Identidades y Ecuaciones Trigonométricas, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Identidades y Ecuaciones Trigonométricas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Se entiende por Identidad trigonométrica una igualdad que contiene varias funciones trigonométricas, y que toma un valor verdadero para todos y cada uno de los valores que se le den a los ángulos, para los cuales están definidas estas funciones. Para desarrollar una identidad trigonométrica se puede emplear cualquiera de los siguientes procedimientos: Reducir uno de los miembros de la igualdad y expresarlo en términos del otro miembro, generalmente se reduce el más complicado, es decir, el que tiene mayor cantidad de funciones trigonométricas. Trabajar de forma simultánea los dos términos de la igualdad, utilizando las relaciones fundamentales. Aplicación: Demostrar las siguientes identidades trigonométricas: ue. A =5Secá, SecA +TgA Se trabaja en forma simultánea, en los dos miembros de la igualdad: A EA SecA +TgA 1 A SenA Ñ 1 1 E SenA Cosá Cosá CosA CosáÁ 1 E Sená Ñ 1 l+Sená CosA Cosá CosÁ Cosá SenA 1 + = 1+SenA CosA CosA Sacando factor común (1+ Sená) (CosA) Cos A + Sená(1+ Sent) 1+ Sena, (1+ Senáj(CosA) (1+ Senáj(CosA ) CosóA + SenA + SenóA = 14 Sená Como CostA+SenfA =1 entonces: 1+Sená =1+ Sená 49, Sená 1+CosA 1-CosAa Sena (Sená)Sen A) =(1- CosAj(1+ Cosá) sen A=1-CostA Send A=SentA Bore la ecuación 2Cos?x +43 Sen x+1=0 para 0<x < 360" Observemos que la ecuación planteada es de segundo grado, donde intervienen dos variables, Cos x y Sen x, por esta razón, se debe expresar una función en términos de la otra por medio del uso de las relaciones fundamentales entre funciones trigonométricas. Veamos: 2Coéx +3 Senx+1=0 Como Cos X= 1-Sen*x, entonces A1- Ser + (3 Senx+1=0D 2-2Sertx+ 3 Senx+1=0 -2Serrx+ 3 Senx+3=0 Si se multiplica cada miembro por -1: 2Sentx— 3 Senx—3=0 Se observa que se trata de una ecuación de segundo grado en donde: a=2, b=- 3 y c=-3 Aplicando la fórmula general: be. pi senos PENE ae 2a Reemplazando los valores 2(2) sony PERA Senx= LEN 427 E E a 4 Hallando las dos raíces de Senx: sony 144 1 BL 2 Senx = 12-=T== 4 4 Se sabe que el seno de un ángulo no puede ser mayor que 1 ni menor que 1, luego entonces se descarta la respuesta Senx= 4311/73. E . Entonces analicernos la otra respuesta: Sen x= “> Como Sen xes < 0, es negativo el valor de x lo encontraremos enel Ill y IW cuadrantes. De Senx= a, se tiene que x=- 210%0 - A luego todos los walores de x que satisfacen la ecuación están dados por la expresión x= 27k + 2 donde k puede ser un número entero positivo o negativo A 0 En los siguientes ejercicios encuentre todas las soluciones de la ecuación trigonométrica si x representa un ángulo medido en radianes, es decir, en términos de 7. 49, 25enx=- 1 de 3 Ctgx= 1 48 Tgx=-1 Respuestas. . ze, +2rk . . - 3 + 2rk FÓRMULAS PARA LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS En esta parte de la trigonometría se estudia el desarrollo de las diferentes fórmulas para la suma, resta y otras operaciones fundamentales entre ángulos. euncionos Seno y Coseno de la suma de dos ángulos Hasta ahora se han demostrado las fórmulas de las funciones trigonométricas respecto de un ángulo, pero se hace necesario conocer el desarrollo cuando se plantea una suma o diferencia de dos ángulos. Para la demostración de estas fórmulas se utiliza la gráfica de un círculo trigonométrico (de radio = 1) y dos ángulos agudos ( < de 90”) positivos AyB. Aplicació PA. que Sen (60%+ x) - Sen (60 - x) = Sen x Aplicamos las fórmulas encontradas para el seno de la suma y la diferencia de dos ángulos y reemplazamos A=60"yB=x Como: Sen (A + B) = Sen A Cos B + Sen B Cos A Sen (A - B) = Sen A Cos B - Sen B CosA Sen 60*Cosx +Senx Cos 60*-[ Sen 60* Cosx-Senx Cos60*]= Senx v3 —— Cos x + Sen x E 2 2 3 33 Cosx- Senx -]= Senx 2 2 Cos pa, Senx Cosxu/3 y Senx =S5enx 2 2 2 2 Senx 50 2 Senx=53enx A Cos 105” El ángulo 105? se puede expresar como la suma de dos ángulos, es decir: Cos 105” = Cos (60* + 45") Como Cos (A + B) =Cos A Cos B - Sen A Sen B Entonces: Cos (60* + 45?) = Cos 60” Cos 45” - Sen 60” Sen 45” Cos (60 + 45%) = Cos 60* Cos 45” — Sen 60* Sen 45* es tl I = o = 1] E a 0% Tg 105? Tg 105” = Tg (60* + 45), utilizamos la fórmula: To (A+B)= TgA +TgB 1-Tg ATgB _ Tg60*+Tg 459 Tg (60%4+ 45 oro ar To (600+459= 252 tb 341 1-13 Racionalizando Tg (60*+ 45%) = (43410443) Tg (600 + 45%) < ECTS A 1e ena AA NE To (609 059 24854 - 2D 2) To (60 + 45% =- 3,7320 — Fl IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DOBLES Veamos algunas demostraciones, en las que utilizaremos básicamente las fórmulaspara Seno, Coseno y Tangente de la suma o diferencia de dos ángulos. Sen (A + B) = Sen A Cos B + Sen BCosA Cos (A + B)= Cos A Cos B - Sen A Sen B Tg 4+Tg9B ] P Tag (44+B)= p Tal ) 1-Tg A TgB Entonces: CosiA=1-SentA y reemplazando en la fórmula Cos 24 = Cos? A-SentA Se tiene: Cos 24 = (1 - Send A) - Ser A Cos 24 =1- Sen A —- Ser A Cos 2A =1-2SenrA Ahora, si de SerrA+CosA=31 se despeja Sen? A, resulta Sen? A = 1- Cos?A, que al reemplazarlo en la fórmula: Cos 24 = Cos? A-Ser A Se tiene: Cos 24 = Cos? A—(1- Cos?A) Cos 24 = Cos? A 1 + Cos?A, Cos 2A = 2Cos* A —-1 Quedando demostrada la identidad. 2 Si Sen A= — y el ángulo A está ubicado en el IP cuadrante, calcular Seno 24 Altrazar la gráfica del triángulo rectángulo para colocar los datos dados, y como se sabe que _ cateto opuesto Sen - hipotenusa 2 entonces en la expresión SenA=-5 p q El cateto opuesto = 2, y la hipotenusa = 43 Ahora calculando el valor del lado c, para hallar las otras funciones: Se aplica el teoremade Pitágoras: IT = +7? cir? ¿=7T-4=3 0/3 Ahora se halla el valor de la función coseno: Sa YA Y de esta manera se puede hallar ahora Sen2A =2SenA Cos A CosA= sen 2a 2434212463 _ 183 _ 347 2 y 14 7 7 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MEDIO Los ángulos medios son de la forma Ey se pueden relacionar unos en función de otros, por ejemplo la función seno de Zen función de Cos A. Sea la expresión: Cos28= 1-2 Sen? B, de donde: 2SeB=1- Cos2B 1- Cos 2B 2 Sen B= AS y como 2B=A, entonces B-£ y se tendra Sen B= Igualmente se puede llegar a varias expresiones de las funciones coseno y tangente en función de coseno de A: A 14+CosáA 1-CosA Cos —= 4, y 2 2 14+CosA Onasomación de sumas o diferencias de dos funciones en productos En varias aplicaciones para la demostración de identidades trigonométricas se hacepreciso expresar un producto de dos funciones trigonométricas como el resultado de una suma o una diferencia, lo que a través de procesos similares a los que se han idoestudiando se pueden obtener las siguientes identidades: Sené Cosp=[Sen(8+p)+Sen(8-8)] cose Senf=| Sen(9+8)-Sente-6)] Cosecosp=[cos(9+B1+Cos(9=5)] Sen6 Sen 8=3[Cos(9-B)-Cos(9+8)] Cos2x__ 1-Tg?x Senx Cosx Tgx Trabajando el término de la izquierda: e 2 Costx-Senóx _ como, Cosíx=1-Ssen?x, entonces: Senx Cos x Sen x Cos x 1-2 £x ES Dividiendo ambos términos entre Cos?x: Senx Cos x 1- 2Sen?x Cos*x Sen x Cos x Cos? x 1 2senóx Cos*x__Cos*x__ Sen x Cos x sectx-2tgx _ Tgx Como secdtx=taix+1, entonces: tx +1-2tg7x Tgx 1tgóx 1-tgx Tgx Tgx A A e 2 Y: x Xx Sen - Cos | =1-Sen x ad 2 z) $ 1-Cos 2x =Tgx(2Senx Cosx) <$ Expresar Cos 3x Sen 2x como una suma o una diferencia. a Un pastor tiene que pasar un zorro, una cabra y un repollo de una a otra orilla de un río. Dispone de una barca en la que sólo caben él y una de las otras tres cosas. Si el zorrose queda solo con la cabra, se la come. Si la cabra se queda sola con el repollo, se locome. ? ? $ Cómo debe proceder el pastor $ Un prisionero está encerrado en una celda con dos puertas: una conduce a la salvación,la otra a la muerte. Cada una de ellas está vigilada por un guardián. El prisionero sabeque uno de los guardianes siempre dice la verdad, y que el otro siempre miente. Paraelegir la puerta por la que pasará, sólo puede hacer una pregunta a uno solo de losguardianes. E E v Qué debe hacer $ Solución a los acertijos en la siguiente unidad. a a