matematicas repaso, Apuntes de Matemáticas Aplicadas

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ACTIVIDADES REPASO 1ª EVALUACIÓN (MATE B) TRABAJO PARA NAVIDADES 1.- Indica el conjunto numérico más pequeño al que pertenece cada uno de los siguientes números: -12 23 7’14 5’22242424… 5’33313113111311113… 2.-Halla las aproximaciones por exceso, defecto y por redondeo de 5’1483… cuando se eligen dos y cuando se eligen tres cifras decimales. 3.- Calcula el valor de las siguientes potencias: a) b) c) d) e) 4.-Calcula utilizando las propiedades de las potencias: a) b) c) d) 5.- Reduce a común índice los siguientes radicales y ordena de menor a mayor: a) ; ; b) ; ; 6.- Introduce o extrae los factores posibles de dentro de la raíz; a) b) c) d) 7.- Calcula las siguientes sumas y restas de radicales: a) b) 8.- Racionaliza: a) b) c) 9.-Calcula aplicando la definición de logaritmo y sin utilizar la calculadora: a) b) c) d) e) f) 10.- Calcula utilizando las propiedades de los logaritmos y sin utilizar la calculadora. a) b) 17.- Resuelve los siguientes sistemas: a) b) c) TEMA 1: LOGARITMOS 1.-Resuelve aplicando la definición de logaritmo: log2 8 = log2 16 = log3 9 = log10 100 = log6 1 = log7 = log4 4 = log2 4 = log4 2 = log5 1 = log5 5 = log3 27 = log3 = log3 243 = log2 = 2.- Resuelve aplicando la definición de logaritmo: log3 = log3 = log5 = log7 = log6 = log8 = log2 = log5 = log10 = log27 3 = log5 = log3 = log25 5 = log49 7 = log125 5 = 3.- Calcula el valor de x que satisface las siguientes igualdades: log2 x = 4 logx 4 = 2 log4 x = log3 x = 2 logx 8 = 3 logx 16 = 4 log5 x = -2 logx 100 = 2 logx 30 = 1 4.- Calcula utilizando las propiedades de los logaritmos: a) log 0’001 = b) 2 log 9 – log 81 = c) log 0’5 + log 2 = d) log 4 + log + log 2 = e) log 1000 – log 10 = f) log 50 + log 2 = g) log 0’1 = h) 4 ( log 2 + log 5) – 3 log 10 = i) 2 ( log 8 + log + log ) = j) log 0’0001 = k) 3 log 3 – log 27 = 5.- Calcula el valor de: a) log 0’00001 = b) log= c) log 125 + log 8 = d) log 5 – log 500 = e) 2 log 3 – log 9 = f) log 0’02 + log 5 = g) log 2500 – 2 log 5 = h) log + log 5 = i) log 1000 – log 100 = 6.- Indica si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades y razona tu respuesta: a) log 100 = log 50 +log 2 b) log 100 = 2 · log 50 c) log 4 = 2 · log 2 d) log 10 = log 5 + log 5 7.- Expresa con un solo logaritmo las siguientes expresiones: a) log 6 + log 2 – log 3 = b) 2 · log 2 + log 36 – log 12 = c) ( log 3 + log 25 ) - = d) 3 ( log 8 – log 4 ) + log 3 = e) log 16000 – ( log 40 + log 2 ) = f) log 5 + 1 = g) 2 – log 4 = h) 3 + log 3 – log 5 = 8.- Expresa con un solo logaritmo: a) log 4 + log 3 + 2 log 3 = b) 4 log 2 – log 4 = c) log 9 – log 3 = d) log 25 – log 5 = e) log + log 5 + log 3 = f) log 4 + log 6 – log 6 = g) log 0’2 + log 5 = h) 2 log 3 – log 9 = 9.- Sabiendo que log 2 = 0’3010, calcula el valor de: a) log 64 = b) log = c) log = d) log 2000 = e) log 40 = f) log = g) log 5 = 10.- Sabiendo que log 2 = 0’3010 y log 3 = 0’4771 calcula el valor de: a) log 6 = b) log 81 = c) log 1’5 = d) log 0’09 = TEMA 3: ECUACIONES Y SISTEMAS ECUACIONES LOGARÍTMICAS 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log 6 = log x + log 3 b) log 2 + log (x + 3) = log 4 c) log (x + 18) – log x = 1 d) log (3x + 5) – log (2x + 1) = 1 – log 5 2.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log (-4x + 6) – log (3x – 2) = log 2 b) log x + log 4 = 0 c) log (x + 5) = log x + log 5 d) log x2 = log 1 + 2·log (x – 2) 3.- Resuelve las ecuaciones logarítmicas y haz la comprobación: a) log (2x + 8) + log (x + 8) = 1 b) log (2x – 3) + log (3x – 2) = 2 – log 25 c) 2 log x = log (x2 – 2x + 6) d) log (x + 1)2 = 2 4.- Resuelve las siguentes ecuaciones : a) log (7x + 15) – log 5 = 1 b) log = 1 + log (21 – x) c) log = 2 – 2 log x SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS 1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas: a) x – y = 15 log x + log y = 2 b) x + y = 22 log x – log y = 1 2.- Resuelve los siguientes sistemas: a) 2 log x – 5 log y = -1 c) 3 log x + 2 log y = 12 3 log x + 2 log y = 8 log = -1 b) 4 log x – 3 log y = -1 d) log x + log y3 = 5 log xy = 5 log = 4 ECUACIONES EXPONENCIALES 1.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2x = 8 b) 7x = 49 c) 2x+1 = 256 d) 11x = 1331 2.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x+1 = 81 b) 2x-1 = 64 c) 5x+2 = 625 d) 7x-2 =2401 3.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x = 27 b) 9x = 729 c) 3x+1 = 729 d) 12x = 20736 4.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2· 5x = 875 b) 3· 2x = 24 c) 3· 5x = 75 d) 7· 2x = 224 5.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5x = 10 b) 2x = 25 c) 3x+1 = 80 d) 7x = 39 6.- Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 3x+1 – 3x = 162 b) 2x+3 + 2x = 18 c) 9x – 2· 3x -3 = 0 d) 42x+1 – 4x+2 = 768 e) 4x – 2x = 2 f) 4x – 5· 2x + 4 = 0 7.- Resuelve: a) 3x-1 + 69 = 32x – 3x b) 2x+3 + 4x-1 – 80 = 0 c) 2x + 2x-1 = 24 d) 2x-1 + 2x + 2x+1 = 7 8.- Resuelve estas ecuaciones: a) 52x – 30· 5x + 125 = 0 b) 52x – 6· 5x + 5 = 0 c) 32x+2 – 28· 3x + 3 = 0 d) 4x – 5· 2x + 4 = 0 SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES 1.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales: a) 2x + 5y = 9 2x-1 + 5y+1= 9 b) 7· 5x – 4· 3y+1 = 171 5x-1 + 3y+4 = 32 c) 3· 2x – 5· 3y = 3 2x+1 + 3y+1 =59 d) 2x + 3y = 35 2x – 3y = 29 TEMA 6: TRIGONOMETRÍA Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera 1.- Si  es un ángulo del cuarto cuadrante y su coseno vale 0’8, calcula tg Â. 2.- Calcula el seno y el coseno del ángulo agudo  sabiendo que tg  = 2. 3.- Calcula el coseno y la tangente del ángulo  sabiendo que sen  = y que es un ángulo del segundo cuadrante. 4.- Calcula el seno y la tangente del ángulo  sabiendo que cos  = - y que es un ángulo del tercer cuadrante. 5.- Calcula el seno y el coseno del ángulo  del que se sabe que tg  = -3 y que es un ángulo del cuarto cuadrante. 6.- Calcula el seno y el coseno del ángulo  sabiendo que tg  = y que es un ángulo del segundo cuadrante.. Relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos diferentes 7.- Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo de 45º, calcula las del ángulo de 135º. 8.- Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo de 60º, calcula las del ángulo de 240º. 9.- Con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo de 30º, calcula las del ángulo de –30º. 10.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 300º. 11.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 150º. 12.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 225º 13.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 130º en función de las de un ángulo del primer cuadrante. 14.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo 333º en función de las de un ángulo del primer cuadrante. 15.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de –15º en función de las de un ángulo del primer cuadrante. 16.- Calcula las razones trigonométricas del ángulo de 1125º. 17.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 4000º en función de las de uno del primer cuadrante. 18.- Expresa las razones trigonométricas del ángulo de 1750º en función de las de uno del primer cuadrante. PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. APLICACIONES A LA GEOMETRÍA 1.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm. y el ángulo menor 35º.Calcula los catetos y el ángulo mediano del triángulo. 2.- Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 5 cm. y su ángulo opuesto 40º. Calcula el valor de la hipotenusa y del otro cateto. 3.- Los catetos de un triángulo rectángulo miden a = 8 cm. y b = 24 cm. Halla los restantes elementos del triángulo. 4.- Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 85 dm cada uno y el desigual 168dm. Calcula los ángulos de dicho triángulo así como la altura sobre el lado desigual. 5.- El ángulo opuesto al lado desigual de un triángulo isósceles mide 65º. Cada uno de los lados iguales mide 12 cm. Calcula el lado desigual y la altura sobre él. 6.- La base de un triángulo isósceles mide 5 cm y el ángulo opuesto a dicha base es de 55º. Calcula la medida de la altura sobre dicha base así como el área del triángulo. 7.- La base de un triángulo isósceles mide 10 m y el ángulo opuesto 50º. Calcula los lados y el área. 8.- Dos lados de un triángulo miden 9 cm y 14 cm y el ángulo que forman estos lados 57º. ¿Cuánto mide el área? 9.- Calcula el área de un triángulo del que se conocen sus lados, a = 15 cm y b = 20 cm, y el ángulo comprendido entre ellos, C = 35º. 10.- Halla la base y la altura de un rectángulo sabiendo que una de sus diagonales, que mide 20cm, forma con la base del mismo un ángulo de 30º. 11.- Halla el área de un pentágono regular de lado 10 m. 12.- Halla el área de un octógono regular de lado 20 m. PROBLEMAS PARA APLICAR 1.- Calcula la longitud de la sombra de la torre Eiffel cuya altura es de unos 300 m, cuando la inclinación de los rayos solares medida sobre el horizonte es de 14º. 2.- Una moneda mide 2’4 cm de diámetro. Halla el ángulo que forman las tangentes a dicha moneda desde un punto situado a 6cm del centro. 3.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm y cada rama mide 12 cm. Halla el ángulo que forman las ramas del compás. 4.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y cada rama tiene 12 cm de longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse. 5.- Desde un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se ve un barco bajo un ángulo de depresión de 55º. ¿A qué distancia del pie del faro se encuentra el barco? 6.- Una escalera de bomberos de 10 m de longitud se ha fijado en un punto de la calzada. Si se apoya en una de las fachadas forma un ángulo con el suelo de 45º y si se apoya sobre la otra fachada forma un ángulo de 30º. Halla la anchura de la calle. ¿Qué altura se alcanza con dicha escalera sobre cada una de las fachadas? 7.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo mide 60º.Halla la altutra de la torre. 8.- Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 45º, y si se retrocede 40 m, se ve bajo un ángulo de 30º. Halla la altura del árbol y el ancho del río. 9.- Dos amigos han creído ver un ovni desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación de 30º y 75º respectivamente. ¿Sabrías hallar la altura a la que está el ovni sabiendo que se encuentra entre ellos? 10.- Se desea calcular la altura del campanario de la iglesia de Villanueva la Lastra, para ello se hacen dos observaciones desde dos puntos situados uno a dada lado de la torre y alineados con ella obteniendo como ángulos de elevación 28º y 47º. Si la distancia entre los puntos de las observaciones es 50 metros. Halla la altura de la torre. 11.- Para medir la distancia entre dos pueblos se utiliza un globo cautivo que está a 560 metros de altura. Desde Navas de Abajo se ve bajo un ángulo de elevación de 20º y desde Navas de Arriba bajo un ángulo de elevación de 25º. Suponiendo que el globo está entre los dos pueblos y alineado con ellos calcula la distancia que los separa. PROBLEMAS DE REPASO 1.- Una escalera de 6 m de largo se encuentra apoyada en una pared de tal forma que su pie dista 3 m de la misma. Calcula la altura del punto de la pared en el que la escalera está apoyada así como el ángulo que dicha escalera forma con el suelo. 2.- Para determinar el ancho de un río se fija una señal en la orilla, a continuación el operario se coloca delante de la señal pero al otro lado del río y camina 30 metros por la orilla hasta un punto que forma un ángulo de 64º con la señal. Calcula la anchura del río. 3.- Una torre de 20 m de alto proyecta una sombra de 25 metros de largo. Calcula el ángulo de inclinación de los rayos solares en ese momento sobre el suelo. 4.- La inclinación de los rayos solares en cierto momento es de 38º sobre la horizontal. Calcula la longitud de la sombra que proyecta un árbol de 3’5 metros de altura. 5.- Desde un faro, situado a 40 m sobre el nivel del mar, se observa un barco bajo un ángulo de depresión de 28º .Calcula las distancias que separan al barco del pie del faro y del punto más alto del faro. 6- Desde cierto lugar se ve el punto más alto de una torre bajo un ángulo de 35º.Si se retrocede 200 metros, se ve la misma torre pero bajo un ángulo de 20º. Calcula la altura de la torre. 7.- Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos observaciones desde dos puntos A y B situados a un lado de la torre, obteniendo como ángulos de elevación 30º y 45º, respectivamente. La distancia AB es de 30 m. Halla la altura de la torre. 8.- Pedro y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión, bajo los ángulos de 45º y 60º. La distancia entre sus casas es de 126 m y la antena está situada entre sus casas y alineadas con ellas. Halla la altura de la torre. 6. La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y -13 = 0. Calcula m y n. Tema 10: Funciones reales 1.Calcular el dominio de las funciones: 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 2.Dadas las funciones: Calcular: 1 2 3 4 5 6 7Probar que: 3. Estudia la simetría de las siguientes funciones: 1 2 4. Hallar la función inversa de: 5. Dadas las funciones: Calcular: 1 2 3 4 5 Probar que: 6. Representa las funciones definidas a trozos: 1 2 3 7. Representa las funciones valor absoluto: 1f(x) = |x − 2| 2f(x) = |x² −4x + 3| 3f(x) = |x| − x REPASO DE DOMINIOS DE FUNCIONES: 8.- Halla el dominio de las siguientes funciones racionales: a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = a) b) c) 5.- Calcula los siguientes límites: a) b) c) d) 6.- Calcula los siguientes límites: a) b) c) d) TEMA 12: ESTUDIO DE FUNCIONES ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES 1.- Halla las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones: a) f(x) = b)f(x) = c) f(x) = d) f(x) = e) f(x) = f) f(x) = g) f(x) = h) f(x) = i) f(x) = j) f(x) = k) f(x) = l) f(x) = m) f(x) = n) f(x) = FUNCIONES CUADRÁTICAS 1.- Representa gráficamente sin utilizar tabla de valores e indica si la función es cóncava o convexa: y = x2 + 1 y = x2 + 5 y = - x2 – 3 y = x2 – 3 y = -x2 + 1 y = -x2 + 5 2.- Dadas las siguientes funciones: f(x) = 3x2 g(x) = -3x2 + 5 h(x) = 2x2 + 3 l(x) = -5x2 – 3 a) Represéntalas gráficamente. ¿Corta alguna al eje X? b) Indica el eje de simetría y el vértice de cada una de ellas. c) Indica si la función es cóncava o convexa. 3.- Tenemos la función f(x) = (x – 1)2 a) Halla el vértice de la parábola que la representa. b) ¿Tiene eje de simetría?. Indícalo. c) Represéntala gráficamente e indica si la función es cóncava o convexa. 4.- Representa gráficamente las siguientes funciones: f(x) = -(x – 4)2 f(x) = - (x + 3)2 f(x) = (x – 3)2 f(x) = (x + 2)2 Indica el vértice y el eje de simetría de cada una de ellas. 5.- Representa gráficamente las siguientes funciones: f(x) = (x – 1)2 + 5 f(x) = -(x +3)2 +2 f(x) = - ( x – 2)2 – 1 f(x) = (x + 2)2 – 4 Indica el vértice y el eje de simetría de cada una de ellas. 6.- Representa gráficamente las siguientes funciones indicando en cada caso el vértice, el eje de simetría y los puntos de corte con los ejes. f(x) = x2 + 4x + 3 f(x) = -x2 – 4x + 5 f(x) = x2 – 6x + 8 f(x) = -x2 + 6x + 7 f(x) = -x2 – 6x – 8 f(x) = x2 – 10x + 21 f(x) = x2 + 2x + 4 f(x) = -x2 + 4x + 1 f(x) = 2x2 – 8x + 7 f(x) = -x2 + 4x – 1 f(x) = x2 + 8x + 9 FUNCIONES LINEALES 1.- Indica la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes funciones: f(x) = x f(x) = -x – 5 f(x) = -4x f(x) = x + 1 f(x) = -2x + 2 f(x) = 3x – 4 2.-Representa gráficamente en el mismo diagrama las siguientes funciones: a) ¿Cuántas palabras se podrán formar si las letras son diferentes? b)¿Cuántas palabras se podrán formar si las letras pueden repetirse? c)¿Cuántas acabarán en z en el caso a? 19.- Un semáforo consta de tres luces de color rojo, verde y ámbar, cada una de las cuales puede permanecer apagada o encenderse. ¿Cuántas señales distintas se pueden formar? 20.- Halla la cantidad de números capicúas de ocho cifras. ¿Cuántos capicúas hay de nueve cifras? 21.- Con las letras de la palabra PELUCA, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer? ¿Cuántas empiezan por P?¿Cuántas empiezan por PEL? 22.- ¿Cuántos números de cuatro cifras sin que se repita ninguna se pueden formar con los dígitos 2, 4, 6 y 8? 23.- Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7,¿Cuántas ordenaciones distintas pueden formarse de manera que las cifras pares ocupen los lugares pares y las cifras impares los impares? 24.- ¿De cuántas maneras se pueden introducir cinco objetos distintos en cinco cajas diferentes, teniendo en cuenta que en cada caja sólo se puede meter un objeto? 25.- ¿De cuántas formas pueden colocarse en fila 10 alumnos si suponemos que hay dos que ocupan siempre el mismo puesto, uno el primero y otro el último? 26.- ¿De cuántas formas se pueden sentar seis personas en una fila de butacas de un cine? 27.- Con las letras de la palabra DISCO, ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por O? 28.- ¿De cuántas formas se pueden colocar 10 cantores de un coro si dos de ellos tienen que estar siempre en los extremos? 29.- ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer con las cinco vocales?¿Cuántas empiezan por ae? 30.- ¿Cuántos números de cinco cifras distintas, que no empiecen por cero, se pueden escribir con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4? 31.- ¿De cuántas formas pueden disponerse en la mano cinco cartas determinadas de una baraja? 32.- En una escalada, una determinada cordada está compuesta por cinco escaladores. Teniendo en cuenta que van uno detrás de otro, ¿De cuántas formas podrá llegar a la cima? 33.- ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar ninguna posición distinta de la portería? 34.- ¿De cuántas formas distintas puede llegar a la meta cinco caballos en una carrera? 35.- En el banquete que sigue a una boda se sientan en la mesa presidencial ocho personas, incluidos los novios. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar de forma que los novios no se separen? 36.- Una secretaria ha escrito 12 cartas dirigidas a 12 personas distintas, y sus correspondientes sobres. A la hora de meter las cartas en los sobres la llaman por teléfono y, sin fijarse, va introduciendo, al azar, las cartas en los sobres. ¿De cuántas formas distintas podrá llenar los sobres? 37.- En cada programa de radio de una emisora intervienen cuatro locutores. Si una cadena de radio dispone de 20 locutores, ¿De cuántas formas distintas se puede presentar un programa? 38.- ¿Cuántas rectas se pueden trazar con 20 puntos situados en un plano de tal forma que no hay tres puntos alienados? 39.- A una reunión acuden 30 personas. Se decide constituir comisiones de seis personas para estudiar un cierto plan. ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar? 40.- ¿Cuántas jugadas diferentes se pueden obtener si se sacan 8 cartas de una baraja de 40 cartas? 41.- ¿De cuántas formas pueden combinarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres? 42.- En una cierta provincia existen 10 pueblos que están incomunicados entre sí.¿Cuántos trazados hay que realizar para que siempre exista comunicación entre dos pueblos cualesquiera? 43.- A una reunión asisten 17 personas y se intercambian saludos entre todos.¿Cuántos saludos se han intercambiado? 44.- ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 9 localidades que quedan en el cine entre las 12 personas que aún esperan en la cola de entrada? 45.- Se tienen 20 bolas diferentes y 2 urnas. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 bolas en una de ellas y 8 bolas en la otra? 46.- Con 18 soldados, ¿Cuántas guardias distintas, de cuatro soldados cada una, pueden formarse?¿Y en cuántas entrará de guardia cada soldado? 47.- Con los guarismos de los números 47251 y 6839, ¿Cuántos números de seis cifras podemos formar de manera que cada uno tenga tres cifras distintas del primero y tres cifras distintas del segundo? 48.- Con las cifras impares 1, 3, 5, 7 y 9. a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden hacer? b) ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden hacer? c) ¿Cuántos productos de tres factores se pueden hacer? d) Para los números del apartado a, ¿Cuántos acaban en 5? 49.- Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. El profesor quiere elegir a 4 de ellos para hacer un trabajo: a) ¿De cuántas maneras podrá hacerlo? b) ¿De cuántas formas podrá elegirlos con la condición de que haya 2 niños y 2 niñas? 50.- ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse tres chicos y dos chicas en una fila de butacas de un cine teniendo en cuenta que no pueden estar dos chicos juntos ni dos chicas juntas? 51.- La plantilla de un equipo de fútbol está compuesta por 3 porteros, 7 defensas, 5 medios y 8 delanteros. ¿Cuántas alineaciones distintas podrá formar el entrenador suponiendo que cada jugador sólo puede ser alineado en su demarcación?: Nota: Un equipo de fútbol se compone de 1 portero, 3 defensas, 2 medios y 5 delanteros. 52.- Con un grupo de 12 alumnos de un curso deben formarse tres equipos de cuatro personas cada uno para asistir a tres exposiciones distintas. ¿Cuántas formaciones diferentes pueden hacerse? TEMA 17: CÁLCULO DE PROBABILIDADES APLICACIÓN DE LA COMBINATORIA AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1.- Se lanzan 3 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras? 2.- De una baraja de 40 cartas se extraen tres cartas. Halla la probabilidad de que las tres sean reyes. 3.- Para acertar un pleno al quince en las quinielas hay que acertar los quince partidos que figuran en el impreso, marcando en cada partido: el 1 si gana el equipo de casa, la X si empatan y, o el 2 si gana el equipo de fuera. Si se rellena una columna al azar y todos los resultados fueran equiprobables, ¿Cuál es la probabilidad de acertar? 4.- Para hacer una apuesta en la Lotería Primitiva hay que marcar con cruces sies números en un bloque donde figuran números de 1 al 49. El primer premio lo tiene quien acierte los seis números. ¿Cuál es la probabilidad de acertar los seis números? 5.- Javier, Fátima, Santiago y Violeta se hacen una foto. ¿Cuál es la probabilidad de que Fátima y Santiago estén juntos? 6.- Un cartero distribuye al azar tres cartas en sus correspondientes buzones.¿Cuál es la probabilidad de que cada carta esté en el buzón correcto? 7.- Luis, Alberto y Jordi participan en una prueba de natación. Halla la probabilidad de que Luis llegue en primer lugar, seguido de Jordi. 8.- Al término de una reunión entre los jefes de gobierno de los 10 países más desarrollados, se realiza una foto.¿Cuál es la probabilidad de que el presidente de los Estados Unidos aparezca junto al Jefe de Gobierno inglés? 9.- En el banquete posterior a una boda se sientan los novios y los padres de ambos (6 personas) en la mesa presidencial. Halla la probabilidad de que los novios estén juntos. 10.- Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se forman números de tres cifras sin que se repita ninguna. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un número de entre todos los números formados, sea el 134? 11.- Con las cifras impares se forman números de dos cifras pudiéndose repetir. Si se escribe cada número en una papeleta, se introduce en una urna y se extrae al azar una papeleta de la urna,¿Cuál es la probabilidad de que salga el 11? 12.- Seis caballos participan en una carrera. Teniendo en cuenta que no pueden llegar empatados, ¿Cuál es la probabilidad de que gane el caballo “Siempre ligero”? 13.- Calcula la probabilidad de que al sacar dos cartas a la vez de una baraja española resulten ser una pareja de sotas. 14.- Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 negras. Se considera el experimento aleatorio “extraer dos de las bolas a la vez y observar su color”. Halla la probabilidad de que las dos bolas sean blancas. 15.- Calcula la probabilidad de obtener un triple seis al lanzar al aire tres veces un dado. 16.- Se considera el experimento aleatorio “lanzar tres dados al aire”. Calcula la probabilidad de obtener cuatro puntos al sumar el resultado de los tres dados. 17.-Lanzamos cinco monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos exactamente una cruz? 18.- Se sabe que en una ciudad la probabilidad de nacer varón y la de nacer mujer es la misma. Si una familia tiene tres hijos, a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos sean varones? b) Y si una familia tiene 11 hijos, ¿Cuál es la probabilidad de que seis sean varones? SUCESOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD. c) p(amarilla) = d) p(verde o roja) = e) p( no verde) = 14.- En un grupo de 7 amigos, 5 juegan al fútbol y 2 a baloncesto de los cuáles uno de ellos juega también a fútbol. Halla la probabilidad de que e una persona al azar juegue a fútbol o a baloncesto. 15.- En un grupo de 50 alumnos hay 10 que tienen 14 años, 13 que tienen 15 años, 17 que tienen 16 años y 10 que tienen 17 años. Se elige uno al azar. Halla la probabilidad de que tenga 15 o 16 años. 16.- Alberto tiene en su bolsillo 3 monedas de 1 céntimo, 4 de 5 céntimos, 6 de 20 céntimos y 1 de 1 euro. Saca, sin mirar, una moneda del bolsillo. Halla la probabilidad de que: a) Sea de 1 céntimo o de 5 céntimos. b) Sea de 1 euro o de 20 céntimos. 17.- En una urna hay 50 bolas numeradas del 1 al 50. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea par b) No acabe en 7 c) Acabe en 0 o en 5 d) Sea par o múltiplo de 5 18.- En un grupo de 30 alumnos hay 14 que hacen natación y 8 que usan gafas. Se sabe que 3 de las personas que hacen natación usan gafas. ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar use gafas o haga natación? 19.- La probabilidad de que un aluno de 4ºE.S.O. apruebe Matemáticas es del 80%, que apruebe Lengua es del 70% y de que apruebe las dos 60%.¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar apruebe Matemáticas o Lengua? 20.- Se extraen dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que sean dos oros. a) Con devolución b) Sin devolución 21.- En un armario de cocina hay 5 refrescos de cola, 3 de limón y 6 de naranja. Se escogen dos al azar.¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean de naranja? 22.- Una jarra contiene 2 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Luis saca al azar una canica. Después saca otra Sara sin que Luis devuelva la que sacó. ¿Cuál es la probabilidad de que Luis saque canica azul y Sara roja? 23.- Lanzamos una moneda dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces? 24.- En una urna hay 5 bolas blancas y 7 negras. Se extraen dos bolas, una a continuación de la otra, calcula cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas: a) Con devolución b) Sin devolución 25.- La probabilidad de que una persona fume es 0’4. Elegidas 3 personas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas fume?¿Y de que fume sólo una de ellas? 26.- La probabilidad de que Juan enceste un tiro a canasta es 0’7. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste tres tiros seguidos a canasta? 27.- En una urna hay 3 bolas rojas y 4 verdes, en otra urna hay 3 bolas rojas y 2 verdes. Se toma al azar una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color? 28.- Ana guarda en el cajón de su armario 6 camisetas: 2 blancas, 3 negras y 1 azul. En otro cajón tiene 5 pantalones: 2 negros y 3 azules. Si abre un cajón y coge una camiseta sin mirarla y luego abre el cajón de los pantalones y elige uno, también sin mirarlo, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean del mismo color? 29.- Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos dados salgan dos números pares o dos impares?¿ Y de que salga al menos un número par? 30.- En una clase hay 12 chicos y 18 chicas, se eligen consecutivamente dos personas al azar para que sean delegado y subdelegado. Halla la probabilidad de que sean: a) Las dos del mismo sexo b) Un chico y una chica 31.- En una bolsa hay 5 caramelos de limón, 6 de naranja y 4 de cola. Sin mirar, una persona coge un caramelo y, a continuación, otra persona coge otro caramelo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan cogido sus caramelos del mismo sabor? 32.- Se extraen sucesivamente y sin devolución dos cartas de una baraja española.¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo palo? 33.- En una familia con dos hijos, calcula la probabilidad de que: a) El primero sea chico y la segunda chica. b) Uno de los hijos sea chico y el otro chica c) Al menos tengan una chica. 34.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres veces un dado se obtenga sólo un 5? 35.- En un grupo de amigos hay 6 rubios y 10 morenos. Si se escoge al azar tres de ellos. Halla la probabilidad de que: a) Los tres sean rubios b) Los tres sean morenos c) Sean 1 rubio y dos morenos PROBABILIDAD CONDICIONADA 1Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4. Determinar: 1 2 3 4 5 2Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A B) = 1/5. Determinar: 1 2 3 4 5 6 3En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? 4De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: 1 Las dos sean copas. 2Al menos una sea copas. 3Una sea copa y la otra espada. 5Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. 6Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa. 1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés? 2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?