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¡Descarga Métodos numéricos unad y más Ejercicios en PDF de Métodos Numéricos solo en Docsity! Tarea 2 - Ecuaciones Lineales e Interpolación Presentado por: Oscar David Gamboa Valencia Yeison Alvarez Arboleda Yacsira Stacey Barrios Dario segundo lopez Carlos Alberto Moreno Tutor de curso: Edgar Andres Villabon Grupo: 100401_72 Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Medellín 2020 Introducción El estudiante está en la capacidad de desarrollar los ejercicios presentados en el taller, aplicando los diversos métodos según el ejercicio para su correcta solución. Se aplica los diversos métodos de sistemas de ecuaciones lineales (SEL) desarrollando por varios métodos alternativos y se hace un análisis comparativo, basándose en la teoría con el fin de realizar una explicación, sustentando qué método satisface mejor la solución de ecuaciones con su respectiva gráfica. También se estudia la interpolación de Lagrange, diferencias divididas y diferencias finitas de Newton y se hace un análisis comparativo de los resultados obtenidos apoyándose en la teoría revisada. Tema 1. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL) Ejercicio 3: Debe establecer los criterios de convergencia en cada método. Itere la solución hasta que ésta converja a una tolerancia de llAl|<10"*, donde ||Al| es una norma matricial para la matriz A (escoja la que considere más adecuada). Valide que el vector x es solución del SEL (mediante la operación A x=b). Ejercicio 4: Realizar una gráfica de la forma como va convergiendo la solución (Número de iteraciones vs norma del error). Realice una breve explicación, sustentándose en la teoría revisada, acerca de los resultados. ¿Cuál considera que es el mejor método para este SEL en particular? ¿por qué? Desarrollo de la actividad Ejercicio 1: (Oscar David Gamboa) Dados el siguiente problema de Sistema de Ecuación lineal 4x +x)+xX3+xX5=6 X+3X,+X3+X¿=36 XFX +5 XXX 5=6 X7XyFxX¿=6 X¡7X3+4x¿=6 Determinar si el SEL tiene, o no, solución. ¿Si la tiene, es única? Realice una breve explicación basándose en la teoría revisada Dado el Sistema de ecuaciones anterior, se reescribe de la siguiente manera 4 x +xX+xX3+0x¿+x5=6 X+3X),+xX3+xX4+0x5=6 X EX +5 XXX 5¿=6 Ox,+X7X3+X¿+0x¿=6 X+0x,—x3+0x,+4x5=6 Con la notación matricial, se puede escribir la ecuación anterior como: 41101] 1 131 10|x%|l6 115 -1 -11x|=/6 0.1 -110|x||6 10-104 |,| 16 5 Donde A es la matriz coeficiente del sistema, x el vector incógnita y b el vector de términos independientes. Definiendo la matriz aumentada Tener en cuenta que: Sistemas de ecuaciones lineales Ax-=b Rango A = Rango E Rango A = Rango B Inconsistente Consistente. Sin solución Rango d=" Rango A<n Solución única ciones Imagen 1: Solución sistema de ecuaciones lineales (Nieves, H. p. 184) Teniendo en cuenta lo anterior, se observa que la matriz coeficiente son linealmente independientes y, por lo tanto, rango A = 5. Al verificar la matriz aumentada en rango B es 5, y como el rango de A es igual a n, la ecuación tiene una solución única. Ejercicio 2: Resolver el SEL por cada uno de los esquemas de: a. Eliminación Gaussiana simple Procedemos a operar de la siguiente manera: Fila 5 con la Fila 1: Fila 1 + (-4) Fila 5 [411.01 6! 0-11 -3 -4 1|-18 0 0 50 -14 -13| 36 0.0.0 77 66 [1452 lo 0.0 -12 171 |288 | Fila 4 divido 11 [411.01 61 0-11 -3 -4 1|-18 0 0 50 -14 -13| 36 0.0.0.7 -6 |132 lo 0.0 -12 171 |288| Fila 5 con Fila 4: *Fila 4 + 7*Fila 5 [| 411.01 61 0-11 -3 -4 1|-18 0 0 50 -14 -13| 36 0.0.0.7 -6 |132 lo. 0 0.0 1125 [3600| Fila 5 divido 225 [411.01 61 0-11 -3 -4 1|-18 0 0 50 -14 -13| 36 0.0.0.7 -6 |132 |. 0.0.0.05 |16| Una vez el resultado anterior, escribimos la ecuación de la última fila, teniendo en cuenta la respectiva variable 5x¿=16 Despejamos la variable 16 5 x= Una vez obtenido el valor de la variable, reemplazamos los valores en las ecuaciones. 7x,76x¿=132 7x,=132+ 2 5 yx =108 “5 50x,—14x,-13x¿=36 501,14 27-13 2=36 -11x,-3x3-4x,+x5=-18 —11x, 328 -4108,16- 18 5055 4x+x37X370X¿+x5=6 an 0-28 908,16, 5 5 5 4 a=5 b. Eliminación de Gauss - Jordan. Teniendo en cuenta los pasos del ejercicio anterior. [| 411.01 0 -11 -3 -4 1 0 0 50 -14 -—13 0.007 -6 | 000.05 61 -18 36 132 16 | Fila 1 con Fila 5: Fila 5 - 5*Fila 1 (20 -5 -50.0 0-11 -3 -4 1 0 0 50 -14 -13 0.0.0.7 -6 1 0.0.0.0 5 -14| -18 36 132 16 | Fila 2 con Fila 5: Fila 5 -5*Fila 2 [20 -5 -50.0 0 55 15 20 0 0 0 50 -14 -13 0.007 -6 LL. .0.0.0.05 141 106 36 132 Fila 3 co! 16 | n Fila 5: 13*Fila 5 + 5*Fila 3 (20 -5 -5 0 0-14 0 55 15 20 0 |106 0 0 250 -70 0|388 7.0 (132 0.0.0 000.05 16 | Fila 3 divido 2 [5 0.0.0 04| 01.00 0-8 0.0 50 0/38 0.0 0 5 0108 ¡0 0 0 0 5|16' Dividimos cada fila con su respectivo coeficiente de la variable | | | 4| 5 100.0 m0|-8 0.1.0 0 0/38 00.10.05 0.0.0 1 0|108 00.001¡5 16 | 5] | t 8 38, y 108, 1% > da 5” x,=0.8;x,=-8;x3=7.6;x,=21.6;x¿=3.2 Cc. Gauss - Seidel Al igual que el Método de Jacobi, El Método de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones, a partir de un vector inicial, para encontrar los valores de las incógnitas hasta llegar a una tolerancia deseada, la diferencia radica en que Cada vez que se desee encontrar un nuevo valor de una x,, además de usar los valores anteriores de las x, también utiliza valores actuales de las x encontradas antes (desde x, hasta x,_;). La ecuación es la siguiente: k k-1 bi 2, 0pxj— y ajx; K)— j=L j=iL i a, A,=b [41101 1311068 Dada la matrizA=11 1 5 -—1 —1|6 0 1-1 1 0[|6 ¡[1.0 -1.0 4[6 A=N-P Donde [411011 031106516 Dada la matrizN=|0 0 5 —1 —1[6 00.01.01] ¡10000416 [ooo0.0.086l -1.0.0006 P=-1 -1 0 0 06 0-11 006 [-1.0.1 006 [N—P |x=b Nx—Px=b Nx=b+Px x=N DH NP )x 0 . os . x Cualquier valor inicial a asignar X= ben px Se despeja una variable de cada ecuación 6—X,+Xg x= 4 Se asigna valores iniciales x/"=(0,0,0,0,0) Se calcula x'" x= 020015 4 Se calcular x,, teniendo en cuenta el valor hallado de la ecuación anterior de x; Se calcular x,, teniendo en cuenta los valores hallados de las ecuaciones anteriores de x,y X, x= 6-1.5—1.5+0+0_ 5 0.6 Se calcular x,, teniendo en cuenta los valores hallados de las ecuaciones anteriores de x,, X, Y X d. Jacobi Se despeja una variable de cada ecuación 6—X,7X37X5 4 + ÓX17X37%4 x= 3 _ Ó—X¡—X2+X4+X5 x= 5 6—X,+Xg x= 4 Se asigna valores iniciales x/"=(0,0,0,0,0) Se calcula x!") y 02070715 4 Se calcular Xx, x= 6-0-0—0 =2 3 Se calcular Xz, x= a Se calcular X4, x¿=6-0+0=6 Se calcular x;, Una vez terminado con la última ecuación, se vuelve a hacer el mismo procedimiento, teniendo en cuenta los nuevos valores de x, hallados en cada ecuación. —6-2-1.3-1.5 4 Xx =0.325 Se calcular x, Se calcular Xz —6-1.52+6+15_ 5 2 X3 Se calcular Xy x¿=6-2+1.2=5.2 Se calcular Xx; = LA 1271425 Habiendo calculado la segunda iteración se procede a calcular el error porcentual mediante la siguiente fórmula: Xx Tr "1% 100% n Donde x, es el valor de la última iteración y x,_, es el valor de la iteración anterior a la última. =3,615384 0.65625 Para x, _|-0.11875—1 0 =3.222222 -0.11875 Para Xx; _|2.3675—0.6 =0,4 2.3675 Para Xy _/8.48625—5.1 =0,153846 8.48625 Para X; E =[1:927812-1.275|_0 052631 o 1.927812 : Estos valores obtenidos se comparan con el valor de tolerancia. En este caso, es de 0.00001, si el valor es mayor, se debe seguir haciendo las iteraciones hasta ser igual o menor que el valor de tolerancia. A continuación, se muestra en la siguiente tabla el número de iteraciones: Donde podemos ver que, cada vez que el número de iteraciones aumenta, X,, se va acercando a un valor donde cada vez los decimales no varían. Se repite este paso varias veces hasta llegar a un resultado constante de la variable. Ejercicio 3 Debe establecer los criterios de convergencia en cada método. Itere la solución hasta que ésta converja a una tolerancia de 1AN<10-6, donde I4Il es una norma matricial para la matriz A (escoja la que considere más adecuada). Valide que el vector x es solución del SEL (mediante la operación 4Ax=b). Se valida que el vector x es solución del SEL mediante los métodos de Gauss simple y Gauss Jordan, dando resultado a cada una de las variables. Criterios de convergencia S.O.R O Si0<w<1 se conoce como sub-relajación, se emplea para un sistema que no converge. O Siw=1 el resultado no se modifica. O Si 1<w<2 se le llama sobre-relajación, el cual acelera la convergencia del sistema que ya converge. o Si w>2 el método diverge. xs EX y Es %Ex> xs EX 3 4 EX y xs EX xs Es xs 4 xs o o 2,2500] 1,000000| 1,875000| 1,000000| '0,562500] 1,000000| 7,031250] 1,000000| 1,617188| 1,000000| [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple -0,395508| 6,688889] -1,536621| 2,220210| '2,692920] 0,880139] 14,828687] 0,525835| 3,349567| 0,517195| [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,008054] 50,104859| -5,996520| 0,743748| 16,703556] 0,299936| 20,635770| 0,281409] 3,086030] 0,085397] [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,823573 0,990220| -8,083190| 0,258149] 7,742647| 0,134204] 22,420870| 0,079618| 3,301638| 0,065303 [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,727803 0,131589] -8,404065| 0,038181] 7,948307 0,025875| 22,318124| 0,004604| 3,306870| 0,001582| [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,816931] 0,109102| -8,339649| 0,007724| 7,770160] 0,022927| 22,0056511] 0,014200] 3,204025| 0,032099] [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,853583 0,042939| -8,144873| 0,023914] 7,665210] 0,013692| 21,712298| 0,013511] 3,202347| 0,000524| [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,802202| 0,064051] -8,017419| 0,015897] 7,606354] 0,007738| 21,579509| 0,006153 3,200383| 0,000614] [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple so eo [y o [ur Ju [ro eo [o 0,802905] 0,000876| -7,985675| 0,003975| 7,585622| 0,0273 21,567190] 0,000571| 3,193327| 0,002210| [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,801070] 0,0221] -7,984104| 0,000197| 7,590254] 0,000610| 21,577942| 0,000498| 3,199281| 0,001861] [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,797428| 0,004566] -7,990761| 0,000833 7,596039] 0,000762| 21,591229| 0,000615| 3,199839| 0,000174| [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,799367] 0,002425| -7,997937| 0,000897| 7,598872] 0,000373 21,599599] 0,000388| 3,199895| 0,000018| [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,800006] 0,000798| -8,000269| 0,000292| 7,600491] 0,000213 21,601342| 0,000081| 3,200235 | 0,000106] [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,799826| 0,000224| -8,000695| 0,000053 7,600488| 0,0000] 21,601103 0,000011| 3,200131| 0,000032| [No cumple [No cumple [Cumple [No cumple [No cumple 0,800116] 0,000362| -8,000506| 0,000024| 7,600243 0,000032| 21,600572| 0,000025| 3,199983| 0,000046] [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,800047] 0,000085| -8,000179| 0,000041| 7,600084] 0,000021| 21,600108| 0,000022| 3,200023| 0,000013 [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple [No cumple 0,800003 0,000055| -8,000008| 0,000021| 7,599999| 0,000011| 21,599957] 0,0007] 3,199987| 0,000011] [No cumple [No cumple [No cumple [Cumple [No cumple 0,800007| 0,000005| -7,999977] 0,0004] 7,599975] 0,000003 21,599949] 0,0000] 3,199994| 0,0002] [cumple [cumple [cumple [cumple [cumple Jacobi Condición suficiente de convergencia Matriz estrictamente diagonalmente dominante: para ¡ la f>¿ 1,2,...,n Si A es estrictamente diagonalmente dominante, los iterados de Jacobi convergen a la solución del sistema partiendo de cualquier estimación inicial. 7 ao Jrs [a e] Je] Jr e J]*e]eo]o]e. +=]. mm > 5 z aa] y 2 laa y Y as Slne camote nocurte [uo comple nocunele [no sumple 5 pa] SA O Da o ME ME 3 Gan] am 07 20] maza Dar 13308) 0.2572] we came [No carte [No cumple No sample [io some 2 aero usas] zero 00m y 2eso | 10/000 » oxenasa” 102) orcneso|ve ramal [ue camote [nocumple_to comple [vo suple rre] ames] 78] eva] ss 20m] e mar]nccmmale po cerale Jue emp ocumpr Jo remple | asmos] ose [-a2oprsaa 020oass52| Aaa] 0 11sssta 1 co7aa| osas” 22550932| 002591 [Ne vmnote [hoc si [No comple No cum o pre Y aos] essa pjesesaza 0109051 41| avava1o/| v.0r803900[ 13,:425S/5| u109/10u4” 2425129 /| v,000:2i990| vc cumple [no cumple [No cumpla No cumple [no cumple O E O A E O O A AA 07 osea] 1 cos| 7 3am0s91] Aaaaeos) 73sta05 2mscos| 259samee| 29921809] 215518 19256805 no aomeia Pio compre [io caro [o carte [No camp daras] arco mo] seo] econo] ao) aseos] ac] co roca [lo mple [ne cum o corte [ocre o ao] o] o arenas a ima pom] a] oe o mp uo rmple Jue comete uo orale [noc E O E A O e MT A ara zoo | secera roo] 09000) 1 oo] arar] co cum (vo somple [necumole no corte [nocarpie 7 oran] Sapporo come — uo omar Jue comete no orale [voca 3 oe, 19972E0:| 7ESSIMST 1191505| 239728] 12922605[ 215577717 92308505 Gano [no aomple [e cana [No car le [Coma e amero] sanas 1010000] cores] 1220] exec] 352 rcos cumoe |vo =omple |necumole no carale [Comple A pa o lc meo comete — o cimpie Jue comal uo oumale Jecmpr 76 oros] sane co zosmsss] 2er el 7 os | 21m oso] 0392005 Carole— Jo cumple Jean —[Omple — [compi 7 secos] aseo] Samos 2asoecsa| armor 3391806 Cumple — [Ne zumpe [sample [Gomple — [Compre more ver ame] aaron] erre ram] aseos comete [nacimpi loimete [compi 3 oros 920 el. sis ol 210essel apose ae ass 05 canal Joumate — Jean — Toumplo —Jecmpro 30 o] oe]. cameos] 2599007] 5960] sasizos camote — Jeurate — Jeameie [ome [compre Gauss Seidel Para determinar si el método de Gauss-Seidel converge hacia una solución. Se evalúan las siguientes condiciones de convergencia La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas (E.D.D. por filas), es decir, para todo ¡ desde 1 hasta n que es el tamaño de la matriz A: ¿ Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila ¡ debe ser mayor a la suma de los elementos de esa fila ¡. A partir de la siguiente identidad: A=D-L-U Donde D corresponde a la matriz formada por los elementos de la diagonal de A (D=diag(a;;,a;>,..., dn)), -L Corresponde a la matriz triangular inferior obtenida de la parte triangular estrictamente inferior de A, y -U corresponde a la matriz triangular superior obtenida de la parte triangular estrictamente superior de A, se puede deducir la fórmula vectorial de este método: 12 08 06 04 02 o 3 3 30 40 50 60 70 80 —0— Jacobi —0— Seidel —0—S.O.R X4 12 08 06 04 02 o 3 3 30 40 50 60 70 80 —0— Jacobi —e— Seidel —0—S.O.R Errores.xlex Lo Xx5 0.8 0.4 0 10 20 30 40 60 70 80 —0— Jacobi —— Seidel S.O.R El método de Jacobi se basa en el método del punto fijo. Es decir, toma los valores iniciales para reemplazar en cada varible. Una vez obtenido los valores se vuelve a hacer el procedimiento ya con los valores fijo obtenidos en la iteración anterior. Éste proceso toma muchas iteraciones para encontrar el valor. En cuanto a Gauss Seidel, al observar detalladamente el método de Jacobi, se observa que al momento de calcular xe, coni > 1, se utilizan todas las componentes del vector x'”! y para ese instante se han calculado las componentes xj j=1,2...,i-1 las cuales suponen una mejor aproximación de las componentes x, del vector solución del sistema Ax = b. Si comparamos las gráficas y los datos, podemos observar que éste último requiere menos iteraciones para la convergencia de valores, lo cual sería más fácil para hallar el valor de las variables. Ahora bien, con el método de sobre relajación (S.O.R) al añadir la componente «w y combinando el método de Gauss Siedel, podemos ver los valores que convergen mucho mas rápido, donde requiere menos iteraciones para llegar al valor de las variables. Esto lo podemos notar detallando la gráfica y los datos en la tabla, lo cual hace que éste método sea más eficaz a la hora de trabajar para cualquier tipo de sistema de ecuación lineal. Problema 2 (Yeison Álvarez). AX —X27X4 —X (+4 Xx X3 2 X5=5 —X¿+4x3X¿=0 —X1+4x¿—X5=6 =x > 4 FAX XG 2 —X3X5+4x¿=36 Para realizar la solución por la regla de cromer B. eliminación de Gauss-Jordan | ¡ | ; [1.1 | la-10-100|0| 1-H0-00|0 4.4 -14-10-10| 5 0-1400-1|0| [1 a 1004-1016 x [q /Fula)-F, 0-1400-1 | ¿ (X(1)F,(-1)xF, =F, 0-10-14-1|-2 1004-10 |_, | 00-10-14 |6. 0-10-141| ¿ | | 00-10-14 | ”| ] | 1.1 | IP [OO das J mt 0257357 liz 15 15 15 |"3 515 1513 a 0-1400-1 | 0 F2>-(1xF,>F,00%-=-=- 114 x(7) 1.15 6 15 15 15 3 0-10-14-1 [6 | 00-10-14 ] 0-10-14-1 [6 ! ! | 00-10-14 | | / | 1-lo-100 l a 4 a x[1)F-(1)xF, > F 0-1400-1 |6 a 12 Fa 1004-10 |-2 0-10-14-1 |5 | 00-10-14 | | | | 1-10-Lo0 | 4 a 74 : 15 0-1400-1 e AL) E, o-1018-10|-2 44 0-10—14—1 | 00-10-14 | ot 1 4 15 15 15 o01-2-1-15 56 19 56 000209 15 1 56 14 56|- 1526 15 001-115 56 14 56 00029 15 1 56 14 56 1526 15 1 _15209 56 14 56 X(1)F¿|-1)XF,>FQ¿ <- 4 1 4 0001-20 __L 209 209 _1526 15 000 => 147 14 1 15209 | 56 14 56 209 209 0000712- 225 209 209 1 15204 56 14 56 XF,¿> Fs 1-0-—00 o po 4 14 b> Ma 1 1. 15| — 001-=-=- 2 56 14 56 dee a FE, — bbd 0001-21 59 | 12 209 209 262 00002225 [5309 209 209 1335 225 780 |-— 0000-2240 | 209 209 20% | o%-1_ 1, 0012-10 56 14 60 0001=5p50 : 000010 000001 1.4 121 15 001 714756 89 14 56 -4 000-1526_15 + 00-10-14 000 14 56 6 14 X(1)F¿-1/XF,>F; 9 1000-15 209 77 I 56 14 56 lo 4-14 1 1 15|3 0001-90. __1 356 | y 209 209 [209 0152615 |-4 14 7 14 4 ¡000-215 209, 89 | 56 145614 | la LL 4 4 15 15 15 3 1.1 155 0001-20 __1 356 209 209 |209 0000712225 (262 209 209 |209 1 _15204|89 ) l l1i-20-Lo00 0: t, ¿28 01-£o00 “15 15 1 x oo1000 | > 000100 | £ 000010 | > | 000012 | B | 410-100 | 14-10-10 =|0-1400-1 1004-10 0-10-14—1 ¡00-10-14 | o! 5 0 0 -2 6 2415 161 2415 2415 161 2415 15 52 15 8 17 8 161 161 161 161 161 161 68 15 712 47 8 208 712 15 68 208 8 a7_ -1_| 2415 161 2415 2415 161 2415 1208 8 47 712 15 68 2415 161 2415 2415 161 2415 0.17 8 15 52 15 161 161 161 161 161 161 47 8 208 68 15 712 2415 161 2415 2415 161 2415 15 52 15 8 17 8 161 161 161 161 161 161 68 15 712 47 8 208 X=A"'xB=|2415 161 2415 2415 161 2415 208 8 47 712 15 68 2415 161 2415 2415 161 2415 8 17 8 15 52 15 161 161 161 161 161 161 47 8 208 68 15 712 tl NENA Metodo de S.O.R | a-10-100|0|| 410-100 |O| -14-10-10| 5 | 015-4-1-40|20 0-1400-1|0 | 0-41600-4 |0 1004-10 | 6 || 0-1015-40 [24 0-10-14—1|-2||0-40-416-4|-8 | 00-10-14 | 6 || 00-10-416 [24 | 150-1-4-10 [5 |/5600-15-4-1| 20 | 015-4-1-40 [20 | 0560—4—14-4| 80 0056-14-15 [20 | 0056-1-4-18| 20 00-156-160 [95| 000209601 [336 00—4-1656-—15|10 | 00060208 —60|-32 | 00—150—1560 [90 | 000—1—60209 [356 | [20900314 | 170 || 7120000-47 [618 | 02090—64—15| 324 |/07120000-—120|1184 00209-16—56| 81 | 0071200208 | 296 000060—1 |356 | 000712068 [1288 000712225 |262 || 0000712-225 | 262 | 000—225780 [1335 000002415 |4830| (241500000|2415| 024150000|4830 002415000|2415 000241500|4830 00002415 0|2415 1000002415|4830| 2415xX,=2415 Problema 3: (Darío Segundo López) Problema 4: (Carlos Moreno) 1.19x,+2.11x,—100 x3+x,=1.12 14.2 x,—0.122x,+12.2 x,—X4=3.44 100x,—99.9 x,+x,=2.15 15.3 x,+0.110x,—13.1 xy —x4=4.16 Sistema de ecuaciones gauss simple 1,19 14,2 0 15,3 2,11 -0,122 100 0,11 Escribimos el sistema en forma de fraccion 119/100 71/5 0/1 153/10 1/1 0/1 211/100 - 61/500 100/1 11/100 211/119 16774/66 717259/59 3 -100 1 12,2 -1 -99,9 1 -13,1 -1 -100/1 1/1 61/5 - 1/1 -999/10 1/1 -131/10 - 1/1 10000/119 100/119 5 1539119 1,12 3,44 2,15 4,16 28/25 86/25 43/20 104/25 16/17 4218/425 0/1 0/1 1/1 0/1 0/1 0/1 1/1 0/1 0/1 0/1 1/1 0/1 0/1 0/1 100/1 18913/70 0 211/119 1/1 0/1 0/1 211/119 1/1 0/1 0/1 211/119 1/1 0/1 0/1 -999/10 89083/70 10000/119 -810/17 690391/14 8 -9095/617 10000/119 -810/17 1/1 0/1 10000/119 -810/17 1/1 0/1 1/1 - 97/17 100/119 183/358 43552/86 9 - 29/631 100/119 183/358 - 1/93 - 85/416 100/119 183/358 - 1/93 1/1 43/20 -256/25 16/17 315/803 27623/74 5 108/301 16/17 315/803 - 5/629 224/927 16/17 315/803 - 5/629 -136/115 Sistema gauss jordan 1,19 14,2 0 15,3 Escribimos el sistema en forma de fraccion 119/100 71/5 0/1 153/10 2,11 -0,122 100 0,11 211/100 - 61/500 100/1 11/100 -100 12,2 -99,9 -13,1 -100/1 61/5 -999/10 -131/10 1/1 1/1 1/1 1/1 1,12 3,44 2,15 4,16 28/25 86/25 43/20 104/25 -2,4609E+11 -1,0119E+11 1,1847E+14 -2,5499E+15 -1,3286E+16 1,5065E+18 -2,5166E+19 -2,9507E+20 1,8381E+22 -2,3138E+23 -4,9938E+24 2,1624E+26 -1,8896E+27 -7,468E+28 0 7,6975E+1 1 2,8369E+1 3 9,7411E+1 3 1,1067E+1 6 3,0505E+1 7 1,1621€+1 7 1,479E+20 3,1628E+2 1 1,6502E+2 2 1,8782E+2 4 3,122E+25 3,6738E+2 6 2,2897E+2 8 2572784940 1,6746E+10 7,7223E+11 -2,8436E+13 9,73618+13 1,11E+16 -3,0575E+17 -1,2015E+17 1,4832E+20 -3,1697E+21 -1,6587E+22 1,8833E+24 -3,1283E+25 -3,6879E+26 2,2957E+28 0 1,7084E+ 1 3,8998E+ 12 1,4785E+ 13 2,1958E+ 15 3,9071E+ 16 3,8225E+ 17 2,7042E+ 19 3,672E+2 0 6,8055E+ 21 3,2093E+ 23 3,1162E+ 24 1,0451E+ 26 3,6778E+ 27 2,5493E+11 1,449E+11 1,1857E+14 2,6684E+15 1,0737E+16 1,5198E+18 2,6672E+19 2,6991€+20 1,8676E+22 2,4976E+23 4,7624E+24 2,2123E+26 2,1058E+27 7,279E+28 0 7,5303E+1 1 2,9138E+1 3 1,2578E+1 4 1,0969E+1 6 3,1612E+1 7 1,8885E+1 7 1,4802E+2 0 3,3107E+2 1 1,3339E+2 2 1,8947E+2 4 3,3099E+2 5 3,3615E+2 6 2,3264E+2 8 3,0986E+2 1,9319E+10 7,5549E+11 2,9208E+13 1,258E+14 1,1003E+16 3,1685E+17 1,856E+17 1,4844E+20 3,318E+21 1,3417E+22 1,8999E+24 3,3166E+25 3,3751E+26 2,3325E+28 5 1,7057E+ 1 4,0707E+ 12 1,0885E+ 13 2,2106E+ 15 4,1267E+ 16 3,4318E+ 17 2,7424E+ 19 3,9424E+ 20 6,4383E+ 21 3,2774E+ 23 3,4371E+ 24 1,0139E+ 26 3,7823E+ 27 2,5239E+ 0 8,1333E+ 1 2,9431E+ 3 1,7565E+; 4 1,1504E+: 6 3,1917E+ 7 1,6011E+ 8 1,5288E+- 0 3,3483E+, 1 2,4066E+, 2 1,9391E+. 4 3,3669E+, 5 4,1632E+ 6 2,3666E+, 8 3,2014E+, 2,4561E+30 -1,1889E+31 -1,036E+33 2,689E+34 -1,5563E+34 -1,3623E+37 2,8238E+38 1,2637E+39 -1,7171E+41 2,816E+42 3,1161E+43 -2,0867E+45 2,6139E+46 5,436E+47 2,8696E+2 9 6,2199E+3 0 2,6921E+3 2 2,3411E+3 3 9,3011E+3 4 3,0564E+3 6 1,4682E+3 7 -1,29E+39 3,345E+40 1,812E+40 1,6961E+4 3 3,5114E+4 4 1,5863E+4 5 2,1374E+4 7 3,4999E+4 -2,8746E+29 -6,2409E+30 2,6989E+32 -2,3442E+33 -9,3301E+34 3,0638E+36 -1,4683E+37 -1,2938E+39 3,3527E+40 -1,7739E+40 -1,7008E+43 3,519E+44 1,5953E+45 -2,1432E+47 2,1561E+ 28 1,4749E+ 30 4,0659E+ 31 7,0527E+ 31 1,9643E+ 34 4,3189E+ 35 1,3203E+ 36 2,5018E+ 38 4,3709E+ 39 3,9964E+ 40 3,0683E+ 42 4,1451E+ 43 7,382E+4 4 3,6362E+ 46 3,5551E+ 2,5307E+30 1,4345E+31 1,0241E+33 2,7926E+34 4,2453E+34 1,3607E+37 2,9601E+38 9,8135E+38 1,7297E+41 2,9877E+42 2,8345E+43 2,1179E+45 2,8225E+46 5,1746E+47 5,9329E+3 0 2,7543E+3 2 2,6103E+3 3 9,067E+34 3,1494E+3 6 1,7738E+3 7 1,2754E+3 9 3,474E+40 5,157E+40 1,6943E+4 3 3,681E+44 1,2352E+4 5 2,1533E+4 7 3,7137E+4 3,1042E+29 5,9534E+30 2,7613E+32 2,6141E+33 9,0957E+34 3,1571E+36 1,7747E+37 1,2791E+39 3,4821E+40 5,1266E+40 1,6991E+43 3,6891E+44 1,2434E+45 2,1591E+47 28 1,4533E+ 30 4,2134E+ 31 1,1119E+ 32 1,9573E+ 34 4,5154E+ 35 8,8844E+ 35 2,515E+3 8 4,6211E+ 39 3,5593E+ 40 3,1083E+ 42 4,4519E+ 43 6,9674E+ 44 3,71E+46 3,9187E+ 6,6191E+: 0 2,7907E+. 2 2,8198E+: 3 9,6906E+. 4 3,1832E+: 6 2,2595E+, 7 1,3333E+, 9 3,5083E+ 0 1,8724E+: 1 1,7483E+: 3 3,7225E+: 4 2,5754EH 5 2,2032E+H 7 3,7762E+ -2,4514E+49 2,1602E+50 8,2389E+51 -2,7847E+53 1,3933E+54 1,1513E+56 -3,0525E+57 2,5033E+57 1,5211E+60 -3,2124E+61 -1,3296E+62 1,9238E+64 -3,2141E+65 -3,3999E+66 8 3,8926E+4 9 2,597E+51 3,2467E+5 2 6,7803E+5 3 3,0502E+5 5 2,6801E+5 6 1,0268E+5 8 3,4642E+5 9 1,7238E+6 0 1,4342E+6 2 3,7962E+6 3 2,9941E+6 3 1,8942E+6 6 3,9939E+6 7 3,507E+48 3,908E+49 -2,6037E+51 3,2524E+52 6,8035E+53 -3,0579E+55 2,6837E+56 1,0301E+58 -3,4725E+59 1,7242E+60 1,4385E+62 -3,805E+63 2,9537E+63 1,8996E+66 47 1,151€E+4 9 4,1673E+ 50 2,5074E+ 51 1,6374E+ 53 4,6121E+ 54 9,0499E+ 54 2,1916E+ 57 4,9089E+ 58 1,3474E+ 59 2,8011E+ 61 4,9831E+ 62 4,3362E+ 63 3,4452E+ 65 4,748E+6 6 2,5058E+49 2,4053E+50 8,0229E+51 2,8671E+53 1,6718E+54 1,1374E+56 3,1676E+57 5,5558E+57 1,5186E+60 3,3645E+61 1,0083E+62 1,9371E+64 3,4065E+65 3,0785E+66 8 3,5426E+4 9 2,6359E+5 1 3,5063E+5 2 6,4556E+5 3 3,118E+55 2,9851E+5 6 18+58 3,5668E+5 9 2,0702E+6 0 1,417E+62 3,9397E+6 3 6,7904E+6 3 1,8912E+6 6 4,1833E+6 7 3,7213E+48 3,5573E+49 2,6428E+51 3,5128E+52 6,4782E+53 3,1259E+55 2,9895E+56 1,0032E+58 3,5755E+59 2,0714E+60 1,4212E+62 3,9489E+63 6,7588E+63 1,8966E+66 47 1,1154E+ 49 4,2824E+ 50 2,9242E+ 51 1,6123E+ 53 4,7759E+ 54 1,3662E+ 55 2,1825E+ 57 5,1281E+ 58 8,5655E+ 58 2,8146E+ 61 5,2632E+ 62 3,8379E+ 63 3,4885E+ 65 5,0925E+ 66 8 4,4957E+: 9 2,6815E+' 1 3,6185E+' 2 7,2538E+' 3 3,1595E+. 5 3,2126E+' 6 1,0719E+. 8 3,6053E+' 9 2,5937E+ 0 1,4835E+ 2 3,9785E+ 3 2,1252E+ 4 1,9531E+ 6 4,2297EH 7 -4,139E+107 -1,418E+108 2,419E+110 -4,172E+111 -4,011E+112 2,962E+114 -3,935E+115 -7,285E+116 3,503E+118 1,783E+10 8 4,863E+10 9 6,67E+109 2,37E+112 5,146E+11 3 1,783E+11 4 3,012E+11 6 5,185E+11 7 5,011E+11 8 2,427E+106 1,789E+108 -4,874E+109 6,626E+109 2,377E+112 -5,157E+113 -1,794E+114 3,02E+116 -5,196E+117 3,518E+1 07 6,454E+1 08 5,048E+1 09 4,348E+1 1 6,209E+1 12 9,816E+1 13 5,188E+1 15 5,455E+1 16 1,567€E+1 18 4,329E+107 1,004E+108 2,434E+110 4,414E+111 3,594E+112 3,002E+114 4,232E+115 6,891E+116 3,576E+118 1,759E+10 8 5,041E+10 9 1,153E+11 0 2,363E+11 2 5,383E+11 3 1,268E+11 4 3,03E+116 5,486E+11 7 4,493E+11 8 Gauss seidel MATRIZA 2,87E+106 1,764E+108 5,053E+109 1,15E+110 2,37E+112 5,395E+113 1,279E+114 3,038E+116 5,498E+117 3,531E+1 07 6,806E+1 08 4,402E+1 09 4,398E+1 1 6,644E+1 2 9,195E+1 13 5,286E+1 15 5,973E+1 16 1,513E+1 18 1,846E+1: 8 5,091E+11 9 2,775E+1 0 2,444E+1 2 5,441E+1 3 3,429E+1: 4 3,105E+1 6 5,57E+11; 5,964E+1: 8 3,805E+1: 0 El metodo no conve x1 x2 x3 x4 Error x1 Error x2 Error x3 Error x4 Erro! 0 0 0 0 0,9411764 1047,2819 | 0,94117647 81,3500482 81,4099581 1047,28194 7 81,3500482 81,4099582 5 1 2 7 7| 105 7577,9404 11570077, | 7576,99929 898638,306 899527,361 11569030,1| 116: 7 898719,657 899608,771 4 6 9 4 3 83726602, 993002507 993984922 1,2784E+1 | 83719024,7 7 5 3 1 5 9929126355 9938949615 1,27827€E+11| 1,28 1,4125E+1 1,42 9,251E+11 1,0972E+14 1,0983E+14 5 9,25018E+11 1,09708E+14 1,09816E+14 1,41237E+15 1,0222E+1 1,5607E+1 1,56 6 1,2123E+18 1,2135E+18 9 1,02206E+16 1,21217E+18 1,21337E+18 1,56054E+19 1,1294E+2 1,7244E+2 1,73 0 1,3395E+22 1,3408E+22 3 1,12928E+20 1,33934E+22 1,34066E+22 1,72425E+23 1,2479E+2 1,9053E+2 1,91 4 1,48E+26 1,4814E+26 7 1,24775E+24 1,47984E+26 1,48131E+26 1,90514E+27 1,3788E+2 2,1052E+3 2,11 8 1,6352E+30 1,6369E+30 1 1,37865E+28 1,63509E+30 1,63671E+30 2,10501E+31 1,5234E+3 2,33 2 1,8068E+34 1,8086E+34 -2,326E+35 | 1,52328E+32 1,80662E+34 1,80841E+34 2,32584E+35 1,6832E+3 2,5701€+3 2,58 6 1,9963E+38 1,9983E+38 9 1,68309E+36 1,99615E+38 1,99813E+38 2,56984E+39 1,8598E+4 2,8397E+4 2,85 0 2,2058E+42 2,2079E+42 3 1,85966E+40 2,20557E+42 2,20775E+42 2,83944E+43 2,0549E+4 2,4372E+46 2,4396E+46 - 2,05475E+44 2,43695E+46 2,43936E+46 3,13731E+47 | 3,15 4 3,1376E+4 7 2,2705E+4 3,4668E+5 8 2,6928E+50 2,6955E+50 1 2,27031E+48 2,6926E+50 2,69527E+50 3,46644E+51 2,5087E+5 3,8304E+5 2 2,9753E+54 2,9783E+54 5 2,50848E+52 2,97508E+54 2,97802E+54 3,83018+55 2,7719E+5 4,2323E+5 6 3,2875E+58 3,2907E+58 9 2,77164E+56 3,28719E+58 3,29044E+58 4,23191E+59 3,0627E+6 4,6763E+6 0 3,6324E+62 3,636E+62 3 3,06241E+60 3,63204E+62 3,63563E+62 4,67587E+63 5,1669E+6 3,384E+64 4,0134E+66 4,0174E+66 7 3,38368E+64 4,01307E+66 4,01704E+66 5,16641E+67 5,7089E+7 3,739E+68 4,4345E+70 4,4389E+70 1 3,73866E+68 4,43407E+70 4,43846E+70 — 5,7084E+71 Análisis Los métodos de Gauss y Gauss - Jordan siempre convergen y así el sistema no tenga solución, se pueden trabajar donde se analiza (ausencia de solución única o la presencia de infinitas soluciones). Entre los dos métodos, tiene menos operaciones el método de Gauss, ya que las operaciones fila se van reduciendo a medida que el método va avanzando. Al final se hace unas operaciones de remplazo en polinomios 3,48 3,85 4,25 4,70 5,19 5,74 FILA 2 0,02752294 FILA 3 FILA 4 Aun Xx Xx X 8,53211 | mer3 7 Fila 2 nueva=Fila2 Anterior -M*F4 Tolerancia 0,000001 Jacobi 10 5 [0] [0] 6 5 10 1 o 25 o -4 8 1 11 [0] [0] 1 5 -11 Tiene diagonal dominante si Pivot Sumatori ¿Aes e a DD? Fila 1 10 5 SI Fila 2 10 6 El Fila 3 8 5 sI Fila 4 5 1 El Hiteració convergenci n X X Xa Error a 0,85321100 9 2,90642201 8 0,20183486 2 2,24036697 2 SEIDEL NE 0 0 0 0 0 3,6524820 | No 1 0,6 2,5 -1,375 -2,2 3 | converge 1,6673800 | No 2 -0,65 2,0625 -0,4 -2,475 6 | converge 0,853 0,20183 | 2,24036 1,1488E- | No 26 2 2,9064 5 7 06 | converge 0,853 0,20183 | 2,24036 5,2779E- 27 2 2,9064 5 7 07 Tolerancia AhOoNea 10 5 o o 6 5 10 -1 o 25 o 4 8 -1 -11 o o -1 5 11 Tiene diagonal dominante si 0,000001 Sumatori Pivote a ¿Aes DD? Fila 1 10 5) sI Fila 2 10 6 sI Fila 3 8 5) sI Fila 4 5) 1 sI convergenci ttiteración X X Xx Xa Error a o o o o o 3,21879 1 0,6 2,2 -0,275 -2,255 6 | No converge 2,2591 | 1,21796 2 -0,5 2,7225 -0,2956 3 9 | No converge 2,85106 2,2463 | 0,29834 3 -0,76125 3 -0,2319 7 3 | No converge - 0,07789 4 0,8255313 | 2,88958 -0,211 -2,2422 7 | No converge - 2,90129 2,2409 | 0,02346 5 0,8447898 4 -0,2046 3 1 | No converge - 2,90486 2,2405 | 0,00713 6 0,8506471 1 -0,2027 4 8 | No converge - 2,90594 2,2404 | 0,00217 7 0,8524304 7 -0,2021 2 3 | No converge - 2,90627 2,2403 | 0,00066 8 0,8529733 7 -0,2019 8 2 | No converge - 2,90637 2,2403 | 0,00020 9 0,8531386 8 -0,2019 7 1 | No converge 2,90640 2,2403 10 -0,853189 9 -0,2018 7 6,13E-05 | No converge - 2,90641 2,2403 11 0,8532043 8 -0,2018 7 1,87E-05 | No converge 2,90642 2,2403 12 -0,853209 1 -0,2018 7 5,69E-06 | No converge 13 - 2,90642 | -0,2018 - 1,73E-06 | No converge 10 5 0 0 6 5 10 1 o 25 OSOR 0 -4 8 1 11 0 0 4 5 11 Diagonal de la siguiente forma: A=L +1+U Toleranci a 1€-06 0,0045 | 2,861 4,03965813 NO 1 0,78 | 2,743 5 2 7 CONVERGE 2 - 3,2305 - -2,041 2,23607713 NO 1,23 0,1512 7 3 4 3 CONVERGE 0,94 | 2,8778 | 0,2031 | 2,300 0,52677454 NO 3 9 7 7 5 o CONVERGE 0,80 | 2,8841 | 0,2257 | 2,228 0,16160031 NO 4 6 2 1 5 3 CONVERGE 0,85 | 2,9097 | 0,1905 0,06518315 NO 5 3 9 6 -2,241 5 CONVERGE 0,85 | 2,9083 | 0,2040 | 2,240 0,01382760 NO 6 6 7 6 8 7 CONVERGE 0,85 | 2,9059 | 0,2015 | 2,240 0,00393577 NO 7 4 2 6 2 6 CONVERGE 0,85 | 2,9062 | 0,2019 | 2,240 0,00124005 NO 8 3 9 8 5 1 CONVERGE 0,85 | 2,9064 | 0,2017 | 2,240 0,00064167 NO 9 3 8 7 3 7 CONVERGE 0,85 | 2,9064 | 0,2018 | 2,240 0,00012016 NO 10 3 3 4 4 5 CONVERGE 0,85 | 2,9064 | 0,2018 | 2,240 0,00003479 NO 11 3 2 4 4 3 CONVERGE 0,85 | 2,9064 | 0,2018 | 2,240 0,00000822 NO 12 3 2 3 4 9 CONVERGE 0,85 | 2,9064 | 0,2018 | 2,240 0,00000335 NO 13 3 2 4 4 1 CONVERGE 0,85 | 2,9064 | 0,2018 | 2,240 0,00000074 14 3 2 3 4 4 CONVERGE MENE EI OS converge Vx 1.00 1.00 1.01 1.014 1.019 1.024 5 9 8 7 Calcular /1.035 usando las fórmulas solicitadas en el ejercicio 1, por medio de un polinomio de interpolación de grado adecuado. Para el problema escogido realice cada uno de los siguientes ejercicios: Problema 1: (Oscar David Gamboa) Realice los cálculos solicitados por cada uno de los siguientes métodos: Interpolación de Lagrange Sirve para desarrollar funciones de mayor grado. Esto permite generar funciones polinómicas con más puntos para obtener polinomios de mayor grado que seguirán la regla de que 5 puntos pueden determinar un polinomio de grado 4, 6 puntos un polinomio de grado 5 y, en general, n + 1 puntos determinarán una función polinómica de grado n. La fórmula de Interpolación de Lagrange es: Pall= Y far la 1 0... k=0 j=0 Xp 7Xj jek Representando en la tabla la productoria _(x-20) (x-25) (x-30) (x-40) (x-50) ly5 ly ly ly _(x—20) (x—25) (x—30) (x-40) (x —50) lo) (=5) (10) (-15) (-25) (-35) l.= —xX”+165 x*+ 1600 x”— 331500 x” +505000 x— 30000000 (0) 656250 _(x—15) (x-25) (x-30) (x-40) (x-50) 5 (=5) Eo) (= 20) (30) x —160x*+9875 x”—293000 x”+ 4162500 x —22500000 150000 fo E Es) 15) (235) 1 267155 x+9200x”—260500 x"+3510000x — 18000000 (297 93750 _ (x—15) (x-20) (x-25) (x-40) (x-50) 5 (10) 5) 10] 20) _xX'—150x"+8575 x 233250 x"+ 3025000 x— 15000000 150000 _(x—15) (x-20) (x-25) (x-30) (x-50) (9 (4015) (40-20) (40-25) (40-30) (4050) (x—15) (x-20) (x-25) (x-30) (x —50) (25) (20) (15) (10) (-10) —x 140 x+7475 x—191500x”+2362500 x—11250000 750000 la= (x—-15) (x-20) (x-25) (x-30) (x-40) (50-15) (50-20) (50-25) (50-30) (50-40) y= (5) lo (x—15) (x—20) (x—25) (x—30) (x—40) (35) (30) (25) (20) (10) 1. 26130 x0+6575 x?-161750 x+ 19350000 x 9000000 5 5250000 Luego se representa junto con la sumatoria. —x + 165 x*+1600 x”—331500 x”+ 505000x —30000000 | x—160x*+9875 x—293000x'+ P:|x)=[16) +/20| l 656250 ] | 150000 Una vez obtenido lo anterior, reemplazamos el valor de X=45 P;¿[45/|=85,85714286 Productori a Sumatoria 0,2857142 | 4,5714285 L(0) 9 7 L(1) -1,5 -30 L(2) 3 102 L(3) -2,5 -100 Polinomio de interpolación de Diferencias Finitas de Newton Velocidad km/h 15 20 25 30 40 50 X(m) 16 20 34 40 60 90 Para éste ejercicio, es importante tener en cuenta que, la diferencia entre los valores entre un punto y el otro deben ser iguales. En este caso, vemos que la velocidad entre un punto y el otro no es constante. En éste método se busca un medio de un polinomio de interpolación de grado adecuado con el fin de que la diferencia de velocidad entre punto y punto sea igual. Si analizamos la velocidad, la mayoría de los puntos tienen una diferencia de 10, lo cual sería el valor a trabajar entre velocidad de un punto y el otro. Velocidad km/h | 20 30 40 50 X(m) 20 40 60 90 A esta diferencia entre valores, en este caso, la velocidad, se le denominará con la letra h. “Cuando la distancia h entre dos argumentos consecutivos cualesquiera es la misma a lo largo de la tabla, el polinomio de Newton en diferencias divididas puede expresarse de manera más sencilla. Para este propósito se introduce un nuevo parámetro s, definido en x=x,+sh.” (Nieves, H. 2014, p. 390). Se usa la siguiente fórmula. sis-1|s—2)...[(s-[n-1] n! f.[xI=fxp[+s Af [xo ]+ sl la pp o) 31 Lao D22F(x0 | D*3F(xO f(x0) DF(x0) ) ) 40 60 90 10 2,5 2,5 2,5 2,5 1,5 1,5 0,5 Término s 20 50 [0] 3,125 f3(x) 73,125 Ejercicio 2: Cada estudiante deberá realizar un análisis comparativo de los resultados obtenidos apoyándose en la teoría revisada. Emplee una gráfica como ayuda para el análisis de resultados. —o—Xm) —o— Lagrange Dif Divididas —o— Df Finitas Teniendo en cuenta la gráfica anterior, observamos que, en las diferencias finitas de Newton, la interpolación coincide entre los puntos 40 y 50. Esto se debe a que, “para realizar una interpolación de Newton es necesario que los valores de las x dadas en la función tabular tengan un espaciamiento constante mientras que una interpolación de Lagrange se puede llevar a cabo sin importar si el espaciamiento es constante o variable. (Gomez, s.f). Así como en la interpolación de Newton por diferencias divididas. El ajuste que se hace en las diferencias finitas de Newton es que se satisfaga un polinomio de interpolación de grado adecuado para el cumplimiento. Alguno de los problemas de la interpolación de Lagrange son que, si el número de puntos a interpolar es grande, el grado del polinomio resultante puede ser alto y presentar fuertes oscilaciones y agregar o quitar un punto, implica hacer de nuevo todo el cálculo. (Arévalo, Bernal, Y. M. Á., € Posada, 2017 p. 38). Problema 2: (Yeison Álvarez) Problema 2. Hallemos el polinomio de interpolación. X, X¿=1.5 X,=2.0 X,=2.2 X,=3.0 X,¿=3.8 F.(Xi] 4.9 3.3 3.0 2.0 1.75 Entonces: Fo[X)-Fo[Xo) FX, X,)= n= - 2=3 XX, F[X,—F[X, - Fx, x= 2204 23332 15 ! XX; 2.2-2 FX, FX] EX Xy) === 1.25 XX, F(X,-FXy| EX, Xx ¡== -0.3125 XX, FX, X,)-F(X,,X, EX XX 222 2,4286 X,Xy F/X, X,X=0.25 F,[(X,,X,,X =0.5859 FIX, X2, XFX) X1,X, Fs X,X, X, X= ame =1,4524 3 0 F,[X,,X,,X,, X,)=0.1866 Fs[Xy XX 3) X 4 F(Xo Xy) XX EX, Xy Xy XX ,J= AX -=0.7126 4%0 El polinomio de interpretación es: P,, =4.9-3.2/X—1.5/+2,486|X —1.5/|X-2/-1,4524|X—1.5!| X-2/[X-2.2])+ 0.7126 X-1.511X—2/[X-2, Asi si X=1.75 P[1,75/=3,879 P,(1.50)=1.00377 Diferencias Finitas Construimos la tabla de diferencias finitas Xx Y Ay0 Ayl Ay2 Ay3 Ay4 1 1,00 2 1,25 0,25000 3 1,75 0,50000 0,25000 4 2,25 0,50000 0,00000| -0,25000 5 3,00 0,75000 0,25000 0,25000 0,50000 6 3,15 0,15000| -0,60000| -0,85000| -1,10000| -1,60000 Tenemos que el polinomio de interpolación para diferencias finitas de newton es k(k-1) k(k—1)(k-2) HEN YN Yo Y¡=Yo+KA yo+ 3 Nos piden interpolación en x= 1.5, este valor se encuentra entre 1 y 1 por lo cual Problema 4 La siguiente tabla presenta la velocidad de caída de un paracaidista en función del tiempo: Tiempo (s) 1 3 5 7 20 Velocidad (cm/s) 800 2310 3090 3949 800 Estime el valor de la velocidad en el instante t=10s utilizando los métodos solicitados en el Ejercicio 1 de este tema por medio de un polinomio de interpolación de grado adecuado. Ejercicio 1: Realice los cálculos solicitados por cada uno de los siguientes métodos: + Interpolación de Lagrange + Interpolación de Diferencias Divididas de Newton + Polinomio de interpolación de Diferencias Finitas de Newton Ejercicio 2: Cada estudiante deberá realizar un análisis comparativo de los resultados obtenidos apoyándose en la teoría revisada. Emplee una gráfica como ayuda para el análisis de resultados. Ejercicio sin un análisis adecuado, apoyado en la teoría y debidamente referenciado, no será tenido en cuenta y la nota de esta etapa será de cero.cero (0.0) Tabla de diferencias divididas x y b1 b2 b3 b4 755, 1 800 00 -91,25 16,85 -1,06 390, 3 2310 | 00 9,88 -3,22 5 3090 | 429, -44,78 50 242, 7 | 3949 | 23 20 | 800 y= YO +b1 (x%-x0) +b2 (x-x0) (x-x1) + b3 (x-x0) (x-x1) (%-x2) + b4 (x-x0) (x-x1) (x-x2) (x-x3) y= Remplazando los valores de los coeficientes bi obtenidos en la tabla de diferencias: +755 (-1+x) -91.25 (-3+x) (-1+x) +16.85 (-5+x) (-3+x) (-1+x) 1.95 (-7-x) (-5+x) (-3+x) (-1+x) y= y= Expandiendo los productos, se tiene: Y= -592.8+1694.11x- 334.05 x? + 33.81 x” - 1.06x' y= f(10) = 6152,3 = Interpolación de lagranje x0 = 1 yO = 800 x1 = 3 y1 = 2310 x2 = 5 y2 = 3090 x3 = 7 y3 = 3949 x4 = 20 y4 = 800 Ejercicio 2: Cada estudiante deberá realizar un análisis comparativo de los resultados obtenidos apoyándose en la teoría revisada. Emplee una gráfica como ayuda para el análisis de resultados. Ejercicio sin un análisis adecuado, apoyado en la teoría y debidamente referenciado, no será tenido en cuenta y la nota de esta etapa será de cero.cero (0.0) Solución: + Interpolación de Lagrange Lagran ge i [0] 1 2 3 4 5 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1 1,005 1,01 1,0149 | 1,0198 10 1,01784 09 1,02018 68 0,18203 76 0,0501 | 0,0069 85 f5b0 1,0089 | + Interpolación de Diferencias Divididas de Newton 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1 1,005 | 1,01 pe 1,0198 1,0247 Orden de la diferencia bo b1 b2 b3 b4 b5 flxtx | f[x2x1,x | f[x3,x1,x2, | fbd4...x | f[x5...x i x | xxi | f60 | xo] o] o] xo] o] o] 0,017 [0] 1 8 0,007 1 1,01 8 1,005 2 1,02 | 0,002 1,01 0,5 3 1,03 | 0,012 1,0149 | 0,49 0,5 4 1,04 | 0,022 1,0198 | 0,49 1,1€-12 16,6667 5] 1,05 | 0,032 1,0247 | 0,49 | -1,1E-12 -7€-11 416,67 0,008 3,1E- 2,03E- 1 92 1,6E-16 5E-06 06 06 wo MO