libro completo algebra, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

¡Descarga libro completo algebra y más Apuntes en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity! Página 70 1. Tres amics, Antoni, Joan i Pau, van anar amb els tres fills, Juli, Josep i Lluís, a un magatzem de fruites seques. Davant d’un sac d’ametles, l’amo els va dir: —Agafau les que vulgueu. Cada un va posar la mà en el sac un nombre n de vegades i, cada vega- da, es va emportar n ametles (és a dir, si un va posar la mà en el sac 9 vegades, cada vegada agafà 9 ametles, i, per tant, es va emportar 81 ame- tles). A més, cada pare va agafar, en total, 45 ametles més que el fill. N’Antoni va posar la mà 7 vegades més que en Lluís, i en Juli, 15 més que en Pau. • Com es diu el fill de n’Antoni? • I el d’en Joan? • Quantes ametles es van emportar entre tots? Les claus per a resoldre aquest problema són: a) Cada persona s’emporta un nombre d’ametles que és quadrat perfecte: x grapats → x2 ametles y grapats → y 2 ametles b) La diferència d’ametles que agafen cada pare i el seu fill és de 45. x2 – y 2 = 45 → (x + y) (x – y) = 45 (Recorda: suma per diferència és igual a diferència de quadrats.) Tenim, per tant, el producte de dos nombres naturals igual a 45. Això només ocorre en els casos següents: 9 × 5 15 × 3 45 × 1 • 1r cas: 9 × 5 (x + y) (x – y) = 45 x + y = 9 x – y = 5 Sumant: 2x = 14 → x = 7 Restant: 2y = 4 → y = 2 Solució: x = 7, y = 2 1Unidad 3. Álgebra ÁLGEBRAUNIDAD 3 Això vol dir que: un dels pares va agafar 7 grapats de 7 ametles (49 ametles) i el fill, 2 grapats de 2 ametles (4 ametles). Donat que x i y són positius, hem assignat a x + y el major valor, 9, i a x – y el menor, 5. Els altres dos casos: • 15 × 3 • 45 × 1 es resolen de manera anàloga. Resol el problema complet. Quan tinguis les solucions numèriques, torna a llegir l’enunciat per a res- pondre exactament les preguntes que s’hi fan. • 2-º caso: 15 × 3 (x + y) (x – y) = 45 Esto significa que otro de los padres cogió 9 puñados de 9 almendras (81 almen- dras) y su hijo, 6 puñados de 6 almendras (36 almendras). • 3er caso: 45 × 1 (x + y) (x – y) = 45 Uno de los padres se llevó 23 puñados de 23 almendras (529 almendras) y su hi- jo, 22 puñados de 22 almendras (484 almendras). Como Antonio metió la mano 7 veces más que Luis, Antonio cogió 9 puñados y Luis 2 puñados. Como Julio metió la mano 15 veces más que Pablo, Julio cogió 22 puñados y Pablo 7 puñados. Por tanto: • Antonio se lleva 9 puñados y José 6. • Juan coge 23 puñados y Julio 22. • Pablo se lleva 7 puñados y Luis 2. • El hijo de Antonio es José, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis. Por último, el número total de almendras que se llevaron entre todos será: 81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1 183 almendras Sumando: 2x = 46 → x = 23 Restando: 2y = 44 → y = 22    x + y = 45 x – y = 1 Sumando: 2x = 18 → x = 9 Restando: 2y = 12 → y = 6    x + y = 15 x – y = 3 2Unidad 3. Álgebra b) x 4 – 18x 2 + 81 = 0; z = x 2 z 2 – 18z + 81 = 0 z = = 9 → x = ±3 x1 = 3, x2 = –3 c) + 1 = x – 3 = x – 4 x 2 – 5x + 4 = x 2 + 16 – 8x 3x = 12 x = 4 Página 76 1. Resol aquestes equacions: a) x3 – 7x2 + 3x = 0 b) x3 – 2x2 – 9x + 18 = 0 a) x 3 – 7x 2 + 3x = 0 x (x 2 – 7x + 3) = 0 x1 = 0 x 2 – 7x + 3 = 0 x = x1 = 0, x2 = , x3 = b) x 3 – 2x 2 – 9x + 18 = 0 (x – 2) (x – 3) (x + 3) = 0 x1 = 2, x2 = 3, x3 = –3 Página 77 1. Interpreta gràficament: a) b) y = x 2 – x – 6 2x – y – 6 = 0    3x – 2y – 5 = 0 x + y – 8 = 0    7 – √37 2 7 + √37 2 7 ± √49 – 12 2 √x 2 – 5x + 4 √x 2 – 5x + 4 18 ± √0 2 5Unidad 3. Álgebra x2 = x3 = 7 – √37 2 7 + √37 2 a) Sistema compatible. Son dos rectas que se cortan en el punto ( , ). El sistema tiene una solución: x = , y = b) Sistema compatible. Tiene dos soluciones, pues la recta y la parábola se cortan en dos puntos. Los puntos son (0, –6) y (3, 0), luego las soluciones son: x1 = 0, y1 = –6, x2 = 3, y2 = 0 Página 79 1. Resol: a) b) a) = 1 – 2y; 1 + 2y = 1 + 4y 2 – 4y; 0 = 4y 2 – 6y y (4y – 6) = 0 Solución: x = –3, y = 0 b) z = 4 – x z = 3 Solución: x = 1, y = 2, z = 3 6 – 2y + y = 4 → y = 2 → x = 1    x = 3 – y 3 – y + z = 4 2 (3 – y) + y = 4    x + y = 3 x + z = 4 2x + y = 4      y = 0 → x = –3 (sí vale) y = 6/4 = 3/2 → x = 3/2 (no vale) √1 + 2y x = 3y – 3 √4 + 3y – 3 – y + 3y – 3 = y – 2    x – 3y + 3 = 0 √ — 4 + x – y + x = y – 2 x + y = 3 x + z = 4 2x + y = 4      x – 3y + 3 = 0 √ — 4 + x – y + x = y – 2    19 5 21 5 19 5 21 5 6Unidad 3. Álgebra y = 8 – x y = ——— 3x – 5 2 (—, —)215 195 2 4 2 4 6 8 Y X 6 8 y = x2 – x – 6 y = 2x – 6 2 2 4 –2 –4 –6 –8 –2 Y X Página 80 1. Resol: a) 3x + 2 ≤ 10 b) c) a) x ≤ 8/3 b) No tiene solución c) No tiene solución Página 81 2. Resol les inequacions i els sistemes següents: a) x2 – 3x – 4 < 0 b) x2 – 3x – 4 ≥ 0 c) x2 + 7 < 0 d) a) b) x 2 – 3x – 4 ≥ 0 → (–∞, –1] U [4, +∞) x 2 – 3x – 4 < 0 → intervalo (–1, 4) c) d) x 2 + 7 < 0 → No tiene solución 2x – 7 > 5 → 2x > 12 → x > 6 → (6, +∞) x 2 – 3x – 4 ≥ 0 → (–∞, –1] U [4, +∞) Solución: (6, +∞) x2 – 3x – 4 ≥ 0 2x – 7 > 5       2x ≥ 11 → x ≥ 11/2 3x ≤ 14 → x ≤ 14/3    3x ≤ 8 → x ≤ 8/3 x > 6 2x – 5 ≥ 6 3x + 1 ≤ 15    3x + 2 ≤ 10 x – 5 > 1    7Unidad 3. Álgebra y = x2 – 3x – 4 2 4 2 4 –2 –2 Y X y = x2 – 3x – 4 2 4 2 4 –2 –2 Y X y = x2 + 7 4 8 2 4 12 –2 Y X 10Unidad 3. Álgebra 2 Resol aquestes equacions incompletes de segon grau sense aplicar-hi la fór- mula general: a) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x2 – 20 b) – = c) – = – d) + [x2 – 2 – x] = a) x 2 + 1 + 2x – x 2 – 4 + 4x = x 2 + 9 + 6x + x 2 – 20 6x – 3 = 2x 2 + 6x – 11 8 = 2x 2 x1 = 2, x2 = –2 b) 6x 2 – 12x + 30 – 3x 2 – 9x = 2x 2 – 8x + 30 x 2 – 13x = 0 x (x – 13) = 0 x1 = 0, x2 = 13 c) 6x + 2 – 15x 2 – 9 = 3x 2 – 3 – 2x – 4 0 = 18x 2 – 8x 2x (9x – 4) = 0 d) + – 1 – = 3x 2 – 1 + 2x 2 – 4 – x = x 2 – 5 4x 2 – x = 0 x (4x – 1) = 0 3 Resol les equacions següents: a) (3x + 1) (2x – 3) – (x – 3) (6x + 4) = 9x b) – (x + 1) = c) [(13 – 2x) – 2(x – 3)2] = – (x + 1)2 d) + (x – 2)2 = x2 + 2 2 x2 – 1 3 1 3 1 6 (2x – 3)2 – (13x – 5) 16 2 3 x2 – 1 4 x1 = 0 4x – 1 = 0 → x2 = 1/4 x 2 – 5 4 x 4 x 2 2 3x 2 – 1 4 x1 = 0 x2 = 4/9 x2 – 5 4 1 2 1 2 3x2 – 1 4 x + 2 3 x2 – 1 2 5x2 + 3 2 3x + 1 3 x2 – 4x + 15 6 x2 + 3x 4 x2 – 2x + 5 2 e) 0,5 (x – 1)2 – 0,25 (x + 1)2 = 4 – x f) (0,5x – 1) (0,5x + 1) = (x + 1)2 – 9 a) 6x 2 – 9x + 2x – 3 – 6x 2 – 4x + 18x + 12 = 9x 2x = 9 x = b) – = 12x 2 – 12 – 32x – 32 = 12x 2 + 27 – 36x – 39x + 15 –44 – 32x = 42 – 75x 43x = 86 x = 2 c) (13 – 2x – 2x 2 – 18 + 12x) = – – – (–2x 2 + 10x – 5) = – – – – + – = – – – –2x 2 + 10x – 5 = –2x 2 – 2 – 4x 14x = 3 x = d) 2x 2 – 2 + 6x 2 + 24 – 24x = 3x 2 + 6 5x 2 – 24x + 16 = 0 x = x = e) (x 2 + 1 – 2x) – (x 2 + 1 + 2x) = 4 – x + – x – – – = 4 – x 2x 2 + 2 – 4x – x 2 – 1 – 2x = 16 – 4x x 2 – 2x – 15 = 0 x = x1 = 5 x2 = –3 2 ± √4 + 60 2 x 2 1 4 x 2 4 1 2 x 2 2 1 4 1 2 x1 = 4 x2 = 4/5 24 ± 16 10 24 ± √576 – 320 10 3 14 2x 3 1 3 x 2 3 5 6 10x 6 2x 2 6 2x 3 1 3 x 2 3 1 6 2x 3 1 3 x 2 3 1 6 4x 2 + 9 – 12x – 13x + 5 16 (2x + 2) 3 x 2 – 1 4 9 2 11Unidad 3. Álgebra f ) ( – 1) ( + 1) = x 2 + 1 + 2x – 9 – 1 = x 2 + 1 + 2x – 9 x 2 – 4 = 4x 2 + 4 + 8x – 36 0 = 3x 2 + 8x – 28 x = 4 Comprova que aquestes equacions són de primer grau i que una no té solu- ció i una altra en té d’infinites: a) – = – b) 0,2x + 0,6 – 0,25(x – 1)2 = 1,25x – (0,5x + 2)2 c) (5x – 3)2 – 5x (4x – 5) = 5x (x – 1) d) – = – a) x 2 + 1 + 2x – 8 – 8x = x 2 + 1 – 2x – 8 – 4x 0 = 0 Tiene infinitas soluciones. b) + – = – – 4 – 2x 4x + 12 – 5x 2 – 5 + 10x = 25x – 5x 2 – 80 – 40x 29x = –87 x = – x = –3 c) 25x 2 + 9 – 30x – 20x 2 + 25x = 5x 2 – 5x 9 = 0 No tiene solución. d) 4x + 2 – 7x 2 + 14x – 7x + 14 = 7x – 14 – 7x 2 – 28 + 28x –7x 2 + 11x + 16 = –7x 2 + 35x – 42 x = = 29 12 58 24 87 29 x 2 4 5x 4 (x 2 + 1 – 2x) 4 3 5 x 5 (x – 2)2 2 x – 2 2 (x + 1) (x – 2) 2 2x + 1 7 2 + x 4 (x – 1)2 16 1 + x 2 (x + 1)2 16 x1 = 2 x2 = –14/3 –8 ± √64 + 336 6 x 2 4 x 2 x 2 12Unidad 3. Álgebra 9 Resol i comprova’n les solucions: a) x4 – 10x2 + 9 = 0 b) x4 – 5x2 + 36 = 0 c) 9x4 – 46x2 + 5 = 0 d) x4 – 4x2 = 0 a) x 2 = z z 2 – 10z + 9 = 0 z = b) x 2 = z z 2 – 5z + 36 = 0 z = (no tiene solución) c) x 2 = z 9z 2 – 46z + 5 = 0 z = d) x 2(x 2 – 4) = 0 x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2 10 Troba les solucions de les equacions següents: a) (2x2 + 1) (x2 – 3) = (x2 + 1) (x2 – 1) – 8 b) (3x2 – 1) (x2 + 3) – (2x2 + 1) (x2 – 3) = 4x2 a) 2x 4 – 6x 2 + x 2 – 3 = x 4 – x 2 + x 2 – 1 – 8 x 4 – 5x 2 + 6 = 0 x 2 = z z = 5 ± √25 – 24 2 1 4 46 ± √2116 – 180 18 5 ± √25 – 144 2 10 ± √100 – 36 2 15Unidad 3. Álgebra z = 9 z = 1 x3 = 1 x4 = –1 x1 = 3 x2 = –3 z = 90/18 = 5 z = 2/18 = 1/9 x3 = 1/3 x4 = –1/3 x1 = √ — 5 x2 = –√ — 5 z = 3 z = 2 x3 = √ — 2 x4 = –√ — 2 x1 = √ — 3 x2 = –√ — 3 b) – 2x 4 + 6x 2 – x 2 + 3 = 4x 2 3x 4 + 8x 2 – 3 – 8x 4 + 20x 2 + 12 = 16x 2 –5x 4 + 12x 2 + 9 = 0 x 2 = z z = Página 87 11 Resol: x – = 1 – x ☛ Deixa el radical només en un membre i després eleva al quadrat. 2x – 1 = (2x – 1)2 = 2x – 1 4x 2 + 1 – 4x = 2x – 1 4x 2 – 6x + 2 = 0 x = 12 Resol: + 3 = 0 ☛ Aïlla’n el radical i eleva al cub. = –3; x 2 – 28 = –27, x 2 = 1 → x1 = 1, x2 = –1 13 Resol: a) = b) = – 1 a) 7 = ⇒ 49 = 5x + 14 ⇒ 35 = 5x ⇒ x = 7 b) –3 = ⇒ –27 = 13 – 5x ⇒ 5x = 40 ⇒ x = 8 14 Resol les equacions següents: a) = 3 + 2x b) x + = 1 c) + x = 0 d) + = 4√5x – 6√2x√3√2 – 5x √7 – 3x√5x + 6 3 √13 – 5x √5x + 14 3 3 √ –– 13 – 5x 1 7 1 √5x + 14 3 √x 2 – 28 3 √x2 – 28 x1 = 1 x2 = 1/2 6 ± √36 – 32 8 √2x – 1 √2x – 1 –12 ± √144 + 180 –10 3x 4 + 9x 2 – x 2 – 3 4 16Unidad 3. Álgebra z = –3/5 (no vale) z = 3 x1 = √ — 3 x2 = –√ — 3 a) 5x + 6 = 9 + 4x 2 + 12x 4x 2 + 7x + 3 = 0 x = b) 7 – 3x = 1 + x 2 – 2x x 2 + x – 6 = 0 x = c) 2 – 5x = (–x )2 2 – 5x = x 2 · 3 3x 2 + 5x – 2 = 0 x = d) ( )2 = (4 – )2 5x – 6 = 16 + 2x – 8 (8 )2 = (–3x + 22)2 64 · 2x = 9x 2 + 484 – 132x 128x = 9x 2 + 484 – 132x 0 = 9x 2 – 260x + 484 x = 15 Troba les solucions de les equacions següents: a) + 2x – 4 = 0 b) x – = 1 c) – 3 = 2x d) – = 0 e) – = 0 a) ( )2 = (4 – 2x)2 3x + 4 = 16 + 4x 2 – 16x 4x 2 – 19x + 12 = 0 x = x = 4 (no vale) x = 6/8 = 3/4 19 ± √361 – 192 8 √3x + 4 √3 – x√x2 + 3 √x + 1√x2 + x√5x + 6 √7 – 3x√3x + 4 x = 484/18 = 242/9 (no vale) x = 2 260 ± √67 600 – 17 424 18 √2x √2x √2x√5x – 6 x = –2 x = 1/3 (no vale) –5 ± √25 + 24 6 √3 x = 2 (no vale) x = –3 –1 ± √1 + 24 2 x = –3/4 x = –1 –7 ± √49 – 48 8 17Unidad 3. Álgebra x 2 + 3x + 2x 2 – 6x = 6 3x 2 – 3x – 6 = 0 x = 20 Resol: = ☛ Fes producte de mitjans igual a producte d’extrems. 4x 2 = 3x 2 + 2x + 6x + 4 x 2 – 8x – 4 = 0 x = 21 Resol: a) = b) = a) x 2 + 4x = 4x + 4 b) 6 – 3x = x 2 + 3x + 2x + 6 x 2 = 4 x 2 + 8x = 0 x1 = 2, x2 = –2 x (x + 8) = 0 x1 = 0, x2 = –8 22 Resol: a) + 3x = b) + + = – 1 c) + 80 = d) + = 1 a) 2x + 4 + 6x 2 = 5x 2 + 6x x 2 – 4x + 4 = 0 x = x = 2 b) 3 + 6 + 9 = x 2 – 3x x 2 – 3x – 18 = 0 x = x1 = 6 x2 = –3 3 ± √9 + 72 2 4 ± √16 – 16 2 12 – x x – 6 8 x + 6 600 x – 2 600 x x 3 3 x 2 x 1 x 5x + 6 2 x + 2 x x + 2 2 – x 3 x + 3 4 x + 4 x x + 1 x1 = 4 + 2√ — 5 x2 = 4 – 2√ — 5 8 ± √64 + 16 2 3x + 2 2x 2x x + 2 x1 = 2 x2 = –1 3 ± √9 + 72 6 20Unidad 3. Álgebra c) 600x – 1 200 + 80x 2 – 160x = 600x 80x 2 – 160x – 1 200 = 0 x 2 – 2x – 15 = 0 x = = = d) 8x – 48 + 12x – x 2 + 72 – 6x = x 2 – 36 2x 2 – 14x – 60 = 0 x = 23 Resol les equacions següents: a) – = b) + = a) 8x – 24 – x 2 + 3x – 4x + 22 = x 2 + 6x – 3x – 18 2x 2 – 4x – 16 = 0 x = b) 10x 2 – 250 + 15x – 3x 2 – 75 + 15x = 3x 2 + 15x + 15x + 75 4x 2 = 400 x 2 = 100 24 Resol aquestes equacions de grau superior a dues en què pots aïllar la incòg- nita: a) + = 0 b) – = 0 c) – = 0 d) – = 0 a) 27x 3 + 125 = 0 b) 81x 4 – 16 = 0 x = 3 x = ± 4 x = x1 = , x2 = – 2 3 2 3 –5 3 √ 1681√ –12527 3x3 20 12 5x 1 x2 x 2 2 81x3 x 8 25 9x2 3x 5 x1 = 10 x2 = –10 x1 = (4 + 12)/4 = 4 x2 = (4 – 12)/4 = –2 4 ± √16 + 128 4 x + 5 x – 5 5 – x x + 5 10 3 x + 6 2 2x – 11 x – 3 8 – x 2 x1 = (14 + 26)/4 = 10 x2 = (14 – 26)/4 = –3 14 ± √196 + 480 4 x1 = 5 x2 = –3 2 ± 8 2 2 ± √4 + 60 2 21Unidad 3. Álgebra c) x 3 – 2 = 0 d) 48 – 3x 4 = 0 x = x = ± 4 = ± Página 88 Sistemas de ecuaciones 25 Resol els sistemes següents: a) b) c) + y = 1 d) – = 4 + 2y = 1 – = 2 a) y = 1 – 23x b) x = 10 – 5y 2x – 11 + 253x = –11 30 – 15y + 5 = 2y + 1 0 = 255x 34 = 17y x = 0, y = 1 y = , y = 2 x = 0, y = 2 c) x = 2 – 3y 2 – 3y + 8y = 7; 5y = 5; y = 1 x = –1, y = 1 d) 2y = –16; y = –8 x = 0, y = –8 26 Representa gràficament aquests sistemes d’equacions i digues quins no tenen solució: a) b) c) 3x + 2 = y – 5 6x + 1 = 2y – 3    2x + 4 = 4 – y 5x – 3 = 9y – 3    x – 3y = 2x + 1 4x + 3y = 3x – 5    –2x + 3y = –24 2x – y = 8    2x – 3y = 24 2x – y = 8 x + 3y = 2 x + 8y = 7    x + 1 + 3y = 3 x – 3 + 8y = 4 34 17 y 4 x 2 x – 3 4 y 2 x 3 x + 1 3 3x + 5 = 2y + 1 x – 9 = 1 – 5y    2x – 11y = –11 23x + y = 1    x1 = 2 x2 = –2 4 √16√ 483 3 √2 22Unidad 3. Álgebra               29 Interpreta gràficament aquests sistemes: a) b) a) Sistema compatible. Tiene dos soluciones, pues la recta y la parábola se cortan en dos puntos. Los puntos son (0, 0) y (3, 3). Las soluciones serán: x1 = 0, y1 = 0, x2 = 3, y2 = 3 b) Sistema incompatible. La recta y la parábola no se cortan, luego el siste- ma no tiene solución. 30 Resol analíticament i gràficament els següents sistemes d’equacions: a) b) c) a) La recta y la parábola se cortan en (1, –2) y en (–4, –17). Las soluciones del sistema serán: x1 = 1, y1 = –2, x2 = –4, y2 = –17 b) La recta y la parábola se cortan en (3, 0) y en (–1, 4). Las soluciones del sistema serán: x1 = 3, y1 = 0, x2 = –1, y2 = 4 x2 – 4x + y = 5 –8x + y = 9    y = x2 – 3x y + x – 3 = 0    y – 3x = –5 x2 + y = –1    y = x2 + 1 x – y = 1    y = 4x – x2 y = x    25Unidad 3. Álgebra (0, 0) y = x y = 4x – x2 (3, 3) 2 2–2 –2 4 –4 4–4 y = x – 1 y = x2 + 1 2 2–2 –2 4 4–4 y = x2 – 3x y = –x + 3 2–2 2 –2 4 4 (3, 0) (–1, 4) y = –x2 – 1 y = 3x – 5 (1, –2) 2–2 –2 –4 –6 4–4 c) La recta y la parábola se cortan en (–2, –7). La solución del sistema será: x = –2, y = –7 31 Resol gràficament els sistemes següents i comprova la solució del que és compatible: a) b) a) Las tres rectas se cortan en (3, –2). La solución del sistema será: x = 3, y = –2. b) No hay ningún punto común a las tres rectas. El sistema no tiene solución. x – y = – 4 x + y = 8 2x – 3y = 1      x + y = 1 2x + y = 4 2x + 3y = 0      26Unidad 3. Álgebra y = 8x + 9 (–2, –7) y = –x2 + 4x + 5 2–2 2 –2 –4 –6 4 6 8 4 6 y = 1 – x y = 4 – 2x y = —— –2x 3 2–2 2 –2 –4 4 4–4 (3, –2) y = x + 4 y = 8 – x y = ——— 2x – 1 3 2–2 2 4 6 4 6 32 Resol aquests sistemes: a) b) ☛ Aïlla una incògnita en una de les equacions i substitueix-la en les altres dues. Ai- xí obtindràs un sistema de dues equacions. a) x + 6x + 3 = –4 x = –1, y = 1, z = 8 b) y = –x; –5 – 6x = –x –5x = 5 x = –1, y = 1, z = –2 33 Resol per reducció: a) b) a) 16x 4 + 16x 2 – 5 = 0 x 2 = = x1 = , y1 = 2, x2 = – , y2 = –2 b) y = ; x 2 – = 5; x 4 – 5x 2 – 36 = 0 x 2 = = x1 = 3, y1 = 2, x2 = –3, y2 = –2 9 → x = ±3 –4 (no vale) 5 ± 13 2 36 x 2 6 x    x 2 – y 2 = 5 xy = 6 1 2 1 2 1/4 → x = 1/2 –5/4 (no vale) –16 ± 24 32    y = 4x (x 2 + 1) 16x 2 = 5    (x 2 + 1) y 2 = 5 4x – y = 0 x2 – y2 = 5 xy = 6    (x2 + 1) y2 = 5 4x – y = 0    y = –5 – 6x x + y = 0    6x + y = –5 7x + 7y = 0    z = 3x + 4y – 3 3x – 3y + 3x + 4y – 3 = –8 x – y + 6x + 8y – 6 = –6      y = –2x – 1 x – 3 (–2x – 1) = –4    2x + y = –1 x – 3y = –4    z = 9 – 2y – x x – y – (9 – 2y – x) = –10 2x – y + 9 – 2y – x = 5      3x + 4y – z = 3 3x – 3y + z = – 8 x – y + 2z = – 6      x + 2y + z = 9 x – y – z = –10 2x – y + z = 5      27Unidad 3. Álgebra Página 89 Inecuaciones 36 Resol les inequacions següents: a) 2x – 3 < x – 1 b) ≤ c) –3x – 2 < 5 – d) – x > –2 a) x < 2; (–∞, 2) b) 9x – 6 ≤ 4x + 14 → 5x ≤ 20 → x ≤ 4; (–∞, 4] c) –6x – 4 < 10 – x → –14 < 5x → x > – ; (– , +∞) d) 3x – 5x > –10 → –2x > –10 → 2x < 10 → x < 5; (–∞, 5) 37 Observant la representació gràfica d'aquestes paràboles, digues quines són les solucions de les equacions i inequacions proposades: x2 – 6x + 9 = 0 –2x2 – 5x + 3 = 0 x2 – 6x + 9 > 0 –2x2 – 5x + 3 ≥ 0 –x2 + 2x – 3 = 0 x2 – 2x + 2 = 0 –x2 + 2x – 3 < 0 x2 – 2x + 2 > 0 14 5 14 5 3x 5 x 2 2x + 7 3 3x – 2 2 30Unidad 3. Álgebra 2 4 6 2 4 y = x2 – 6x + 9 y = –2x2 – 5x + 3 b)a) 2–2 2 4 6 2 4 y = –x2 + 2x – 3 y = x2 – 2x + 2d)c) –2 –2 42 2 a) Ecuación: x = 3 b) Ecuación: x1 = –3, x2 = Inecuación: (–∞, 3) U (3, +∞) Inecuación: [–3, ] c) Ecuación: No tiene solución d) Ecuación: No tiene solución Inecuación: Á Inecuación: Á 38 Resol les inequacions següents: a) 5 (2 + x) > –5x b) > x – 1 c) x2 + 5x < 0 d) 9x2 – 4 > 0 e) x2 + 6x + 8 ≥ 0 f) x2 – 2x – 15 ≤ 0 a) 10 + 5x > –5x → 10x > –10 → x > –1; (–1, +∞) b) x – 1 > 2x – 2 → 1 > x → x < 1; (–∞, 1) c) x (x + 5) < 0 → –5 < x < 0; (–5, 0) d) (3x – 2) (3x + 2) > 0 → (–∞, – ) U ( , +∞) e) (x + 2) (x + 4) ≥ 0 → (–∞, –4] U [–2, +∞) f ) (x + 3) (x – 5) ≤ 0 → [–3, 5] 39 Resol els següents sistemes d’inequacions: a) b) c) d) ☛ Resol cada inequació i cerca’n les solucions comunes. Un dels sistemes no té so- lució. a) (–4, 1) b) (4, +∞) c) (17, +∞) d) No tiene solución 40 Resol: a) –x2 – 2x + 3 ≥ 0 b) 5 – x2 < 0 c) x2 + 3x > 0 d) –x2 + 6x – 5 ≤ 0    x > 3/2 x < –1/5    x > 17 5x > 19 → x > 19/5    3x > –5 → x > –5/3 x > 4    4x < 4 → x < 1 x > –4 2x – 3 > 0 5x + 1 < 0    5 – x < –12 16 – 2x < 3x – 3    3x – 2 > –7 5 – x < 1    4x – 3 < 1 x + 6 > 2    2 3 2 3 x – 1 2 1 2 1 2 31Unidad 3. Álgebra a) –(x + 3) (x – 1) ≥ 0 → [–3, 1] b) ( – x ) ( + x ) < 0 → (–∞, – ) U ( , +∞) c) x (x + 3) > 0 → (–∞, –3) U (0, +∞) d) – (x – 1) (x – 5) ≤ 0 → (–∞, 1] U [5, +∞) 41 Resol: a) x2 – 7x + 6 ≤ 0 b) x2 – 7x + 6 > 0 x 2 – 7x + 6 = (x – 1) (x – 6) a) [1, 6] b) (–∞, 1) U (6, +∞) 42 Comprova que tots els nombres reals són solució d’aquesta inequació: 5(x –2) – 4(2x + 1) < –3x + 1 5x – 10 – 8x – 4 < –3x + 1 0 < 15 Queda 0 < 15, que es verdad para todos los números reales. 43 Comprova que no hi ha cap nombre que verifiqui aquesta inequació: 3(x – 2) + 7 < x + 2(x – 5) 3x – 6 + 7 < x + 2x – 10 0 < –11 Queda 0 < –11, que no es cierto. 44 N’Anna té 8 anys menys que en Xavier. Quants anys pot tenir n’Anna, si sa- bem que el triple de les seves edats és major que el doble de la d’en Xavier? Ana → x 3x > 2 (x + 8) Javier → x + 8 3x > 2x + 16 x > 16 Ana tendrá más de 16 años. 45 a) Comprova que el punt P verifica la inequació 2x – y ≤ –1. b) Tria tres punts qualssevol de la zona ratllada i pro- va que són solucions de la inequació. √5√5√5√5 32Unidad 3. Álgebra P -2 2 1 52 L’edat d’un pare és el quàdruple de la del seu fill, però d’ací 16 anys serà no- més el doble. Quina és l’edat actual de cada un? 4x + 16 = 2 (x + 16); 4x + 16 = 2x + 32; x = 8 El padre tiene 32 años y el hijo 8 años. 53 La suma d’un nombre parell, el parell anterior i els dos imparells que el se- gueixen, és 34. Calcula aquest nombre. x + x – 2 + x + 1 + x + 3 = 34 ⇒ x = 8 Es el número 8 54 Les dues xifres d’un nombre sumen 12. Si se n’inverteix l’ordre, s’obté un nombre 18 unitats major. Calcula aquest nombre. Es el número 57. 55 Tres empreses aporten 2, 3 i 5 milions d’euros per a la comercialització d’un nou avió. Als cinc anys reparteixen beneficis i a la tercera li corresponen 189 000 € més que a la segona. Quina va ser la quantitat repartida? ☛ A la primera li corresponen 2/1O dels beneficis. Beneficios 1-ª → 2 millones → y 2-ª → 3 millones → x 3-ª → 5 millones → 189 000 + x 10 millones 2x + y + 189 000 Total = 2x + y + 189 000 = 945 000 € La cantidad repartida fue de 945 000 €. x = 283 500 y = 189 000    2x – 4y = –189 000 –4x + 3y = –567 000 x = 5 y = 7    x + y = 12 10y + x = 18 + 10x + y 35Unidad 3. Álgebra AHORA DENTRO DE 16 AÑOS PADRE 4x 4x + 16 HIJO x x + 16 (2x + y + 189 000) = y (2x + y + 189 000) = x 3 10 2 10        56 Una aixeta A tarda a omplir un dipòsit el doble de temps que una altra B. Obertes simultàniament, omplen el dipòsit en 2 hores. Quant tarda cada una per separat? ☛ Si A tarda x hores a omplir el dipòsit, en 1 hora omple 1/x del dipòsit. En 1 hora → + = partes del depósito Tiempo entre los dos: = 2 horas ⇒ t = 3 horas 2t = 6 horas B tarda 3 horas y A 6 horas. 57 Un remer puja amb la barca per un riu a una velocitat de 30 m/min i baixa a 60 m/min. Fins a quina distància s’allunya en un passeig d’hora i mitja? 30t = 5 400 – 60t ; t = 60 min Tarda 60 minutos en la ida y 30 en la vuelta. Se aleja una distancia de 1 800 m. 58 Es mesclen 30 kg de cafè de 6 €/kg amb una certa quantitat d’un altre de 8 €/kg, i la mescla resulta a 7,25 €/kg. Quina quantitat del cafè més car s’hi ha utilitzat? ☛ Preu d’1 kg de mescla = A → 30 kg → 6 €/kg B → x kg → 8 €/kg Mezcla → (30 + x) kg → 7,25 €/kg 7,25 = ; 217,5 + 7,25x = 180 + 8x 0,75x = 37,5 ⇒ x = 50 kg 30 · 6 + 8x 30 + x cost total total de kilos    30t = x 60 (90 – t ) = x 2t 3 3 2t 1 t 1 2t 36Unidad 3. Álgebra A tiempo → 2t t B 30 = 60 = x 90 – t x t        30 m/min x 60 m/min 59 Una botiga ha venut 60 ordinadors, el preu original dels quals era de 1 200 €, amb un descompte del 20% a uns i un 25% a altres. Si s’han recaptat 56 400 €, calcula a quants ordinadors se’ls va rebaixar el 25%. PRECIO ORIGINAL CON DESCUENTO UNOS → x → 1 200x 0,8 · 1 200x = 960x OTROS → y → 1 200y 0,75 · 1 200y = 900y Se vendieron 20 ordenadores con un 25% de descuento y 40 ordenadores con un 20% de descuento. 60 En la primera prova d’una oposició queda eliminat el 52% dels partici- pants. En la segona prova s’elimina el 25% dels restants. Si el nombre total de persones suspeses és de 512, quantes persones es van presentar a l’o- posició? ☛ Recorda que per a calcular el 52% d’una quantitat, aquesta quantitat es multipli- ca per 0,52. Per quant s’haurà de multiplicar per a calcular el 25% del 48% restant? QUEDAN QUEDAN Se presentan x 0,48x 0,75 · 0,48x = 0,36x Queda el 36% del total. Se ha eliminado el 64% del total: 0,64x = 512 ⇒ x = 800 Se presentaron 800 personas. 61 Un granger espera obtenir 36 € per la venda d’ous. De camí al mercat se li’n trenquen quatre dotzenes. Per a obtenir el mateix benefici augmenta en 0,45 € el preu de la dotzena. Quantes dotzenes tenia al principi? ☛ Iguala el cost de les dotzenes que es trenquen al que augmenta el cost de les que queden. Tenía x docenas → €/docena Le quedan x – 4 docenas → ( + 0,45) €/docena ( + 0,45) (x – 4) = 36 (36 + 0,45x) (x – 4) = 36x 36x – 144 + 0,45x 2 – 1,8x = 36x 0,45x 2 – 1,8x – 144 = 0 x = 20 (x = –16 no vale) ⇒ Tenía 20 docenas. 36 x 36 x 36 x –25% → 2-ª prueba –52% → 1-ª prueba x = 40 y = 20    x + y = 60 960x + 900y = 56 400 –25% → –20% → 37Unidad 3. Álgebra 68 Quin valor ha de prendre k perquè l’equació x2 – 6x + k = 0 no tingui so- lució? x = ; 36 – 4k < 0 ⇒ k > 9 69 Escriu una equació que tingui per solucions x1 = 3 y x2 = –2. (x – 3) (x + 2) = 0 ⇒ x 2 – x – 6 = 0 70 Quantes solucions pot tenir una equació biquadrada? Posa’n exemples. Cuatro o menos. Ejemplos: Ninguna solución → x 4 + 1 = 0 Una solución → x 4 + x 2 = 0 → x = 0 Dos soluciones → x 4 – 9 = 0 → x1 = , x2 = – Tres soluciones → x 4 – 9x 2 = 0 → x1 = 0, x2 = 3, x3 = –3 Cuatro soluciones → x 4 – 5x 2 + 4 = 0 → x1 = 1, x2 = –1, x3 = 2, x4 = –2 71 Per a quins valors de k té solució l’equació x2 + k = 0? Para k ≤ 0. 72 Quina condició han de complir a i b perquè el sistema següent tingui so- lució? b = 2a. En este caso, tendría infinitas soluciones. (Si b ≠ 2a, tendríamos dos rectas paralelas y el sistema no tendría solución.) PARA PROFUNDIZAR 73 Un ramader té bous que mengen la mateixa quantitat de pinso cada dia. Si venia 15 bous, el pinso li duraria 3 dies més i si comprava 25 bous, el pin- so li duraria 3 dies menys. Troba el nombre de bous i els dies que els pot alimentar. ☛ Si x és el nombre de bous i t el nombre de dies que els pot alimentar, xt és la quantitat de racions de pinso que té el ramader. 2x + 3y = a 4x + 6y = b    √3√3 6 ± √36 – 4k 2 40Unidad 3. Álgebra DÍAS CON PIENSO RACIONES NÚMERO DE BUEYES → x → y → xy x – 15 → y + 3 → (x – 15) (y + 3) x + 25 → y – 3 → (x + 25) (y – 3) 10y = 120 ⇒ y = 12; x = 75 Tiene 75 bueyes, que puede alimentar durante 12 días. 74 Un avió militar vola a 600 km/h quan no fa vent i pot portar combustible per a 4 hores. Quan surt hi ha un vent en contra de 60 km/h que es man- tindrà, segons els pronòstics, durant tot el trajecte. Quants kilòmetres pot allunyar-se de la base de manera que pugui tornar-hi sense haver de pro- veir-se de combustible? ☛ Quan l’avió va a favor del vent, la velocitat és de 660 km/h. 600 km/h sin viento → 4 h combustible Viento en contra de 60 km/h t = 2,2 h; x = 1 188 km 75 Dues aixetes omplen juntes un dipòsit en 12 minuts. Una només tarda 10 minuts menys a omplir el dipòsit que l’altra. Quant tarda cada una a omplir el dipòsit per separat? + = ⇒ 12 (t – 10) + 12t = t (t – 10) 12t – 120 + 12t = t 2 – 10t ⇒ 0 = t 2 – 34t + 120 t = 30 (t = 4 no vale) Uno tarda 30 minutos y el otro 20 minutos. 1 12 1 t – 10 1 t 1-º → t 2-º → t – 10 Juntos → 12         540t = 660 (4 – t ) 540t = 2 640 – 660t    x = 540t x = 660 (4 – t)    3x – 15y = 45 –3x + 25y = 75    xy = xy + 3x – 15y – 45 xy = xy – 3x + 25y – 75    xy = (x – 15) (y + 3) xy = (x + 25) (y – 3) 41Unidad 3. Álgebra Vida = 540 km/h x km Vvuelta 660 km/h tida = t tvuelta = 4 – t PARA PENSAR UN POCO MÁS 76 Un atuell conté una mescla d’alcohol i aigua en una proporció de 3 a 7. En un altre atuell la proporció és de 2 a 3. Quantes casses hem de traure de cada atuell per a obtenir 12 casses d’una mescla en què la proporció alcohol-aigua sigui de 3 a 5? alcohol alcohol alcohol La proporción de alcohol es: x + (12 – x) · = · 12 + = ; 3x + 48 – 4x = 45; x = 3 Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda. 77 Un viatger que va a agafar el tren ha cobert 3,5 km en 1 hora i s’adona que, a aquest pas, hi arribarà 1 hora tard. Llavors accelera el pas i recorre la resta del camí a una velocitat de 5 km/h, i arriba mitja hora abans que surti el tren. Quina distància havia de recórrer? t = tiempo que tarda en recorrer x a 3,5 km/h Si va a 5 km/h tarda t – 1,5 (1 hora y media menos) Luego: 3,5t = 5t – 7,5; t = 5 horas x = 17,5 km Tenía que recorrer 17,5 km (21 km si contamos los 3,5 km del principio).    x = 3,5t x = 5 (t – 1,5) 9 2 24 – 2x 5 3x 10 3 8 2 5 3 10 3 8 2 5 3 10 42Unidad 3. Álgebra 3 alcohol 7 agua x cazos V1 2 alcohol 3 agua (12 – x) cazos V2 3 alcohol 5 agua 12 cazos 1 h tren x3,5 km