Análisis de las raíces críticas de las funciones g(x,y), f(x,y) y h(x,y) - Prof. Rodolfo, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Análisis de las raíces críticas de las funciones g(x,y), f(x,y) y h(x,y) - Prof. Rodolfo y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! g . f ( x , y )=x3−3x+3 xy2 Solución f x ( x , y )=3 x3−3 x; f y ( x , y )=2 y 3 x3−3 x=0; 2 y=0 3 x (x¿¿2−1)=0 ; x=0 , x=1 , x=−1;2( y−1)=0 ; y=1o y=−1¿ Quienes son los puntos críticos (0,1)(0 ,−1)(1 ,1)(1 ,−1) f x ( x , y )=3 x2−3 x; f y ( x , y )=2 y f xx ( x , y )=6x−3; f yy ( x , y )=2 y ; f xy ( x , y )=0 D ( x , y )=f xx ( x , y )∗f yy (x , y )−(f xy (x , y )) 2 D ( x , y )=(6 x−3 )∗(2 y )−(0 ) 2 =2 (3x−3 ) y D (0,1 )=2 (6∗02−3 )1=−12<0 (0,1) es punto silla D (0 ,−1 )=2 (6∗02−3 ) (−1 )=12>0; f xx (0 ,−1 )=6∗02−3=−3<0 (1 ,−1 ) Es un máximo local. D (1,1 )=2 (6∗12−3 ) (1 )=18>0 ; f xx (1,1 )=6∗12−4=8>0 (1 ,1 ) Es un mínimo local. D (1,−1 )=2 (6∗12−4 ) (−1 )=−18<0 ; (1, -1) es punto silla D (−1,1 )=2 (6∗(−1)2−3 ) (1 )18>0 ; f xx (−1,1 )=6∗(−1)2−3=2>0 (−1 ,−1 ) Es un mínimo local. D (−1 ,−1 )=2 (6∗(−1)2−3 ) (−1 )=−18<0 ; (−1 ,1 )es punto silla i . f (x , y )=x2+2x+4 y+ y Solución f x ( x , y )=2 x2+2 x; f y ( x , y )=4 y2+1 2 x2+2 x=0; 4 y2+1=0 2 x( x¿¿2+1)=0 ; x=0 , x=1 , x=−1 ;4 ( y¿¿2+1)=0 ; y=0o y=1¿¿ Quienes son los puntos críticos (0,1)(0,1)(1 ,1) f x ( x , y )=2 x2+2 x; f y ( x , y )=4 y2+1 f xx ( x , y )=x2+2; f yy ( x , y )=4 y+1 ; f xy ( x , y )=0 D ( x , y )=f xx ( x , y )∗f yy (x , y )−(f xy (x , y )) 2 D ( x , y )=(2x2+2 )∗(4 y )− (0 ) 2 =4 (2 x2−2 ) y D (0,1 )=4 (2∗02+2 )1=−1<0 (0,-1) es punto silla D (0 ,−1 )=4 (2∗02+2 ) (−1 )=1>0 ; f xx (0 ,1 )=2∗02−2=−1<0 (0 ,−1 ) Es un máximo local. D (1,1 )=4 (2∗12+2 ) (1 )=−6<0 ; f xx (1,1 )=2∗122=−1>0 (1 ,−1 ) Es un mínimo local. D (1,1 )=4 (2∗12+2 ) (−1 )=−6<0 ; (1, -1) es punto silla D (−1,1 )=4 (2∗(1)2+2) (1 )=6>0 ; f xx (−1,1 )=2∗(−1)2+2=−1>0 (0 ,1 ) Es un mínimo local. D (0 ,1 )=4 (2∗(1)2+4 ) (1 )=−6<0 ; (0 ,−1 ) es punto silla k . f ( x , y )=x4−2 x2+ y3−3 y Solución f x ( x , y )=4 x3−4 x; f y ( x , y )=3 y2−3 4 x3−4 x=0; 3 y2−3=0 4 x( x¿¿2−1)=0 ; x=0 , x=1 , x=−1 ;3( y¿¿2−1)=0 ; y=1o y=−1¿¿ Quienes son los puntos críticos (0,1)(0 ,−1)(1 ,1)(1 ,−1)(−1 ,1)(−1,−1) f x ( x , y )=4 x3−4 x; f y ( x , y )=3 y2−3 f xx ( x , y )=12 x2−4 ; f yy ( x , y )=6 y ; f xy ( x , y )=0 D ( x , y )=f xx ( x , y )∗f yy (x , y )−(f xy (x , y )) 2 D ( x , y )=(12 x2−4 )∗(6 y )−(0 ) 2 =6 (12 x2−4 ) y