Matrices y Operaciones, Apuntes de Cálculo diferencial y integral

¡Descarga Matrices y Operaciones y más Apuntes en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity! 1. MATRICES 1.1 Definición: Una matriz definida sobre un campo 𝕂 , es un arreglo rectangular de filas y columnas. Se utilizan letras mayúsculas para su identificación y sus elementos se encierran en paréntesis. 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 n n n m m m mn a a a a a a a a a a a a a a a a                 A En la matriz A, la 𝑚 representa las filas y la 𝑛 representa las columnas. 1.2 Matrices en Scilab Para crear un vector o una matriz es lo mismo. El delimitador que se usa para filas es ";" y para filas se puede dejar un espacio o también podemos utilizar ",". Creación de un vector x que va desde -1 a 1 con intervalos de 0.2: -->x=-1:.2:1 x = - 1. - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1. Creación de una matriz 0 1 1 2 1 2 3 4 2 0 2 0            A -->A=[0 1 1 2;1 2 3 4;2 0 2 0] A = 0. 1. 1. 2. 1. 2. 3. 4. 2. 0. 2. 0. 1.3 Orden de una matriz Si una matriz tiene m filas y 𝑛 columnas se dice que tiene un orden 𝑚𝑥𝑛. A una matriz también se la representa de la siguiente manera:   mxnij A = a Donde: 𝑎𝑖𝑗 : representa el elemento. 𝑖𝑗: representa la posición del elemento. i: la fila ; j : la columna. 𝑚: indica el número de filas que tiene la matriz. 𝑛: indica el número de columnas que tiene la matriz. Ejemplo 1 : Sea la matriz A definida sobre el campo de los reales. 1 -2 4 6 -6 -4 -1 5 23 12 11 -7 0 18 20 -21 3 13 -3 8 mxn             A a. Cuál es el orden de la matriz?: Su orden es: 4 5mxn x b. Cuáles son los elementos 13 a y 34 a El elemento 13 a es 4 El elemento 34 a es 18 1.4 Igualdad de Matrices. Sean   mxnij A = a y   mxnij B = b , matrices definidas sobre un campo K , se dice que A = B , si y solamente si, sus elementos son iguales en su respectiva posición ij ija = b . Ejemplo 2: Matrices Iguales. 3 4 1 -2 -6 -3 -1 12 14 7 20 -21 3 8 x             A ; 3 4 1 -4 2 -6 -3 -1 9 3 7 7 9 - 2 20 -21 3 8 x              B 12 12 a = b -2 -4 2  1.5 Transpuesta de una matriz Sea   nxm ij A = a M , su transpuesta t A , es la matriz   nxmt ji A = a M , que se obtiene a partir de la matriz A al intercambiar las filas por las columnas. Ejemplo 3 Sea 3 2 1 2 -3 0 4 6 x           A = Su Transpuestas es 2 3 1 -3 4 2 0 6 x       t A = Propiedades. Dada una matriz, siempre existe la transpuesta y esta es única Ejemplo 5: Dada la matriz A y α = 3 , encontrar αA 1 0 3 2 -6 -2            A ; 1 0 3 3 2 -6 -2            αA ; 3 0 3 9 6 18 6           A = 1.6.2.1 Propiedades del Producto por Escalar. Sea   mxn y KA B M y K    Clausurativa     mxn K A M  Distributiva respecto a la suma de matrices.    A + B = A + B  Distributiva del producto respecto a la suma de matrices.      A = A + A  Asociativa.      A = A  Elemento neutro 1.A = A 1.6.3 Producto Matricial. Se denomina matriz producto de la matriz  ij mxp A = a por la matriz  jk pxn B = b a una matriz  ij mxn C = c cuyos elementos son de la forma: AB = C      ij jk ijmxp pxn mxn a b = c Donde: 1 p ij ik kjk c a b   Ejemplo 6: Sean: 1 3 2 -1 0 4            A y -1 2 5 -2 0 3        B -7 2 141 3 -1 2 5 0 4 72 -1 -2 0 3 -8 0 120 4                       BA 2 23 2 3 1 k k k C a b   2 23 2 3 21 13 22 23 1 2 5 (-1) 3 7j j k C a b a b a b          **Dos matrices se pueden multiplicar sólo cuando el número de columna de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda. 1.6.3.1 Propiedades del producto Matricial.  Asociativa:     nxm kxpmxk      A BC = AB C, A,B C : A M , B , A C MM  Elemento neutro (Es la matriz unidad)    ! , , mxn mxn K K   M A M : AI = IA  Distributiva mixta.      , , mxn nxk K K   A B + C = AB + AC A,B,C : A M B C M 1.7 Algebra de Matrices Utilizando Scilab. Hay que recordar que para realizar las operaciones entre matrices existen restricciones, estas hay que tener en cuenta cuando se definen las matrices. Suma de Matrices: -->A=[1 -2 4 6;-4 -1 5 23;11 -7 18 20;-21 3 13 -5] A = 1. - 2. 4. 6. - 4. - 1. 5. 23. 11. - 7. 18. 20. - 21. 3. 13. - 5. -->B=[0 2 -3 7;4 9 8 -8;-1 -3 -5 8; 1 0 3 -7] B = 0. 2. - 3. 7. 4. 9. 8. - 8. - 1. - 3. - 5. 8. 1. 0. 3. - 7. -->A+B ans = 1. 0. 1. 13. 0. 8. 13. 15. 10. - 10. 13. 28. - 20. 3. 16. - 12. Si el resultado se quiere guardar en una nueva matriz basta con poner: -->C=A+B C = 1. 0. 1. 13. 0. 8. 13. 15. 10. - 10. 13. 28. - 20. 3. 16. - 12. Para la multiplicación se utiliza el comando *: -->A*B ans = - 6. - 28. - 21. 13. 14. - 32. 48. - 141. - 26. - 95. - 119. 137. - 6. - 54. 7. – 32 Si no se cumple con la condición de multiplicación nos dará un error en la operación: -->A=[1 -2 4 6;-4 -1 5 23;11 -7 18 20;-21 3 13 -5] A = 1. - 2. 4. 6. - 4. - 1. 5. 23. 11. - 7. 18. 20. - 21. 3. 13. - 5. -->B=[0 2 -3 7;4 9 8 -8;-1 -3 -5 8] B = 0. 2. - 3. 7. 4. 9. 8. - 8. - 1. - 3. - 5. 8. -->A*B !--error 10 Multiplicación inconsistente. En este caso el número de columnas de la matriz A es diferente al número de filas de la matriz B. EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Realice las siguientes demostraciones: a. La propiedad conmutativa de la suma de matrices en el campo de los reales. b. La propiedad clausurativa del producto por escalar, en el campo de los reales. Desarrollo: a. La propiedad conmutativa de la suma de matrices en el campo de los reales Sean   y mxn RA B M , P.D A + B = B + A Axioma Reflexivo Def. de matrices Def. suma de matrices Axio. Conmutativo de suma de reales. D ij mxn ij mxn ij ij mxn ij ij mxn ij mxn ij mxn A + B = A + B A + B = (a ) + (b ) A + B = (a + b ) A + B = (b + a ) A + B = (b ) + (a ) ef. suma de matrices A + B = B + A