Matematicas_Octavo Matematicas_Octavo, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica

¡Descarga Matematicas_Octavo Matematicas_Octavo y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity! MÁTICA 8 DN, aaa] ea Octavo grado” o N | 6] ym (0,4) 2 e] E E — “314: 1 v A - o HA Libro de Texto Y . 7, . —= Educación Secundaria ==] ==] ==] =] 7 A E — Gobierno de Reconciliación ¿ y Unidad Nacional Pueblo, Pacaldente! COORDINACIÓN GENERAL Profesora María Elsa Guillén Profesora Melba López Montenegro Profesor Julio César Canelo Castillo AUTORES REVISIÓN Y ASESORÍA TÉCNICA CIENTÍFICA Armando José Huete Fuentes Sociedad Matemática de Nicaragua Humberto Antonio Jarquín López Profesora Gloria Parrilla Rivera Célfida del Rosario López Sánchez Profesor Jorge Alberto Velásquez Benavidez Hilario Emesto Gallo Cajina COLECTIVO DE AUTORES MINED UNAN - MANAGUA UNAN - LEÓN Francisco Emilio Díaz Vega Nubia Aracelly Barreda Rodríguez Anastacio Benito González Funes Humberto Antonio Jarquín López Melissa Lizbeth Velásquez Castillo Domingo Felipe Aráuz Chévez Juan Carlos Caballero López Armando José Huete Fuentes Célfida del Rosario López Sánchez Gregorio Isabel Ortiz Hernández Primitivo Herrera Herrera Orlando Antonio Ruiz Álvarez Alberto Leonardo Garcia Acevedo Marlon José Espinoza Espinoza Hilario Ernesto Gallo Cajina INSTITUTOS QUE PARTICIPARON EN LA VALIDACIÓN Colegio Clementina Cabezas, Managua, Managua Instituto Juan José Rodriguez, Jinotepe, Carazo Colegio Fernando Gordillo, Managua, Managua San Benito +1, Chinandega, Chinandega Colegio Tomas Borge, Mateare, Managua Instituto Nacional Rubén Dario, Posoltega, Chinandega Colegio San Cayetano, San Rafael del Sur, Managua Jhon F. Kenedy, León, León Instituto Nacional La Salle, Diriamba, Carazo Salomón de la Selva, León, León EQUIPO DE DIAGRAMACIÓN Lissette Margina Serrano Vallecillo . Maribel del Socorro Cuarezma López 4 Primera Edición, 2019 Derechos reservados. Prohibida su venta y/o reproducción con fines comerciales por cualquier medio, sin previa autorización del Ministerio de Educación (MINED), de la República de Nicaragua. Cooperación Técnica de Japón a través de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA) La presente publicación ha sido reproducida con el apoyo de la Agencia de Cooperación Internacional del Japón (JICA ) a través del Proyecto para el Aprendizaje Amigable de Matemática en Educación Secundaria (NICAMATE). Unidad 1: Operaciones con Polinomios........ 1 Unidad S: ParAlelSmO. o 89 Sección 1: Adición y sustracción de Sección 1: Resta de ángulos......................... 90 POLMOMIOS. .occiccicnicninnnnininnananinn 2 - Sección 2: Ángulos entre rectas cortadas Sección 2: Multiplicación de polinomios............ 7 por una transversal o... 93 Sección 3: División de polinomios....................... 13 Sección 3: Ángulos internos y externos de un triángulo.............................. 100 A a ado id Unidad 6: Congruencia co ES Sección 1: Ecuaciones de primer grado............. 18 “o a : Sección 1: Criterios de congruencia de Sección 2: Método de sustitución ....................... 24 IANQUÍOS ccoicicicccciciooiocnocin 106 Sección 3: Método de reducción........................ 26 Sección 2: Introducción a la demostración cccicininicninioninno 113 Sección 4: Sistemas de dos ecuaciones con o o IN paréntesis, fracciones y decimales... 32 Sección 3: Triángulo isósceles...................... 116 Sección 5: Aplicaciones de los sistemas de Sección 4: Congruencia de triángulos dos ecuaciones de primer grado......36 ¡CA 121 Unidad 3: Funciones de Primer Grado......... 41 Unidad 7: Paralelogramos........................... 125 Sección 1: Función de primer grado. .42 Sección 1: Propiedades de los o 0% o paralelogramoS coccion... 126 Sección 2: Gráfica de la función de TI 1 Sección 2: Condiciones para ser paralelograMo ooocoiccioicoci.o. 130 Sección 3: Expresión de la función de primer grado utilizando la pendiente ............ 55 Sección 3: Paralelogramos especiales......... 134 Sección 4: Gráfica de ecuaciones de primer grado con dos variables.. 5 Sección 5: Aplicaciones de la función de Primer grado ciccocincococociconicncnnonos 65 Ud RC 7 Sección 2: Cuerpos redondOS. .noncoco......... 147 72 Solucionario EA A 140 Sección 1: Raíz cuadrada cccciociociocionniciicinoss Sección 2: Operaciones con raíces cuadradas Operaciones con Polinomios Sección 1 : Adición y sustracción de polinomios Sección 2 Multiplicación de polinomios Sección 3 : División de polinomios Unidad 1: Operaciones con Polinomios Contenido 3: Adición de polinomios P (etectio la suma indicada (3x + 2y) + (5x + 3y)de forma horizontal y vertical. ) Forma horizontal: (3x + 2y) + (5x + 3y) =3x + 2y+ 5x + 3y Se eliminan paréntesis =3x + 5x + 2y+ 3y Se agrupan términos semejantes =8x+5y Se simplifican términos semejantes Forma vertical: 3x+2y Se escribe un sumando +) 5x+3y Se coloca el otro sumando 8x+5y Se simplifican términos semejantes Para sumar dos polinomios de forma horizontal, se agrupan los términos semejantes y se simplifican. Para sumar dos polinomios de forma vertical se escribe uno de los sumandos y debajo de este el otro, colocando los términos semejantes, uno bajo el otro y se simplifican. Efectúe la suma indicada (4x?+2x)+(10x?—11x) de forma horizontal y vertical. Forma horizontal: Forma Vertical: (4x?+2x) +(10x?—11x) =4x?+2x+10x?—11x 4x4 2x = AA HZ Mx +) 10% 1 14x?— 9x = 14x?—9x Efectúe las siguientes sumas de forma horizontal y vertical: a) (Bx+2y)+(5x+4y) b) (4x+5y)+(6x—2y) Cc) (8x—10y)+(7x+9y) d) (—x—7y)+(x—8y) e) (5y?+2y)+(4y?—8y) f) (2x?—6x)+(x?—8x) — Sección 1: Adición y sustracción de polinomios Contenido 4: Sustracción de polinomios P (Erectúe la sustracción indicada (8x +7y) — (6x + 3y) de forma horizontal y vertical. ) S Forma horizontal: (8x+7y)—(6x+3y) =(8x+7y)+(—6x—3y) Se cambian signos a los términos del sustraendo =8x+7y—6x—3y Se eliminan paréntesis =8x—6x+7y—3y Se agrupan términos semejantes =2x+4y Se simplifican términos semejantes Forma vertical: 8x+7y Seescribe el minuendo +) -6x—3y Se escribe el sustraendo con los signos de los términos cambiados 2x+4y Se simplifican términos semejantes En la sustracción de polinomios de forma horizontal, se escribe el minuendo y se le suma el sustraendo con los signos de sus términos cambiados, luego se simplifica. Para efectuar la sustracción de dos polinomios en forma vertical, se escribe primero el minuendo y debajo de este el sustraendo, cambiando los signos a sus términos y haciendo corresponder verticalmente los términos semejantes, luego se simplifica. Efectúe la sustracción indicada (6x—5y)—(—8x +7y) de forma horizontal y vertical. Forma horizontal: Forma Vertical: (Ox —5y) —(—8x+7y)=(6x—5y) + (8x—7y) 6x— 5y =6x—Dy+8x—7y +) 8x-—T7y =6x+8x—5y—7y 14x—12y =14x—12y E Efectúe las siguientes sustracciones de forma horizontal y vertical: a) (7x+8y)-(2x+7y) b) (9x—4y)— (5x—10y) C) (3x+8y) —(—9x+5y) d) (0x?—y?)—(—6x?4+3y?) e) (-12x—5y)-(5x+10y) f) (6x”—11y) —(—2x"—6p) ———————————— Unidad 1: Operaciones con Polinomios Contenido 5: Comprobemos lo aprendido 1 E 1. Identifique el grado de cada uno de los siguientes polinomios y clasifiquelos de acuerdo al número de términos. a) 4x-3 b) 4ab+5c+1 Cc) 5x*+7x d) —4x+5y?-2 Simplifique los siguientes polinomios: a) 3x+2x?+ 4x+6 b) 4x?+3y—2x?+5y Cc) —T7xy—3x—5xy+4x d) 6xy—4x—3xy+10 Efectúe en cada inciso las siguientes sumas indicadas de polinomios: a) (4x?—6x)+(3x?—12x) b) (4x%4+6x)+(5x*+x) Cc) (8x—6y+22)+(5x—4y—3z2) d) (-3x*4+5x+13)+(9x*%+3x—17) Efectúe las siguientes sustracciones indicadas de polinomios: a) (5x2—9x)—(3x2—8x) b) (2x9—6x)—(5x?+2x) Cc) (3x?—7x+1)—(5x?—7x=—3) d) (-2x?*—9x?43x)—(3x*+2x +7) —— Sección 2: Multiplicación de polinomios Contenido 3: Multiplicación de dos binomios (1) [nc el producto indicado (x+2)(y+5). ) S Para efectuar el producto (x+2)(y+5), se siguen los siguientes pasos: 1. Se usa la propiedad distributiva, multiplicando cada término de x+2 por el binomio y+5 (+2) (9 +5) =x(y+5)+2(y+5) SY 2. Se aplica la multiplicación de un monomio por un binomio y se realizan los productos indicados (+2) (9 +5) =x(1+5)+ 2(y +5) =xy +x(5) + 2y + (2)(5) =xy +5x+2y +10 Por lo tanto, (x+2)(y+5) =xy+5x+2y+10. C Para multiplicar dos binomios, se multiplica cada término de uno de los binomios por el otro binomio y se realizan los productos indicados. an (x+a)My+b)= xy+ bx + ay +ab Ja Y O o. 0 Ej mplo Efectúe el producto indicado (x+2)(y—3). («+2)(9=3)= x(y-3) + 2(y—3) = xy+x(-3)+2y+2(-3) = xy—-3x+2y-6 Efectúe los siguientes productos: a) (x+5)+4) b) (<+2)1+4) c) (x+6)(49+1) d) (x+7)(4—6) e) (x-3(4+2) f) (x—4)(4—3) Unidad 1: Operaciones con Polinomios Contenido 4: Multiplicación de dos binomios (2) P (Etectue la multiplicación indicada (x+2)(x+-3) de manera horizontal. ) Para multiplicar x+2 por x+3 de manera horizontal se usa la propiedad distributiva. Es decir O, a AA = xx + x(3) + 2x + (2)(3) 0000 Olzera+ar+o 124 (3+2)x+6 = x245x+6 Se observa que el producto de los binomios x+2 y x+3 que tienen en común el término x, es igual a este término elevado al cuadrado más la suma de los términos independientes 3 y 2 multiplicada por x, más el producto de los términos independientes 3 y 2. C Para multiplicar dos binomios de la forma x-+a y x+b se usa la propiedad distributiva, siendo su producto igual al término común x elevado al cuadrado más la suma de los términos a y b multiplicada por el término común más el producto de los términos a y b. Es decir, (x+a)Mx+b)=x?+ (a+ b)x+ab Efectúe las siguientes multiplicaciones de binomios de forma horizontal: a) (x—9(x+2) b) (x+8)(x—4) o) (x-7)(x—1) Se aplica la conclusión anterior: a) (x—9M(x+2) =x?+(-942)x+(-9)(2) =x?—7x—18 b) (<+8)(x—4)=x2+(8—4)x+(8)(— 4) =x?+4x-—32 0) (x=7)(x-1) =x"+H(27-1)x+ (27) 1) =x?—8x+7 Efectúe las siguientes multiplicaciones de binomios de forma horizontal: a) (x+2)(x+7) b) (x—3)Mx+7) c) (x+3)(x—8) d) (x—4)(x—9) — Sección 2: Multiplicación de polinomios Contenido 5: Multiplicación de dos binomios (3) P (Erectúe la multiplicación indicada (x+3)(x+5) de forma vertical. ) S Para multiplicar el binomio x+-3 por x+5 de forma vertical, se siguen los siguientes pasos: (D Se escribe el binomio x+5 debajo del binomio x+3 y se traza una línea horizontal debajo del binomio x+5. Se multiplica la x del binomio x+5 por el binomio x+3, obteniéndose x?+3x, resultado que se escribe debajo de la horizontal trazada. O (O Se multiplica el 5 del binomio x+5 por x+3, dando el resultado 5x+15 que se coloca debajo de x?+3x, pero respetando la semejanza de términos. O Se simplifican términos semejantes. O O O O x + 3 x +, 3 x + 3 x + 3 xx + 5 AL, sl xx + 5 x + 3x x + 3x x + 3x + 5Bx + 15 + 5x + 15 2 +8x + 15 Procedimiento para multiplicar los binomios x+a y x+b 1. Se escribe x+b debajo de x+a y se traza una línea horizontal debajo dex+b. 2. Se multiplica el primer término x de x+-b por los dos términos del binomio x+a. El resultado obtenido se coloca debajo de la horizontal trazada. 3. Se multiplica b por x+a. El resultado se coloca debajo del binomio encontrado en 2., pero respetando la semejanza de términos. 4. Se simplifican los términos semejantes. Efectúe la multiplicación indicada (x+9)(x—7) de forma vertical. Para efectuar la multiplicación (x+9)(x—7) se siguen los pasos de la conclusión anterior. x + 9 xx = 7 x + 9x = Tx — 63 + 2x — 63 Efectúe las siguientes multiplicaciones de binomios de forma vertical: a) (x+3)(x+4) b) (x—3)(+2) 0) (x+5)(x—2) d) (x—6Mx—7) —— Unidad 1: Operaciones con Polinomios Contenido 2: División de binomio por monomio P Efectúe las divisiones indicadas. Recuerde que: 5 a) (4x—12y)+4 b) (—15x+18x9) +3x TY Y A S a) (4x— 12y)=4 = + 2 Se expresa la división como fracción _4Ax _ 12y Se divide cada término del numerador por el 4 4 denominador común _Ax_ UMG6)y = A Se descompone 12 =x-3y Se simplifica b) (=15x+ 18xy) +3x = 151 81 Se expresa la división como fracción _—15x + 18xy Se divide cada término del numerador por el => 3x 3x denominador común = CIOX 26)z + OL Se descompone —15 y 18 =-—5+6y Se simplifica C Para dividir un binomio por un monomio: 1. Se expresa la división como una fracción, cuyo numerador es el binomio dado y denominador el monomio divisor. 2. Se expresa la fracción anterior como una suma o diferencia de fracciones con igual denominador. 3. En cada fracción se lleva acabo la división de un monomio por otro. 4. Se escribe la suma o diferencia de fracciones simplificadas. Efectúe la división de binomio por monomio indicada (9x?y— 18y) +(—3p). Para efectuar (9x2y—18y) +(—3y) se siguen los pasos de la conclusión anterior. 2 — 2 (0x?y—18y) + (—3y) = 9x"y—18y _ 9x'y _ 18y —3y =3y —3y - DÍ _ ae =-3x2+6 Efectúe las siguientes divisiones de binomio por monomio: a) (16x-—8y)-=8 b) (20y?+15y) +(—10y) Sección 3: División de polinomios Contenido 3: División de trinomio por binomio P ( Efectúe la división indicada (x2+7x+12) + (x+3). ) S La división se efectúa de la siguiente forma: Recuerde A E: Dividendo Divisor —=x? —3x x + 4 — a b e dx + 12 r Cc dx 12 AS o 2 Cociente Entonces, la división da como resultado el cociente x+-4 y residuo cero. C Para dividir un trinomio entre un binomio se siguen los siguientes pasos: 1. Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor. El resultado es el primer término del cociente y se escribe debajo del divisor. 2. Se multiplica el término obtenido en el paso anterior por el divisor, se escribe el producto debajo del dividendo y se resta de este. 3. Se repiten los pasos 1 y 2 hasta que el residuo sea cero. Efectúe la división indicada (x2—9x +20) + (x—4). La división se realiza siguiendo los pasos de la conclusión. xx - ox + 20 x— 4 == + 4x x =5x + 20 5Bx — 20 0 Entonces, la división da como resultado el cociente x— 5 y residuo cero. t Efectúe las siguientes divisiones de trinomio por binomio: a) (x2+13x+30)= (x+3) b) (6x?—7x—20)=(2x—5) c) (12x?—x-—6)=(3x +2) — Unidad 1: Operaciones con Polinomios Contenido 4: Comprobemos lo aprendido 3 t 1. a) Efectúe las siguientes divisiones de monomios: 25xy+5x b) —24y?=6y c) 6x2+(—3x) d) —15y?=(-3y>) 30xy=10y f —32x?=8x 9) 14y2=(—7y) h) —20x?=5x? Efectúe las siguientes divisiones de binomio por monomio: (18x?—10x)=-2 b) (21x2+15x)=(—3x) Cc) (-12x?-8x)=(—2x) Efectúe las siguientes divisiones de trinomio por binomio: (247x410) +(x+2) b) (14x?—34x+12)+(2x—4) Sección 1: Ecuaciones de primer grado Contenido 2: Ecuaciones de la forma ax+b=c con axo0, 1 P Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 3x+2=14 b) 4x-3=17 Cc) —3x+5=8 d) —=5x-8=-—13 S a) Se transpone 2, y luego se divide por 3: b) Se transpone —3, y luego se divide por 4: 3x+2=14 4Ax—3=17 =——— — 3x=14-2 4x=17+3 3x= 12 4x=20 3x 12 Ax 20 3 3 4 4 x=4 x=5 c) Se transpone 5, y luego se divide por —3: d) Se transpone —8, y luego se divide por —5: —=3x+5=8 —=5x-8= -—13 =— —— —3x=8-5 —5x=-13+8 —3x=3 =5x=-—5 =5. =5 3x3 === 23 2.3 x=1 x=-1 Una ecuación de la forma ax + b=c con aX O, 1, se resuelve de la siguiente manera: 1. Se transpone b al lado derecho de la ecuación teniendo ax=c—b. 2. Se divide ambos lados de la ecuación ax=c—b por a resultando el valor cb de la variable x = al Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 2x+5=11 b) 5x-3=12 c) —4x+1=9 d) -3x-2=-8 e) 6x+1=7 f) 3x-5=10 9) -7x+8=22 h) —5x-6=9 —— Unidad 2: Sistema de Ecuaciones de Primer Grado P Contenido 3: Ecuaciones de primer grado con dos variables Marcos tiene en su refrigeradora 10 frutas entre bananos Una cantidad y naranjas. desconocida se representa con una letra. ys a) ¿Qué cantidades son desconocidas?, ¿Cómo se representan? b) Escriba la igualdad que representa la expresión: La suma de la cantidad de bananos y la cantidad de naranjas es igual a 10. a) Se desconoce cuántos bananos y cuántas naranjas hay en la refrigeradora. Se pueden representar estas cantidades desconocidas utilizando las letras x y y: Cantidad de bananos: x Cantidad de naranjas: y b) La igualdad que representa el enunciado "la suma de la cantidad de bananos y la cantidad de naranjas es igual a 10", es: x+y=10. Este tipo de igualdad se llama ecuación de primer grado con dos variables. La igualdad ax + by=c donde a, b y c son constantes y a, b no son cero simultáneamente y las letras x y y representan cantidades desconocidas, se llama ecuación de primer grado con dos variables. Siguiendo la misma idea del problema anterior: si el doble de la cantidad de bananos y la cantidad de naranjas suman 12 frutas, ¿Cuál es la ecuación que representa esta expresión? Doble cantidad de bananos: 2x Cantidad de naranjas: y La ecuación que representa la expresión es: 2x+y=12. E Exprese los siguientes enunciados mediante una ecuación de primer grado con las variables xy y. a) Julio tiene 13 frutas entre melones y sandías. b) La suma de la edad de Luis con la de Francis es 18 años. c) El triple de la cantidad de lapiceros más la cantidad de cuadernos que tiene Juan es 20. d) Carlos pagó C$ 700 por la compra de dos camisas y un pantalón. e) El costo de tres lapiceros y dos cuadernos es C$ 70. — Sección 1: Ecuaciones de primer grado Contenido 4: Solución de ecuaciones de primer grado con dos variables P Complete la tabla sabiendo que 2x + y= 12. x 0 1 2 3 4 5 6 y Al sustituir cada valor de x en la ecuación, se obtiene el valor respectivo de y: Para x=0 Para x=1 . Para x=6 (2)(0) + y=12 (2)(1)+y=12 (2) (6) +y=12 0+y=12 2+y=12 12+ y=12 y=12 y=10 y=0 La tabla completa es: x 0 1 2 3 4 5 6 y 12 10 8 6 4 2 0 Cada par de números (0, 12), (1, 10), (2, 8), etc., satisface la ecuación 2x+y=12, por ejemplo (6, 0), es solución de esta porque (2)(6)+0=12. C Se llama solución de la ecuación ax+by=c atodo par ordenado de números (0, y) que satisface dicha ecuación. Ejemplo Verifique que el par ordenado (5, 2) es solución de 2x+y= 12. Al sustituir x=5 y y=2 en 2x+y, resulta (2)(5) +2=10+2=12 En consecuencia, el par ordenado (5, 2) es solución de 2x + y=12. E a) Complete la tabla sabiendo que x + y= 10. b) Muestre que un par ordenado de la tabla completada es solución de la ecuación dada. — Unidad 2: Sistema de Ecuaciones de Primer Grado Sección 2: Método de sustitución Contenido 1: Sistemas con una variable despejada en una de las ecuaciones P El doble de la edad de Luis más la edad de Carlos es 11 años. Si Carlos es dos años mayor que Luis, encuentre las edades de Luis y Carlos respectivamente. Ss Edad de Luis: x años Edad de Carlos: y años Una variable que está aislada = lado de la igualdad, se 2x+y=11 o en un . e y=x+2 o dirá que está despejada. 1. Se sustituye y=x +2 en (O), y se resuelve la ecuación de primer grado obtenida: 2x+(x+2)= 11 Se forma el sistema de ecuaciones [ 3x+2=11 3x=11-2 2x+y=11 3x_9 y=x+2 3" 3 x=3 2x4 (x+2)=11 2. Se sustituye x= 3 en Q) para encontrar el valor de y: y =3+2=5 Edad de Luis: 3años Edad de Carlos: 5 años C La solución de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos variables en las que una de ellas aparece despejada, se encuentra así: 1. Se sustituye la expresión de la variable despejada en la otra ecuación, y se resuelve esta en la otra variable. 2. Se sustituye el valor encontrado en el paso 1., en la ecuación con la variable despejada y se efectúan las operaciones indicadas. El par ordenado formado por los valores encontrados, es la solución del sistema. Este método se conoce como método de sustitución. Resuelva el sistema 3x +y=20 O x=y+4 O 1. Se sustituye x=y+4 en (M) y se encuentra la solución de la ecuación obtenida: ZO 3S(y+4)+y=20 Resolver un sistema de 3y+12+y=20 ecuaciones significa 4y=8 encontrar su solución. ty -8 474 y=2 2. Se sustituye y=2 en Q): x=2+4=6 El par ordenado (6, 2) es la solución del sistema. Resuelva los siguientes sistemas: a) 4x+y=13 b) 2x+y=13 c) 3x+5y=18 d) y=x-3 y=x+3 x=y+2 x=y-2 2x-3y=2 Sección 2: Método de sustitución Contenido 2: Sistemas de dos ecuaciones sin ninguna variable despejada P Resuelva el sistema despejando la variable y en una de las ecuaciones. pa O x=y=4 O 1. Se transpone 2x en la ecuación (1): y=20-2x 0 2. Se sustituye y =20— 2x en Q) y se resuelve la ecuación 2x+y=20 resultante: —, y=20-—2x x—(20—2x)=4 x=20+2x=4 x+2x=4+20 3x= 24 3x 24 3 3 x=8 3. Se sustituye x= 8 en G) y=20- (2)(8) =20—16=4 El par ordenado (8, 4) es la solución del sistema. C Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables donde ninguna de estas aparece despejada se resuelve de la siguiente manera: 1. Se despeja una de las variables en la ecuación más conveniente. 2. Se sustituye la expresión de la variable despejada en la otra ecuación y se resuelve la ecuación obtenida. 3. Se sustituye el valor encontrado en el paso 2., en la ecuación con la variable despejada y se efectúan las operaciones indicadas. El par ordenado formado por los valores encontrados, es la solución del sistema. Este es un método más general de sustitución. Resuelva los siguientes sistemas: a) pr? b) poza 0) E y=6 d) Ea: x=y=2 x=3y= 4 3x+2y=11 3x+ y= 9 Unidad 2: Sistema de Ecuaciones de Primer Grado Sección 3: Método de reducción Contenido 1: Sistemas de dos ecuaciones con una variable que tiene coeficientes opuestos P Resuelva el sistema sin utilizar el método de 2x+y=20 O sustitución. x—y=4 O S 1. Se suman las ecuaciones (1) y (Q), para eliminar la variable y y se resuelve la ecuación en x. 2x+y=20 O +) _x=y24 0 3x =24 3x _24 33 x=8 2. Se sustituye x=8 en O y se resuelve para y: (2)(8) +y=20 16+y=20 y=20-16 y=4 El par ordenado (8, 4) es la solución del sistema. C Para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables, donde una de estas aparece con coeficientes opuestos, se procede así: 1. Se suman las ecuaciones lado a lado para eliminar una variable y se resuelve la ecuación que resulta en la otra variable. 2. Se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema el valor encontrado en 1., y se resuelve la ecuación resultante. El par ordenado formado por los valores encontrados, es la solución del sistema. Este procedimiento se conoce como método de reducción. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: a) (7 b) (pro c) [ x+3y=1 d) tao x= y=2 5x—2y=7 —=x+2y=4 —5x+3y=0 Sección 3: Método de reducción Contenido 4: Sistemas de dos ecuaciones donde una variable en una ecuación tiene coeficiente 1 P Resuelva el sistema x+3y= 9 O 2x+9y=24 O 1. Se multiplica por —2 ambos lados de la ecuación (1) para tener un sistema de ecuaciones donde la variable x tenga coeficientes opuestos. -— y LD (2) (x+3y)=(-2) (9) -2x—6y=-—18 O 2. Se suman (O) y O y se resuelve la ecuación obtenida: —2x—6y=-—18 O +) 2x+9y= 24 O 3y=6 y=2 3. Se sustituye y=2 en O: x+ (8)(2)= El par ordenado (3, 2) es la solución del sistema. C Para resolver un sistema de dos ecuaciones donde el coeficiente de una de las variables en una de las ecuaciones es 1, se concretan los pasos siguientes: 1. Se multiplica la ecuación que tiene la variable con coeficiente 1 por el opuesto del coeficiente de la misma variable en la otra ecuación, para obtener un nuevo sistema de ecuaciones donde una misma variable tiene coeficientes opuestos. 2. Se suman las dos ecuaciones del nuevo sistema y se resuelve la ecuación resultante. 3. Se sustituye el valor encontrado en 2., en cualquiera de las ecuaciones originales y se resuelve la ecuación resultante. El par ordenado formado por los valores encontrados, es la solución del sistema. E Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: a) x+2y=7 b) 9x+2y=26 c) =2x+3y=-8 d) 2x+ y=10 3x+8y=27 3x+ y=10 x—=5y=-3 Tx=4y= 5 — Unidad 2: Sistema de Ecuaciones de Primer Grado Contenido 5: Sistemas de dos ecuaciones donde todos los coeficientes de las variables no tienen igual valor absoluto y son diferentes de +1 P Resuelva el sistema eliminando la variable y. (ara 0) 5Bx—-2y= 4 O S 1. Se multiplica por 2 ambos lados de la ecuación (1): == Te (2) Qx +3 y) = (2) (13) 4x+6y=26 O 2. Se multiplica por 3 la ecuación (2): — y 1 (3) (5x— 2y) =(3)(4) 15x—6y= 12 O 3. Se suman las ecuaciones (3) y (U) y se resuelve la ecuación obtenida: 4x+6y=26 O +)_15x6y=12 O Otra manera 19 5 10x+15y=65 5x0 > +) =10x+ 4y=-=8 (2x0 4. Se sustituye x=2 en (1): y o tds (2)(2) +3y=13 EAS 4+3y=13 y=3 3y=13-4 y=3 Por lo tanto, el par ordenado (2, 3) es la solución del sistema. C Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables, donde todos los coeficientes de estas no tienen igual valor absoluto y son diferentes de +1, se resuelve de la siguiente manera: 1. Se multiplica una ecuación por el opuesto del coeficiente que acompaña a la variable a eliminar en la otra ecuación. 2. Se multiplica la ecuación que no fue transformada, por el coeficiente que acompañaba a la variable a eliminar en la ecuación que se transformó en 1. 3. Se suman las ecuaciones obtenidas en los pasos 1. y 2., y se resuelve la ecuación resultante. 4. Se sustituye el valor encontrado en 3., en cualquiera de las ecuaciones originales y se resuelve la ecuación resultante. El par ordenado formado por los valores encontrados, es la solución del sistema. t Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: (ot 292 7 b) (oo o nz d) (artay=o 4x=3y=-2 3x+4y=5 2x-3y=1 5x—4y=7 — Sección 3: Método de reducción Contenido 6: Comprobemos lo aprendido 2 t 1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución: a) y=x+7 b) x=8-y x+2y=23 3x+7y=36 2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de reducción: a) (eto=n b) ESTO 5x=3y= 7 3x=5y= 0 ET d) ns 3x+4y=24 2x+9y=19 e) ES y=1 1 7 9 4x+3y=27 4x-5y=-8 9) para h) La 3y= 7 2x+ y= 4 3x+10y= 22 » Eras 5 322 2x+5y=8 3x=2y= 2 Unidad 2: Sistema de Ecuaciones de Primer Grado Contenido 3: Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con coeficientes decimales x+ 2y=4 O Resuelva el sistema [ 0,2x+0,5y=0,9 O S 1. Se multiplica por 10 la ecuación (Q) para obtener otra con coeficientes enteros: (10)(0,2x +0,5y) = (10) (0,9) 2x+5y=9 O 2. Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones (M) y G). Se multiplica por —2 la ecuación (1): =2x-4y=-8 O 3. Se suman las ecuaciones () y (WM): 2x+5y= 9 O +) -2x-4y=-8 O ST 4. Se sustituye y=1 en () y se resuelve para x: x+(2)(1)=4 x+2=4 x=2 La solución del sistema es el par ordenado (2,1). C Un sistema de dos ecuaciones de primer grado en el que una ecuación tiene coeficientes decimales, se resuelve así: 1. Se multiplica esta ecuación por 10 si el mayor número de cifras decimales de los coeficientes es uno, por 100 si el mayor número de cifras decimales es dos, y así sucesivamente. 2. Se resuelve el sistema formado por la ecuación obtenida en el paso 1., y la ecuación del sistema inicial que no tiene coeficientes decimales. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: a) [nos b) (07: +02v=28 0) [po 0,4x +0,3y=1,8 x+y=7 0,5x +0,2y=0,3 Sección 4: Sistemas de dos ecuaciones con paréntesis, fracciones y decimales Contenido 4: Comprobemos lo aprendido 3 t Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones: a) 3x—5y=1 2x+5(y+1)=39 e) 0,3x—0,2y=1,9 x=2y=-7 ia 9) xyY_ 5272 b) a) 1) 71x+2y=-3 —=71(x+2)+3y=-—1 0,4x—0,5y=0,2 x+5y=13 2(x+2)+5y=60 x=y+7 Unidad 2: Sistema de Ecuaciones de Primer Grado Sección 5: Aplicaciones de los sistemas de dos ecuaciones de primer grado Contenido 1: Aplicación de los sistemas de ecuaciones de primer grado (1) P Por la compra de dos pantalones y tres camisas se pagan C$ 1 200. Sabiendo que el costo de un pantalón excede en C$ 100 al de una camisa, ¿cuál es el costo de cada artículo? Costo de un pantalón: x Costo de una camisa: y SH y - * Se forma el sistema 2x+3y=1200 0 Y AY x—y=100 o Á Á y se resuelve aplicando el método de reducción, para eso se multiplica por 3 ambos lados de la ecuación (2) S D (3) (x— y) = (3) (100) 3x—3y=300 O Se suman las ecuaciones () y G): 2x+3y=1 200 O +) 3x—3y= 300 O 5x =1 500 x= 300 Se sustituye x = 300 en (2) para encontrar el valor de y: 300— y =100 —y=100— 300 —=y=-—200 y=200 El costo de un pantalón es C$ 300 y el de una camisa es C$ 200. Resuelva los siguientes problemas: a) Por la compra de tres marcadores y un borrador se pagaría C$ 78, pero si se compraran dos marcadores y un borrador se tendría que pagar C$ 58. ¿Cuál es el costo de cada artículo? b) Un estudiante paga C$ 100 por la compra de dos artículos escolares. Sabiendo que el costo de un artículo excede en C$ 60 al otro, ¿Cuál es el valor de cada uno? Sección 5: Aplicaciones de los sistemas de dos ecuaciones de primer grado Método de reducción de sistemas de tres ecuaciones con tres variables (2) x+y+2=6 O Resuelva el sistema de ecuaciones 3x=2y+2=2 O 2x+2y-22=0 O P S, Eliminando la variable z se tiene: xtytz= 60 2xQ 6x-4y+22=4 O (1x0 —3x+2y-2=-2 (9) 2x+2y-22=0 () O+0 -2x+3y = 40 O+0 8x-2y =4 0 Luego, se forma el sistema: -2x+3y=4 0 8x-2y=4 (MD Se multiplica por 4 la ecuación (6): —8x+12y=16 Se suman (8) y O y se obtiene: —8x+ 12y=16 8x—2y=4 10y=20 y= 2 Se sustituye y = 2 en la ecuación (7) para encontrar el valor de x: 8x-4=4 8x=8 x=1 Se sustituye x=1 y y=2 en la ecuación (D): 14+2+2=6 2=3 La solución del sistema es (1, 2, 3). Y Unidad 2: Sistema de Ecuaciones de Primer Grado t Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado: x+y=6 a) iy+z=1 x+z=3 x+y+z=4 b) 32x+3y=2=5 x+y+32=6 Unidad 3 Funciones de Primer Grado Sección 1 : Sección 2 : Sección 3 : Función de primer grado Gráfica de la función de primer grado Expresión de la función de primer | grado utilizando la pendiente Sección 4 : Gráfica de ecuaciones de primer : grado con dos variables Sección 5 : Aplicaciones de la función de primer : grado Unidad 3: Funciones de Primer Grado Contenido 3: Relación entre proporcionalidad y función de primer grado P Sabiendo que un rectángulo tiene un área igual a 48 cm”: O q: a) Exprese su altura y (en cm) en función de su base x 48 cn? em (en cm). ¿Qué tipo de proporcionalidad hay entre las : variables x y y? == a — b) ¿Es y una función de primer grado en x? S, a) Como x es la base y y la altura del rectángulo de la figura, entonces: 48=xy El área de un rectángulo, » xy=48 es el producto desu - or tanto, 48 base por la altura. x y las variables x y y son inversamente proporcionales. b) Se observa que x está como denominador, por lo cual la expresión para y no es una función de primer grado. P a) Exprese el perímetro y (en cm) de un cuadrado en función de su lado x (en cm). ¿Qué tipo de proporcionalidad hay entre las variables x y y? xcm b) ¿Es y una función de primer grado en x? dad” S, a) El perímetro del cuadrado de la figura es cuatro veces la longitud x de su lado, es decir y=4x y luego x= 4, por tanto las variables x y y son directamente proporcionales con una constante de proporcionalidad igual a 4. b) En efecto, y=4x es una función de primer grado, donde b=0. La función de primer grado y=ax expresa la proporcionalidad directa entre las variables x y y, mientras que la función no lineal y = 5 pone en evidencia la proporcionalidad inversa entre x y y. En general, la función de primer grado y=ax+b Parte proporcional indica la suma de su parte proporcional ax y una y=ax+b constante b. Constante E Las expresiones siguientes indican que y es una función de x. Diga cuáles son funciones de primer grado y para las que lo sean muestre la parte proporcional a x y la constante. a) y=3x bo y=2 ) y=4x+1 d) y=3-2x —— Sección 1: Función de primer grado Contenido 4: Comprobemos lo aprendido 1 E 1. Las siguientes expresiones indican que y está en función de x. ¿Cuáles son funciones de primer grado? a) y=-2x+3 b) y=1+3x ) y=% d y=2x-4) Identifique en cuáles de las siguientes situaciones y es una función de primer grado en x: a) La distancia y (en Rm) recorrida por una persona después de x horas, si su velocidad es 5 km por hora. b) El área y (en cm?) de un cuadrado de lado x cm. c) La longitud y (en cm) de cada lado de un polígono regular de x lados y perímetro 20 cm. Un tanque contiene 9 litros de agua (ver figura). Si se abre el grifo que vierte 3 litros de agua por minuto, y y es la cantidad de agua (en litros) que hay en el tanque después de x minutos: a) Complete la siguiente tabla: xpoj1|2|3|4|5/|6/|7]/8 y b) Exprese y como una función de primer grado en x. Unidad 3: Funciones de Primer Grado Sección 2: Gráfica de la función de primer grado Contenido 1: Gráfica de las funciones de primer grado y=ax y y=ax+b por tabulación P Dadas las funciones y =2x y y=2x +1. a) Complete en la tabla los valores de 2x y 2x+-1 que corresponden a los valores dados de x. Xx -2 =1 0 1 2 2x 2x+1 b) Trace en el plano cartesiano las gráficas de las funciones dadas. S a) Cada valor de x se multiplica por 2, obteniendo como resultado 2x, luego a este se le suma 1 para conseguir el valor de 2x+1. Así resulta la tabla x =2l af o]|1]2 Ox 2x -a4[|-2[| o|2]|4 241 |-3|-1]| 1 |3]|5 + b) Los puntos (—2, —4), (—1, —2), (0, 0), (1, 2) y (2, 4) de la forma (x, 2x) están en la recta con ecuación y=2x que aparece en color azul en la figura de la derecha. La gráfica de y=2x+1 es la recta de color rojo que contiene los puntos (+2, -3), (21, 1), (0, 1), (1, 3) y (2, 5) de la forma (x, 2x + 1). C La gráfica de una función de primer grado y=ax+b, con a%0 es una recta. Ñ Dadas las funciones de primer grado y=3x y y=3x>+1. a) Complete la tabla con los valores de 3x y 3x+1 que corresponden a los valores dados de x. x A 0 1 2 3x 3x+1 b) Trace en el plano cartesiano las gráficas de las funciones dadas. Sección 2: Gráfica de la función de primer grado Contenido 4: Razón de cambio de una función de primer grado P Dada la función y = —2x +1, calcule la razón de cambio cuando: a) x vafía de 2a 5 b) x varía de —-7 a —3 S a) Six varía de 2 a 5, la variación d 5-2=3 Six=2, 9=(-2(2)+1=-=3 y a varlacion de x es = Six=5, y=(=2)(5)+1=-9 7 la variación de y es —9—(—3)= —6 Luego, , -6 Razón de cambio = => 2 b) Cuando x varía de —7 a —3, se tiene: ño —=— — ASA _ 1 la variación de x es —3 — (—7)= 4 E e 9 Í =— =(— pS = sv la variación de y es 7-15=-—8 Six==3, y=(22)(23)+1= 7 Por lo cual, 8 Razón de cambio = —q =— 2 La razón de cambio en ambos casos coincide con el valor de la constante a= —2 que multiplica a la variable x en la expresión y=—2x +1. C Dada la función de primer grado y=ax-+b, la razón de cambio para cualquier variación de x siempre coincide con la constante a. , o Variación de y Razón de cambio = —__— = 4 Variación de x Esta constante se llama razón de cambio de la función y=ax+b. Identifique la razón de cambio de la función de primer grado y=3x+2. La razón de cambio de la función y=ax-+b es a, así que la razón de cambio de la función y=3x+2es 3. Identifique la razón de cambio de cada una de las siguientes funciones de primer grado: a) y=3x=1 b) y==5x+3 o) y=hx+4 0d y=-Íx+6 Unidad 3: Funciones de Primer Grado Contenido 5: Comprobemos lo aprendido 2 E 1. Trace la gráfica de las siguientes funciones auxiliándose de una tabla de valores: a) y=3x+2 b) y=-2x+3 Cc) y=3x-—1 d) y=-—3x—1 2. Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones: a) y=3x+2 a partir de la gráfica y de y=3x que se muestra a la derecha. b) y=-—2x+3 a partir de la gráfica de y= — 2x que se muestra a la derecha. 3. Las dos gráficas del ejercicio anterior ya habían sido trazadas en 1. Señale cual de los métodos para graficarlas le ha resultado más fácil. 4. Identifique la razón de cambio de las siguientes funciones: a) y=3x+2 b) y=-—5x+1 0) y=1+3x d) y» =32(-4) — P S E Sección 2: Gráfica de la función de primer grado Contenido 6: Gráfica de y=ax+b si a>0 utilizando el intercepto con el eje y y su pendiente Dada la función y =2x +1, responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el intercepto de su gráfica con el eje y? b) ¿Cuál es la razón de cambio de esta función? Cc) ¿Cómo traza la gráfica de y=2x +1 utilizando el intercepto con y y su razón de cambio? a) Los puntos del eje y tienen abscisa x =0. y=ax+b Al sustituir este valor de x en y=2x +1, La L. de cambio resulta y=(2(0)+1=1 Por lo tanto, el intercepto de la gráfica de y=2x+1 con el eje y es (0, 1). b) La razón de cambio de esta función es 2. Cc) Como la razón de cambio es 2, entonces y aumenta 2 unidades cada vez que x aumenta 1 unidad, luego, dado que (0, 1) es un punto de la gráfica, entonces (0+ 1, 1+2) = (1, 3) también es un punto de ella. La gráfica se construye trazando la recta que pasa por (0, 1) y (1, 3). Se muestra esta recta en la figura de la derecha. En la gráfica se observa que y aumenta 2 unidades cada vez que x aumenta una. La función de primer grado y= ax+b, con a>0 tiene las siguientes características: a) Su gráfica tiene intercepto con el eje y en (0, b). b) La razón de cambio a de la función, se llama pendiente de la recta y=ax+b y es la cantidad que aumenta y cuando x crece una unidad. c) Los valores de y aumentan a medida que x también aumenta. En este caso a=3 y b=2, así que la pendiente es 3 y el intercepto con el eje yes (0, 2). Otro punto de la gráfica que se necesita es (0+1, 24 3)= (1, 5). Con esta información se obtiene la gráfica de la derecha. a) Trace la gráfica de y=2x+3 utilizando su intercepto con el eje y y la pendiente. b) Trace la gráfica de y=3x—1 utilizando su intercepto con el eje y y la pendiente. — Unidad 3: Funciones de Primer Grado Contenido 9: Comprobemos lo aprendido 3 E 1. Encuentre la pendiente y el intercepto con el eje y de la gráfica de cada una de las siguientes funciones: a) y=-x>+2 b) y=7x+1 Cc) y=-3x+1 d) »=2(x-6) 2. Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones de primer grado, utilizando la pendiente y el intercepto con el eje y: a) y=2x+4 b) y=3x-5 Cc) y=-—3x—1 d) y=-—5x+6 3. Encuentre el rango de cada una de las siguientes funciones en el dominio indicado: a) y=2x+3 1<x<3 b) y=2x->—1 —=2<x<5 Cc) y=-=x-3 =7<x<-3 Sección 3: Expresión de la función de primer grado utilizando la pendiente Contenido 1: Expresión de la función de primer grado dada la pendiente y el intercepto con el eje y P Encuentre la función de primer grado cuya gráfica tiene pendiente 2 e intercepto con el eje y en (0, —1). Se considera la expresión general y =ax-+b. De acuerdo a la información la pendiente es a=2 y el intercepto con el eje y es (0, — 1), luego b=—1. Se sustituyen estos valores en y=ax+ b resultando y=2x+(-1)= 2x1 Por tanto, y=2x— 1 es la función de primer grado buscada. Para encontrar la función de primer grado y=ax + b, conociendo la pendiente de su gráfica y el intercepto con el eje y: 1. Se sustituye a por el valor de la pendiente. 2. Se sustituye b por la ordenada del intercepto con el eje y. En este caso como a=—2 y b=3, se sustituyen a por —2 y b por 3 en y=ax+b, obteniéndose y=-—2x+3, cuya gráfica puede observarse a la derecha. Encuentre la función de primer grado cuya gráfica tiene pendiente —2 e intercepto con el eje y en (0, 3). Encuentre la función de primer grado cuya gráfica tiene: a) Pendiente 3 e intercepto (0, 2) con el eje y. b) Pendiente 5 e intercepto (0, 1) con el eje y. c) Pendiente —2 e intercepto (0, 4) con el eje y. d) Pendiente —4 e intercepto (0, —5) con el eje y. — A Unidad 3: Funciones de Primer Grado Contenido 2: Expresión de la función de primer grado dada la pendiente y un punto de la gráfica P (Encuentre la función de primer grado cuya gráfica tiene pendiente 3 y pasa por el punto (1, 4.) S 1. Se considera la expresión general y=ax+ bh y se sustituye a por el valor de la pendiente y=3x+b 2. Luego, se sustituye x=1 y y=4 en la ecuación anterior 4=(3)(1)+b 4=3+b 1=b b=1 3. Ahora se sustituye b= 1 en la ecuación y=3x+b obteniendo y=3x +1. Por tanto, la función buscada es y=3x +1. C Para encontrar la función de primer grado y=ax-+b, conociendo la pendiente de su gráfica y un punto de ella: 1. Se sustituye a por el valor de la pendiente. 2. Se sustituye las variables x y y por la abscisa y la ordenada del punto conocido y se resuelve la ecuación resultante para encontrar b. 3. Se sustituye el valor de b en la ecuación que resulta en el paso 1. Encuentre la función de primer grado cuya gráfica tiene pendiente —3 y pasa por el punto (2, 1). 1. Se sustituye a=—3 en y=ax+b, y=-3x+b 2. Se sustituye x=2 y y=1 en y=—3x+b 1=(-3)(2)+b 1=-6+b 7=b b=7 3. Por último se sustituye b=7 en y= —3x+ b, de donde resulta y=—3x>+7. Por tanto, la función buscada es y= —3x+7 y su gráfica aparece a la derecha. Encuentre la función de primer grado cuya gráfica: a) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto (2, 5). b) Tiene pendiente —2 y pasa por el punto (1, 3). Cc) Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (— 2, 3). — Sección 4: Gráfica de ecuaciones de primer grado con dos variables Contenido 1: Gráfica de una ecuación de primer grado de la forma ax+by=c P a) Calcule y escriba en la tabla los valores Six==2, (2)(22)+y=4 correspondientes de x o y para que los AL, =4+y=4 pares (x, y) sean soluciones de 2x + y=4. E y=4+4 sv y= 8 x |-2|-1 1 2 S) y 8 4 b) Ubique en el plano cartesiano los pares (x, y) encontrados. ¿Qué figura se forma al unir estos puntos? S a) Se calculan los valores restantes de la tabla mediante la ecuación 2x + y= 4. x |-2 |-1 011 213 y 8|6/| 4| 2| 0 |-2 b) En la figura de abajo a la izquierda, se muestran los pares ordenados (x, y) de la tabla, que al unirlos determinan la recta de la derecha. y E2,8+-78 (22,8) (541,6) +6 10% 4 410,9 2x+y=4 9|-e(1,2 (2,0) q =2 Jo 2 x 2 e6,-2 Esta recta es la gráfica de 2x + y=4. Toda solución de 2x + y= 4 se encuentra en la recta y cada punto de esta es solución de la ecuación. C con a y b no simultáneamente nulos se llama gráfica de la ecuación. Se cumple La recta formada por las soluciones de la ecuación de primer grado ax+by=c también que cada punto de esta recta es solución de la ecuación ax +by=c. Í Calcule y escriba en la tabla los valores correspondientes de x o y para que los pares (x, y) sean soluciones de 2x + y=3. Trace la gráfica de la ecuación. x al 1 y 4 — Unidad 3: Funciones de Primer Grado Contenido 2: Relación entre la gráfica de la ecuación ax+by=c y la función de primer grado y = Gx + % con a, b40 a) Despeje la variable y en la ecuación 2x + y =4. ¿Qué tipo de función se obtiene? b) Trace la gráfica de la función obtenida. ¿Qué relación existe entre la gráfica de y=—2x+4 y la gráfica de 2x + y =47? S a) Se transpone el término 2x en la ecuación dada, para obtener y=—2x+-4. Se observa que esta es una función de primer grado. b) Como la pendiente de la recta y = — 2x +4 es —2 y el intercepto con el eje y es (0, 4), otro punto de la gráfica es (0+ 1, 4+ (— 2)) = (1, 2), obteniéndose la recta de la izquierda que es igual a la gráfica de 2x + y =4, situada a la derecha en la figura. Si la ecuación de primer grado ax +by=c se lleva a la forma y =— qe is ol ambas ecuaciones tienen la misma gráfica. t Trace la gráfica de 3x + y= 1 utilizando la pendiente y el intercepto con el eje y de la recta que se obtiene al expresar y en función de x. — Sección 4: Gráfica de ecuaciones de primer grado con dos variables Contenido 3: Interceptos con los ejes coordenados de la gráfica de la ecuación de primer grado ax+by=c ] a) Encuentre los interceptos de la gráfica de 3x —2y =6 (a, y) es un punto del eje x con los ejes coordenados. coa . o o o si y=0; y del eje y si x=0. b) Grafique la ecuación 3x —2y=6. S a) Se buscan los interceptos de la recta 3x —2y=6 con los ejes x y y. Como un punto del eje x tiene ordenada 0, se sustituye y =0en 3x—2y=06. 3x — (2)(0)=6 3x=6 x=2 El intercepto con el eje x es el punto (2, 0). El intercepto con y tiene abscisa O. Se sustituye x=0en 3x —2y=6, resultando: (8)0)-2y=6 =2y=6 y=-3 El intercepto con el eje y es (0, —3). b) Ahora se ubican los puntos (2, 0) y (0, —3) en el plano cartesiano y se traza la recta que pasa por ellos. La recta que se muestra en la figura de la derecha es la gráfica de 3x —2y=06. C Para graficar la ecuación ax +by=c (a% 0, b%0) se encuentran los interceptos con los ejes y se traza la recta que pasa por estos. t Encuentre los interceptos de las siguientes rectas con los ejes y grafíquelas: a) x—2y=4 b) 3x-4y=-12 Unidad 3: Funciones de Primer Grado Contenido 6: Comprobemos lo aprendido 5 E 1. Encuentre en cada inciso los interceptos de la recta con los ejes y grafíquela. a) x=y=1 b) x+3y=6 Cc) —=2x+y=-2 d) 2x-y=-4 2. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones: a) y=3 b) x-4=0 c) 3y=-9 d) 5x+15=0 P Sección 5: Aplicaciones de la función de primer grado Contenido 1: Aplicación de la función de primer grado (1) Carlos se encuentra a 30 m de su casa y se dirige hacia esta a una velocidad de 3 metros por segundo: a) b) c) a) ¿A qué distancia de su casa se encuentra al transcurrir 4 segundos? Exprese como una función de primer grado la distancia y (en m) a la que se encuentra después de x segundos. ¿Qué valores puede tomar x? Construya la gráfica de la función encontrada. En cualquier punto de su trayectoria a la casa la distancia a la que se encuentra Carlos después de cierto tiempo es igual a la distancia inicial (30 metros), menos la distancia recorrida. Esta última es igual a la velocidad por el tiempo transcurrido. Por tanto: a) b) a) Al transcurrir 4 segundos, la distancia a la que se encuentra Carlos de su casa es 30 — (3)(4) =18 metros. La distancia recorrida por Carlos al finalizar los x segundos es 3x. Por tanto, la expresión solicitada es y=30—3x y=-—3x+30 El tiempo inicial es x=0 y aumenta a medida que Carlos se dirige a su casa. Por tanto, x=0. El mayor valor que alcanza x 32! » ocurre cuando Carlos llega a su casa, es decir cuando y=0. Se sustituye y =0 en y= —3x +30 y se obtiene: 0=-—3x+30 3x= 30 3x 30 3 3 x=10 Luego, 0<x<10. La gráfica se construye utilizando los interceptos de la recta y=—3x+30 con los ejes. Estos puntos son (10, 0) y (0, 30). La gráfica es el tramo de la recta entre los puntos anteriores, inclusive ellos, tal como se muestra en la figura de la derecha. Un ciclista arranca desde un punto que se encuentra a 20 m de un supermercado, alejándose a razón de 4 m cada segundo. Exprese como una función de primer grado la distancia y (en m;) a la que se encuentra el ciclista del supermercado al transcurrir x segundos. Unidad 3: Funciones de Primer Grado Contenido 2: Aplicación de la función de primer grado (2) (Ejemplo) Un vendedor del mercado Oriental tiene un sueldo básico de C$ 1 000 al Mes, y por la venta de cada artículo recibe una comisión de C$ 20. a) Encuentre la función que exprese su salario mensual y (en córdobas), si ha vendido una cantidad x de artículos. b) ¿Cuál es su salario total, si vendió 30 artículos en un mes? a) Por la venta de cada artículo el vendedor recibe C$ 20, así que por la venta de x artículos recibirá como comisión una cantidad de C$ 20x, sumando a esta cantidad el salario básico de C$ 1 000 se obtiene la función y=20x +1 000 que representa el salario mensual del vendedor en función de la cantidad x de artículos vendidos en ese período. b) Como el número de artículos vendidos es 30, entonces x =30, así que: y= (20)(30) +1 000=600+ 1 000= 1 600 Luego, el salario total del vendedor es C$ 1 600. E 1. Edinson abre una cuenta de ahorros con C$ 1 000 y decide depositar C$ 100 cada mes. a) Encuentre la función que expresa la cantidad ahorrada y (en córdobas) a los x meses. b) Calcule la cantidad de dinero ahorrado en 5 meses. Utilice la función encontrada en el inciso anterior. 2. Ana recibe un préstamo de C$ 2 000 sin intereses y debe pagar C$ 100 al mes hasta cancelar la deuda. a) Encuentre la función que expresa la cantidad pendiente de pago y (en córdobas) a los x meses. b) ¿Cuánto debe a los 10 meses? c) ¿En cuántos meses cancelará la deuda? — Sección 5: Aplicaciones de la función de primer grado Casos especiales de solución de sistemas de Ea ecuaciones de primer grado con gráfica ” P Encuentre de forma gráfica la solución de cada uno de los sistemas dados: a) 2x+y=1 b) 2x+y=1 2x+y=3 4x+2y=2 S a) Se despeja y en cada ecuación de donde resulta y=-—2x+1 y y=-—2x+3. Ambas rectas tienen la misma pendiente a=—2. La primera tiene intercepto con eleje yen (0, 1) y la segunda en (0, 3). Con esta información se trazan las gráficas de ambas ecuaciones y se observa que no tienen puntos en común. Por lo tanto el sistema 2x+y=1 2x+y=3 no tiene solución. b) Dividiendo ambos lados de 4x +2y=2 por 2 se tiene 4x+2y_2 2 22 Ax 21 2 +25! 2x+y=1 El sistema se reduce a una ecuación, es decir las dos rectas coinciden. Por lo tanto, hay una infinidad de puntos comunes, luego el sistema 2x+y=1 4x+2y=2 tiene infinitas soluciones. Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables que no tiene solución se llama sistema de ecuaciones incompatible. Un sistema de ecuaciones de primer grado que tiene solución es llamado compatible. Los sistemas de ecuaciones compatibles se clasifican en: compatibles determinados si tienen una única solución, o compatibles indeterminados si tienen infinitas soluciones. Dos rectas que tienen la misma pendiente son paralelas. — Unidad 3: Funciones de Primer Grado Clasifique los siguientes sistemas en compatible (determinado o indeterminado) o incompatible. a) x—y=4 b) x+y=1 c) x=y=-=1 x=y=2 2x+2y=2 x+y=9 Radicales Sección 1 ; Raíz cuadrada Sección 2 : Operaciones con raíces cuadradas Unidad 4: Radicales Contenido 3: Raíces cuadradas exactas P (cate a) y16 b) (E 47 c) 416 ad) YO ) S E a) Si 16=4?, entonces: 6 =/% =4 b) Igualmente, si (—4)?= 16, entonces: JE4Y =416 =y4 =4 c) Si 16 = 4”, entonces: =y/16 =-/4 =-—4 d) 0=0?, significa que: YO =y0* =0 Nótese que el O tiene una única raíz cuadrada. Las dos raíces cuadradas de a>0, también se pueden escribir como +y/a y se lee más-menos raíz cuadrada de a. Las dos raíces cuadradas de 16 son +4. Las raíces cuadradas que se pueden expresar sin el signo de radical se llaman raíces cuadradas exactas. Si a>0, entonces: Va=a —/añ=-a Calcule las siguientes raíces cuadradas: a)/25 by E 6Y c) — 449 —— Sección 1: Raíz cuadrada Contenido 4: Comparación de raíces cuadradas P En la figura de la derecha se muestran dos cuadrados con áreas respectivas de 2cm? y 5cnP. a) Encuentre la medida del lado de cada cuadrado. b) Observe la figura y compare las raíces cuadradas obtenidas en el inciso anterior. a) Sea x el número positivo que representa la medida del lado del cuadrado de área 2 cm?, entonces: x=2 7 x=4y2 Área=/? Sea y el número positivo que representa la medida del lado del cuadrado con área 5 cm?, entonces: y=5 y=45 Medida del lado del cuadrado de área 2 cm”: /2cm /2cm Í 2cm?| V5cm : 5cm? Medida del lado del cuadrado de área 5 cm?: /5 cm /2em b) En la figura se observa que la medida del lado del cuadrado de menor área es menor que la medida del lado del cuadrado de mayor área. Esto significa que /2 < y/5.. C Si a y b son números positivos, entonces se verifica la siguiente propiedad: Sia < b, entonces Ya < yb. Escriba en el recuadro el signo < o > según corresponda. v7 b) 43] 47 o) 2L|v5 a) Como se cumple que 3<7, entonces y/3 |< ]y7. Si a y b son números positivos b) Puesto que /3 < y/7, entonces =43[>] = 47. Le e Ea ÓN jemplo: Cc) De 4<5, resulta que ya < 5. ES Al ser Y4=2, entonces 2[<]v5. -3>-5 E Escriba en el recuadro el signo < o > según corresponda. a) V5[_1/2 bp) YM ]/13 o) 3[_ ]/10 a) -43L_]y7 — Unidad 4: Radicales Contenido 5: Decimales infinitos periódicos y no periódicos P Escriba en forma decimal los siguientes números fraccionarios: 2 bz 2 da 4 25 E ) 43 7 SE 7 2) 570,4 b) g 0,875 2 se convierte en C) $ =0,45454545... d) +=0,571428571428... decimal, digitando en la calculadora 25 Observe que: + los decimales en a) y b) tienen un número finito de cifras Se llama período de un decimales. número decimal a la + los decimales en c) y d) tienen infinitas cifras decimales. cifra decimal que se + las cifras decimales en c) y d) tienen un período. repite consecutivamente, lo cual se da de forma En d) el período es 45 y en d) el período es 571428. infinita. Para indicar el período se escribe: 0,45454545...=0,45 0,571428571428...=0,571428 Un número decimal puede tener un número de cifras decimales finito o infinito. Cuando un número decimal infinito tiene período este se llama decimal infinito periódico. En caso de que el decimal infinito no tenga período, se llamará decimal infinito no periódico. Clasifique los números dados en periódicos o no periódicos, según corresponda. a) 0,18181818... b) 0,285714285714... c) Y2=1,4142135623... a) 0,18181818... es periódico, con período 18. b) 0,285714285714... es periódico, cuyo período es 285714. c) /2=1,4142135623... es no periódico. Clasifique los siguientes números decimales infinitos en periódicos o no periódicos según corresponda: a) v3=1,7320508075... b) 0,13131313... c) 0,12341234... —— Sección 2: Operaciones con raíces cuadradas Contenido 1: Multiplicación de raíces cuadradas P a) Escriba [(y31(/5)]* como el producto de dos enteros positivos. b) ¿Son iguales (Y/31(/5) y (315) ? Sia >0, entonces (/a)' = a. a) Se aplica a?= a . a, de modo que (431451 =[134/5)114/314/5)] =(1/31/5 14/3145) =(/31431(/5)(45) =(y3) (y5Y =(3)5) Es decir, [(431(/5)]? = (315). b) Ena) se obtuvo que [(/3)(/5)]' =(3)(5) así que, por definición de raíz cuadrada, (/3)1(/5) es la raíz cuadrada de (3)(5), es decir: (13145) =/00) Sia>0 y b>0, entonces se verifica la siguiente propiedad: VaJb=yYab Ejemplo Calcule: a) (/18XV2) b) (431V7) 0) (43117) a) =43)=4/7) Se efectúan los productos aplicando la propiedad de la conclusión anterior: a) (/18)/2) = (182) b) (4317) = SD) = /36 =/A =6 0) 4347) =/8)7) II O) =-y/21 =y21 t Calcule: a) (4321/2) b) (45117) 0) (=427)(43) d) 4/1) 46) — Unidad 4: Radicales Contenido 2: División de raíces cuadradas P a a) Escriba (5) como el cociente de dos enteros positivos. b) ¿Son iguales E y Je? Si a>0, entonces (/a)?=a S AR v5 5 2 (5y 5 Es decir, (4) = 2 2 b) En aj) se obtuvo que E) =3, así que por definición ) ) q ( 15) 75 que p - Y3 - 3 o de raíz cuadrada 5 es la raíz cuadrada de 5) es decir: Y3_/ Ya 5 C Si a>0 y b>0, entonces es válida la igualdad: va _ fa vb b Ej mplo Simplifique las siguientes expresiones: 2 Y3 y (8 y 420 y2 y12 Ys Se e la propiedad establecida en la conclusión anterior 418 _ p5 b) Y10 _ HO ce) 420 =- y/20 yY12 Y5 Y5 = a _ 20 A Ah 2 =-/4 -2 t Simplifique las siguientes expresiones a) 42 py “5 y 48 a 4 y2 /10 v5 v/7 Sección 2: Operaciones con raíces cuadradas Contenido 3: Introducción de factores naturales dentro del signo de radical P Escriba en la forma ye los siguientes números: a) 3/2 b) 5/3 S a) Se aplica la propiedad Ya/b=y/ab: 3/2 =(43(42) =/8630) =y(91(2) =418 b) Se aplica la propiedad /ayb=yab : 543 =(1/5*/3) =/5678) 5=y45? =/025)6) =/75 C Si a>0 y b>0, entonces se cumple que: a/b=y/a7b E: Escriba en la forma y/c los siguientes números: a) 3/5 b) 6/2 Ejemplo Escriba en la forma —y/c el número — 347. Se introduce 3 dentro del signo radical aplicando la conclusión anterior. 3/7 =-(ENT) = (9) (7) =-—/63 E, Escriba en la forma —yc los siguientes números: a) —247 b) —4y/2 — Unidad 4: Radicales E Contenido 6: Comprobemos lo aprendido 2 1. Efectúe las siguientes operaciones: 2) (15145) br 4514/8) 9 (2(3X45) 1125 -/20 y2 O o o o 2. Escriba la expresión de cada inciso en la forma Yc o —y/c según corresponda. a) 5/7 b) 6/8 ce) 7/3 da) —9y/6 3. Simplifique los siguientes radicales: a) y8 b) 427 o) y125 d) 4245 e) 4343 4. Racionalice el denominador de las siguientes fracciones: a) 2 b) 7 y Y“ dd 3 e) 3/10 yY11 YT y6 245 5/6 Sección 2: Operaciones con raíces cuadradas Contenido 7: Adición y sustracción de raices cuadradas simplificadas P Efectúe las siguientes operaciones: ab+cb=(a+c)b >. a) 3/2+5/2 b) 3/2-5/2 0) 2/3+5y2 ab=co= (ad Y S a) Enambos sumandos aparece el factor /2, así por la propiedad distributiva y suma de números enteros se tiene: 3/2 + 5/2 = (3 + 5/2 = 8/2 b) Se aplica nuevamente la propiedad distributiva y diferencia de números enteros. 3/2 — 5/2 =(3— 5)/2 =- 2/2 c) Los números que están dentro del signo radical son diferentes, y cada raíz cuadrada ya está simplificada, por lo cual la suma queda indicada. Las sumas o restas de raíces cuadradas simplificadas se pueden reducir cuando el número dentro del signo de radical es el mismo. Si los números dentro del signo de radical son diferentes la suma o resta queda indicada. Ej mplo Efectúe las siguientes operaciones: a) 6/5-— 4/5 b) 6/7 + 8/7 — 5/2 Cc) 2 5/3 + 4/3 a) 6/5—44/5 =(6-— 4)/5 = 2/5 b) 6/7 + 8/7 — 5/2 =(6 + 8)/7 — 5/2 = 14/7 — 5/2 Cc) 2-5/3+4/3 =2+(-5+4)/3 =2-—y43 E Efectúe las siguientes operaciones: a) 3/5+7/5 b) 6/7 +8y7 co) 7/6 -—y6 a) 11/8 — 5/8 e) 3/7 +2/7-6 f) 17/13 + 5/11 — 11/13 — Unidad 4: Radicales Contenido 8: Adición y sustracción de raices cuadradas no simplificadas P Efectúe las siguientes operaciones: a) 4/18 +y/50 b) 3/12 —y/3 Va b = ayb S a) Se simplifica /18 y y/50 y se reducen las raíces cuadradas que tengan el mismo número dentro del signo de radical: /18 +/50 = (EH) + (572) MS sE = 342 + 5/2 3a|3 s| 5 = 8/2 1 1 b) Se simplifica /12 y se procede como en a): 3/12 — 43 = 3028) — /3 121 2 = (312)/3 — 43 6| 2 = 0/3 43 312 = 5/3 C Para sumar o restar expresiones que tienen raíces cuadradas no simplificadas, se simplifican dichas raíces y se suman o restan aquellas cuyos números dentro del signo de radical sean el mismo. Efectúe las siguientes operaciones: a) y/40+y90 b) 4/48 —y/27 +43 a) Como 40= (22/(10) y 90= (33(10) se tiene que: y/40 + 490 = (2310) + (33110) = 2/10 + 3/10 = 54/10 b) Dado que 48 = (43)/(3) y 27=(33)/(3) resulta: 148 — 27 +43 = (AS) — (66) + 3 = 443 — 3/3 + y/3 = 2/3 Efectúe las siguientes operaciones entre expresiones con radicales: a) yY20+y/45 b) 4125 —/45 c) 7/44 +y99 d) /98 + y/50 +18 — Unidad 5 Paralelismo Sección 1 Resta de ángulos Sección 2 : Ángulos entre rectas cortadas por : Uunatransversal Sección 3 : Ángulos internos y externos de un : triángulo Unidad 5: Paralelismo Sección 1: Resta de ángulos Contenido 1: Ángulos complementarios Calcule la medida del ¿DAC. Un ángulo que mide 90" se llama ángulo recto. [Lo PIN Se observa en la figura que 4BAC=90", por lo cual 4BAD+4DAC=090". Como ¿BAD=30", entonces 30"+ 4DAC=90" ¿DAC=90*—30* ¿DAC=60" Luego, 4DAC=60". En la figura de la derecha se cumple que: 1. a+ b=90* a: indica el ángulo con 2. a=90”—b b medida a 3. b=90—a ú Í Dos ángulos cuyas medidas suman 90” se llaman ángulos complementarios. Se observa en la figura que Za y 4b son complementarios. Dada la figura de la derecha, encuentre a y b. ee y a) a=90*—40*= 50" ) b=90*—35"=55" Luego, a=50". Luego, b= 55". E Calcule a, b y c según corresponda. a) b) c) 702 b 37% e á 450 Sección 1: Resta de ángulos Contenido 2: Ángulos suplementarios Dada la figura de abajo, calcule b. El a y el 4b forman un par lineal. La suma ¡de Pi sus medidas es 180”. Se observa en la figura dos ángulos que forman un par lineal, por lo cual: 70"+b=180" b=180"—70* =110* Concluyendo que b=110". En la figura, el Za y el 4b forman un par lineal y por tanto se cumple que: 1. a+b=180" 2. a=180—b 3. b=180"—a Aa Dos ángulos cuyas medidas suman 180” se llaman ángulos suplementarios. En la figura el Za y el 4b son suplementarios. Ejemplo Utilice la figura en cada caso a) b) para calcular a y b. aX PAR 100* < a) a=180"—45* b) b=180*—100* = 135" =80" Luego, a=135". Por tanto, b=80". E Calcule a, b y c según corresponda. a) b) c) 302 Cc AAC b 130%