¡Descarga Matrices Ortogonales: Propiedades de Renglones y Columnas y más Monografías, Ensayos en PDF de Álgebra solo en Docsity! Matrices ortogonales, sus renglones y columnas Objetivos. Demostrar el criterio de matrices ortogonales en términos de sus renglones y columnas. Requisitos. Criterio de invertibilidad de matrices, el concepto de ortogonalidad de vec- tores. Recordemos que si una matriz cuadrada A tiene una inversa izquierda B y una inversa derecha C, entonces B = C. Esta afirmación es muy simple y se generaliza a otras clases de objetos (operadores en espacios vectoriales de dimensión infinita, elementos de un monoide, etc.). 1 Proposición. Sean A,B,C ∈Mn(R) tales que BA = In y AC = In. Entonces B = C. Demostración. C = InC = (BA)C = B(AC) = BIn = B. También recordemos (sin demostración) que la invertibilidad de matrices por la iz- quierda y por la derecha son equivalentes. 2 Proposición. Sea A ∈Mn(R). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (a) A es invertible, esto es, existe una matriz D enMn(R) tal que DA = In y AD = In; (b) A es invertible por la izquierda, esto es, existe una matriz B en Mn(R) tal que BA = In; (c) A es invertible por la derecha, esto es, existe una matriz C en Mn(R) tal que AC = In. La Proposición 2 es un resultado totalmente no trivial y se puede considerar como uno de los teoremas principales de álgebra lineal. Sus demostraciones utilizan varias herra- mientas fuertes de álgebra lineal, por ejemplo, el teorema sobre el rango y la nulidad de un operador lineal, o el concepto de matrices elementales y el proceso de eliminación gaus- siana. En espacios vectoriales de dimensión infinita, existen operadores lineales invertibles solamente por la izquierda, y otros, invertibles solamente por la derecha. Al combinar las Proposiciones 1 y 2, obtenemos el siguiente criterio. 3 Proposición. Sean A,B ∈Mn(R). Entonces las siguientes condiciones son equivalen- tes: (a) BA = In y AB = In; (b) BA = In; (c) BA = In. Matrices ortogonales, sus renglones y columnas, página 1 de 3 4 Definición (el producto punto en Rn, repaso). Sean a, b ∈ Rn. Denotemos por 〈a, b〉 el producto punto de a y b, definido como 〈a, b〉 := n∑ j=1 ajbj. (1) El producto punto también se conoce como el producto interno canónico en Rn. En estos apuntes identificamos los elementos de Rn con matrices de tamaño n× 1. El producto punto se puede escribir como 〈a, b〉 = a>b. 5 Definición (el producto punto en M1×n(R)). Sean a, b dos vectores renglones de la misma longitud n: a, b ∈ M1×n(R). Su producto punto también se define por la fórmula (1). 6 Definición (ortogonalidad de dos vectores, repaso). Sean a, b ∈ Rn. Se dice que a y b son ortogonales (entre si) y se escribe a ⊥ b si 〈a, b〉 = 0. La definición se extiende también a otros espacios con producto interno, por ejemplo, a M1×n(R). 7 Definición (lista ortogonal de vectores, repaso). Sean a1, . . . , am ∈ Rn. Se dice que (a1, . . . , am) es una lista ortogonal o que los vectores a1, . . . , am son ortogonales entre si (a pares), si ∀p, q ∈ {1, . . . ,m} (p 6= q) ⇒ 〈ap, aq〉 = 0. Esta condición se puede escribir también en la siguiente forma: ∀p, q ∈ {1, . . . ,m} 〈ap, aq〉 = ‖ap‖2 δp,q. 8 Definición (lista ortonormal de vectores, repaso). Sean a1, . . . , am ∈ Rn. Se dice que (a1, . . . , am) es una lista ortonormal o que los vectores a1, . . . , am son ortonormales, si ∀p, q ∈ {1, . . . ,m} 〈ap, aq〉 = δp,q. 9 Definición (sobre n vectores ortonormales en Rn). Es fácil ver (luego vamos a repasar la demostración) que cualquier lista ortonormal de vectores es linealmente independiente. Además se sabe que cualquier lista linealmente independiente de n vectores en un espacio vectorial de dimensión n es una base del espacio. Por tanto, si algunos n vectores de Rn forman una lista ortonormal, entonces automáticamente forman una base; en este caso se trata de una base ortonormal. 10 Proposición (una componente del producto de una matriz transpuesta por otra matriz). Sean A,B ∈Mn×m(R), y sean p, q ∈ {1, . . . ,m}. Entonces (A>B)p,q = 〈A∗,p, B∗,q〉. Matrices ortogonales, sus renglones y columnas, página 2 de 3
