Libro de álgebra completo con teoría y ejercicios, Apuntes de Álgebra

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__0____________0___n__0___on____c_Dt__oc__0e_0_D?e____re_00_____ocn____v_0________Dc_0__0_________o____o_D____o____?0ec_n______0c____u_00___o__0o___________p_?_____c__o0________0____0_______________00__u__?_0__vc0____c___________0D______________0o0o0o______v______0ct90____v0o_____,____0_c___________00_0_____D____t__ce__0__oc_c___0_____0____c_0___________0____0_0_co___c___Dontn____?__0_0____0________o___u__oo0____0_0oc__o___o__0_o_v00____________0______0_____00_______cc_____v_o0____D__0___t_____o___c0____0c_c_______vc__0_0__________po___c0_00____c___0_______o__c________________t0__0e,_0__c_______00D________0__________t_c0__0___0o_0__00__t0____c0o__oe0_o___o_t_____o0e____0___0______n__e_0_____v__0___e_0_oo______0__0_____0___0___0,_____00_D____0c____0__t0_____o__t__0__c___o__vp0o______o000o0oec_c_0o____0______0_00________0v__o0___0______D_c0__v0_0_0_oc0_v__o0__r_______o_d__v_000__rco_________D0__________c_0_o____0c_L_t___n__oooo0__o__o________00voo___c__n_c0_o_o___________0o___0____________0__________0o____0_oo___00__0__o_o_0e_o0__0_00,__0___r__o___0o___o__0__o___00______000________o____o____0___oo___v0______c00r?_oD____0____00____t___r___0_0________0______v0____c0______0________o__o_oo__0____0____0D__oo0_____o____0_______n_____c________vo00_____c_____e0oo_00c________0_p00_________0____n_000__c00o______0_0____?n0v_v__n0__c_0o0__o___D0_D_______o_e___0__c____o0co00___oo0o0__o_v___0_v_v_____o0o___o__0_0__________________0_0__________o0__c__o____0___0_____0v_e0o_co__c0_v__o_o_o_0__?0_c0__0____0_0__t__t___v0_on________o___00______0_____c___c__on____t_o__o___c_______00c0__0_____DDc0_ec0_____o__v__0_0_oooo0__o__0___0_0________o__,____v_0__0_0__0______o0_______D_o_o___o__0t_o___0o0___0_c____0__0__0_DD_____0_q__00o___0oc____cc_vo__,________D_0________00o__0o__o0___o_n_o0__0v___o0oq_0__0o_0o0_o__________0_0__c___o_0___0_0D_,t__0o__q_0_c__o0_0o__?__0_____o0_00___cec_c_oo0______00___D_c0___________0o0__D_____00__0_v_Do0o_o00o0n0_o__0__0____oD____c_____c_00o__c000,_,__00__0______ov0__________e__v0t____e___00_c___0___o__e____oD__0___e_______________________e_o__0__t_n0_o__0_v_0__c_______?___0_o0__0_c__o_0___v________D_____,__0_o_00______D_o_o_0_o_c______0__________0_o0___J_00_t0_________n%_0o_______0_____pc____0__e_o,______0___e?________0___0_______0___o___o0,__oo___0____t____Dd__o_0__0___qvt_____0Do00o_______c0___o____0o00________oo0_c_co_______0___r_0_____0___D_0,oo_0_ec__0________0_____oq___c_____o0_____0Dp_____________0_00___D_0D___on_o____D_q_________v_t_0c__0_00_e__0o___D____v_Doc____0__0_0_____t__0___D___o_______0_t_c0_0__o0______vo_____c__0___c___v___v___v__,_o___p_D________oo___0__v______o__r___________0____9___?_____00___c_0________p_DDec_ov00____cq_0__oD__0___?________n__0o_o0_0___v_______0_______o_0o0_______u_________r__0__D_______eoce___co__0_v_______D_0_D_r__c0___0_____D________o_v___________0v________o0______o_____________0_Dno_oo_o___0_0__0__o__D_e_________0______0c_0______0_c00_o_D_______o_D___o_0o_?_0e__c0o__c_____0___ec_____o___D_onvo__________9__0___o__D0J___o____0___D0_?______o__o_____L__0_ooo__________n_______0__D___00__9o____oov______0_____0____D0_o_0_______?___r_0_cc_o___eovv_00oc__0a_0__0_c____D___00_______necc0o_c______rvo____c__c______L__o__0_o0o0______o__________D0c,___0e00o00____0_____o_o__________________0_0_cco____,__0____0_______?0___0o0__0__0__D0D__D,0_o____0_____DDD_____0c_on__________0D_0_o______c__________________?_______0__o_0__________?_c0_____?____0__v_______o_r_______ro0__0____0v_0______0__?_t__e___n____v____00_______0_____0_____?__oo000______t_________n_o__________0o__0_00____o_____0_0___0__0_e___0_c__n_________v____v_______ooo_______0__00_______0e__e_ec00_____0___0_00_o_D_o_cc0__v_co_v_v______v_____D0e__000__nooo__0co_c______D_c___0______0c0o_______________0c_v_D____0__0_v_____________o____c___0___t_0_n_ov_e__0___0________tv____0_0o___________o__r_?_______c___0__00__0_00u____0____0____o______e____e0e0o0_____o_____0________o_______eo_0____00_o_o__c_0_r__c_________000_0_0__c__0___00_v____v_v__0____0____c__0__r_oe__cc________c___0____oc__o__c_____o0_o____o_u___Dc____ot_0_D_DD0c___0c0_____o0___cc___c_______________cv_u___0_c_u0o_v___________________00____u____00e__v____0___0_______cc__o_0___o00__r__o________ov__no0_____0______u_____________o___0_oe__0___v_______v___o0oooo____o_000__o0o0______D____D g sg_by a(s tbrac_0yne) dep(_ayLuna_ ) _ (___p____æ____l__t_J___)_(4___t____ _+g____v___>_____c____)___x_o_>____v_____________________0__rc___0_0___o0___,___o______t___>__ 0_ ___ cAp_ TuLo ___î_I____ ç___ __ _gg_ _f__ _çg ____,oo_,_,_0,_''__D'___o0__^0o,_o,,,_i'D,_,___,c__v,_D____,,,^_o0'_o,0,___^'__',,_^'__,,0o0__,_,^'_^V'_,_0^_'ao_______oD0^o,0o Occvo0__0,__'__T,,_ooc_0,_'____0D__o,,_o'___,,^'_,^c,o___,,,___'__c__,c,'ec_,,:_,_,,__0,v_,_'_,_,_,_D__,^_,c^00__,__^'o Lagrange, Joseph Lois ( 1 736- 1 81 3) g_'o_, _o_,0 V'__, '^',,,O' _,,0 _D__ __,__, ^_0_ __', ",_' __c,_ ''_ _,^0_,^'_,__ ^,, ____ ^'__,_ '',c___ __ '_,_' _,_,_o ''__,0'__v, ^,__,'_,^D,,_'_0 _dn,_,'', ^'0_,, __',v _v" O _c,n' ^^''__,, ^vD ''o,_, '__,_a ^__' ^''__ ''e00 ^,,c_ '_, ^'_ _,_ ''co0 Matemtico. astrónomo, nacido en '__D__^c_,_cc,,_,^____o_,^^ee,^'___'0_,^_o_o_o___,:_c__,_O__8_,c?__''"____o'____D',,_,'__?'_,,'0_o___'__^'_,,0,_0__,'D__0D,"_,,,0'v,00_0o__,_',''__,'0_,,o___;^'__'_o'_,___P__,,'_,'_u___^'',,O Itatia y de sangre francesa. A los 16 ;_,_0__o___^'_,,^u,_'__?'___'0_,,_a___^'_0,___0,a_8','__^'0,,''o_,_'___'0o__,_'_____,'_,___0,_'_o,_%'_^__o__^__,__"c_,__,0_,0__,_'_^_''__,,o_,__o___',o_cec_____'___'_c,__,_;_"c0a,_0D__,'___,_cc,0__v aos fue nGmbrado profesor de 8;O_'''^___'c_c_'_,_,og_o_,_'o,_,_0,0_,_0_0_0^0,v,___,_0''____0,,0o,_,'__''_0,'^'_0_u__,_o_'__',D^0,,^_o_,,_,;_'_00'_o,o__o_,_,''0_oo,_e_0''___,_'0',c0____,''_c0,,_,'_'a_,___,'_,,_'__,^'__,__''_______i'_'0__',__^'cD' Matemtica en la Real Escuela de _,'_,'_c,e_'__^_0,_o0_'0___,o__,on__o___'_o'_e,_______'__,t'____0____0_,,___i'_0_o,_o000____,''_,0_,,___'_o_,^o,__o_''_,cc,_,________ _'_o,,_,,_^_g_,''_,o^_,,_,'___'_,_O'coo^o__,__DnD_0'_,,0_o AItillería de Turin. _?, ^^'_,'_,,_a,_u_,_,_o_,^'oc e Oa,_e__o_''__,o,_,,o_____,_ 'c_,_,o_____ooo, _^0__00,D_'__^___,,_,_,___,D0_,,_o_,,__,_'__,_o,__,c,o0,___D'',0_,_o_'c,v,___,^'__,'_c_0_D_'___,D_'0,i_v_,u_,o____'^v,o,e__'_,_'n, fue uno de I_s ms grandes anatistas __ c0___'^0__,___?q^'_0o'v_0,00,o,____,_,,'_'_,',_'0_,,_,_,V_''_,___''_,_'___0a___'_,'_0,'C'_,_,_,'____00'o,,,00a0_'_'_,'0'_0c0_0_c0_^^,_,^___,,'_,c,'__,,__''_,'_,,_'0,_______,'o,^'_c,_______D_'_,eo:,'____'^'ec,,',___0 del siglo XVlll, la mayor contribucin ,, ' >'._._m^_ w "''''_ _ _'0 _____ '' _o ?,_ __, ^ "_0_ ^_,0 _,' __ __,'_ ' ^0_ou_ __, ____v ' ' '_,0,, __D, _0D _,c'0,o_c, _____ _, _'_ 0'_ __, ___ _ _0_ __0,,', _ _ ^ '__ ^'0,_6 _ ^D_ ' ^ c__D_ 0'_,_ __ _,, _''_ ' _''__, ''__D O 0c__0 __ ^'_o__0L, _ :_'_ _, '___,__ __ '' _a, _DD ^'_o0_ ^'__0, '_cc _o a t Á lge bra es t en la memor ia que es- __..,4 ,_ _0,_;,_', _''_,__co__,c'_''_,"o____?D_D_'__,0^_00____D'_'_"____v__0_;g'__,_o0_0,'_,'_''_,_'',,a___'__,^_o_ec,_cc__''''__0,^00__0_,__0___o^''_,_,^a_o'_,__,__'oc__,^0'_,_''o0_,__v___'''u_0,_,_0'_,,_0___'__,_0o__e__^'_,^'_,o Oo0, cribi en Berlin hacia 1767. ''Sobre la !. _>'_,._,,__-_-o _''_'_'__c _''_v 0__''_,0o,,, __,_, '_0_0,0,,,_,__,____''__,_^0'o,_,,_,_D__D''v ",,,__''_D00_,,^_'ccc,o ____,'c_^,_' ___D^'___'0__ _0,__o0 _00__oD,,c'_vc,,_,_'_, 0'__,_00 _,,_s'_,_''v_0, _o00__ '__,_ ''_,,_c_ 0___,_,__, ''__ _^__o___, _'__ '_'_,__''v____ Resolucin de tas Ecuaciones _00 _'0' _D0,,,'' __',0'''_ _'' -\ _,-_'__i's __'___'___o_0,_'_'~__00_0,_,_____c,____,o'______0_0,_____''___,o____,___0o__o,__'v_,,90___'___,___^o_n'___'''_^_'_,0_____o,___'^''o0__,__,'_^^'',o'c__,_^'_'^e,,,__'' Numricas''_ se hizo célebre por su , _' _ ; _:_ '''_ __,__0_,___ -_ :__,,c\_'_,_','-,' __''e_'_,^,__'_,_O'__'^',^'_''_,__'_,__'__'_0__'_^'v_",___o__'''__'_,___'^0___^'v',_0u__,''__i,%__,''_o"c:^_''c_c_'_eDU'_,,_''_,_,^'__'_,00 teor__a o re_ __ - _ _ 9 "'__,Ç_c_,' __,_0c___0': _c0nc ______0 0c_,"ev __'_ ''_,'0__, _o__'____ _0__00_oD____ 'v^_00_o_ _, ___ __0n__'_00'_,c ___?_0_ ^___v _,__n,'_o_______ ''0'o,___ 0,____ '^_, '0',_n _^___,c_ S ? _ _- ' x'_/ ___,_, __,',_'^,;',___G_' _c__^o____n__^''____'__,__c,____,n,_u,,0__,_0__,_'00,______,00v,'0a_,,___,___,_'_0^o_,n,____0D_0'oc___'_____^^''_,,___,'_c_0___:^__,o,c_0oec!__v^'__''__,_,__u_'0_____^'_,'0,0_o_,___v_0'_,,^c_o,_,____0o yporsumatemati2acinyracionaliza- '__\. __-q' _ ._;_,_,_,,_,_'_- ;__ _,_'_c__','__'0__^'__,'o,___,''_0_'^__,_0a_e__^^D,'^c_O__^___'c_,____e,_____'__,,'_'0,,o_,0o,_c_o_,^'_,_ao___0o_,'_00'o_n,0'_,_0__o_,o0__,c_____0'_0,_o___'_v,"a_c,;,_,_^v__,0'^__,,''cc0_0,_^'_0'v,,^Oc_,o__,__^'_,,00,_ cin de la mecánica en su obra _ :D ,. 0 ,,_. nc__..,_. _,,nc_'__^i^':._!'0 _c___ ;___ __,_O'_,c _^,;0___, ^'_, _0,0, ^'D ___,_ ^'''__,, ^a0,0,___ _,0q,,''__,,_o,,_0, _0,,^c _,v_ ^P'0,_0,_e 0 ^'''_, _0,o _n_ _ _'_,,0 0,0,__,oo__n'_,,^'v,,_ 'c,,o__, '__,, 0^''_,0 ' ^'cc0_c_ ' ^,' __o__ '''a,,,_o_,,, ___ _, _'__ 00__ _,o __''_,_ _,, '__,' _'c,, O__, ____, '^v,0_,_, _,'o0,, lWecani4ue Ana/ _i que. Descubri __ o ____ _ _ ^''_0' ~___- d9_^' ''_^_,0 _',_nh. 's-' _' ,7, , . ,_;,_'_ _, _,___ ^ _'_, ''''_ _0'_'___,o_ ^ '''_'___ ^ '^c_cc __ _' __ ''' _''___ '^'0,0e'_c, _'_ ' ^_''J_, __,v^o', __ __D, ^ ''''_, O"0_,,co0_'_ _'_ae ^,__, ^ '^0__ ' _'0_0'0 _, _' ^^_''_ ^ ^'c_, O _^0,^' ___, ^^''_o_ ' _^ _^'_^_D,__ ^ ' _''_ '0'0 _0c,c _6"_ '^0_ ^'__,,0 ''D _ _'''___ '^o00_u0o_0_'0, ' _0 ___' __ 0'__ _0'_,c ^00 _c ^"'^ _' _____^'''_0 _, "__,'o tambié n las __amadas series de _' , _ _o "_ '___ __'v__ ___ '''' ' ' '___'_' _o0__0'c0c_n___',_,___,0_,,______0,e_v,,''^'___'__,_c,,__n,_v_,,_o__,_,___00,,0_'_o^'_,0,0_,o,___,___,__00__,___0___,c_O_______,e,c_,___0__0,,_'____,_0__0,c,_,,__,_c,_o__,,'__,_,_,a, La ran e lafrmuladeinter olacin ' -^ '_' ''_; ___t ,_ _' o___oi__>__,._ ', '',,', _c __'_ _0_ _,_ ^c0 __ '_ ^__0, ^ 0'_c_ _;a,,_ _' ___, __ 0_e,, _ __ _ ___,D "__L0'_,0 _;_o ___0 _, _0_o _0'_0o00o'_, _, _,'_ _0, _o_ __ ^_v,_ _0,0 _0__ _ __,,_, 0c_0_n,_ ^''____ ^__,_ ' 0'_,__,,_ _ '''__ _0 _, ^''_cao_ 'oD ^''___ ',,'__ __,, _ _,c_ _' __0 qv_ __ _____,_ que Itevasunombre. ' ' _' \ '' _ ., _' ._ ,, __,,___,__a'n9,___ %_ ;'_, '_'_; _- "' _ ^_, _____0o,un__c___0'___,'__0_oc____''_____,o_0c______''__oie_0,__'___,_''__,_n^__,___^_'___0___00,_____00__^0_,,00_oon_,^'__0'_____,,__^0v''c0_,_0_,gv___,__,'_0e,v0_D_,_;,_0u0^c,,__',______;,00n0_,__''_'___,^_ecc,en'_ Respetado por Ia revolución fue ami- ' ',__o , ' _ _ ' _' ^'_''~^^>'''' "'' .__ _;^c_O___^0__,,__,_,_O___,'____c,_n,_'_,__o^'_,00,,i__'_'0_o^'_,o___'_,D^'"'_,,'o______,_D'__,__'___'_'_oi'_,0__0''___,'C'__,_'_,co0__0____0__,_,c,'c____g_____o,__,'o__o'_,___'_,_?_,,0''_'__,'__co__,^'_Dc_c,,0_ go de Bonapa_e quien lo nombr - ;_ '__' ,,, _,. ,_ J_ ;-7'; ^_^__0_"''^o^'_,___,e_'__,a_'''__^'_____0_,_'_,o_,''0__'0_,_,___,_'_'____,_,o'^_o^',_,_D__,,^_v,___>'0_'_0_c___,____,^a;_^_''0,___,__0__,'D__,^'0,'e_,,0:_______'_0_,'',''o_,0e'_,_,,_'___,g0_,'^'_,,0e_n,___'_o,o Senadorporsuscualidadesdecientí- '_!.\ _' _ "'_ _.___ ' ' _ _ ^ 0 ' ,,0 ' _,o , _,o _ _,, ' _ ' _0,v ' 0,0 ,n __n, ' s ' ' _ _0, _ ' e00, __0, ^ ,,D O o _ _,c_ _ ' ' ' v ,,0 __ _, _ ' _ ,, _D ^ ' _,0 , _', _0, _ ' _ _,_D, 0 _ _, , ' 0 ' _ _,0 , _ _, _, __o ' _ _, , 0 0 0 ,, _00, _0 __ ^ _0, , ^ 0 ' o_, ^ _ _o _o, _ o __ __ _, _ , ^ c _ 0 _, ,D , _, ', ' ' _ _, , _,o __ _,o _, _ _ ; _, _, ^ 0 __, ' 0 _0_, , ce, __ ' _, c __,^ _ __ o _ ' ' _ c, ', _ ' _, __ _ __L __v ^ ' v cu_ _ __ ' _ ^ ' _ _ _,, _ c o y g e n i o. '_ _, _, ' _ __ _ '__ ' _, 0_,,,___ '_ _, ccc _, '_,o _0 _,0 'c,D_,_ &,__,eo_, ?_, ' ', _',,_0 __o _ _, ', ' _,,, ',_, _,0,0,,__, _o _, '_o,0 ; - : _'_''_,^a_,_^'ic'_____c_'_'^__,_^v0', _ _ ''c_i___?____'0_??__''_'_o___0_ ____0___c,_,,_0_,^''__,__o,,e_,_,'0n,_,,>__,_,_cc,,c,c_'__'___,,__n___;__;;o_,,____,c_,,_v_'0_v;_^_o,0__,,_0,_0__,^_0__,',,_,o__,_,_,_,,v0o_______,,_,0__','0_,,___',o_,_',0'_, ax+b 2+ a bx 2 _ a2+b2 x2 :__'u,j_'____'ec^'__o__^'___^___,__'_^,^^_00_'__0_'0^_c''n'__'^'_^_''_'^'__^_o _ ' :____,ne_,''',,''___t0,0___0,^,,00,,___'_,_,^_,'_,,,_c,___,'u,_,e_,,_,__0,,c,c,_,___,0uo,,0,,ec___0,_,'v_,n_e,'_,____,__,,','__'__o0_,v,_0o0__^_o^'_co_'e___ i_.___.____.___.__._____._________________.__________._ _,.i _ A_ _ _ __ ) _ _ _ _ _ _ _ t _ / _ _ , , , e _ ' :: ' , ' ' ,_ ' , L_ n_e__zÓn del __1___2to _ ' _' ' _ _nJ_n jJ_J(_-)Jn g_JJ(e eI i)J_JJilo ijJJpJic-rl n Igo iJJJJJpJlso e il)7posib Ie de Il,gnJ-n c-oJJocpy. _JJ eJ Je,,_,,nJ, ', R_ popJ_lnJ- se J_riJi_n n JJ7eIJJ_ do e__ln pn)n_J-n pnyn iJJdicnJ' de .roJJJJn _'ngn "ev_'ryeJJIndnJJJeJJ(e gJ_nJJde '' u , ''siJ7 posibiIidnd de s,rcolltndo ''. Fl_ec_l_c9ltelJlellte se ciln eJ 1llj1JleJ_D de estJ_RIIns eJ2 e/ cielo o de eJ-nJ7os ,, dr nJ_R_Jn e91 In DIn.1'n. _slos cjeJJlplos JJo so1J, des_ IIIego, J-enIJJleJIre iJ7JiJliros, sólopodeJJJos obseJ__nJ- n siJJJ_ Ie _'istn dos o tJ___s JJliI estJ_eIIr_s cJJ IJJl iJIs-tnJJte dndo. De /Jec-I1o, eJ) In _'i_rJ dinJin jrJI1Jcn /eIle1JJos ocnsióJ1 de eJIco1Jr/-nJ7Jos co91 eI iJJ_7J,iro. _l2 In ci_Jlcin, siJJ eJJl_nJ__o, se eJJc'J_e1Jt_-n JJIJIcIJns _'eces eI i1J_jJ1iro, eJJ ocnsioJJes de /o_1In desL_o_n_.ollndoyn. Hncc JJIJIc/Jo tieJJIpo rJIle Ios JJ_n/eJJJlic-os e9JJpe_nJ_uJJ n iJ,reJJtrlJ'oIJreJleJ'I,9Jn JJJe_i_n de iJ7JiJJito _' n desc_J_l7JiJ' J-eg Ins _JIe peI7JIiriernJ_ _JIe eI iJ1_iJJiro eJ1grosnrn Ins _iJns de orJ-os o_je_os JJJate1JJticos co9JJo JI1J coJJcepto Iógico _ieJJ coJ_ocido ?' discip IiJJndo. IbnJJ n 1e?JJe_ JJJJ__'IJns so JprRsns. Los griegDs clsi__os sólo coJJsigJrieJ-o17 Ji1JJifndospJ_ogJ-csos, ?' JJoJJ_e siJ1o /Instn eI siglo___.cJ_nJIdo se IogJ-nJ_1_ pJ_og1_esos decisi'z'os coJJ el rrnbnjo de gJ_nJJr Ies 9JJnre7JJ1icos coJJJo GeoJge C_nllror .?! JV/_l _eieJ-stJ_nss. J1_cll_so eJ7 In c-ieJrcin eI i1JJiJJito es, pnJ-n JJJJ_c'IJos e_ecros, so In1JJeJJle 7n iden Ii_ncióJ2 de JIJJn cnJ_tidnd, _J_e eJJ renIi_nd es tnJJ grnJ_de _Jle coJlsiderJJ_ola co1JJo esrJ-ic_rnJJJeJJre iJJ_iJJirn se c_oJJ_ele J_j2 e1roJ' despJ-Rcinblc. PeJ_o, de __ev cJ1 cIInJJdo, In npn_iió1J deI ilJJjJJiro eJJ __J,n reoJínJ(sicn iJzdic_n n Jgo JJJJ_cIJo JJJás especrnc_J_Jnr.- el_iJJ de In JJJisJJla feoJín o bieJJ rJe lo _lIe ésfn __sL'_i_e. _ste es eI cnso de /4s si9__l_l4J_idndes de/ espncio _rieJJlpo. GJ_ncins n eJJns 1los eJJcoJ7(J__rR1JJos c_nJ_a n cnrn co_I el j1J_iJJito, _?'pnJ-ece _JIe J1o__ estJJ J-R_'elnJJdo nlgo JJJ2I_1Jpl_o_J,JJdo.' _,Ie /JeJ1Jos IIegndo nIJilJ deI IIJJi__e_so. I'lIel1te: J'Jill_'1_irJ_' _le __ IrJ_eI_7rjri{-rI .1Jr_r Ji1'17r_ _ I_I/il/irI1_1 J__. JIr_11ellI__J._. __El(_ )l _3x_ N_l_ 1____t_ _p_l_ 1d _ ____J___(__ _t__ _3x3)va /__y_ b___ _ _PlTUlO lV mult._p_'_cac._o_n a_geb,a._ EJemplos: ^^__ '0_^'^ __5.6__3o__(5.2)3__ _o.3 ,_ ' '_' TEog'_M_ ';,' v (_- 1 )t (x+ 1JyJ = [(3x- l)(x+ I)Jy pe_a a,o et p,oduc_o r_e _,ab, es ,_a,, s,. y so__o s._ b_l 3. ley de la iden6dad mul_p_caa'va ASimismO el _foducto _b es cero, 5i Y sólo si a=O V b=O _'__"Mn,?_ ta,l _4'_ _ m_:__' El elemento l recibe el nombre de neutro mul ti _I ic ativo. EJ e_plo _ E_emplo: El elemento neutro multiplicativo de l7 es (__+y)(3y-_x) _ O sol4_ mente cuand_ l yaque l7.l = 17 4x+y _ o 6 3 y_x -_ o _. ley del _verso multiplica_vo _. Ley d_'s_bu__ Para tod0 a (a_OJ existe un único elemento llamado inve,so de 4 denotado o, g-l e ,_n_ _....__. ._._, Ealmodoque 8.à' = 1 '"._a(b_c) = ab'?cJ E_e_plo: E _ _''-_ '^- '- " _^-''_ ' ' "" 'V em_O_ El inverso multiplicativo de 5 es - puesEo 5 x5 +_2)-_,5+xS_2 que5.-=I '_ 5 l lnVerSO mUltlpliCallVO de _ - e5 -3 q 2 + b3 6 + q 3 3 2.a a =a a puestoque _- (_3)=l 3 Mu_n__cAc_6N De Ex_Bes_oM_ _e_uN _ -'_' _ '? , _ - ,_ _ , - ' v Se aplican las leyes de los ex_nentes. EJe_plo8: EJemplo: 2 ('2_) = -_y ' -j1_Y(_ - _ + r7 )''-jl_Y + __ - j7 Y _r0dUCtO Recordar: .___-_-_________-_---___-____•__ ''_ - ' ' ' ' ' ' ' ' ' - ' ' ' ' ' - :' 2 3 3 s _ J t 3 3 7 s 3 3 _J 3 s g ; ; ; m _ .-__(_+ +_Y)_-iY +-XY-J-X ; Xm.Xn =Xm'Il ; ; _Xm n ; ';..............................;: ;; x " _; '--__-_'-'-_''_-_--_-'-'" 3. (x+_2 )(_ -_) _ Ultip_caC16n de un8 e_res16n cOn O_8 de dos o __ _erminos. Para obtener eI producto se em_lea la propiedad distributiva. = x. __ _ x.y3+2_. _ 2_ ._ '3: _a ____ .= __. 'b _ ai C _l 3 '__ __, _h_, _. _,m____' ' _. __,, _' _- - Xy t 6 - 2y 95 ______danlodspd0(fulln(o__dm) lo_ )s( ______)__p______________N_2_____________________________s______________ett_____a____c___p__c__s______(_(x__x_ )l)____((d3J2_x_x______+_+__rx2_/xpx_(_l_)6)_)_(_ ___)___5____ _ _l _________p___a__ Lu mbreras Ed itores Á _geb _muL..n.._.___c_ö_ N '.__E'':.'__. __Nom__0s _ ... _ '' ' ... ':_,_,.. ::. Es un caso particular de la mulliplicación algebraica, con la particulajdad que sus elementos son polinomios. En este caso se establece una identidad entre tales polinomios. Demodoque: Ac,,. Bcx, _ cc,, de donde _ _ _''' . "_q mult. lndicada producto ^'___,' _ra_ d0 P_Q)(_) = __ Tad_0 P X _ _fadD _(X) 0 por rea1izarla ^___ ,,, ,L,,o ,oo o,o ,o ,. 0 ,,,.,,,0 ___,, 0 , ,,,, ,, ,,,,,,, , , ,,,., ,, ,, ,,_0 0,,,,,,. ,,, ._,, , ,,, ,,, _,\_,__.__' ._. ,.___ ,,, d,,0 __' , Enel casodeque _'___ entl a n ame_ta p(xJ __ (a_m + h)n _0 ____.:___.,,:__,,v__',,__,'__:_''_,:'.,:',,''''V'''''''''''''''''''''''_''',:'._,,':,'__:_'__,_._,'''_:?,_...__'_,M'___,,_''.__,;,m_,__e__.__'.:'; = Pvr'''^ + ... + B __,_, A(X)_B(X) --- C(X) m'"'''''''',''' D''''''''''_' '__ '' ''''''''''''''''' El grado de p(x) ser m.n, su término ___,__,,,_,'' _ _; independien_e (+b)'' igual a D ____,,^__,,'_,, producto ___^^'_,,,^'__,, _ mUl_pIi_dOr '^'^^P^_^^_^_P"^^_^_^_''"__^^^"'i' P_"'"'P_''_d'__ _'''0_ ''' ''''i'_O''''__'^"_ '^_' __0'_ '__^^00'_^'^' _^^_' '^''_^'''_0"' _ ''"0_''0 ^_'^"'"^O'''""P^'^^^_^_'^'^i'''^'_'^^_^'"^_^__^_^"^'"^" "' ''n 0'_ _''__'''"_'^''_^__"'^''"_"^""^_'_^_^'^'^"^'''_^^^'^^^^^ _mul_plicando Ej emplos; EJ em_lOS _ _. (x__)E_+x+__ _____ _ l. SeaP(x) =_+3,_+9x+l 2 2 1 ____ Q(X)''3X9+X+7 .3. (x+y) x-y +__--_ COmO e gra O de X eS y e gfadO de _i_ (x+3J(x_3) =-- í-9 Q(x) es g J. (x+7)(.x+2) __ _+9x+ I4 _ grado de p(__).Q(x) es 5+g _ 1_ 6RnDO DEL _OLINOmlO iRODU_0 __ 7 _ _1 ^ ' ' __ 2_G2 P(x) -- a_m + an, como el grado de P(x) es 7(3) y el grado _e Q(vx) = b_" + b, ; (m,n) c _+ S(x) es 6(2) 2ntOnCeS .'. gradode i(x).S(x) es 21+12=3__ t _ '_ X ') -_ P ( X )_ Q ( X) _ C ux t " + ^ + C1 X " ' + _v _ + C3 RO_UC_OS O__ß_S/J Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en rorma directa, __0nsiderando implícta la propiedad distributiva de la multiplicación, por la forma que presentan: _PnL_ PRODU_0S Y_ABlES ' _ Tjnomio cuadrado pe_ecto Ejempl__ ,_.. _________n_-,______'_'_'__,____n__m__nn_n__v_'n___ ___; l. (2_' +3_)' = (2_)'+_' (2_)(3vx3) + í3_)' !) a+b2_a2'+_abtb_'' _ 6 !_- - _ 'x' =X+ +X_ ...,w...,__,MM,,,.._.. .._... _ 'a .__.,.._u.,._._ 4_6__ 42_ _ b _72,! Ten_aen cuentaQue (a-b)'- _- (b'__)i- __ 25__ lox_y6+yI2 - _-_ __E_l__(__e(m3(xp+_o2y__()J_an(t)3t_xb4(v)T__(_(2(_Ey_)o_b__(JR_3)__R)_)v)_l_6(xA))(9(___ l)2x(_t J)) _t__E\_\__((J__a?e__m+__(b__b__r))A3_lo(______2e___a____a(t?n)3md_(___n(3__bb3___))d3__b+_a__)(3db3__?__a(_((bb3_)3_?(()_)aa_bb___+)____b(8_))2bl___b)____r(yrr+_3__(3__?_)y) q_ CAP lTU LO lV mu Itipl icac ión a lgebraica _ _ Ejemplos: , Corol8rlo ''ldentfd8de_ de Le_endre' ' _ 2 2 _ " _ 2x+3+,_!2- 2x2+3v_+_2_ a+b-+ a-b =- a+_ ........... _ _ = , _ (a+b)'- - (a-b)2 - '1ab _ , _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ (2) + 2(2__)(3y) + 2(2x)22 + 2(3y)_?2 , (a+b)'- (a-b)'_- 8ab(_+b2) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (3) 4_ _ _ _ _J 6 _ ,_,,,,_ _,,_,,_,,_ __,,,__,, ,,,,_,,,,,,,_,,,c,,,,_ - +9_+_+l2_+ _-+___- N m+n+ _ l m2+n_+ _ Ejemplos_ hallar mn + np + mp J ,J _ _ _ 2Xt 3Y - X - _ - Resolu_ón = 2(_+9y') De _a __dent__ 2. (3_y+_, )' - (3ìy-__' J'' = _ ,_y. _ (m+n+p)2 __ m2+n'+p2 3 y3 + 2(mn+mp+np) 3. (m+2n)'_ (m-2n)'=8.m.2n(m2+4r__ _ , Reemplazando l_s datus = 16mn(m_+4n- l_ = 2 + 2(mn+mp+np)_ N m n + m _ + n p = - - Todo trinomio de la forma a_+bx+c es _ , cuadrad_ perrecto si. __ __ ólo si b' _ _ec _, D_5a_O O e Un InOmlO al _bO J_;_ à3+3,---2b+3_b2+_^ 3''' Q_+l2x_+9 c_s un trinomio cu_drado ßer Fe_lO ya _Ue l_'- = 4(4)(9)_ m_S aÚ_ eS 3 3 _ 2 3' n _- __ _ _ _ t _ _ equivalente a 2__+3 ' 3 J ; 2, Diferencia de cuadrados /"^ -- ^ _ _-- ^-_-\_ ? ;'"' _; (_Tb)'_(a-b)3_2a(a__3b_) a2b2 ' ' 3 3 J7_ ^ = ' . _ _ a+ -a '_-2 a-_-? Ejemplo_: __ __2_ 2,____9_'___ _ 2, (Wc3+3?')(__35')_-- (4_)'- - (35')' l. (2x+3y)3 _ (2x)' + 3(2x)2 (3__) _ 6 ,8 7 3 7 _ + X ,? - + y _- 3. (m+n+2p)(m+n 2p)= (m+n)'-- (2_)'- + 54__+27y_1 =-(m+n)'--4P'-' 2. (__by)3 __ (_J3 _ 3(_)_b __ DeSa_OllO de Un _nOmiO al CUadradO + 3abJ_x_v__ by_ 2 ___ a 2+b2_c 2+2(ab+ac+bc) \; 3 s,_ x+y __ 3 ,, _y __ 4 h,_lar. _+y _ ,_ _ _ _ s Resolución: :( b a 2bac2 . a ' _ = a + + ' a _ C-aC _ Reemplazando los datos en a _ (b+c a) 2 _ (b+c a)2 ._ __ 3__J _ _3 _ _2_ _Alf_rsaas______ld___(__e________m_______________a/_2_rs__________>_______>__________________________m__)_____________b________________(__3_(__ ____)+_p_____b(___b)__)c____)________(5__) _____>>__0_______ 2__ax(_(55l+)l+a3_55+IJ(a+5l4s Jxt___a4+2+4_ya(o)_2/)+(_a_____27(____J_3_ao_st)3oa2____9 Lu mbreras Ed itores Á_geb,, lO_ IguaIdades condinonal_ 2. Hallar el equivalente de J+b5+c5 a2+b2+c2 l. Si a+b+c _O 5 ' a2b3c2 severif_can s,_ 2+ b2+ C2 - ^ C Ca a +b +C =ab+ac+bc 2__ab2 2 2 m____ e3 + b3 + c J = 3ebc _____'"0_,. De la identidad Se tiene a = _ = c ,,,.d.,.,..,,.:,.:._.:...,:..0,:,:...,.,.,.,.:.:._..:._.::.:.....:.:...:._._.._...:....::p_.:._p_:._p.,.._..p..,...p._.,:,.:,._,,,,,;p._,._.,,,,.,0,..,,,,...,.,,o..,.,,..,,,,....p.,,,,,,.,.,,,,..,,,0,,,,o...,,,0.,,,do,,,,,o,.,,..,p..,,..,,,.0,.,0000oo,p,0,p,p,,.,pp,,.00.0,,,p,,.,0p,,,,0,,,,,0,,,,,0,,,,,0.,,,,,,...,.,,,...0.,,..,.0,,0,.0..,,,.0,,,,,,,,0,,,,,,,,,,,,o0..,0,,,p,0,,0,..0,00.,,,,0,,.,.,,.,,,,,.,00,,p,0,,,,d,,0,,..DD,0,,,,,,,,,,,,,,,.0D,.,,0,,,,d,,.,0.0,,,,,0._,___,,,,,_____,.,,o Luego lo buscado es equivalente a __._;'-'-'-'':.:::--''-;...''-'--'---_---::___"::_:__:'"'_:/.__'_________''_"'_"'_::_''____"::._'_:'..'-_:,.__.' '''.. '__''_.___._ 5 a2a3 a2 5a7 5 -___, (a' +b2 +'''c_,_;_._____?'_:,._____-'_..._____.;2__:(:a..4_. __:b'__ +__c_ _?,._;j! ' _._'''''' '_... '' '.. '__'_ '' _... '.':': ..__''__' _ _ ______ _____ ____/__:_._ ____ ___'_____._:____:.._.:: ;__. ._;.,__..._.:. :___ ,._.,,..__::_.j/_ 3. Ha ar e Va Or nUmerlCO de la eXpreSlÓn '____'_._.'''''_... _.________'"'___'____'__. ,3 _.__ a2_b_tc2 '____a'J_.;,_.b3_c3 a5+b5_S.':! ,..:.,_' .... '__:_.'_;.:.,_..:_::.,.__.... _ _ _ _-__ _>>: si x, y, ? son reales que cumplen la _.';',__: :.._m_._.____:;'_,_::..n.,n__. _._._....n..___ __,_.:_?,.___":_:;_;;:_;__,'__:_.. ____..__._ ___ _._;__.;:_,___._.__5___ siguiente ..'"__ _' _^__' ______.__:::________:_'_____:___.__,.__._.,__.__' _ ' '' _'____'_____'n_ i + _ + 2y - 4x + 5 + 9_' O ';''_ _2_b2+c2_:_"a5'_'b5+c5 â1'+b1.'_'.c__,X_ R _ ./ ;''-.. .__. _ _-_. _ _i eSOUClOn; i'' . 2' ..__' '5' ' _' _''.' _i '_'; _. __. _.... i_ _ . _ ._____.._,_.._.. . ;__ .__' . . y_;_ El dato es equivalente a (__4x+4) + _+2y+ l) + 9_2 _ O _ _x_22+ +12+9,2_ '2+b_+ c_ -a +aC C _x-2=O ,_ y+ I =O _,?= _a;b:ceIR _ a=b=c dedonde x=2, y_-l,_, _O También_ si Reemplazando lo buscado es 2n+b2n+c2n _ -anbn + ancn + n n 2 2 + 3 _ _ 2 /_ a;b;c _ iR n _ _ _ a_b=c 4. Sabiendo que x +y= _ _ ................. (l) EJ.emp_o,.. _+xz+yz= l ............ (2) reducir _ +_ + 5+n5+ _C y_? xN? _ l. Hallar mnp(mn + np + mp) Resolución: __ m + n + p __ o Lo pedido es equivalente a eSOIUClOn_ _X + Y + _ . ero de 1 x+ +_,__o De la identidad condicional __ 5_n5+ S m2+n2+ 2 m3+n3_ 3 o _/ __- mn+mP_nP ._mnP _X +Y +^ =-5(_'+x_+y_) _ 2 3 __ 5+n5+5 5 5 5 .'._m =_5 ._X+Y+_ ____ mnp(rnn _np +mp) ___ 1_OO _De_l_saaLo_cdeu_ndoebtemgdlo_d_(moeenloondc4nde)uNsdsoceeeq__q(u_(bbu_eb(_xlp_5b___a__+lt2_4x__y_l)))ob_y_l(t(t4(__b_(b_bb+)x_l+_o)l)_(_)(_blbo(2_b)))+_ol l b _dpsharge_ll_aQ__t_____l(_(a_a8)__t+_ln_2__Kbl(_(x+__(a(3____c_ng__())e)((._g)_(_(()_c())()_(____3+pat)vqtt()2_x_(__2K))(_l8p_a)__6_bar)(n+)_a(ar_3_c+b _c)J ) 0 fOblemaS Q_SUeItOS i__algmg 1 Resoluc1ón: x 2y La idea inmediata es buscar diferencia de Si se cumple que - + - = 2 cuad,adosy X : ./ 2 . e a COn lClO_ n = nt, Se lene 8 X CaICUlaC - n=l+- _ n_-=I , Y n n R_olu_ón: _ue o _ es ,eemp_azado por n I ../ x 2y2 n' elaCOndIClOn-t-= 2y x . _. d o,2 ,et._ene K_8 _ n+l _+1 n_,1 ,l 'UtlPlCanO -_ n _ n_ + (2y)2 = 2x(2y) n _ :. .: ;- ,_ a__o-- __ '''_ ,''' .,;''' _-___-_:' ;' X-2y=O_X=y ,,' ,,' a 28 '' _' . X _v lea y _ 28_256 n_ n_+l ; '- - -- - -__ n4; y Y _ ,,;' _-_+ tm_ _ b3___ _ 3 impli Flcar 4 ,,_ , _ +b 5 Si a'+b'+c2--3 n ab+ac+bc = 2_ hallarelvalor 2+ 2a+ b+c 2+ a+b+2c 2 R_oIuci6n: R__uc_,o/ 3 b 5 + I EFec_ando y reduciendo te_inos seme_antes se _dldO eS eqWValente a _ 4 2+b2+ 2 _ tlene = Reemplazando datos Q = l4(3)+22(2) deldato b3--l 5_b3b2_ _ b2_b2 '' b4_b3.b= l.b=b 3_____ 2+b+___ eaPX=X+IX-l +X+l 'X+ 2b+ _b2 . = = - ee Va OrnUm nCOde 3 2 3 3 b4 b b Re8oluón: Enelpolinomio m_l_mgg _, .endo en cuen_ n2_n+ _. n, _+ P(_) =(_+1)(_- 1)(_ +_+1)(_t-_+l) _ducir multiplicando como se indica l n2+l n4+I+l -- 8 n' _ _ _ P(?)=(_3+1)(_3- 1) n n n _ P(x)=__I _sssdpl(xlJ_g__l__(9____(____)p___f2H___l_d_) p(_) t ___(x_(l_(2+laxF(_2l_c+_a+lr3)_+)+)(2(_(_x_+lo_(2)))++(((3_l++3)2_0))_+(+p()FNo_N_d6++_u2c(_)tlooo9)e+sl)po(x))t _u mbreras Ed itores Á _geb ra De la condición PrgDlgmg _ 2 Determinarel radodel roductodemult_ ti X _ _ lospolinomios 12 2 2_ 3 32 __2 5 _ x2__4+_+4__s_2 4+_ ___ X + X + X + X + ..... l6- l5 4lO~ multiplicaciones indicadas Resolución: ._. _ = 8_2(IJ _ _ = 6 s_. asum,.mos que el po__.,om,. tendremos ReemplazandO datO V.N. P(X) = 6'_ I = 2l5 gradolp(xJl= 12.2 +22.3 +32.4 +42.5 +....+ lo2. l l 2 +l2 +36 +80 +.....+ l lOO P_Dl_m8 6 De s dob la ndo . 23 23 23 _ 3 l + =X, = N___ o Agrupando C_CUar _ _Xt 222 2 33 3 Resolución: lo. l l. 2 l lo. l l 6 2 ea a+X--a_X_ mult_plicando H con la condición = 5_ l l _7 + 55'- " 55(7+55) = 55.62= 34IO (_ax+_x)(_x-_a x)=2xH _e_n_a de _d_d_ _rgQlgmg 9 Con a+2b+3c = I,5x (a+x)_(a-x) =2xH _ 2x =2xH s.lm p_._ .'. H = l (x_a)2 + (x_2b)2 + (x_3c)2 2 (a 2+4b '+9c ' } Pr_Dl_m8l . e_ redo del o__.nom__o Resolución: n(2_7+3__ _)n 2(3+_)3 es 47 Desa_ollando los binomios al cuadrado en el numerador _10 __ etermlnar COe. pnnClpa e X 2 +a2 + 2 4bx+4b 2 + x2 _+ c2 Resolución; 2(a2+Qb 2 + 9c 2) Grado de P(x) = 8n+3(n_2)+3.3 A grupar términos semejantes Entonces I In+3 = Q7 _ n = 4 t 3x 2 - 2x(a +2b +3c) +a 2 +Qb 2 +9c condición 2(a 2 +4b ' +9c J Ahora reemplazando en eemplaZandO a+2b+3C = I,5X p(x) = (9__ I)4(3_+2__ I )2(_+ seobtiene Finalmente ___+ a 2 + 4b 2 + gc _ IO _og _o _j j j '- _ = =3 2a+4b+9c 102 __Ahl_m_(__(_mmqe_ungl)t_or___aer__l(_)enu(lvn__e)__a___m9d__)ltmor_ae3_srtmet+tna__t__l3nlt_a_c__(du__m_e+_b_b3cot6(bu__J__xb0x_n_y___+s)d)__eans__(am((rr(o__)l_l(_nem)x)()(o_s_))en)su eqp(xsurot+eaadysNla+g_o9m_d__+__up)e3gc3n_3912o___e__+Ang__(axd+___ay_+_9y(+3__(++(__x___3_3tA+3+)_)y3N3(+(x__x______)+_+93y__9l_a)y2__)__2_ta(+zab_)___+(J_b__(_b_J_+_2+____xx)__)33aabb CAP_TU LO lV Multiplicación algebraica Resolución: Resolución: Esta ig_aldad se verir_caa si: en_onces 2 2 ior dato adicionando: - 3ab segundomiembro Como atb _ (a-b)_ = -_ab a a = _2 ' + _2 - ' 3mn m+n A_ reem _a2a, en ab _ ab _ l a-b)2 -3ab 3 pero 3 2 J _ 2 3 _ _a _ _ _a _ _a _ b Con._+_+_3_3 2 2 2 3 reducir __ o R_soIu_ón; Recordemasque _m_ S-lmpli F_que la expresión 3 _ 2 2 _ 2 2 9 2 2 Llamando a (x+y) (x+? J (_+y) = A _ _n 'm n 'n -3m n m+_ m'n se t_ene (x+ +zJ3 __ 3+3A i_OlUCt_n _ que al sustituir en lo feque_do _remosenelradicando 3+3A-2 __3A _ _ n_ m4 + n2n_ + na 3m2na m_ n2 _ _3___3 2__2__23V pro__8mg__ _ el desa_ Tollo de un binomio al cu_ con abc _ o n a + b + c _ __ene halle el valor de 2_n2 __mz_na K__+ + _ Re&olución: __2_ como a+b+c=I elevemosalcuad_ado _ a _b ; afb a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)__ _ ab llamemos 4_'' a: ab+bc+ca_ _pr0D_x_ag__abmb__+glb2_bc3c_+__cta_c_a___c______ttaN_b_ltN__ ac)_ bc T +3b__(++co3(x)3 y(3((__a+)_)xb_++(c_a(_)(+ab+(_+b3c__)+ab(c_2__3)abc)) Lu mbreras Ed itores _geb,a Así mismo elevando al cubo a + b + c = l De (l) al cuadrado: a' + b3 + c3 + 3(a+b+c)lab+bc+cal-3abc= l 2+b2+ c2 l _ 3+b3+ c_ Reem_la2andO en K Se tiene _ a'- + b2 + c_ _ __ l-2a l_3a_Il_l 2 3 2 3 6 De modo que la expresión queda reducida a __ _+_? i_3_ _-K_- T 3_+___+3+b3+3 6 = _-_a C- Pero 3 3 3 abc- __7 Cona3+b3+c3=O a _ =__C- 3alJc X ' -_ reducir a(b _a) + b(c -b) t c(a -c) ab+aC+bC Re,o_uc_6n; _ plan_eando la identidad Gaussiana = -2_ 3 J 3 Entonces T _ 3,J + 2x3) a +b +c - 3abc _- (a+b+c)x - ' .'. T__ O 2_b2+ 2 _ equ; 3,bc __ (a+_+c)(_x) Pr_al8__ 2_ Reemplazando en la expresjón, se tiene CumpliéndOSe qUe (a +b +c)(- x) X+b + C = 3a t _ _ _ - - _ _ - - _ t t _ t _ (IJ =a+b+C _ e2 b_ _ c2 Y+ c + a= 3b................. V _+ a + b= 3c ; abc_O........ (3J -_' _. Lo pedi_o es a+b+c Determinar el ValOf de 3+ 3+_3 S_ X _ _ ffa0_gmg 2q a a 2 _bc) + b b 2 _ca_ c c 2 _ a_ Sabiendoque conabC f a+b+c = ,x .................... (l _ (2) Resolución: Sumando las condiciones (l)_, (2) y (3) T __ (x+a)3+ (x+b)3+ (x+C)3_3,bc en té,m;no, X + Y + _ + 2(a+b+C) = 3(a+b+C) de ,_ x+y+_=a+b+c .o/n. Usando la identidad de Gauss en Al desarrollar la expresi6n .9 _ ., x3+3+,3 = + 3(a+b+C) + 3(a_+b-+C- _ s - __ - X __ _+b3+ 3 a3_b_t.c3 106 _cp__o40f(maldo_(eab___n_p_)_tb(ld)2ad_((cp(_o2_n(_dll)c)_+_ly_l_(n_)+a__(x)a)_))+_c__3_bo p_((rgo_a|_8))m8((2_g_(()___)(_bc+)_()(2_J_)g2_____)______(62__)l_()_____ _)___ (c) CAPITULO IV m4_tip_icación a_geb,4i Z+ _+?2 x , _x Detennjnarelvalord S_ X ^ N_ a '+b 2+c '-ab-bc_ca_ a 2+ y2+_2 _ y z , x b --j jbj 2 bb b a+ +c-a-C-Ca - C (x-yJ2+___)2+(__ -xJ '_2 2 2 Resolución: a-b +(b-C)+C-a SandO a ldentldad COndlClOnal Se tlene 3 3g3 De (_) ,- (2) x_y _ 4(a-b) 9 _ 9' 3 ' a2 a b2 (2)-(3): y-_=4(b-c) ' b2'c'c2 (3)-(2): z_x=4(c-a) Reemplazando en s O_erandO J t 3 + 3 _- 3. 3 2+4b_c 2+4c_e 2 _ 16 2+b_c2+c_a2 323 32 Dedonde -2 + =O _Dl8m826 sabiendo que el polinomio V P,_,.,,_,, = (x + y+_)2 - _ - _ - _' T'C'P' 2 seanulaen _,___,_ _ o t a __b a b c b 3 b3 cJ Reducir _a a ab _bc +ca - aC Re8olución: EntOnCeS -b = -2 _ b (._,),=)- N4 Porcondición l l l( _"___ )- ' '_b '_c '_a '-- de donde e+b+c = O si al2+bl2+cl2 __ g.............. ... _ . _ _.ol3+b3J - aC además Mora acondicionemos la expresi6n pedida a b 2+ b c 2_ c a 2 .3a'- (a3 +b' +cJ) _ 3a3 _3abc _abc " _a+b+c._...... _ _ (2l ab+bc+ca ab+bc+ca Calcular a'+b'+c6 3a (a 2 - bc) _ _ 3a ie,o_u__o_ a(b + cJ + bc De la condición (2) se t_ene 2 a +b +c -ab-ac-bc abc a +b +c __8 ._,e que (a+b+c) fa2+b2+c2-ab-bc- caJ = -3abc 92g 9 a + a + b _ a3+_+cJ-3abc (porlaidentidaddeGaussJ 2 c c 2 de donde a3+b3+c3 __ 107 2__DED__t_n(J)t2o2__lnxcet_ys___e__lv_a_l__oyxf_d__e__y_____ a__EE_a))__lt 9_ sD_l)+_r__trd__l__yo)__1e+lvaab_)lco__r_det__wr__r)__6___fl+wes__) 0 fODlem__ _fO 0 UeStO_ I. Hallar el equivalente reducido de: 6 1 , 3 3 _ Sl n + - _ I ,CaICUlar el ValOf de n - n _ (a3_ 2)2 + í2 +a3)2 __ ................. n 2 2 ' n+- - n-- =- ............... n n _ 2_b22_ a2+b22__ _ (a'+b')' + (b'--a2)' -__ .... . 7. Si xy+x_ + xw+y_ + yw + _w = O, 2 ,2 2+22+,222_22 _ __ _ _^ __ ............... reducir ^ 2 2 (x+y+?+w)' l I 4 . Sl - + - _ _, determlnar el ValOr de: A) l B) w2 C) í-w2 X Y XtY D) +_?2 E)J__?2 x 2 3 x+y 8. Sabiendo que lres números reales y positivos a_ b y c cumplen con A) o B) l c) 1 1 (b+c)+ l (c+a)+ l (a+b) _ I a b c Y (,+b+cJ3 3. Dos números reales cumplen con_ SlmßllrlCaf - ,.' 7 ' a3+b3 _+ 2y-+ 2= 2x - 2xy 3xy se,a/. x2+y3 A} l B) 3 C) 9 l E) l A)-2 B)_I C) l g g l 4 _ J_ _ + _ . . 7 7 . Slseverl Flcaque a+b_-c a_b -c _ b+c_a a_b+c A) i B)_2i CJ O a+b_c a+b+c a+c-b b+c-a D) 7 E)-7 2 Determinarelvalorde _ _o A t. 2+b2_c2 . parlr e X+y + _ = í+ y'+ ?2= 9 A) - B)- C) - _+y3+_?3__ 4 2 2 4 - determlnar el ValOr de _+_+,_ 5. El equivalente simpli Flcado de la expresión 9 m6_m3n3+n6)(m6_n6)_m6+m3n3+n6J+n)8 A) I B) 2 c) 4 se_rá: 33 33 33 2 c) 3 D)l6 EJ64 m m - - Djm6 Ejn9 33 33 1tO s_l__2(JAAD_AEs())y))_a+a_)2bb_b4)cl+((pe+_a)q_)d+JaagB3J_)_())E(l__bqbb_5)d22(_)()+(dy+)_+_bEc_))))+(_+_6p2b+)q() o) _m sa(m+n___p)_o6neos CAPITULO IV mu_t__p_._cac._o_n a_geb,a_, Il, Sitresnúmerosrealesa_ bycve_r_canlas A) l B) -l c) 3 igualdades 3 _+ba+ca 9g D)-XY E)- -- 2 2_ (ab)_ + (bc)2 + (ca)2 49 ab+bc+ ca= -7 _na, el va_or de ' l6. Cumpliéndose que a+b+c = O 3 3 3 el ValOf FedUCidO de a+b'C t +C'a + C+a_ abc _(a 2+b 2+c ')4 - 3(a ' _b 4+c 4)' ;Sef_: 1 + b4 + c_ D) 8 E) 9 A)-11 B)-7 c)l __ seeal I I ' laeC_nO U CO D)7 E)ll 4 +b_ +c_ reducir: 3 _ b 3 + c 3 + abc l7. En base a las condici 2+n2+p2 a+b+C B)ab+bC+Ca C) abC - D) a_+b2+c2 E) l mn + n_ + _m _ _6 mnp= 4, l3. Sjendo a, b y c tres números Feales que CUanli FlCaF el ValOF de .d a+_ _ 4 _l _ CUm_lenlal_Ua a mn nP+Pm+mP+nm+_n 3 3 3 , Ademá + l< a + +C = a Cya emaSa+ +Cf _ 2 c3 2 el valor de _a es: AJ 64 g) _ 56 c) _ 92 12 +bl2 tcI2 D) 128 E)256 2 c c3 I l8. Si (a, b, c_ x, y, _) c l_, que veri Fjca 3 (_+b+c)2 = 3lab+bc+ca-_' -y" -_'l I_. Simpli F_car El valor de _ . a__ +b7+c7 ! '!-X _ '-X ' P-X 'q ' X ' Z+ X _ P_ X + q+X (_+_+_3+3') es: y2 + z' + p2 + q' (a'+b'+c2 )(a5+b'+c') i x+ _ x2__2 __2 __ _ A)o B) l c)3 A)o B) 5 c)25 D)9 E)27abc D)_ E)-25 ' ?2__ 15. En base a las Condjciones _+y3+_3 = 7 3 32 3 32 ___'2x y x _ _ o 3 3 ^ + - ' - - _' = X +Y ''' detennlnar UnO de lOS ValOreS de _+ 3+ ,2J 3 _N - 3_? x' - y6 = __' yq ............. (2) xy 3 A) o B)-6 c)-2 __ __ -3 111 _222234t_t_s(DsDH_(_ll__)aa)ma_(__2la__l___aba(_b2lbfcl_byc)_nel_)bc_l3aA_ctt___ra)(_+ly___o___+(raxt_(__dc_)_(e3bl)__+)___(c__c__()_c_2(_xx+_))_____l++)2(J_l,EE_t))d(so3ecl_ate_)x_ratm)2y_l)ntatl_r 2289_t aDsc Ashdaa)_l)aebllcm3_l_l_2aeu Fanl/_xasdr___ob(_aa_q__c2_t(+uab__e___axttcslgblt_)el__)a8)__cbb_+_u_c+(+mf_ax_o(Tpb_2__+b_b_e__ttc)cc____)2a+_bEc(__c))t_)____(2cx__23_cyta)a/)2 Lu mb rera5 Ed itores Álgebf4 20. Cona+b+c=tthallarelvalorde . 4 4 42 _ b (a+b) 2-(a-b) 2 a3 _b_' + c3 _ 3 L__ +b2 t c' . A) __ B) _ c) -! A) o B)2 c )-I D) _ E )4 27. si a+ __b+ 2l. Si x'_+I _ O ,'_ ___ _l , calcular Calcularelvalorde ,K2 __ _ _ _ A) 2 B7 0 C) l AJ o BJ _ c)_3 D)- l E)'2 3 _c +ba_ + c2 elvalorde _a _a_c __ _ _ 2c 2 b_c_2a 2 I2 A)3 _) 1 C) l/3 b 2 , , (b - cJ (c -- a) (c - a') (a _ b) (a - b) (b -- c) D) 36 E) 3 2 A)l 8)a+b+C C)O , _2 _-y '_._-+y) (?-1) (x '_ _ +_) .x +_'_) (_ _ y) A)9 B)_ C)25 D)-7 E) 1__ D)2 E)27 2_. Si 2" + bc _' bd + cd = O, calcul_r (c_ _bJ(b _d)(c __d) 4a_ (a 2 _3b a ), (t7 _ +3a _) A) _ _)_7_ cJ I A)4 B) l5 C) 5 _) 2 _) o D) 10 E) I6 112