 12, para A,,= (-1)1'2(-6) = 6,continuamos dicho proceso hasta el Aj, 12 6 -16 C=| 4 2 16 12 -10 16 Su transpuesta, es la adjunta de A: 122 4 12 CT=adj(A)=| 6 2 9 -16 16 16 Paso 4. Aplicamos la fórmula para obtener la inversa en función de su adjunta y el valor del determinante: 1] 61 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Referencias iS DOBOnOB Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre a__ 1 . A*= de UA 1p12 4 12 =1 4% = al 2 0) lio 16 16 12 4 12 64 64 64 [6 2 10 64 64 64 16 16 16 64 64 64 La utilización de determinantes para resolver sistemas lineales es factible usando la regla de Cramer, si usted ya realizó la lectura de la sección 3.2 Desarrollo por cofactores y aplicaciones apreciará que el proceso es factible en sistemas en los cuales el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, cuando el sistema posee solución única. EJEMPLO 4 |Resolución de sistemas lineales aplicando determinantes X1 +2x%3= 6 -3x, +4x, +6x3= 30 -X1 2% +3x%= 8 Recuerde que el sistema puede ser escrito en forma matricial Ax = b, donde b = 6 20) 8 Paso 1. Estructuramos las matrices necesitadas para la regla de Cramer: Matriz de coeficientes. 1.02 A=|-3 4 o 1-2 3 1] 62 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Referencias iS DOBOnOB Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre (2) Autoevaluación 3 ETA Preliminares Es tiempo de comprobar sus conocimientos de la tercera unidad, estoy seguro que ahora le resultará más fácil resolver los problemas planteados en la siguiente pe autoevaluación con el éxito esperado, recuerde que en el solucionario podrá bimest comparar sus respuestas. TT MESS 1. Indique con una V (verdadero) o F (falso) las siguientes expresiones: a ( ) En una matriz de orden 1x1, el valor su determinante será el valor correspondiente a a11. : 11 Ar bo ( ) SiA=[a, aj), eldet(A)=a,, a,,- a, 2, Referencias 3.6 iS DOBOnOB c(.) siA=| el det(A) = det(AT). 2 5) _n 2 _p 3 . . d. ( ) A= L 3h yB= E 2 es el resultado de intercambiar las fila, entonces det(A) = det(B). e ( ) A es una matriz cuadrada que posee una fila nula, por lo cual el valor del determinante no existe. 2 1 3 2 2 ] es -8 4.0 2 tf ( ) El cofactor de 3 en la matriz A = g9.( ) El cofactor Aij de aij es definido como A,=(-1) det(M,) h ( ) Si A tiene inversa, entonces aplicando determinantes y su . : 1 _ det(A) adjunta es factible A? = 10 1] 65 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre io ( ) En un sistema lineal es factible obtener el valor de x,, conociendo el determinante de la matriz de coeficientes (A) y el determinante de la matriz A1 obtenida de reemplazar la columna de la variable x, en A por los términos Preliminares independientes del sistema lineal (b). Primer Fl ) Es factible utilizar la regla de Cramer cuando existe solución i única del sistema de ecuaciones lineales. TT A o MESS Ejercicios de Aplicación 11 4 Ac) 2. SiA=|]2 5 6 | determine para a,, y para a,,, sus respetivos menor (M) y 14 8 cofactor. 3. Obtenga el valor del determinante de la matriz A, aplicando desarrollo de Referencias iS = = El E 7 1 a o cofactores, obtenga la adjunta y finalmente obtenga la inversa. » Il RENA W wUuw Non N uNa 4. Resuelva el sistema lineal aplicando la regla de Cramer Xx + -4x +x= 6 44 -% +2x%= -1 2x, +2x -3x3= -20 1] 66 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Primer bimestre Retroalimentación general para la solución de la autoevaluación uN Índice Es importante que desarrolle la autoevaluación haciendo una revisión de la literatura como de los ejercicios propuestos, los mismos que muestran con OMS claridad la forma en cómo se resuelven paso a paso. Primer A continuación, algunas consideraciones para la resolución de los ejercicios. ESE . Recordar que un matriz cuadrada A es invertible si y solo si determinante de Segundo AO MESS = Enalgunos ejercicios requerirá tener presente las propiedades de los SEO determinantes para poder contestar adecuadamente. . El determinante de una matriz 1x1 es: det(x)=x . . . . Referencias . Si una matriz A tiene una fila de ceros pues entonces |A|=0 bibliográficas Ha desarrollado la tercera autoevaluación ¡Felicitaciones!. Su constancia y esfuerzo seguro le han permitido realizar con éxito esta prueba, si existió alguna dificultad, es momento de profundizar un poco más los temas analizados y solucionar las inquietudes que han surgido. Hemos concluido los temas del primer bimestre. ¡FELICITACIONES! No olvide que realizar la tarea es impostergable, no deje pasar el tiempo de envío, no espere para realizarla dicha actividad el último día, es mejor que entregue la evaluación con anterioridad. 1] 67 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Figura 2. Representación de un punto en el plano (R?). 4.2. Longitud, distancia y producto punto entre vectores en R? y R* La longitud de un vector, denominada también magnitud, y la distancia entre vectores, pueden ser obtenidas tomando como base la aplicación Referencias iS DOBOnOB v. del teorema de Pitágoras, si v es el vector 2). entonces su magnitud es Ivi = /v? + vz, y la distancia entre dos puntos o vectores v y u, estará dada por IIv=ull = /(v,-u, )? + (v¿-u, )? , la misma base sería para R?, aumentándose una de los componentes. EJEMPLO 1 [Operaciones de vectores en R? y R? v= [2] Iv = [2 +63? =v13 u= [3 Mall= (2 + Es +1? =y74 1 v= [2] u=[2) to-ul= ¡CDF EDF = Y2 2 1 u= El p= El lu = JO F ES EDPF AIN = v6 1 3 1] 70 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre En el texto básico sección 4.1 Vectores en el plano, se ofrece información respecto a operaciones con vectores, analice y resuelva ejercicios respecto a suma de vectores y multiplicación por escalar de un vector. El producto punto entre dos vectores, puede ser relacionado con el ángulo entre los vectores y resulta de la suma de los productos de los componentes (R? o R3) según su orden de ubicación en el vector, EJEMPLO 2|Producto punto en R? u.v= llulllivil cos SNA u=(2,-3,1)y, p=(1,-2,3) u.p = 2.1 + (-3)(-2) + 1.3= 11 Realice la lectura del presente tema en el texto básico, analice cuándo los vectores pueden ser ortogonales entre sí, en que consiste un vector unitario y las propiedades del producto punto en R?y R3. En el texto básico al final de la sección 4.1 Vectores en el plano, se propone problemas referentes al presente tema, realice ejercicios para determinar magnitud, distancia y el producto punto entre vectores en R?, 4.3. Vectores R” Un n-vector es una matriz de nx1 uy ua u=|%3 Un, 1] 71 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre Muchos conceptos y propiedades son similares a los ya analizados en el tema anterior en R?y R?, Índice Se solicita revisar en el texto básico las propiedades de las A Preliminares Primer MESS operaciones para vectores en R” indicadas en el teorema 4.2 sección 4.2 n-vectores. Sean los vectores u= u,, U,, ....., U, y el vector v= v, y V_o 000=» V_, Y € Un escalar entonces: Segundo MESS La igualdad en n-vectores se da si cada componente es igual, es decir y = v, si 4, = V, U)= V,.....U =V,. AE Ejemplo: Sea u= (2, 1,3,4) y v= (2, 1,3,4), entonces u=v Referencias iS La suma estará dada por: u+ V= (U, + V,, U,+ V,,.....,U, + V,) Ejemplo: Sea u= (2, 1,3,4) y v= (1, 1,3,4), entonces u+v= (3,2, 6,8) La multiplicación por escalar, c, = cu, ,Cu,,....., CU, Ejemplo: Sea c= 3 y u= (2, 1,3,4), entonces cu= (6,2, 9,2) 1] 72 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre El cálculo puede realizarse sin el uso de la nomenclatura de los vectores unitarios: u=(1,-2,1), v=(3,1,-2) w=GÍ 2h bl 7D uxv = (3,5,7) EJEMPLO 4 [Vectores ortogonales y producto cruz cero Existen ciertas propiedades en vectores en R?, si dos vectores son ortogonales su producto punto es cero, y el producto cruz de un mismo vector es el vector nulo O. u=(1,-2,1), uxv = (3, 5, 7) u.(uxv) = (1, -2, 1).(3, 5, 7) =1.3+ (2)5+ 1.7 =3-10+7=0 0 (3 Mel HE 3p=000 Aumente su pericia para obtener el producto cruz entre vectores, del texto básico desarrolle los ejercicios planteados al final de la sección 5.1 del texto básico Producto cruz en R*. Una unidad más culminada, estoy seguro que lo realizó con éxito, felicitaciones, es hora de aplicar lo aprendido, desarrolle la autoevaluación 4 y si existen dudas refiérase al texto básico y solucionario para solventar sus inquietudes. 1] 75 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer TT MESS Ac) Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre (2) Autoevaluación 4 ETA Preliminares Hay que validar nuestros conocimientos de la cuarta unidad, estoy seguro que ahora le resultará más fácil resolver los problemas planteados en la siguiente pe autoevaluación con el éxito esperado, recuerde que en el solucionario podrá bimest comparar sus respuestas. TT MESS 1. Indique con una V (verdadero) o F (falso) las siguientes expresiones: a ( ) El segmento de recta dirigido que se extiende desde el punto P al punto Q en R2 es denotado por PQ. DOBOnOB b. ( ) Dos segmentos de rectas son equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección. SES iS Cc ( ) Un vector v en R2, es un par ordenado de números reales (a, b), los números a y b se denominan componentes del vector v. d. ( ) El vector cero en R2 es el vector (0,0). e ( ) v = (a, b), entonces ||v]| = Va? + b2 tf ( ) La adición de vectores u = (1,-2,5) y v=(3,2,-1) en R3 se realiza operando (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3), por lo que u+v = (4,0,4). 9. ( ) Dos vectores son ortogonales si y sólo si su producto escalar es cero. h ( ) La distancia entre los puntos (1,2,3) y (3,5,-1) es 22 432442 1] 76 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre il ) (i + Sk —)). (k-4j+21) =9. (¡ +2k)x(21+3j-4k) =-2i +8j + 5k. Ejercicios de aplicación 2. Sia= (2,3,4), b=(1,-2,5) y el escalar c = 2 determine: a. Cca= b a+b= c ab= d. llall= e. axb= Retroalimentación general para la solución de la autoevaluación Es importante que desarrolle la autoevaluación haciendo una revisión de la literatura como de los ejercicios propuestos, los mismos que muestran con claridad la forma en cómo se resuelven paso a paso. A continuación, algunas consideraciones para la resolución de los ejercicios. . Un vector se forma cuando un punto se desplaza una distancia dada en una dirección dada. . Es conveniente recordar que se puede tener un vector [0,0] también llamado vector cero. . Si se tiene vectores en R? entonces tendrá tres coordenadas cada punto en el plano cartesiano. IM > Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre Xq * -x =-| * |, por lo cual, x-x = 0, el resto de propiedades se obtienen de la Xp. definición de suma de vectores (matrices) y son aplicables, por lo que se puede definir en el presente ejemplo que las matrices nx1 si forman un espacio vectorial. EJEMPLO 2|Espacio vectorial trivial Sea V = (0), es decir V, consiste solo en el número O, podemos demostrar que 0+0= 0, 1.0=0, 0+(0+0)=0, se puede advertir que en todas las operaciones de las propiedades dará como resultado O, por lo que se concluye que V, si es un espacio vectorial, a este espacio se lo suele denominar trivial. EJEMPLO 3 [Conjunto que no es espacio vectorial Sea V = (1), V consiste únicamente del número 1, si aplicamos las propiedades se puede apreciar que no es un espacio vectorial, ya que 1+1=2, 2 no pertenece a V, V está formado únicamente por el número 1. Afirme sus conocimientos con más ejemplos indicados en E bd el texto básico, aumente su destreza en el tema realizando e a ] ” o ejercicios planteados al final de la sección 6.1 Espacios vectoriales. 5.2. Subespacios Haber estudiado y conocer del tema anterior le ayudará a dominar el presente contenido, además es necesario que revise la sección 6.2. Subespacios El concepto de subespacio hace referencia a un subconjunto W no vacío que pertenece al conjunto V, si Wes un espacio vectorial y cumple las operaciones en V. Todo espacio vectorial tiene al menos dos subespacios, él mismo y el subespacio (0) que consta únicamente el vector cero. 1] go Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer MESS TT UE Ac) Glosario Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre Consideremos que un subconjunto puede ser considerado subespacio si cumple las siguientes condiciones: . Si u y v pertenecen a H, entonces u + v pertenece a H . Si u pertenece a H, entonces cu pertenece a H para todo número o escalar C. EJEMPLO 4 |Subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V, ya analizado anteriormente el subconjunto (0) que consiste en el vector cero, podríamos decir que es únicamente un subespacio ya que 0 + 0=0, y c 0=0 para todo número real c, por lo que constituye una subespacio trivial. EJEMPLO 5 |Subespacio de R? Sea H = ((x,y): y = mx], dado a que H es un espacio vectorial en R?, entonces H es un subespacio de R?, recuerde que un espacio vectorial es subespacio de él mismo. EJEMPLO 6|R sin subespacio propio Sea S un subespacio de R, si S (0), S tiene en su contenido elementos diferentes de cero, se podrían dar muchas propiedades como que c + d (diferentes a cero) pertenecen a S, pero un subespacio debe contener el elemento 0, y la condición es de que 0 no está incluido en el subconjunto de S, por lo que en el caso presente el R no tendría subespacio propio. EJEMPLO 7 |Subespacio propio de M,,, Sea M,, (las matrices de nxn), y sea S = (B M,,: B es invertible], entonces S no es un subespacio, debido a que la matriz cero de nxn no está en H, recuerden que una matriz invertible cumple el concepto de AB =I, si Ao B son cero no se podrá obtener l, la matriz identidad. 1] 81 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer TT MESS Ac) Glosario Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre . dea : . . bad más ejemplos analícelos previamente para que desarrolle “«. algunos de los ejercicios propuestos al final de dicha En el texto básico en la sección 6.2 Subespacios, se ofrecen sección. 5.3. Espacio generado e independencia lineal En la sección 6.3 Independencia lineal, se describe con detalle el presente tema, realizar una lectura comprensiva del mismo en el texto básico antes de continuar. Un espacio vectorial V puede contener una infinidad de vectores, un vector de V puede ser expresado como una combinación lineal de vectores de tal conjunto, cuando un vector puede ser representado por medio de una combinación de otro u otros vectores se dice que son vectores linealmente dependientes, caso contrario se denominan linealmente independientes. Los vectores V,, V,....... v, de un espacio vectorial V, generan a V, si cada vector en V, es una combinación lineal de v,, V,,....... v, Para determinar si los vectores Mar Varios v, generan el espacio vectorial V se selecciona un vector arbitrario v de V y luego se determina si v es una combinación lineal de los vectores dados. En caso de serlo, los vectores dados generan a V;, si no lo es, resulta que los vectores dados no generan a V. EJEMPLO 8 |Espacio generado por dos vectores en R? Sea v, = (1,2,1), v, = (1,0,2), sea v = (x, y, z), debemos determinar si existen constantes tales que: 0,0, + 070, =0V, 1 1 x aj|2]+a,|0]= () 1 2 z 1] 82 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Glosario Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre Si requiere más análisis de los temas, revise los ejemplos en la sección 6.3 Independencia lineal, luego desarrolle algunos de los ejercicios propuestos al final de la sección. 5.4. Base y dimensión El presente tema requiere la lectura comprensiva del texto básico en la sección 6.4 Bases y dimensión, se sugiere realizar su lectura antes de continuar. Para que un conjunto de vectores v,, v,...v, formen una base debe darse dos condiciones: 1. GeneranaV 2. Son linealmente independientes EJEMPLO 13|Vectores unitarios que forman una base En el ejemplo anterior i= (1, 0,0), j= (0, 1, 0) y k= (O, 0,1) en R?, establecimos que S= (i, j, kJ, es un conjunto linealmente independiente, analicemos si generan V, pues dado que cualquier vector v = (a, b, c) en R? se puede escribir como: v= (a,b,c)= a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = ai+bj+ck Por lo que S es una base para R?, se denomina base estándar de R*, se concluye que las coordenadas de v respecto a la base estándar son a, b, c, de modo que (v)= (a,b,c). EJEMPLO 14|Tres vectores que forman una base en R? Sea v, = (1,2,1), v, = (2,9,0), v3 = (3,3,4), demostremos si el conjunto S= fv,, v,, v¿),es una base para R?. 1] 85 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer TT MESS Ac) Glosario Referencias iS = = El E 7 1 a o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre Un vector arbitrario b = (b,, b,, bz), puede ser expresado como b = c,v, + C¿0, + C3V3 de los vectores de en S, es decir: Índice b=(b,.b,,b3)=01(121) + 6,2.9.0),+0,8,34) Igualando los componentes: Primer MESS (1 +2c, +3c3= b, TT 2c, +9c, +3c¿= b, ESTO C1 + 4c3 = bz Estableciendo la matriz de coeficientes obtenemos: 9 3 Referencias iS Y su det(A) = -1 Si0 = c,D, + CV, + C3V3, se comprueba también que c, = C, = Cz =0, por lo que existe independencia, como también existe solución al sistema, por tanto S es una base para R?. Puede demostrarse que un conjunto de vectores S = [v,, V, .... V, ) forman una base estableciendo que C,D, + (70, + ++*** + CV, = 0, existiendo una única solución c, = Cz = C, = 0, lo cual mostraría que son linealmente independientes. La dimensión es el máximo número de vectores independientes que podamos tener en un espacio o subespacio, el cual puede ser de dimensión finita si existe un subconjunto finito de V que es una base para Y en caso contrario puede ser de dimensión infinita, es de notar que si S = [v, va, va) Va] es una base para un espacio vectorial V, entonces cada vector en V, se puede escribir de una y sólo una forma como combinación lineal de los vectores en S. 1] 86 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre EJEMPLO 15|Base y dimensión en R* Analicemos si de los siguientes vectores, todos ellos son una base para R*, determinemos la base y dimensión: v, = (2,-1,1,0), v, = (2,—1,1,0), v3 = (-1,2,—2,1), v, = (0, —3,0,1) vs = (1,1, -1,1) CV, + CU + C3U3 + C¿V4 + C5U5=0 2c, +2C, -C3 +c=0 -C -C3 +23 -—3C4 +c3=0 (1 +3 -2C3 -c5=0 Cg +C4 +c=0 Al operar la matriz aumentada y reducirla a la forma escalonada reducida, se obtiene: 1100m16:0 0.0. 1.01:6:0 00.01.06:0 0.0.0.0.06:0 Por lo que la dimensión estará dada por el número de vectores independientes (número de elementos de la base), en el presente caso sería los vectores V, ,Vz y V4 (que constituyen la base para R*), v, es dependiente de v, por lo que ho se debe contar y si se analiza V, + Vz = Us por lo que v, no puede ser parte de la base. EJEMPLO 16|Base y dimensión en R? v, =(1,2),v, = (2,-1), vz = (-1,3) CD, + C70, + (313 =0 c1+2c2-c3=0 2c1-c2+3c3=0 1] 87 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Referencias iS DOBOnOB Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre El número de vectores para el espacio solución del sistema será la nulidad, determinemos la nulidad: (1 Ca C3C4 5 102.0 1: 0 012.0 -1: 0 0.0.0 1 2: 0/() 00 0 0 0: 0 00 0 0 0:00 La solución será: C¡=-C5 -2C3 C7=C5 -2C3 C3=C3 C4=-2C5 C5=C5 Por lo que asignando términos, c; = t,c, = —2t,C3-S, C¿-t-25,C, = -t-2s, entonces los vectores que constituyen la solución es de la forma: vb -2 -2 C1 t-2s t-2s 1 =| s |=t| O|+s] 1 -2t 2 0 5 t 1 0 Si multiplicamos por cualquier valor para t y s, en los vectores Va y vb, y aa eN va -1 > reemplazamos en las filas de (b) se dará siempre la solución del sistema. Con va, c, = —1,c, = 1,03 = 0,04 =-—2,c5 = 1 1] 90 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer MESS TT MESS Ac) Referencias iS Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal (1 Ca C3C4 Cs 1020 1:00 01. 2.0-1:0 00.00 1 2: 0 00.0 0 0:00 00 0 0 0:00 Comprobemos para la primera fila 1(-1)+0(1)+2(0)+0(-2)+1(1) = O 0=0 Se cumple igual para todas las filas Con vb, c, = -2,c, = -2,c3 =1,C4=0,05 =0 Ci Ca C3 Cg4 Cs 102.0 1: 0 012.0 -1: 0 0.0 0 1 2: 0|(b) 00 0 0 0: 0 0.0 0.0 0:00 Comprobemos para la primera fila 1(-2)+0(-2)+2(1)+0(0)+1(0) = O 0=0 Se cumple igual para todas las filas. Segundo bimestre De igual manera si reemplazamos los componentes de va y vb para los valores de C; ... ... Cs en (a), de forma correspondiente c, = -1,..., Cs = 1,0 para el vector vb, c, = —2,...,Cg = 0, también serán los vectores solución. CD, + CU, + C3U3 + C¿V4 + C505=0 Para va, será: -10, + 1v, + 0v3-2v, + 1v, =0 - 1 (1,0,0,1,2) + 1 (1,1,0,-1,1) + 0 (4,2,0,0,6) - 2 (1,1,1,0,0) + 1 (2,1,2,2,1) =0 IM e Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Referencias iS DOBOnOB Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre Para vb, será: -20, + -20, + 103 + 00, +0v,=0 - 2 (1,0,0,1,2) + (-2(1,1,0,-1,1)) + 1 (4,2,0,0,6) + O (1,1,1,0,0) + O (2,1,2,2,1) =0 Concluimos que la dimensión del espacio solución (vectores va y vb) es 2, lo que corresponde a su valor de la nulidad (número de vectores del espacio solución). Recordemos entonces que en una matriz de mxn, rango + nulidad = n, en nuestro ejemplo se formó una matriz de orden 5x5, rango 3 y nulidad 2, por lo cual se cumple el teorema 6.12. Podemos determinar si una matriz de nxn es no singular (posee inversa, y por lo tanto el sistema de donde proviene tener solución, ya que sus vectores o filas que la forman son independientes) si y sólo si rango de A=n., lo cual será factible si det(A)*0. Desarrolle su pericia y conocimientos en la resolución de problemas respecto al tema estudiado, más ejemplos “« usted puede obtenerlos del texto básico accediendo a los ejercicios propuestos al final de la sección 6.6 El rango de una matriz y sus aplicaciones. Se sugiere para reforzar el presente tema leer el contenido 5.6 del texto complementario del autor Anton, en el cual describe con detalle algunos fundamentos, conceptos y fundamentos del presente contenido. 1] 92 Modalidad Abierta y a Distancia Preliminares Primer bimes TT MESS Ac) Glosario Referencias iS E] o Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Ejercicios de aplicación 2. Determine si el conjunto dado V es cerrado (constituye o no espacio vectorial) bajo las operaciones O y O. 3. Determine si el conjunto W, formado por todos los puntos de R?, que tiene la Segundo bimestre Índice Preliminares V = ([(x, y): y = 2x + 1,x € R), es decir V, es el conjunto de puntos er en R2 que están sobre la recta y=2x+1, suponga 2 puntos para las ES operaciones (x1,y1) y (x2,y2), los cuales están en V. V, es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales (Xx, y), Segundo o o ES donde x>0 y y>0; donde las operaciones están definidas como : (6 y) O”, y") = (x+ x,y+ y") y cO(x,y)= (cx, cy) Referencias forma (x,x), es una línea recta y si puede ser considerado un subespacio. bibliográficas DOBOnOB 4. Determine si los vectores v, = (1,2,0,1,),v, = (1,0, —1,1), v3 = (1,6,2,0), son linealmente independientes. 5. Sea S=fV1,V2,V3,Va ), donde v, = (1,2,2,), vz = (3,2,1), v¿ = (11,10,7), va = (7,6,4). Determine una base para el subespacio R?, y la dimensión. 6. Determine el rango y nulidad de A. 12 1 3 la 1 4 5 A=l7 3 o5 1 10 14 -2 8 ES Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal Segundo bimestre Retroalimentación general para la solución de la autoevaluación uN Índice Es importante que desarrolle la autoevaluación haciendo una revisión de la literatura como de los ejercicios propuestos, los mismos que muestran con OMS claridad la forma en cómo se resuelven paso a paso. Primer A continuación, algunas consideraciones para la resolución de los ejercicios ESE . Las propiedades que se debe tomar en cuenta para los espacios vectoriales Segundo MESS serían: Cerradura, conmutativa, asociativa y distributiva = Recuerde que las propiedades que definen un espacio vectorial son las SEO mismas que se aplican directamente a los números reales . Puede resumirse los espacios vectoriales de la siguiente manera: ES : Referencias . R= conjunto de todos los números reales bibliográficas . R*= conjunto de todos los pares ordenados . R*= conjunto de todas las tercias ordenadas . R”= conjunto de todas las n-adas ordenadas . Para la solución de los ejercicios de aplicación cabe señalar que es importante tener en cuenta el producto por un escalar y este debe cumplir con las propiedades para ser un espacio vectorial. 1] 96 Modalidad Abierta y a Distancia Mi Guía didáctica: Álgebra Lineal (2). 7. Solucionario AUTOEVALUACIÓN 1 al NM F>ioj¡ajoj|oj¡o <|m|m¡<|m|< 2. A 3. ITEM RESPUESTA a. 1a, 2b, 3c b. 1c, 2a, 3b C. 1b, 2a,3c 4. a) NM 2x +4y -6z = 12 x +2y +z =13 3x +6y -9z =10 3x +6y -9%z =10 x +2y +z =13 p 2x +4y -6z = 12 a. 3x +6y -% =10 x +2 +z =13 c.8x +l6y -24z = 32 1] 97 Modalidad Abierta y a Distancia Índice Preliminares Primer bimest TT MESS Referencias iS DOBOnOB