Examen Final de Métodos Matemáticos IV, Curso 2004/2005, Exámenes de Métodos Matemáticos

¡Descarga Examen Final de Métodos Matemáticos IV, Curso 2004/2005 y más Exámenes en PDF de Métodos Matemáticos solo en Docsity! MÉTODOS MATEMÁTICOS IV, curso 2004/2005 EXAMEN FINAL (1 de julio de 2005) ♣ Cada pregunta debe responderse en hoja aparte. La puntuación máxima de cada pre- gunta (sobre 10) se indica entre corchetes. ♣ Hacer constar en cada hoja el nombre y DNI del alumno. ♣ Los alumnos que tienen que examinarse del segundo parcial deben contestar a las preguntas C1—C2 y D1–D2. ♣ Los alumnos que tienen que examinarse de los dos parciales deben elegir entre contestar a las preguntas A1–A2 ó B1–B2, y a las preguntas C1–C2 ó D1–D2. [3] A1) Utilizando el método de las funciones de Green, encuentra la solución de la ecuación diferencial inhomogénea d2y dx2 − y(x) = f(x) con condiciones de contorno y(−∞) = y(+∞) = 0. [7] A2) Sea V ⊂ R3 la región sólida limitada por el hiperboloide de una hoja x2+z2 = 1+y2 y los planos y = −1, y = +1, y z = 0, con z ≥ 0. i) Dibujar V y orientar su frontera para que se cumpla el teorema de Gauss. ii) Comprobar que se cumple el teorema de Gauss en V para el campo ~F = x ~e1 + g(x, y) ~e3 , donde g = g(x, y) es una función arbitraria de clase ≥ 1. [4] B1) Sea ~x = ~x(θ) una representación paramétrica regular de una curva Γ. ¿Cómo se define la curvatura de Γ? Dibujar la curva correspondiente a ~x = θ ~e1 + sen θ ~e2, con θ ∈ R, calcular su curvatura, y determinar los puntos donde alcanza los valores máximo y mı́nimo. [6] B2) Considérese el problema de Sturm-Liouville en el intervalo [0,e] dado por: d dx ( x2 dy dx ) = −λ y(x) con condiciones de contorno y(1) = 0, y(e) = 0. i) Encuentra los autovalores y las correspondientes autofunciones. ii) Verifica, calculándolo expĺıcitamente, que las autofunciones son ortogonales.