MATEMATICAS RESUELTOS, Ejercicios de Matemática Discreta

¡Descarga MATEMATICAS RESUELTOS y más Ejercicios en PDF de Matemática Discreta solo en Docsity! Capitulo 5 Derivación de funciones algebraicas UNA FUNCION que tiene derivada en un punto x = x, se dice que es derivable en él. Una función es derivable en un intervalo cuando lo es en todos los puntos del mismo, Las funciones que aparecen en el cálculo elemental son, en general, derivables en sus intervalos de definición, pudiendo no serlo en algún punto aislado, FORMULAS DE DERIVACION, En las fórmulas siguientes u, y y w son funciones derivables de x, 1 Lo =0, siendo c una constante 7. El) = E u, eX0 L lá) = eN -£. 2 M1 E £(0)- sa )- > de 00, a d e Ea A toto) UA OA A vo Lo de “de d d (Ny 42 d 0 = 030 da 5) »* IS a =u*L A Alem — mar? 3. q) = (0) + 0 0) 10, q¿(87) = me” d _ d dd d Ao ma A 6. ¿¿un) => 00 q (10) + ano lo) + vo a) 1 (0 = murio (Ver Problemas 1-13.) FUNCION INVERSA. Sca la función y =f(x) derivable en el intervalo a < x < hb y supongamos que dy/dx no cambia de signo en dicho intervalo. Las funciones representadas en las Figs. S-]a y 5-1b toman una sola vez cada uno de los valores comprendidos entre fía) = e y f(b) = d. Por tanto, a cada valor de y perteneciente a dicho intervalo le corresponde un único valor de x, con lo cual x es también función de y, es decir x = g(y). Las funciones y =f(x) y x = g(y) reciben el nombre de funciones inversas. Fig. 5-10 28 CAP. 5] DERIVACION DE FUNCIONES - ALGEBRAICAS 29 Ejemplo 1: da) y =f0) =3x +2 yx =80) = Hy— 2) son funciones inversas. 6) Cuandox <2ey =—1, y =x1—4x + 3 yx =2— Y y + 1 son funciones inversas. Cuando x > 2e y = —1, y=xt—dx +3 yx=2+ yy + 1 son funciones inversas. Para calcular dy/dx en la función x = g(»): (a) Despejar y si es posible y derivar con respecto a x (6) Derivar x = g(») con respecto a y y aplicar dy 1 n EE dy Ejemplo 2: Calcular dv/dx en la función x = Y y +5. Aplicando (a): y =(x — 5) y dy/dx = Ux — 5). Aplicando (5): E = Py? = tt; por tanto, + - 2Y y = Ux— 5). lv y dx (Ver Problemas 14-15.) DERIVADA DE UNA FUNCION DE FUNCION. Si y —f(u) y u = g(x) resulta que y =f(g60) es una función de x. En el caso en que y sea una función derivable de u y u lo sea respecto de x, la función y = f(g(x)) también será derivable con respecto a x. La derivada dy/dx se puede obtener por uno de los procedimientos siguientes: (a) Despejar y en función de x y derivar Ejemplo 3: Siy=4u* +3 y u =2x + 1, tendremos y =(2x + 1)? + 3 y dyjdr = 8x +4, (b) Derivar cada una de las funciones con respecto a la variable independiente y aplicar la fórmula ERE de "du de Ejemplo 4: : dy du dy dy du = yt = 2402218 =%L. =q4= Siy=4+Jyu 2x + 1, tendremos q Un y de de du =8x +4. (Ver Problemas 16-20.) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. La derivada de una función de x, y = f(x), recibe el nombre de primera derivada de la función. Si la primera derivada es a su vez una función derivable, su deri- vada se denomina derivada segunda de la función original y se representa por uno cualquiera de los de . . a simbolos + y" 0 f'"(x). La derivada de esta segunda derivada, si existe es la derivada tercera . PY de la función y se representa por q? of". Nota. La derivada de un orden determinado en un punto solo puede existir cuando todas las funciones derivadas de orden inferior son derivables en dicho punto. (Ver Problemas 21-23.) 32 DERIVACION DE FUNCIONES AlGEBRAICAS [CAP. 5 a _ _ 1 a 2.4 d ñ mm A A ALA — AA) de => dy => 4—e (14-492 (20) + (4 Py lala ao Ba o 14. Hallar dy/dx, en la función 1 = yVl1—yY dE oa — pap) = ao PV? Y 2) 15. Calcular la pendiente de la curva x = y»? — 4y en los puntos de intersección con el eje y, Los puntos de corte son (0,0) y (0,4). dy 1 1 de A A = 24 y 3 e ao En (0,0) la pendiente es —), y en (0,4) la pendiente es 1. d FORMULA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION DE FUNCION dy du 16. Deducir la fórmula a == de Sean 4u y Ay los incrementos experimentados por las funciones « y y cuando x aumenta o disminuye en 4Áx. Siempre que 4u % 0 podremos escribir, Ay _ Ay du Ax da Ax y siendo Au» 0, cuando 4x — 0 se verificará Y 9. du. Se puede prescindir de la condición impuesta a 44 tomando |4x| suficientemente pequeño. Cuando esto no sea posible, la pra se puede deducir de la manera siguiente: Sea dy = a + Au + «+ Au donde e +0 cuando Ax > 0. (Ver Problema 13, Capitulo 4.) Por tanto, dy _ dy du Au Ax Cd dx 0 ly _ dy de du dy du d) t do lími A CAOS A-2.4 a y, tomando límites cuando Ax > 0, de de de +0 de du dy emo antes, 17. Hallar dy/dx, en las funciones y = 7 ya= Ya A + dy _ de 2 _ ar de GD Y ETT dy dy du du 2x 8x ñ dy y e A LOBO e NN Buqié + 1)? 18. Un punto se mueve sobre la curva y = x*— 3x + 5 de forma que x = 41 + 3 siendo t el tiempo. Calcular la variación de y con respecto al tiempo en el instante + = 4. Se trata de calcular el valor de dy/dt para 1 =4. Yoly Ed, e de "Ayo a dr AYVT Cuando 1 =4x=4 YT +3=4, y E S pa a E unidades por unidad de tiempo. 19. Un punto se mueve en el plano según la ley x = 1% + 21, y = 21* — 6£. Calcular dy/dx para 1 =0,2, 5. De la primera ecuación se puede despejar t y sustituirlo en la segunda, resultando y en función de x. CA de de _ 1 dy _ dy de 1 aC a aa OR Los valores pedidos de dy/dx son —3 para £ = 0, 3 parar =2, y l2 parar =5. = 3441). CAP. 5] DERIVACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS 33 20. Siy =xt—dx yx = y 255 1, hallar dy/dt cuando + = y 2. Y lia da Y dy _dy de 4D a e %A d TO CN Casados Va 13 y dy IZA 12-213. 21. Demostrar que la función f(x) = x1 + 3x* —8x + 2 tiene derivadas de todos las órdenes para x = a £) =346x—8 y fo) =30 4 6a—8 IG) =6x 46 y FU) =6.+6 f0)=6 y fa=6 Todas las derivadas de orden superior son idénticamente nulas 22, Hallar las sucesivas derivadas de f(x) = x*!3 para x = 0, 4 £0) = 3 yroO=0 E (0) =p YÍ (0) no existe. Por tanto, para x = O solamente existe la primera derivada. = = 21 — 337, calcular £ (2). 23, Dada la función f(x) = Tendremos 0. =U—DA — DAD) = 21 — 2) * =2 +1 11 —x)2 FU) = 21 H-D0 —) 1) = 2-2 11 —x)-* PO 22M — UM) = 213 11 — 197 con lo cual $9 (1) =2 +2 1(1 —xJ0+D, Esto se puede demostrar por el método de inducción, suponiendo que f(x) = 2 + 4 1(1 — 2)7%+D, se verifica O E EI Problemas propuestos 24, Deducir la fórmula 10 en el caso en que m = —l/n, siendo » un número positivo, aplicando la fórmula 9 para d [1 hallar ¿7 Ep En el caso en que mm = p/q, siendo p y q enteros, ver Problema 4, Capítulo 6. Hallar la derivada de las funciones de los Problemas 25-43. By = eb — 10 +6 Sol. dylda = bx(a!+42*—4) - dy _ 3.3 1 6 y = 32M ¿M4 gon Sl. Y= Ei Y ne de aa <l¿4 Lo 20 Yo -1_2 e sol. La a My = V22+2Vz Sal. y v2z 2,6 44 9pn DRY = +52 Sol. ft) =- —— vi ve És 30. y = (1-5x)! Sol. y = -30(1— 5x)! 3 fa) = (Bra 1) Sol. f(x) = 121-232 a*+ 1) SL. y = (844220 Sol. y = 2 Y  34 DERIVACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS [CAP. 5 _3r+2 e 5 => + Ss a a y=[(=Y Sol. y = E NT AFA 35 y =2YI=z sol, y = 26250 . y = 2x e V2=z . _ Bda 36..f(2) = ey3- 2 Sol. fa = == 3 2a dy _ 24243 = - 1 sl LB AAA 31. y = (a-—1)yai—- 2r+2 de VE +R 07 da _ 1 == Sl ag Ta 1 39. y= A+vz Sal. y = ——= 4Va+a vz =1 , 1 40. a Wi Sol. fía) = —— == 1 Pi (e+ 11/2271 dl y= (+3 005) Sol. y = Za(u? + 3) (2a* — 5) (L7a*+ 272 — 20) +2 ao ds = a Sl > a a—1N 4. y= (5) 3601" — 19? SR 44. Calcular dy/dx por dos métodos diferentes y comprobar que se llega al mismo resultado: (a) x = (1 + 2y)* (6) x = 11Q + y). Calcular dy/dx en los Problemas 45-48, u-1 8. Y = 71: u= yx 46. y=4u0+4, u=x+2x 37. y=y1+un=Yx 48. y= Yu u=v3—2v),v=x* Calcular las derivadas indicadas en los Problemas 49-52, 49. y = 3-2 +25, y” 0 y=UVE yu 5 fe) = Y2-32%, f"(a) 52 y =x«/Yx—1, y” Calcular la derivada enésima en los Problemas 53-54. $5. y=1p0* 54. f0) = 1/Gx + 2) 55. Siy =f() y u = £(x), demostrar: Py _ da e, 77 (daa du de us :) 0 q dx 56, A partir de — = —,, deducir —-- P. dy y dix de wr Sol. => — de yYa(l+yzY Sol. Z = Gra +2) (2 +1) Sol. Ver Problema 39 Ind: + -Í- Z. 2 (Sol, "Ver Problema 36) Sol. y” = 72% 105 sol. y = E, May = 78 Sol 0) = E A—x ly = A Sl. y” = pi Era+D! Sot, y E en! So CV a - du Du, ¿Du Lu de, = da de a aa + Pr INN yy ar uy