material de estudio de repaso, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga material de estudio de repaso y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Vwege te le naálenalieae Bloque 1. Aritmética La aritmética es la rama más antigua y simple en la que se han desarrollado las principales operaciones conocidas por el hombre y se encarga de realizar con números y la simbología de operaciones aritméticas, el desarrollo de propiedades y habilidades de las cuales pueden ser usadas en la vida cotidiana y materias de estudio que impliquen a la matemática como base fundamental de aprendizaje : Bloque 2. Álgebra El álgebra es es la rama que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética Bloque 3. Geometría La geometría y topología es la rama que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano oel espacio, incluyendo: puntos rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas superficies” polígonos y poliedros) Bloque 4. Estadística y probabilidad La estadística y la probabilidad Ena rama que estudia el azar desde el punto de vista de las matemáticas + La estadística es la rama que estudia la variabilidad, así como el proceso aleatorio que la genera siguiendo leyes de probabilidad. Como parte de la matemática, la estadística es una ciencia formal deductiva, con un conocimiento propio, dinámico y en continuo desarrollo obtenido a través del método científico formal : + La probabilidad propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas Bloque 5. Cálculo El cálculo hace referencia al resi cons 1ltado correspondiente a la acción de calcular. Calcular, por su parte, e en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos BLOQUE 1. ARITMÉTICA La aritmética es la rama de las matemáticas más antigua y simple en la que se han desarrollado las| principales operaciones conocidas por el hombre y se encarga de realizar con números y la simbología de operaciones aritméticas, el desarrollo de propiedades y habilidades de las cuales ueden ser usadas en la vida cotidiana y materias de estudio que impliquen a la matemática como ase fundamental de aprendizaje NETAS IS Decimales IS INTA OS aturales No periódico/ infinito Fracciones propias Fracciones impropias La descomposición polinómica de un número 145.673.294 = 100.000.000 + 40.000.000 + 5.000.000 + 600.000 + 70.000 + 3.000 + 200 + 90 + 4= 108 + 4x107 + 5x10% + 6:10 + 7x10%+3x107 + 2110? + 9110+ 4 illones _ Miles de millón Millones Miles Unidades B pmmiJummi| Cmi | DMi | umi | cm] DM | um| c [ D|u a o ls a lg (E <|2 [PES oa = [E lb =S 15 |5 AE Centena. EE E 2 (13 [| ES NT as idad de Mílar. é sle slá Ele (88 8 EE |8|£ ecena de Milar 2 El8 ES E2(8[3|2 [8 |3|2|3 |£ a $38 3533818|5[8|8 |S|8[lá8|s5 Sistema de numeración romano Son aquellos que emplean letras mayúsculas a las que se han asignado un valor numérico ( Regla de la suma Una letra colocada a la derecha de otra de igual o mayor valor, le suma a esta su valor. Regla de la repetición Los letras l,X, C y M se pueden repetir dos O tres veces. LAS XV hb 10+5=15 xx > 10+10=20 ( XI >> 50+10+1=61 MMM )> 1.000 + 1.000 + 1.000 =3:000 | | Regla de la resta Regla de la multiplicación | tasletras, X o C colocadas a la izquierda Una raya horizontal colocada encima de de una de las dos letras de mayor valor una letra o grupo de letras, multiplica | quele siguen, le restan a esta su valor, su valor por 1.000, WIP 5-1=4 Kb 10-1=9 V b 5 x 1.000 = 5.000 | XC |» 100 — 10 =90 X b> 10 x 1.000 = 10.000 CM p» 1.000 — 100 = 900 XV > 15 x 1.000 Sistema sexagesimal Es un sistema de numeración en el que e en 60 unidades de orden inf da unidad se divide or, es decir, es un s tema de ción en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. Es un sistema de numeración utilizando por los ordenadores y otros tipos de dispositivos y sistemas, el sistema binario se caracteriza por emplear una base 2 y los numerales 0 y 1. Este sistema, muy práctico para los cálculos automatizados con sistemas electrónicos digitale es sin embargo un tanto engorroso en la escritura cotidiana, ya que la expresión de las cantidades resulta muy larga ón de números en la recta Representa Comparaciones Para comprar dos números naturales utilizamos el signo menor que “<” y el signo mayor que ——————— Ejemplo: 5 > 3 ———-> 5 es mayor que 3 3<5 > 3.es menor que 5 Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menos a mayor. En esta recta siempre hay un punto de origen que es el O y a la derecha encontramos los siguientes números naturales con las mismas separacione Aproximaciones La aproximación de un número natural es llevar ese número, al número más cercano en la recta numéric: bado en cero. Hay dos tipos: + El truncamiento de un número natural es aproximar ese número, al número acabado en cero más cercano en la dirección ca. Ejemplo; El truncamiento del número 46 es 40. + El redondeo de un número natural es aproximar ese número, al número acabado en cero más ci de que si la unidad es < 5 se redondea hacia el número dela izquierda, en Ejemplo; El redondeo de 46 es 50 izquierda en la recta numél ano siguiendo la norma La aproximación por redondeo de 37 es 40 x_/ Los cuadrados perfectos múltiplos de 10 Los cubos perfectos poseen raíces cúbicas exactas 10? = 100 60? = 3600 P=1 6 =216 20? = 400 70? = 4900 2=8 7 =343 0? = 900 80? = 6400 33=27 8 =512 40? = 1600 90? =8100 4 =64 93 =729 50? =2500 100? = 10000 5 = 125 10% = 1000 34=81 3t=> 81 1 -3*== (3) A aL A (at -— (3) Al Propiedades 3 2 G=Gr 3 2 Producto de factores iguales Las potencias de números naturales. Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. Ej; 5x5x5x5= 54 Los elementos que constituyen una potencia son: + La base de la potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este case el 5 + El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4 Las propiedades de las potencias de números naturales + Un número elevado a 0 esigual a 1. 0-1 + Potencia de una potencia. (47)! = gon + Un número elevado a 1 esigual asímismo. a! = a + Producto de potencias con el mismo exponente. + Producto de potencias con misma base. a” x a” = a+ arxb"=(axby" " + Cociente de potencias con el mismo exponente, Mm. ¿A ¿1 + División de potencias con la misma bas =(a=by a Las raíces de números naturales La radiación es la operación inversa ala potenciación. /radicando = raiz Ss €) RADICALES DE NÚMEROS NATURALES La radicación es la operación inversa a la potenciación. Consiste en: dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. "4% V/radicando= raíz Tipos de raíces según el resto + La raíz exacta es la raíz de un número “a” cuando encontramos un número “b” que elevado al cuadrado es vial al radicando y el resto escero b?= a , entera)? - + La raíz de un número es entera cuando el resultado no es un cuadrado perfecto [Radicando = (R: resto] Operaciones con raíces Suma y resta tiene que tener mismo radicando e índice 3424 y2+8%/2 =6*y2 car factores de la raí, Factorizar el radicando Dividir el exponente de los factores entre el índice. El cociente indica lo que sale y el reto lo que queda el radicando tiene más de dos cifras separamos las cifras en grupos de dos, empezando por la derecha y/89224. Después tenemos que calcular la raíz cuadrada entera o exacta, del primer grupo de cifras por la izquierda. En este caso es el 8 892 24 2 Luego hay que c entre dos cuadrados perfectos: 4 y 9 2<8<32 Entonces, tomaremos la raí, correspondiente. El cuadrado de la raíz obtenida (22) se resta al primer grupo de 892 24 [2 4 Icular qué número elevado al cuadrado da 8, pero este no es un un cuadrado perfecto pero está comprendido cuadrada del cuadrado perfecto por defecto (es decir, del menor): 2, y lo colocamos en la casilla vifras que aparecen en el radicando (8) A adrado de 2 es 4, se lo restamo: Ele 18 y obtenemos 4. 4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de cifras del radicando, separando del número formado la primera cifra ala derecha y dividiendo lo que resta por el doble de la raíz anterior. 89224 |2 4 492 Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando: 492. Separamos la 1* cifra a la derecha (2) y nos quedamos con 49. Dividimos 49 por el doble de la raíz obtenida anteriormente 2-2 = 4 49: 4> 9, tomamos como resultado 9 Tomamos 9 siempre que el resultado sea mayor que 9 5En otra fila debajo de la raíz colocamos el doble de la misma. A continuación, se coloca el cociente que se obtenga. Y lucgo el número obtenido se multiplica por dicho cociente. Después, se resta la cantidad operable del radicando. J8e9224 |2 -4 49x9 = 441 492 Colocamos en otra fila el doble de la raíz, que en este caso es 4. olocamos el cociente obtenido (9) a continuación del 4, obteniendo así el número 49. Multiplicamos 49 por 9 y obtenemos 441 Restamos 441 a 492 (que es la cantidad operable del resultado). Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7... hasta encontrar un valor inferior. 4892 24 [29 -4 49x9 = 441 492 441 si Si el resultado de hacer 49 - 9 hubiese sido mayor que 492, habríamos probado a hacer 49 8, 49 -7.... 6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz. 4892 24 [29 -4 49x9 = 441 492 441 si 7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los pasos anteriores. 89224 |20 -4 49x 9 = 441 492 589 x 9 = 5301 441 "5124 Como 5301> 5124, probamos por 8. 89224 |29 -4 49x 9 = 441 492 588 x 8 = 4704 441 5124 4704 420 Subimos el 8 a la raíz. La multiplica De dos números representados gráficamente es mayor el que está situado a la derecha. Ejemplo; 5>3 y —10<-7 y -5<2 Todo numero negativo es menos que el cero y todo número positivo es mayor que cero De dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto, Ex: -7 > -10 De dos números positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ex: 10>7 + Las operaciones de números enteros — Lasumao adición de números enteros. Ejemplo; -3+5=2; 3+(-5)--2 Silos sumandos tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se pone el signo común. Ej; (-3)+(-5)=— Silos sumandos tiene distinto signo, se restan los valores (al mayor le restamos el menor) absolutos y se pone el signo del n? con mayor valor absoluto. Ex: -3 +5 = 2 y 3+ (-5) = -2 Propiedades de la suma de números enteros + Interna. El resultado de sumar números enteros es un número entero + Conmutativa. El orden de los sumandos no varía la suma. Ejemplo; a+b=b+a + Asociativa. El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. Ej: (a+b)+c=a+(b+c) + El elemento neutro. Cualquier número al que se sume O da es número. Ejemplo; a+0=a + El elemento puesto. Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado cero. Ex: 5 + (-5) = 0 La resta o sustracción de números enteros Se obtiene sumando el minuendo el opuesto del sustrayendo. [a—b = a + (-b) ] Es Propiedades de la resta de números enteros + Interna. La resta de números enteros da un número entro 6)(5)= (6) += + No conmutativa, no asociativa, no distributiva [a — b no es lo mismo b — a] ¡ón o producto de números enteros Se multiplican los valores absolutos y el signo se pone según las regtas de los signos Las propiedades de la multiplic: ión de números enteros + Interna. La multiplicación de números enteros da otro número entero [ax b=z] + Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto [axb=bxa] + Asociativa. El orden de agrupar los factores no altera el producto [(axb) xe= ax (bx0)] + El elemento neutro. Cualquier número que se multiplique por uno da ese número [ax 1 = a] + Distributiva. La multiplicación de un número por una suma e: igual a la suma de las multiplicaciones de dicho (ax b) + (a xc) ontrar el elemento común a un conjunto de sumandos, una operac aveces se simplifica sacando factor común para realizar la operación. Ej(-2) x (3)+(-2) x (5) 7 La división o cociente de números enteros número por cada uno de los sumandos. Ejemplo; ax (br + Sacar factor común consiste en en ón numéri (2) x(3+5) L1tt 1414 " Se dividen los valores absolutos y el signo se pone según las reglas de los signos Las propiedades de la división de números enteros + Nointerna. La división de números enteros no siempre da otro número entero + No conmutativa, no asociativa, no distributiva +11+ + El elemento neutro. Cualquier número que se divida entre uno de ese número + Operaciones con paréntesis o corchetes. Efectuando. Tenemos que sumar los números de dentro el paréntesis 5+3+(4-7+2)-(4+3)-2+9= 5+3-1-7-2+9=12-5=7 1 - [-4+(1-5+9)+3] + [9- (-9+3)] = 1 — (-4+5+3) + (9+6)= 1-4+15= 12 2 (-1+6)+(3-2)-5-(-4+7)= -2-5+1-5-3=-14 - Suprimiendo. Sumar el signo de fuera del paréntesis con los números dentro de I paréntesis 5+3+(4-7+2)-(4+3)-2+9= 5+3+4—7+2-4-3-2+9=12-5-9+ 1 - [-4+(1-5+9)+3] + [9- (-9+3)] = 1 - (-4+1-5+9+3) + (9+9-3)= 1+4—1+5-9-3+9+9. 2 (-1+6)+(3-2)-5-(-4+7)= -2+1-5+3-2-5+4-7=-14 Potencias de números enteros Propiedades 53 3->1 2 laa 3 3 arxb"=(axby" a b n Ey b mn yy b 54 a)” = a" sines par y—a” sinesimpar (E32=32= (37*=-3=-> 3,4/5 = Ey5? 4Y/V7% sy1 Realiza las siguientes operaciones: (122 — 140)/49 =4x 7 =28 (1124 4) 34/64 = 125 x 4 = 500 (2142x 17) 4/81 =50x 3 = 150 (25-4x7) 4/81 =4x3=12 Ds (6x6 4x2) 14645=2x545x3+42-14+6x5=100 |25x443x44(-4x 2007 -146x7=2x4+43x445-146x7=206 52144 PDA (6x2 4 BP 14 ÓX TS AED 146 7=79 | 21x3:64 3404 (874x292 +5 x7=21x3:643x404 121 45X7=46 WOXTHBAS-3XM +15 TRIAL TRI H 45 = 34 | (35) 2 (7) 2 16X (48) 4 1 (7) x 2)] = 35: (7) 2 (24 + 14) = 15 5x2:44+3x2+(2x5-6x2)P-1=204+24+2-1=51 |25x44+3x4+(8-4x 22? -14+6x2=1284+124+5%-1+12=176 Escribe en forma de radical las potencias 11 =yx 513 345 75 5y77+ adY= ya? Escribe en forma de potencia los radicales Vi= 70 Ya 1 Ya 1 11/65 a2/5 =631 Operaciones 175/12 + 1/27 - 448 + 4300 = 5/3 - 243 + 3/3 — 4/3 + 10/3 = 12/3 34/50 + 4/18 — 5/8 + 24/200 = 15y/2 + 122 — 104/2 + 20y/2 = 37y2 342 + 4y/8 — /32 + y/50 = 19 +8 -/274 75-42 +4= Y/175 — 54/63 +2y/112 = 44/25 + 3 6y/125 — 1/80 = 1 1 + 1 viv v2+1 Productos y3xy/6 = y/18 = 3/2 34/12 x 34/10 = 3/120 =2 3/15 3/2xY3= 1/2 x 33 Simplifica 5 15,/218 10/a3 2yatp5 3/5 7 3y/14 =2 3/25 Xx 7 34/14 2 3, A 3y14 2 1 =>5v 19 V5+y3 =15xVD 2 23 =10+5/3 logQ2+8)% log22+lo0g8 log 3/7 4 3l0g7 log(22+8)= lo0g30 log(1+5) 4 log7+log5 log5? =?2log5 6 log5 =log6- log5 log 315 4 log5/3 Halla los siguientes logaritmos log,32 log20'5 = 1 log. — 357 logo,516 log.405'75=2'6083 log 1"9=0'2788 log 0'0005=-3'301 log23'5=1': log 0'0456=-1"341 Halla los siguientes logaritmos Ln 3 =1"0986 Ln23'7-3'1655 Ln 0'5-0'6931 In 5- 16094 In 25'8-3'2504 In 0'034--3'3814 Halla los siguientes logaritmos log 21%- 30103 log 3!5 = 16094 log7y/23 = 01945 7 log — = 2461 log (523 : 3415) = 8'1041 log (0'5 x 725) = 10'4064 3 la =+= 349 27 1og3 Reduce al logaritmo de una sola expresión 5x6 log 5+log6-2log2=10g (2%) 2log 7+ 3 log 5= log 7? + log.5? = log (7? x 53) axb? 3loga+2logb-5 loge-loga?+logb?—5Slogc? = lo (3) C: 2 ; 3 Xx 2logx — 5logy +3logz =logx*+ logy” + logz" =lo0g( 2) y 1 1 7108x +3108y =log(x1? xy!) log6 +log2=1l0g3 2log2+l0g36—log12 1 3log5 +31089- 3log3=l0g25= 3(log8 — log4) +10g3 7 log5 +3l0g9- 3loga 1 5 31984 —2logb —logc— 3 lod = 7 log25— 3log,a +310829 = 1 5 7198 m-—2log t—log p +3108 h= Desarrolla la expresión logarítmica : ab? log) ( dp ) 5. Ln b2c-4 Problema Sabiendo que log 5 = 0'6990, halla 1 1) log2=log() = logl0— log5 =1=0'699 = 0'301 100 b)10g20 = log) = log100— log5 =2=0'69 = 1301 o 10 10g40=10g 8x5 =og2+ log5 =31og + logS =3logl0—10g5)+log5 =3(1—10g5)+log5 =3- 3log5 +l0g5 =3—210g5 =3-2x 0699 =3— 1398 = 1602 Sabiendo que log 2 = 0301, halla 1 1) log25 =lo0g——=log100—log2=2-2log2=2-2x 0301 =2- 0'602 = 1'398 100 b)10g50 =10g > =10g100— log2 =2= 0301 = 11699 cula a) log 500 b) log 2.000 brlogy/= ¡arios indican el número de partes que se toman de la unidad y en cuantas partes está dividía la unidad. ) y los fraccionados son aquellos que no se pueden exprese como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal Sabiendo que log 5 = 077, Sabiendo que log 2 = 0/301, calcula: a) log e)log16 d) log 1/16 e)log.0'025 log3/32 + Los números + Los números racionales están formado por el conjunto de los números entero Z= (0, +1, +2, + +« Los nún no es ni exacta ni periódica. + Los números reales están formados por los números por los números racionales y los irracionales in Logaritmos 1. Llaves 2. Corchetes 3. Paréntesis 4. Logaritmos y exponenciales 6. Producto/ « 7. Suma y resta Fracciones Términos Denominador: partes iguales en las que se divide la unidad. Indica el número de partes en las que se ha dividido la unida Numerador: partes que se toma de la unidad. Indica el número de unidades fraccionarias clegidas Unidad fraccionaria es cada una de las partes que se obtiene al dividir la unidad en n partes iguales Fracción de un número Calcula 3/7 de 602 Para calcular la frac ión de un número se multiplica el número del numerador y el resultado obtenido se divide entre el denominador mo unidad. La fra Fra ¡ón expr depósito contiene 2/3 de gasolina. El todo es el depósito y la unidad equivale a 3/3 en este caso ¡Ón como parte de la unidad. El todo se toma un valor con relajación a ese todo. Ex: un Fra: ción como operador. 2x 60 3 40 2 Para calcular la fracción de un número. Ex: calcular 3 de 60 1/3 de 60 =20 y 3/3 de 60 = 60 Fracción de otra fracción ac C —de—= bd bxce Fracción como razón y proporción “uando comparamos dos cantidades de una magnitud estamos usando las fra Cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el instituto es de 13 a 12 estamos diciendo que de cada 25 estudiantes, 13 son chicas y 12 so chicos. ¿Qué fracción de niños hay? 12/25 chicas y 13/25 chicos ¡ones “OMO razones Fracción como reparto Un grupo de 4amigos tienen 3 pizzas. Como la división 3:4 no es exacta. Dividen cada pizza en 4 partes iguales. Comparación de frac Denominadores iguales, es mayor la fracción que tiene el numerador mayor. Ex: 6/9 > 4/9 Numeradores iguales, es mayor la fracción que tiene el denominador menor. Ex: 5/8 > 5/12 iones ionales Expresión de los números ra ¡ón equivale a un determinado número decimal es su fra ¡ón generatriz. Ex: 3/4 ciones como s el valor de a partes dividida en b partes Cociente representa la división de a entre b Operador para transformar el valor numé, co Fracción irreducible: transformarla en una fracción equivalente con términos más pequeños Método de simplificación por pasos 45 3 60 60:5 12 12:34 Método de descomposición factorial 45 3x3x 60 2x2x3x5 4 Fracción inversa. Cuando el numerador de la primera es igual al denominador de la Segunda El producto de la fracción y su inversa es igual a 1 2/7 su inversa es 7/2. Si multiplicas una fracción por su inversa el resultado es 1 Fracción Opuesta. Es la que se obtiene al cámbiale el signo 3/5 la opuesta es (-3/5). La suma de un fracción y su opuesta es cero. ones con a unidad Comparación de frac Una fracción es igual a la unidad si su numerador y denominador son iguales. Ex: 6/6 = 1 Una fracción es menor que la unidad si el numerador es menor que el denominador. Ex: 4/6 < 1 Una fracción es mayor que la unidad si el numerador es mayor que el denominador. Ex: 10/6 > 1 Operaciones con fracciones Sumas y restas de fracciones de igual denominador Para sumar se suman los numeradores y se deja el mismo denominador Para restar se restan los numeradores y se deja el mismo denominador Diferentes numeradores 113,24 3 2 -8 5 O 2 A a a a b Ly Opos xxs CG Números decimales Tipos de números d Limitados o exactos. ales -37y0'897 Ilimitados o infinitos: No periódicos y periódicos puros (números periódicos desde la coma) y mixtos Representación gráfica en la recta. Expresa notación científica de los siguientes números: 371.500.000 = 3715 x 105 435.900.000.000 = 4/359 x 10!! 372.000.000 = 371 x 10% 000000278 = 2'78 x 1076 0'000269 = 2'69 x 1074 0'00000058 = 58 x 1077 Expresa en notación decimal los siguientes números: 3'437 x 10? = 3.437.000.000 2/33 x 107? = 0000000233 1/2 x 10% = 120.000 3'014 x 107? = 0'000000003014 Opera y expresa el resultado en notación científica TSx10%—3'4x 102 = 41 x 102 08 x 1015 x 32 x 107% = 2.560.000.000 = 2'56 x 10? 436 x 10154 154 x 1015 =5'9 x 1015 5'74x 10% : (1/64 x 107?) = 3/5 x 102 5'4 x 1015 x 812 x 107? = 43.848.000 = 43848 x 107 27 x 10% : (1/5 x 107*) = 180.000.000.000 =1'8x 101! (5/24 x 100163 x 10%) = 33012 x 10!5 583 x 10? + 6932x 1012-75 x 1010 =-7x 1012 Aproximación de números decimales Truncamiento. Se quitan las cifras de después dela coma. Se colocan las cifras anteriores a esc orden eliminando las demás Ex: 23647 = 2'3 truncamiento hasta las décimas Trunca a dos cifras decimales: 35/8- 437 13'4972-13'49 37 =6'08 Redondco. Se aproxima a la cifra que te piden y se suprime lo que va detrás. Si la cifra es 5 o mayor se le suma una cifra si es menor se queda igual Ex: 23647 = 24 redondeo hasta las décimas Halla el error absoluto y el error relativo que se comete al redondear con dos cifras decimales los siguientes números: 25 — =2'083 = 208 12 25 Errorabsoluto = | — 2/08] = 0003 000333 25 2 Error relativo = =0'0016 8 = 2828427125... =2'83 Errorabsoluto =|y/8 — 283] = 000157 Error relativo eE = 0'000556 8 123402 = 1234 Error absoluto = | 12'3402 — 12'34] = 0'0002 Error absoluto = ==— = 0'000016 123402 180 = 8'94427191... =8'94 Errorabsoluto = | y/80 — 894] = 00043 Error relativo = 2% 0100048 8% Comparación de números decimales 1% Debemos comparar la parte entera 2 Comparamos la parte decimal Los ceros a la última cifra no añaden valor Los negativos decimales son mayores los que es Es menor el que tiene menor la parte entera. Ex: 3'528 < 50001 <7"36 Si tienen la misma parte entera, es menor el que tenga menor parte decimal. Ex: 3125< 3'2<3'218 » más cerca del O Operaciones con números decimal (27/56 + 1/45) : (0/98 x 6/48) (4:6'893)+(-27)+6'53=4'41 1'5-(-11094)):7704+(-7799)=-7"43 5/53 +3'6- (06 + 613) =-7'46 -0'96 Suma y resta. Se colocan cada cifra según la posición que ocupe y luego se suma y se resta Multiplicación. Multiplicas normal y después ponemos la coma sumando las cifras de después de la coma Cuyo número decimales igual a la suma de los números decimales de los factores Ex 13x6'12=7956 A656xY'4= 111744 ¡ón Expresión decimal de una fra Expresión decimal limitada. Se escribe mo numerador todas las cifras de la expresión decimal sin considerar la coma y en el denominador la unidad seguida de tanto ceros como cifras renta la expresión dada Ex: 000123 = 123/100.000 45'82- 4582/100 Expresión decimal periódica pura. Se escribe como numerador la expresión decimal sin la coma — la parte entera de la expresión y como denominador un número formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo 45-262 97/11 99 ¡Ón. Se divide el numerador entre el denominador Expresión de un número decimal exacto en forma de fra Ex: 123/100.000 = 000123 98'3/10= 983 Tipos de fracciones decimales Fracciones propias. Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, Ex: 3/5 ciones impropias. Son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Ex: 7/5 siones decimales tiene denominador de una potencia d e base diez Número mixto/ fracción mixta Está compuesto de una parte entera y otra fraccionaria. Para pasar de número mixto a fracción se deja el mismo denominador y el numerador se obtiene de la suma del producto del entero por el denominador + el numerador 2 3x54+42 17 Ex: 3x == ===> 5 5 5 ¡ón impropia a número mixto Se divide el numerador por el denominador. El cociente es el entero del número mixto. El resto es el numerador de la fr: denominador es el mismo que la fracción impropia Pasar una fr Problemas de porcentajes En unas rebajas en las que se hacen el 30% de descuento, Roberto ha comprado una cámara por 50'4€, ¿cual era su precio original? 30% dex=50'4 100 x 50'4 x= ———=7% 70 El número de infracciones fueron 80.000 de las que 72.000 corresponden a ,enormes de 50 años, ¿ que porcentaje corresponde alos mayores de 50? 80.000-72.000=8.000 X% de 80.000=8.000 8.001 y = 3:000% 1000 _ 9 80.000 Bloque 2. Álgebra La suma de dos números [a + b] El cuadrado de una suma [a + b] La suma de los cuadrados de un número [a? + b?] La resta o diferencia de dos números [x — y] El producto de dos números [a X b] 2 . , x El cociente de dos números [—] Un número entero, el anterior y el siguiente [n, n—1, n+1] La suma de tres números consecutivos es 90 [n + (n+1) + (n+2)-90 =5] Las edades de dos hermanos difieren en 5 años [x —) El 35% de una cantidad [035 x] El triple de un número menos su doble [3a — 2a] Tres números pares consecutivos [2a, 2a +2, 2a +4] Tres números impares consecutivos [2a+1, 2a+3, 2a+5] . a El número menos su mitad [a — 31 a+b a El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia [: El doble de un número [2x] El doble de la suma de dos números [2 X (a+b)] El triple de la diferencia de dos números [3 X (x— y)] La mitad de un número 5 x—-4 La mitad de la diferencia de dos números ] El cuadrado de un número S E 2 El cuadrado de la suma de dos números (x + 4)" ER E a 2 El triple del cuadrado de la suma de dos números. 3(x + 4)" La suma de 3 números [A+b+e] La semi suma de dos números [(a+b)/2] Teorema del resto Tu puedes saber el resto de una división (x — a) sin hacerla. Ex: (34? +21? + x — 5) : (1 — 2) sabría que el resto es 23 P (2) =3 (2 +2 (-2?-2-5=-23 (Qxt4+ 9x3 4212 6x +3m) :(x +2) =12 División de polinomios DO 920 —— la) + KÁ do 5 dw -8):(02-2x+1) (Qx?2—x 5): (31242) | (154 2x7— 2 10421245x +8 Cociente (x) Cociente (x) == 3 ¡9 Resto() =10x 10 Resto (x) ==x =— (x) 3 Rullini x24x-6 >(x-24 +3) 1. Ordenar decrecientemente 11 1-6 2. Coger coeficientes 21-24 a > 1.3 10 3. Hacer la tabla 313 Objetivo: Descomponer en factores 110 (Qx5- 1213 — 612-117) : (1 —3) 12 0-12 -6 +0 -117 3 618 18 36 108 J-4. 0.3 0 26 6 1 36 |-9 5 —20 —100 485 Cociente (x) =2x44+613+6x +12x +36 "4 -20 -97 -485 Resto (4) =- 9 Resto (x) =— 2430 (5-134312-4x+1):(x-2) [1.0 -3 3 -4 1 2 2.4 2 10 1.2 1.5.6 113 Cociente (x) =2x4 4613 + 6x + 121 +36 Resto (x) =- 9 Qad+5x?—2x+4):(1+3)=0 12 5-2 a-3=0>0=3 EN! =6 SO] 2-1 1 10 P(3)=2(-39+5(23)2-2(-3)+a=0 (Qxt4 90 423? 6x +3m): (142) = 12 12.9 2 -6 3m -0=12 2 24-10 16 -2 2.5 -8 10 112 POSI AAA AA 12m 3213 (044213 —4x +5): (1 +3) Cociente: 19 — 12 — 3x — 13 Resto: 44 (4-61 4+2x — 6): (1 —3) (4x?— 31245): (x +5) (4x4 + 31? +5): (1 —5) =5 2420 | 2430 Cociente (x) =- 4x3 — 20x2 — 97 — 485 (6x5 — 10x*— 1513-71? +3): (4x2 —4x — 4) Cociente (x) = e 2-6 Resto (x) =— 37x — 21 4 (6x7 +2x—5):(2x 1) 12 0-12 -6 +0 -117 3 6 18 18 36 108 26 6 12 36 |-9 Cociemte (x) = 2144613 +6x +12x +36 Resto (x) =- 9 Problemas ¿El polinomio P(x) es divisible entre x-1? (+ +212—7x 44) : (4 —1)=13243x — 4 =0Siesdivisible Halla el valor de “d” para que el polinomio P (4) = 19 — 5x? + dx + 8 sca divisible entrex — 2 (si ?+dx+8): (1-2) P(Q)=0 0=2B-5x2+2d+8>8-20+2d+8d=9>2d=4>d=2 Halla el valor de k para que el resto de (14 +ka?— kx +5) : (1 — 2) sea-3 Aplicando el teorema del resto se tiene que verificar que PQ) ==3>21-2k -2k+5=-3>-10k =-24>k =12/5 Halla el valor de K para que el resto de (13 + kx — 10) : (x — 2) sea 3 P(2)=3>2+2k-10=3>2k=5>k=5/2 Valor numérico de un polinomio/ Teorema del factor Valor que alcanza un polinomio cuando se le da a la x un valor numérico P(x) =412—6x +7 parax =1 P(1) =4x12-6x1+7=5 P(x,y)= x2%y —3xy?—1 parax PQ1)=2(1)-3(01?)-1= (yin y) = 3 (ya add Ertrcany e) = 12 yo Ebc =8 yin? Axwr(—2x yy wr 32 yd ray? 232 we) 12022328 28 (221232218) Adan 1 3x3y2H2x4y3w3) Gx Ty tw ya Operaciones combinados con polinomios 2xy x 3x + Sy2(4y + 2y2) — 4a%y + y%2?= 6x?y + 20y?2? + 10y?2?— 41?%y + y22? =2x?y +21y%22 + 10y%23 Sxy(Qx — 4x y) — x(4x y — 3x9?) +2x x 3x y = 101?y — 2012y? — 4x?%y + 312%y? 4 61%y = 121?y — 172 y? 2ab x 5ab — 3a(5ab — 2b) — 3b x 2a + 3ab(-5a — 2ab) = 10a?b? — 15a?b + 6ab + 6ba + 15a?b6a?b? = 4a?b? 21ac(a — 2c) + 2c(3a + 5c) — Tac(2a— 10) = 214% — 42ac? + 6ca + 10c? — 14a%c +70ac = 7ade — 4ac? + 76ca — 10c? —2a(Sab — 4ab) + 2(3a?b — ab) + 3b(5a — 6a)=— 2a x lab +6a*b — 2ab + 3b(—la)=-— 2a?b + 6a?b — 2ab — 3ba = 4a?b — Sab 2xy(=Sx — 3xy) —2xy (Gx +1) — dx(2xy — 34) =- 180% — 6?y?— 2x y(4a) — 8x?y + 121? =26x%y — 6r2y?4 121? 3 ve Extraer factor común Consiste en aplicar la propiedad distributiva 21xty%3 = Introduce dentro del radical el factor que está delante 35 =V37x5+ a3y4= 3Y4a? 2%a3y42a?= 342%a%2a? Extrae factor común de los radicales 4644 "b? = 4424 'p? =2a*p? 4 Lab 5, /128x19y 15710 =200y2 5 2xt Productor o identidades notables Cuadrado de una suma (a+b?=a+b*4+2ab G+02=34+1242x3x =132+6x +9 Cuadrado de una resta (ab? =a+b*-2ab 6-02=3+12-2x3x =x132-6x +9 Suma por diferencia (a +b)a — b) = a? — b? (S+058-x)= 8% -1?=25-x? (1-22 +4x0x+3)-Qx +4)0x -4)=5:24+8x +20 (2x+5(0-3)- (+ DG D+40(2-3x)=-11x2+7x- 14 Factorización de un polinomio/ Descomposición factorial Ta —18)=301=14) > 71 126=3x 42 > 713 = A+ > 30625 ss 126 42>4x =84>1= 2 =21 Mx 4 22 dre 645-250 = 1090 = 2 5 Ecuaciones de primer grado con denominador 1. Reducirlas fracciones a común denominador 2. Si hay un “-” delante de una fracción hay que poner un paréntesis 3. Resolverla ecuación 1 solución =0>4-8-(31-9=0>x=-1 LE > 300 +5 +6(1 41) =10(4x + 1)> 4 5 +3 => 100: 2) 66% 4) = 30: +3)>x L>120-6)= 0 334 12x > l4x IS(x 5) +10(1=)6x7>x 7 2 O 3 2> 51 +1)+10x4+21-x)=20>x=1 2x5 > Ox +6 12 +36=4x4+6x —15>x >1=-2% x > (ADA +) (541) = 121 + 12>=6x 1 al 2D 460 43)= 12e2r 25 le =-22>x ; (—2)+60 +3) 241 243125 210 3 6 4 dx 5 2x0 +2)> +84 51-15 1+1 MB 11 41504125 —24=50x — 150> 231 =-276>x =12 3 4 > 5145401 +48= 12x 4 + 10r >1 =1 2>5:+5+ 10: +2-2x =20> l3x=13>x=1 =18x-6+9> 3 HG ONO dr +24 12 5x4 14 > 10: 204301 = 1244151 442> 191 =38>x = 10 > 121 —8x+9r=8+1246> 131 =26>x > 180 830 184+8-12>7x =14 HD ID 0 12 44 dr =8:+8+4:126> 12. 008249 = 18244 18> 81 = 1251 7 7 FOO, 2 HO 20419020042 Pan, Sr MIA 16061 201 +8 10-200 =154755> 0 7 6 y 4 m2, 3 7 3 2 > M4 DB => 602) Ax + 1)+28=12x+9>x a 2=3 y +3> 0-22 + 1)+ + 10-18>-5x=-8>x 2 soluciones 2-3_1 > 04 4303 MOS ITR M4 0 > 8016 DU) 2>41-=2)= ADD 0>%=1ix2 (+) 4+3)> 0430 18=0> 09 =3 02 = EE Lo 2d+3)= =x+1>2d 41 3>x1 4x4 ara A A e or 3) = (dr La) 1) > 3 3>40 +2) 4dx = 301 42)> 12421 4+8=0>x, 9 A ? Aa 20) =D +2) MD a emos adi ad 2043, O x= ox+1 2-13 x1-33x),=4 x+l — =2> 1 =3x=-1 x?-2x x ? S(1 — Jr — 3) 13 +14 =2(x 3) >5x — 1551? 4 15x +56-8x +24=0>-512+12x+65=0>x] =5; 2=-3 2x-3 x+2 1 =3>50+ 300-3530 -D4+2=6-D0+3)>4+2-8=0>2%9 =2; x=-4 1 143 1 1 4 > 9 == — == > (6x9) +2) — x(3x — 9) =—4x(x 42) > 474 14x-18=0>x7=1l: 2=->7 x x+2 3(x — 3) 2 3, J 2 3, A 2 a >) E AD = A > 2744 +2=0>x =- Lfalsa) x=1 o x+1 G+D0=D) 0x1 x+1 59 2 2 2 2 > 0%+D-BOx-31+217=59 > 8176x -44=0>41 7-3: -2=0>1 =11/4 17 =-2 > (+ DOr+ Dra 1)=7> 21 +42 + 142121 7=0> 417+2x-6=0>x=1: 12 =-3/2 xo Se-1 omo Lo me Tr Ihr = 2 E a eur te DD) = (Sr D)> d+ 414 6=0> (1 +3) 21 4+2)=0>x =-3 3r 67 22.2 = — TE > 2 42) + 30 2) =612> 12423 =0>1(142)=0>1=0(10) x =-2(s1) +2 44202 x+16 2 2 ADA Sd 16 2 42 2 4 1691 1 6= 05 01 = M0); 9 = M0) *- Ma +11 > 32 HG > 09) 129 = 9 100 + QM 1)> 7 +88 256=0 > =8 0 = Cruz algebraica x+6 73 3243 bp r+7 2 9 243 529313 4 2 | 111 Tx-22 x+6 =—=+ 3y-2 5y-8 2 32 +3 243 +24+3+ +x+x41=26> l4x -444+x+644x 44x4+4=104>23x = 138>x =6 +6+y-3=26> 12y -8 +5y — 84484 8y —- 24 =208 > 25y =200> y =8 T+ =26>28+62+6+4+12424+3=104>1lz2 =55>2 =5 71 +10 + — Hi 5+8 =26 > 104+16+71+ 10421 -2=52>9 =18>1=2 Ecuaciones de 2 grado [a X? + bX+c =0] Incompletas aX?=0Ex312=0>x=0 aX?=cEx:3142=27>12=9>x=3 aX?4c=0Ex:517-20=0>512=20>x32=4>x=y4=2 aX? 4 bX =0. Sacar factor común y una solución siempre esx=0 Ex3x2-x=0>x(Bx-1)=0>x,=0;19=3x-1=0>x=1/3 1 Las 40 1=0>40= 107 => 1 => 32-21 =0>x(3x-2)=0>x =0; 2 9%=4>:=-3 => 2x2-3x=0>x,=0; x= 3 3 x4-625=0>x,=51,=-5 Ecuaciones completas —b vb? 4ac x= 2a 312-10x+7=0 617-5x-6=0 y TIO) E 1074 3x7 _ 10%4 > Al SIE SAX6X O) 5213 23. 2 2x3 6 3 A A 5 50 141-3=0>9 =3 0 =-1/5 | 5 -Mx-5=0>19 == 12+4x-5=0 2x7-3x+7=0 x2+61+9=0 31?-4x+1=0 2x?-5x-3=0 3x2—x-2 d+id+36=0>09=t40=21 1d 131436=0>x=3x +2 Ecuaciones bicuadradas -osi+4=0 x2=d x-1312436=0 x2%=d d-5d+4=0>d=4: d¿=1 d2-13d+36=0>d¡=4; d,=9 x2=4>1=12%x2=1>x=:t1 x2=4>1=1212=9>1=:+3 Solución: xy =239 =-2:x3= 1x4 =-1 Solución: xy =2319 =-2:x3 = 3:44 =-3 2514 144=0 12=d x*-I12+16=0 x2=d d?-25d+144=0> d, =16; d, =9 d?-171d4+16=0>d,=16; d¿=1 12=16>x=+4 12=9>x=%3 x2=l6>x=+4 12=1>x=:x+1 Solución: x, =4:x) =-4:x3= 3:14 =- 3 Solución: x, =4:x) =-4:x3= lx =- 1 xé-13124+36=0 2=d xé-2617+25=0 d?-13d+36=0> d; d,=4 d?-26d +25 =0; dj x2=4>x=+2 x2=9>1=%+3 42=l>x=+112=25>x=:+5 Solución: xy =2; x9 =—2:x3 = 3:44 =-3 Solución: xy = 1:17 =— 1x3 =53x4=-5 2 10-2>4-101249=0 x2=d 1-4? =0>10 -4)=0>12=4>1 =+2 X Solución: xy =0;x7 =0;x3 =23x14 =-2 x2=90>1=+3x2=1>x=:+1l 3x9=93> 3x3 =93 3*=d dxd=729>484 =728>d=9 3Y=9>x=2 Pu 9 Ecuaciones exponenciales de segundo grado 9-7x3-18=0 3=d 2-1d-18=0>d=9 d3=-2 9=9>x=2 442=3x20>2%42=3x 2x2 ud d4+32=3dx4>d*-12d+32=0>d,=8; d,=4 22=8>x=3; 2X=4>x=2 9443291429412 =40>x =3 9-6x3H1481=0>x=2 537 =0>1 = 1435 42 la 8>x=2 2 as DA sa 043,125 =53> 2x8 5x4 3072 =0 2=d 324? dP=x 512 +128x + 12288 =0>x1 =64; 17 =- 19.215 sat 2 sg 7 +3.072=0 > 12842 — 54% + 12288 = 0 L=ó>x=8 5 lox y sr a e 5 +5 6> zp +5 6 5 d Pód+5=0>d Si d3=1 5 =5>x=1: 5%=1>x=0 xy 5 lor E Y S4sia=6> 4 2 =6 S=d 5: 5 d+7=6>d+5d-6d=0>d/=0 d3=1 S=1>x=0 Ecuaciones logarítmicas logx=0>x=1 logx =4>x=16 logax=0>x=1 logax =2>x=9 4log2 5log2 4 24 - 25% =0> 4log2—5xlog2=0>x = =5 25 logx + log80=3 > log(x x80) = 10g1000 > 80x = 1000 >x =F 224 28= 222 d+28=4d-2>d=8 2=8>x=3 3-44-4.2-32=0>x=2 9* > +28B=2x2P-2 2=d 996x393 14+81=0>3%-6x3"x3+31=81 3=d d2-184+81=0>d=9 3=9>x=2 76 39-5.3*=2>x=2 E 201 =8>x 2x1, =-2 SH 304 3 = 39> 1 = 1 O 3 149 => AZ 3d? -10d+3-0>d,=3; d,=1/3 9=3>x=1;39=1/3>x=-1 2x 5 SUI 6x5 125 = 0 > 6574 125=0 S=d A 150d43.125=0>d=125; d¿=25 S=12>x=3 =15>13= log, 3=1>x=3 log/16=2>1l6=x2>x=x+4 = = 1 logax=1>x=3 logar ==2>x =x log6 4 =6=> xlog4=(1—log6 >x =—L — = 05638 log4+log6 Sx +3 3 log(5x +3) —logx =1> log =1og10 > 51 +3 =10x >x =3 SO*x=1>10g5 PX =0> (1 +2x)l0g5=0>x(1+2)=0>29=9 17 =-2 5 = 312% > (x + D)log5 =(1—2x)l0g3 > xl0g5 +log5 =lo0g3—2log3 > x 51 = 3122 > (1 + Dlog5=(1—2x)l083 > xlog5+log5=1l0g3-2xl0g3 > x= logaQx-2)=3>x =5 => J083-1085 01342 log5+2log2 log3 1085 _ 1342 —log5+2log3 loga(1?—8)=0> 1, =3:109=-3 2logx — log(x +24) =2>x =25/2 2log(x-2)=logx>x=4 2 1 3h =37 >= 20 =-2 3% =81>1=31),=-3 3log2+log2 201 =8>(- log2=3og2>'log2=Mog2+log2> 10 = ECTS 4 2 08 x-2 2log5 523 =0> (1 —2)log5 =xlog3> x(log5—1log3) =2l0g5 > xlog5—xlog3 =?2log5>x = “2 — =63 log5—log3 2log(x -2)-1=1lo0g10>x=12 logx +log(x—1)=lo0g6>x=3 _logl/3 _ log5í3 1 1 1 1 2= Gr > xlog2=(x- Dlogz > xlog2= «log - log5 >x - 215 10% - 3 log(Sx +3) =log100 > 5x +3=10%> x= =1'99 x 10% —log2— log3 PCS] log2+log2=log3 —log3 4231 rlog24(x + Mlog2= xlog3+(x — Dlog3 > xlog2+xl0g2+log2= xlog3+xlog3=log3>x = Ecuación de segundo grado Las soluciones negativas no sirven logx?—log3 =logx +log5> log(—)=log(15)>12=15x >x(x-15)=0>x,=0; 1,=15 3logx =?2logx +log3 > logx? =1log(1?x3)>137=312>x%(x-3)=0>x,=0; 0=0; 173=3 2logx =1log(2x +3) > logx? =log(Qx+3)>x2-2x-3=0>x-3 =-1 log(x? + 3x +40) = 1 +1log(3x — 1) > log(” + 3x +40) = log10 + log(3x — 1) > logx? +3x +40 =log[10(3x + 1)1>17-27x +50=0> x, =25; 2 2 2 2 ose 2 (751 +SlogS +log20= log4 > logs 7-50 4 log20 = log4 > log 7515 20) = log4 > SÓ ¿> SÓ 5 6 071 3: e 100 + y/ 100? + 2400 x 4 Ñ = 103100 > = === > 1 = 120(s1); 12 =-20(n0) x+24 2 2logx —log(x +24) =2> log log? —1)—log(x — 1) =log(x +9) > log( x+9>x+4+1=x+9>1=£ log 3x+1+l0g5=1+l0gY2x=3> log(yY3x+1x5)=10g(10/2x =3) > (5y3x + 1)? =(10y2x 37 > 5 Bx + 1)= 10(2x -3)>x =2 logx +log(Bx +5)=2> logx(3x +5) =log100 > 31? + 5x — 100=0> 11 =5; x= 40/6 Fracciones algebraicas Sumas 2 2 _ 20 43)+2 3) _2x-642x46_ 4x _PA+DAA+D mba AA 143 1-3 (1 +3) —3) 2-9 = +1) PEAD. Resta 2x+1 2x-3_ -212-6x-14 1___x+1_2x lo =1__ 1-2 x+4 x-2 (x+4G6-2) 2x- Qx - 1? (Qx — 192 4124 1—4x 8 ES 4 _ 16-4r 242 2144 x(1+2) 2Ax+2) 2%+4x Lo x41 x+1 _x+l-2 1 +) 1 1 1 221 tx XA+D XA+D. ato Y y GADA=D AGADGE=D 1GADE=D Multiplicación z4L se _ 34? _ 34? 2-4 142 (1+2(-2) x _x2-2x x-2 x2-1 (£-22-1) 133-2x2-x42 x-1' x (x—1) (+2) x-1 1 Y x4l 2x-x+2 Lores (+5) GARA) 2 1420 -—):(0+2)= arras EE AAA AA AS ADA A GAN GEASS QRARA AT RAS) x43 42d 64d a 210x425 24 0=4x GASPAR 1 a Aaa “A 2 E A A A x-1 x+2 (e DGA+2) 4x2 x+1 0 12-4 (4+D02-4 G+Da—-24+2) x-2 mxM+9 4 442 3149 [4+3))- [34D +2] 343) x+6 3443) +6) 1 x+6 3x3 +23 x+6 3: Dr +3) ox +6 3-1 +3) (+03 1 +3) x-1 AO ADA AR (Oe 10) 4 (71 2)4212 8 > 24 ADD AAA OR 207) 2002 dp 2er Op e-4 25 e-4 División 3 PALADAR AD) A ma 42 (+2 2) x 12-2x x-1 G+Da=D> (-D602+1) xa+ 1) +1 x-=1 0 xx (+-1 ay” x-1 3 2x - 3 2x - Ax —1) a x+1, 12-1 ADA 342) 23 2x-2 x-1 Ma=D'x-1 4x1) 4x 1-2 2416 GADEFDA-D x-1 A A AE) 1-3"1-9 Ax 3 1) 4 4 2-1 2434 GDA +4 (M-1? Operaciones combinadas IA 2D? + DI IOx + Da? + 1 2 x +2 13241 x(1+2)02 +1) [02 +2) + (042)? + 1)1+ [Ox + D0d+09]+ (37-217 _ [+31 4200241914 12342124141] — x(x +2)? +1) xx +2)? + 1) 04420 2%) 4 043 42) + Qa44 20240 40 9242 314431743124 41 42 x+202+ 1) ADO) x pS 142 _1744x—-S5- (010042) _ 1244051210422 3-3 3x1) _3 x=1 12-x x x+l) _ x(—-1) xD oxa=D x Sistemas de ecuaciones Lineales Ar+d) y => (ON) x+2y=5(Gr-2)=-4[ 6y=-6 Jy=-1 yHr-2 1 9 ES 30 +x-2)=-—(y-—x) x+2y=3 x=3-2y *=3 aty 3 1 11Gr+y=3)=-(y=2)Í 32x + 13y =33Í 328 —2y) + 13y = 33 a n po 6x+20y =26 | y=1 3 | -5x-8y=-13Jx=1 Sistemas de ecuaciones no lineales x=6y-6 x=6y-6 26y 6) +32 =76 f 73y2- 144y -4=0 2 2lx +130=0 Sy =-4x-7 Sistema de ecuaciones no lineales -4>13=3y=4>%4=4 cia se cortan en los puntos: cortan en los puntos: A (+4, -3), BE 3, -4), C(3,4), D(3,2) (3,2), BE 2, -3). CQ3).DG.2) x+y=31]x=-3)=6 5 2- 3) x,=2:y=1 2 yla parábola se cortan en dos puntos : A(=3,4), La recta y la parábola se cortan en dos puntos : A(=3,6), B(2,-1) B(2,1) 217 4+2y?-8x —12y+42=9 | 1=1: y =4 2124 2y2- 12x—16y+42=0 x,=3: y2= +4x +4y-20=0>x=5-y (Sy? -y?-4(5=y)-6y +11=9>2y- 12y+16=0 Ay 2 + dy =4 ) 1 24y?-8Bx-2y=- ,) Los dos circunferencia se cortan en dos puntos: A(1,1), B(4,-2) 4 = Ly x=4y= Sistemas de ecuaciones irracionales Sistemas de ecuaciones exponenciales »_ 2 =7=4 x=2 8x2-3x2'=8 5) x=3 y=1 3x2* 22+2=10 2:-3-2=2 Sistema de ecuaciones logarítmicas logx —3logy =0Y logx—3logy =0 Y x =1000 2logx +logy3=9S 2logx +3logy =9fÍ y =10 3logx =9 > logx =3 >x =1000 logx +logy =1 x=100 2logx—3logy =7) y =1/10 x =100 y=10 logx—logy =1 logx +5logy =7 4+y?-4x—6y+11=0 124+y-6x —8y+21=0 +42x+2y-10=0>y=5-x + (S-x2-4x-65-x0)+11=0>x1?-4x+3=0 A) 2=3: y =2 x=1 y =4 12+y?44x —6y =- 11 24y?+6x — 8y =-21 Jun Ly =4 Las dos circunferencias se cortan en dos puntos: A(3,2), B(-1,4) 245=9 ) d+g=9 | d+g=9 ]d=8]2%=8]1x=3 2:+2 4 5yH =41 3.2% 352 y=1 y_ 2 7 =4 x=2 8-2-3.2=8[y=3 logx+logy =lo0g200Y| x=5 2logx +logy =3 y=40 2logx +logy =5 x=10 logx+logy =4 ) y = 1.000 logx +3log y = 5 x=100 y=10 2logx — logy =3 Un profesor ha corregido la tercera parte de los exámenes y seis exámenes más, si lleva la mitad de ellos corregidos ¿cuántos exámenes tiene que corregir? Xx 3 +0=7>2+36=3x >x=36 Solución: El profesor tiene que corregir 36 exámenes En un almacén hay 2 tinajas de vino. Se pasan 37 / de vino de la segunda tinaja a la primera. Por lo que en la primera tinaja riple de litros, ¿Cuántos litros haba en las tinajas si ¡a la misma cantidad de vino en las dos tinajas? hab Datos:1* tinaja: x+37 y 22 tinaja:x-37 x437=3x -37)>x4+37=3x —111>-2x =- 148>x =74/ Solución: Había 74 litros al principio se pasarán 10c Datos: “Bolsa + 10” y “Bolsa B: x — 10” («+ 10) + (x — 10) =80>2x =80>x = 40 Solución: Bolsa A: 40 + 10 = 50 y Bolsa B: 40 — 10 = 30 Un abuelo quiere repartir 350€ entre sus tres nietos en fanción dela edad dl cada uno. Al mediano le quiere dar la mitad del pequeño y al mayor la cuarta parte del pequeño, ¿cuánto dinero se va a llevar cada nieto? x Xx Datos: pequeño “2”, mediano “" y mayor 27 a+ i+2=350>4r+2x+x = 1.400 >7x = 1.400 >x =200 El pequeño se lleva 200€. el mediano 200:2=100€ y el mayor 200:4=50€. Sem ¿cuántos kilos de avena y centeno se han utilizado? Datos: “kg de avenax” y “kg de centeno 5.000-x” 0'4x +0'25(5.000 — x) Se mezcla café de 4"5€/kg con café de 7€/Kg. Si se d deben mezclar? Dato Ax" y “café B 100-x" 6-100>x lar 40 kg de 4'5x + 1(100— x) Solución: Se deben m 40kg sea obtener 100kgde m lé de 4*5€/ kg con 100-40-60kg de E un parque hayel dobleds olivos quede almendros, Sise plantan 10 olivos más y hay 250 árboles en total, ¿cuántos olivos y almendros hay? Datos: “almendros x” y “olivos 2x + 10” x+2x +10=250> 3x =240>x =80 Solución: y 80 almendros y 170 olivos Javi tiene la mitad de años que Pablo y Carlos tiene 6 años más que Javi. Entre los tres suman 70 años. Calcula sus edades Datos: Pablo “x". Javi Ss y Carlos 3 +6 a+ G +3 +6=70>4x = 128>x =32 ln ama aranja hay conejos y galas. Sia suma de as patas 6 y hay 61 animales. ¿cuántos conejos y gallinas hay? Datos: “gallinasx” y “conejos 61 —x” 2x +4(61 —x)=196> 2x +244—4x =196>x =24 61-24 =37 Solución: Hay 24 gallinas y 37 conejos Dos motos salen juntas para recorrer 560 km a velocidad ante. La segunda moto leva una velocidad de 10km/h más que la primera y tarda una hora menos en hacer el recorrido. Calcula las velocidades de las motos Datos: “Tiempo de 1*moto x+10” y “tiempo de 2* moto x” 560 =A+10= Y >12-x-56=9>x533-8 19=-7 *- a 560 . Velocidad de 1* moto es => 70 km/h y velocidad de 2* moto 80km/h avena de 04€. /kg y centeno de 025€ /kg para hacer pienso para vacas. Si se hacen 5.000kg de pienso a 0'31€/kg, 5.000 x 031 > 0'4x + 1250 — 0'25x =1550> 0'15x =300 > x =2.000 Solución: Se han utilizado 2.000 kg de avena y 5.000-2.000-3 000 kg de centeno 2.6€/kg, ¿cuántos kilos de cada clase se é de 7€/kg He comprado ciruclas por 200€. Se me han estropeado 10 Kg y dec! cid resto aumentando 1€ el precio del Kg. Si consigo un beneficio de 70€, calcula cuantos kg he comprado y el precio que pague por cada kg Datos: “n” de kilos comprados: x” y “precio de cada kg; y xxXy= x =100 «-100+D=270$ y=2 : Compre 100kga 2€/kg Si las preguntas correctas de un examen suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco, si la nota del alumno es 8'05 sobre 10. Calcula el número de preguntas correctas Datos: “ x x1” y “incorrectas: y X 0'5” y nota 805 y =100-x y '5x=1305 $ x Solució x+y y = 100=x 1 0'5(100—x) =805 En un concierto venden todas las entradas y se recaudan 23 mil €. Los precios de las entradas son 50€las normales y 3006 las vias. Calcula cantas entradas de cada tipo se han vendido si elaforo es de 160 personas Datos: “entradas normales x” y “entradas vip y” E+y , Ox +300y Solución 170 ) 60x ) 160 —x pi 13.000 $ SOx + 300(160—x) = 23.000 $ —250x =—25.000/ y =100 e vendieron 60 entradas vip y 100 normales Hemos comprado 3 canicas de cristal y 2 de acero por 145€ y también 5 de acero por 17€. Calcula'el precio de una canica de acero y de una de cristal nicas de cristal: x” y “canicas de ac 3x +2y 45 (x2) ] —1ly 2>y=02] y =0'2 ) 2x+5 AS) 2x +5(02)=1'7 NS Cada canica de cristal cuesta 0'35€ y la de acero 0'2€ 4 % 2La Una marca de bebidas prepara una limonada. La relación entre las cantidades de agua y concentrado de limón €s 1, = 2% donde Ly representa los litros de concentrado de limón y La los litros de agua. Si se necesitan 20 limones para obtener un litro de concentrad de limón, ¿cuántos limones se necesitan para elaborar 1.230 botellas de 2L de esta limonada? 1 Paso: 1.230 x 2 = 2.460 L de limonada _2*Paso: Ly + Lg = 2.460 L, =2.460—La | 1, =2.460-L, | L, =2.460—La ) Ly = 702861 ) 20 x 702'86 = 14.057 limones 2L, 2L, = = $ n= 2460-14 = 2 12,300 =7L4 f Ly=1.757141 Solu Se necesitan 14.057 limones Averigua el número de animales de una granja sabiendo que: a) la suma de patos y vacas es 132 y la suma de sus patas es 402 b) se necesitan 200 kgal día para alimentar a gallinas y gallos y se tiene un gallo por casa seis gallinas e) se sabe que una gallina come una media de 500 g, el doble que un gallo d) la sexta parte de los conejos escapan al comedor de las vacas, lo que supone el triple de animales en dicho comedor a) Datos: “patos p” y “vacas d? Cada pato tiene 2 patas y cada vaca tiene 4 patas p+d=132 pr ra 2p +4d = 402) p+2d =201) p =132-69) p =63 Solución: Hay 63 patos y 69 vacas b) Datos: “gallinax” y “gallo y” Una gallina come 500 g y un gallo 500: 508 x =6y x=6y x=6y x =366 0'Sx + 025y = 200) 0'5x 6y + 0'25y = 200) 325y = 200) y =61 ) Solue Tay 366 gallinas y 61 gallos eJSabiendo que hay 69 vacas 69+%=69x3>4=138> a =828 Solue lay 828 conejos Progresiones aritméticas dn= 41 + (n-1)d Sucesión. Ex: 2(41), 4,6, 8, 10... Bloque 3. Gcometría Coordenadas cartesianas Ejes dividen cuadrícula en cuatro partes llamadas cuadrantes Segundo cuadrante Primer cuadrante Azul (+3, +2) TÉ TT Rojo f-2, +3) CO + | Verde (A1,-3) [ Amarillo (+3, -2) peje] eel ufo e Tercer cuadrante * Cuarto cuadrante Áreas Triángulos Polígono de tres lados Porción del plano limitada por tres segmentos unidos por vértices Clasificación de los triángulos Egquilátero Escaleno (3 lados distintos) (3 lados iguales) [ph 60” Según suslados (aso [vaso Acutángulo Rectángulo Obtusángulo (3 ángulos agudos) Lángulorecto — | Lángulo obtuso sagudos | 2ángulos agudos 2 ángulo ángulos Teorema de Pitágoras »n entre los lados de los triángulos rectángulos a? = b? 4 c? osado orar y Carero contiguo Problemas Hipotenusa = x, cateto opuesto = 5 y cateto contiguo =12 Hipotenusa = 13, cateto opuesto = x, carero contiguo =12, a=vVb040= 57412 =y/169 = 13 b=vVa?-e=y132- 12 =y169 -144=5 tg a+cotg a =sec axcosec a sena cosa 1 1 senta +cos%a 1 1 1 = x > = > = >l=1 cosa sena cosa sena” cosaxsena cosaxsena'” cosaxsena senaxXcosa 1 +a)- 1 -a)=2tg 2a Bloque 4. Probabilidad He gastado 6'08€ en la compra de un trozo de queso que se vende 128€/kg. ¿Cuántos gramos pesa la porción adquirida? Proporcionalidad directa 198€ —— 1000 g 6'08 € —— x gramos 1000 x 6'08 LOA 4758 128 Carmen quiere hacer una fiesta de 30 invitados y prepara bandejas de bocatas para que todos coman 4. Si al final asisten 10 más, ¿cuántos bocatas le to Proporcionalidad in 30 invitados —— 4 boc 1 a cada uno? A0 invitados ——x boc: 0x4 x= AM _ 3 bocatas 40 Si 9 bombillas consumen 54 kw/h, ¿Cuántos kw consumirán 15 bombillas en el mismo tiempo? Proporcionalidad directa 9 bombillas —— 54 kw/h 15 bombillas — x kw/ h 15x 54 a = 22% 0% Si 4 amigos pagan 375 €en luz cada uno, ¿cuánto pagarían cada amigo si fueren 6 amigos? Proporcionalidad in 4 amigos — 375€/cada uno 6 amigos — x 75x4 x= = 250 € pagarí: Porcentajes 8% de 3.200=X [[(8 - 3.200) : 100 = 256] 8% de X= 256 [1256 - 100) : 8 = 3.200] X% de 3.2000 =576 [(576 - 100) : 3200 = 18] En porcentajes siempre es un X% del anterior 250€, descuento 20%, iva a 10% [(10 200) : 100 =20 €] [Q0- 250) : 100 =50€] 250 - 40= 200€ 650€, aumenta 10%, disminuye 20% Aumenta 10%: 100 + 10 = 110% =1"1 Disminuye 20%: 100 — 20 = 80% -0'8 650 - 1'1-0'8 = 572€ 120€, aumenta 15%, disminuye 20% Aumenta 15%: [100 + 15= 115%-=1*15] Descuenta 20%: 100 — 20 = 80% = 0'8 120 -0'8 + 1'15= 110€ 1.142€ descuentan 5% 5% de 1.142 =721€ 300€, aumenta 16%, disminuye 20% Aumenta 16%: [100 + 16 = 116% =1"16 Disminuye 20%: 100-20-80%-=0'8 x :0'8 + 116 = 300 > 0'928x = 300 > x — 32328 A un trabajador que cobra 1.100€ sube un 2% y el año siguiente un 25% 2% de 1.100=22 —> 1.100 + 22 = 1.122 25% de 1.122=28'05—> 1.122 + 28'05 = 115'05€ Un jamón 12€/kg. Aumenta 7%, descuenta 15%. ¿9kg/ jamón? Aumenta 7%: 100 +7= 107% =107 Descuenta 15%: 100 — 15 = 85%-=0'85 12-0'85- 1'07= 10'914-9=98'23€ En una carrera de velocidad de 100 m participan 6 atletas, ¿de cuántas formas pueden entrar en la meta? £ m=6, p=6 el orden, participan todos los elementos 20 Pueden entrar a la meta de 720 formas diferentes Calcula el factorial de los siguientes números: 6! =6x5x4x3x2x1=720 8! =8x7x6x5x4x3x2x1= 40.320 Bloque 5. Analitica Intervalos Abierto (a,b). Son los números comprendidos entre número a y b sin incluir. Ex: (-1,5) Cerrado[a,b] Son los comprendidos entre el número á y b incluidos. Ex: [-3,10] [25,1] =(x£R;:-5<x<I1) Semiabierta [a, b) o (a.b] (22,4] =(x£R;-2<x<4) Semirrectas [a; +00) todos los números mayores que a incluido cla [B,00) = (x£R;3 <x <oo) (a, +00) todos los números mayores quea (-oo, b) todos los números más pequeños que b (=00,—3)=(x£R;-0o0<x<-—3) (-0o, b] los números más pequeños que b incluido el b Entorno E*(1,4) = (23,1)U(1,5) E*(0,3) = (-3,0)U(0,3) EG 1,2) = (3,1) E(23,1) = 44, -2) Características de las funciones 1. Crecimiento y decrecimiento: 2. Dominio de la función 3.Re 4. Máximos y mínimos relativos 5. Máximos y mínimos absolutos 6. Continuidad rrido de la función Funciones lincales Función de proporcionalidad y = mx m: pendiente (indica la inclinación de la recta) Si m> 0 la funciones es creciente Si m< 0 la función es decreciente Ecuación explí y =-2x +1 2277 Tienes que pasarlo a ecuación general. El dos no se puede de pejar hasta que no se operen las sumas y las restas