GUIA DE EJERCICIOS DE ALGEBRA II - TRANSFORMACIONES LINEALES Y DIAGONALIZACION, Ejercicios de Álgebra Lineal

¡Descarga GUIA DE EJERCICIOS DE ALGEBRA II - TRANSFORMACIONES LINEALES Y DIAGONALIZACION y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Universidad de Atacama Algebra II Departamento de Matemática Segundo Semestre 2016 Ingenieŕıa Gúıa Transformaciones Lineales Ejercicio 1 Sea B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} base de R3. Hallar las coordenadas del vector (1, 2, 3), respecto de esta base. Ejercicio 2 Sea B = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)} base de R3. Hallar las coordenadas del vector (2,−1, 3), respecto de esta base. Ejercicio 3 Demostrar que T : R3 7→ R2 definida por T (x, y, z) = (x − 2y + z,−x) es una trans- formación lineal Ejercicio 4 Determinas si f : R2 7→ R2 definida por f(x, y) = (x + 2, y) es una transformación lineal Ejercicio 5 Sea T : R4 −→ R2 definida por T (x, y, z, t) = (x− 2y, y − 2t)). a) Calcular una base para el núcleo de T b) Calcular todos los v ∈ R4 tales que T (v) = (1, 1), si es que existen. Ejercicio 6 Sea T : R4 7→ R2 definida por T (x, y, z, t) = (x− 2y, y − 2t) a) Calcular T (1,−2, 5,−1), T ( 2 3 (1,−2, 5,−1)) b) Hallar a, b si es que existen, tal que T (a(1, 1, 0, 0) + b(1,−1, 1, 1)) = (11,−11) c) Determinar k ∈ R, si es que existe, tal que (1, k,−1, 1) pertenezca al núcleo de T. d) Determinar el núcleo de T, y una base para este subespacio (una base para el núcleo). e) Determinar una base de ImT y su dimension. Ejercicio 7 Para cada transformación lineal determinar el rango y la nulidad. a) T : R2 7→ R2; T (x, y) = (2x− y, 3y − 6x) b) T : R2 7→ R4; T (x1, x2) = (x2,−x1, x1 + 3x2, x1 − x2) c) T (x1, x2, x3) = (x3 − x1, x1 − x2, x2 − x3) R3 7→ R4; definida por T (x, y, z, s) = (x − y, y − z, z − s, s, x) Ejercicio 8 Sea T : R3 7→ R3 la transformación lineal definida por: T (x, y, z) = (x− ay − bz, ax− 2y − bz, ax− 5by + cz) 1 a) Hallar, si es que existen a, b, c ∈ R tal que (1, 2, 1) pertenezca al núcleo de T . b) Para a = 1, b = 1, c = −1, determinar una base del núcleo de T y una base de Im(T ). Ejercicio 9 Sea T : R3 7→ R2 definida por T (x, y, z) = (2x,−2x− 3y). Determinar: a) Si T (1,−5,−9) + T (0, 1,−4) = T (2,−3,−5) b) a ∈ R, si es que existe, tal que T (2, a, 1) + T (1, 0,−3) = T (−1,−1,−1) c) b ∈ R, si es que existe, tal que T (b, 0, b) + T (0, b, 1) = (4,−b− 2) Ejercicio 10 Para cada transformación lineal determinar: • Ker(T ) • Base del subespacio Imagen • η(T ) y ρ(T ) • η(T ) + ρ(T ) a) T : R2 7→ R2; definida por: T (x, y) = (2x− y, 3y − 6x) b) T : R3 7→ R4; definida por T (x1, x2, x3) = (x2 − 2x1, 4x1 − 2x2,−x1 + x2, x1 − x2 + x3) c) T : R3 7→ R3; definida por: T (x1, x2, x3) = (x3 − x1, x1 − x2, x2 − x3) Ejercicio 11 Seal las tranformaciones: S : R3 7→ R2/S(x, y, z) = (x+ y, y − z) T : R3 7→ R3/T (x, y, z) = (x, x− z, x− y) R : R3 7→ R3/R(x, y, z) = (x, 2y, x+ 3z) Determinar si existen • T +R • 3T − 2R • S ◦ T • S −R • S ◦R • T ◦ S • R ◦ T Ejercicio 12 Sea T : R3 7→ R2, una t.l. definida T (1, 0, 0) = (2,−3); T (0, 1, 0) = (−1, 1) y T (0, 0, 1) = (−2, 5), determinar a) T (x, y, z) b) Ker(T ) c) Im(T ) d) η(T ) 2