Lógica matemática, ejercicios de fundamentos de matemática de la Espol resueltos., Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Lógica matemática, ejercicios de fundamentos de matemática de la Espol resueltos. y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! [1] CAPÍTULO UNO Ejercicios propuestos 1.1 Proposiciones 1. Indique si cada enunciado es o no una proposición: a) 7415 es un número par. Sies b) ¿Qué hora es? No es c) Los números divisibles para 8 son divisibles para 2. Si es d) iPare, por favor! No es e) El atardecer en la playa es romántico. No es f) La edad de Gloria es 17 años. Si es 9) Guayaquil es la capital económica de Ecuador. Si es h) Galápagos es considerado Patrimonio Cultural de la Humanidad. Si es 1) Mi familia y yo viajaremos a la Sierra en fin de año. No es j) Ayer estuvo soleado pero hoy llueve torrencialmente. Si es k) Mi palabra se siente levantada por un caballo lírico que salta. No es 1) El mejor gobierno es el que gobierna menos. Si es . Indique cuál de los siguientes enunciados no es una proposición: a) Hubo escasez de lluvias. b) Mi correo electrónico es turista(Mespol.edu.ec c) 53 +4)=36. d) 3 es un número par. e) Turismo. . Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a) ¿Qué estás haciendo? b)3=x=7. Cc) ¡Márchate! d)3+x>7. e) Neil Armstrong caminó sobre la Luna. . Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a) El sabor del color azul es dulce. b) 314159 es un número primo. cd) 2+2+1=0, d) Disparen al ladrón. e) La edad del universo es de unos 15 mil millones de años. . Indique cuál de los siguientes enunciados es una proposición: a) Las rosas me cautivan. d) 45 + 18. b) El amanecer es bello. e) La Química es complicada. c) 4 es divisible para 2. . Dados los siguientes enunciados: I: Disminuya la velocidad. TIT: Mi banca es gris. TI: 10-8=1. TV: Hola, ¿cómo estás?. Es verdad que: a) I y II son proposiciones. d) I y III son proposiciones. b) I y II son proposiciones. e) Todos son proposiciones. c) I y IV son proposiciones. pág.79 1.2 Operadores lógicos 7. Dadas las siguientes proposiciones: a: Elizabeth cumple con sus obligaciones. b: Elizabeth aprueba el examen. e: Elizabeth se va de vacaciones. d: Elizabeth trabaja. e: Elizabeth come. Traduzca literalmente las siguientes proposiciones: D a>s=[b>Gev dl sI Elizabeth cumple con sus obligaciones, entonces no es verdad que si aprueba el examen, entonces nose va de vacaciones o trabaja. ID Ibarz(deo al v (e vd) > (da ed Elizabeth aprueba el examen y no es verdad que trabaja si y solo si no cumpla con sus obligaciones o si va de vacaciones o trabaja, entonces trabaja y come. ID e>[(aod)1(bo-—e8)] Si Elizabeth se va de vacaciones, entonces cumple con sus obligaciones si y solo si trabaje y apruebe el examen si y solo si no coma. IN(arnb)o |levía>=e)] Elizabeth cumple con sus obligaciones y aprueba el examen si y solo si va de vacaciones o si trabaja, entonces no come. 8. Sean las proposiciones: a: Como espinaca. b: La Lógica es fácil. c: Me divierto con este deber. Parafrasee las siguientes proposiciones: aj(arboc b) (baci>a Como espinaca y la lógica es fácil si y solo si me Si la lógica es fácil y me divierto con este deber, divierto con este deber. entonces como espinaca. €) a>(abv=c) si no como espinaca, entonces la lógica es fácil o no me divierto con este deber. 9. Si la disyunción entre dos proposiciones es falsa, entonces la enunciación hipotética entre ellas también es falsa. a) Verdadero b) Falso 10.Si la negación de la disyunción entre dos proposiciones es verdadera, entonces la enunciación hipotética entre ellas también es verdadera. a) Verdadero b) Falso 11. Una contrarrecíproca de la proposición "Si estudio conscientemente, apruebo el curso de nivel cero” es “Si no estudio conscientemente, no apruebo el curso de nivel cero”. a) Verdadero b) Falso 12. Defina simbólicamente las proposiciones e indique la traducción al lenguaje formal: a) La decisión depende del juicio o la intuición, pero no del dinero. c) El Sol brilla porque es el día del amor. a: La decisión depende del juicio n: El sol brilla b:La decisión depende de la intuición. m: Es el día del amor €: La decisión depende del dinero, (a vb) Ac n>m b) Iré al estadio o al cine, en caso de que consiga dinero. — d) A Juan no le agrada este ejercicio, pues no lo puede resolver. Isiré al estadio mm: A juan le agrada este ejercicio. l Iré al cine n: Lo puede resolver. mm: Tengo el dinero mAsn (kv) m 13.Considerando las proposiciones: : La información es correcta. Existe un incremento en los costos de producción. c: El analista tiene Un error de apreciación. Traduzca al lenguaje formal la proposición: La información es incorrecta, sólo si existe un incremento en los costos de producción o el analista tiene un error de apreciación, púg:00 Respuesta: -a> (b vc) 1.3 Proposiciones simples y compuestas 23.Una traducción al lenguaje formal de "Guayaquil mejora su imagen, si la Municipalidad realiza obras o los ciudadanos colaboran en el aseo de las calles”, siendo las proposiciones simples: m: La Municipalidad realiza obras. n: Los ciudadanos colaboran en el aseo de las calles. p: Guayaquil mejora su imagen. es: p>(mv n) a) Verdadero b) Falso 24. Considere las proposiciones simples: a: Utilizo mis habilidades matemáticas. bh: Resuelvo bien los ejercicios. c: Hago un buen deber. La traducción de la proposición compuesta “Es necesario que utilice mis habilidades matemáticas para que resuelva bien los ejercicios y haga un buen deber”, esa (ba c). a) Verdadero b) Falso 25.Una traducción al lenguaje formal de "Mis padres me compran un carro sólo si me porto bien y apruebo este curso”, siendo las proposiciones simples: m: Mis padres me compran un carro. n: Yo me porto bien. p: Yo apruebo este curso. es: (NA p) >m a) Verdadero b) Falso 26.Si la proposición =(pA q Ar) es falsa, entonces la proposición p > (q A 7) es: a) Verdadera b) Falsa olo|r [o [o [o olm [rr [e elo o 27.Si se consideran las siguientes proposiciones simples: m: Viajo al exterior. n: Apruebo el curso de nivel cero. p' Obtengo una beca. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Viajo al exterior sólo si apruebo el curso de nivel cero y obtengo una beca”, es: al=p> (man) d)m> (nap) b)=m>=(n Ap) e) (Map) >m o) =(nA=p)v m pág. 83  28.Si la proposición [(p >=) > (ra=8)] a[p a (ar a s)] es verdadera, entonces es cierto que: a) (p v g) es falsa. d) q es falsa. b) (q A s) es verdadera. e) (p nar) es falsa. O [( vs) a q] es falsa. JAIPA(rAs)l lolo [e [e lolo | [fo [o |» [+ [3 olololulo olo lolo [oJolo lo 29, Sean las proposiciones simples: a: Te gustan las matemáticas. b: Te gusta este deber. Traduzca las siguientes proposiciones compuestas al lenguaje común: a)=a vb Note gustan las matemáticas o no te gusta este deber, b)an=b Te gustan las matemáticas y no te gusta este deber, c)a=sb Si te gustan las matemáticas, entonces te gusta este deber. d)=b>=a Ep ate taa e) (av=a)>b Site gustan las matemáticas o no te gustan las matemáticas, entonces te gusta este deber. 30. Dadas las proposiciones simples: p: Necesito un doctor. r: Tengo un accidente. q: Necesito un abogado. s: Estoy enfermo. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Si estoy enfermo, necesito un doctor; y sitengo unaccidente, necesito unabogado”, es: a) (s >p)a(or> q) d) (svp)a (r> q) E) e) (s >p) (rad) OD (sapda(=r> q) 31. Dadas las proposiciones simples: p: La guerra se detiene. q: Sigo estudiando. r: Sigo trabajando. Una negación de la proposición compuesta “Si la guerra se detiene, entonces podré seguir estudiando o trabajando”, es: DEpPpAgQraar dEpygraor ba (pagar) ejalo= (q vr)] CO (pag)ja=r 32. Dadas las proposiciones simples: p: Pedro realizó un paseo en grupo. q: Pedro preparó el mejor informe de la clase. r: Encontré a Pedro visitando el Centro Comercial San Marino. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Pedro realizó un paseo en grupo y preparó el mejor informe de la clase, puesto que lo encontré visitando el Centro Comercial San Marino”, es: abr gor d)r>(+pa g) bir>t+pv=g) e)r>(prg) dEpvag>"r pág. 84 33 .Dadas las proposiciones simples: p: Hoy es domingo. q: Tengo que estudiar teorías de aprendizaje. r: Aprobaré el curso. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta "Hoy es domingo pero tengo que estudiar teorías de aprendizaje, o no aprobaré el curso”, es: dPprgvr d (pa qg)v or bpnraqar Stbrgor )lpvq)vr 34. Dadas las proposiciones simples: 35. 36. “Si estudio Historia o Geografía, entonces estudio Matemáticas”. a: Luis llega a tiempo. b: Luis se levanta temprano. c: Luis desayuna. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta “Para que Luis desayune y llegue a tiempo es necesario que se levante temprano”, es ajc> (an b) d) (en a) >b bMarb)>oc e)l(e>b)ra d)a>(bAc) Dadas las proposiciones simples: m: Se realiza una gran fiesta. nm: Hago bien este deber. p: Mis amigos están de acuerdo. Unatraducción al lenguajeformal de la proposición compuesta"Serealiza una gran fiesta sólo si hago bien este deber y mis amigos están de acuerdo”, es a) (nap) >m d)m> (nap) b)=p> (man) e) =m>-=(na p) Q)aMa=p) ym Dadas las proposiciones simples: p: Estudio Historia. q: Estudio Geografía. r: Estudio Matemáticas. Empleando tablas de verdad, identifique una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta "Si estudio Historia o Geografía, entonces estudio Matemáticas”. . d) =r>(pAg) D)=p> (Ar) 8) 15 Epar) Dlp>NA=q prg>r r Y a 1 1 o E o 1 o 1 (b>ndAla>r 1 44.Si la forma proposicional f(p, q, r, s) es una contradicción, entonces 1£(,0,1,1) >(0,1,0,0)] =0. a) Verdadero b) Falso 45.Si p, q y r son variables proposicionales, entonces =p > (q v 1) es una contradicción. a) Verdadero b) Falso 46.Si p, q y r son variables proposicionales, entonces [Gev Qda Gro ql> (p > r) es una forma proposicional tautológica. a) Verdadero b) Falso 47. Identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es tautológica: a) ha>=pP)>GHpvg) díp>a> (4 >p) b) (2 vd > (Hp >4) Slergarlo[Evna(vr)] dlb=DApl] >9 1 48. Identifique cuál de las siguientes formas proposicionales es tautológica: aj2(HpAm9) dlprp> gl>q b)5Hp19) e) tbvad>(p19) dpvipag) i 49. Una expresión M, para que la forma proposicional [p a (p > q)] >M sea tautológica, es: 2)png d) =p D=pnaq e)=4 c)p>-q lPn(p> qlo mMs p q pag p>q lpa(p> da) paq Ipalp>dqal>png 0 0 0 1 0 1 k 0 1 0 1 0 o 1 1 0 0 0 0 o 1 1 1 1 1 1 Lt E alpAg p q pAg lpa(p>q)1>pAqg 0 0 0 É o 1 0 + d o 0 É i 1 1 1 50. Identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es tautológica: adlbva>(hHp>9) D)lp=»aA(q> > lv q) > 7] levar. >q Poo pas d) (12-01) >=94 ——> e) l+b>gr1(M0>» > (> r) 51.Si p y q son dos formas proposicionales tautológicas, entonces es verdad que: a) p > q no es una forma proposicional tautológica b) p v =p es una contradicción Cc) 4 >=p es una contingencia d) p A q es una forma proposicional tautológica €) q =p no es una contradicción d)pAg ele ela fo e [o a [ia Lo ele ma > 1.5 Propiedades de los operadores lógicos 52. Empleando álgebra proposicional, identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es tautológica. dleb>grE>s]1> [Ppr7)> (41 5)] Dlanb>1> q JIl>=d11M>D1>(pA7) dl+e=>=31p1>q4 e) (p>0) >=p a qa dro s)1I= (par (q .as)] 6d P 0 o 0 o o o o o Ñ 1 1 1 1 1 1 1 ss as a sa5a 4 1 1 E 1 1 1 1 o o o o 1 1 1 1 53.Dada la proposición: “No estoy satisfecho, puesto que no me dieron el aumento de sueldo”, identifique cuál de las siguientes proposiciones no es ¡ Traducción: y 3 «q b) Si no me dan aumento de sueldo, no estoy satisfecho. A a o c) Si estoy satisfecho, me dan aumento de sueldo. o. 1 1 d) Me dieron aumento de sueldo o no estoy satisfecho. % 0 E e) No me dieron aumento de sueldo sólo si no estoy satisfecho. 54. Empleando álgebra proposicional, identifique cuál de las siguientes formas proposicionales NO es una tautología. a) dolpva>Ep vq) diprabpvrgl ve b) Eprg> 6 v9) e)lpriovol>g (Epa) Y q peas pr a nin 2 ll e MN 55.Considere las variables proposicionales p, q y r. Empleando álgebra proposicional, determine si la forma proposicional (p > q) A=(q > r) es tautología, contradicción o contingencia. 56. Demuestre que la siguiente forma proposicional es tautológica. (=>) >r1> lp >(4> »)] llo >4)>1]> lp > (q > r)] > -(-p V q) Vr] V [=p V (-q Vr)] -l(p-q) Vr] V E p V (-q V r)] [-pV-q V-1] V [=p V-qVr] (=p V =p) V (q V =q) V (21 Vr) pVqV1=pVq > tautológica. PRoroam > oq pq oeste 1 1 q: me dan aumento de sueldo > 1 pro o Rro 57.Empleando álgebra proposicional, determine si las siguientes formas proposicionales son tautología, contradicción o contingencia. al(rasivaos dDirrdDa(p>=4) D) (p >> (a =p) d(vg>lv=pr0] )p>(prq) 58.Empleando álgebra proposicional, determine si las siguientes formas proposicionales son: tautología, contradicción o contingencia. D=prMoa) D(Prigazr Dowr)rb>-=9) MÍi»>=QAr=1]>=r 59.Una negación de la proposición “Me comporto bien en mi hogar sólo si soy un buen hijo” es la proposición “Me comporto bien y no soy un buen hijo”.  71.Para que el razonamiento [p a (p > q)] >C sea válido, la conclusión C puede ser reemplazada por una de las siguientes formas proposicionales: a)=q b) =p 5q 0) paq dprg e) =p 72. Dado el razonamiento (H, A H,) >C, donde: H, : Si estudio, apruebo el curso de nivel cero. Hb: Apruebo el curso de nivel cero y viajo a Galápagos. Una conclusión C que hace válido este razonamiento es: a) No apruebo el curso de nivel cero. b) No estudio y no apruebo el curso de nivel cero. c) Estudio y viajo a Galápagos. d) Apruebo el curso de nivel cero. e) Estudio y no viajo a Galápagos. 73. Dadas las siguientes hipótesis de un razonamiento. Hi: =p>4 > p A=r Hd: =p>"r Una conclusión para que el razonamiento sea válido es: a)pnaq bp >q por d)p>r e)p>(9Ar) 74. Dado el razonamiento (H, 4 H,) > C, donde: H,:Si se concluye con éxito la construcción del nuevo parque en el Barrio del Centenario, se cooperará para el embellecimiento de la urbe. H,:Se cooperará para el embellecimiento de la urbe y se incrementará la captación de más turistas. Una conclusión C que hace válido este razonamiento es: e. c) Se concluye con éxito la construcción del nuevo parque en el Barrio del Centenario y se incrementará la captación de más turistas. d) No se incrementará la captación de más turistas y no se cooperará para el embellecimiento de la urbe. e) Se concluye con éxito la construcción del nuevo parque en el Barrio del Centenario. 75. Dado el razonamiento [H, 1 Ha Hz n Hy¿ ]>C, donde: H,: Si o =$ entonces m($)=45% H;: Si míP) = 45" entonces mía) =902 H,0O B es recto o míB) no es igual a 90 H; Ó no es recto  76. Dadas las siguientes proposiciones: H,: Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Hb:Si Andrés no dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. H3: Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. H,: El reloj está adelantado. 77.Determine si el siguiente razonamiento es o no válido: “Si estudio o si soy un genio, aprobaré el nivel 0. Me permitirán tomar el nivel 100 si apruebo el nivel O. Por lo tanto, no me permiten tomar el nivel 100 sólo si no soy un genio. , H2:dAc c=0 as oi HI:(a Vb) > 0 0n1=0 d>3b=0 bless E (0V0)>1 — (H1AH2)3C > " 0>1=1 (0A1)30=1 Válido 1>0=0 e: aprobaré el nivel 0 78.Sin usar tablas de verdad, determine la validez del siguiente razonamiento: “Si el Congreso asigna los fondos, el proyecto será ejecutado. El Congreso asigna los fondos sólo si hay consenso entre los diputados. No hay consenso entre los diputados. Por lo tanto, el proyecto no será ejecutado”. p: el Congreso asigna los fondos c=0 0 no a a el proyecto será ejecutado a eS r: hay consenso entre los diputados E da Hair 1531=1 ca H2:1>1=1 H3:-0=0 (H1A H2:H3) >C (1 1A1)30 130=0 79.Demuestre que el siguiente razonamiento es válido: “Esta ley será aprobada en esta sesión del Congreso si y sólo si es apoyada por la mayoría legislativa. Es apoyada por la mayoría legislativa o el Presidente de la República se opone a ella. Si el primer mandatario se opone a ella, entonces será pospuesta en las deliberaciones del Congreso Nacional. Por lo tanto, esta ley será aprobada en esta sesión o será pospuesta en las deliberaciones del Congreso Nacional”. p: Esta ley será aprobada en esta sesión del Congreso q: Esta ley es apoyada por la mayoría legislativa r: El Presidente de la República se opone a ella s: Esta ley será pospuesta en las deliberaciones del Congreso Nacional pag.92 Hip H3r>s=1 H2:qvr 0>0=1 H3r> s C:pVs Hi:p>aq 13 0=0 c=0 pvs=0 0v0=0 H2:qVr=1 ovo=1 (H1AH2AH3) >C= (0A 1 A 1)>0= 030=1 Válido 80. Si se tiene un razonamiento con las siguientes hipótesis: H;: La dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas. Hb: Si las medidas económicas son viables, entonces la dolarización no es difícil. p: La dolarización es difícil a e a e as viables, muchas personas no les gust la dolarización” hace vldo.el razonamiento, Co Hi pv-4= HI:pvg Pi A [Hi H2] >€ a A pa 111>30=0 Carp PE 1v1=1 oa No válido 1.7 Demostraciones 81.Para demostrar que p > q es verdadero, por el método de reducción al absurdo, suponemos que —p es verdadero y obtenemos una contradicción con q. a) Verdadero [b) Falso | 0>30=1 82. Utilice el método directo para demostrar que: ad) lpog=b+vgd>(p19) b)=alvg vliap ag) = =p alpSq=(pvq)>[pAq) b)=(pVa) V(-pA0)==p (pVg)>(pAg) Ap Va) v paq) PV a) vto va) (bp A=p)V(p ng) (PA-=0)V (p AQ) -pA(-9V) Ip A-q) V p] A [(-p A -q) vq] -pA1 Ip va) A (q V pJI A [=p Y 9) A (-q Y q)] -p Ba(-qvp) Ale vga 1] q VpA (PV a) (1>pA(p>a) (> aq)a(a>p) pOJ 83. Utilice el método de reducción al absurdo para demostrar las siguientes proposiciones: a) Si (p > q) y p, entonces q. b) Si (p vg) y =q, entonces p. Cc) Si p se cumple, entonces (p vq) se cumple. a) b) o: (e> q) Ap] q [lp V q) A-q] p P>Ipvq) lp Va) Ap]vVa -l(p Va) A-qlVp -pV(pVq) El-pV q) V=p] V q FlpVa) va] vp (-pVp)Vq Ilo A-q) V =p] Vg Ip V-q) V ql vp 1Vq=1 [Cp V =p) A(-q Y =p) V q Icpva)A(qvq)vp 14 (q V =p) Vq Icpva)A1]vp q q V-p) Erva)Jvp (q V=q) V=p EPVp)vq 1V-p=1 1Vg=1