matematicas ejercicios resueltos, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga matematicas ejercicios resueltos y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity! SGAE El presente documento se encuentra depositado en el registro de Propiedad Intelectual de Digital Media Rights con 1D de obra AAA-0181-02-AAA-052242 Fecha y hora de registro: 2014-09-07 17:36:23.0 Licencia de distribución: CC by-nc-sa Queda prohibido el uso del presente documento y sus contenidos para fines que =xcadan los limites establecidos por la licencia de distribución. mas información en http://www. dinrights.com LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es Autora: Raquel Hernández Revisora: María Molero Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO Índice 1. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1.1. CONCEPTO DE ECUACIONES DE 22 GRADO 1.2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 22 GRADO COMPLETAS 1.3. NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE 22 GRADO COMPLETA 1.4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 22 GRADO INCOMPLETAS 1.5. SUMA Y PRODUCTO DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE 22 GRADO 2. OTROS TIPOS DE ECUACIONES 2.1. ECUACIONES BICUADRADAS 2.2. ECUACIONES RACIONALES 2.3. ECUACIONES RADICALES 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1. CONCEPTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.2. CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.3. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 3.4. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN 3.5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN 4. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 4.1. CONCEPTO DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 4.2. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Resumen Los matemáticos han tardado cerca de tres mil años en comprender y resolver ecuaciones tan sencillas y que tu conoces tan bien cómo ax + b = 0. Ya los egipcios resolvían problemas que se pueden considerar de ecuaciones aunque no existía la notación algebraica. El matemático griego Diofanto en el siglo IIl resolvió ecuaciones de primer y segundo grado. En el siglo XV hubo un desafío para premiar a quien resolviera una ecuación de tercer grado. En el siglo XIX se demostró que no existe una fórmula general que resuelva las ecuaciones de quinto grado. Para imponer que la ecuación ax + b = O tenga siempre solución, el conjunto numérico de los números naturales debe ampliarse con los números negativos. Para imponer que la ecuación ax = b tenga siempre solución, el conjunto numérico de los números enteros debe ampliarse con los números fraccionarios. Para imponer que la ecuación x? = a, a > 0, recuerda x? = 2, tenga solución, el conjunto numérico debe ampliarse con los números irracionales. Pero la ecuación x? + 1 = 0, todavía no tiene solución en el conjunto numérico de los números reales. El próximo curso se ampliará el dominio a los números complejos. En este capítulo repasaremos la solución de ecuaciones de segundo grado y sistemas lineales, que ya conoces, y ampliaremos con ecuaciones y sistemas nuevos. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero Www.apuntesmareaverde.org.es e oO] Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF iS Textos Marea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO Ejemplo: ke La ecuación x?— 7x + 10 = 0 tiene como discriminante: A=b?-4ac=(-7)?- 4:1:10=49-40=9>0 Por lo tanto, la ecuación dada tiene 2 soluciones reales y distintas, 2 y 5. (Comprobación: 5? — 7-5 + 10 = 25-35+10=0 y (2)?- 7(2)+ 10=4 - 14 +10=0). ke La ecuación x? — 6x + 9 =0 tiene como discriminante: A=b?-%ac=(-6)- 4:1-9=36-36=0 Por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales. Se puede escribir como: x2- 6x+9=0> (x- 3)? = 0, que tiene la solución doble x= 3. + La ecuación x? + 4x + 10 = 0 tiene como discriminante: A=b?—4ac=(4)?— 4:1-(10) =16- 40=-24<0 Por lo tanto, la ecuación no tiene solución real. Ningún número real verifica la ecuación. 5. Averigua cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones de 22 grado: a)9x?+4x+7=0 b) 3x2 - 5x+2=0 c) x?- 9x-12=0 d)2x?-7x+9=0. 1.4. Resolución de ecuaciones de 22 grado incompletas Recuerda que: Llamamos ecuación de 22 grado incompleta a aquella ecuación de segundo grado en la que el coeficiente b vale O (falta b), o el coeficiente c vale O (falta c). Observa: Si el coeficiente a vale cero no es una ecuación de segundo grado. Ejemplo: ak La ecuación de segundo grado 3x? — 22 = 0 es incompleta porque el coeficiente b = 0, es decir, falta b. a La ecuación de segundo grado 2x? — 7x = 0 es incompleta porque no tiene c, es decir, c = 0. Una ecuación de segundo grado incompleta también se puede resolver utilizando la fórmula de las completas pero es un proceso más lento y es más fácil equivocarse. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF == Textos Narea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO Si el coeficiente b = 0: Despejamos la incógnita normalmente, como hacíamos en las ecuaciones de primer grado: -cC -C -c ad+o=0>at=ee=>x == >Wx=,— =>x=t —. a a a ¿TC ; ; e ¡TC ; ia Si — > 0 tiene dos soluciones distintas, si —< 0 no existe solución. a a Si el coeficiente c = 0: Sacamos factor común: ax? + bx=0 => x-(ax+ b) = 0. Para que el producto de dos factores valga cero, uno de los factores debe valer cero. -b Portantox=0,00ax+b=0>0ax=-b=>x=—. a Resumen Si el coeficiente b = 0, ax? +c=0, despejamos la incógnita: X= +. Si el coeficiente c = 0, ax? + bx = 0, sacamos factor común: x=0 y X= Nm . Ejemplo: a En la ecuación 2x?— 200 =0 falta la b. Para resolverla despejamos la incógnita, es decir, x?: 2x? - 200 = 0 > 2x? = 200 > x? = 200/2 = 100. Una vez que llegamos aquí, nos falta quitar ese cuadrado que lleva nuestra incógnita. Para ello, hacemos la raíz cuadrada en los 2 miembros de la ecuación: x=+/100=+10. Así hemos obtenido las dos soluciones de nuestra ecuación, 10 y -10. En efecto, 2:10? — 200 = 2-100 — 200 =0, y 2-(-10)?— 200 = 2-100-200 =0. Ejemplo: + En la ecuación 3x? — 21x=0 falta la c. Para resolverla, sacamos factor común: 3x? — 21x = 0 > 3x-(x-21) =0 Una vez que llegamos aquí, tenemos dos opciones 1)3x=0=>x=0. 2)x-7=0>x=7. Así hemos obtenido las dos soluciones de la ecuación x=0 y x= 7. En efecto, 3-0? 21:0 =0, y 3-(7)? — 21-7 = 3-49 —21:7 = 147 147=0. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF == Textos Narea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO k Resuelve la ecuación de segundo grado 2? — 50 = 0: Solución: Se trata de una ecuación de 2? grado incompleta donde falta la b. Por lo tanto, despejamos la incógnita: 2x?- 50=0> 2x? =50> x? = 50/2 = 25 > Las soluciones son 5 y -5. E Resuelve la ecuación de segundo grado x? + 11x = 0: Solución: Se trata de una ecuación de 2? grado incompleta donde falta la c. Por lo tanto, sacamos factor común: x? + 11x=0 > x(x + 11) =0. Obtenemos las dos soluciones: x=0yx+11=0=x=-11. Las soluciones son O y -11. 6. Resuelve las siguientes ecuaciones de 22 grado incompletas: a)5x+75x=0 b) 4x2 - 160=0 c)x-64=0 d)3x?+2x=0 e)9x?-49=0 f) 3x2 — 33x=0. 7. Resuelve las siguientes ecuaciones de 22 grado incompletas: a) 3x? + 18x=0 b) 5x?- 180=0 c)x-49=0 d)2x+x=0 e) 4x2-25=0 f) 5x?— 10x=0. 1.5. Suma y producto de las soluciones en una ecuación de segundo grado Recuerda que: Si en una ecuación de segundo grado: x? + bx + c = 0, con a = 1, conocemos sus soluciones: x1 y X2 sabemos que podemos escribir la ecuación de forma factorizada: (x— x1) (x—x2) = 0. Hacemos operaciones: AX XA = 0 a + 2 ox + Xx = 0, por lo que el coeficiente c es igual al producto de las soluciones y la suma de las soluciones es igual al opuesto del coeficiente b, es decir, —b. XiX2=C;X1+X2=-—b. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF Textos Narea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO AE La ecuación x' — 5x2 + 4 = 0 es una ecuación polinómica de cuarto grado, pero con una forma muy especial, es una ecuación bicuadrada, porque podemos transformarla en una ecuación de segundo grado llamando a x? por ejemplo, t. 5+/25-16 5+/9 5+3 2 2 2 Una solución de la ecuación de segundo grado es t =4, y la otra es t= 1. X-=5x2+4=0>t8-5t+4=0>t= Por tanto si t=x?=4, entoncesx=2 yx=-2. Y sit=x?=1, entonces x=1yx=-1. Nuestra ecuación de cuarto grado tiene cuatro soluciones: 2, -2, 1 y —1. 12. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) (x— 7) - (x- 2) * (x+ 5) - (x- 3) - (x- 11) =0 b) 3(x— 5) - (x-7) - (x+ 2) : (x— 3) - (x-4)=0. 13. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: aj-32+2=0 b)x*+12x2+35=0 c)x“-4x-12=0. 14. Resuelve las ecuaciones bicuadradas siguientes: a) -13x+36=0 b) x“-29x? + 100=0 c)x-10x2+9=0 d)x"-26x2+25=0. 2.2. Ecuaciones racionales Si hay incógnitas en el denominador, la ecuación se denomina racional, y se resuelve de forma similar, quitando denominadores. Para resolver ecuaciones racionales, se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ejemplos: 3x-12+9x Ak Resuelve ER 4: x Quitamos denominadores: 3x- 12+9x ——_——=4 > 3x- 12 + 9x=8x > 3x+ 9x- 8x = 12 >4x=12 >x=3. 2x 1 1 1 Para resolver la ecuación racional — + — = 377, Primero calculamos el mínimo común *x-2 x+2 x9-4 múltiplo de los denominadores: m.c.m.(x—2, x + 2,x2- 4) = (x-—2) - (x +2). Multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo, obteniendo la nueva ecuación: (x-2) (x+2), (x-2)- (x+2) _ (x-2)- (x +2) x-2 x4+2 x2-4 Resolvemos dicha ecuación y así obtenemos el resultado: > (x+ 2) + (x-2)= 1. 1 bor2)+ (x= 2)=1>32x=1>3xX= 7+ Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF == Textos Narea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO 15. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: 1 1 1 —-—<0 b 2) xx x-1 ) 4 32, x-13 x-6 x-2 x?2-8x+12 x 6 2.3. Ecuaciones radicales Si hay incógnitas dentro de un radical, la ecuación se denomina irracional, y se resuelve aislando el radical y elevando al cuadrado (o al índice del radical). Ahora es preciso tener una precaución, al elevar al cuadrado, la ecuación obtenida no es equivalente, se pueden haber añadido soluciones. Siempre es conveniente comprobar el resultado, pero en este caso, es necesario. Una ecuación radical o irracional es aquella que tiene la incógnita bajo el signo de la raíz. Para resolver ecuaciones radicales, seguimos los siguientes pasos: 1.- Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2.- Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3.- Si quedan más radicales, se vuelve a despejar uno y se eleva al cuadrado, hasta que no quede ninguno. 4.- Se resuelve la ecuación obtenida. 5.- Se comprueba que la solución es válida. Ejemplo: + Vamos a resolver la ecuación radical /2x-3+1=X. 1.- Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos: V2x-3+1=x > V2x-3=x-1. 2.- Se elevan al cuadrado los dos miembros: V2x-3=x-1>2x-3=(x-1)=>2x-3=x-2x+1. 3.- Se resuelve la ecuación obtenida: 4+(-4)P-4-1-4_ 40 2x-3=x2-2x+1>x2-4x+4=0> x= === 2 doble. 4.- Se comprueba que la solución es válida: 42-2-34+1=2>/1+1=2 >2=2. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es e ven Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF Paca) Textos Marea Verde Revisora: María Molero Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO sk Resuelve la ecuación radical /X+6=—W/X-2=2. 1.- Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales: Ax+6=2+v/x-2. 2.- Se elevan al cuadrado los dos miembros: (ars) =(+/x=2) > x+6=4+4/x24x-2. Se simplifica la ecuación obtenida: x+6=4+4/x-2+x-2 > x+6-4-x+2=4/x-2 > 4=44/x-2. 3.- Volvemos ahora al paso 2 para eliminar la raíz que tenemos aún: a=4/x-2 > 4 =(4/x-2) >16= 16(x-2). 4.- Se resuelve la ecuación obtenida: 16 = 16(x-2)>1=x-2>x=3. 5.- Se comprueba que la solución es válida: dx+6-/x-2=2 > /3+6-/3-2=2 > /9-/1=2>3-1=2>2=2. La solución x = 3 verifica la ecuación. 16. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales: a) V5x+4-1=2x b) /x+19+1=4/2x+4 c) 3/x-1+11=2x. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF Textos Narea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO 5x? +9y=2 A4x-3y=6 Tampoco lo es porque tiene un término en x?, aunque también es un sistema de dos ecuaciones. 22. Razona si son o no sistemas de ecuaciones lineales los siguientes sistemas: a) Txy+5y =2 b) 2y-4x=3 3x-5y=8 3x-5y=-6 3x-4=2y 2x?+3y=5 loriay=o CA 3.2. Clasificación de sistemas de ecuaciones Recuerda que: En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada una de las ecuaciones representa una recta en el plano. Estas rectas pueden estar posicionadas entre sí de tres maneras distintas, lo que nos ayudará a clasificar nuestro sistema en: 1) Compatible determinado: el sistema tiene una única solución, por lo que nuestras rectas son SECANTES 2) Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones, por lo que las rectas son COINCIDENTES 3) Incompatible: el sistema no tiene solución, por lo que las rectas son PARALELAS. y, Compatible determinado Compatible indeterminado Incompatible AE Añade una ecuación a x— 2y = 2 para que el sistema resultante sea: a) Compatible determinado. b) Incompatible. c) Compatible indeterminado. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es O 09009 AAA Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF a Textos Narea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO Solución: a) Para que el sistema sea compatible determinado, añadiremos una ecuación que no tenga los mismos coeficientes que la que nos da el ejercicio. Por ejemplo, x+ y = 1. b) Para que sea incompatible, los coeficientes tienen que ser los mismos pero tener diferente término independiente. Por ejemplo x— 2y =-3. c) Para que sea compatible indeterminado, pondremos una ecuación proporcional a la que tenemos. Por ejemplo 2x-— 4y = 4. “3 2 1 i Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero Wwww.apuntesmareaverde.org.es 090 ES == Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF E) o Textos Narea Verde A Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO 23. Representa los siguientes sistemas y clasifícalos: 2 =4 3x-y=4 3x-9y=9 a) Xx+y b) Xx-y o x-9y -2x+ y=-1 -y+3x=1 2x-6y=6 24. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas y clasifícalos: 2x+y=86 x-y=3 2x-3y=3 b 2) EA Mr o ero 25. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas y clasifícalos: x+y=5 x-y=3 2x-3y=5 b a) ara EM x=1 o) 4x-4y=4 3.3. Resolución de sistemas por el método de sustitución Recuerda que: El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que podremos calcular la incógnita despejada. Con el valor obtenido, obtenemos el valor de la otra incógnita. Ejemplo: 2x-3y=1 , nas _, Porel método de sustitución: x+2y=4 2x-3y=1 2x-3y=1 x+2y=4 x=4-2y E Vamos a resolver el sistema ( Despejamos x de la segunda ecuación: [ y lo sustituimos en la primera: pa > ra > AE pi >y=1 x=3-2y x=3-2y x=3-2y x=3-2y Con el valor obtenido de y, calculamos la x: x=4-2y>x=4-21=2. x*x=2 La solución es: . y=1 2-2-3-1=4-3=1 Comprobamos: 2+2-1=4 Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es e oO AN Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF ZAS textos Narea Ver Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO 5. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 5.1. Concepto de sistema de ecuaciones no lineales Un sistema de ecuaciones es no lineal cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado e +by?=c ax+by=c' Donde a, b, a' y b' son números reales que se denominan coeficientes y c y c' también son números reales llamados términos independientes. Llamamos solución del sistema al par (x, y) de valores que satisfacen las dos ecuaciones del sistema. Ejemplo: E Son sistemas de ecuaciones no lineales, por ejemplo: = 2 = = yz 0 +y=7 al 3 xy=6 x+y=5 x+5y=7 32. Razona si son o no sistemas de ecuaciones lineales los siguientes sistemas: ) x"y+2y=6 b) 5y-x=4 a 2x-3y=1 2x-3y=-1 4x-2=y x+y=2 c) a) 2 3x+5y=2 3x+y*=4 5.2. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales La resolución de este tipo de sistemas se suele hacer por el método de sustitución mediante los siguientes pasos: 1.- Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones, a ser posible de la de primer grado. 2.- Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación. 3.- Se resuelve la ecuación resultante. 4.- Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF == Textos Narea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO . . +y=25 + Vamos a resolver el sistema no lineal x+y=7 1.- Se despeja una incógnita de una de las ecuaciones, a ser posible de la de primer grado: x+y?=25 x+y?=25 > x+y=7 y=7-x 2.- Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación: x+y?=25 x+(7-x)? =25 > y=7-x y=7-x 3.- Se resuelve la ecuación resultante: e +(7-x)? =25 e +49-14x+x*=25 pr -14x+24=0 > > y=7-x y=7-x y=7-x r= 14 + /(-14)” 24 1442 =—— D2MXx1=4X=3. 2-2 4 4.- Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita: Six=3,y=7-3=4 Six=4,y=7-4=3 Las soluciones son (3, 4) y (4, 3). 5.- Comprobación: +y =25 3 +4? =9+16=25 > x+y=7 3+4=7 00 =25 o +3*=16+9=25 > x+y=7 44+3=7 Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF Textos Narea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO 33. Resuelve los siguientes sistemas no lineales: , x:y+2=4x b) y x= 3 x+y=7 y-x=1 5x-3y=1 x-y=12 34. Resuelve los siguientes sistemas y comprueba gráficamente las soluciones: 3 x?- y? b) 7 9 4 y? =17 x+y=3 xy =2 xy=4 a) 12 42y? = 17 e) -y?=5 1) 124 y?=18 x+y=5 xy =6 y=x 35. La trayectoria de un proyectil es una parábola de ecuación: y = —x? + 5x, y la trayectoria de un avión es una recta de ecuación: y = 3x. ¿En qué puntos coinciden ambas trayectorias? Representa gráficamente la recta y la parábola para comprobar el resultado. 36. Resuelve los siguientes sistemas: 2 2 _ 24 y? a) 30 -5y"=-2 b) >0+y=3 Ayuda: Utiliza el método de reducción: 2x* -3y?=-1 5x*-2y?=5 mol y=> x+y-2%=1 c) 3 e) x x+y= 2 x+y=2 Autora: Raquel Hernández Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Revisora: María Molero LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es S fextos Varea Verde Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO 43. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 20 cm y la base mide 4 cm, calcula los lados del triángulo y su área. 44. Una hoja de papel cuadrada se dobla por la mitad. El rectángulo resultante tiene un área de 8 cm?. ¿Cuál es perímetro de dicho rectángulo? 45. Un padre dice: “El producto de la edad de mi hijo hace 5 años por el de su edad hace 3 años es mi edad actual, que son 35 años”. Calcula la edad del hijo. 46. Halla las dimensiones de rectángulo cuya área es 21 m?, sabiendo que sus lados se diferencian en 4 metros. 47. En un triángulo rectángulo el cateto mayor mide 4 cm menos que la hipotenusa y 4 cm más que el otro cateto. ¿Cuánto miden los lados del triángulo? 48. Halla dos números pares consecutivos cuyo producto sea 224. 49. Halla tres números impares consecutivos tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 15. 3.2. Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones Para resolver problemas por medio de sistemas de ecuaciones, primero tendremos que pasar a lenguaje algebraico el enunciado del problema y luego resolverlo siguiendo los siguientes pasos: 1.- Comprender el enunciado. 2.- Identificar las incógnitas. 3.- Traducir el enunciado al lenguaje algebraico. 4.- Plantear el sistema y resolverlo. 5.- Comprobar la solución obtenida. Actividades resueltas Vamos a resolver el siguiente problema: A La suma de las edades de un padre y su hijo es 39 y su diferencia 25. ¿Cuál es la edad de cada uno? Una vez comprendido el enunciado, identificamos las incógnitas que, en este caso, son la edad del padre y el hijo 2.- Edad del padre = x Edad del hijo = y 3.- Pasamos el enunciado a lenguaje algebraico: La suma de sus edades es 39: x+y=39 Y su diferencia 25: x-=y=25 4.- Planteamos el sistema y lo resolvemos por el método que nos resulte más sencillo. En este caso, lo hacemos por reducción: Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero Wwww.apuntesmareaverde.org.es e eS === Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF al Textos Marea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO =39 =39 pr sumamos los > x= 64/2=32 x-y=25 2x+0=64 x+y=39>32+y=39>y=39-32=7. Solución: El padre tiene 32 años y el hijo tiene 7 años. 5.- Comprobación: En efecto, la suma de las edades es 32 + 7 = 39 y la diferencia es 327 =25. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. La suma de las edades de María y Alfonso son 65 años. La edad de Alfonso menos la mitad de la edad de María es igual a 35. ¿Qué edad tienen cada uno? La suma de las edades de Mariló y Javier es 32 años. Dentro de 7 años, la edad de Javier será igual a la edad de Mariló más 20 años. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad? Encuentra dos números cuya diferencia sea 24 y su suma sea 104. Un hotel tiene 42 habitaciones (individuales y dobles) y 62 camas, ¿cuántas habitaciones tiene de cada tipo? En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 cm y las longitudes de sus dos catetos suman 14 cm. Calcula el área del triángulo. Nieves le pregunta a Miriam por sus calificaciones en Matemáticas y en Lengua. Miriam le dice “La suma de mis calificaciones es 19 y el producto 90”. Nieves le da la enhorabuena. ¿Qué calificaciones obtuvo? De un número de tres cifras se sabe que suman 12, que la suma de sus cuadrados es 61, y que la cifra de las decenas es igual a la de las centenas más 1. ¿Qué número es? Se tienen tres zumos compuestos del siguiente modo: El primero de 40 dl de naranja, 50 dl de limón y 90 dl de pomelo. El segundo de 30 dl de naranja, 30 dl de limón y 50 dl de pomelo. El tercero de 20 dl de naranja, 40 dl de limón y 40 dl de pomelo. Se pide qué volumen habrá de tomarse de cada uno de los zumos anteriores para formar un nuevo zumo de 34 dl de naranja, 46 dl de limón y 67 dl de pomelo. 58. 59. 60. 61. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. Cada kg de trigo se vende por 2 €, el de la cebada por 1 € y el de mijo por 0,5 €. Si se vende 200 kg en total y se obtiene por la venta 300 €, ¿cuántos volúmenes de cada cereal se han vendido? Se desea mezclar harina de 2 €/kg con harina de 1 €/kg para obtener una mezcla de 1,2 €/kg. ¿Cuántos kg deberemos poner de cada precio para obtener 300 kg de mezcla? En una tienda hay dos tipos de juguetes, los de tipo A que utilizan 2 pilas y los de tipo B que utilizan 5 pilas. Si en total en la tienda hay 30 juguetes y 120 pilas, ¿cuántos juguetes hay de cada tipo? Un peatón sale de una ciudad A y se dirige a una ciudad B que está a 15 km de distancia a una velocidad de 4 km/h, y en el mismo momento sale un ciclista de la ciudad B a una velocidad de 16 km/h y se dirige hacia A, ¿cuánto tiempo lleva el peatón caminando en el momento del encuentro? ¿A qué distancia de B se cruzan? Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero Wwww.apuntesmareaverde.org.es e eS === Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF DS Textos Marea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO CURIOSIDADES. REVISTA El número de oro está en todas partes ¿Conoces un número irracional cuya parte decimal sea igual a la de su cuadrado? Para encontrarlo debemos resolver la ecuación: x? = x + n, donde n sea un número entero. Imaginemos que n sea igual a 1, entonces: 114144 _ [ 1,618033988749... As =x-1= o = A - 0,618033988749... ¡El número de oro! ¿Conoces un número cuya parte decimal sea igual a la de su inverso? Planteamos de nuevo la ecuación: 1/x= x+ n, donde n sea un número entero. Imaginemos que n sea igual a —1, entonces: 1/x=x-1>1=x*-x>x-x-1=0 ¡Tenemos la misma ecuación de antes! ¡La solución vuelve a ser el número de oro! ¡El número de oro, D, está en todas partes! Ya lo habíamos encontrado en pintura, arquitectura, esculturas, y en la propia naturaleza. Ahora lo encontramos en las ecuaciones. ) Fe romanesco es un conocido ejemplo de fractal. Cada uno de sus trocitos es similar al completo, con un cambio de escala. También está relacionado con el número de oro y la sucesión de Fibonacci. Si contamos las espirales que se forman son dos número sucesivos de la sucesión de Fibonacci, hacia la derecha son 8 y hacia la izquierda son 13. Recuerda la Wal es: 1,1, 2,3, 5, 8, 13... ¿Sabrías calcular x=y/1+ y1+ Y1+ /1+ ? ¿Sabrías calcular x= 1? Es una Hay infinitas raíces cuadradas encadenadas. 1 Como si a infinito le sumo 1 no varía, una 1+ forma de encontrar su valor es volver a sustituir x en la igualdad: x=y/t+x y resolver la ecuación: Ao fracción continua. Hay infinitas fracciones encadenadas. Para calcularla de nuevo e 1 A sustituimos x: X=1+— y resolvemos la x=V14+ Xx XxX =1+x> x 144144 2 ecuación: x? = x+ 1 que ya sabemos que su x=x-1=0>X D solución positiva es D. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 4% B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es Revisora: María Molero Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO RESUMEN Ecuación de segundo grado Ejemplos Es una ecuación algebraica en la que la mayor |-4x? + 5x- 8/3 = 0 potencia de la incógnita es 2. Tiene la forma: a?+bx+c=0 donde a, b y c son números reales, con a+ 0. Resolución de Se usa la fórmula: A=7x+10=0: ecuaciones de _—bix/b*-4ac 7+/49-4-1-10 7+y/9 segundo grado x= 2a x= 2.1 => completas x=5,x2=2 Discriminante A=b*-4ac A= (27)? - 4-1:10 = 49 -40 =9 Número de soluciones de una ecuación de Si A = b? — 4ac > 0, tiene dos soluciones reales y x?— 3x- 4 =0:A=25>0, tiene distintas dos soluciones 4 y —1. Si A = b?-4ac=0, tiene una solución doble. x2-4x+4=0: A =0, tiene una Si A =b?—4ac<0, la ecuación no tiene solución | raíz doble: x = 2. segundo grado x2+3x+8=0:A=-23. No tiene solución real Resolución de Si b = 0, ax? + c=0, despejamos la incógnita: 2x2 -50=0: x=+4/25=+45 ecuaciones de segundo grado 3 - 18x=0 > 3x(x-9)=0> incompletas -b p Sic=0,ax+bx=0:x=0yx=>=— X1=0;x2=9. a Suma y producto Cc -b x2-7x+10=0>x1= 5; x2= 2. , X1X2= —;X1+X2=— de raíces a a Sistema de ecuaci. lineales Clasificación jones ax+by=c 6x+5y=8 ax+b'y=c' 4x-2y=-3 Compatible determinado: Una única solución, el punto de intersección. Las rectas x+2y=5 son secantes: -2x-y=1 Compatible indeterminado: Infinitas soluciones, por lo que las rectas son o x-2y=3 coincidentes: 2x-4y=6 x-2y=3 Incompatible: No tiene solución, las rectas son paralelas: 2x-4y=9 Métodos de Sustitución: despejar una incógnita y sustituir en la otra ecuación. resolución Igualación: despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones. Reducción: sumar las dos ecuaciones, multiplicándolas por números adecuados. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO, Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF == Textos Narea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO EJERCICIOS Y PROBLEMAS Ecuaciones de segundo grado 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de 22 grado a)-x-7x-12=0 b)x(- 5+x)=3 c) 3x? = 30x d) 3(x+ 1) — x(5x +2) =7 e) 3(7x- 2) +3x(x-4)=1 1) 42- 4)-5(3 +2x)=-7 8) (3x + 2)-(4x— 2) =-6x- 2 h) x-(x+ 13) = 168 1) 2(3x? — 5x + 2) — 5x(6x — 3) = 2 2. Resuelve las siguientes ecuaciones de 22 grado con denominadores: 2 2 2 2 x“-3 x+2 x“-5 2x"-3x4+7 2x +1. x+3 a) 2425 b) +5 y EA, 424 2 4 2 2 5 10 2-2x? 4x-3 5 5x-9 2x+3x? 3x-8 d) + == e) - =4x-3 1 ==- =1 3 2 6 3 6 7 14 3. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones de 22 grado: a)x?-3x-10=0 b)x?+3x-10=0 0)+7x+10=0 d)x?-7x+10=0 e)x(-1+x)=0 f) 2? =50 g)x?-5x+6=0 h)2-x-6=0 12+x-6=0 4. Factoriza las ecuaciones del problema anterior. Así, si las soluciones son 2 y 3, escribe: 5x?— 25x+30=0 <> 5(x- 2)-(x— 3) = O. Observa que si el coeficiente de x? fuese distinto de 1 los factores tienen que estar multiplicados por dicho coeficiente. 5. Cuando el coeficiente b es par (b = 2B), puedes simplificar la fórmula: _—bxdb?-dac -2B+/4B?-4ac -2B+2/B”-ac -B+WB?-ac Ñ 2a y 2a y 2a y a x Así para resolver x? — 8x + 12 = 0 basta decir X= 4+/16-12=4+2, luego sus soluciones son 6 y 2. Utiliza esa expresión para resolver: a)x?-2x-8=0 b)x?-6x-7=0 0) 2+4x-5=0 6. Resuelve mentalmente las ecuaciones siguientes, luego desarrolla las expresiones y utiliza la fórmula general para volver a resolverlas. a) (x-2)(x-5)=0 b) (x + 1) (x— 6) =0 C) (x-— 3) (x-5) =0 d) (x- 4)-(x+7)=0 e) (x+ 8) (x-9)=0 1) (x— 2) (x +3) =0 7. Determina el número de soluciones reales que tienen las siguientes ecuaciones de segundo grado calculando su discriminante, y luego resuélvelas. a)x?+7x-3=0 b) 5x?+7x-8=0 0) 2x?+3x+9=0 d) 2x?-2x+7=0 e) 3x?-2x-7=0 1)4+x-5=0 8. Escribe tres ecuaciones de segundo grado que no tengan ninguna solución real. Ayuda: Utiliza el discriminante. 9. Escribe tres ecuaciones de segundo grado que tengan una solución doble. 10. Escribe tres ecuaciones de segundo grado que tengan dos soluciones reales y distintas. Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF == Textos Narea Verde A Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO 11. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: a) -37:+36x=0 b) *-2x-8x=0 c)2x+2x-12x=0 d)xX-5x2+6=0 e) 2x' = 32” -96 1) x(x— 3)(2x + 3)(3x — 5) = 0 12. Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando un cambio de variable: a) +81=82x' b)x”-24x%+ 144 =0 )X-7é-8=0 dx"+8é-9=0 13. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: a) 3x+2=1 per zx OL q ax=2 x 3x 6x x-5 x-2 2-x y 24) y 2 1_5+2X_y y 23_5+3x_, x+2 x-2 x+2 2x x+1 x-1 h) 4 La, 1 ¡ 5x___2x__Xx ¡y 124 TX ox ox-x x-2 x2-4 3 Y 37 -x 14. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales: a) x=-2+V5+4x? b) /16- x=x-4 Cc) 5+1x?-3x+2=2x d) /x-/x-2=5 e) Vi-x-V/x+1+2=0 Ax Je3 x 2 1 : 1 5/x-2+1= h) Vx-2-—_——=2 i)Vx+1+ =3 e VXx+1 ) Vx -2 ) /x-2 15. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 3% = 1 b) 22 = 1 81 1024 Sistemas lineales de ecuaciones 16. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución: ) 4x-3y=1 b x+4y=5 2x+3y=5 a Cc 3x-y=2 2x+5y=7 x+y=2 17. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: a) -3x+2y=-1 ) 5x-2y=1 ) 7x-4y=10 3x-y=2 4x-y=2 -8x+3y =-13 18. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: ) 7x-2y=5 ) 2x+5y=20 3x-6y=0 3x+2y=5 - Xx-6y=-14 = 19. Resuelve de forma gráfica los siguientes sistemas x+y=6 5x+3y=5 3x-y=1 a Y b) y c y X-Y= x-Ty=1 -7x+5y=3 Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es e oO AN Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF ZAS textos Narea Ver Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO 52. En un concurso se ganan 40 euros por cada respuesta acertada y se pierden 80 por cada fallo. Después de 10 preguntas, Carmela lleva ganados 280 euros. ¿Cuántas preguntas ha acertado? 53. Paco ha comprado 5 zumos y 4 batidos por 5,7 €, luego ha comprado 7 zumos y 5 batidos y le han costado 7,8 €. Calcula los precios de ambas cosas. 54. ¿Qué fracción es igual a 1 cuando se suma 1 al numerador y es igual a 1/2 si se suma 2 al denominador? 55. El cociente de una división es 2 y el resto es 1. Si el divisor disminuye en 1 unidad, el cociente aumenta en 1 y el resto nuevo es 1. Hallar el dividendo y el divisor. 56. Dos amigas fueron a pescar. Al final del día una dijo: “Si tú me das uno de tus peces, entonces yo tendré el doble que tú”. La otra le respondió: “Si tú me das uno de tus peces, yo tendré el mismo número de peces que tú”. ¿Cuántos peces tenía cada una? 57. Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área es 35 cm? y cuyo perímetro, 24 cm. 58. Un peatón sale de una ciudad “A” a una velocidad de 4 km/h, y se dirige a una ciudad “B” que está a 20 km de la ciudad “A”, 30 minutos después sale un ciclista de la ciudad “B” a una velocidad de 20 km/h y se dirige hacia “A”, ¿cuánto tiempo lleva el peatón caminando en el momento del encuentro? ¿A qué distancia de “B” se cruzan? 59. Se desea mezclar aceite de 2,7 €/l con otro aceite de 3,6 €/l de modo que la mezcla resulte a 3 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 100 litros de la mezcla? 60. Al intercambiar las cifras de un número de dos cifras se obtiene otro que es 45 unidades mayor. Halla el número inicial. 61. La diagonal de un rectángulo mide 25 cm y el perímetro 70 cm. Halla los lados del rectángulo. 62.Una valla rodea un terreno rectangular de 300 m?. Si la valla mide 70 metros, calcula las dimensiones del terreno. 63. Varios amigos van a hacer un regalo de bodas que cuesta 800 euros, que pagarán a partes iguales. A última hora se apuntan seis amigos más, con lo que cada uno toca a 30 euros menos. ¿Cuántos amigos eran inicialmente? ¿Cuánto pagará al final cada uno? 64. Las diagonales de un rombo se diferencian en 2 cm y su área es de 24 cm?. Calcula su perímetro. 65. Un tren sale de Barcelona hacia Madrid a una velocidad de 200 km/h. Una hora más tarde sale otro tren de Madrid hacia Barcelona a 220 km/h; la distancia entre las dos ciudades es de 618 km. ¿Al cabo de cuánto tiempo se cruzan los dos trenes? ¿A qué distancia de Barcelona? 66. Un coche sale de una ciudad “A” a una velocidad de 100 km/h y 30 minutos más tarde otro coche sale de “A” en la misma dirección y sentido a una velocidad de 120 km/h, ¿cuánto tiempo tardará el segundo en alcanzar al primero y a qué distancia de “A” se produce el encuentro? Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO. Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero Wwww.apuntesmareaverde.org.es e eS === Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF a Textos Marea Verde Ecuaciones y sistemas. 4%B de ESO AUTOEVALUACIÓN 1. La solución de la ecuación 2(x— 3) - 3(X?— 4) = 1 es: a)x=10/31n x=-2 b)x=5/3Ax=-1 c)jx=1nx=-2/3 d)x=3/215 x=-7/6 2. Las soluciones de la ecuación 80 = x(x— 2) son: ajx=8nx=-10 b)x=40nx=2 c)x=105x=-8 d)x=101x=8 3x-1 x+5 x* 3. Las soluciones de la ecuación 6 3 son: ajx=4nx=-2 b)x=3nx=-2 c)x=1/5nx=2 d)x=2nx=2 4. Las soluciones de la ecuación x* — 29x? + 100 = 0 son: a) 2,-2, 5,5 b) 3, 3, 2,-2 c)1,-1, 4,-4 d) 3,3, 5,-5 5. Las rectas que forman el sistema l: +2y=14 son: 2x+6y=4 a) Secantes b) Paralelas c) Coincidentes d) Se cruzan [ 3x-2y=2 6. La solución del sistema (+9 =2 es; ajx=2ey=1 b)x=2ey=2 c)x=3ey=2 d) No tiene solución 3+2x=x-1+4+y e 2x — 9y =-43 7. La solución del sistema s: b)x=-2ey=-5 c)x=-43/2ey=0 d)x=3ey=4 | 3x-2y+z=2 ajx=1ley=5 8. La solución del sistema 47 2X+3Y+2=7 es; 2x- 3y+2z7=2 ajx=3,y=2,2=1 b)x=2,y=1,2=3 c)x=-1,y=-2,2=-3 d)x=1,y=2,z=3 9. En una granja, entre gallinas y vacas hay 120 animales y 280 patas. ¿Cuántos gallinas y vacas hay en la granja? a) 90 gallinas y 30 vacas b) 100 gallinas y 20 vacas c) 80 gallinas y 40 vacas 10. ¿Cuál es la edad de una persona si al multiplicarla por 5, le faltan 234 unidades para llegar a su cuadrado? a) 18 años b) 20 años c) 25 años d) 28 años Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas. 42 B de ESO, Capítulo 4: Ecuaciones y sistemas Autora: Raquel Hernández LibrosMareaVerde.tk Revisora: María Molero www.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF Textos Narea Verde