Investigacion basica sobre ecuaciones, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

¡Descarga Investigacion basica sobre ecuaciones y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity! UNIVERSIDAD TÉCNICA “LUIS VARGAS TORRES” FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA Asignatura: Matemática I Profesor: MII Guilcatoma Moreira Pascolin M. Estudiante: Meza Caicedo Dagmar Jamileth Ciclo: 1ro Paralelo: “A” Tema: Ecuaciones Esmeraldas – Ecuador INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se detallará el concepto de ecuación, sus partes y como se resuelven aplicando distintos métodos, las ecuaciones son de gran importancia en nuestra vida cotidiana, pues generalmente se usan para sacar cuentas, vueltos, etc. El propósito de esta investigación es profundizar los conocimientos sobre el tema ya sea teórica o de forma práctica. Se brinda una información generalizada, aportando definiciones necesarias para entender el contenido del trabajo, contextualizando la información y brindando ejemplos para un mejor entendimiento y dando a conocer los objetivos del trabajo. En cuanto a las matemáticas, las ecuaciones de primer grado son la introducción al algebra. Su comprensión es imprescindible para cualquier tipo de ecuaciones: ecuaciones de segundo grado o de grado mayor, exponenciales, irracionales y para los sistemas de ecuaciones. En cuanto a la vida real, aunque en un principio no se piense así, las ecuaciones son una herramienta de gran utilidad que nos permiten resolver numerosos problemas a los que nos enfrentamos diariamente. Objetivo General • Conocer el proceso para la resolución de ecuaciones Objetivos específicos • Comprender el concepto de ecuación como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la incógnita que la hace verdadera. • Identificar la transposición de términos en una ecuación como método para transformar una ecuación en otra equivalente más sencilla. • Gusto por la sistematización y secuenciación de la resolución de un problema. Ecuación lineal o de primer grado Son aquellas ecuaciones cuyo exponente mayor es igual a uno, en efecto, el número que se coloca en la expresión del lado superior izquierdo de la variable es igual a uno. Procedimiento para resolver una ecuación de primer grado • Quitar denominadores: multiplicando ambas partes de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. (Propiedad 2) • Quitar paréntesis. (Propiedad distributiva) • Transposición de términos. Conseguir una ecuación de la forma a ⋅ x = b. (Propiedad 1). • Despejar la incógnita. (Propiedad 2). • Comprobar la solución. Ejercicio: Resuelve la siguiente ecuación 2 − 𝑥−1 3 = 𝑥 + 8−𝑥 2 Multiplicamos ambas partes por el mínimo común múltiplo de los denominadores 6 (2 − 𝑥 − 1 3 ) = 6 (𝑥 + 8 − 𝑥 2 ) Eliminamos los paréntesis 12 − 2𝑥 + 2 = 6𝑥 + 24 − 3𝑥 Agrupamos términos semejantes −2𝑥 − 6𝑥 + 3𝑥 = 24 − 12 − 2 −5𝑥 = 10 𝑥 = − 10 5 𝑥 = −2 // Comprobación 2 − −2 − 1 3 = −2 + 8 − (−2) 2 2 − −3 3 = −2 + 10 2 2 − (−1) = −2 + 5 3 = 3 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una expresión de la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 tal que 𝑥,  𝑦 son las incógnitas, 𝑎,  𝑏 son los coeficientes y 𝑐 el termino independiente. Una solución de la ecuación es un par de valores reales que al sustituirlos por las incógnitas 𝑥,  𝑦 , transformen la ecuación en una identidad. Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas tienen infinitas soluciones. La representación gráfica de estas soluciones es una recta. Ejercicio: Resuelve gráficamente y analíticamente la ecuación 3𝑥 − 2𝑦 = 6 Notemos que si despejamos una incógnita las soluciones son infinitas y dependen del valor que demos a la otra incógnita. Solución Analítica Despejemos la incógnita 𝑦 entonces: 𝑦 = −3𝑥+6 −2 Reemplazamos el valor de 𝑦 en la ecuación principal: 3𝑥 − 2( −3𝑥+6 −2 ) = 6 Resolvemos: 3𝑥 − 6𝑥−12 −2 = 6 −6𝑥 − 6𝑥 − 12 −2 = 6 −12𝑥 − 12 −2 = 6 −12𝑥 − 12 = −12 −12𝑥 = −12 + 12 𝑥 = −12 Encontramos el valor de 𝑦 3(−12) − 2𝑦 = 6 −36 − 2𝑦 = 6 −2𝑦 = 6 + 36 −2𝑦 = 42 𝑦 = −21 Comprobación 𝑥 = −12       𝑦 = −21 3𝑥 − 2𝑦 = 6 3(−12) − 2(−21) = 6 Dando valores particulares a la incógnita 𝑥(−2,  0,  2,  4) construimos la tabla: 𝑦 = −3𝑥 + 6 −2 𝑥 −2 0 2 4 𝑦 −6 −3 0 3 𝑦 = 2 − 3 𝑦 = −1 Comprobación: Veamos que los valores anteriores transforman las dos ecuaciones iniciales en identidades: 𝑥 = 3,  𝑦 = −1 𝑦 = 2 − 𝑥 → −1 = 2 − 3 𝑥 − 2𝑦 = 5 → 3 − 2(−1) = 5 3. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución: 5𝑥 − 𝑦 = 0 3𝑥 + 𝑦 = 8 De una ecuación despejamos una incógnita y sustituimos su valor en la otra ecuación. De la primera ecuación despejamos la incógnita 𝑦 : 𝑦 = 5𝑥 3𝑥 + 𝑦 = 8 Sustituimos el valor de la incógnita 𝑦 en la segunda ecuación: 3𝑥 + 5𝑥 = 8 8𝑥 = 8 𝑥 = 8 8 𝑥 = 1 Sustituimos el valor de 𝑥 en la primera ecuación: 𝑦 = 5𝑥 𝑦 = 5(1) 𝑦 = 5 La solución al sistema es: 𝑥 =  1,  𝑦 = 5 4. Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción: 2𝑥 = −10 − 6𝑦 𝑥 − 3𝑦 = 7 La misma incógnita de las dos ecuaciones tiene que tener los coeficientes opuestos. Después sumaremos las ecuaciones. Escribimos el sistema anterior en forma general: 2𝑥 + 6𝑦 = −10 𝑥 − 3𝑦 = 7 Queremos reducir la incógnita 𝑦 . Multiplicamos la segunda ecuación por 2 (de esta forma los coeficientes serán opuestos). 2𝑥 + 6𝑦 = −10 𝑥 − 3𝑦 = 7 (2) → 2𝑥 − 6𝑦 = 14 4𝑥 = 4 𝑥 = 4 4 𝑥 = 1 Sustituimos el valor de 𝑥 en cualquier ecuación: 𝑥 − 3𝑦 = 7  1 − 3𝑦 = 7 −3𝑦 = 7 − 1 −3𝑦 = 6 𝑦 = 6 −3 𝑦 = −2 La solución al sistema es 𝑥 = 1,  𝑦 = −2 Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Una ecuación de segundo grado es de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, tal que 𝑎 ≠ 0 Les soluciones de la ecuación de segundo grado son: 𝑥 = −𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Llamamos discriminante y lo representamos por: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 El número de soluciones de la ecuación depende del signo del discriminante: Si ∆> 0 la ecuación tiene dos soluciones reales diferentes (existe la raíz cuadrada). Si ∆= 0 la ecuación tiene una solución real doble (la raíz cuadrada es cero). Si ∆< 0 la ecuación no tiene solución real (la raíz cuadrada no existe). Ejercicios Resuelve las siguientes ecuaciones: 𝑎.  3𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0 𝑏.  𝑥2 − 4𝑥 = 0 𝑐.  2𝑥2 − 18 = 0 Soluciones a) La ecuación 3𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0 tiene todos los coeficientes distintos de cero. Para resolverla aplicamos la fórmula: 𝑎 = 3     𝑏 = −4     𝑐 = 1 𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 = 4 ± √(−4)2 − 4(3)(1) 2(3) = 4 ± 2 6 𝑥1 = 4 + 2 6 = 1 𝑥2 = 4 − 2 6 = 1 3 b) Una ecuación de segundo grado con una incógnita es incompleta si los coeficientes 𝑏 o 𝑐 son cero. La ecuación 𝑥2 − 4𝑥 = 0 no tiene término independiente, 𝑐 = 0 Para resolverla sacamos la incógnita 𝑥 factor común: 𝑥2 − 4𝑥 = 0 → 𝑥(𝑥 − 4) = 0 Un producto es cero si uno de los factores es cero. Entonces 𝑥 = 0 , o bien 𝑥 − 4 = 0 Por la tanto la ecuación tiene dos soluciones 𝑥 = 0       𝑥 = 4 c) La ecuación 2𝑥2 − 18 = 0 es incompleta. No tiene término de primer grado, 𝑏 = 0 . Despejamos 𝑥2después calcularemos la raíz cuadrada: 2𝑥2 − 18 = 0 → 2(𝑥2 − 9) = 0 → 𝑥2 − 9 = 0     𝑥2 = 9 Calculando la raíz cuadrada: 𝑥 ± √9 las soluciones de la ecuación son 𝑥 = 3       𝑥 = −3 Las ecuaciones b) y c) se podrían resolver mediante la formula. Ecuaciones bicuadráticas Una ecuación bicuadrada es una ecuación de cuarto grado de la forma 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0, los coeficientes de tercer y primer grado son cero. Para resolver la ecuación efectuaremos el cambio de variable 𝑧 = 𝑥2 Ejercicio: Resuelve la ecuación bicuadrada 𝑥4 − 13𝑥2 − 48 = 0 Efectuamos el cambio 𝑧 = 𝑥2, entonces 𝑧2 = 𝑧4 La ecuación se transformaría: 𝑧2 − 13𝑧 − 48 = 0 Resolvemos la ecuación: 𝑎 = 1    𝑏 = −13    𝑐 = −48 𝑥 = 13 +√(−13)2 − 4(1)(−48) 2(1) = 13 ± 19 2 Comprobar que la solución o soluciones satisfacen la ecuación inicial. Ejercicio Resuelve la ecuación: 3𝑥 − √5 + 𝑥 = 6𝑥 + 1 Despejamos el radical: −√5 + 𝑥 = 6𝑥 + 1 − 3𝑥 −√5 + 𝑥 = 3𝑥 + 1 Elevamos al cuadrado ambas partes de la ecuación: (−√5 + 𝑥) 2 = (3𝑥 + 1)2 Efectuamos operaciones: 5 + 𝑥 = 9𝑥2 + 6𝑥 + 1 Escribimos la ecuación de segundo grado en forma general: 9𝑥2 + 5𝑥 − 4 = 0 Resolvemos la ecuación: 𝑥 = −5 ± √(5)2 − 4(9)(−4) 2(9) = −5 ± 13 18 𝑥1 = 4 9     𝑥2 = −1 Probemos si las soluciones anteriores satisfacen la ecuación inicial: 𝑥1 = 4 9   3 ( 4 9 ) − √5 + 4 9 ≠ 6 ( 4 9 ) + 1 por tanto, no es solución. 𝑥2 = −1  3(−1) − √5 + (−1) = 6(−1) + 1 por tanto, es solución. No Algebraicas Diferenciales Son aquellas que viene representada por medio de la variable con sus derivadas, en la expresión gráfica, a la variable le sigue una fracción, en la cual se presenta por igual una incógnita. Esta es una de las ecuaciones más utilizadas en el campo de la ingeniería. Integrales Se conocen como aquellas en las cuales la incógnita aparece dentro de una integral, de modo tal que se diferencia por su expresión numérica, para aquellos que tiene poco conocimiento, son las ecuaciones en las que la variable aparece dentro de paréntesis. Trigonométricas Ecuaciones en las que también se encuentra presente las funciones trigonométricas, que no son más que el acompañamiento de un número con dos variables. Logarítmicas Ecuaciones en las cuales es posible apreciar un logaritmo. Este no es más que el valor del exponente conforme al cual hay que elevar o multiplicar la base para que así pueda obtenerse dicho valor. Exponenciales Se reconocen porque las variables se presentan en las potencias, es decir, el número ubicado en la parte superior le acompaña una letra, esto es lo que se conoce como exponente. Las ecuaciones pueden que en su presentación resulten muy complicadas, no obstante, las mismas sirven de gran utilidad para la algebra y la física, para la explicación de ciertos fenómenos y representación de ciertas relaciones físicas en las que interviene la velocidad o fuerza. Conclusiones Una ecuación no es más que una expresión numérica en la cual se explica algún fenómeno de la naturaleza, como es conocido las ciencias exactas y entre estas la mejor de todas, las matemáticas vienen a ser una de las áreas más específicas en explicar las ocurrencias naturales. Una vez que comprendamos el concepto de ecuación en el contexto de la resolución de problemas, aprenderemos que éstas no solo se resuelven por tanteo, sino también mediante las reglas de transposición las cuáles cumplen con las propiedades de la igualdad. El propósito de las reglas de transposición es que cada vez que las utilices, produzcas una ecuación más simple y equivalente a las anteriores. Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta, o bien averiguar que no tiene solución. Seguramente, conocemos otros procedimientos para resolver metódicamente algunos tipos de ecuaciones. Pero si llegamos a la solución mediante cualquier otro camino, también es válida la resolución. La solución de la ecuación es el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad. Recomendación Las ecuaciones sirven para codificar relaciones en lenguaje algebraico y, a partir de ahí, manejarlas matemáticamente. Esto supone una herramienta muy potente para resolver problemas. Se recomienda como tal seguir investigando otros procesos para la solución de ecuaciones desde la forma más compleja hasta quedar en la más sencilla. Bibliografía • Ecuaciones ¿Qué es una Ecuación? Disponible en: https://e1.portalacademico.cch.unam.mx/alumno/matematicas1/unidad3/resolucion- problemas-con-ecuaciones- lineales/introduccion#:~:text=Una%20ecuaci%C3%B3n%20es%20una%20igualdad,que%20ex presen%20una%20misma%20condici%C3%B3n. Disponible en: https://www.significados.com/ecuacion/ Disponible en: https://aulaprende.com/ecuaciones/ Disponible en: https://conceptodefinicion.de/ecuaciones/ Disponible: https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/ecuaciones/introduccion-a- las-ecuaciones.html • Partes de la ecuación "Ecuación". En: Significados.com. Disponible en: https://www.significados.com/ecuacion/ Disponible en: https://aulaprende.com/ecuaciones/ • Clasificación de ecuaciones Disponible en: https://www.clasificacionde.org/clasificacion-de-ecuaciones/