MATRICES Y TIPOS DE MATRICES Y OPÉRACIONES CON MATRICES, Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga MATRICES Y TIPOS DE MATRICES Y OPÉRACIONES CON MATRICES y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity! MATRICES -DEFINICIÓN DE MATRIZ. -ALGUNOS TIPOS DE MATRICES. -IGUALDAD DE MATRICES. -OPERACIONES CON MATRICES. -APLICACIONES A LA INFORMÁTICA. -RANGO DE UNA MATRIZ. TIPOS DE MATRICES «Matriz FILA: Es una matriz que consta de una sola fila. TIPOS DE MATRICES «Matriz FILA: Es una matriz que consta de una sola fila. El orden de la B=(1 0 -—2 4) matriz B es a 1x4 ? Q- Luego, el orden de toda matriz FILA es 1 xn TIPOS DE MATRICES «Matriz COLUMNA: Es una matriz que consta de una sola columna. 4|» | TIPOS DE MATRICES «Matriz NULA: Es una matriz de cualquier orden en que todos sus elementos son iguales a cero. TIPOS DE MATRICES «Matriz NULA: Es una matriz de cualquier orden en que todos sus elementos son iguales a cero. 0.0.0 .. 0 0.0.0 .. 0 0=|0 0 0 .. 0 TIPOS DE MATRICES «Matriz DIAGONAL: Es una matriz cuadrada en que todos los elementos que no están en la diagonal principal son iguales a cero. TIPOS DE MATRICES «Matriz UNITARIA o IDENTIDAD: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno. TIPOS DE MATRICES «Matriz UNITARIA o IDENTIDAD: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los restantes iguales a cero. TIPOS DE MATRICES «Matriz UNITARIA o IDENTIDAD: Es una matriz diagonal en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los restantes iguales a cero OO. O O OO OOO 1 0 0 0 TIPOS DE MATRICES «Matriz TRIANGULAR: Es toda matriz cuadrada donde todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal son iguales a cero. 17 0 Matriz E=|0 -1 3 TRIANGULAR 0.02 SUPERIOR TIPOS DE MATRICES «Matriz TRIANGULAR: Es toda matriz cuadrada donde todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal son iguales a cero. 7 0 0 1 Matriz A=|0 2 0| TRIANGULAR 0 -3 0) INFERIOR U| IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices “A” y “B” del mismo orden son iguales si sus elementos correspondientes son iguales. A=B siy solo si aj; =bj para todo i, j. > - 3.2 6 3.22 6 A=11 05 4 B=|1 0.5 -4 0.5.8 0 5 8 ad93 + ba3 Luego A + B u| OPERACIONES CON MATRICES e Adición y Sustracción de matrices. * Producto de un número real por una matriz. * Producto de matrices. OPERACIONES CON MATRICES e Adición y Sustracción de matrices. * Producto de un número real por una matriz. * Producto de matrices. OPERACIONES CON MATRICES. Suma de Matrices Dos matrices pueden sumarse cuando son del mismo orden (tienen el mismo número de filas y de columnas) y esta operación se realiza elemento a elemento. Por ejemplo : esta matriz de orden dos, solo puede 4 4 ser sumada con matrices A = de igual orden que ella. -3 2 OPERACIONES CON MATRICES Suma de matrices. (19 5-09 A+ po Ñ + 2 ] OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices “343863 0 ns A+ B= OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices O! 1+2 4+5 A+B= 341 2+3 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices 1.4 2 5 a-[,, >), o: 5) 3 9 A+B= -2 5) OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. Se puede efectuar siempre y se realiza multiplicando cada elemento de la matriz por el escalar. 1 Multipliquemos esta matriz por el escalar — 2 -4 0 4 3 -2 0 2x3 C= OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. RON -2 0 1 1 l a= EN y o | 2 OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. C — OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. -4 0 4 “as E2) 0 2x3 1 o 7 A N | OPERACIONES CON MATRICES Producto de un escalar cualquiera por una matriz. a 0 > C = 3 -2 O)». 1 1 .0 4 9 OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices Puede efectuarse cuando el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz. ( En este caso se dice que las matrices son conformes para el producto ). Veamos con cual de las siguientes matrices podemos multiplicar a la matriz “*C” dada -4 0 4 3 -2 Oax C = OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices 404 5 C= D = 5 | 3-20 2x3 2 3x2 (1.1+0.0+4.(-1) M = OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices 3 4 4 sx 0) 2x3 2 (1.1+0.0+4.(-1) 2131 OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices (1.1+0.0+4.(-1) 1 3,14+(-2).0 OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices 404 5 O 2x3 —4 3x2 -1.1+0.0+4.(-1) — -1.3+0.5 3.1+(-2).0+0.(-1) NO OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices 3x2 -1.1+0.0+4.(-1) — -4.3+0.5 +4.2 3.1+(-2).0+0.(-1) OPERACIONES CON MATRICES Producto de matrices 1 210 4 2x3 1 3x2 (1.1+0.0+4.(-1) -1.3+0.5+4.2 —13,4+(-2).0+0.(-1) 3.3 OPERACIONES CON MATRICES. Producto de matrices 21.04 1.3 a 2x3 -1 2 3x2 (1.1+0.0+4.(-1) -1.3+0.5+4.2 M = 3.1+(-2).0+0.(-1) 3.3-2.5 +0.2 CES M = 3-1), ol EMPLEO DE LAS MATRICES EN EL PROCESAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES. ES UNA MATRIZ DE FILAS Y COLUMNAS, DONDE CADA ELEMENTO DE ESA MATRIZ ES UN PIXEL (PICTURE ELEMENT) Y CADA PIXEL POSEE UN NIVEL DE GRIS DETERMINADO (ENTRE 0 Y 255). Y columnas ——e + ++ CARACTERÍSTICAS GENERALES DE UN FILTRO ESPACIAL 1.- Los filtros espaciales son matrices cuadradas de (3x3, 5x5, 7x7, etc.) generalmente impares para posibilitar tener siempre un píxel central en el filtro que se posicione sobre el píxel de la imagen que se está filtrando. o ptopo| EJEMPLOS DE 2112 | 1 | qm FILTROS mm otr to To o papa (3 x 3) (5x5) po A O A AS ojojpoJ]oj o nalaial af ojojpoJ]oj o ojojpoJ]oj o CARACTERÍSTICAS GENERALES DE UN FILTRO ESPACIAL 2- Los filtros espaciales comúnmente aplicados son simétricos. Existe un tipo de filtrado, que se denomina FILTRADO LINEAL, el cual: Se reduce a recorrer toda la imagen con una ventana o máscara centrada en cada píxel, la cual presenta un conjunto de valores o pesos que forman el llamado núcleo de convo lución. El nuevo valor para el píxel donde está centrada la máscara es calculado mediante la suma de todos los píxeles que son cubiertos por la máscara, los cuales previamente se multiplican por los valores correspondientes del núcleo. FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN ESPACIAL Posición que ocupa el filtro sobre la Imagen imagen X22 =2:A Filtro E > Columna 2 FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN ESPACIAL Posición que ocupa el filtro sobre la began imagen Filtro X22 =24+7B E > Columna 2 FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN ESPACIAL Posición que ocupa el filtro sobre la Imagen imagen Filtro Xo9 =2:A+7B+10:C E > Columna 2 FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN ESPACIAL Posición que ocupa el filtro sobre la Imagen imagen ENtrO X22 =2:A+7-B+10:0+9'D+4-E+9:F E > Columna 2 FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN ESPACIAL Posición que ocupa el filtro sobre la Imagen imagen Filtro X22 =2'A+7-B+10:C+9D+ 4-E+9-F+20-G E > Columna 2 FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN ESPACIAL Posición que ocupa el filtro sobre la Imagen imagen Filtro X22 =2:A+7-B+10:0+9D+4:E+9-F+20-G+ |L5 7 coumma 2 +6:H FILTRADO LINEAL EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN ESPACIAL 2|7|10 Píxel que se va a filtrar X99 9 EN 9 A|BÍ|CcC 2|6|3[5|3 1119 3 13 Posición que ocupa D|E|F AAA el filtro sobre la G|H imagen mmagen Filtro e ER E 2 P+T7B+1 0 G+ 9 D+ 4 E+ 9 -F+20 Gt +6:H+3- | Ú Nuevo valor que adopia el píxel | Rango de una matriz RANGO DE UNA MATRIZ. -TRANSFORMACIONES ELEMENTALES. -RANGO DE UNA MATRIZ. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Multiplicar una fila o columna por un número diferente de cero, 2 03 6 0 9 A=|-1 5 1 C=|-1 5 1 4 2 1 t>34, 4 2 1 2.03 4 0 3 A=|-4 5 1 B=|-2 5 1 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES Sustituir una fila (columna) por una combinación lineal de ella con otra fila (columna) 2 03 6.0 9 A=|-1 5 1 D=|5 5 10 4 2 1 4 2 1 ft, >3 f, +f MATRICES EQUIVALENTES Sean “A” y “B” dos matrices del mismo orden. Decimos que la matriz “A” es equivalente a la matriz “B”, si “B” se puede obtener de “A” por una sucesión finita de transformaciones elementales. A- B RANGO DE UNA MATRIZ «Las transformaciones elementales no alteran ni el orden, ni el rango de una matriz. «Dos matrices equivalentes tienen el mismo orden y el mismo rango. MATRIZ ESCALÓN «Matriz ESCALÓN: Es toda matriz en la que el número de ceros anteriores a la primera componente distinta de cero, aumenta al pasar de una fila a la siguiente. , 203 3212 ado 7) 8022 c-19 030 000 0.000 0.000 + El rango de una matriz escalón es igual al número de filas con elementos no todos nulos. 1 2 1 A=l2 1 [ela ola ola 3 2 0 00 Et 3£-2£>f f+f>f rag (A) = 2 ul