libro mankiw principios de economia, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga libro mankiw principios de economia y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! 1 Bloque temático 1. Álgebra 1. Espacio vectorial 2. Espacio euclídeo nℜ M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 1. Vectores y operaciones en nℜ 2. Base y dimensión de nℜ 3. Subespacios vectoriales de nℜ ( ){ }1 2 1 2, , , / , , ,n n na a a a a aℜ = ∈ℜ… … ( ) 2 8,51 4, 2 ∈ℜ − ∈ℜ 3 4 5 , , 6 3 1 4, 7,0, 5  − ∈ℜ    − ∈ℜ    π Ejemplos: Los elementos del conjunto se denominan VECTORESnℜ 1.1 Definición de ℜn 1. Vectores y operaciones en ℜn Consideremos el conjunto: M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2 ( ), n n n nu v u v + ℜ ×ℜ → ℜ → + ∈ℜ    ( )1 2, , , nnu u u u= ∈ℜ  … ( )1 2, , , nnv v v v= ∈ℜ  … ( )1 1 2 2, , ,+ = + + + ∈ℜ   … n n nu v u v u v u v que se calcula: 1.2 Operación interna o suma en ℜn 1. Vectores y operaciones en ℜn Definimos: M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z ( ) 33,0, 2u = − ∈ℜ ( ) 38, 5,10v = − ∈ℜ ( )( ) ( ) 33 8,0 5 , 2 10 11, 5,8+ + − − + = − ∈ℜ Ejemplo: Sumar los siguientes vectores u v+ =  ( ) 21,2u = − ∈ℜ ( ) 26, 5v = − ∈ℜ Ejercicio: Sumar los siguientes vectores u v+ =  1. Vectores y operaciones en ℜn 1.2 Operación interna o suma en ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 5 , , , ,∀ ∈ℜ ∀ ∈ℜ   nu v w λ µ 6. “Asociatividad”: 7. “Distributividad”: ( ) ( )u uλ µ λ µ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅  ( ) u u uλ µ λ µ+ ⋅ = ⋅ + ⋅   1. Vectores y operaciones en ℜn 1.4 Propiedades del espacio ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z En general, cualquier conjunto dotado de una operación interna (suma) y otra externa (producto por escalares) que cumpla estas propiedades se dice que tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL ( )u v u vλ λ λ⋅ + = ⋅ + ⋅    Dado el conjunto de vectores 1 2, , , n mu u u ∈ℜ    … Diremos que nv∈ℜ es COMBINACIÓN LINEAL de los vectores 1 2, , , mλ λ λ∃ ∈ℜ… tales que 1 1 m mv u uλ λ= ⋅ + + ⋅    … 1 2, , , mu u u    … 2.1 Combinación lineal de vectores 2. Base y dimensión de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 6 Ejemplo: Dados los vectores ( ) ( ) 2 1 2 2 3,5 0, 1 u u = ∈ℜ = − ∈ℜ   ( ) 23,2v = − ∈ℜ 1 2,u u   Averiguar si el vector se puede poner como combinación lineal de los vectores ( ) ( ) ( )1 23,2 3,5 0, 1λ λ− = ⋅ + ⋅ − Veamos si existen 2 escalares tales que: 1 2,λ λ 2. Base y dimensión de ℜn 2.1 Combinación lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 1 1 2 3 3 2 5 λ λ λ − =  = −  ( ) ( ) ( )1 23,2 3,5 0, 1λ λ− = ⋅ + ⋅ − 1 1λ = − ( ) 22 5 1 λ= ⋅ − − 2 7λ = − Puesto que hemos encontrado los escalares podemos afirmar que el vector (-3,2) lo podemos poner como combinación lineal de los vectores (3,5) y (0,-1) 1 2,λ λConclusión: 2. Base y dimensión de ℜn 2.1 Combinación lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z En realidad, sería suficiente comprobar que el sistema es compatible 7 Ejercicio: Dados los vectores ( ) ( ) 2 1 2 2 1,1 2, 2 u u = ∈ℜ = − − ∈ℜ   ( ) 23,2v = − ∈ℜ 1 2,u u   Averiguar si el vector se puede poner como combinación lineal de los vectores Veamos si existen 2 escalares tales que: 1 2,λ λ 2. Base y dimensión de ℜn 2.1 Combinación lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z ( ) ( ) ( )1 23,2 1,1 2, 2λ λ− = ⋅ + ⋅ − − Conclusión: 2. Base y dimensión de ℜn 2.1 Combinación lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 10 Los vectores 1 2, , , n mu u u ∈ℜ    … Son LINEALMENTE INDEPENDIENTES Son LINEALMENTE DEPENDIENTES 2. Base y dimensión de ℜn 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores o M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Los vectores 1 2, , , n mu u u ∈ℜ    … son LINEALMENTE INDEPENDIENTES (L.I.) 1 1 2 2 0m mu u uλ λ λ⋅ + ⋅ + + ⋅ =     … 1 2 0mλ λ λ⇒ = = = =… Es decir, si al poner el vector NULO como combinación lineal de los vectores la ÚNICA posibilidad es que TODOS los escalares sean 01 2, , , mu u u    … 2. Base y dimensión de ℜn 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 11 Los vectores 1 2, , , n mu u u ∈ℜ    … Es decir, si al poner el vector NULO como combinación lineal de los vectores ALGÚN escalar puede ser diferente de 01 2, , , mu u u    … son LINEALMENTE DEPENDIENTES (L.D.) 1 1 2 2 0m mu u uλ λ λ⋅ + ⋅ + + ⋅ =     … λ⇒ ≠algún 0j 2. Base y dimensión de ℜn 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Ejemplo: Averiguar si los siguientes vectores son linealmente independientes ( ) ( ) ( ) ( )1 2 30,0,0 0, 1,6 4,0,0 3, 8,0λ λ λ= ⋅ − + ⋅ + ⋅ − Se debe comprobar si la solución del sistema de ecuaciones 1 2 3 0λ λ λ= = =es únicamente ( ) ( ) ( ) 3 1 3 2 3 3 0, 1,6 4,0,0 3, 8,0 u u u = − ∈ℜ = ∈ℜ = − ∈ℜ    2. Base y dimensión de ℜn 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 12 2 3 1 3 1 0 4 3 0 8 0 6 λ λ λ λ λ = +  = − −  =  1 0λ = 3 0λ = 20 4λ=30 8λ= − 2 0λ = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 30,0,0 0, 1,6 4,0,0 3, 8,0λ λ λ= ⋅ − + ⋅ + ⋅ − Conclusión: Por tanto, los vectores son linealmente independientes 2. Base y dimensión de ℜn 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Ejercicio: Averiguar si los siguientes vectores son linealmente independientes ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 3 4,0 1, 1 2,6 u u u = ∈ℜ = − ∈ℜ = ∈ℜ    2. Base y dimensión de ℜn 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 15 Ejercicio: Dados los vectores a) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 3 4,2 2,1 3,5 u u u = ∈ℜ = ∈ℜ = ∈ℜ    2. Base y dimensión de ℜn 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores a) Comprobar si son linealmente dependientes o independientes b) ¿Es posible escribir cualquiera de ellos como combinación lineal de los restantes? M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Conclusión: ( ) ( ) ( )1 23,5 4,2 2,1λ λ= ⋅ + ⋅ 2. Base y dimensión de ℜn 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores b) En cambio, comprobemos si M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 16 Propiedad 2: El vector nulo de nℜ de cualquier conjunto de vectores, pues siempre: es combinación lineal 1 20 0 0 0 mu u u= ⋅ + ⋅ + ⋅     … Por tanto, y como consecuencia de la propiedad 1, cualquier conjunto de vectores que incluya el vector nulo es linealmente dependiente 2. Base y dimensión de ℜn 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Recordemos que, dada una matriz cuadrada de orden n , se puede calcular el determinante de esta matriz: Si n=2: det( ) a b A A c d = = = a bd c⋅ − ⋅ + − M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2.3 Relación con el rango de una matriz 2. Base y dimensión de ℜn Ejemplo: Calcular el determinante 1 5 2 3 = − ( )1 3 5 2 3 10 13⋅ − − ⋅ = − − = − 17 det( ) a b c A A d e f g h i = = = Si n=3: Se puede usar la Regla de Sarrus a e i⋅ ⋅ + − = + c d h+ ⋅ ⋅ + b f g+ ⋅ ⋅ c e g− ⋅ ⋅ b d i− ⋅ ⋅ a f h− ⋅ ⋅ − − M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2.3 Relación con el rango de una matriz 2. Base y dimensión de ℜn Ejemplo: Calcular el determinante 1 3 2 4 0 1 3 1 5 − − = − ( ) ( ) ( )1 0 5 4 1 2 3 1 3⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅ ( ) ( ) ( )2 0 3 1 1 1 3 4 5− ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = 0 8 9 0 1 60 42= + + − + − = − M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2.3 Relación con el rango de una matriz 2. Base y dimensión de ℜn 20 1 2 3 1 2 1 0 1 1 − = − − Calculemos determinantes de submatrices cuadradas de orden 3: M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2.3 Relación con el rango de una matriz 2. Base y dimensión de ℜn Calculemos otros determinantes: 1 2 3 1 2 1 3 1 5 − = Conclusión: M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2.3 Relación con el rango de una matriz 2. Base y dimensión de ℜn 21 Ejercicio: Estudiar cuáles de los vectores siguientes son linealmente independientes ( ) ( ) ( )1, 1,3 , 2, 2,6 1,0,1y− − La matriz que podemos formar con estos vectores es: M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2.3 Relación con el rango de una matriz Como el determinante de orden 3 2. Base y dimensión de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2.3 Relación con el rango de una matriz Como hay determinantes de orden 2 no nulos, como resulta que, por ejemplo, 2. Base y dimensión de ℜn 22 Los vectores 1 2, , , n mu u u ∈ℜ    … Es decir, cuando CUALQUIER vector de ℜn se pueda poner como combinación lineal de los vectores 1 2, , , mu u u    … son UN SISTEMA GENERADOR de 1 1 2 2 m mv u u uλ λ λ= ⋅ + ⋅ + + ⋅     … nℜ ∀ ∈ℜ nv 2.4 Sistema de generadores de ℜn 2. Base y dimensión de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Ejemplo: Averiguar si los siguientes vectores forman un sistema generador de ( ) ( ) ( )1 2, 1,1 1, 1x y λ λ= ⋅ + ⋅ − Se debe comprobar si cualquier vector se puede poner como combinación lineal de dichos vectores: ( ),v x y= ( ) ( ) 2 1 2 2 1,1 1, 1 u u = ∈ℜ = − ∈ℜ   2ℜ 2. Base y dimensión de ℜn 2.4 Sistema de generadores de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 25 Los vectores 1 2, , , n mu u u ∈ℜ    … son UNA BASE de nℜ 1) Son vectores linealmente independientes 2) Son un sistema generador de nℜ 2. Base y dimensión de ℜn 2.5 Base de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Ejemplo: Averiguar si los siguientes vectores forman una base del espacio vectorial Se debe comprobar si: 1) Son vectores linealmente independientes 2) Forman un sistema generador de ( ) ( ) 2 1 2 2 4,0 1, 2 u u = ∈ℜ = − ∈ℜ   2ℜ 2ℜ 2. Base y dimensión de ℜn 2.5 Base de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 26 ( ) ( ) ( )1 20,0 4,0 1, 2λ λ= ⋅ + ⋅ − 1) Los vectores serán L.I. si la solución del sistema de ecuaciones 1 2 0λ λ= =es únicamente 1 2 2 0 4 0 2 λ λ λ = +  = −  1 0λ =10 4λ= 2 0λ = Por tanto, los vectores son linealmente independientes 2. Base y dimensión de ℜn 2.4 Base de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2) Comprobamos si forman un sistema generador de 2ℜ los vectores forman un sistema generador de Conclusión: Los vectores (4,0) y (1,-2) forman una base del espacio vectorial 2ℜ 2. Base y dimensión de ℜn 2.5 Base de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Para ello, calculamos el rango de la matriz Como 4 1 0 2    −  4 1 8 0 0 2 = − ≠ − 2ℜ 27 Se denomina BASE CANÓNICA del espacio vectorial al conjunto de n vectores cada uno de los cuales tiene un 1 en alguna componente y 0 en el resto. Se representa por nℜ 1 2, , , n ne e e ∈ℜ    … Ejemplo: La base canónica del espacio está formada por los vectores:2ℜ ( ) ( )1 21,0 0,1e e= =   Ejercicio: La base canónica del espacio está formada por los vectores:3ℜ 2. Base y dimensión de ℜn 2.5 Base de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Todas las bases del espacio tienen el mismo número de vectores nℜ nℜ ( )n nℜ =dim Se denomina dimensión del espacio al número de vectores de una cualquiera de sus bases Por tanto, todas las bases del espacio tendrán 2 vectores Todas las bases del espacio tendrán 3 vectores. Y así sucesivamente 2ℜ 3ℜ 2.6 Dimensión de ℜn 2. Base y dimensión de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 30 Ejercicio: Obtener las componentes del vector en los vectores de la base canónica. ( ) 22,1v = ∈ℜ Conclusión: 2. Base y dimensión de ℜn 2.7 Propiedades de las bases de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z Propiedad 2: Un conjunto de n vectores de nℜ se satisface una cualquiera de las dos condiciones de la definición de base forman una base de 2. Base y dimensión de ℜn 2.7 Propiedades de las bases de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z nℜ Es decir: • n vectores lin. independientes de forman una base nℜ • n vectores generadores de forman una base nℜ 31 Ejercicio: Determinar el valor de a para que los vectores formen una base de ( ) ( ) ( )1,4,3 , 3,0,1 2, , 1y a− − Conclusión: 3ℜ M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2.7 Propiedades de las bases de ℜn 2. Base y dimensión de ℜn Propiedad 3: nℜ 1 2, , , mu u u    …Si son LINEALMENTE INDEPENDIENTES m n⇒ ≤ nℜ m n⇒ ≥son UN SISTEMAGENERADOR de NO son LINEALMENTE INDEPENDIENTES m n> ⇒Si NO son SISTEMA GENERADOR de m n< ⇒Si 2. Base y dimensión de ℜn 2.7 Propiedades de las bases de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z nℜ En el espacio vectorial se cumple que: 32 Ejemplo: Averiguar si los siguientes vectores forman un sistema generador de Conclusión: NO pueden formar un sistema generador de , porque para que lo pueda ser se necesitan, por lo menos, 3 vectores ( ) ( ) 3 1 3 2 3,0, 1 0, 2,8 u u = − ∈ℜ = − ∈ℜ   3ℜ 2. Base y dimensión de ℜn M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 3ℜ 2.7 Propiedades de las bases de ℜn Ejemplo: Averiguar si los siguientes vectores forman un sistema generador de Sí pueden formar un sistema generador, porque para que lo pueda ser se necesitan, por lo menos, 3 vectores. Pero eso no asegura que lo sea. Habría que comprobarlo: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 3 3 3 4 3,0, 1 , 0, 2,8 6,0, 2 , 3, 2,7 u u u u = − ∈ℜ = − ∈ℜ = − ∈ℜ = − ∈ℜ     3ℜ 2. Base y dimensión de ℜn ( ) ( )3 6,0, 2 2 3,0, 1u = − = ⋅ −  ( ) ( ) ( )4 3, 2,7 3,0, 1 0, 2,8u = − = − + −  Conclusión: Sólo hay dos vectores linealmente independientes. Como dos vectores no pueden formar una base de , estos vectores NO forman un sistema generador 3ℜ M at er ia l e la bo ra do po r L. G on zá le z- V ila , F .J . O rt íy J . S áe z 2.7 Propiedades de las bases de ℜn