Identidades trigonométricas, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Identidades trigonométricas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Identidades Trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas). Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas. De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si 2 1sen  la conversión propuesta en la tabla indica que 2 3  2sen-1cos , aunque es posible que 2 3cos . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ. Funciones de ángulos negativo     sen-sen      cos-cos      tan-tan      Cot-cot      sec-sec      Csc-csc  Relación pitagórica 12   2cossen Identidad de la razón    cos sen tan  Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Fórmulas de adición.    sencoscossensen     sensencoscoscos       tantan1 tantan tan         tcotco tancot cot   1 Funciones trigonométricas en función de las otras cinco. En términos de Sen Cos Tan cotan Sec Csc sen sen cos 21 tan1 tan 2   tco1 2 1   sec sec 2 1 Csc 1 Cos sen 21 Cos tan1 2 1 tco1 Cot 2   sec 1   Csc Csc 2 1 Tan sen1 sen 2     cos sco1 2 Tan cot 1 sec 2 1 Csc 2 1 1  cot   sen sen 21 cos1 Cos 2   tan 1 cot sec 2 1 1  Csc 2 1 Sec sen1 2 1 cos 1 tan 21   cot cot1 2 Sec Csc Csc 2 1  Csc ses 1 cos1 2 1   tan tan1 2 cot 21 sec sec 2 1  Csc Identidades de ángulos múltiples  Si Tn es el n-ésimo Polinomio de Chebyshev entonces     xcosTnxcos n  Formula de De Moivre:         x senixcosnx seninxcos  Identidades para ángulos doble, triple y medio Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea   xsenxxsen 2 ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la fórmula de De Moivre cuando 2n  . Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Funciones trigonométricas inversas Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:  Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. Se nota arcsen . El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor. La función arcoseno real es una función    ,1,1- 20 , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:                   1x 1x1- xxx x 1x 2 - arcsen 2 7642 531 54 3 2 1 32 1 753      Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. Se nota arccos . El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como:    arsenarcsen  2  Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. Se nota arctan . El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:          -1xcon1,xcon xxx2 1x xxx x arctan   53 753 5 1 3 11 753   .          0x si , 0xsi , cotararctan 2 2               -1 arctanarctanarctan Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Series de potencias A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:      ! x ! x ! x ! x !k x sen k kk 753112 1 753 0 12              ! x ! x ! x ! x !k x cos k kk 64202 1 642 0 2       Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma. Relación con la exponencial compleja Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler:  senicosei  Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas: 2 ee cos ii     ; i2 ee sen ii     A partir de ecuaciones diferenciales Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad: yy  Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,  La función seno es la única solución que satisface la condición inicial       01,0y,0y  Y  La función coseno es la única solución que satisface la condición inicial       10,0y,0y  Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno. Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen yy  implica que son funciones eigen del operador de la segunda derivada. La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal 21 yy  satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial. Referencias: Stewart, J. “Cálculo. Trascendentes tempranas”.Cengage Learning. Sexta edición. 2008. Texto guía del curso. Stewart. Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall 1999Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.«Esquema del desarrollo histórico de la matemática» págs. pág. 6. Universidad Nacional del Nordeste.J J O'Connor y E F Robertson. «Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani» (en inglés) (html). Consultado el 08-06-2008. «Latrigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi» (en catalán) (html). Consultado el 08-06-2008. «Al-Kashi, Gamshidibn Messaoud» (en francés).Viète, François (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC165919384.Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.