¡Descarga Matrices: definiciones generales, operaciones matriciales y álgebra de matrices y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! Clase 8 – Matrices Álgebra Lineal Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Código 1000 003 Universidad Nacional de Colombia 1 Matrices Definición 1 Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas (o elementos) de la matriz. Ejemplo. Los siguientes son ejemplos de matrices. A = 24 1 2 5 6 3 2 0 4 1 7 3 1 2 2 3 35 , B = 1 2 3 4 , C = 2664 1 0 1 0 3775 , D = 1 1 p 2 3 2 1 . X Definición 2 Una matriz se denomina de tamaño m n si tiene m filas y n columnas. Las matrices del ejemplo anterior son matrices de órdenes 3 5, 2 2, 4 1 y 1 5, respectivamente. Definición 3 Una matriz de tamaño 1m se denomina matriz fila y una matriz de tamaño n 1 se llama matriz columna. Nota. Usaremos la notación de subíndice doble para hacer referencia a las entradas de una matriz: la entrada de A en la fila i y la columna j se denotará por aij. Así, podemos escribir una matriz en forma compacta: A = aij = aij mn (si es necesario especificar el tamaño). Por tanto, una matriz tiene la forma A = 26664 a11 a12 a1n a21 a22 a2n ... ... . . . ... am1 am2 amn 37775 . Si las columnas de A son los vectores b1, b2, . . . , bn, entonces podemos representar a A por A = b1 b2 bn y si las filas de A son los vectores A1, A2, . . . , Am, entonces podemos representar a A por A = 26664 A1 A2 ... Am 37775 . Definición 4 Sea A = aij mn . 1. Las entradas diagonales de A son a11, a22, a33, . . . , akk, . . . 2. Si m = n, entonces A se denomina matriz cuadrada de tamaño n. 3. Si A es una matriz cuadrada y todas sus entradas no diagonales son cero, A se denomina una matriz diagonal. 4. Una matriz diagonal en la cual todas las entradas diagonales sean todas iguales se conoce como una matriz escalar. 5. Si el escalar en la diagonal es 1, la matriz escalar se llama matriz identidad y es denotada por In. Definición 5 Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus entradas correspondientes son iguales. 1 2 Operaciones Matriciales Adición de matrices y multiplicación por escalar Si A = aij y B = bij son matrices m n, su suma A+ B es la matriz m n cuya entrada ij es aij + bij; es decir, A+ B = aij + bij . Si además c es un escalar, entonces el producto escalar cA es la matriz m n obtenida al multiplicar cada entrada de A por c. Así, cA = caij . Multiplicación de matrices Si A es una matriz de tamaño m n y B es una matriz de tamaño n r entonces el producto matricial C = AB es una matriz de tamaño m r, donde la entrada (ij) de C está dada por: cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj. Nota. Para que el producto de A por B tenga sentido se debe cumplir que # columnas de A = # filas de B. Si la i-ésima fila de A es ai1 ai2 ain y la j-ésima columna de B es 26664 b1j b2j ... bnj 37775 , entonces la entrada ij de C se computa así: cij = 26664 ai1 ai2 ... ain 37775 26664 b1j b2j ... bnj 37775 = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj. Ejemplo. Calcule, si es posible, AB y BA. (a) A = 1 1 1 1 2 1 , B = 24 2 1 4 3 5 1 35 . (b) A = 24 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 1 1 35 , B = 2664 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 3775 . Solución. (a) Puesto que A es de tamaño 2 3 y B de tamaño 3 2, tanto el producto AB como el producto BA están definidos. Calculemos estas matrices. Recordemos que para calcular la entrada ij de la matriz AB, realizamos el producto punto de los vectores dados por la i-ésima fila de A y la j-ésima columna de B. Luego, AB = 24 1 2+ 1 4+ 1 5 1 1+ 1 3+ 1 ( 1) 1 2+ 2 4+ 1 5 1 1+ 2 3+ 1 ( 1) 35 = 24 2+ 4+ 5 1+ 3 1 2+ 8+ 5 1+ 6 1 35 = 24 11 3 15 6 35 . Similarmente, BA = 266664 2 1+ 1 1 2 1+ 1 2 2 1+ 1 1 4 1+ 3 1 4 1+ 3 2 4 1+ 3 1 5 1+ ( 1) 1 5 1+ ( 1) 2 5 1+ ( 1) 1 377775 = 266664 2+ 1 2+ 2 2+ 1 4+ 3 4+ 6 4+ 3 5 1 5 2 5 1 377775 = 24 3 4 3 7 10 7 4 3 4 35 . 2
