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¡Descarga Matemáticas resueltos y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! ANAYA Matemáticas aplicadas a las ¡ATSC E TTM Resuelve Página 107 Resolución de inecuaciones lineales m Para representar x- y<2, representa la recta de ecuación y—x=2. Después, para decidir a cuál de los dos semiplanos corresponde la inecuación, toma un punto cualquiera exterior a la recta y comprueba si sus coordenadas verifican o no la desigualdad. m Representa, de forma análoga, las siguientes inecuaciones: a) x+5y> 10 b) x+2y< 16 c) 2x + y< 20 b) c) 2x + y <20 2 Resolución de sistemas de inecuaciones m Representa el recinto formado por las siguientes condiciones: y-=x*<2 x+5y210 x+2y<16 2x + y<20 TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il E Programación lineal para dos variables. Enunciado general Página 116 1 Representa la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones: x20, y23, x+y<l0, 2y>3x Averigua en qué puntos se hace máxima y mínima la función F(x, y) = 4x + 3y. Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan: -=0 = A(0,3) 5) B(0,10) x+y=10] 2y = 3x ys | ca. 3 ES F(A)=F(0,3)=9 F(B)=F(0, 10)=30 F(C)=F(4,6)=34 — F(D)=F(Q,3)=17 Fx, y) = 4x + 3y se hace mínima en A(0, 3) y máxima en C(4, 6). 2 Representa el recinto definido por estas inecuaciones: x20 y20 x<10 x<y y-2x<6 3x + 4y 235 ¿En qué punto la función F(x, y) = 10x + 15y alcanza el valor máximo? Representamos las rectas y vemos en qué puntos se cortan: pi y-22=6 3x + 4y =35 | A(1, 8) lo 7 C(10, 10) x= *=10 00,26) y=2w=6| P00,26 F(4) = F(l, 8) = 130 F(B) = F(5, 5) = 125 F(C) = F(10, 10) = 250 F(D) = F(10, 26) = 490 Representamos después la dirección de las rectas que son de la forma 10x + 15y= XK. F(x, y) = 10x + 15y alcanza el valor máximo en el punto D(10, 26). E EEC ANAYA al Matemáticas aplicadas a las Ciencia SEE 3. Puntos de coordenadas enteras Hazlo tú. Calcula x e y que hacen máxima y mínima la función 2=x+ y sujeta a estas restriccio- nes: x e y deben ser números naturales y además: x+y26; 2x+ y26; x+3y27 Como deben ser números naturales, añadimos las restricciones: x> 0, y>20. La región que se obtiene es: x+3y=7 hi x+y=0 x+y=6 Tomamos una recta paralela a la función objetivo y vemos que, al trasladarla, los primeros puntos de la región factible por los que pasa son los de la recta x + y = 6. Por tanto, el valor mínimo se obtiene en los puntos (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) y (5, 1). No hay máximo. La función x+ y se puede hacer tan grande como se quiera en el recinto propuesto. Página 118 4. Coste mínimo Hazlo tú. En una granja hay un total de 9000 conejos. La dieta mensual mínima que debe consumir cada conejo es de 48 unidades de hidratos de carbono y 60 unidades de proteínas. En el mercado hay dos productos (4 y B) que aportan estas necesidades de consumo. Cada envase de A contiene 2 unidades de hidratos de carbono y 4 unidades de proteínas y cada envase de B contiene 3 unidades de hidratos de carbono y 3 unidades de proteínas. Cada envase de A cuesta 0,24 euros y cada envase de B cuesta 0,20 euros. Calcula el número de envases de cada tipo que se debe adquirir para que el coste sea mínimo. Halla el valor de dicho coste mensual mínimo. x= envases del producto A y = envases del producto B Hacemos una tabla con los datos: A AOS COSTE (€) INSI IVC 3 3 0,20 E EEC ANAYA al LERATO NECE TSE lr EEE OE Las restricciones son: 2x + 3y248 4x + 3y 260 x>0 y20 El coste que hay que minimizar es: Coste = 0,24x + 0,20y La región factible es: Tomamos una recta paralela a la función objetivo y vemos que al trasladarla, el primer punto de la región factible por donde pasa es su vértice A(6, 12) (corte de las rectas 2x + 3y =48 y 4x + 3y= 60). Este será el valor mínimo. Es decir, para cada conejo, para minimizar el coste, hay que comprar 6 envases de tipo A y 12 de tipo B. Para 9 000 conejos habrá que comprar 6 - 9000 = 54000 envases de tipo A y 12. 9000 = 108000 envases de tipo B. El coste mensual mínimo será: Coste = 0,24 . 54000 + 0,20 - 108000 = 34560 € Página 119 5. Beneficio máximo Hazlo tú. En la fabricación de piensos se utilizan tres ingredientes, P, Q y R. Se dispone de 90 toneladas de P, 90 de Q y70 de R. Se desea fabricar dos tipos de pienso, M, y M). Una vagoneta de pienso M, requiere 2tde P, 1tde Q y 1tde R y se vende a 1200 €, y una vagoneta de M) requiere 1tde P, 2tde Q y 1tde R, y se vende a 1000 €. ¿Cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener el mayor beneficio? x= toneladas de pienso M, y = toneladas de pienso M) Hacemos un tabla con los datos: INGREDIENTE P(t) | INGREDIENTE O(t) | INGREDIENTE R(t) CAS) aro 2 1 1 1200 AA aro 1 2 1 1000 AA TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il Las restricciones son: 2x+ y<90 x+2y<90 x+ ys70 x20 y20 Beneficio que se quiere maximizar: z= 1200x + 1000y en euros. La representación de la región de validez y la función objetivo es: 10120 | 30.140 550 2H 90%, El último punto de la región factible en el que tocan las rectas paralelas a la función objetivo es el vértice B(30, 30), punto en el que z será máxima. Por tanto, deben facturarse 30 toneladas de M, y 30 toneladas de M). 6. Solución múltiple Hazlo tú. Un tendero va al mercado central con su furgoneta, que puede cargar 700 kg, y con 500 € en el bolsillo, a comprar fruta para su tienda. Encuentra las manzanas a 0,80 €/kg y las naranjas a 0,50 €/kg. El tendero cree que podrá vender las manzanas a 0,88 €/kg y las naranjas a 0,55 €/kg. ¿Qué cantidad de manzanas y de naranjas le conviene comprar si quiere obtener el mayor beneficio posible? x= cantidad de manzanas (kg) y = cantidad de naranjas (kg) Las restricciones son: x+y<700 0,8x +0,5y <500 x20 y20 Beneficio que se quiere maximizar: 2 = 0,08x + 0,05y en euros. 1001200 300 400 500!60( 0,08x +0,05y= 0 La representación de la región de validez y la función objetivo se muestra a la derecha: Como la recta 0,8x + 0,5y = 500 es paralela a la función de beneficio, cualquier punto del segmento BC es una solución válida. Es decir, cualquier cantidad de manzanas entre 500 kg y 625 kg y de naranjas entre 0 kg y 200 kg que verifique la igualdad 0,8x + 0,5y = 500 conseguirá un beneficio máximo. Por ejemplo, comprar 500 kg de manzanas y 200 kg de naranjas, o 500 kg de manzanas y ninguna naranja, o 400 kg de manzanas y 360 kg de naranjas, hace que el beneficio que se obtiene en todos los casos sea máximo: z= 0,08 - 500 + 0,05 - 200 = 50 € 2=0,08 - 625 + 0,05 -0= 50 € z= 0,08 - 400 + 0,05 - 360 = 50 € E EEC ANAYA al SEE NECE OE lr ESENCIA! 3. Mecánicos y electricistas En una empresa van a trabajar mecánicos y electricistas. Por necesidad del mercado debe haber ma- yor o igual número de electricistas que de mecánicos, y el número de electricistas no debe superar el do- ble del de mecánicos. Se necesitan al menos 20 electricistas y no hay más de 30 mecánicos disponibles. Si por cada mecánico se obtienen 2000 € de beneficio mensual y por cada electricista, 2500 €, ¿cuán- tos de cada clase se deben contratar para maximizar el beneficio? Llamamos x al número de mecánicos e y, al de electricistas. Restricciones: x<y y<2x y220 x<30 x20 y20 Función objetivo: F(x, y) = 2000x + 2500y La representación de la región de validez y la función objetivo es: La recta variable 2000x + 2500y= X' toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el punto 4(30, 60). Hay que contratar 30 mecánicos y 60 electricistas para obtener un beneficio máximo. 4. Dos tipos de abonos Ana debe fertilizar los terrenos de su finca con dos abonos, A y B. El abono A cuesta 0,9 €/kg y el B, 1,5 €/kg. El abono A tiene un 20% de nitrógeno y un 10% de fósforo, mientras que el B contiene un 18% y un 15%, respectivamente. Los terrenos están bien fertilizados con al menos 180 kg de nitrógeno y 120 kg de fósforo. ¿Cuál es el gasto mínimo que debe hacer Ana para fertilizar de manera correcta sus terrenos? Llamamos x al número de kilos de abono A e y al número de kilos de abono B. Hacemos una tabla con los datos: FERTILIZANTE Á | FERTILIZANTE B | NECESIDADES NITRÓGENO Eolo] 10% 15% 120 kg 0,9 1,5 [13 La función objetivo es F(x, y) = 0,9x + 1,5y en euros. TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il Las restricciones son: 0,2x + 0,18y >180 0,1x +0,15y>120 x20 y20 La representación de la región de validez y la función beneficio es: 0,2% + 0,18y 0,9x + 1. > Ce LOsIa + 0,15) = 120 La recta variable 0,9 + 1,5y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice C(1 200, 0). Ana debe comprar solo 1200 kg de fertilizante A para realizar un gasto mínimo. Este gasto será de (1200, 0) = 0,9 - 1200 = 1080 €. TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il Ejercicios y problemas propuestos Página 122 Para practicar 1 Maximiza la función F(x, y) = 25x + 20y sometida a las siguientes restricciones: x+y<120 3y<x x <100 210 Dibujamos las rectas y hallamos los puntos de corte: Y 50,10 919 c100,10 5-10| 460,10) 2 o | 20100,10) x=100 x+ y=120 C(100, 20) D(90, 30) x+y=120 3y=x F(A) = F(30, 10) = 950 F(B) = F(100, 10) = 2700 F(C) = F(100, 20) = 2900 F(D) = F(90, 30) = 2850 El máximo se alcanza en C(100, 20) y vale 2900. 2 a) Maximiza y minimiza la función F(x, y) = 2x + 3y con las siguientes restricciones: x+y<5 x+3y29 x>0 y20 b) Haz lo mismo con la función G(x, y) = y—x. Representamos las rectas y la región que cumple las condiciones del problema: a) Dibujamos 2x + 3y=0 para ver la dirección de las rectas 2x + 3y= Ki F(A) = F(0, 5) = 15; F(B) = F(3, 2) = 12; F(C) = F(0, 3) =9. El máximo de F(x, y) se alcanza en A(0, 5), y el mínimo, en C(0, 3). b) Dibujamos y—x=0 para ver la dirección de las rectas yx =K, G(A) = G(0, 5) = 5; G(B) = G(3,2) =-1; G(C) = G(0, 3) = 3. El máximo de G(x, y) se alcanza en A(0, 5), y el mínimo, en B(3, 2). 12 TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il '7 Las rectas 2x + y =18, 2x + 3y=24 y x+y=16 se cortan dos a dos en tres puntos que son los vértices de un triángulo 7. Sea S la intersección del triángulo 7 con el primer cuadrante. Halla el máximo de la función 2 =5x + 3y cuando x e y varían en S. Expresa el recinto mediante un sistema de inecuaciones. Representamos las rectas: 2x+ y=18 2x + 3y=24 x+y=16 para obtener el triángulo 7' y la región que hemos sombreado, S. Representamos la dirección de las rectas 3= 5x + 3y= K dibujando 5x+3y=0. El máximo se alcanza en el punto de corte de x+y= 16 con el eje X; es decir, en el punto (16, 0). El máximo vale ¿=5-16+3-+0=80. x20, y20 2x+ y218 El sistema de inecuaciones que representa el recinto es: 2x: + 3y 224 x+y<l6 x>0; y20 o . . y-x+1>20 8 Dibuja el recinto determinado por: y-4s0 y+2x-5<0 a) Localiza los puntos de este recinto en los que la función objetivo F(x, y) = x+ y se hace máxima y mínima, respectivamente. b) Sobre el mismo recinto, halla el máximo y el mínimo de la función G(x, y) = 5x + y. Representamos las rectas: x=0, y=0 y=x+1=0 y-4=0 y+2x-5=0 y obtenemos el recinto que cumple las condiciones del problema. Representamos la dirección de las rectas x + y = K dibujando la recta x+ y =0. Representamos la dirección de las rectas 5x + y= K dibujando la recta 5x + y = 0. a) F(x, y) alcanza el máximo en el punto de intersección de las rectas: +2x-5=0] x= ? p 2 | Punto (4,4) 14,24 F(x, y) alcanza el mínimo en el punto (0, 0). TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il b) G(x, y) alcanza el máximo en el punto de corte de las rectas: y x*+1=0] x=2 Punto (2, 1) y+2x-5=0) y=1 El máximo vale G(2, 1)=11. G(x, y) alcanza el mínimo en el punto (0, 0) y vale G(0, 0) = 0. 9 Considera el triángulo de vértices (0, 0), (2, 8) y (10, 3). Determina razonadamente el punto en el que cada una de las siguientes funciones alcanza su máximo: a) F(x, y) =-4x+y+9 b) F(x, y) = 4x+ y + 12 Sabemos que el máximo se alcanza en algún vértice (o en un lado). Calculamos el valor de la función dada en cada uno de los vértices: a) Fla y) =-4x+y+9 F(0,0)=9 FQ,8)=9 Hay infinitos puntos que hacen máxima la función: todos los puntos del lado que F(10,3)=-28] une los vértices (0, 0) y (2, 8). b) F(x, y) = 4x + y + 12 F(0,0)=12 F(2,8) = 28 La función alcanza el máximo en el punto (10, 3). F(10, 3) = 55 10 Define mediante un sistema de inecuaciones cada uno de los recintos representados en las si- guientes figuras: a) b) EA o b J 21464 o d) 80. 2000: 40: 1 20, 20-40. sQ 180 10002000 x23 x22,5 x20 ysx 22 x<17,5 210 2y-2000-x<0 yy) b) 94 917 x+ysll x-2ys0 x+y250 y20 3x+y-2550 x-2y+1520 3x+y-9020 x20 TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il 11 a) Calcula los puntos donde se hace máxima y mínima la función F(x y) = 2x + y para la región de validez del apartado a) del ejercicio anterior. Haz lo mismo para estas otras funciones: b) Para el apartado b): G(x, y) = x + 2y c) Para el apartado c): H(x, y) = 3x + 4y d) Para el apartado d): 1(x, y) =x-— 3y a) La representación de la región de validez y la función objetivo es: LA La recta variable 2x + y = K toma su valor máximo (dentro de los vá- lidos) en el vértice D(7, 4); y su valor mínimo en el vértice B(3, 2). 2x+y=0 b) La representación de la región de validez y la función objetivo es: La recta variable x + 2y = K- toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice D(17,5; 16,25); y su valor mínimo en el vértice B(2,5; 1,25). x+2y=0 c) La representación de la región de validez y la función objetivo es: 4 N La recta variable 3x + 4y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice C(40, 10). N No hay máximo en esta región pues H(x, y) se puede hacer tan grande 0 ANC. como se quiera en el recinto propuesto. A 20.N SN 3x+ 4y=0 d) La representación de la región de validez y la función objetivo es: 000. 2 B 7 A La recta variable x— 3y= K no toma un valor máximo ni mínimo en 10994 esta región. La función /(x, y) se puede hacer tan grande y tan peque- ña como se quiera en el recinto propuesto. a 1 9002 TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il 14 Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta imperial y la tarta de lima. La tarta imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 8 €. La tarta de lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 10 €. En el almacén les quedan 10 kilos de azúcar y 120 huevos. a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer? b) ¿Se cumplirían los requisitos si decidieran elaborar 3 tartas imperiales y 9 tartas de lima? c) ¿Cuántas unidades de cada tipo de tarta debe elaborar la confitería para obtener el mayor ingreso por ventas? a) Llamamos x al número de tartas de tipo imperial e y al número de tartas de lima. Las restricciones del problema son: x20 y20 0,5x + y<10 > x+2y<20 8x+8y<120 > x+ys15 Xx, y enteros Representamos el conjunto de restricciones: Las posibles combinaciones de especialidades que pueden hacer se corresponden con los puntos de coordenadas enteras dentro de este recinto, incluida la frontera. b) Por tanto, sí se cumplirían los requisitos si decidieran elaborar 3 imperiales y 9 de lima. c) La función que da los ingresos por ventas es F(x, y) = 8x + 10y. Tendremos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 8x + 10y=0 —> 4x+ 5y=0, que nos da la dirección de las rectas 8x + 10y = K. El máximo se alcanza en el punto de intersec- ción de las rectas: x+ y=15 27 + Punto (10, 5) x+2y=20 Por tanto, han de fabricar 10 tartas imperiales y 5 de lima. TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il 15 Una persona quiere invertir 100000 € en dos tipos de acciones A y B. Las de tipo A tienen más riesgo, pero producen un beneficio del 10%. Las de tipo B son más seguras, pero producen solo el 7% nominal. Decide invertir como máximo 60000 € en la compra de acciones A y, por lo menos, 20000 € en la compra de acciones B. Además, quiere que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir los 100.000 € para que el beneficio anual sea máximo? Llamamos x al dinero invertido en acciones de tipo A e y al dinero invertido en acciones de tipo B (x e y en decenas de miles de euros). Las restricciones del problema son: x+ y<l0 0<x<6 y22 x2 y La función F(x, y) = 0,1x + 0,07y da el beneficio anual y hemos de maximizarla, sujeta a las restric- ciones señaladas. Representamos el recinto de restricciones y la recta 0,1x+0,07y=0 > 10x+7y=0, que da la dirección delas rectas 0,1x + 0,07y = K. El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: -10 2) ] Punto (6, 4) x=6 Por tanto, debe invertir 60000 € en acciones de tipo A y 40000 € en acciones de tipo B. 16 Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 g de oro y 1,5 g de plata, y se vende a 25 €. La de tipo B se vende a 30 € y lleva 1,5 g de oro y 1 g de plata. Si solo dis- pone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio? Llamamos x al número de unidades de tipo Ae y al número de unidades de tipo B. Las restricciones del problema son: x20, y20 x+1,5y<750 1,5x+ y<750 La función que tenemos que maximizar, sujeta a las restricciones anteriores, es: Fx, y) = 25x + 30y Representamos el conjunto de restricciones y la recta 25x + 30y=0 => 5x+ 6y=0, que da la direc- ción de las rectas 25x + 30y = K. El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas: LSx+ y=750 Pi 00, 300, x+1,5y=750 unto (300, 300) Por tanto, ha de fabricar 300 joyas de cada uno de los dos tipos. Unidad 4. Programación lineal 17 Un sastre tiene 80 m? de tela de algodón y 120 m? de tela de lana. Un traje de caballero requiere 1 m? de algodón y 3 m? de lana, y un vestido de señora necesita 2 m? de cada una de las telas. Halla el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los benefi- cios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio. Llamamos x al número de trajes e y al número de vestidos. Resumimos la información en la tabla siguiente: VESTIDO x+2y | 3x+2y Las restricciones del problema son: x20, y20 x+2y<80 3x +2y<120 Si llamamos 4 al beneficio obtenido por la venta de un traje o de un vestido, la función que nos da el beneficio total es F(x, y) = k(x + y). Tenemos que maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones y la recta 2(x +) =0 => x+y=0, que nos da la dirección de las rectas e(x+ y) =K. 3344 2y 5 120] El máximo se alcanza en el punto de intersección de las rectas: 3x+2y=120 Punto (20, 30) x+2y=80 Por tanto, debe confeccionar 20 trajes y 30 vestidos. 18 Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. + Hacer una chaqueta representa usar la máquina de cortar 1 h; la de coser, 3 h, y la de teñir, 1 h. + Hacer unos pantalones representa usar la máquina de cortar 1 h; la de coser, 1 h y la de teñir, ninguna hora. La máquina de teñir se puede usar durante 3 horas; la de coser, 11 horas, y la de cortar, 7 horas. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de 8 € por chaqueta y 5 € por pan- talón. ¿Cómo emplearemos las máquinas para conseguir el beneficio máximo? Llamamos x al número de chaquetas e y al número de pantalones. Las r icciones del problema son: x20, y20; x, y enteros x<3 x+ys<7 3x+y<11 TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il 21 Unaempresa constructora dispone de un terreno de 100 dam? para construir dos tipos de casas. Las casas de tipo Aocuparían una superficie de 4 dam? y las de tipo B, de 2 dam?. Sobre plano yase han vendido 4casas de tipoA y 18 de tipo B, portanto, deben construir al menos esas unidades. Además, por estudios de mercado han decidido construir al menos el triple de casas de tipo B que de tipo A. a) ¿Cuántas casas pueden construir de cada tipo? Plantea el problema y representa el conjunto de soluciones. b) Si por cada casa de tipo A obtienen un beneficio de 100000 €, y por cada casa de tipo B, uno de 60000 €, ¿cuántas deben construir de cada tipo para maximizar beneficios? a) Llamamos x al número de casas de tipo Ae y al número de casas de tipo B. Restricciones: 4x+2y<100 > 2x + y<50 x24 y218 y23x El conjunto de soluciones son todos los puntos de la región de validez cuyas coordenadas son nú- meros naturales. Son los puntos de la cuadrícula que están dentro de la región siguiente: ie TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il b) La función que nos da el beneficio es: F(x, y) = 100000x + 60000y Sx+ 3y=0 La recta variable 100000x + 60000y = K' toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vér- tice A(4, 42). Se deben construir 4 casas de tipo A y 42 casas de tipo B para maximizar beneficios. A EEE ANAYA a Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il Página 124 22 Una compañía minera extrae dos tipos de carbón, hulla y antracita, de forma que todo el carbón extraído es vendido. Por exigencias gubernamentales, debe extraer diariamente al menos el triple de camiones de hulla que de antracita. Además, por la propia infraestructura de la compañía, como muchosepuedenextraer80camionesdecarbónenun díayalmenos10 deellosdebenserdeantracita. a) ¿Cuántos camiones de cada tipo de carbón se pueden extraer en un día? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría extraer en un día 20 camiones de hulla y 15 de antracita? b) Si por cada camión de hulla ganan 4000 € y por cada uno de antracita, 6000 €, ¿cuántos camiones de cada tipo debería extraer en un día para maximizar sus ganancias? a) Llamamos x al número de camiones de hulla e y al número de camiones de antracita. Restricciones: x23y x+y<80 y210 x20 El conjunto de soluciones son todos los puntos de la región de validez siguiente cuyas coordenadas son números naturales: "3 7801 El punto (20, 15) no está en la región, luego no se podrían extraer en un día 20 camiones de hulla y 15 de antracita, b) La función que nos da el beneficio es: F(x, y) = 4000x + 6000y La representación de la región de validez y la función beneficio es: 2143750 E La recta variable 4000x + 6000y = K' toma su valor máximo (dentro de los válidos) en el vértice A(60, 20). Hay que extraer 60 camiones de hulla y 20 de antracita para maximizar las ganancias. y y E EEC ANAYA al LERATO NECE TSE lr EEE OE 26 Representado el conjunto de restricciones, la región factible es la zona coloreada: T260x + 900y=/0 El mínimo sealcanzará en uno delos vértices de estazona (representamos también, 1260x+900y=0). x+y=28 A(18, 10) > F(A4) = F(18, 10) = 6336 € sx +3y=120[ 40810 > FA) = 08, 10) 6336 B(28,0) > F(B) = F(28, 0) = 7056 € C(24, 0) > F(C) = F(24, 0) = 6048 € El mínimo se alcanza en el punto (24, 0). Es decir, deben contratarse 24 autobuses y ningún mi- crobús. b) El valor del coste mínimo es 6048 €. OTRA RESOLUCIÓN Este problema se puede resolver de forma trivial sin programación lineal. Precio por persona en autobús —> 1260: 50 = 25,20 € Precio por persona en microbús > 900 : 30 = 30 € Por tanto, es más barato ubicar en autobuses a tantos viajeros como sea posible, y si pueden ser todos, mejor. 1200 viajeros : 50 plazas/autobús = 24 autobuses En 24 autobuses caben los 1200 aficionados. Una empresa fabricante de automóviles produce dos modelos, A y B. Tiene dos factorías, F, y F>. + EnF, se producen diariamente 6 coches tipo A y 4 tipo B, con un coste de 32000 € diarios. F, no funciona más de 50 días. + EnF, se producen 4 de A y 4 de B, con un coste de 24000 € diarios. Para abastecer el mercado, se han de poner a la venta al menos 360 coches de tipo A y al menos 300 de tipo B. ¿Cuántos días debe funcionar cada factoría para que el coste sea mínimo? ¿Cuál es ese coste? Llamamos x al número de días que debe funcionar F, e y al número de días que debe funcionar E). Colocamos los datos en una tabla y escribimos las restricciones del problema: FACTORÍA Fy | FACTORÍA F2 | N.? DE COCHES 0<x<50 EN 6x 4y 360 y20 MODELO B Áx 4y 300 6x + 4y > 360 32000x 24000y 4x + 4y > 300 Hemos de minimizar la función objetivo, F(x, y) = 32000x + 24000y. E EEC INNSABACH ILLERA LO NECE TSE lr EEE OE Representamos las restricciones del problema y la dirección de la función objetivo. La región factible es la zona sombreada: P(0, 90) 6x + 4y=360 Á4x+áy= 5) Q630,45) 4x + 4y=300 x=50 F(P) = F(0, 90) = 2160000 F(Q) = F(30, 45) = 2040000 F(R) = F(50, 25) = 2200000 El coste mínimo, 2040 000 €, se obtiene cuando la So. 60 factoría F, funciona 30 días y la F) funciona 45 días. 2000x + 24000y=0 ] R(5S0, 25) 27 Se desea obtener dos elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento y 1 gramo del segundo; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento y 1 gramo del segundo. Se desea obtener, como mínimo, 24 gramos del primer elemen- to, la cantidad del segundo ha de ser como mucho 10 gramos y la cantidad de B utilizada debe ser como mucho, el cuádruple que la de A. Si un kilo de A vale 10 € y uno de B vale 4 €, ¿qué cantidades de A y B se deben comprar para minimizar los costes globales? ELEMENTO 1 | ELEMENTO 2 | COSTE Llamamos x alos kilos de A que com- 8 1 EN 4 1 4 praremos e y a los kilos de B. Restricciones: 8x+4y224 => 2x+y26 x+ y<l0 y<4x x>0 y20 La función que nos da el coste es: F(x, y) = 10x + 4y La representación de la región de validez y la función de coste es: ÑN11213/41516171819.101 7 Y Ey 10 2701 2416 Te La recta variable 10x + 4y= K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice A(1, 4). Se deben comprar, para minimizar los costes globales, 1 kg de A y 4 kg de B. E EEC ANAYA al NECE OE lr ESENCIA! LERATO SEE 28 Una fábrica hace dos tipos de mesas: clásicas y modernas. + Cada mesa del modelo clásico requiere 4 horas de lijado y 3 horas de barnizado, y deja un beneficio de 200 €. No deben fabricarse más de 9 de estas mesas. + Cada mesa moderna necesita 3 horas de lijado y 4 horas de barnizado, y su beneficio es de 100 €. + Entre mesas clásicas y modernas no pueden fabricarse más de 17. a) Si se dispone de 48 horas para lijado y de 60 horas para barnizado, ¿cuántas mesas de cada tipo ha de fabricar para que sus beneficios sean máximos? b) ¿Qué información ha resultado superflua para la resolución del problema? a) Llamamos x al número de mesas clásicas e y al número de mesas modernas. Disponemos los datos en una tabla y definimos las restricciones del problema: MESA CLÁSICA | MESA MODERNA | DISPONIBLE 0<x<9 TACO) y20 NT (0) 3x 4y 60 Áx +3y< 48 NS) 200x 100y 3x + 4y < 60 x+ys17 La función objetivo que hay que maximizar, sujeta a las restricciones anteriores, es F(x, y) = 200x + 100y. Representamos el recinto y la recta de ecuación 2x + y=0, que nos da la dirección de las rectas 200x + 100y = K. El máximo se alcanza en un punto de coordenadas enteras de la región factible. Trazamos paralelas a la recta 2x + y= 0 por cada vértice de esta región: A(0, 15), B(12/7, 96/7), C(9, 4), D(9, 0). De estas rectas, la que pasa por C(9, 4) es la de mayor ordenada en el origen. En ese punto se alcanza el máximo de la función objetivo. Por tanto, hay que fabricar 9 mesas clásicas y 4 mesas mo- dernas. b) Es superfluo el dato que nos indica que no pueden fabricarse más de 17 mesas entre clásicas y mo- dernas. Un agricultor estima que el cuidado de cada metro cuadrado de plantado de lechugas requiere semanalmente 45 minutos, mientras que el de col exige 50 minutos. Dispone de un terreno de 40 m? de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de las dos verduras, pero quiere plantar al menos 3 m? más de col que de lechugas. El metro cuadrado de lechugas le re- porta un beneficio de 3 €, mientras que el de col le proporciona 4 €. Ha planificado obtener al menos un beneficio de 60 €. ¿Qué extensión de cada verdura le interesa plantar si su objetivo es dedicar el mínimo tiempo al cuidado del cultivo? Llamamos x a los metros cuadrados de lechugas que debe plantar e y a los matros cuadrados de coles. Restricciones: y2x+3 x+y<40 3x + 4y>60 x>0 y20 La función que nos da el tiempo en minutos es: F(x, y) = 45x + 50y E EEC INNSABACH ILLERA LO NECE TSE lr EEE OE 32 Una empresa de automóviles tiene dos plantas P, y P, de montaje de vehículos en las que pro- ducen tres modelos: M,, M) y M3. De la planta P, salen semanalmente 10 unidades del modelo M, 30 del M, y 15 del M3. De la planta P, salen 20 unidades del M,, 20 del M, y 70 del M; cada semana. La empresa necesita al menos 800 unidades de M,, al menos 1600 de M) y al menos 1800 de Ma. Si el gasto de mantenimiento de cada planta es de 36000 € semanales, ¿cuántas semanas ha de funcionar cada planta para que el coste de producción sea mínimo? ¿Cuál es el coste mínimo? Llamamos x a las semanas que debe funcionar la planta P, e y a las semanas que debe funcionar la planta P,. (OM SIE) PLANTA Py 10 30 15 36000 PLANTA P2 20 20 70 36000 070133 800 1600 1800 Restricciones: 10x +20y>800 > x+2y>80 30x +20y>1600 > 3x+2y>160 15x +70y>1800 > 3x+14y>360 x>0 y20 La función que nos da el coste es: F(x, y) = 36000x + 36000y La representación de la región de validez y la función de coste es: 20 40 3,60. 807=,| 1100. 1207 Tn yay=0 Tx 2y= 160 La recta variable 36000x + 36000y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice B(40, 20). Para minimizar los gastos debe funcionar 40 semanas la planta P, y 20 semanas la planta P,. El coste es: F(40, 20) = 36000 - 40 + 36000 - 20 = 2160000 €. E EEC INNSABACH ILLERA LO NECE TSE lr EEE OE 33 Don Elpidio decide emplear hasta 30000 € de su patrimonio en la adquisición de acciones de dos sociedades de inversión: BLL e ISSA. El precio de cada acción es de 10 € en ambos casos. + BLL dedica el 35% de su actividad al sector seguros, el 45% al sector inmobiliario y el 20% al industrial. + ISSA dedica el 30% de sus recursos al sector seguros, el 25% al inmobiliario y el 45% al in- dustrial. Don Elpidio no quiere invertir más del 40% de su capital en el sector industrial ni más del 35% en el inmobiliario. ¿Cuántas acciones debe adquirir de cada sociedad si BLL prevé entregar un dividendo de 1,20 €/ acción e ISSA de 1 €/acción? Llamamos x al número de acciones que adquiere de BLLe y al número de acciones que adquiere de ISSA. Hagamos una tabla que resuma la información que nos dan: PRECIO SEGUROS | INMOBILIARIA | INDUSTRIAL Ne 10x 3,5x 4,5x 2x PASS 10y 3y 2,5y 4,5y 10x+10y | 35x+3y | 45x+25y | 2x+45) tricciones del problema son: x>20, y20 10x +10y<30000 > x+y<3000 2x +4,5y<12.000 4,5x+2,5y<10 500 La función que nos da los beneficios es F(x, y) = 1,2x + y. Tenemos que maximizarla, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el conjunto de restricciones y la recta 1,2x + y = 0, que nos da la dirección de las rectas 1,2x + y=K, 1000 | 2000 | 3000 4000 12H y =0 El máximo se alcanza en el punto de corte de las rectas: x+ y=3000 Pi 1500, 1500) 4,5% +2,5y=10500 unto (15 500) Debe adquirir 1500 acciones de cada una de las dos sociedades. E EEC NNINSADAS LEBATO! NECE TSE lr EEE OE 34 Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas: 9 a A, 10 a B y 7 a C. Las locomoto- ras deben prestar servicio en dos estaciones distintas: 11 de ellas en la estación N y 15 en laS. Los costes de traslado son, por cada una, los que se indican en la tabla (en miles de euros): 6 15 3 4 20 5 Averigua cómo conviene hacer el reparto para que el coste sea mínimo. Resumimos los datos en una tabla y escribimos las restricciones del problema (tendremos en cuenta que todos los datos de la tabla deben ser positivos o cero y que x e y deben ser enteros): x20, y20 x+y24 x+y<1l x<9 y<10 La función que nos da el coste (en miles de euros) es: F(x, y) = 6x + 15y + 3(11 —x— y) + 4(9 —x) + 20(10 — y) + 5(x + y-4) = 4x— 3y + 249 Tenemos que minimizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores. Representamos el recinto de restricciones: Los vértices del recinto son: P(0, 10) Q(, 10) R(9, 2) S(9, 0) T(4, 0) U(O, 4) Hallamos F(x, y) en cada uno de los vértices: F(P) = F(0, 10) = 219 F(Q) = F(1, 10) = 223 F(R) = F(9, 2) = 279 F(S) = F(9, 0) = 285 F(T) = E(4, 0) = 265 F(U) = E(0, 4) = 237 El coste mínimo, 219 miles de euros, se alcanza en el punto P(0, 10). Por tanto, el reparto de locomotoras debe efectuarse como se indica en la tabla: E EEC INNSABACH ILLERA LO NECE TSE lr EEE OE Las restricciones del problema son: x20 y20 10x +15y<195 > 2x+ 3y<39 2x+ y<20 x+ y<lá4 La región factible es la zona sombreada: Calculamos las coordenadas de los vértices B y C: 2x +3y=39 39-2x=42-3x >x=3 > B(3,11) x+ y=14 2x4 y= 2) , 20-2x=l4-=x > x=6 > C(6, 8) xa y=14 La función objetivo que hay que maximizar es: F(x, y) = 1500x + 1 000y F(A) = F(0, 13) = 13000 F(B) = F(3, 11) = 15500 FE(C) = F(6, 8) = 17000 F(D) = F(10, 0) = 15000 El beneficio máximo, que es de 17000 euros, se obtiene en el punto C(6, 8). Es decir, para obtener el beneficio máximo será necesario fabricar 600 metros de cable del tipo A y 800 metros de cable del tipo B 5 Un deportista solamente puede tomar para desayunar barritas de chocolate y barritas de cereales. Cada barrita de chocolate proporciona 40 g de hidratos de carbono, 30 g de proteínas y 200 kcal, mientras que cada barrita de cereales proporciona 80 g de hidrados de carbono, 10 g de proteínas y 100 kcal. El deportista quiere tomar al menos 320 g de hidratos de carbono y 90 g de proteínas, pero no más de 1000 kcal. El coste de cada barrita de chocolate es de 2 € mientras que el de cada barrita de cereales es de 1 €. ¿Cuántas barritas de cada tipo tiene que tomar el deportista para gastar la menor cantidad de dinero? Llamamos x al número de barritas de chocolate e y al número de barritas de cereales. HIDRATOS DE CARBONO PROTEÍNAS RAS BARRITAS DE CEREALES 80 10 100 AA 320 90 1000 TE ETA El INN ADBACH LL LERATO Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales Il Restricciones: 40x +80y2320 > x+2y28 30x +10y290 > 3x+y29 200x +100y<1000 > 2x + y<10 x20 y20 La función que nos da el gasto es: Fle y) =2x+y La representación de la región de validez y la función de gasto es: DA [al 0 "2 = 8 2 = 0] 2x0 La recta variable 2x + y = K toma su valor mínimo (dentro de los válidos) en el vértice A(2, 3). Para minimizar los gastos, debe tomar 2 barritas de chocolate y 3 de cereales.