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¡Descarga Inicio curso algebra lineal y más Resúmenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! 1 UNIDAD I Sistemas de ecuaciones lineales. Definición. i) Una ecuación es una igualdad que involucra al menos una incógnitas o variable. ii) El grado de la ecuación es la potencia más grande de entre sus incógnitas. iii) Una ecuación es lineal si todas sus variables o incógnitas tienen potencia uno. iv) La solución de una ecuación es el conjunto de puntos que hacen que la igualdad se cumpla. Por ejemplo 102 =x es una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita. La solución de la ecuación es 5=x ya que 10)5(2 = . Una ecuación con una incógnita define un punto en un eje coordenado. Una ecuación con dos incógnitas representa una recta en el plano. Su forma general es baxy += , donde x es una variable, a es la pendiente, b la ordenada al origen y y es otra variable que depende del valor que toma la variable x . La representación geométrica de esta recta se muestra en la figura 1. 0 5 y x Figura 1. Representación gráfica de una función lineal baxy += 2 Resolver la ecuación significa encontrar el par de valores para x y y tales que al sustituir en la ecuación se cumpla la igualdad. Las siguientes parejas ordenadas son solución de la ecuación 12 −= xy . ),( yx 12 −= xy )21,10( −− 1)10(221 −−=− )7,3( −− 1)3(27 −−=− )1,0( − 1)0(21 −=− )3 ,2( 1)2(23 −= )11 ,6( 1)6(211 −= Además de estas soluciones para la ecuación existen muchas más. En general, el conjunto de soluciones es infinito, para cada valor de x corresponde un valor y que satisface la ecuación. Este conjunto de soluciones se puede expresar de la forma   )12,( − kkk . La variable x recibe el nombre de variable libre dado que puede tomar cualquier valor real. La variable y no es libre ya que su valor depende del valor de x . Así una ecuación con tres incógnitas tiene dos variables libres. De la ecuación 1134 =−− zyx se puede despejar una de las variables digamos 1134 −−= yxz , la variable x puede tomar cualquier valor por ejemplo jx = , la variable y también puede tomar cualquier valor real por ejemplo ky = , entonces el valor de z queda determinado por estos dos valores. En este ejemplo las variables libres son x y y . La solución de esta ecuación es el conjunto de triadas que hacen verdadera la igualdad. Por lo tanto el conjunto de soluciones a dicha ecuación también es infinito y se expresa como   , )1134,,( −− kjkjkj . En general una ecuación con n incógnitas tiene ( )1−n variables libres y por lo tanto el conjunto de adasn − que son solución a esa ecuación es infinito. 5 Cuando un sistema tiene solución única o un conjunto infinito de soluciones se dice que el sistema es consistente. Si las rectas son 11 bxay += y 22 bxay += las condiciones para cada uno de los casos anteriores son: i) Sistema inconsistente. Dos rectas paralelas con diferente ordenada al origen. 21 aa = y 21 bb  ii) Sistema con solución única. Dos rectas con diferente pendiente. 21 aa  iii) Sistema con un conjunto infinito de soluciones. Dos rectas paralelas con misma ordenada al origen. 21 aa = y 21 bb = Definición. Un sistema de ecuaciones lineales 22x en el que las dos ecuaciones están igualadas a cero se llama sistema 22x homogéneo. Sistema homogéneo 22x 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 = 𝟎 𝑎𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝑎𝟐𝟐𝒙𝟐 = 𝟎 Observa que un sistema homogéneo es consistente, ya que el punto ( )0,0 siempre es solución la cual por cierto recibe el nombre de solución trivial. 6 Justificación geométrica: Consideremos la ecuación lineal homogénea 0=+ byax , despejando la variable y se tiene: x b a y −= considerando b a m −= se llega a que mxy = es decir, se trata de una recta con pendiente m y ordenada al origen cero. Esto quiere decir que cualquier ecuación homogénea con dos incógnitas es una recta que pasa por el origen, entonces si las rectas tienen diferente pendiente ellas se cruzan en el origen y si tienen pendientes iguales las rectas están encimadas. De ahí que un sistema homogéneo siempre es consistente. Ecuaciones lineales con tres incógnitas. Una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio ya que si en bzayaxa =++ 321 se despeja la variable 021  ++= yxz con 3 0 a b = , 3 1 1 a a −= y 3 2 2 a a −= para cualesquiera valores que se asignen a las variables x y y (variables libres) se obtendrá un valor para z , de la forma ( )021,,  ++ kjkj es decir, para cada punto en el plano xy se tiene una altura en el eje z y dado que las variables son lineales esto define un plano. Definición. Un sistema de ecuaciones lineales 33x en el que al menos una de ellas no está igualada a cero se llama sistema 33x no homogéneo. Sistema no homogéneo 33x 3333232131 2323222121 1313212111 bxcxcxc bxbxbxb bxaxaxa =++ =++ =++ La solución al sistema es el conjunto de triadas ordenadas que satisfacen las 3 ecuaciones del sistema o lo que es lo mismo el conjunto de puntos que están en los tres planos. En el caso de un sistema de ecuaciones 33x también se tiene cualquiera de los casos siguientes: ➢ Sistema inconsistente. Por ejemplo tres planos paralelos con diferente ordenada al origen. 7 ➢ Conjunto infinito de soluciones. Tal es el caso de tres planos que se cortan en una línea recta o dos planos paralelos encimados que se cortan en una recta con el tercer plano. ➢ Solución única. Tres planos perpendiculares se cortan solo en un punto en el espacio. Para pensar: Pensemos en el caso de dos planos paralelos desplazados que son cortados por una recta en el espacio. a) ¿Cuántas soluciones tendría el sistema que representa esta situación? b) ¿Cuántas ecuaciones hay en el sistema? Solución a) El sistema es inconsistente porque los planos nunca se tocan. b) El sistema tendría al menos 4 ecuaciones ya que una recta en el espacio se define como la intersección de dos planos con diferente pendiente es decir son dos ecuaciones las que definen a la recta más las dos ecuaciones que definen a los planos que no se tocan. Pudieran ser más ya que tres planos con diferente pendiente también se cortan en una recta más las dos ecuaciones que definen a los planos daría un total de 5 ecuaciones, etc. Definición. Un sistema de ecuaciones lineales 33x en el que las tres ecuaciones están igualadas a cero se llama sistema 33x homogéneo. Sistema homogéneo 33x 0 0 0 333232131 323222121 313212111 =++ =++ =++ xcxcxc xbxbxb xaxaxa Observa que un sistema homogéneo 33x siempre es consistente, ya que el punto ( )0,0,0 es la llamada solución trivial. 1.1.3 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas Definición. Un sistema de ecuaciones lineales mxn es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas.