Organización y descripción de datos: estadísticas descriptivas y pruebas de hipótesis, Diapositivas de Estadística

¡Descarga Organización y descripción de datos: estadísticas descriptivas y pruebas de hipótesis y más Diapositivas en PDF de Estadística solo en Docsity! INGENIERÍA EN SISTEMAS AMBIENTALES GUIA DE ESTUDIO PARA EL ETS DE ESTADÍSTICA ¿QUÉ EVALÚA EL EXAMEN A TÍTULO DE SUFICIENCIA DE ESTADÍSTICA? Evalúa un conjunto de habilidades y competencias relacionadas con el manejo de datos. Obtención de datos: Se evalúan conocimientos básicos de los esquemas de muestreo y diseños experimentales que se utilizan para la obtención de datos sin sesgo. Organización y descripción de datos: Se evalúa la capacidad para realizar operaciones que permitan organizar conjuntos de datos y la obtención de estadísticos descriptivos. Análisis e Interpretación. Se evalúa la capacidad de obtener conclusiones acerca de las poblaciones de las que fueron obtenidos los datos muestrales. El ETS incluye 10 preguntas distribuídas de la siguiente manera: Tema Preguntas Puntuación Estadística Descriptiva 1 10 puntos Muestreo y Diseño de Experimentos 1 10 puntos Inferencia Estadística: Pruebas de Hipótesis a partir de una o dos muestras 2 20 puntos Análisis de Varianza 1 10 puntos Regresión y correlación lineal 2 20 puntos Interpretación de resultados de análisis realizados con programas estadísticos. 3 30 puntos CONTENIDOS TEMÁTICOS : UNIDAD I Estadística descriptiva UNIDAD II Muestreo y diseño de experimentos UNIDAD III Inferencia estadística UNIDAD IV Análisis de Varianza UNIDAD V Regresión y correlación Duración del Examen a Título de Suficiencia será de 2 horas. EJERCICIOS UNIDAD I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CÁLCULO DE ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS 1. Ejercicio resuelto: Se obtuvieron registros de la cantidad de depósito húmedo de nitratos (en kg/ha) como parte de la lluvia ácida registrada en Massachussets entre Julio y Septiembre en años recientes (basados en datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos). Calcule la media aritmética o promedio, mediana, cuartiles, moda, máximo, mínimo, rango, desviación estándar y varianza Sumatorias. ∑𝑥 =65.97 ∑𝑥! =406.12 media aritmética o promedio: ?̅? = ∑# $ = %&.() ** = 5.997 mediana = dato que queda a divide en dos mitades al conjunto de datos ordenados En orden de menor a mayor: 4.66 5.21 5.24 5.41 5.53 5.53 6.00 6.40 6.80 6.96 8.23 Mediana = 5.53 Cuartiles: Cuartil 1 Q1= 5.24, Cuartil 3 Q3 = 6.80 Moda: 5.53 (el número que más veces se repite) Máximo = 8.23 Mínimo = 4.66 Rango o ámbito de variación = 8.23 – 4-66 = 3.57 Desviación estándar: 𝑠 = + 𝑛∑𝑥! − (∑𝑥)! 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) 𝑠 = + 11 ∗ 406.12 − (65.97)! 11 ∗ (11 − 1) = 1.0238 Varianza : s2 = (1.0238)2= 1.048 6.40 5.21 4.66 5.24 6.96 5.53 8.23 6.80 5.53 6.00 5.41 𝑠 = + 24[378] − [95]! 24 ∗ (23) = 0.2918 c) Mediana: La mediana de un conjunto de datos es el valor del cual la mitad de los datos son menores a él y la mitad de los datos son mayores que él. Es el valor que divide al conjunto de datos en dos mitades iguales, después de ordenarlos de menor a mayor. En el caso de datos agrupados, la fórmula es la siguiente: Donde: Li = límite real inferior de la clase que contiene a la mediana Fme-1 = sumatoria de las frecuencias anteriores a la clase en donde se encuentra la mediana fme = frecuencia de la clase en donde se encuentra la mediana A = amplitud de la clase en donde se encuentra la mediana A = Ls - Li Ls = límite superior de la clase que contiene a la mediana n = número de datos en la muestra En el ejemplo de las alas de mariposa: Posición de la mediana = n/2, en este caso 24/2 = 12. De menor a mayor, el 12º dato, queda en la clase marcada con * 𝑋+,- = 3.95 + ? 12 − 11 4 @ ∙ 0.1 = 3.975 EJERCICIOS 3. Indica cuáles variables son cualitativas y cuáles cuantitativas: a. Comida preferida. b. Equipo de futbol favorito. c. Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada. d. Número de alumnos de tu grupo. e. El color de los ojos de tus amigos. f. Coeficiente intelectual de tus compañeros. 4. Se tienen las siguientes cantidades (lb) de papel desechado por hogares en una semana (datos recolectados por el proyecto de Desperdicios de la Universidad de Arizona). Calcule la media, mediana, desviación estándar y varianza. papel 9.55 6.38 2.80 6.98 6.33 6.16 10.0 12.29 5. A partir de los siguientes datos de pesos (lb) de osos silvestres de Alaska: 116 182 150 65 356 316 94 86 150 270 202 202 80 344 416 248 166 220 262 360 204 144 332 34 Obtenga la media, mediana, moda, máximo, mínimo, cuartil 1 y cuartil 3 del peso de los osos silvestres. Realice una gráfica de cajas y bigotes para representar la información 6. A continuación se enlistan dos conjuntos de datos (a. y b.) que se supone que son estaturas (en pulgadas) de hombres adultos seleccionados al azar. Construya una tabla de frecuencias para cada conjunto de estaturas. Examinando las dos tablas de frecuencias, identifique el conjunto de datos que le parezca falso, y diga por qué. a. 70 73 70 72 71 73 71 67 68 72 67 72 71 73 72 70 72 68 71 71 71 73 69 73 61 66 77 67 b. 70 73 70 72 71 66 74 76 68 75 67 68 71 77 66 69 72 67 77 75 76 76 76 77 73 74 69 67 7. A continuación se da una tabla de frecuencias de consumo de alcohol antes del arresto para convictos del sexo masculino que actualmente cumplen una condena por conducir en estado de ebriedad, y una tabla correspondiente para mujeres (basada en datos del Departamento de Justicia de Estados Unidos). Obtenga primero las columnas de frecuencia relativa correspondientes y luego utilice los resultados para realizar dos histogramas de frecuencia relativa. Usando estas distribuciones, ¿Difiere las distribuciones de frecuencias relativas de hombres y mujeres? Etanol consumido por hombres (onzas) Frecuencia F relativa 0.0-0.9 249 1.0-1.9 929 2.0-2.9 1545 3.0-3.9 2238 4.0-4.9 1139 5.0-9.9 3560 10.0-14.9 1849 15.0 o más 1546 Etanol consumido por mujeres (onzas) frecuencia F relativa 0.0-0.9 7 1.0-1.9 52 2.0-2.9 125 3.0-3.9 191 4.0-4.9 30 5.0-9.9 201 10.0-14.9 43 15.0 o más 72 8. La siguiente tabla de frecuencias presenta frecuencias de pesos de hojas de eucalipto (g): Clase Frecuencia f Marca de clase x f•x F acumulada 1.85-1.95 2 1.95-2.05 1 2.05-2.15 2 2.15-2.25 3 2.25-2.35 5 2.35-2.45 6 2.45-2.55 4 2.55-2.65 3 2.65-2.75 1 Completa la tabla. Utilizando la marca de clase, frecuencia y/o frecuencia acumulada: a) Calcula la media de los pesos de las hojas considerando los datos agrupados. b) Calcula la mediana de los pesos de las hojas considerando los datos agrupados. c) Haz el histograma de frecuencias. d) ¿Dirías que es probable que la distribución de los datos sea una Distribución Normal? UNIDAD II MUESTREO Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS 9. Ejercicio resuelto: A continuación se presentan los siguientes datos de sedimentación de sulfato obtenidos a partir de muestras de agua de lluvia (kg/ha). 11.9 13.1 8.0 17.3 12.1 11.8 11.5 13.5 11.3 8.2 Construye el intervalo de confianza del 95% para la cantidad media de sulfato. ?̅? = 11.87, s = 2.638 t 0.05(2), g.l.= 9 = 2.2622 (obtenido de la tabla de t de Student, con g.l. = n-1 y a= 0.05 (dos colas)) IC (𝑥 ) − 𝑡 ∙ ! √# ≤ µ ≤ 𝑥 ) + 𝑡 ∙ ! √# ) = 100*(1 - a )% I.C. (11.87−2.2622 ∙ $.&'( √)* ≤ µ ≤ 11.87 + 2.2622 ∙ $.&'( √)* ) = 95% I.C. (11.87−2.2622 ∙ $.&'( √)* ≤ µ ≤ 11.87 + 2.2622 ∙ $.&'( √)* ) = 95% I.C. (9.98 ≤ µ ≤ 13.76) = 95% La media estimada está entre 9.98 y 13.76 10. Suponga que tenemos los siguientes valores de medias aritméticas de compuestos orgánicos volátiles (en ppb), de muestras de aire obtenidas aleatoriamente de la misma ciudad, el mismo mes. Si hay que elegir la media más representativa ¿cuál sería tu el valor de tu elección? ?̅?)= 27 (n= 15) ?̅?$= 25 (n =20) ?̅?'=18 (n =10) 11. Los datos siguientes son mediciones de partículas menores a 10 µm de muestras de aire obtenidas de 35 sitios de monitoreo de la Ciudad de México (µg/m3): 68, 63, 42, 27, 30, 36, 28, 32, 65, 43, 25, 74, 51, 36, 42, 28, 12, 32, 49, 38, 42, 27, 31, 50, 22, 43, 27, 49, 28, 23, 19, 46, 79, 27, 22. Estima la media de la población de partículas con un intervalo de confianza de 99%. ¿Cuáles serían los límites inferior y superior del intervalo? 12. Relaciona las columnas A Muestreo sistemático ( ) Es el esquema de muestreo más simple. Todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la muestra, y se pueden elegir mediante números aleatorios o tómbola. B Muestreo por conglomerados ( ) Combina dos o más esquemas de muestreo, p.ej. estratificado en una etapa y sistemático en otra. C Muestreo aleatorio estratificado ( ) Se seleccionan de manera aleatoria algunos grupos y todos los elementos de cada grupo seleccionado son incluidos en la muestra. Cada grupo puede ser heterogéneo al interior. D Muestreo polietápico ( ) Se selecciona el punto de inicio en forma aleatoria y los siguientes elementos de la muestra se extraen a intervalos regulares, cada “p” unidades. E Muestreo aleatorio simple ( ) Se divide a la población en grupos con homogeneidad interna y se efectúa un muestreo aleatorio simple al interior de cada uno. Con los datos de cada grupo se calcula un solo promedio general y el error estándar de la media. FES ACATLÁN CAMARONES Media 22.4 16.46153846 Varianza (s2) 82.6857 49.7692 n 15 13 Donde: 𝑠+$ = (𝑛) − 1)𝑠)$ + (𝑛$ − 1)𝑠$$ 𝑛) + 𝑛$ − 2 = 67.4935 𝑡 = (22.4 − 16.4615) − 0 967.4915 + 67.4913 = 1.91 Varianza agrupada sp2 67.4935 Diferencia hipotética de las medias µ1-µ2 = 0 Grados de libertad n1 + n2 – 2 = 26 Estadístico t 1.91 Valor crítico de t (dos colas) 2.06 (marca el inicio de las regiones de rechazo) El estadístico t calculado no queda dentro de las regiones de rechazo. No se rechaza la hipótesis nula. CONCLUSIÓN: La concentración media de ozono, es igual en las dos estaciones de monitoreo. 15. Ejercicio resuelto: Una muestra aleatoria de 20 personas que conducen automóviles fue seleccionada para estudiar el efecto de un contaminante sobre el tiempo de reacción. El tiempo de reacción fue medido en condiciones de laboratorio antes y después de ser expuestos al contaminante. Los tiempos de reacción en segundos fueron los siguientes. Sujeto Antes Después d=diferencia Después-Antes 1 0.68 0.73 0.05 2 0.64 0.62 -0.02 3 0.68 0.66 -0.02 4 0.82 0.92 0.10 5 0.58 0.68 0.10 6 0.80 0.87 0.07 7 0.72 0.77 0.05 8 0.65 0.70 0.05 9 0.84 0.88 0.04 10 0.73 0.79 0.06 11 0.65 0.72 0.07 12 0.59 0.60 0.01 13 0.78 0.78 0 14 0.67 0.66 -0.01 15 0.65 0.68 0.03 16 0.76 0.77 0.01 17 0.61 0.72 0.11 18 0.86 0.86 0 19 0.74 0.72 -0.02 20 0.88 0.97 0.09 Considerando que los tiempos de reacción tienen una distribución normal, con un nivel de significancia de 0.05, ¿Cambia el tiempo de reacción de los conductores después de la exposición al contaminante? Son muestras dependientes porque al mismo sujeto se le tomaron dos mediciones: antes y después. Ho: µd = 0, Ha: µd ¹ 0 Prueba t para dos medias muestras pareadas o dependientes Observaciones 20 20 Diferencia hipotética de las medias µd 0 Grados de libertad 19 Estadístico t 3.9858 Valor crítico de t (dos colas) 2.093 ?̅?= 0.0385 sd =0.0432 t = 3.99 queda en la región de rechazo de H0, se rechaza H0 CONCLUSIÓN: el contaminante si afecta el tiempo de reacción, al parecer el tiempo aumenta. EJERCICIOS 16. Un contaminante químico en el río Bravo se ha mantenido constante durante varios años con una media μ = 34 ppm (partes por millón) y una desviación estándar σ = 8 ppm. Un grupo de representantes de industrias cuyas compañías descargan agua residual en el río ahora aseguran que se ha logrado disminuir la concentración del contaminante con la instalación de dispositivos de filtración mejorados. Un grupo de ambientalistas realiza una prueba para evaluar si esto es cierto a un nivel de significancia de 0.05. Con una muestra de tamaño 50 se obtiene un valor promedio de 32.5 ppm. Realice una prueba de hipótesis a un nivel de significancia de 0.05, y diga cuál es la conclusión de la prueba. 17. Una Empresa de bebidas refrescantes ha establecido como política general para su producción en pequeña escala, un promedio ( ) de llenado para sus envases de 200 centímetros cúbicos, con una desviación estándar ( ) de 16 centímetros cúbicos. Se hizo un ajuste a los métodos de producción. Utilizando un nivel de significancia del 0.01, se desea probar la hipótesis de que el promedio de llenado se mantiene sin cambio. Para probarlo, se tomó una muestra de 100 envases llenos, los cuales mostraron una media de llenado de 203.5 centímetros cúbicos y s= 16. 18. Se analizó el contenido de calorías de dos lotes de leche condensada de diferente marca. El lote A constituido por 45 tarros de 100 gramos su contenido promedio de calorías fue de 320 y una desviación de 3. El lote B constituido por 55 tarros igualmente de 100 gramos el promedio de calorías fue de 321.5 con una desviación de 2.5. ¿Existe diferencia entre los contenidos calóricos medios de las dos marcas de leche al nivel de significancia de 0.05? µ s t = ?̅? − µ% 2𝑠% # 𝑛 19. Se realizaron determinaciones de oxígeno disuelto en el agua en muestras de dos lagos de Morelos y se obtuvieron los siguientes resultados: El Rodeo 6.6 7.6 6.7 6.5 6.2 7.3 7.8 8.0 6.2 Tequesquitengo 7.1 7.1 7.4 7.9 7.8 7.9 7.7 8.0 7.9 Con un nivel de significancia de 0.05, determine si existe diferencia entre las lagunas en cuanto a la variabilidad de las mediciones de oxígeno disuelto? 20. Utilizando las concentraciones de benceno (µg/L) siguientes, determine si la concentración media registradas en el pozo de monitoreo 1 es significativamente mayor que la media del pozo de monitoreo 2 ( con 5% de significancia). Media muestral Desviación estándar número de datos Pozo 1 1.99 0.375 12 Pozo 2 2.08 0.400 12 21. Se efectuó un experimento utilizando muestras de agua de 8 instalaciones de tratamiento de aguas residuales. En cada instalación una muestra de agua se dividió en dos partes iguales para aplicar alguno de los dos tratamientos: 1) una inoculación con una mezcla de bacterias mejoradas para degradar materia orgánica y 2) Tratamiento con lodos activados. Ambas muestras se mantuvieron con el mismo nivel de aireación y a la misma temperatura. Después de 6 horas, se determinó el valor de materia orgánica remanente de cada muestra. Instalación Lodos activados (antes) Bacterias mejoradas (después) 1 0.78 0.52 2 0.76 0.62 3 0.43 0.72 4 0.92 0.69 5 0.86 0.70 6 0.59 0.50 7 0.68 0.54 8 0.50 0.45 Con una significancia de 0.05, prueba la hipótesis de que hay menor contenido de materia orgánica al final del tratamiento con bacterias seleccionadas, en comparación con los lodos activados UNIDAD IV ANÁLISIS DE VARIANZA 22. Se realizó un experimento con la rana africana Xenopus laevis, para evaluar el efecto de un herbicida sobre la producción de hormonas de los machos. Se expusieron 6 individuos machos a 25 ppb de Atrazina, durante 46 días, y se comparó la concentración de testosterona en sangre de los machos expuestos, con hembras y machos sin exponer al herbicida, pero que fueron mantenidos en las mismas condiciones de laboratorio. Los resultados fueron los siguientes: Machos sin Atrazina Hembras Machos expuestos a Atrazina 4.1 0.7 0.5 3.3 0.9 0.25 5.6 0.8 0.4 4.5 0.5 0.7 3.0 0.4 0.6 2.9 0.5 0.45 a) Con un nivel de significancia de 0.05, prueba si existe diferencia entre los tres grupos en cuanto a la concentración media de testosterona en sangre. b) En caso de encontrar diferencias, realiza la prueba de comparación múltiple para determinar cuáles de las medias difieren. c) ¿Disminuye la producción de testosterona de los machos a consecuencia de la exposición a la Atrazina? 3. Miembros de la Comisión de Caza y Pesca de Florida marcaron varios lugares en los pantanos y midieron la profundidad del humus en cada lugar, operación que repitieron 6 años después (datos en pulgadas). Se realizó una prueba de normalidad para datos: h1 <- c(34.5, 44, 37.5, 27, 40, 37.2, 47.2, 35.2) h6 <- c(31.5, 37.9, 35.5, 23, 34.5, 31.1, 46, 31) humus <- data.frame(h1, h6) shapiro.test(humus$h1) ## ## Shapiro-Wilk normality test ## ## data: humus$h1 ## W = 0.97124, p-value = 0.9075 shapiro.test(humus$h6) ## ## Shapiro-Wilk normality test ## ## data: humus$h6 ## W = 0.94849, p-value = 0.696 ¿Los datos provienen de poblaciones con una distribución normal? Se realizó una prueba para ver si hay suficiente evidencia para indicar una disminución en la profundidad promedio del humus durante el periodo de estudio. t.test(humus$h6, humus$h1, alternative = "less", paired = TRUE) ## ## Paired t-test ## ## data: humus$h6 and humus$h1 ## t = -6.1357, df = 7, p-value = 0.0002371 ## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 ## 95 percent confidence interval: ## -Inf -2.773532 ## sample estimates: ## mean of the differences ## -4.0125 ¿Qué argumento de la función t.test establece que la prueba es pareada? ¿Qué indica el valor de p obtenido? 4. Un negocio de Pollos Fritos asegura que 90% de sus órdenes se entregan en menos de 10 minutos. En una muestra de 100 órdenes, 82 se entregaron dentro de ese lapso. Puede concluirse en el nivel de significancia 0.01, que menos de 90% de las órdenes se entregan en menos de 10 minutos? Se establecieron las hipótesis: • 𝐻*: 𝑝* ≥ 90% • 𝐻,: 𝑝* < 90% Se aplica el estadístico del contraste para una proporción: 𝑍 = +./+! 0"#(%&'#) ) Utilizaremos la función prop.test() con los siguientes argumentos: prop.test(82, 100, 0.90, alternative = c("less"), correct = FALSE) ## ## 1-sample proportions test without continuity correction ## ## data: 82 out of 100, null probability 0.9 ## X-squared = 7.1111, df = 1, p-value = 0.00383 ## alternative hypothesis: true p is less than 0.9 ## 95 percent confidence interval: ## 0.0000000 0.8744929 ## sample estimates: ## p ## 0.82 ¿Se rechaza o no la H0? ¿Cuál es la conclusión con respecto al tiempo de espera? ¿Qué indica el p-value? La técnica de análisis de varianza (ANOVA) también conocida como análisis factorial y desarrollada por Fisher en 1930, constituye la herramienta básica para el estudio del efecto de uno o más factores (cada uno con dos o más niveles) sobre la media de una variable continua (https://www.cienciadedatos.net/documentos/19_anova). La ANOVA es la prueba estadística que permite comparar las medias de dos o más grupo y ademas permite evaluar los posibles efectos de los factores de una variable. 5. En un experimento realizado para comparar la capacidad pulmonar (ml/kg de peso) en niños, adultos y ancianos, se han obtenido los siguientes resultados: Grupo Capacidad pulmonar (ml/kg) niños 8.4 7.6 7.9 8.0 8.1 jóvenes 8.7 8.1 8.5 8.2 8.0 ancianos 7.4 7.8 7.3 7.6 8.0 Los datos se analizaron en R de la siguiente manera: datoscp <- c(8.4, 7.6, 7.9, 8.0, 8.1, 8.7, 8.1, 8.5, 8.2, 8.0, 7.4, 7.8, 7.3, 7.6, 8.0) grupo <- c(rep(c("n", "j", "a"), c(5, 5, 5))) cp <- data.frame(grupo, datoscp) par(mai=c(1.5,1,0.5,1)) boxplot(datoscp ~ grupo, data = cp, col="gold", xlab = "Grupo", ylab="Capacidad pulmonar (ml/kg)", names = c("Nños","Jóvenes","Ancia nos"), sub = "Figura 1. Capacidad pulmonar en tres grupos de edad") ¿Indica la gráfica igualdad entre los grupos? ¿Cuál grupo presentó mayor dispersión en sus observaciones? c) Se decide aplicar una prueba de ANOVA. Se comprueban antes los supuestos de normalidad y heterocedasticidad los resultados fueron los siguientes: tapply(cp$datoscp, cp$grupo, shapiro.test) ## $a ## ## Shapiro-Wilk normality test ## ## data: X[[i]] ## W = 0.96222, p-value = 0.8234 ## ## ## $j ## ## Shapiro-Wilk normality test ## ## data: X[[i]] ## W = 0.92826, p-value = 0.5846 ## ## ## $n ## ## Shapiro-Wilk normality test ## ## data: X[[i]] ## W = 0.98936, p-value = 0.9774 bartlett.test(datoscp ~ grupo, data = cp) ## ## Bartlett test of homogeneity of variances ## ## data: datoscp by grupo ## Bartlett's K-squared = 0.0015431, df = 2, p-value = 0.9992 ¿Se cumplen los supuestos de normalidad? ¿Se cumple el supuesto de homocedasticidad? Explique su respuesta en función de los valores de p obtenidos y establezca las hipótesis correspondientes. Los resultado obtenidos al aplicar un Análisis de Varianza indicaron lo siguiente: mp <- aov(datoscp ~ grupo, data = cp) anova(mp) ## Analysis of Variance Table ## ## Response: datoscp ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## grupo 2 1.1613 0.58067 6.9127 0.01006 * ## Residuals 12 1.0080 0.08400 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ¿Cuál es el factor y cuántos niveles tiene? ¿Cuál es la variable de respuesta? Plantee las hipótesis y concluya si existen diferencias significativas entre los grupos.