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¡Descarga libro de algebra facil y más Apuntes en PDF de Álgebra solo en Docsity! EXPLORANDO LOS NUMEROS Matemática básica para principiantes 2023 Diego ARM MATEMATICA BASICA LAS MATEMATICAS Las matemáticas son consideradas bellas por sí mismas y se justifican a sí mismas, pero también son indispensables y necesarias. Son la ciencia invisible que se encuentra detrás de muchas facetas de la vida cotidiana. Además, son el motor del cambio y están presentes en avances tecnológicos como aviones, robots, computadoras, etc. Las matemáticas son esenciales para predecir el clima. Utilizando datos recopilados por satélites y estaciones meteorológicas, se introducen en potentes ordenadores para realizar complicados cálculos basados en las leyes de la dinámica y la física. Estos cálculos permiten predecir el comportamiento del clima en los próximos días. Además, a largo plazo, los modelos matemáticos estudian los efectos del cambio climático al incorporar interacciones de la atmósfera con los océanos, los hielos y la biosfera. ¿Qué es las matemáticas? Las matemáticas son una disciplina que estudia las propiedades y relaciones de los números, las estructuras y las formas. Es un lenguaje universal que se utiliza para describir y comprender el mundo que nos rodea, desde la física y la economía hasta la música y el arte. A través de la lógica y el razonamiento, las matemáticas nos permiten resolver problemas, tomar decisiones informadas y descubrir patrones y regularidades en diferentes fenómenos. Además, las matemáticas son una herramienta fundamental en el desarrollo de tecnologías avanzadas y en la investigación científica. En resumen, las matemáticas son una poderosa herramienta intelectual que nos permite explorar, comprender y modelar el universo en el que vivimos. Introducción 1.1. Los números enteros Los números reales son una extensión de los números enteros e incluyen tanto números racionales como irracionales. Se utilizan en diversas ramas de las matemáticas y tienen aplicaciones en ciencias y disciplinas relacionadas. Los números reales se representan en una línea numérica y admiten operaciones aritméticas avanzadas. Son una herramienta fundamental para el análisis y la resolución de problemas en el mundo real. La secuencia de números enteros comienza con los números negativos (-3, -2, - 1), seguidos por el cero (0), y luego los números positivos (1, 2, 3). Esta secuencia continua infinitamente en ambas direcciones. Conjuntos de numero enteros: Z= (-x…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …x) 1.1.1 Adición de enteros La adición de enteros es una operación matemática que consiste en combinar dos números enteros para obtener un resultado. En otras palabras, es la acción de sumar dos números enteros. Cuando se realiza la adición de enteros, se pueden presentar diferentes escenarios: 1.-Si ambos enteros son positivos (+), simplemente se suman sus valores para obtener un resultado positivo. Por ejemplo, 3 + 5 = 8. 2.-Si ambos enteros son negativos (-), también se suman sus valores, pero el resultado será negativo. Por ejemplo, -4 + (-2) = -6. 3.-Si tienes un entero positivo y otro negativo, se realiza una resta. Se resta el valor absoluto del número negativo al valor absoluto del número positivo, y el signo del resultado será el mismo que el número con mayor valor absoluto. Por ejemplo, 7 + (-3) = 4. 4.-Si tienes un entero negativo y otro positivo, se realiza la misma resta mencionada anteriormente, pero el resultado será negativo. Por ejemplo, -5 + 2 = -3. 4 + 11 = 15 11 + 9 = 20 (–5) + (–4) = -9 (–7) + (–11) = -18 La división de números enteros implica encontrar el cociente entre dos valores enteros. Aquí te presento algunas reglas básicas para la división de enteros: Si ambos números son positivos, el cociente será positivo. Ejemplo: 6 ÷ 2 = 3 Si ambos números son negativos, el cociente también será positivo. Ejemplo: (-6) ÷ (-2) = 3 Si un número es positivo y el otro es negativo, el cociente será negativo. Ejemplo: (-6) ÷ 2 = -3 Si el dividendo es cero, el cociente será cero, independientemente del divisor. Ejemplo: 0 ÷ 2 = 0 Si el divisor es cero, la división no está definida y se considera indefinida o sin solución. 15 ÷ (–3) = (–5) 1.2 Los numeros racionales Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como fracciones, donde el numerador y el denominador son números enteros. Son utilizados para representar relaciones de división y proporciones. Ejemplos de números racionales incluyen 1, -5, 3/4, -2/3, entre otros. Los números de la forma: m/n donde m y n son enteros, n ≠ 0, se llaman números racionales. Este conjunto se representa con la letra Q. 1.2.1 Multiplicación de números racionales La multiplicación de fracciones implica multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. A continuación, se presentan los pasos básicos para multiplicar fracciones: 1. Multiplica los numeradores: multiplica los números de arriba (numeradores) de las fracciones entre sí. Ejemplo: (2/3) x (3/4) = (2 x 3) / (3 x 4) = 6/12 2. Multiplica los denominadores: multiplica los números de abajo (denominadores) de las fracciones entre sí. Ejemplo: (2/3) x (3/4) = (2 x 3) / (3 x 4) = 6/12 Dividendo Divisor Cociente 3. Simplifica si es necesario: si es posible, simplifica la fracción resultante dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor. Ejemplo: 6/12 se puede simplificar dividiendo ambos términos por 6, resultando en 1/2. En resumen, para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí. Luego, se simplifica la fracción resultante si es posible. 1.2.2 Números decimales Los números decimales son una forma de representar cantidades fraccionarias o partes de un todo utilizando la base 10 y un punto decimal. En los números decimales, el punto decimal separa la parte entera de la parte decimal. La parte entera de un número decimal se encuentra a la izquierda del punto decimal y puede ser un número positivo, negativo o cero. La parte decimal se encuentra a la derecha del punto decimal y representa una fracción o una parte fraccionaria del número. 1.2.3 División La división de números racionales implica dividir el numerador del primer número racional entre el numerador del segundo número racional y el denominador del primer número racional entre el 1 2 1 3 1 6 Numeradores Denominadores 2.6 9.7 18 54 0.23 Parte entera de un número decimal Parte decimal 2.(7) 21.(8) 14 168 denominador del segundo número racional. A continuación, se presentan los pasos básicos para dividir números racionales 1.2.4 Suma y resta Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción, es decir, un cociente de dos números enteros. Para sumar o restar números racionales, debes seguir estos pasos: 1.- Si los denominadores son diferentes, debes encontrar el denominador común más pequeño para ambos números. Esto se llama encontrar el denominador común mínimo (mcm). 2.- Una vez que tengas el denominador común, debes ajustar las fracciones para que tengan el mismo denominador. Para hacer esto, multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por el factor necesario para igualar los denominadores. 3.- Una vez que las fracciones tienen el mismo denominador, puedes realizar la suma o resta de los numeradores. Para sumar, simplemente suma los numeradores; para restar, resta los numeradores. 4.- Simplifica la fracción resultante, si es posible, dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor. Por ejemplo, si quieres sumar 1/3 y 2/5: 1.- El denominador común mínimo es 15. 2.- Multiplicamos 1/3 por 5/5 y 2/5 por 3/3 para obtener 5/15 y 6/15, respectivamente. 3.- Sumamos los numeradores: 5/15 + 6/15 = 11/15. 4.- La fracción resultante no se puede simplificar más, por lo que el resultado final es 11/15. 1.3 los números reales Los números reales son un conjunto que incluye a los números racionales (fracciones) y a los números irracionales (números que no pueden ser expresados como una fracción exacta). La suma y resta de números reales se realiza de manera similar a la de los números racionales.  Para sumar o restar números reales, simplemente se suman o restan los valores numéricos. Por ejemplo, si quieres sumar 2.5 y 3.7, simplemente sumas los dos números: 2.5 + 3.7 = 6.2.  De manera similar, para restar números reales, se resta el segundo número del primero. Por ejemplo, si quieres restar 5.1 de 8.9, restas el segundo número del primero: 8.9 - 5.1 = 3.8.  Recuerda que los números reales incluyen tanto a los números racionales como a los irracionales. Los irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como una fracción exacta, como la raíz cuadrada de 2 (√2) o el número pi (π). 1.3.1 Propiedades de las operaciones en los números reales 10 5 Las ecuaciones son igualdades matemáticas que contienen incógnitas y se resuelven encontrando los valores de las incógnitas que hacen que la igualdad sea verdadera. Aquí tienes algunos tipos comunes de ecuaciones: 1.-Ecuaciones lineales: Estas ecuaciones tienen la forma ax + b = c, donde x es la incógnita y a, b y c son constantes conocidas. Se resuelven despejando x. Ejemplo: 2x + 5 = 11 2.-Ecuaciones cuadráticas: Estas ecuaciones tienen la forma ax^2 + bx + c = 0, donde x es la incógnita y a, b y c son constantes conocidas. Se resuelven utilizando fórmulas como la fórmula cuadrática o factoreando. Ejemplo: x^2 - 3x - 4 = 0 3.-Ecuaciones exponenciales: Estas ecuaciones involucran exponentes y tienen la forma a^x = b, donde x es la incógnita y a y b son constantes conocidas. Se resuelven aplicando logaritmos. Ejemplo: 2^x = 16 4.-Ecuaciones trigonométricas: Estas ecuaciones involucran funciones trigonométricas como seno, coseno o tangente, y se resuelven utilizando identidades trigonométricas y propiedades de las funciones. Ejemplo: sin(x) = 1/2 Estos son solo algunos ejemplos de ecuaciones comunes, pero hay muchos otros tipos de ecuaciones en matemáticas. Resolver ecuaciones puede requerir diferentes métodos dependiendo de la forma de la ecuación y las operaciones involucradas. 1.5 porcentajes Los porcentajes son una forma de expresar una cantidad como una fracción o proporción de 100. Se utilizan para comparar partes de un todo o para calcular incrementos o descuentos. Aquí tienes algunos conceptos clave sobre los porcentajes: 1.-Cálculo de porcentajes: Para calcular un porcentaje, se multiplica la cantidad original por el valor del porcentaje dividido entre 100. Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 80? 20% de 80 = (20/100) * 80 = 0.2 * 80 = 16 2.-Incremento porcentual: El incremento porcentual se utiliza para calcular el aumento en una cantidad original. Se multiplica la cantidad original por el valor del incremento porcentual más 1. Ejemplo: Si tienes un salario de 1000 dólares y obtienes un aumento del 10%, tu nuevo salario sería: Nuevo salario = 1000 * (1 + 0.1) = 1000 * 1.1 = 1100 dólares 3.-Descuento porcentual: El descuento porcentual se utiliza para calcular la reducción en una cantidad original. Se multiplica la cantidad original por 1 menos el valor del descuento porcentual. Ejemplo: Si un artículo tiene un descuento del 20% y su precio original es de 50 dólares, el precio con descuento sería: Precio con descuento = 50 * (1 - 0.2) = 50 * 0.8 = 40 dólares 4.-Cambio porcentual: El cambio porcentual se utiliza para calcular el porcentaje de cambio entre dos cantidades. Se divide la diferencia entre las dos cantidades por la cantidad original y se multiplica por 100. Ejemplo: Si el precio de una acción sube de 50 dólares a 60 dólares, el cambio porcentual sería: Cambio porcentual = ((60 - 50) / 50) * 100 = (10/50) * 100 = 20% Recuerda que los porcentajes son útiles para comparar cantidades y entender el cambio relativo entre ellas. 1.6 potenciación y radicación 1.6.1 potenciación La potenciación y la radicación son dos operaciones matemáticas relacionadas. Potenciación: La potenciación consiste en elevar un número, llamado base, a una potencia, que representa el número de veces que se multiplica la base por sí misma. Se utiliza el símbolo "^" para indicar la potenciación. Ejemplo: 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8 En este caso, 2 es la base y 3 es la potencia. También podemos tener potencias con exponentes negativos o fraccionarios, lo que implica realizar divisiones o calcular raíces. Ejemplo con exponente negativo: 3^-2 = 1 / (3^2) = 1 / 9 Ejemplo con exponente fraccionario: 4^ (1/2) = √4 = 2 1.6.2 radicación Radicación: La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en calcular la raíz de un número. El símbolo de la raíz cuadrada es el más común, representado por "√". Ejemplo: √16 = 4 En este caso, la raíz cuadrada de 16 es 4. Ya que 4*4 da como resultado 16 También podemos tener raíces cúbicas, cuartas y así sucesivamente, indicadas por el índice de la raíz. Ejemplo de raíz cúbica: ∛8 = 2. Ya que 2*2*2 da como resultado 8 En este caso, la raíz cúbica de 8 es 2. Es importante tener en cuenta que las operaciones de potenciación y radicación están relacionadas y se pueden utilizar para simplificar cálculos y resolver problemas matemáticos. 1.7 Notación científica La notación científica es una forma conveniente de expresar números muy grandes o muy pequeños utilizando potencias de 10. Consiste en escribir un número en forma de producto entre un coeficiente y una potencia de 10. Aquí te explico cómo se utiliza: 1.-Números muy grandes: Si tienes un número grande, puedes escribirlo como un número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Ejemplo: 450,000,000 se puede escribir como 4.5 x 10^8. En este caso, el coeficiente es 4.5 y la potencia de 10 es 8, lo que significa que el número original es igual a 4.5 multiplicado por 10 elevado a la potencia de 8. 2.- Números muy pequeños: Si tienes un número pequeño, puedes escribirlo como un número entre 1 y 10 dividido por una potencia de 10. Ejemplo: 0.000025 se puede escribir como 2.5 x 10^-5. En este caso, el coeficiente es 2.5 y la potencia de 10 es -5, lo que significa que el número original es igual a 2.5 dividido por 10 elevado a la potencia de 5 (o multiplicado por 10 elevado al exponente negativo). La notación científica es útil porque permite representar números muy grandes o muy pequeños de manera más compacta y fácil de leer. También es común en campos científicos y matemáticos, ya que simplifica los cálculos y las comparaciones entre magnitudes. 1.8 Aponer en práctica lo aprendido Introducción Las expresiones algebraicas son una parte fundamental del álgebra y se utilizan para representar relaciones matemáticas y realizar cálculos. Una expresión algebraica está compuesta por variables, constantes, operadores matemáticos y paréntesis. Aquí tienes una introducción a las expresiones algebraicas: 1.-Variables: Las variables son símbolos que representan cantidades desconocidas o variables en una expresión. Por lo general, se utilizan letras como x, y, z, etc., pero también se pueden utilizar otras letras o símbolos. Por ejemplo, "2x" es una expresión algebraica con la variable x. 2.-Constantes: Las constantes son valores numéricos fijos en una expresión algebraica. Pueden ser enteros, fracciones o números decimales. Por ejemplo, en la expresión "2x + 3", el número 3 es una constante. 3.-Operadores matemáticos: Los operadores matemáticos se utilizan para realizar operaciones en una expresión algebraica. Algunos operadores comunes son: suma (+), resta (-), multiplicación (*), división (/) y potenciación (^). Por ejemplo, en la expresión "2x + 3", el operador de suma (+) se utiliza para combinar el término 2x y la constante 3. 4.-Paréntesis: Los paréntesis se utilizan para agrupar términos y establecer el orden de las operaciones en una expresión algebraica. Se siguen las reglas de precedencia matemática, donde se resuelven primero las operaciones dentro de los paréntesis. Por ejemplo, en la expresión "2(x + 3)", los paréntesis indican que se deben sumar x y 3 antes de multiplicar por 2. Las expresiones algebraicas se pueden simplificar, factorizar, combinar términos semejantes o resolver para encontrar el valor de la variable desconocida. Son una herramienta poderosa para representar y resolver problemas matemáticos en una forma generalizada 2.1 simplificación de expresiones algebraicas La simplificación de expresiones algebraicas es el proceso de reducir una expresión a su forma más simple. Esto se hace combinando términos semejantes y aplicando las propiedades algebraicas. Aquí te presento algunos pasos comunes para simplificar expresiones algebraicas: 1.-Combina términos semejantes: Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables y los mismos exponentes. Puedes combinar términos semejantes sumando o restando los coeficientes. Ejemplo: Simplifica la expresión 3x + 2x - 5x Para combinar términos semejantes, sumamos o restamos los coeficientes: 3x + 2x - 5x = (3 + 2 - 5)x = 0x = 0 2.-Aplica las propiedades algebraicas: Las propiedades algebraicas, como la propiedad distributiva y la propiedad conmutativa, se pueden utilizar para simplificar aún más las expresiones. Ejemplo: Simplifica la expresión 2(x + 3) - (x - 1) Para simplificar, primero aplicamos la propiedad distributiva: 2(x + 3) - (x - 1) = 2x + 6 - (x - 1) Luego, eliminamos los paréntesis y combinamos términos semejantes: 2x + 6 - (x - 1) = 2x + 6 - x + 1 = (2x - x) + (6 + 1) = x + 7 3.-Factorización: En algunos casos, es posible factorizar una expresión para simplificarla aún más. La factorización implica encontrar los factores comunes y sacarlos fuera de paréntesis. Ejemplo: Simplifica la expresión 3x^2 + 6x Para factorizar, identificamos el factor común, que en este caso es 3x: 3x^2 + 6x = 3x (x + 2) Recuerda que la simplificación de una expresión algebraica implica reducir términos, aplicar propiedades algebraicas y buscar factores comunes. El objetivo es obtener una expresión más simple y fácil de trabajar. 2.2 polinomios Los polinomios son expresiones algebraicas que están compuestas por términos algebraicos que involucran variables elevadas a exponentes enteros no negativos. Los polinomios son importantes en el álgebra y se utilizan para modelar y resolver problemas matemáticos. Aquí te presento una introducción a los polinomios: 1.-Términos: Los términos en un polinomio son las unidades básicas que lo componen. Cada término consiste en un coeficiente multiplicado por una o varias variables elevadas a exponentes enteros no negativos. Ejemplo de términos en un polinomio: 3x^2, -5xy, 7, 2x^3y^2 2.-Grado de un polinomio: El grado de un polinomio se determina por el exponente más alto de las variables en los términos. El grado del polinomio se usa para describir su "tamaño" o "complejidad". Ejemplo de polinomio con grado: 4x^3 + 2x^2 - 5x + 1 En este caso, el polinomio tiene un grado de 3, ya que el término con el exponente más alto de x es x^3. 3.-Suma y resta de polinomios: Para sumar o restar polinomios, simplemente se combinan los términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes. Ejemplo de suma de polinomios: (2x^2 + 3x - 1) + (4x^2 - 2x + 5) = 6x^2 + x + 4 4.-Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios, se utiliza la propiedad distributiva. Cada término del primer polinomio se multiplica por cada término del segundo polinomio, y luego se combinan los términos semejantes. Ejemplo de multiplicación de polinomios: (2x^2 + 3x - 1) * (4x - 2) = 8x^3 + 4x^2 - 4x + 12x^2 + 6x - 2 = 8x^3 + 16x^2 + 2x - 2 Los polinomios tienen diversas aplicaciones en matemáticas y ciencias, como en el álgebra, cálculo, física y más. Son útiles para resolver ecuaciones, modelar situaciones del mundo real y realizar cálculos algebraicos. 2.3 Suma y resta de polinomios La suma y resta de polinomios implica combinar los términos semejantes de los polinomios y simplificar la expresión resultante. Aquí tienes los pasos para realizar la suma y resta de polinomios: 1.-Organiza los polinomios: Asegúrate de tener los polinomios escritos en orden descendente según el grado de las variables. Esto facilitará la identificación de los términos semejantes. 2.-Combina los términos semejantes: Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes. Para sumar o restar polinomios, simplemente suma o resta los coeficientes de los términos semejantes y mantén las variables y los exponentes sin cambios. 3.-Simplifica la expresión resultante: Luego de combinar los términos semejantes, simplifica la expresión resultante si es posible. Esto implica ordenar los términos según el grado de las variables y eliminar cualquier término con coeficiente cero. 2.4.1 Productos especiales Los productos especiales son ciertas multiplicaciones de polinomios que tienen formas específicas y se dan con cierta frecuencia en matemáticas. Aquí tienes algunos ejemplos de productos especiales: 1.-Producto de un binomio al cuadrado: Cuando se multiplica un binomio por sí mismo, se obtiene un producto especial conocido como cuadrado de un binomio. Para calcularlo, se utiliza la fórmula del cuadrado del primer término, más el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Ejemplo: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 2.-Producto de la suma y diferencia de dos términos: Cuando se multiplica la suma y la diferencia de dos términos, se obtiene un producto especial conocido como diferencia de cuadrados. Para calcularlo, se utiliza la fórmula del cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Ejemplo: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 3.-Producto de la suma por un binomio: Cuando se multiplica una suma por un binomio, se obtiene un producto especial conocido como producto de suma por binomio. Para calcularlo, se multiplica cada término de la suma por cada término del binomio y luego se suma los productos resultantes. Ejemplo: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Estos son solo algunos ejemplos de productos especiales que se encuentran con frecuencia en matemáticas. Son útiles para simplificar expresiones y resolver ecuaciones. Recuerda siempre verificar si puedes aplicar alguno de estos productos especiales antes de realizar una multiplicación completa. 2.5 División de polinomios La división de polinomios implica dividir un polinomio por otro polinomio. Aquí tienes los pasos para realizar la división de polinomios: 1.-Organiza los polinomios: Asegúrate de tener los polinomios escritos en orden descendente según el grado de las variables. 2.-Divide el término de mayor grado: Comienza dividiendo el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor. Esto te dará el primer término del cociente. 3.-Multiplica el divisor por el primer término del cociente: Multiplica el divisor completo por el primer término del cociente que encontraste en el paso anterior. 4.-Resta el producto del paso anterior al dividendo: Resta el producto del paso anterior al dividendo original. 5.-Repite los pasos 2, 3 y 4: Continúa dividiendo y multiplicando hasta que no puedas seguir dividiendo más. Obtendrás un nuevo término del cociente en cada paso. 6.-Simplifica el cociente: Una vez que hayas terminado de dividir, simplifica el cociente si es posible. Ordena los términos del cociente según el grado de las variables y elimina cualquier término con coeficiente cero. 7.-Determina el residuo: Si queda algún residuo después de la división, escríbelo como el residuo de la división. Aquí tienes un ejemplo de división de polinomios: Ejemplo: Divide el polinomio (3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) entre el polinomio (x - 2). Paso 1: Organización (3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) ÷ (x - 2) Paso 2: Divide el término de mayor grado Dividimos (3x^3) ÷ (x), lo cual nos da 3x^2. Paso 3: Multiplica el divisor por el primer término del cociente 3x^2 * (x - 2) = 3x^3 - 6x^2 Paso 4: Resta el producto al dividendo (3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) - (3x^3 - 6x^2) = 4x^2 + 5x - 1 Paso 5: Repite los pasos 2, 3 y 4 Dividimos (4x^2) ÷ (x), lo cual nos da 4x. 4x * (x - 2) = 4x^2 - 8x (4x^2 + 5x - 1) - (4x^2 - 8x) = 13x - 1 Paso 6: Simplifica el cociente El cociente final es 3x^2 + 4x + 4. Paso 7: Determina el residuo El residuo final es 13x - 1. Entonces, el resultado de la división del polinomio (3x^3 - 2x^2 + 5x - 1) entre el polinomio (x - 2) es 3x^2 + 4x + 4, con un residuo de 13x - 1. Recuerda siempre seguir los pasos y simplificar el cociente final. La división de polinomios puede ser un proceso más largo y requerir atención a los detalles, pero con práctica se vuelve más fácil. 2.6 A poner en práctica lo aprendido A. Escriba una expresión algebraica que cumpla cada grupo de condiciones: 1. Con un término, dos variables y de grado dos. 2. Con tres términos, una variable y coeficientes enteros. 3. Con dos términos, una variable y de grado uno. 4. Con tres términos, las variables x, y, z y coeficientes racionales no enteros. B. Encuentre el valor numérico de cada polinomio: C. Ordene los polinomios en forma descendente: Introducción La factorización es un proceso en matemáticas que nos permite descomponer una expresión algebraica en factores más simples. Al factorizar, buscamos encontrar los factores comunes de un polinomio o una expresión algebraica y escribirlos como una multiplicación. La factorización es una herramienta muy útil, ya que nos permite simplificar expresiones, resolver ecuaciones y encontrar soluciones más fácilmente. 3.1 ¿Que es factorizar? Existen diferentes métodos de factorización, como el factor común, la factorización por agrupación, la factorización de trinomios cuadrados perfectos y la factorización de la diferencia de cuadrados, entre otros. Cada método se aplica según las características del polinomio y los factores comunes que se puedan encontrar. Por ejemplo, considera el polinomio x^2 - 4. Podemos factorizarlo utilizando el método de la diferencia de cuadrados, ya que es una expresión de la forma a^2 - b^2. La factorización sería: x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) Aquí, hemos descompuesto el polinomio en dos factores, (x + 2) y (x - 2), que al multiplicarse nos dan el polinomio original. La factorización es una habilidad importante en matemáticas y se utiliza en diversos campos, como álgebra, cálculo y física. Es fundamental para simplificar expresiones, resolver ecuaciones y realizar cálculos más eficientes. 3.2 factor común El método de factor común es uno de los métodos más comunes para factorizar un polinomio. Se utiliza cuando hay un factor que se repite en todos los términos del polinomio. Para factorizar utilizando el factor común, sigue estos pasos: 1.-Identifica el factor común: Observa los términos del polinomio y busca si hay algún factor que se repita en todos ellos. Este factor puede ser un número, una variable o una combinación de ambas. 2.-Extrae el factor común: Divide cada término del polinomio por el factor común identificado y escríbelo fuera de los paréntesis. 3.-Escribe el resto de los términos: Después de extraer el factor común, escribe los términos restantes dentro de los paréntesis. 4.-Simplifica si es posible: Si es posible, simplifica los términos dentro de los paréntesis, como combinar términos semejantes o realizar operaciones adicionales necesarias. Aquí tienes un ejemplo de factorización utilizando el factor común: Ejemplo: Factoriza el polinomio 6x^2 + 12x. Paso 1: Identifica el factor común: En este caso, el factor común es 6x, ya que se puede dividir en ambos términos. Paso 2: Extrae el factor común: Dividimos cada término por 6x y lo escribimos fuera de los paréntesis: 6x^2 + 12x = 6x(x + 2) Paso 3: Escribe el resto de los términos: Después de extraer el factor común, escribimos los términos restantes, en este caso (x + 2), dentro de los paréntesis. Paso 4: Simplifica si es posible: No hay más simplificaciones necesarias en este caso. Entonces, el polinomio 6x^2 + 12x se factoriza como 6x(x + 2) utilizando el factor común. Recuerda que el factor común puede ser un número, una variable o una combinación de ambos. 3.3 diferencia o suma de potencias con exponentes iguales 3.3.1 Diferencia de cuadrados La diferencia de cuadrados es un caso especial de factorización en el que tenemos una expresión algebraica de la forma a^2 - b^2. Esta expresión se puede factorizar en dos binomios conjugados, es decir, dos binomios que son idénticos excepto por el signo del término medio. La fórmula general para la diferencia de cuadrados es: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) Aquí, (a + b) y (a - b) son los dos binomios conjugados que representan la factorización de la expresión. Paso 1: Identifica la expresión. En este caso, tenemos una expresión de la forma a^2 - b^2. Por ejemplo, consideremos la expresión x^2 - 9. Paso 2: Observa los términos y determina los valores de a y b. En nuestro ejemplo, a sería x y b sería 3, ya que tenemos x^2 - 3^2. Paso 3: Utiliza la fórmula de la diferencia de cuadrados. La fórmula es: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b). Paso 4: Sustituye los valores de a y b en la fórmula. En nuestro ejemplo, reemplazamos a por x y b por 3: x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3). Recuerda que la factorización cuadrática solo se aplica a expresiones cuadráticas de la forma ax^2 + bx + c. Si tienes una expresión cuadrática diferente, se requiere otro método de factorización. 3.4.2 Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma (a + b)^2, donde a y b son términos algebraicos. Este tipo de trinomio se caracteriza por ser el resultado de elevar al cuadrado un binomio. Para identificar si un trinomio es un cuadrado perfecto, es importante recordar las propiedades del cuadrado de un binomio. La fórmula general para el cuadrado de un binomio es: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 Aquí, a y b representan los términos del binomio. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, simplemente escribimos la factorización como el cuadrado del binomio correspondiente. Es decir, si tenemos un trinomio de la forma a^2 + 2ab + b^2, podemos factorizarlo como (a + b)^2. Veamos un ejemplo para entenderlo mejor: Ejemplo: Factoriza el trinomio x^2 + 6x + 9. Podemos observar que el trinomio tiene la forma de un cuadrado perfecto, ya que el primer término (x^2) y el último término (9) son cuadrados perfectos. Utilizando la fórmula del cuadrado de un binomio, tenemos: x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 Aquí, (x + 3) es el binomio cuyo cuadrado es igual al trinomio original. Por lo tanto, el trinomio x^2 + 6x + 9 se factoriza como (x + 3)^2, siendo un cuadrado perfecto. Recuerda que un trinomio cuadrado perfecto solo se aplica cuando los términos de la expresión cumplen con las propiedades del cuadrado de un binomio. Si los términos no cumplen con esta propiedad, entonces no se puede factorizar como un cuadrado perfecto. 3.5 A poner en práctica lo aprendido A. Represente 4x^2 + 12x como producto de factores, de tres maneras. B. Factorice (factor común): C. Factorice diferencia o suma de potencias con exponentes iguales: D. Factorice los siguientes trinomios: E. Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos: F. Factorice completamente: 2w?-72 Xy — 6y + xz — 6z -8y?+26y -15 6y* - 54y (y -3)-16(y-3) ao -4 7. 35%+81 8. 5x*+10xy + 5y* y ap hos G. Simplifique cada expresión racional: 1 4 2 ; 4 2 20D) TO y 6y+9 E 2 +7x-18 úl x*-3x +2 x-=1 A s y?-9y +20 y?+2y-35 9. 10. 11. 12. 1.3. 14. OE 4725 ER E 4b*c -7b?- 36c + 63 10x?+ 19x -15 y-y Xy - xy + y - 3x7z + 6xz — 32 z?-14z + 49 z*-49 2-1 2-1 y +3y? y'-9 a?-14a+ 45 a?-16a+ 63 4.1.1 Problemas de aplicación 1.- Problema: Un estudiante está ahorrando dinero para comprar un nuevo teléfono. Cada semana, el estudiante ahorra $20 de su asignación y también recibe $10 por cada tarea completada. Después de cierto número de semanas, el estudiante tiene un total de $300 ahorrados. ¿Cuántas semanas ha estado ahorrando? Solución: Llamemos "x" al número de semanas que el estudiante ha estado ahorrando. Sabemos que el estudiante ahorra $20 por semana de su asignación y $10 por tarea completada. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación: 20x + 10x = 300 Simplificando la ecuación, tenemos: 30x = 300 Dividiendo ambos lados de la ecuación por 30, obtenemos: x = 10 Por lo tanto, el estudiante ha estado ahorrando durante 10 semanas. 2.- Problema: Un negocio de venta de helados cobra $3 por cada helado y $2 por cada cono de helado. En un día, se vendieron un total de 100 helados y conos, y se obtuvo un total de $250 en ventas. ¿Cuántos helados se vendieron y cuántos conos de helado se vendieron? Solución: Denotemos "x" como el número de helados vendidos y "y" como el número de conos de helado vendidos. Sabemos que cada helado tiene un costo de $3 y cada cono de helado tiene un costo de $2. Por lo tanto, podemos escribir las siguientes ecuaciones: 3x + 2y = 250 (ecuación de ventas) x + y = 100 (ecuación de cantidad) Ahora, podemos resolver este sistema de ecuaciones. Podemos utilizar el método de sustitución o el método de eliminación. Optaremos por el método de eliminación. Multiplicamos la segunda ecuación por -2: -2(x + y) = -2(100) -2x - 2y = -200 Ahora, sumamos esta nueva ecuación con la primera ecuación: 3x + 2y + (-2x - 2y) = 250 + (-200) x = 50 Sustituyendo el valor de "x" en la segunda ecuación, obtenemos: 50 + y = 100 y = 50 Por lo tanto, se vendieron 50 helados y 50 conos de helado. 4.2 Ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones algebraicas de segundo grado, es decir, ecuaciones en las que el exponente de la incógnita es 2. Estas ecuaciones se pueden resolver utilizando diferentes métodos, como la factorización, la fórmula general o completando el cuadrado. A continuación, te mostraré un proceso general para resolver ecuaciones cuadráticas: Paso 1: Reorganiza la ecuación. Asegúrate de que la ecuación esté escrita de manera que los términos estén en un lado y el otro lado de la ecuación sea igual a cero. Por ejemplo, consideremos la ecuación cuadrática x^2 + 5x - 6 = 0. Paso 2: Intenta factorizar la ecuación. Si es posible, intenta encontrar dos binomios cuyo producto sea igual a la ecuación cuadrática. En nuestro ejemplo, podemos factorizar la ecuación como (x + 6)(x - 1) = 0. Paso 3: Utiliza la propiedad del producto igual a cero. Establece cada factor igual a cero y resuelve las ecuaciones resultantes. En nuestro ejemplo, tenemos dos ecuaciones: x + 6 = 0 y x - 1 = 0. Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos x = -6 y x = 1. Paso 4: Verifica las soluciones. Sustituye cada solución en la ecuación original para asegurarte de que son soluciones válidas. En nuestro ejemplo, al reemplazar x por -6 y 1 en la ecuación original, obtenemos (-6)^2 + 5(-6) - 6 = 0 y (1)^2 + 5(1) - 6 = 0, ambas ecuaciones son verdaderas. Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática x^2 + 5x - 6 = 0 son x = -6 y x = 1. Recuerda que este es solo un proceso general para resolver ecuaciones cuadráticas. En algunos casos, puede ser necesario utilizar la fórmula general x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) o completar el cuadrado para resolver la ecuación.