libro de matematicas 5 primaria, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga libro de matematicas 5 primaria y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! 118 B Esquema de la unidad Previsión de dificultades • Las construcciones geométricas con regla y compás plantean en ocasiones dificultades a los alumnos. Es importante que tengan claros los pasos que deben seguir en cada construcción antes de realizarla, para poder centrarse en el proceso de trazado. Pida a los alumnos que las verbalicen y proponga actividades de práctica suficientes hasta que alcancen soltura en el manejo de los instrumentos de dibujo. • Los giros con ángulos múltiplos de 90º pueden resul- tar dificultosos. Si es necesario, trabaje al principio esos giros de manera manipulativa, pidiendo a los alumnos que giren distintos objetos. Esto les ayudará a asimilar el concepto antes de pasar a las activida- des gráficas. Sugerencia de temporalización Septiembre Noviembre Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Octubre UNIDAD 9. ÁNGULOS Solución de problemas Repasa Actividades Eres capaz de... • Láminas de aula. • 100 propuestas para mejorar la competencia matemática. • Material de aula. • Refuerzo y ampliación. • Cuaderno de práctica. Segundo trimestre. • Recursos para la evaluación. • Manual de ESTUDIO EFICAZ. Recursos • Elaborar esquemas: actividad 1, pág. 128. • Releer y explicar el procedimiento: actividad 3, pág. 131. Estrategias del programa de ESTUDIO EFICAZ Mediatriz y bisectriz Trazado de ángulos Medida de ángulos. Ángulos llano y completo Ángulos consecutivos y adyacentes. Ángulos y giros de 90º 124319 _ 0168-0183.indd 169 9/6/09 14:46:44 118 Ángulos ● ¿En qué año se construyó la Torre de Pisa? ● ¿En cuál de estos dibujos están representados los datos de la Torre de Pisa? La torre inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de esa ciudad italiana. Fue construida en el año 1173 y desde que se inició su construcción ya empezó a inclinarse. La altura de la torre es de 55,7 metros y su peso es de 14.700 toneladas. La inclinación de la torre es de unos 4 grados respecto a la vertical y aumenta cada año. Para evitar su derrumbe, el Gobierno de Italia realizó, recientemente, un trabajo de reconstrucción para tratar de reducir el ángulo de inclinación. 9 4º 55,7 m 4º 55,7 m 4º 55,7 m 124275 _ 0118-0131.indd 118 17/2/09 13:39:19 RECUERDA Semirrecta y segmento El punto semirrectas. El origen de las dos semirrectas es el punto Tipos de ángulos y sus elementos 1. Copia y dibuja. 2. ¿De qué tipo es el ángulo marcado en cada polígono? 3. Escribe de qué tipo es el ángulo de cada color. 124275 _ 0118-0131.indd 119 Otras formas de empezar • Dialogue con sus alumnos pidiéndoles que aporten ejemplos de la presencia e importancia de los elementos geométricos en la vida diaria. Ayúdelos con pequeños comentarios y hágales ver cómo continuamente podemos observar diferentes tipos de rectas y án- gulos en objetos de nuestro entorno. • Propóngales que busquen e identifiquen en clase distintos tipos de ángulos que se forman al cruzarse varias rectas (los marcos de la pizarra; los bordes de la mesa, del libro, de la puerta, de la ventana…). Objetivos • Reconocer la presencia de los ángulos en la realidad. • Recordar los conceptos bási- cos necesarios para el desarro- llo de la unidad. Sugerencias didácticas • Pida a los alumnos que comen- ten sus impresiones sobre la lá- mina inicial y el texto. Comente la importancia de la Geometría en todas las construcciones arquitectónicas y pídales que aporten otros ejemplos. Solicí- teles que comenten qué signifi- ca para ellos la idea de ángulo respecto a la vertical. • En Recuerda lo que sabes com- pruebe el nivel de conocimien- tos de los alumnos sobre los conceptos de recta, semirrecta y segmento. Asegúrese tam- bién de que reconocen los ti- pos de ángulos más comunes y sus elementos. Competencias básicas Interacción con el mundo físico Señale que la Geometría nos per- mite crear modelos para entender mejor el mundo físico y, a partir de ellos, poder comprenderlo mejor y resolver distintos problemas que se nos planteen. Autonomía e iniciativa personal Anime a los alumnos a que con- fíen en sus propias posibilidades y a que utilicen todos los conoci- mientos que ya poseen al afron- tar situaciones problemáticas. Competencia social y ciudadana Muestre a sus alumnos la impor- tancia de valorar el legado cultural de los que nos precedieron y la ne- cesidad de respetarlo y cuidarlo. 118 124319 _ 0168-0183.indd 170 9/6/09 14:46:45 Medida de ángulos. Ángulos llano y completo 17/2/09 13:39:21 121 9 2. Mide con el transportador cada ángulo. Después, contesta. ▶ Mide … ▶ Mide … ▶ Mide … ▶ Mide … ▶ Mide … ▶ Mide … ▶ Mide … ▶ Mide … ▶ Mide … ▶ Mide … ● ¿Qué ángulo es llano? ¿Y completo? ● ¿Qué ángulo es llano? ¿Y completo? 3. Mide los ángulos de cada polígono con el transportador y contesta. ● ¿Cuántos grados en total suman todos los ángulos del triángulo? ● ¿Cuántos grados en total suman todos los ángulos del rectángulo? ● ¿Cuántos grados en total suman todos los ángulos del rombo? 4. Observa el plano, mide y contesta. ● Mariano camina por la calle Paloma. Después, coge la calle que forma un ángulo de 60º con la calle Paloma. ¿Cómo se llama la calle que coge Mariano? ● ¿Cuánto mide el ángulo que forman las calles Paloma y Rosa? ● ¿Qué dos calles forman un ángulo recto? ● ¿Qué calle forma un ángulo obtuso con la calle Olmo? ¿Cuánto mide ese ángulo obtuso? Multiplica dos números terminados en ceros 40 3 600 900 3 20 800 3 90 500 3 300 700 3 600 400 3 900 90 3 3.000 2.000 3 80 70 3 5.000 CÁLCULO MENTAL 70 3 300 5 21.000 C/ R osa C/ Leó n C/ Olmo C / P al om a C/ Pez C/ Pino 124275 _ 0118-0131.indd 121 17/2/09 13:39:22 Otras actividades • Proporcione a los alumnos un plano de la localidad, o de parte de ella, con los nombres de las calles. Luego, pídales que busquen en él calles que cumplan ciertas condiciones, como por ejemplo: – Las calles que forman un ángulo de 60º. – Las calles que forman un ángulo recto. – Las calles que forman un ángulo obtuso menor de 160º. – Las calles perpendiculares (cruce). – Un ángulo completo (rotonda). • Proporcione a sus alumnos fotocopias de diferentes obras de arte de distintas épocas y estilos, y pídales que marquen en ellas va- rios ángulos y determinen su amplitud. Soluciones 1. • Azul claro: 120º, obtuso. • Azul oscuro: 160º, obtuso. • Rojo: 35º, agudo. • Rosa: 180º, llano. • Marrón: 60º, agudo. • Verde: 90º, recto. • Amarillo: 145º, obtuso. • Naranja: 85º, agudo. 2. • ▶ Mide 360º. ▶ Mide 135º. ▶ Mide 90º. ▶ Mide 180º. ▶ Mide 35º. El ángulo azul oscuro es lla- no. El rojo es completo. • ▶ Mide 360º. ▶ Mide 140º. ▶ Mide 140º. ▶ Mide 180º. ▶ Mide 40º. El ángulo azul oscuro es lla- no. El rojo es completo. 3. • 65º 1 65º 1 50º 5 180º Su suma es 180º. • 2 3 40º 1 2 3 140º 5 360º Su suma es 360º. • 4 3 90º 5 360º Su suma es 360º. 4. • Mariano coge la calle Pez. • Mide 110º. • La calle Pino y la calle León. • La calle Pino. Mide 120º. Cálculo mental • 24.000 150.000 270.000 18.000 420.000 160.000 72.000 360.000 350.000 UNIDAD 9 121 124319 _ 0168-0183.indd 173 9/6/09 14:46:47 122 1. Observa el dibujo y contesta. ● ¿Cuál es el vértice del ángulo que se va a dibujar? ● ¿Cuánto medirá el ángulo? ● ¿Se va a dibujar un ángulo agudo o un ángulo obtuso? 2. Traza en tu cuaderno ángulos que tengan las siguientes medidas. D̂̂ 5 30º Ê̂ 5 45º Ĥ̂ 5 80º I ̂ ̂5 105º K̂̂ 5 135º Ĝ̂ 5 160º 3. Calca el dibujo y traza los siguientes ángulos. ● Mide 70º. Su vértice es el punto A. ● Mide 85º. Su vértice es el punto C. ● Mide 40º. Su vértice es el punto B. ● Mide 175º. Su vértice es el punto D. A B C D Trazado de ángulos Vamos a dibujar ángulos con regla y transportador. Observa los pasos que hay que seguir para dibujar un ángulo de 70º. B 1.º Dibuja con una regla una semirrecta con origen el punto A. 3.º Busca en el transportador la medida del ángulo que quieres dibujar. En este caso, 70º, y marca una rayita. 2.º Coloca el transportador de manera que su centro coincida con el punto A y la semirrecta pase por 0º. 4.º Dibuja otra semirrecta con origen el punto A y que pase por la rayita marcada. A Â̂ 70º A A El ángulo dibujado mide 70º. 124275 _ 0118-0131.indd 122 17/2/09 13:39:23 4. 7. En un triángulo equilátero sus tres ángulos miden 60º. Para dibujar un triángulo equilátero de 3 cm de lado, sigue estos pasos: 5. 6. TALLER 124275 _ 0118-0131.indd 123 Otras actividades • Pida a los alumnos que realicen estos trazados: – Un ángulo de 70° y otro de 90° que compartan vértice. – Un ángulo de 30° y otro de 45° que compartan un lado, pero no el vértice. – Un ángulo de 100° y otro de 70° que compartan vértice y tengan un lado común. – Un ángulo de 140° y otro de 40º que compartan vértice y tengan un lado común. • Pida a cada alumno que trace en un folio tres ángulos de medidas similares y en distintas posiciones. Después, su compañero deberá ordenarlos de menor a mayor mediante estimación de sus amplitu- des. Una vez hecho esto, los medirá y comprobará su hipótesis. Objetivos • Trazar ángulos de una determi- nada amplitud, utilizando la re- gla y el transportador. • Trazar un triángulo equilátero de lado conocido. Sugerencias didácticas Para empezar • Pida a los alumnos que dibujen ángulos agudos, rectos y obtu- sos. Señale la necesidad de saber dibujar ángulos de una medida concreta en distintos contextos de la vida cotidiana. Para explicar • Pida a un alumno que lea en voz alta los pasos necesarios para trazar un ángulo de 70°. A continuación, los alumnos lo trazarán en sus cuadernos. Di- buje simultáneamente cada paso en la pizarra. Para reforzar • Con la ayuda del material de aula, dibuje un ángulo de una medida dada por un alumno. Este alumno le irá diciendo en voz alta cada uno de los pasos que debe seguir. Competencias básicas Competencia cultural y artística Fomente en sus alumnos el gusto por realizar de forma limpia y clara el trazado de ángulos y las cons- trucciones geométricas. Muestre las posibilidades artísticas que permite el trazado de distintos elementos geométricos. Tratamiento de la información Muestre cómo la información para realizar los trazados puede venir dada en forma escrita o gráfica. Señale la necesidad de saber in- terpretar ambas y muestre cómo una complementa a la otra. 122 124319 _ 0168-0183.indd 174 9/6/09 14:46:48 ¿Se va a dibujar un ángulo agudo o un ángulo obtuso? C. Mide 175º. Su vértice es el punto D. 17/2/09 13:39:23 123 4. Calca las semirrectas y dibuja los siguientes ángulos. ● Â̂ ▶ Mide 50º. Su vértice es el punto P . Uno de sus lados es la semirrecta roja. ● B̂̂ ▶ Mide 125º. Su vértice es el punto R. Uno de sus lados es la semirrecta azul. 7. RAZONAMIENTO. Observa y traza. ● Un ángulo agudo mayor que el mayor ángulo agudo. ● Un ángulo obtuso menor que el menor ángulo obtuso. En un triángulo equilátero sus tres ángulos miden 60º. Para dibujar un triángulo equilátero de 3 cm de lado, sigue estos pasos: 5. Traza un triángulo equilátero de 5 cm de lado y otro de 6 cm de lado. Mide los ángulos y verifica que todos son de 60º. 6. Traza dos triángulos equiláteros de 4 cm de lado que tengan un lado en común. 9 P R A B C A 60º TALLER Trazado de un triángulo equilátero de lado conocido 1.º Dibuja un ángulo de 60º y llama A al vértice. 2.º Marca en un lado del ángulo un segmento AB de 3 cm y en el otro lado, un segmento AC de 3 cm. 3.º Une los puntos B y C y colorea el interior. El triángulo ABC es equilátero y tiene 3 cm de lado. 3 cm C A B 124275 _ 0118-0131.indd 123 17/2/09 13:39:24 w w Otras actividades • Pida a los alumnos que dibujen en un folio triángulos y cuadriláte- ros, dándoles la medida de algunos de sus ángulos. Por ejemplo: – Un triángulo con un ángulo de 50°. – Un triángulo con un ángulo de 110° y otro de 40°. – Un cuadrilátero con un ángulo de 70°. – Un cuadrilátero con un ángulo de 60° y otro de 130°. – Un cuadrilátero con un ángulo de 90°, uno de 120° y otro de 30°. Soluciones 1. • El vértice es el punto B. • El ángulo medirá 120º. • Se va a dibujar un ángulo obtuso. 2. 3. 4. 5. Compruebe los trazados de los alumnos y señale que en todo triángulo equilátero se verifica esa condición. 6. Deje que los alumnos intenten la construcción por sí mismos. Puede ayudarlos indicando que tracen primero un triángu- lo ABC y, después, un ángulo de 60º que tendrá como uno de sus lados el lado BC y como vértice el punto C. Más tarde, deben marcar en el otro lado del ángulo la longitud de 4 cm y unir el punto obtenido con el vértice B del triángulo inicial. 7. • R. L. Pueden trazar cualquier ángulo mayor de 80º y me- nor de 90º. • R. L. Pueden trazar cualquier ángulo menor de 110º y ma- yor de 90º. UNIDAD 9 123 P R 30º 105º 135º 45º 80º 160º A B C D C 4 cm 60º A B 124319 _ 0168-0183.indd 175 9/6/09 14:46:49 128 Actividades 1. ESTUDIO EFICAZ. Copia y completa este esquema sobre los tipos de ángulos según su medida. 2. Observa y escribe de qué tipo (agudo, llano, recto…) es cada ángulo. 3. Mide cada ángulo con el transportador y contesta. ¿Cuántos grados mide el menor ángulo agudo? ¿Y el mayor ángulo obtuso? 4. Mide los ángulos señalados. 5. Dibuja los ángulos con las medidas que se indican. ● 80º ● 95º ● 39º ● 130º ● 175º 6. Calca los puntos y dibuja los siguientes ángulos. ● Mide 75º. Su vértice es el punto A. ● Mide 130º. Su vértice es el punto B. ● Mide 100º. Su vértice es el punto A. Uno de sus lados pasa por el punto C. 7. Recuerda cómo se traza un triángulo equilátero y dibuja estos triángulos en tu cuaderno. 8. Observa el dibujo y escribe. ● Dos parejas de ángulos consecutivos. ● Dos parejas de ángulos adyacentes. 9. Dibuja y contesta. ● Dos ángulos consecutivos, uno de 60º y otro de 120º. ¿Son ángulos adyacentes? ● Dos ángulos adyacentes, uno de 50º. ¿Cuántos grados mide el otro ángulo? 10. Piensa y contesta. ● Si dos ángulos son consecutivos, ¿los dos ángulos son agudos? ● Si dos ángulos son adyacentes, ¿pueden ser los dos ángulos obtusos? TIPOS DE ÁNGULOS Agudo ▶ Mide menos… Recto ▶ Mide… … … Llano ▶ Mide… A B C 3 cm 4 cm 4 cm 6 cm 60º 45º J ̂̂ N̂̂ Ĥ̂ Ĝ̂ M̂̂ Â̂ D̂̂ B̂̂ Ĉ̂ 124275 _ 0118-0131.indd 128 17/2/09 13:39:29 11. 12. 13. ERES CAPAZ DE… 124275 _ 0118-0131.indd 129 Otras actividades • Proponga a los alumnos que tracen en una hoja cuadriculada un camino para llegar desde un punto marcado como salida a otro de meta. El camino ha de cumplir una serie de condiciones dadas por usted. Por ejemplo: avanzar 3 casillas, girar 2 veces 90° a la derecha, girar 1 vez a la izquierda… • Pida a los alumnos que hagan un dibujo geométrico usando las construcciones geométricas que han visto. En cada momento irán anotando en otra hoja los pasos detallados que van realizando. Después, entregarán esa hoja con los pasos a su compañero, que deberá seguirlos y hacer el dibujo. Por último, ambos comprobarán si sus dibujos coinciden. 128 Objetivos • Repasar los contenidos básicos de la unidad. • Aplicar las Matemáticas en si- tuaciones cotidianas. Competencias básicas Competencia social y ciudadana Muestre la importancia de respe- tar el desempeño de los demás y de saber prestar y recibir ayuda ante las dificultades. Soluciones 1. • Agudo: mide menos de 90º. • Recto: mide 90º. • Obtuso: mide más de 90º y menos de 180º. • Llano: mide 180º. • Completo: mide 360º. 2. • Naranja: completo. • Rojo: obtuso. • Verde: agudo. • Azul: llano. • Rosa: agudo. • Marrón: obtuso. • Morado: obtuso. 3. Rojo: 40º. Verde: 80º. Azul: 115º. Naranja: 145º. Menor ángulo agudo: 40º. Mayor ángulo obtuso: 145º. 4. • Â 5 45º, B̂ 5 100º • Ĉ 5 120º, D̂ 5 60º 5. 6. 130º 175º A C B 39º95º80º 124319 _ 0168-0183.indd 180 16/6/09 09:11:41 132 Figuras planas10 El Ayuntamiento de un pueblo ha encargado a una empresa un estudio sobre los cultivos del municipio. Con una avioneta, sobrevuelan las parcelas y hacen fotos para realizar luego su trabajo. ● ¿Qué polígonos reconoces en las formas de estos campos? ¿Cuántos lados tiene cada tipo de polígono? ● ¿Qué polígono es el más común en la forma de las parcelas? ¿Por qué crees que es así? 124275 _ 0132-0147.indd 132 26/2/09 19:33:11 1. 2. 3. RECUERDA 124275 _ 0132-0147.indd 133 Otras formas de empezar • Pida a los alumnos que nombren y dibujen diferentes figuras planas que recuerden o conozcan. Pueden utilizar ejemplos observando la clase u otros lugares cotidianos como la calle, su propia casa, el colegio... Quizá haya algunas figuras de las que no recuerden el nombre exacto o su forma, ayúdelos en ese caso. • Del mismo modo, pídales que busquen representaciones de cua- dros de artistas conocidos en los que las figuras planas sean la base de la composición, y las traigan a clase para mostrarlas a los demás. También puede proporcionárselas fotocopiadas y pedirles que marquen sus elementos. Objetivos • Reconocer los polígonos y sus elementos. • Recordar los conceptos bási- cos necesarios para el desarro- llo de la unidad. Sugerencias didácticas • Comente con sus alumnos cómo la Geometría y las figuras planas aparecen en situaciones varia- das y señale su importancia en muchas ciencias. Resuelva en común las actividades con toda la clase. Puede hacer también un croquis de cada tipo de polí- gono localizado y pedir después a los alumnos que señalen en él sus elementos. • En Recuerda lo que sabes ve- rifique que todos los alumnos conocen los conceptos básicos sobre los polígonos y sus ele- mentos, así como el cálculo del perímetro. Competencias básicas Competencia social y ciudadana Establezca con los alumnos un de- bate sobre la importancia de las instituciones (p.e., ayuntamiento) para el buen funcionamiento de la sociedad y la necesidad de colabo- rar con ellas y cuidar el entorno. Interacción con el mundo físico Indique a los alumnos que la Geometría constituye una herra- mienta fundamental para enten- der nuestro entorno (creando mo- delos), poder interactuar con él y resolver multitud de situaciones cotidianas. Competencia cultural y artística Al trabajar con figuras planas, haga ver a los alumnos la impor- tancia de trazarlas correctamente y señale su presencia en muchas manifestaciones artísticas. 132 124319 _ 0184-0205.indd 186 9/6/09 15:21:25 26/2/09 19:33:11 133 1. Cuenta y escribe el número de lados, vértices y ángulos que tiene cada polígono. 2. Mide los lados de cada polígono y calcula su perímetro. 3. Resuelve. ● El perímetro de un cuadrado es 20 centímetros. ¿Cuánto mide cada lado? ● Un campo tiene forma de pentágono y sus lados miden 12 m, 9 m, 10 m, 7 m y 5 m. Le vamos a poner una valla alrededor. ¿Cuántos metros de valla necesitamos? RECUERDA LO QUE SABES ● A clasificar polígonos. ● A reconocer polígonos regulares e irregulares. ● A distinguir los elementos de un círculo. ● A identificar las clases de triángulos, cuadriláteros y paralelogramos. ● A reconocer y obtener simetrías y traslaciones. VAS A APRENDER Polígonos y sus elementos Perímetro de un polígono Un polígono es una figura plana formada por una línea poligonal cerrada y su interior. Los elementos de un polígono son: ● Lados. Son los segmentos que forman la línea poligonal. ● Vértices. Son los puntos donde se unen los lados. ● Ángulos. Son los ángulos que forman los lados. El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. El perímetro del triángulo de la figura es igual a: 2 cm 1 4 cm 1 5 cm 5 11 cm A B C D vértice lado ángulo 4 cm 2 cm 5 cm A B C 124275 _ 0132-0147.indd 133 17/2/09 14:54:15 Vocabulario de la unidad • Figura plana, polígono, lado, vértice, ángulo, diagonal • Polígono regular e irregular • Triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono • Circunferencia, círculo, centro, radio, diámetro, cuerda, arco • Equilátero, isósceles, escaleno, acutángulo, rectángulo, obtusángulo • Cuadrilátero, trapezoide, trapecio • Paralelogramo, cuadrado, rectángulo, rombo, romboide • Simetría, traslación, semejanza Soluciones Página inicial • Triángulo (3 lados), cuadrilá- tero (4 lados) y pentágono (5 lados). • El más común es el cuadriláte- ro. Con esa forma se aprove- chan mejor los espacios y se calculan muy rápidamente las áreas de las parcelas. Recuerda lo que sabes 1. 2. • A: 10 cm • B: 8 cm • C: 8 cm 3. • 20 : 4 5 5 Cada lado mide 5 cm. • 12 1 9 1 10 1 7 1 5 5 43 Necesitamos 43 m de valla. UNIDAD 10 133 Lados Vértices Ángulos A 5 5 5 B 9 9 9 C 6 6 6 D 10 10 10 124319 _ 0184-0205.indd 187 9/6/09 15:21:25 136 1. Mide y contesta. ● ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? ● ¿Cuánto mide el diámetro del círculo? ● ¿Cuánto mide la cuerda dibujada en el círculo? ● ¿Cuánto mide la cuerda dibujada en la circunferencia? 2. Traza una circunferencia de 3 cm de radio y dibuja. Dos radios. Dos diámetros. Dos cuerdas. Dos arcos. ● ¿Cuánto mide cada radio que has trazado? ¿Miden todos los radios igual? ● ¿Cuánto mide cada diámetro? ¿Miden todos los diámetros igual? ● ¿Cuánto mide cada cuerda? ¿Miden todas igual? 3. Piensa y contesta. ● Un radio, ¿es una cuerda? ¿Por qué? ● Una cuerda, ¿es un diámetro? ¿Por qué? Circunferencia y círculo. Elementos Recuerda la diferencia entre la circunferencia y el círculo. La circunferencia es una línea curva cerrada y el círculo es una figura plana limitada por una circunferencia. Los elementos de la circunferencia y el círculo son: – Centro. Es el punto que está a igual distancia de cualquier punto de la circunferencia. – Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. – Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. – Cuerda. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. – Arco. Es la parte de circunferencia comprendida entre dos puntos. ar co ra di o centro diámetro cuerda Circunferencia Círculo 124275 _ 0132-0147.indd 136 17/2/09 14:54:18 4. 8. Para trazar la circunferencia que pasa por dos puntos 5. 6. 7. TALLER 124275 _ 0132-0147.indd 137 Otras actividades • Pida a los alumnos que realicen composiciones artísticas usando las construcciones geométricas que conocen: mediatriz, bisectriz, circunferencia que pasa por dos puntos… Realice después una puesta en común comentando algunas. • Solicite a sus alumnos que dibujen una circunferencia con un radio dado. Sin cambiar la abertura del compás, indíqueles que pinchen en un punto de la circunferencia, hagan la marca en la circunferen- cia, pinchen en ese punto marcado y sigan hasta que en la circunfe- rencia haya seis puntos marcados. Hágales ver cómo, si unen las marcas, obtendrán un hexágono regular dentro de la circunferencia (inscrito). Si se unen marcas alternas, se obtiene un triángulo regu- lar (equilátero). Objetivos • Diferenciar entre circunferencia y círculo. • Conocer y trazar los principales elementos de una circunferen- cia y un círculo. • Trazar una circunferencia que pase por dos puntos dados. Sugerencias didácticas Para empezar • Pida a los alumnos que nom- bren objetos usuales que ten- gan forma de circunferencia o círculo, diferenciando claramen- te ambos conceptos. • Recuerde el trazado de la me- diatriz de un segmento realizan- do un ejemplo en la pizarra. Para explicar • Dibuje una circunferencia y un círculo en la pizarra (puede usar el material de aula) y vaya tra- zando y nombrando elementos. Pida a un alumno que salga a la pizarra y que realice el traza- do del Taller con el material de aula. Para reforzar • Solicite a un alumno que salga a la pizarra y que trace una cir- cunferencia (o un círculo) y mar- que en ella dos elementos. Sus compañeros deberán decir qué elementos son. • Pida a los alumnos que memo- ricen la definición de circunfe- rencia y círculo y los elementos de ambos. Aproveche la estra- tegia de la página 51 del ma- nual de ESTUDIO EFICAZ. Competencias básicas Autonomía e iniciativa personal Anime a sus alumnos a usar todo lo que conocen con confianza e iniciativa. Señale que el error es una fuente de aprendizaje. 136 124319 _ 0184-0205.indd 190 9/6/09 15:21:27 ¿Cuánto mide la cuerda dibujada en la circunferencia? 17/2/09 14:54:18 137 10 4. Observa y contesta. Ana ha trazado varias cuerdas desde un mismo punto en una circunferencia de radio 4 cm. ● ¿Qué cuerda es la más larga de todas? ● ¿Con qué elemento de la circunferencia coincide? ● ¿Cuánto mide esa cuerda? 8. RAZONAMIENTO. Observa el dibujo y contesta. Imagina que el diámetro de la circunferencia roja es 6 cm. ● ¿Cuánto mide el diámetro de la circunferencia azul? ● ¿Cuánto mide el diámetro de la circunferencia verde? Para trazar la circunferencia que pasa por dos puntos A y B, sigue estos pasos: 5. Dibuja cada segmento y traza la circunferencia que pasa por sus extremos. ● Un segmento de 7 cm. ● Un segmento de 11 cm. 6. Calca y traza la circunferencia que pasa por cada par de puntos. Ten en cuenta que son tres las circunferencias. 7. Traza. Después, contesta. 1.º Dibuja un triángulo rectángulo de manera que los lados que forman el ángulo recto midan lo mismo. 2.º Traza la circunferencia que pasa por los extremos del lado mayor del triángulo. ● La circunferencia que has trazado, ¿pasa por los tres vértices del triángulo? B A C 1.º Traza con la regla el segmento que une los puntos A y B. 2.º Dibuja con regla y compás la mediatriz del segmento AB. La mediatriz corta al segmento en el punto O. A B B O A B O A TALLER Trazado de la circunferencia que pasa por dos puntos 3.º Dibuja la circunferencia con centro en el punto O y de radio la longitud del segmento OA. Esa circunferencia pasa por A y B. 124275 _ 0132-0147.indd 137 17/2/09 14:54:19 Otras actividades • Entregue a los alumnos una hoja con varias circunferencias dibu- jadas sin marcar sus centros. Explíqueles cómo se puede hallar el centro, y pídales que lo hagan en las circunferencias dadas. 1.º Se marcan tres puntos cualesquiera A, B y C. 2.º Se dibujan las cuerdas AB y BC. 3.º Se trazan las mediatrices de las dos cuerdas. El punto de corte de esas mediatrices de las cuerdas es el centro de la circunferencia. Soluciones 1. • Mide 1 cm. • Mide 3 cm. • Mide 2 cm. • Mide 1,5 cm. 2. • Cada radio mide 3 cm. To- dos los radios miden igual. • Cada diámetro mide 6 cm. Todos los diámetros miden igual. • La longitud es variable. No todas miden igual. 3. • No, porque no une dos pun- tos de la circunferencia. • No necesariamente, porque no tiene por qué pasar por el centro y el diámetro sí pasa. Un diámetro sí es una cuerda. 4. • La que pasa por el centro. • Con el diámetro. • Mide 8 cm. 5. Compruebe los trazados he- chos por los alumnos. 6. 7. • La circunferencia pasa por los tres vértices. 8. • Mide 3 cm. • Mide 1,5 cm. UNIDAD 10 137 C B A 124319 _ 0184-0205.indd 191 9/6/09 15:21:28 138 Clasificación de triángulos 1. Mide los lados de cada triángulo y clasifícalo según sus lados. 2. Clasifica estos triángulos según sus ángulos. Según sean sus lados, los triángulos se clasifican así: Según sean sus ángulos, los triángulos se clasifican en: Equiláteros 3 lados iguales. Isósceles 2 lados iguales. Escalenos 3 lados desiguales. Rectángulos 1 ángulo recto. Acutángulos 3 ángulos agudos. Obtusángulos 1 ángulo obtuso. Los triángulos se clasifican según sus lados y según sus ángulos. Según sus lados pueden ser equiláteros, isósceles o escalenos. ● Según sus ángulos pueden ser rectángulos, acutángulos u obtusángulos. ● A B C D E F A B C D E F 124275 _ 0132-0147.indd 138 17/2/09 14:54:19 Para dibujar un triángulo que tiene un ángulo igual a 35º y los lados que forman ese ángulo miden 2 cm y 3 cm sigue estos pasos: 5. 3. 4. Divide un número natural o un decimal entre 10, 100 y 1.000 CÁLCULO TALLER 124275 _ 0132-0147.indd 139 Otras actividades • Dibuje en la pizarra varios polígonos (o proporciónelos a los alum- nos fotocopiados en una hoja), y pídales que, desde uno de los vér- tices marcados, tracen todas las diagonales posibles. Señale que hemos dividido cada polígono en diferentes triángulos, y clasifique de manera colectiva cada triángulo según sus lados y sus ángulos. En algunos de los polígonos (rectángulo, cuadrado...) puede probar a trazar más de una diagonal marcando otro de los vértices y ana- lizando todos los triángulos que se obtienen. Objetivos • Clasificar triángulos según sus lados y sus ángulos. • Trazar un triángulo, dados un ángulo y dos de sus lados. Sugerencias didácticas Para empezar • Practique en la pizarra, con el material de aula, actividades de trazado de segmentos y de ángulos de una medida dada. Para explicar • Deje claras las dos clasificacio- nes. Comente que al cruzar las categorías de ambas a veces hay triángulos que las verifican (p. e., equilátero y acutángulo) y a veces no (p. e., rectángulo y equilátero). Pida a un alumno que salga a la pizarra y que rea- lice, con el material de aula, el trazado del triángulo propuesto en el Taller. Para reforzar • Pida a los alumnos que tracen, con el método del Taller, un triángulo con un ángulo de 60º y lados de 2 cm y 3 cm, y otro con un ángulo de 60º y lados iguales de 4 cm. Después, soli- cíteles que los clasifiquen. • Aproveche la estrategia sobre realizar esquemas de la página 21 del manual de ESTUDIO EFI- CAZ, y pida a los alumnos que realicen uno con las clasifica- ciones de los triángulos. Competencias básicas Tratamiento de la información Insista en la importancia de la clasificación de la información. Muestre cómo los dibujos de los triángulos nos proporcionan infor- mación sobre ellos que debemos saber obtener a partir de la figu- ra. Señale que en Geometría eso ocurre muy a menudo. 138 124319 _ 0184-0205.indd 192 9/6/09 15:21:29 140 1. Clasifica los siguientes cuadriláteros. 2. Clasifica los paralelogramos de la actividad 1. 3. Piensa y contesta. Justifica tu respuesta. ● Todo paralelogramo, ¿es un cuadrilátero? ● Todo trapezoide, ¿es un cuadrilátero? ● Todo cuadrilátero, ¿es un paralelogramo? ● Todo trapezoide, ¿es un paralelogramo? A B C D E F H J G I Clasificación de cuadriláteros y paralelogramos Los cuadriláteros se clasifican en trapezoides, trapecios y paralelogramos. Los paralelogramos se clasifican en cuadrados, rectángulos, rombos y romboides. Según sean sus lados, los cuadriláteros se clasifican así: Los paralelogramos a su vez se clasifican así según sean sus lados y sus ángulos: Cuadrados ● 4 lados iguales. ● 4 ángulos rectos. Rectángulos ● Lados iguales dos a dos. ● 4 ángulos rectos. Rombos ● 4 lados iguales. ● Ángulos iguales dos a dos. Romboides ● Lados y ángulos iguales dos a dos. Trapezoides Sin lados paralelos. Trapecios 2 lados paralelos. Paralelogramos Lados paralelos dos a dos. 124275 _ 0132-0147.indd 140 17/2/09 14:54:20 141 10 4. Calca los paralelogramos. Escribe debajo su nombre y completa la medida de sus cuatro lados y de cada ángulo marcado. ● ¿Cómo has sabido las medidas de los lados que faltaban? ¿Y de los ángulos? 7. RAZONAMIENTO. Calca los trapecios. Traza en cada uno una línea que lo divida en un romboide y un triángulo. Para dibujar un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 2 cm sigue estos pasos. 5. Dibuja un rectángulo cuyos lados midan 2 cm y 7 cm. 6. ¿Cómo dibujarías un cuadrado de 5 cm de lado? Trázalo. 1.º Dibuja con la escuadra un ángulo de 90º y marca un segmento AB de 5 cm en uno de los lados y en el otro, un segmento AD de 2 cm. 3.º Abre el compás 2 cm, pincha en el punto B y traza un arco. Se corta con el arco anterior en el punto C. 2.º Abre el compás 5 cm, pincha en el punto D y traza un arco. 4.º Une los puntos B y D con C para trazar los lados del rectángulo. Después, colorea el interior. 90º 3 cm 8 cm 120º 90º 140º 4 cm 7 cm 3 cm 7 cm A D B 2 cm 5 cm A D B 2 cm 5 cm A D B 2 cm 5 cm C A D B 2 cm 5 cm C TALLER Trazado de un rectángulo dados sus lados 124275 _ 0132-0147.indd 141 17/2/09 14:54:22 UNIDAD 10 Soluciones 1. A: Trapecio. B: Trapezoide. C: Trapecio. D: Paralelogramo. E: Trapecio. F: Paralelogramo. G: Trapezoide. H: Trapezoide. I: Paralelogramo. J: Paralelogramo. 2. D: Rombo. F: Cuadrado. I: Romboide. J: Rectángulo. 3. • Sí, porque tiene 4 lados. • No, porque hay cuadriláte- ros que no tienen los lados paralelos dos a dos. • Sí, porque tiene 4 lados. • No, porque los trapezoides no tienen lados paralelos. 4. • Por la definición de paralelo- gramo. 5. Compruebe el trazado por par- te de los alumnos. 6. Se trata de seguir el mismo proceso, de manera que los dos lados que forman el ángu- lo recto inicial midan 5 cm. 7. 141 Otras actividades • Pida a los alumnos que en una hoja cuadriculada dibujen el para- lelogramo que ellos elijan. Deberá tener un tamaño adecuado, y dentro de la figura trazarán líneas para dividirlo en diferentes pie- zas que a su vez sean cuadriláteros y/o paralelogramos. Una vez trazadas las líneas, recortarán las piezas y se las intercambiarán con un compañero, que deberá intentar reconstruir la figura inicial, como si de un puzle se tratara, y determinar qué tipo de paralelo- gramo es. También puede variar la actividad de manera que con las piezas dadas formen otros paralelogramos (distintos al inicial) y los clasifiquen. 90º 90º 3 cm 8 cm 8 cm 3 cm Rectángulo 120º 120º 4 cm 4 cm 7 cm 7 cm Romboide 140º 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 90º 90º 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm Cuadrado Rombo140º 124319 _ 0184-0205.indd 195 16/6/09 09:31:57 142 Simetría y traslación 1. Averigua qué figuras no son simétricas respecto de la recta roja y explica por qué. 2. Calca las figuras y repasa solamente las rectas que sean ejes de simetría. ● ¿Cuántas rectas has repasado en cada figura? ● ¿Podrías dibujar en el círculo más rectas que sean ejes de simetría? ● ¿Cuántos ejes de simetría tiene el círculo? 3. Calca y traza. La figura simétrica de la figura verde La figura que se obtiene al trasladar respecto al eje rojo. la figura naranja 10 cuadritos a la izquierda. Si doblamos por la recta roja, las dos manos coinciden. Es una simetría. La recta roja es el eje de simetría y las manos son simétricas. Si doblamos por la recta roja o por la recta azul, las dos partes de la figura coinciden. La recta roja y la recta azul son ejes de simetría de la figura. Si movemos la figura A 8 cuadritos a la derecha, obtenemos la figura B. Realizamos una traslación. A B 124275 _ 0132-0147.indd 142 26/2/09 08:02:32 1. 2. 3. Introducción a la semejanza 124275 _ 0132-0147.indd 143 Otras actividades • Entregue a sus alumnos un dibujo sencillo trazado en una hoja cuadriculada (o pídales que lo realicen ellos a partir de sus indica- ciones). A su lado, con una separación de cuatro o cinco cuadradi- tos, deberán trazar una línea vertical, que será el eje de simetría. Dígales que obtengan la figura simétrica de la original respecto a dicho eje. Puede variar también la posición del eje. • Después, indíqueles que han de trasladar ambas figuras, la inicial y la simétrica, el mismo número de cuadraditos hacia abajo (a la derecha, a la izquierda, hacia arriba…). Hágales ver que las dos figuras obtenidas siguen siendo simétricas. Objetivos • Identificar y trazar figuras simé- tricas respecto a un eje. • Trazar la figura que resulta al aplicar una traslación a una fi- gura dada. Sugerencias didácticas Para empezar • Proporcione a los alumnos distin- tas figuras recortadas y pídales que mediante plegado intenten determinar si son simétricas o no. Para explicar • Muestre cómo el número de ejes de simetría depende de las figuras. Deje claro el tra- zado de las figuras simétrica y trasladada de una figura dada. Competencias básicas Interacción con el mundo físico Hable con sus alumnos sobre las simetrías en la naturaleza y cómo los movimientos en el plano se usan en el arte. Soluciones 1. • Las caras no, cambia el pelo sobre la oreja. • Los jarrones no, están tras- ladados, no son simétricos. 2. • 3, 4 y 4 ejes. • Sí. • Infinitos. 3. 142 124319 _ 0184-0205.indd 196 9/6/09 15:21:32 26/2/09 08:02:32 143 10 1. Copia las cuadrículas 2 y 3 y reproduce la figura amarilla en ellas. 2. Mide en cada figura de la actividad 1 y completa la tabla. Después, contesta. ● ¿Cuánto mide el segmento AB en la figura 1? ¿Y en la figura 2? ¿Qué relación encuentras entre las dos medidas? ● ¿Qué relación encuentras entre las medidas del segmento CD en la figura 1 y en la figura 3? ● ¿Cuánto mide el ángulo Â̂ en la figura 1? ¿Y en la figura 2? ¿Y en la figura 3? ● ¿Es igual el ángulo Â̂ en las tres figuras? ¿Y el ángulo B̂̂? 3. RAZONAMIENTO. Piensa y contesta. Penélope tenía dibujados los dos triángulos rectángulos semejantes de la figura. ¿Cuánto mide el lado mayor del triángulo rojo? Dibuja un triángulo con esas medidas y comprueba tu respuesta. Introducción a la semejanza Mario tenía en la cuadrícula pequeña la figura roja y la ha reproducido en la cuadrícula grande. Las dos figuras tienen la misma forma, pero distinto tamaño. Son figuras semejantes. Mario ha hecho una semejanza. Segmento AB Segmento CD Ángulo A ̂̂ Ángulo B̂̂ Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 1 Figura 2 A ̂̂B̂̂ AB C D F E Figura 3 3 cm 5 cm 6 cm 4 cm 8 cm 124275 _ 0132-0147.indd 143 17/2/09 14:54:24 UNIDAD 10 Objetivos • Reconocer el concepto de figu- ras semejantes. • Trazar en cuadrícula figuras se- mejantes a una figura dada. Sugerencias didácticas Para empezar • Pida a los alumnos que comen- ten qué creen que ocurre cuan- do hacemos reducciones o am- pliaciones de una figura en una fotocopiadora. Para explicar • Señale que las figuras seme- jantes conservan su forma y la amplitud de todos sus ángu- los, pero que la longitud de los lados se altera proporcional- mente: todo lado de la figura obtenida al hacer la semejanza mantiene la relación con su lado correspondiente de la figu- ra inicial (es el doble, la mitad, el triple…). Competencias básicas Aprender a aprender Muestre a sus alumnos cómo los nuevos conceptos se interrelacio- nan con los anteriores, que les sirven como base. Soluciones 1. • Compruebe el trazado hecho por los alumnos. 2. • 1,8 cm; 0,9 cm. En la figura 2 mide la mitad. • En la figura 3 mide el doble. • Siempre mide 90º. • El ángulo es siempre igual. 3. • Mide 10 cm. • Compruebe el trazado hecho por los alumnos. 143 AB CD A^ B^ 1 1,8 1,2 90º 63º 2 0,9 0,6 90º 63º 3 3,6 2,4 90º 63º Otras actividades • Pida a sus alumnos que dibujen, en una hoja cuadriculada de su cuaderno, una figura geométrica sencilla (cuadrados o rectángulos, que pueden ser de medidas dadas por usted). A continuación, diga la relación de semejanza (la figura obtenida es el doble, el triple, un cuarto, un tercio… de la figura inicial) y pida a los alumnos que tracen la figura resultante. • Entregue a los alumnos una hoja con parejas de figuras trazadas sobre cuadrícula. Deberán determinar si son o no semejantes, y si lo son, qué relación hay entre las figuras semejantes. 124319 _ 0184-0205.indd 197 9/6/09 15:21:32