Guía de Trabajos Prácticos No4 de Algebra II (Segundo cuatrimestre, 2021), Ejercicios de Álgebra

¡Descarga Guía de Trabajos Prácticos No4 de Algebra II (Segundo cuatrimestre, 2021) y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity! Álgebra II (Segundo cuatrimestre, 2021) Gúıa de Trabajos Prácticos No4 [En construcción] Cuando podemos trasladar un problema práctico al lenguaje de la matemática, podemos, al mismo tiempo, “abstraernos” de las caracteŕısticas secundarias del problema y, haciendo uso de fórmulas y teoremas generales, obtener resultados precisos. De este modo la abstracción de la matemática constituye su potencia; esta abstracción es una necesidad práctica. A. N. Kolmogorov 1 Preliminares En todo lo que sigue 1. K es R ó C. 2. Kn es el K-espacio eucĺıdeo canónico y ‖ · ‖ designa su norma inducida. 3. Si (xk)k∈N es una sucesión de vectores en Kn y x ∈ Kn, decimos que xk tiende a x, cuando ĺım k→∞ ‖xk − x‖ = 0. En tal caso x se llama el ĺımite de la sucesión (xk)k∈N y se denota por ĺım k→∞ xk = x. 4. 〈·, ·〉 : Kn×n×Kn×n → K designa el producto interno canónico en Kn×n defi- nido por 〈A,B〉 := tr(B∗A) y ‖A‖F := √ 〈A,A〉 designa su norma inducida, llamada la norma de Frobenius. 5. Si (Ak)k∈N es una sucesión de matrices en Kn×n y A ∈ Kn×n, decimos que Ak tiende a A, cuando ĺım k→∞ ‖Ak −A‖F = 0. En tal caso A se llama el ĺımite de la sucesión (Ak)k∈N y se denota por ĺım k→∞ Ak = A. Definiciones Sea A ∈ Kn×n. 1. λ ∈ K se llama un autovalor de A, cuando existe un vector no nulo x ∈ Kn tal que Ax = λx. En tal caso, el vector x se llama un autovector de A correspondiente al autovalor λ. 2. El conjunto de todos los autovalores de A se llama el espectro de A, y se lo denota mediante σ(A). 3. Si λ ∈ σ(A), el subespacio Sλ := nul(A− λI) se llama el autoespacio corres- pondiente a λ. La dimensión de Sλ se llama la multiplicidad geométrica de λ y la se denotaremos mediante µ(λ). 4. El polinomio χA(x) = det(A − xI) se denomina el polinomio caracteŕıstico de A. Nótese que σ(A) = {λ ∈ K : χA(λ) = 0}. 5. La multiplicidad algebraica de λ ∈ σ(A) es su multiplicidad como ráız del polinomio caracteŕıstico de A y la designaremos mediante m(λ): m(λ) = máx { k ∈ N : χA(x) = (x− λ)kq(x), con q ∈ K[x] } . 6. Si B ∈ Kn×n, decimos que A es semejante a B cuando existe una matriz inversible P ∈ Kn×n tal que A = PBP−1. 7. Decimos que A es diagonalizable cuando A es semejante a una matriz dia- gonal. 4 Ejercicios 1. En cada uno de los siguientes casos, hallar el polinomio caracteŕıstico de la matriz A ∈ R3×3, analizar si la misma es diagonalizable, y en caso de serlo hallar una matriz inversible P ∈ R3×3 y una matriz diagonal Λ ∈ R3×3 tales que A = PΛP−1: A = −4 −3 −3 0 −1 0 6 6 5  , A = −3 1 −3 20 3 10 2 −2 4  . 2. ! Sea A ∈ R3×3 que tiene autovalores λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = 5 con autovectores asociados v1 = [ 1 1 −1 ]T , v2 = [ 2 2 −1 ]T , v3 = [ 1 2 −1 ]T , respectivamente. (a) Hallar una base de nul(A) y una base de col(A). (b) Hallar una solución particular de la ecuación Ax = v2 + v3. (c) Hallar todas las soluciones de la ecuación Ax = v2 + v3 (d) Explicar por qué la ecuación Ax = v1 no tiene solución. c: Si se halla la expresión de A, el ejercicio se auto-destruye y no sirve para nada. 3. Hallar una matriz A ∈ R4×4 tal que nul(A− 3I) = gen {[ 1 0 −1 0 ]T , [ 0 1 0 −1 ]T} , nul(A− 5I) = gen {[ 1 0 1 0 ]T , [ 0 1 0 1 ]T} . ¿Es única? Si la respuesta es negativa, hallar otra. Si la respuesta es afirmativa, explicar por qué. 4. ! Sea A ∈ R3×3 la matriz dependiente de los parámetros reales a, b, c definida por: A = 0 1 0 0 0 1 c b a  . (a) Hallar los valores de a, b, c ∈ R tales que χA(x) = det(A− xI) = 9x− x3. ¿A es diagonalizable? Si la respuesta es afirmativa, hallar una matriz inversible P ∈ R3×3 y una matriz diagonal Λ ∈ R3×3 tales que A = PΛP−1. (b) Para c = 0, hallar y graficar el conjunto de todas las parejas a, b ∈ R tales que A es diagonalizable. 5 5. Sea A = 1 18 16 −1 30 −8 14 12 8 4 24  . (a) Hallar y graficar el conjunto de todos los a0 ∈ R tales que la matriz A+ a0I es inversible. (b) Hallar y graficar el conjunto de todas las parejas a0, a1 ∈ R tales que la matrix A2 + a1A+ a0I es inversible. 6. ! Hallar una matriz A ∈ R2×2 que posea las siguientes propiedades: (a) A2 − 3A+ 2I = [ 3 3 3 3 ] . (b) A2 − 3A+ 2I = [ 3 3 3 3 ] y det(A) = −1. (c) A2 − 3A+ 2I = [ 3 3 3 3 ] y tr(A) = 6. c: Nótese que si A ∈ Cn×n y p ∈ Cm[x] \ gen{1}, entonces σ(p(A)) = {p(λ) : λ ∈ σ(A)} . 7.! Dos especies comparten el mismo ecosistema. La primera, la presa, se multi- plicaŕıa indefinidamente si estuviera sola. La segunda, la depredadora, se alimenta de la presa, por lo que si se quedara sola se extinguiŕıa por falta de alimentos. La evolución de la cantidad de individuos de las dos especies xn, yn se puede modelar por un sistema de ecuaciones en diferencias,{ xn+1 = ( 1 + 2 10 ) xn − pyn (ecuación de evolución de la presa), yn+1 = 1 2xn + ( 1− 4 10 ) yn (ecuación de evolución de la depredadora), donde p > 0, que se denomina el parámetro de predación. (a) Notar que en la primera ecuación, el coeficiente 1 + 2 10 significa que en ausencia de la segunda (i.e., yn = 0), la primera especie crece a una tasa del 20 % por unidad de tiempo; mientras que el coeficiente −p significa que la presencia de la segunda (i.e., yn > 0) contribuye negativamente al crecimiento de la primera. (b) Notar que en la segunda ecuación, el coeficiente 1− 4 10 significa que en ausencia de la primera (i.e. xn = 0), la segunda especie se extingue a una tasa del 40 % por unidad de tiempo; mientras que el coeficiente 1 2 significa que la presencia de la primera (i.e., xn > 0) contribuye al crecimiento de la segunda: cada pareja de individuos de la primera contribuye a la existencia de un nuevo individuo de la segunda en el siguiente ciclo. 6 (c) Notar que para cada n ∈ N vale que[ xn yn ] = [ 1.2 −p 0.5 0.6 ]n [ x0 y0 ] , donde [ x0 y0 ] representa las cantidades iniciales de individuos de las dos especies. (d) Hallar los valores de p para los cuales la matriz del sistema resulta diagonali- zable. (e) Para cada p ∈ {0.175, 0.16, 0.1} analizar el comportamiento a largo plazo de las dos especies. 8. ! Sea A ∈ R3×3 definida por A = 0.7 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0.2 0.4 0.4  (a) Hallar el espectro de A y comprobar que A es diagonalizable. (b) Usando la descomposición espectral de A comprobar que existe M ∈ R+ ∗ tal que ‖An −G1‖F ≤M ( 3 + √ 2 10 )n , donde G1 es la matriz de la proyección sobre nul(A−I) en la dirección de col(A−I). Utilizar este resultado para concluir que ĺım n→∞ An = G1. 9. Sea A ∈ R3×3 definida por A = 1 2  7 6 6 −2 0 −2 −1 −2 0  (a) Comprobar que ĺım n→∞ ‖An‖F 2n > 0 y concluir que no existe ĺım n→∞ An. (b) Comprobar que el conjunto { x ∈ R3 : ĺım k→∞ Anx = 0 } es un subespacio de R3 y hallar una base del mismo.