IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! O Identidades trigonométricas Las identidades trigonométricas son igualdades que se establecen al relacionar las razones trigonométricas unas con otras. Son útiles siempre que se necesite simolificar expresiones que incluyen razones trigonométricas. Identidades recíprocas Son identidades recíprocas aquellas cuyo producto de las razones trigonométricas que las componen es iguala 1. Con los catos que nos muestra la circunferencia trigonométrica y con el conocimiento de las definiciones de las razones trigonométricas, podemos establecer las siguientes relaciones del margen. Identidades por cociente Las identidades por cociente se caracterizan por relacionarse solamente con el seno y coseno. Si sabemos que sen Q.= y y COS qt =x, tenemos: J_sena sen a * tma=+= 54 > tMa=54 0 _x_cosa - Cosa. . cota == ota = ng O ) EJEMPLO 8 A Comprueba que sec x « esex «sen? x=tanx + secx-escxosen=tanx (4) : (27) ser x= tan x «4 Ecuación trigonométrica dada «d identidades 0 y y +. SENX_ o o TOS Y tanx « Propiedades de números reales * tanx=tanx 4 Identidad O ) EJEMPLO 9 y, 2 sectx , tanx 2 + = Demuestra que Tor 2 tan" x sex, tanx esta CotxX 1 q 2 Cos” x | TOSY — 2 pap? TOSY sen x 2 =2 tan x «4 Ecuación trigonométrica dada Xx « Identidades O, 9,9 y O 2 2 sen Y y sen Xx - >) tqp? cos Tx cos x x «4 Propiedades de números reales + tan? x+tandx=2 tan? x 4 Identidad € y propiedad en R + 2tanlx=2 tan? x «4 Propiedad de números reales ) TEN EN CUENTA Identidades recíprocas + Sna=y + csca= * COSU=X * SECa= «tana=2 + cota= tana=3 cota= Deducimos: sena - esca =1...á cosa -seca=1.. tan a- cota 0808 NN COS Y PROCEDIMIENTOS Verifica que: tan? x -cscx =secx tan xr esc r—secx TEN EN CUENTA Desert a +c0s?%a=1 se deduce: + senva=1-c008 a + cota =1-sena IMPORTANTE Otras identidades pitagóricas tana +1=setka..a cota + 1=cst a... 0 De a y 3) se deduce: secta - tana =1 esca - cota =1 Identidades pitagóricas Lasidentidades pitagóricas se deducen a partir de la aplicación del teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se genera con un ángulo en posición normal sobre la circunferencia unitaria. Si aplicamos e teorema ce Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por los puntos OQP tenemos: (PQ? + (0QY = (OP? — y? + 1? = 1? yr =P>sna+costa=1.. 0 La expresión «1» se conoce como identidad pitagórica fundamental y se caracteriza porque relaciona el seno con el coseno a trevés del teorema de Pitágoras. )» EJEMPLO 10 A a) Demuestra la identidad tan? a. + 1 = sec? o. . sen? a+ cos? a=1 « identidad pitagórica fundamental sen a, costa 1 cos a cos” a . 4 Se divide entre cos” ar; cos a. = 0 a cos 2 2 . (a =) +1= ey) « Propiedad de los números reales sena « tada+l=sda Se aplica tan a LL y sec aq b) Demuestra la identidad co? a. + 1 = esc? a. + senza +cosa=1 4 Identidad pitagórica fundamental «4 Se divide entre sen? a; sen a. + 0 «4 Propiedad de los números reales . - cos a. 1 1 + co? a =csc a 4 Se aplica CO! a: = ¿gp y Y CSC A = Gp . Cot a+l=csc a «Propiedad conmutativa de la adición NC » EJEMPLO 11 a) Verifica que se cumpla la igualdad (csc a)(1 — cos? «.)(sec a) = tan a. + Expresamos el primer miembro en función de senos y cosenos: lata sen? lea ) =sen a. ta, ) = == = tana Se verifica que se cumple la igualdad. b)Simplifica (sq ora) -sed a + Utilizamos las identidades trigonométricas. (esc ar: sec a)? — sec? a = esc? a: sec? a — sec? a = sec? ar (esc? a 1) ca? La)= 1 LOs a 1_ e =sec" a (cot” a) = A A Os a ( ) sosú sera sena FICHA 2 Comunica: 1-12 Argumenta afirmaciones: 13-19 Escribe V si es verdadero o E si es falso. 1 0 sena esca=1 esc 0. = se = = 1 B cos a: seca =1 — sec O = . = = 1 B) tana cota =1-—> cota mua Dy+*=1->senka +cosa=1 B x= tan a —> tan? a +1=secta. DQDODODO BD eota=35 >cta+l=csc a Completa cada identidad con sus expresiones correctas. O sena: Po =1 BD | sca=1 D tana: Po J=1 Do tosa=1 Dl |-urta=1 Besta-[ |=1 Comprueba cada desarrollo y responde. Francisco plantea un ejercicio para que Jorge y Zaida lo resuelvan. Ambos muestran su ejercicio resuelto en una hoja. ¿Quién crees que lo hizo correctamente? ¿Por qué? Halla el valor de A. Halla el valor de A. A=(sentascostares A= (senfa+costa)'+5 A= 2(senta+ costa)?+5 A=(+D>A=6 A= UN +53A=7 Jorge Zaida A Demuestra las siguientes identidades. (sec x — 1)(sec x+ 1) = tan? x 4 4 > (ap ELY — OS — cos? x (1 2 cos" x) l+tanóx [DD sen x: cotxsecx=1 D tan? x (1 — sen? y) = sen? x Simplifica las expresiones: esc al (tan O — sen a) b — seca 0D Si sec? B + esc? $ =64, calcula el valor de M=¿/tanB + cotB FICHA 3 Resolución de problemas 0 Si: sen x + cos x = a, halla: A =1gX+ cotg Xx + sec x + cosec x Ab o DJ a+1 El a-1 0 Si: tga = 4/2, calcula el valor de: as Ay 1 B)2 03 D)4 B5 0 Si: sen x + cos x = 0,25, obtenga el valor de: _ SEN X+COSxX sen X= COSX AT B2 03 DJYW3 EW2 TA b O Si: ca ligar calls E = seca tga ab ab 2ab A) aa VO 12 a la 27p2 D) 2ab D Es as +b? a +b 0 Elimina 'x" de: 1 +tgx= asecx EE) 1-tgx= b sec x UM) A) a2+b? =1 B)a2+b?=2 Cja2+b?=4 D)al+b?=ab Ejad-b?=ab O Elimina "a! de: 2 -secía =atga e (1 2-cosecta = bcotga ... (Il) Aja-b=0 Bja+tb=0 Cab=1 Dja-b=1 Ba+b=1 0 Si secó — tg0 = 0,25, calcula: E= 17c0s0 — 6 AJO B)1 C)2 D)3 EJ4 . 0 Si se cumple que: sen X + tgx + secx=a ss () COS X + COlg X + COsec x= b-.. (1 calcula 'tg Xx". a+! a-1 a+1 Abr dba Ob a a+b 51 Diab :0 Si cotgx + cos x = 1, halla el valor de: E = cotg?x + cosecx A)2 B) 43 O y2 D)1-4/2 E 2-1 : D A partir de la figura, calcula: : K= cotg 0 tgó0 D * a Cc 4 E O . Lo A B F A) 2 15] 00 D)1 E) 2 y D Sia sen x + b cos x = a, halla el valor de: E= acosx-bsenx. Aa B)b D)a-b E) a? + b? Ca+b . P Si 2sen%0 - 3sen*0 + 4sen?0 = a, halla el valor de K = 4c05%0 - 6cos%9 + 8cos?0. B) 6-2a E) 4a +6 Aja+6 C) 4-3a D)8-4a Clave de TS m > 1. 2.C 3D, ES E a