Libro de números complejos, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

¡Descarga Libro de números complejos y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity! UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 'ACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS CON 75 EJERCICIOS RESUELTOS Ing. MARIO RAUL AZOCAR 1969 UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 'ULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS o SUE y dé CUERPO DE LOS COMPLEJOS CON 73 EJERCICIOS RESUELTOS Ing. MARIO RAUL AZOCAR 1969 DEF. 2 Llamaremos grupoide toda pareja (S, *) formada por un conjunto no vacío $ y una operación binaria (*) defini- da en 8. DEF. 3 Una operación binaria (*) definida en un conjunto no vacío S se dice conmutativa si a*tg=g*0g Vaes "pes Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto Z de los ente- ros y consideremos en Él, las dos operaciones siguientes: a*8=0-g%+1 5%*4 20 + 1= 21 Enta; ges, como el producto ordinario es conmutativo lo misino ocdere con la operación (*) y como la resta no es conmutativa, la segunda operación tampoco lo es. Así tene- mos: a*g=Bg%*xa0 y ar gxgoa Una operación binaria (*) definida en un conjunto no vacío S, se dice asociativa si (a * 8) *y=0 * (8 *> y GEES, BES, YES Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto IR de los nú- meros reales y definamos en él las operaciones: Q0*rfB=a+gw+5 3*4=3+4+5=12 ao B=2a-B 30o4=6-4=2 Haremos ver que (*) es asociativa, en efecto: a+B+y+10 i (a + 8) *+ y a HB+5)*y=s=a+B+55+Yv14+5 a * (8 * y) am (8 + y + 5) Q+B+y+5+5 a+B+y+10 Contrariamente veamos que (0) no es asociativa (a o B) o y (20 - B) o y 4a - 28 - y ao (8 o y) a o (28 - y) 20 - 28 + 4y DEF. 5 Un grupoide (S, *) tiene elemento identidad para la operación (*) si existe un elemento e£ € S tal que: afe=zertaza Y o 0es De acuerdo a-esta definición es inmediato que el gru- poide ( R, +) admite al cero como elemento identidad, pues: a+0=0+0a=<0 Y a €e IR Contrariamente el grupoide (2*, +) no tiene elemento identidad o elemento neutro, pues el conjunto-»2*, de los enteros positivos, no contiene al cero. También resulta inmediato que el grupoide (IM ) tis- ne al uno «(1)' cómo elemento neutro, pues: le a=a» 1=a Y a E /R DEF. 6 Sea (S, *) un grupoide con elemento identidad €, “un elemento o de S se dice que tiene inverso bajo la pperación (*) si existe en S algún elemento o', tal quer a * oa! =q! *agazeE El grupoide (IR, +) tiene como elemento neutro al cero y cada elemento de” R, es decir cada número real tiene in- verso bajo la operación suma (+), pues sabemos que: a+ (-=0)= (-0)+a=0 Y O 0a€ RR Similarmente el grupoide (IR, *,) tiene como elemento identidad al uno (1) y cada elemento a X% 0 tiene inverso bajo la multiplicación, ya que: a. EEE o = 1 y 0x0 € IR 2. 0  (Ad) Y qo'es tal que a+ta'=€ (M1) a * B =B "ua y a es, ges (M2) la + 8) y = a * (8 * y) V 0€S,BeSs,yres (M3) 4 es, UA Es tal que; ar p=q. Y 08€S . Can “1 -1 (M4) Ya € “o ga es tal que 4.94 (D1) a * (8 + yr)=0*g+as-* y Y 008,858, yes. De acuerdo a esta definición, tenemos que en todo cuer- po (S, +, *) los grupoides (S, +) y (S - le), +) son conmu- . tativos, asoqiatívos, con elemento neutro para, cada operación; (£) para la suma y (4 para la multiplicación. Además cada elemento de ellos, tiene inverso en cada una de las opera- ciones, Finalmente la multiplicación es distributiva sobre la suma. Como ejemplos de campos podemos mencionar los siste- mas (UM, +, -*) y' (MR, +, +) donde D es el conjunto de los racionales y R el conjunto de tos realeg; : Terminaremos estas ideas mostrando que el sistema (S, +, *), donde: s= la+bY5 ]JaenatbeQ  es un campo. - Comencemos verificando que la suma de dos elementos de S es un elemento de S, en efecto si: a=a+bys y B=e+ ads tenemos: atb= (aro + 0rays. es Además los axiomas (Al) y (A2) son inmediatos y obvla- mente el elemento neutro de la operación suma, es € = 0 + 0 Y5. Finalmente el inverso de a = a + bY5 es (-a) = =a - bif5. ciendo ver previamente que el producto de dos elementos de S es un elemento de S. Para: a a+ os y 8= c+ as tenemos ac B= (a + B/5)t0 + ay5) = (ac + 5 bd) + (ad + bo/5 es Los fxiómas: (M1) y (M2) son inmediatos y el elemento neutro para lá multiplicación es y = 1 +0 .« Ahora dado a+ ps A €, busquemos un elemento atox+ y Vs a = tal que: a * aL =. p=-1. Afirmamos que dicho elemento es:  1 _ 1 ca-bVs_ a - b - - pes a = a+ by5 a? - 5p? a? - 5b* a en efecto, tenemos que a? existe, ya que por hipótesis sien- do a y b racionales no debe ocurrir que: al - 5b2= 0, pues si así sucediera llegaríamos a la afirmación contradictoria: E= VS con aeDaAbeD que establece igualdad entre un racional y un irracional. Además: ara = (a+ 9/0 =p pp=1=1+0V5= 0. Finalmente no es difícil verificar el axioma (D1), con lo cual quéda probado que (S, +, *) es un cuerpo. El Cuerpo de lós Complejos. En este párrafo nos proponemos introducir el campo de los números complejos, cuerpo que es de fundamental importan- cía en el estudio de la matemática. DEF. 9 Llamaremos número complejo toda pareja ordenada (x, y) de números reales.  12. pm. (a) 2 +z,= (xs + Xor Yy + y) = (x, + Xy, Ya + yy)=22+ 27 (b) (z, + 22) +2, = (x; +Xor Yy + Y) + 1% 7 Y3) = (Xy FX +Xzs Y +? Yo + Yg) " ' ¡53 + X» + X3r Yi + Ya + y3) = zq+(2)+ 23) (0) 23 +8 = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z (4) z + (2) = (%, y) + (Xx, y) = (x-X, Y > y) = (0, 0)= 0 Corolario El grupoide (t, +) es conmutativo (Al), asociativo (A2), tiene elemento neutro (A3) y cada elemento z € ¿ tiene un inverso (-z) € € (As). DEF. 15 Dado un complejo z = (x, y) A 0, llamaremos recíproco de él, al complejo: =1_ x 22 A Alejo Continuando con la idea de dar al conjunto f de los números complejos la estructura de cuerpo, introduzcamos ahora la operación producto (-) DEF. 16 Dados dos complejos z, = (yr Y) Y 27 = A2rY oy) llamaremos producto de ellos, al complejo: 21 7297 (Xy X2 7 Y1 Yo 1» Xy Yy FX Yo) Teorema 2 tad. Zy "252, 24 (ad. 24 * 29% (X,r Yp) * (Xor Yo) > (A A 7 Y1Y2 + *1Y2*X Y) FAX Ys? M9 Y1+X1 79572041  14. 1). (Z] 7 pd 237 (Ay Xp7 YI Ya, X Ya? Xp Y7) 31 Y3) = z DN error aero 7 (XX 7 Y1Y2%3 7 X] Yot X Y1 Y" FEET rn | A Xp 7 Y] Ya Yz + Xy Yyt Xo Yy Kg) Tr Y T y (41 X2 X3 7 Y2Y3 7 Y1 Y2%3*% Y3r í Po Y 1 Ep Ra Ya + Ya Xz + Y] %o Xy" Yo Ya) (Xqr Yq) * (Ka Xz 7 Yo Yz r XoYzt X3Y2) = 24 * (%y * 23) (lc). zoru= (X, y) (1, 0) = (x- 0, 0 + y) = (X, y) = z de a Nr. XxX Y Xx + y 2 + Ñ ZXY + Xx (5 MO 0) Corolario El grupolde (bt - (18) , -» ) es conmutativo (M1), aso- ciativo (M2), tiene elemento neutro (M3), y cada elemento z / 0 tiene un inverso zle t (má).  17. Observación Entre el cuerpo (Eo, + , ») de los complejos de la forma (x, 0) y el cuerpo (R, +, ») de los números reales, se puede establecer una correspondencia biunívoca que haga corresponder a cada elemento de to un elemento de IR y re- cfprocamente a cada elemento de R un elemento de f¿, en ro real x y al nímero real x, el complejo (x, 0). En estas condiciones los cuerpos (to: +, +) y (RR, +, *) tienen idéntico comportamiento frente a la suma y al producto (Guerpos isomorfos). Sólo hay diferencia de nota- ción, pues operando en el cuerpo tor se tiene: (x, + 0) + (x2, 0) (xy + xr 0) (Ea 01 + gr 0) (y XX 0) Deseosos de tenér un simbolismo ' operatorio simple y expedito, eliminaremos esta teórica dualidad, tomando la definición siguiente:  18. DEF. 18 Los números complejos de la forma (x, 0), o sea de componente imaginaria nula, serán igueles al real x, o sea: (x, 0) =x Y x€ IR De 'acuerdo a esta definición tenemos que; 9 = (0,0) = 0 y u= (1,0) =1 por esta razón en lo sucesivo en lugar de escribir: 2+0=x2 pondremos z+0=2 z.u=z pondremos zo 1l=z Los números complejos de la forma (0, y) se dirán imaginarios y llamaremos unidad imaginaria al complejo: í= (0, 1) Teorema 6 P(x, y) = (px, py) = (X, y)p DM. Pp(x, y) = (pr 0)" (x, y) = (px - 0y , py - 0%) = (px, py)  UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 'ACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS EL CUERPO DE LOS COMPLEJOS CON 75 EJERCICIOS RESUELTOS Ing. MARIO RAUL AZOCAR 1969 UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 'ULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS o SUE y dé CUERPO DE LOS COMPLEJOS CON 73 EJERCICIOS RESUELTOS Ing. MARIO RAUL AZOCAR 1969 DEF. 2 Llamaremos grupoide toda pareja (S, *) formada por un conjunto no vacío $ y una operación binaria (*) defini- da en 8. DEF. 3 Una operación binaria (*) definida en un conjunto no vacío S se dice conmutativa si a*tg=g*0g Vaes "pes Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto Z de los ente- ros y consideremos en Él, las dos operaciones siguientes: a*8=0-g%+1 5%*4 20 + 1= 21 Enta; ges, como el producto ordinario es conmutativo lo misino ocdere con la operación (*) y como la resta no es conmutativa, la segunda operación tampoco lo es. Así tene- mos: a*g=Bg%*xa0 y ar gxgoa Una operación binaria (*) definida en un conjunto no vacío S, se dice asociativa si (a * 8) *y=0 * (8 *> y GEES, BES, YES Veamos un ejemplo. Tomemos el conjunto IR de los nú- meros reales y definamos en él las operaciones: Q0*rfB=a+gw+5 3*4=3+4+5=12 ao B=2a-B 30o4=6-4=2 Haremos ver que (*) es asociativa, en efecto: a+B+y+10 i (a + 8) *+ y a HB+5)*y=s=a+B+55+Yv14+5 a * (8 * y) am (8 + y + 5) Q+B+y+5+5 a+B+y+10 Contrariamente veamos que (0) no es asociativa (a o B) o y (20 - B) o y 4a - 28 - y ao (8 o y) a o (28 - y) 20 - 28 + 4y DEF. 5 Un grupoide (S, *) tiene elemento identidad para la operación (*) si existe un elemento e£ € S tal que: afe=zertaza Y o 0es De acuerdo a-esta definición es inmediato que el gru- poide ( R, +) admite al cero como elemento identidad, pues: a+0=0+0a=<0 Y a €e IR Contrariamente el grupoide (2*, +) no tiene elemento identidad o elemento neutro, pues el conjunto-»2*, de los enteros positivos, no contiene al cero. También resulta inmediato que el grupoide (IM ) tis- ne al uno «(1)' cómo elemento neutro, pues: le a=a» 1=a Y a E /R DEF. 6 Sea (S, *) un grupoide con elemento identidad €, “un elemento o de S se dice que tiene inverso bajo la pperación (*) si existe en S algún elemento o', tal quer a * oa! =q! *agazeE El grupoide (IR, +) tiene como elemento neutro al cero y cada elemento de” R, es decir cada número real tiene in- verso bajo la operación suma (+), pues sabemos que: a+ (-=0)= (-0)+a=0 Y O 0a€ RR Similarmente el grupoide (IR, *,) tiene como elemento identidad al uno (1) y cada elemento a X% 0 tiene inverso bajo la multiplicación, ya que: a. EEE o = 1 y 0x0 € IR 2. 0  (Ad) Y qo'es tal que a+ta'=€ (M1) a * B =B "ua y a es, ges (M2) la + 8) y = a * (8 * y) V 0€S,BeSs,yres (M3) 4 es, UA Es tal que; ar p=q. Y 08€S . Can “1 -1 (M4) Ya € “o ga es tal que 4.94 (D1) a * (8 + yr)=0*g+as-* y Y 008,858, yes. De acuerdo a esta definición, tenemos que en todo cuer- po (S, +, *) los grupoides (S, +) y (S - le), +) son conmu- . tativos, asoqiatívos, con elemento neutro para, cada operación; (£) para la suma y (4 para la multiplicación. Además cada elemento de ellos, tiene inverso en cada una de las opera- ciones, Finalmente la multiplicación es distributiva sobre la suma. Como ejemplos de campos podemos mencionar los siste- mas (UM, +, -*) y' (MR, +, +) donde D es el conjunto de los racionales y R el conjunto de tos realeg; : Terminaremos estas ideas mostrando que el sistema (S, +, *), donde: s= la+bY5 ]JaenatbeQ  es un campo. - Comencemos verificando que la suma de dos elementos de S es un elemento de S, en efecto si: a=a+bys y B=e+ ads tenemos: atb= (aro + 0rays. es Además los axiomas (Al) y (A2) son inmediatos y obvla- mente el elemento neutro de la operación suma, es € = 0 + 0 Y5. Finalmente el inverso de a = a + bY5 es (-a) = =a - bif5. ciendo ver previamente que el producto de dos elementos de S es un elemento de S. Para: a a+ os y 8= c+ as tenemos ac B= (a + B/5)t0 + ay5) = (ac + 5 bd) + (ad + bo/5 es Los fxiómas: (M1) y (M2) son inmediatos y el elemento neutro para lá multiplicación es y = 1 +0 .« Ahora dado a+ ps A €, busquemos un elemento atox+ y Vs a = tal que: a * aL =. p=-1. Afirmamos que dicho elemento es:  1 _ 1 ca-bVs_ a - b - - pes a = a+ by5 a? - 5p? a? - 5b* a en efecto, tenemos que a? existe, ya que por hipótesis sien- do a y b racionales no debe ocurrir que: al - 5b2= 0, pues si así sucediera llegaríamos a la afirmación contradictoria: E= VS con aeDaAbeD que establece igualdad entre un racional y un irracional. Además: ara = (a+ 9/0 =p pp=1=1+0V5= 0. Finalmente no es difícil verificar el axioma (D1), con lo cual quéda probado que (S, +, *) es un cuerpo. El Cuerpo de lós Complejos. En este párrafo nos proponemos introducir el campo de los números complejos, cuerpo que es de fundamental importan- cía en el estudio de la matemática. DEF. 9 Llamaremos número complejo toda pareja ordenada (x, y) de números reales.  12. pm. (a) 2 +z,= (xs + Xor Yy + y) = (x, + Xy, Ya + yy)=22+ 27 (b) (z, + 22) +2, = (x; +Xor Yy + Y) + 1% 7 Y3) = (Xy FX +Xzs Y +? Yo + Yg) " ' ¡53 + X» + X3r Yi + Ya + y3) = zq+(2)+ 23) (0) 23 +8 = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z (4) z + (2) = (%, y) + (Xx, y) = (x-X, Y > y) = (0, 0)= 0 Corolario El grupoide (t, +) es conmutativo (Al), asociativo (A2), tiene elemento neutro (A3) y cada elemento z € ¿ tiene un inverso (-z) € € (As). DEF. 15 Dado un complejo z = (x, y) A 0, llamaremos recíproco de él, al complejo: =1_ x 22 A Alejo Continuando con la idea de dar al conjunto f de los números complejos la estructura de cuerpo, introduzcamos ahora la operación producto (-) DEF. 16 Dados dos complejos z, = (yr Y) Y 27 = A2rY oy) llamaremos producto de ellos, al complejo: 21 7297 (Xy X2 7 Y1 Yo 1» Xy Yy FX Yo) Teorema 2 tad. Zy "252, 24 (ad. 24 * 29% (X,r Yp) * (Xor Yo) > (A A 7 Y1Y2 + *1Y2*X Y) FAX Ys? M9 Y1+X1 79572041  14. 1). (Z] 7 pd 237 (Ay Xp7 YI Ya, X Ya? Xp Y7) 31 Y3) = z DN error aero 7 (XX 7 Y1Y2%3 7 X] Yot X Y1 Y" FEET rn | A Xp 7 Y] Ya Yz + Xy Yyt Xo Yy Kg) Tr Y T y (41 X2 X3 7 Y2Y3 7 Y1 Y2%3*% Y3r í Po Y 1 Ep Ra Ya + Ya Xz + Y] %o Xy" Yo Ya) (Xqr Yq) * (Ka Xz 7 Yo Yz r XoYzt X3Y2) = 24 * (%y * 23) (lc). zoru= (X, y) (1, 0) = (x- 0, 0 + y) = (X, y) = z de a Nr. XxX Y Xx + y 2 + Ñ ZXY + Xx (5 MO 0) Corolario El grupolde (bt - (18) , -» ) es conmutativo (M1), aso- ciativo (M2), tiene elemento neutro (M3), y cada elemento z / 0 tiene un inverso zle t (má).  17. Observación Entre el cuerpo (Eo, + , ») de los complejos de la forma (x, 0) y el cuerpo (R, +, ») de los números reales, se puede establecer una correspondencia biunívoca que haga corresponder a cada elemento de to un elemento de IR y re- cfprocamente a cada elemento de R un elemento de f¿, en ro real x y al nímero real x, el complejo (x, 0). En estas condiciones los cuerpos (to: +, +) y (RR, +, *) tienen idéntico comportamiento frente a la suma y al producto (Guerpos isomorfos). Sólo hay diferencia de nota- ción, pues operando en el cuerpo tor se tiene: (x, + 0) + (x2, 0) (xy + xr 0) (Ea 01 + gr 0) (y XX 0) Deseosos de tenér un simbolismo ' operatorio simple y expedito, eliminaremos esta teórica dualidad, tomando la definición siguiente:  18. DEF. 18 Los números complejos de la forma (x, 0), o sea de componente imaginaria nula, serán igueles al real x, o sea: (x, 0) =x Y x€ IR De 'acuerdo a esta definición tenemos que; 9 = (0,0) = 0 y u= (1,0) =1 por esta razón en lo sucesivo en lugar de escribir: 2+0=x2 pondremos z+0=2 z.u=z pondremos zo 1l=z Los números complejos de la forma (0, y) se dirán imaginarios y llamaremos unidad imaginaria al complejo: í= (0, 1) Teorema 6 P(x, y) = (px, py) = (X, y)p DM. Pp(x, y) = (pr 0)" (x, y) = (px - 0y , py - 0%) = (px, py)  19. Además como: p(x, y) = (pr 0)* (x, y) = (x, y)(p, 0) = (x, y)D queda aprobada la tesis propuesta. Teorema 7 (x, y) = x + ly Pm (xX, y) = (x+ 0, 07+y)= (x, 0) + (0, y) (x, y) =x + (0, 1) y = x + ly DEF. 20 Sea z = (x, y) un complejo no nulo y n un entero po- sitivo, entonces: 2221 2d 2 nta Teorema 8 12=-1 ie 1-1 pm. ini is (0, 1) + (0, 1) = (1, 0) =- 1 ¿3 2 . = id=ió+ris= (-1, 0) (0, 1) = (0, -1) = - (0, 1) = -d 4 3 is 1 + i=-= (0, -1) + (0, 1) (1, 0) = 1 22. R(z) os fal osea Xx 5 ya + y? 1 (z) «$ lzl osea y Je + y? Teorema 9 z=0 si y sólo si |z| = 0 pm. siz=0= (0, 0), obviamente se tiene |z| = 0. Re- cÍíprocamente supongamos que |z| = 0, entonces tenemos: 2 2 = = xXx + y“ =0 de donde .x=y=0 osea z= (0, 0) = 0. DEF. 22 Dado un número complejo z = (x, y), llámase complejo conjugado de z, al número complejo Z = (x, - y). Teorema 10 si " [2] = 12) y [21 NE N s ==, > Xx] mo . 5 Tr tu sv x LN . se mn ú 212 + [9] y Teorema 11 Cu Ú (a). 2 + Ni e (bd). 3 + N mi 1 Teorema 12 23, + z= 2x ez ]2/? 2x = 2R(z) (Xx, y) + dx, y) = (2x, 0) (6 yr y) = ey? y +) (2 + y? 0) 2 22 + y? = ¡2 1? TEE IES Dm, la) 24, +z7= ly +2 o TY y2) = (xq yy) + (ego Yg) = 2, + 2, (bz, * 277 (y X97 Yi Ya + *X1Y2*% y1) 2q 0 7 (y Xy Y Ya + "1 Y27 NY) TE pr Y) gr Y) Teorema 13  24, Dm. lay + 2gl%= (2, +23) + (277) = (2,290 6,722 = (2 0 EY? (a + 2) 12,1? lay? de donde tomando la raíz cuadrada positiva se obtiene la tesis: |z, + 22] = [2,1 lz,1 Corolario 27 2) = 0 con 24 XFX O , implica zy= 0 En efecto 2] * 29” 0 implica l2, e z2| = 0, es decir lz,1 lIz¿| = 0 y como lz,1 A 0, resulta que lz,| =0, de donde 2) = 0 Teorema 14 la, + 221 < day) + [2,1 Dm. la, + 271? = (2, + 29) (2 TZ) = (2, + 22) (2, +22) lay +zal?= 2% 0742524202742 02 lz, + 271? la, 1? + [2,12 + (a, * Z7) + (2¿"Z,)  27. Teorema 18 2y 7% * (Xy 7 Ko Yi 7 Y2) SN 6 17 17 %2 +2 p N p 1 y mn 1 = 2 +42) >= (Xy + Yy) + (Xgr - Yo) 21 7 297 (Xy 7 Xgr Yi 7 Y2) (b) (2, SS 29) +23= 2, + Ez2) +27 = 2; + [SADAR 2, Teorema 19 la, E lezl ele, = 22) < leo + 1221 Dm. (a) lz, - 221 = la, + (22) | s Iz,! +i-221 = [2,1 + lz21 (9) lay] = 12, - 27) +zl 5 lz, - zgl + lz21 Aprovechando los resultados obtenidos en (a) y (b) queda: lay) - Izol s lz, - 221 < l2 ) + 12,1 DEF. 24 Dados los complejos 2, = (Xy 1 Y) Y 23 = (Xz+ Y2) A 0, llamaremos cuociente entre Zy Y Zo al pro-  28, ducto de z¡ por el recíproco de 22» Designando este comple- z jo por E , tendremos: 2 N a + 3? AS Teorema 20 z Zy “2 1 1 = - Veo zÁO0 Z> 2, z 2 Dm. Z, "2 z 1 Z . =1_ . cio ll oy 101 AS (24 z) (2) z) = (24 z) (z “+. 2» )= 21" 2) “a Teorema 21 z A v 2> FO Dm. z lz | 1 -1 1 1. EN == = |z2,* z = iz z = |z En z> | 12270 | 1! 2 | | A! 1251 1221 Teorema 22 z z. 1 1 DJ) == $ v 2, H0 Z> a 2 Dm. z <«i 5 -1 a E i = . = . € zz — 2> ) 27 Z> 24 (29) z  29, Teorema 23 E zi Y Ho z Dm 1 1 - - - ¿> £ ERE = (1,0) > z la loz la z 1 Corolario z 1 1 —x=Z2Zz, * = Y z, HO 2) 1 Z> 2 DEF. 25 Sea z= x + iy un compiejo no nulo y n un entero po- sitivo, entonces: - e AA -1.n e ario [ari 7) DEF. 26 Sea 3 = a + ib un complejo y n un entero positivo, llamaremos raíz n-ésima de z = a + lb, a todo complejo (x + ly) tal que: (x + iy)” = a+ ib La raíz n-ésima de un complejo z = a + 1b será indi- cada con cualquiera de las notaciones: 1 Ajo = 2 = (ara? 32. 12,1..2_.1 - - zz E ícos (- 4) + i sen (- 4)) Corolario z = Yr(cos $ + isen 4), implica _ . 1 Z argz = - arg az arg = -argz Teorema 25 p. ¿> . ss . . 2 *2y=ab (cos la + Bl + í sen'a + 8) = ab cis (a + 8) Puesto que 2, > (a cos a, a sen a) y 22 = (b cos 8, b sen 8) aplicando la definición de producto se tiene: Z, * Zz, = lab cos a cos B - ab sen a sen B, , ab cos a sen $8 + ab sen a cos B) Zy "29 (ab cos a + 8 , ab sen E) 24" 23=ab (costa + Bl+ iosenla + E) = ab cis (a + 8) Corolario 1 arg (2, + 27) = arg Z; + arg 2, Corolario 2 Siz = ricos y + i sen $) y k es número entero:  33. ¿E = Y (cos k y + i sen k 6) Corolario 3 (Fórmula de Moivre) (cos a + 1 sen ay = cos ka + is senka Esta igualdad de uso frecuente se obtiene del coro- lario anterior haciendo r = 1. Teorema 26 si 2 = a cis a Y 22" b cis B XA 0, se tiene: z Lh-2 (cos la - Bi+ iosenfa - 8) = ¿cis (a - 8) 2, b hb Dm. De inmediato se tiene; z 1_ 1 _ sis - =*% cz aciso-rpgcis (- 8) 2 2 o sea: 2 n—— y = É cis (a - B) = 5 (cos a - B + io sena - 8) 2 Corolario arg 75% arg, - argz, 34. Teorema 27 Si z = alcos a + io sena) y nes entero positivo: La = 2/2 (cos at ser + 1 sen 2 +2, con k=0, 1, 2, 37 coo... (n- 1) Dm. Sea R/z = w=r (cos y + is sen $), entonces por definición de faíz n-ésima de un complejo tenemos: YA (cos nó + i sen np) = a (cos a + do sen a) de donde: rr =a ny = a + 2k71 donde k es un entero. Despejando r y Y e introduciendo los valores correspondientes en w = r cis $, tenemos: nj5_n a + 2kn a + 2k7 Ni =Ya (cos LGA + dose — E El hecho que k sea un entero cualquiera podría indu- cir a creer que hay tantas raíces n-éximas como se desee. Haremos ver que solamente hay n raíces n-ésimas distintas, que pueden obtenerse, entre otros modos, dando a k los va- lores: 0, 1, 2, 3, +....o, Ín - 1).  37. Corolaríio 3 Las raíces n-ésimas de un número complejo cualquie- rá z, pueden obtenerse multiplicando una de ellas, por ca- da una de las raíces n-ésimas de la unidad. En efecto si Wir War +....., W, son las raíces n-ési- mas de la unidad y Z¿ es una ralz n-ésima de 2, los produc- : w l ...oo.. z : tos z 3" , oYn son tales que 01 Far %g n (217 = (2 yW2) E somo... = (29,97 = Zz es decir son raíces n-ésimas de z, además todas ellas son diferentes. DEF. 29 Una raíz n-ésima w de la unidad, se dirá raíz primi- tiva si Mw yu? w? ynri ya son todas las raíces n-ésimas de la unidad. Refiriéndonos al caso de las raíces cúbicas de la unidad: €“, =1 w, = 5 4-13 w=-0+1v3 ocurre que w, = 1 no es raÍlz primitiva, pero Wa Y Y lo son, 38, pues no es difícil verificar que: 2 3 3 2 3 w= w rn "y = 1 y WWW, “3 = 1 Teorema 28 En la expresión que da las raíces n-ésimas de uno: 9, = cos 2ET + 1 sen 21 k=0, 1, 2, 3, +... (n-1) “w, es raíz primitiva de la unidad si y sólo si k es primo con n. Dm. Todo consiste en determinar el menor exponente natu- ral q tal que: [o = COS gr + losen 2kgr = 1 entonces si q < n, la raíz obviamente no puede ser primiti- va, contrariamente si q > n, la raíz será primitiva, pues tendremos que Y w,, e, ..oops» ea, 1 serán todas raíces de la unidad, siendo además diferentes. Supongamos primero que k y n'no son primos; entonces tendrán un divisor común d, tal que k = pd y n= qd en estas condiciones, tenemos: 39. 55, La suma de dos complejos variables 4 Y 2, dividida por la diferencia de ellos da un imaginario puro. De- muestre que los complejos Zjy Y %Z¿ se desplazan sobre una circunferencia con centro en el origen. Solución Sean los complejos 2, * (xj, X2) Y 22“ (Xa, Ya)» entonces: 24 +2) - (xy + x2) + iy, + yo) ET? TETAS, AY 272 (FE - y, Z, +2 ct hr ty ty y + do il) ly ty) (+) (9,700) 14%, 10% 2*1Y1 "Ya AG AA YO 7977 ” 2 - 2 z -z (%, >= ¿17 + (yy - yo) y para que este complejo sea imaginario puro, debe ser: 2 2 2 2. 2 2 2 2 Xy TX O FYy roya * 0 osea Xy" +Yy PX + Ya resultado que nos muestra que [|z,] = |z,l, o sea 2, Y Zy se desplazan sobre una misma circunferencia con centro en el origen. 56. Un complejo 2z = x + dy se mueve sobre la recta 3x + 4y +5 = 0. Demostrar que el valor mínimo de |z| es uno.  42, camente todo punto (x, y) del plano determina un complejo z= (x, y). De acuerdo a estas ideas se acostumbra a tomar como representación geométrica del complejo z = (x, y) al pun- to (x, y) del plano. De aguí que trabajando con represen- tación geométrica de complejos serán sinónimas las expre- siones: número complejo y punto del plano. Además lo co- rriente entonces, será expresar el complejo por. una letra mayúscula, notación habitual para designar puntos de un plano. Otra representación gráfica corriente para el com- plejo z = (x, y) es el vector del plano xy cuyas proyeccio- nes sobre los ejes sean precisamente los números x e y. Obviamente que para un complejo dado hay infinitos vectores que cumplen tales condiciones, entonces en rigor el comple- jo z = (x, y) queda representado, o quizás mejor aún, repre- senta a la clase de equivalencia de todos los vectores cuyas proyecciones sobre los ejes coordenados son x e y enel orden trivial, y con sentido del origen al punto (x, y)  43. > H (x,y) = x + iy=2z [973 =yx? + y? = |z] 0M= x= |z] cosa DB MA = y = | z] sena Q = arg z= argá. o x M La representación vectorial de un complejo da una natural expresión a la igualdad de complejos, en efecto sabemos que Zj1 = (Xp Y) Y 23= (X2r Y2) son iguales si y sólo si: Xx“ Xx € Y¡ = Yy, “es decir si, geométri- camente hablando, los vectores correspondientes son de i- gual magnitud, dirección y sentido. Representación gráfica de la suma de dos- complejos h A = (ay: az) aytia, b B= (b;- b2) +ib, 1 AFB = (a, +by , aytba) A+B = (a, +b,) + i(a,+b,) la+B] < [a] + [3] 44, Representación gráfica da diferencia de dos complejos A“ B=A3$+ (- B) (1) Para tener el vector BA = A-B basta tomar el vector que une el punto B con el punto A. (2) La distancia entre dos pun- tos dados A y Bose expresa -B por: JA - B] = |B - Al (> la] - lsls la - Bl < lal + [al Representación gráfica del producto de dos complejos P=A*»B A = a(cosa+ i sena) B= b(cos B+ i senf) P=A*'B=abcis (a + $) % (M0A) = 0 4 (MOB) = 8 OM =1 9 (MOP) = 0+B an a SE OP = ab =|A-B] Se construye sobre OB un triángulo OBP semejante al trián- gulo OMA, donde OM = 1l es la unidad tomada en el sistema cartesiano.  e Angulo de dos trazos AB y CD = < (AB, CD) a- 8 arg (B-A) - arg (D-C) _ B-A = arg 5 $=E-6 C £ = arg (€ - B) $ = arg (C - A) c-B Y = arg Ea B Ñ A AS 15 NE  48, Expresión de un punto sobre una recta. Trataremos de expresar mediante operaciones con nú- meros complejos el hecho que un punto P este sobre una rec- ta determinada por dos puntos A y B. 8 ? Si el punto P está entre A y B, tenemos: Arg. 5 : = arg Pas arg (P - B) 8 ar (8) =" Si el punto P no está entre A y B, tenemos: Arg 4 = arg (P - A) - arg (P - B) = (+0) - (+fa)”=0 Esta observación nos garantiza que el complejo (P - A) / (P - B) es real cuando P está sobre la recta AB y recípro- camente, de aquí que condición necesaria y suficiente para que P esté sobre la recta AB es que sea real el complejos e] i ud =Yr con Yr e IR ma mn 49, De aquí despejando P, se obtiene: A - YrB P= Ir E con re IR Considerando que la suma de los coeficientes de A y B es la unidad, en lo sucesivo para expresar que P es un pun- to de la recta AB, usaremos una cualesquiera de las expre- siones: P y aA + bB con a+b=1, ae IR, b€ IR o bien P aAs+ (1 - a) B con a € TR. Observación 1 Si C está sobre la recta determinada por los puntos A y B, ocurrirá que siempre los puntos A, B y C serán coli- neales y para que ello suceda es necesario y suficiente que: C=aA3+ (1 - a) B con ae R o mejor, es necesario y suficiente que: BA + (1l-a)B-C=0 a € IR Ahora considerando que la suma de los coeficientes de A, B y C es cero, podremos decir que: tres puntos A, B y C son colineales si y sólo si existen tres números reales EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS RESUELTOS Calcular: zo = (1+ 1) / (li 15%). Solución a+ao (+ 4)? 4 E 2 UD - Urol - -, 1l+i 1+1 Separar la parte real y la parte imaginaria del complejo 2 =-8/(1-4Í Solución y MY? ato aca ano? adas) 2 3 a+ 15 - 3 (1 + si + 103% + 101% + 51% + 1%)2 141 Si a, b, Cc y. d son reales, usando números complejos demostrar que: (a? + p%(0?+a%) = (ac - ba)? + (ad + be)” Solución (a? + p2) (0? + a?) = (a + 1b) (a - 1b)(c + 1d) (ce - 18) la + ib)(c + 1d) la - ib) (ec - 1d) tac kd, ad + ba)"(lac - bc, -ad -bc) (ac - bar? + (ad + bc)?  2. log a Expresar en la forma a + ib el complejo z = 10 1-1 Solución 2-i log + > - 10 1-1 = E = es = 4 Demostrar que los únicos elementos de t cuyo cuadrado es (-1) son i Y Cid, Solución Sea z = Xx + ly, tal que ze = -1, entonces: 22 qx? - y?, 2xy) = f 1, 0) luego: x? > y? = +1 2xy= 0 Resolviendo el sistema se encuentra; X*"0, yr -1l, +*i así: z = (0, 1) = i y z= (0, "1) = (-1)(0, 1) Determine una ecuación de segundo. grado a coeficientes rea- les, que aámita la solución. S. lo, Dado el complejo z = (a, b) X (0, 0), determinar un com- plejo w = (x, y), tal que z«w« 1 Solución De inmediato tenemos 2 *w= (la, b)»(x, y) = (ax > by, ay + bx) = (1, 0) luego: ax - by= 1 bx + ay= 0 Resolviendo el sistema, se encuentra x= 3 a 3 y = Bs, con a? + p? 0 a + b a + b Así: a -b 1 z w= (5, —]) = (a, - b) = la1? * [21? lz 1? lz 1? 11. Determinar todos los complejos z, tales que 2? = 1, Solución De inmediato tenemos que: 2? = 1, implica 3 2 zz -1=0 O sea tz - 1)(z +2+1)=0 Resolviendo las ecuaciones 2"1=0 Y 2 +2+1=0 12, se encuentra; = = lo =-l1 213 221 0 23 l aia 27 5 (+13) Poniendo como es costumbre Z¿ = W, se encuentra fácil- mente que z¿= we? y ques 1 4+v4 w? =0 Estas igualdades es aconsejable memorizarlas, pues ellas son de frecuente empleo, Si w es una raíz cúbica compleja de la unidad, demostrar que: (1 + w(1 + 2w) (1 + 3w) (1 + 5w) = 21 Solución Efectuando el producto en el primer miembro se obtiene: A= 14 Llw + 41w2 + 61w2 4 304 AS (14 w+w%) + 10w + 100% + 3042 (1 + w + w2) + 31? de donde recordando que en = 1 y 14 w+ y? = 0, resulta: A= 10(1 + w+w%) + 21= 21. De análoga manera demostrar que: (1) (1 we+wó)(l+u- wm) =4 a+ uote (0 (wm -w)(1-w)(-w)=09 (33 1 A w + e _ 3 13, 14, 14) (tx + a + b)(x + aw<+ br?) (a + aw 2) =x0- 3abx + a? + p? Determinar las raíces de la ecuación: 4x> - 3x + 1=0 sabiendo que; 2 3 (x +a + bl(x + ay + bw2) (x + aw+ bw)= x? - 3Jabx +a +p? Solución De acuerdo a la hipótesis dada, las raíces de la ecua- ción: x? - 3abx + a? + p< 0 son; Xy = -(a + b) x= "(aw + bw?) “y = - (aw? + bw) Así para tener las ráices de la ecuación 0 = ax? "3x4 1= e - 3abx + a + p? hastará calcular a y b, sabiendo que: ads pa 14 y dab = 3/4 o sea que: a+ pd 1/2 y api = 1/62 Resolviendo el sistema se encuentra: a = b = 1/2 con lo u cual las raíces buscadas son: Xi XX 1/2, Resolver la ecuación: ze + 12 -8=0 19. 10. Calcular: 8 =i+1+ 12 + 13 $orr rr pi Solución Fácilmente se encuentra que n s=1+1+4+ ..... 3d dot 1-1 e Designando con 4 la expresión "es múltiplo de 4", de- bemos considerar los casos siguientes: la) Sin= 4 tenemos 1” = 1 entonces $8 =0 nd .n (c) Sin= 4 + 2 tenemos 1” = -1 entonces S=1+1 (d) Si n= 4 + 3 tenemos 1” = -i entonces $S= 21 Calcular la suma 2 1 s 1 21+ 31% + 44% + 51% +occcoo + (An) 17 Solución La suma S puede descomponerse en las siguientes sumas parciales: 1 + (4n - 3) Ss 1+ 5494 ....oo + (4n- 3) = ERA ñ 1 S,= 1412 + 6 + 10 + ...c. + (4n2)) = 24072). pg  11. sy = 12 (3474114 0... + (én -1)) = HG ps? Sy 14 + 841240... + 4n) > LA ni? luego: g-4m-2 A m2. .n+4- : 42. ni -2n > 2ni Determinar un complejo z = (x, y) tal que: 2? = p + ia Solución Por hipótesis tenemos (x + 1y)? =p + iq. De aquí igua- lando partes reales e imaginarias se tiene: XxX Y =P 2xy = q y q dáeben tener igual signo, entonces las raíces cua- dradas de (p + iq) son A5$StiB ya taa [ cuando q>0 -A- iB  12. A-1iB Pp =. cuando q<0 A+ 1 3B Calcular: ys- 121 = (3-21) Y3+4i = *(2+1) 21. Calcular p -1728 solución De inmediato se tiene: = T+2km A m1_+2k7r = Xp = 12 (cos ——Á + di >) k=0, 1, 2. _ T T 1 i - Ñ Ra xy = 12 (cos ] + 1 sen 3) dro -.+16y3 x= 12 (cos 1 + iosen 1) 12 = 57 ; EJ 1_i = 4 a x3 = 12 (cos SY + 1 sen 27) 12 (3 33m =0 i6y43 22. Sea k el máximo común divisor de los enteros positivos m y N. Demuestre que las raíces de x* = 1 son raíces de x= 1 y x= 1  26. 15. Demostrar que para todo par de complejos z y w se tiene: lz + wo]? +]z- w? = 2 [212 +2 Jwj? Solución Iz + 1]? = (z + wW(zZ+w = (z + w(2 + v) 2_ = = - Zo. _ 2 2 Ea lz+ wa] = zz +wuozw+zw= z]% + [w]% + (2w+2w) Análogamente se encuentra lz - w/? = ZE + WO ZN ZN [2/2 + [50] 2 - (26 + Zw) y sumando se tiene la tesis propuesta Sabiendo que todo par de complejos 24 Y 2, verifica la igualdad: 2 2 | ! 2 2 2l2,18 + 2 [aJ% = [2 +2) + [2 - 2, demostrar que todo par de complejos a y b verifica la igualdad. la + Ya? - 02] + la - ya? - 2] = las bl + Ja -b] Solución Sea: za + (2? a p? y z¿=a -VYa? el p?, entonces: - - = 2.2 . = p2 23 +t2,= 2a Zy 2), = 2 Ya hb 27 2) b 16. Además: 2 2.1 2,1 f 2,212 2 2,2 bay [9 + [231% = 3 [28% + 3 [2ya?-bóJ% = 2 laj“+r2]af-b%] (1) Por otra parte, aprovechemos (1) y la hipótesis en: da +Yad0? Ja la Yao?) 2 (2,1 + 12,11? 2 2 12,12 +)2,12212,112 W 2! 2 la]? + 2122-02] + 2]p*] 2 Jal? + 210122220? Jaro]? |a-b/%21a+b]|a-b] da+b] + la - bp]? ú De donde tomando la raíz cuadrada positiva de esta igual- dad se tiene la tesis. 28. Sabiendo que todo par de complejos p y q overifica la igualdad: AT? 2772 le + Ye? - q% | + ]p -Vpó - af ]= |p+al + ]p - ql demostrar que todo par de complejos a y b verifica la igualdad: la] + lo] u ¡2 5 P+rVa:b]+]2 5 2 -Va- bl 29. Solución Haciendo: ¡p+tqx=a y p-qr”b, resulta p=(a+bl/2 , qsíta-b1/2 . p-qleaya»b Reemplazando estos valores en la igualdad dada se obtie- ne la igualdad propuesta. si a es un complejo de módulo menor que uno. ( la] < 1), demostrar que: | 1l-az es menor, igual o mayor que 1, según sea |z]| menor, igual o mayor que uno. Solución la-alés (2 - (ET) = fa]? - az - 32 + la? CA la - al? -J1-azl?= (21? - 1241 - fal? con la] < 1 2 ¡PP 1 =1 + dal?-va- dal? con la] < 1 1- az 11 - az E  20. de donde simplificando por cos a/2 que no es nulo, queda: 33. 34. 1+ 1t z= x=r oi con t = tg(a/2) 1l+ it /2 =1t 2 ta Eje “Q ele Si 2 + 1/2 = 2 cos a, demostrar que: + 1/27 = 2 cos na. Solución La condición dada se puede poner en la forma: 2 z" - 22 cosa+d=0 de donde despejando z, se tiene: zo= cos at co: 1, =co0sa*isena y Así entonces tomando únicamente el signo positivo resulta: 2" =cos na + 1 osen na -n Z = cos na - í sen na n -n de donde sumando queda: Zz" +2 = 2 cos na. n Sea p(x) = 0 ak xr un polinomio a coeficientes reales, = tal que plz) = a + ib. Demuestre que p(Z) = a - lb. Solución De inmediato tenemos: 21, 5 22 -n gt A4 2 +82 2 Foco... +a, Z Ú p(z) pz) apt ay % + az (22 dor... + a (27) p(z) = ata 273, 2 PA 2 =p) =a- db pues sabemos que el conjugado de un producto es igual ———————ak producto delos conjugados y el conjugado de una suma ______ es igual a la suma de los conjugados». De aquí se desprende que si una ecuación a coeficientes reales admite una raíz compleja z también admite como ralza Z. 35. Determinar la parte real y la imaginaria de cada uno de los complejos: z =Vi y w=1/Vi. Solución Sea Yi. z = (x, y), entonces: is (0, 1) = e - y? , 2xXy) luego: 2xy = 1 x? - y? = (x + y)(x - y) = 0 La primera de estas ecuaciones nos indica que x e y deben tener el mismo sígno, entonces de la segunda sólo se obtiene x = y. Así tenemos: 2xy = 2x2 = 2y2 = 1 ? x= y=1/y2 de donde: 1 z= y: =sl4_1 -2 (1,1) vz vz yz : 1 1 Y Ya e - i) L -1) Yy=ehe== = Vio 2 1+1 yz" 36. Demuestre que el producto de las n raíces de la ecuación x*=a es p= yal a. la = positivo) Solución Las n raíces de x” = a están dadas por: E SS zen, kx 1, 2, 3,,.. (n-1),n. n Haciendo Ya. =0 y Observando que 21 E 27 = s —= + — w = cos 5 i sen es una raíz n-ésima de la unidad, tenemos: PSX] "XxX" Xzo 0.» X= (ac) + (aio) > (an). (a) nín + 1) n, y1+2+3+,....+n 2 p=a%. w = aw P=a cosín + 1)7 + i sen (n + 1)7 a apa 25. r cos q = cosa - di Y sen $ = sen a elevando al cuadrado y sumando, resulta 40. p? = (cos a ” 132 + nó a = 2(1 - cos au) = 4 en 3 Por otra parte eliminando Y, se tiene: - sena 2 sen 7 “os 5 a . 7 tg ód = —— = - —_—_——_ _ — = - Cot y+= tgly + 3) 1-cosa 2 sen” 5 a e 7 e a 0 =T¿44 Así: r = 2 sen > y $ 7*3 Demostrar que la suma de las raíces cúbicas del complejo z = 23 (1 + 13) es nula. Solución Dando forma polar al complejo obtenemos: z= 23 (1 + 13 = 46 (cos q + i sen Pp de donde: Wf7 = ÁNT6 (cos LALEL + 5 sen 105) k =0, 1, 2 Llamando Z4/ Za Y 23 las raíces, tenemos: a 46 cis z ap 3jas cis E = a 21 = 46 cis El  26. 41. luego: po al 13 T ñ O Py +2) + 273= 3/as (cis 3 + cis -7+ cis — 3 Tm. 6 121 2 ?2*+2= 46 cis y (1 + cis g+tcis 18 1 - (cis 7 3 mí Z, +2 a. ——— + 46 cís z 1 e a 1 - (cis y e d+ 2 + zo = 1280821 - i sen 21 3/16 cis 2 3 1 27 T = coso“ 1 sensy Demostrar que; (1 + i ya)” + (1 - iv” E ¿nt Solución Dando forma polar a los complejos 27 = 1+ 1V3 y z3 1l-i V3, fácilmente se encuentra: 2, = 1 + 1V3=2 (cos y + 1 sen y) 2, =1-1V3=2 (cos F- 1 sen] de donde: (1 + 1V3P = 2% (008 17 + 1 sen A n_n na nr (1 - 113)" = 2% (cos E - 1 sen Y ws u cos ——  27. Sumando estas igualdades se tiene la tesis, ál. Six es número real y n entero positivo, resolver la e- cuación: 1 + ix,n UY = 1 Solución PEE AJ1 = cos EL 1 sen 22 k =0,1,2,...,(n-1) 1+ dx cos El + 1 sen El cos Él + í sen El iTUix 7 _ Kn . KT > XT kt cos ( Ani + i sení El cos 7 7 isen A A A kt s 1 + 1ltg — LE > E] k=0, 1, 2, 3, co.onín- 1) z 1-1itg Así las raíces de la ecuación propuesta son: x= uE para k = 0, 1, 2, 3, +...» (n- 1) 43. Determinar las raíces de la ecuación + D” > (x- 19 =0 46. 30. o = 4t% = 2 cos LL 2 Ya 22 V*1?% ya" En forma similar se obtiene: Zzy +2 Za + Z LA 2 cos BY 3 l = 2 cos Ye 27 2 2 Zy + Zz 2 Finalmente multiplicando miembro a miembro estas igualda- des se tiene la expresión pedida. Usando números complejos demostrar que: sen 4. cos a = dz (cos Ta - cos 5q - 3cos 3a + 3 cos aq) Solución "Tomando el complejo z = cis a de módulo uno, tenemos: Z = Cos qa + iosena z" = cos no + 1iosen na - . 7n zZ= cos a - isena z = cos na - dosen na entonces: z2+Z=2c080 ZP + ZP = 2 cos na E n =n A Z-2z=2isena zZ o - zZ = 2i sen na z 0 2=1 2.71 31. y de aquí que: (2 i sen a)? (2 cos ay? 2-2 (a+ 2? =((z- 2) (ar zo? = (2-29 (2-2) O sea: 16*8 Eta tosva = (rém37 22432? 34.76, (z - 2) 33 (z - z) 128 senta costo = (242 /)+32%% (az 132222 (23423) 23 (27430) 128 senta cos "a 3 47. = 2cos 7a + 6cosa - 6cos 3a - 2cos 50 Finalmente dividiendo por 2 se tiene la tesis. Demostrar que: ta). 32 costa = cos 64 + 6 cos da + 15 cos 2a + 10 m). 128 sen “acosa = sen 80 - 2 sen 6a - 2 sen Demostrar que: Mn cos sen da - 6 sen 2u 4 + COS 20+....+ COS na = q “os == 0 sen 3 2 sn tl a + sen 24 + ....+ sen na = y *en =37 0 sen 3  32. Solución Multiplicando $S por i, y sumando queda: C+3iS.=cisqas+cis2as+ ..... +cisnao cisa (cis ne - 1) cis a - 1 crios cisaslcosm + isenno - 1) cos a + 1 sena - 1 Cris cis a L-2sen? (n a/2)+2i senín a/2)cos (n a/2)) -2sen? (a/2)+2i sen(a/2)cos (a/2) na sen —= C+is=- —— (cos » +1 a+isen24t E a) 2 2 sen 7 Finalmente separando partes reales e imaginarias regultan las igualdades propuestas. Demostrar que: senté C=cos a + cos (a + $) +...+cos (a+h-18)= ÓN TE) sen senzé sen a + sen (a + 8) +...+sen(atn=18)= a PT sen Bel " 35. Solución si "y es una de las raíces n-ésimas de la unidad la pro” gresión geométrica de razón: EW nos dá: 2 ¿1 1 - xIy,n 1 - e + + o ...t - l= i n Wa Wa, w Ñ 1-gw_)w. 1 - xw, 3 v3 adas 9 Dando a j los valores 1, 2, 3, -.... n, obtenemos; ¿m1 + n-2 + n-3 + + 1 1- ya 5 FU her A Wa “7 way w 1 XI a + xn? + a + + - 1 Y we, y nn mo 1 - xw v2 2 2 2 2 n-1 n-2 n-3 n E + 3 Ez terco —= = E "a Ya "a "a "Wa Sumando estas igualdades miembro a miembro y observando que la suma de cada columna del primer miembro es cero, menos la última que es n, resulta: ES ho...+ E J n= (1-x%) +5 - i XWo 1 Wo  51. 52. 36. Si w es una ralz nuésima primitiva de la unidad demostrar que: 1 + w 1-x w—_-x Solución si Wo War War <...1 Wo son las raíces de o. E sabemos que: 1 1 1 n pr o— + $ A rc AS 2 AAA ES w,X 1 NS w¿X 1 W* 1- pe Sea W, = W, entonces: W, = We; e; wo= y" ea w, = w, en 3 Way = y Wy > Paco Wo y la ígualdad anterior se expresa por: A —7— + a ho... + — = —* 1 - we 2 wéx 1-wx 1 - wx 1-x Amplificando la primera fracción por pal, la segunda por 972, la tercera por 4203 y así sucesivamente se tiene: n-1 n-2 + +5 hood w - xXx w ” Xx w- kx 1-x l-ox Si W¡» War Wzr ..... “y $0n las raíces n-ésimas de la u- nidad y k un entero, calcular la suma: 37. >. k k k k 52 ww + Wa + w doo... t w Solución Si k es múltiplo de n, será de la forma k = pn donde p e€s número entero, entonces para todo wj tenemos: = 1 Y j=1,2,3,....n y en este caso la suma pedida es S = n Consideremos ahora el caso en que k noes múltiplo de n. Si a es una raíz primitiva de orden n de la unidad; las demás raíces serán: al, ar, Le... an Entonces tendremos: n k _- ¡mk 1 wa ¿E + a?k + hocccot PK A q=1 ? 1-0 A nk n,k Ahora considerando que a = (a )” = 1, la suma pedida, en este caso resulta ser: S=0 si Us Uyroser., 0 SON las raíces de la ecuación x" = a, calcular la suma: _ k k k s= a + A + 1... + Sa 53. Determine que curva debe recorrer el complejo z para que w= (z + 1)/(z - 1) sea imaginario puro. 40. Solución Sabemos que |z| , geométricamente representa la distancia de z alorigen, Como 2 recorre la recta 3x+4y+5 = 0, el número real |z| es la longitud del trazo que une el punto zz de la recta con el origen. Obviamente este tra- zo |z] tendrá longitud mínima cuando él sea la distancia mínimo |z| =- mm — = 1 57. Un complejo z= x + iy se desplaza en el plano xy de modo que |2z - 1] = |z - 2] , determinar que curva recorre. Solución La condición impuesta se expresa por: |(2x + 1) + 2y1l [tx - 2) + yi] 2 2 (2x - 1)? + dy la - 2324 y Efectuando las operaciones indicadas se obtiene: x% + y” = 1, resultado que nos indica que 2 recorre una o circunferencia con centro en el origen y radio uno. | 41. 58. Determinar el lugar geométrico de un complejo z = x + ly ndición: 1 + 1)2 - (1 + 31)| s 1. Solución. El complejo z es tal que el módulo de: ws (1 +3)(x + 1y) - (1 + 31) = (x - y - 1) + ¿i(x + y - 2) verifica la condición: (x - y - 1D?s (a+ y - 3)? < 1 o sea; pp a-2D2+ (y - 10755 Así el L.G. del complejo z es un circulo de centro (2,1) y radio 1/Yy 2. 59. Si w es una raíz cúbica compleja de la unidad, demostrar que los puntos: son los vértices de un triángulo equilátero. £olución 271 - 27 ñ T Sea w=cos + 1sen 3 = cis E ,/ entonces:  60. 42. uo ya - = is 21 > wo wo (1 wow = 2, Cis $ 2_ A - a 27 23 w l=w wW= (w w)w= Z» cis 3 Así 27 85 Zy rotado en 120% y Zz¿ 88 Z, rotado en 120% o sea 24, 2, Y zy son los vértices de un triángulo equi- látero. Si w es una raíz cúbica compleja de la unidad, demostrar que el triángulo cuyos vértices son: Z, ZW, zw? es equí- látero. Solución Como: 1, w y ul son las tres raíces cúbicas de la uni- dad, los complejos: 2, zw y zw? son las ralces cúbicas del compiejo ax= Za, Siendo Zz, 2w y zw? raíces cúbi- cas de un mismo compiejo,ellas tienen todas el mismo módu- 2] A lo |z | = |zw| = |zw de aquí que los puntos 2, 2w, y qu? están en una misma circunferencia con centro en el origen y radio |z|. Finalmente: arg zw = arg z + 120% arg zw? = arg 2 + 240% Así el triángulo de vértices: Z, ZW y zu? es un trián- gulo equilátero,