Métodos numéricos unad 2020, Ejercicios de Métodos Numéricos

¡Descarga Métodos numéricos unad 2020 y más Ejercicios en PDF de Métodos Numéricos solo en Docsity! 1Guía de actividades y Rúbrica de Evaluación - Tarea 3 - Diferenciación e Integración Numérica y EDO Carlos Alberto Moreno Cód. 1.007.451.930 Darío Segundo López Cód. 1.041.267.886 Oscar David Gamboa Valencia Cód. 1.0.17.177.213 Yacsira Stacey Barrios Cód. 1098774120 Yeison Álvarez Cód. 1.033.336.909 Tutor: Edgar Andrés Villabón Jueves 7 de Mayo de 2020 Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Antioquia. Métodos Numéricos 100401 72 Introducción Como una ciencia, el Análisis Numérico está interesado en los procesos por los cuales pueden resolverse los problemas matemáticos, por las operaciones de la aritmética. Algunas veces esto involucrar el desarrollo de algoritmos para resolver un problema que está ya en una forma en la cual pueda encontrarse la solución por medio aritméticos. Frecuentemente involucraría la necesidad de sustituir cantidades que no pueden ser calculadas aritméticamente, por aproximaciones que permiten que sea determinada una solución aproximada. En este caso estaríamos interesados, naturalmente, en los errores cometidos en nuestra aproximación. Pero, en cualquier caso, las herramientas que usaríamos en el desarrollo de los procesos de análisis numérico, serían las herramientas del análisis matemático exacto, tan conocidas clásicamente. Como un arte, el Análisis Numérico está interesado en la elección del procedimiento, y conveniente aplicación del mismo, “más” adecuado a la solución de un problema particular. Esto implica la necesidad de desarrollar la experiencia y con ello esperar que se desarrolle la intuición del especialista. Así pues, el Análisis Numérico trata de diseñar métodos para aproximar, de una manera eficiente, las soluciones de problemas expresados matemáticamente. La eficiencia del método depende tanto de la precisión que se requiera como de la facilidad con la que pueda implementarse. En una situación práctica, el problema matemático se deriva de un fenómeno físico sobre el cual se han hecho algunas suposiciones para simplificarlo y para poderlo representar matemáticamente. Generalmente cuando se relajan las suposiciones físicas llegamos a un modelo matemático más apropiado, pero, al mismo tiempo, más difícil o imposible de resolver explícitamente. Teniendo en cuenta lo anterior, el estudiante desarrollará los conceptos de diferenciación numérica, integración numérica y ecuaciones diferenciales ordinarias por medio de la revisión de las bibliografías asignadas, desarrollo de ejercicios asignados y haciendo análisis comparativos por medio de gráficas y resultados. Lo anterior se debe tener en cuenta que cada estudiante tiene un correspondiente numeral de problema asignado. Las diferencias finitas de la función hacia adelante y atrás son: Aflxi=f[x+h)-f(x) Vflx)=f[x)-f[x+h) Y la diferencia central: h rat] x+> 2) 8flx)=f 3 Ahora nos solicitan que hallemos la derivada de la función en x=0,175 utilizando este método, debemos hallar la relación de cambio de la variable independiente respecto de la variable dependiente, para las tres diferencias finitas tenemos: f(x)=cot(10 x) h=0.075 ALU cor(1010.175+0.075))=cotis Yfla) =seel10(0:175)) corl1o(0175—0.078)) =-10.9765275800787 L =cot(10(0.175+0.0375 )) —coté¿ Ahora hallando la derivada analíticamente tenemos: f'(x)=-10csc"10x) Y su valor en x=0,175: f(0.175)=-100sc*¿ Vemos que no existe una gran diferencia entre los resultados obtenidos por el método de las diferencias finitas y la derivada analítica. Esto es debido a que el valor de hes pequeño, y en este tipo de funciones se logra una buena aproximación. Desafío 4 (Carlos Moreno) Dada la función f(x)=sen(11x/3), encuentre f'(1) usando los esquemas de diferencias finitas hacia adelante, atrás y central, con h=0.2. ¿Es este un tamaño de paso suficientemente pequeño para este problema? Haga un análisis justificando su respuesta con la teoría revisada. n x +(x) 0,6 0,587785| 0,8 0,743145| 1 0,866025| 1,2 0,951057| 1,4 0,994522| URNA [f(xt+1) — 0,951057 If(xi-1) — 0,743145 Iffet+1) — 0,951057 16) 0,866025 (r(xi) 0,866025 Ixi-1) — 0,743145 0) 0,42516 [rod 0,61440 [9 0,51978 ErrRelat. 18,01%] ErrRelat_17,342%] ErrRelat.0,730%] DIFERENCIAS CON MAYOR EXACTITUD (TRES PUNTOS) Diferencias hadia adelante Diferencias hacia atras —[ Diferencias centradas eos fal + flan) — 34 o Phi 2h - [E(xteZ) — 0,994522 (fíxi-2) — 0,587785 Ifxt+2) — 0,994522 [£(x+1) — 0,951057 Ifxi-1) — 0,743145 (r(xi+1) — 0,951057 [£x1) 0,860025 (f(xi)—— 0,866025 Ifíxi-1) — 0,743145 lf(xi-2) — 0,587785 ro) 10,52907 ro) 0,53321 ErrRelat. 1,0452] ErrRelat_1,834%] Bajo cada uno de los cálculos se presentan los errores relativos, dado que el valor real de la derivada es 0,5236. Se observa que el valor de h no es un buen valor si se usan solo un punto hacia adelante y uno hacia atrás, si son diferencias hacia adelante y hacia atrás, dado que sus errores son bastante altos (18,8% y 17,34%. Pero si se hace un cálculo de diferencias centradas, el error se disminuye muy rápido a solo el 0,73%. Si se toman dos puntos hacia adelante y dos puntos hacia atrás, los errores caen ostensiblemente en las diferencias hacia adelante y hacia atrás, haciendo que en ambos casos el error se ubique entre el 1% y el 2% y si se hacen diferencias centradas, este error baja a 0,007%. Este último error lleva a concuir, que ese tamaño de paso es aceptable si se usa este método (diferencia centradas con 2 puntos hacia adelante y 2 hacia atrás) porque el valor obtenido es casi igual al valor real. Desafío 5 (Yacsira Barrios) La siguiente tabla representa datos físicos tomados igualmente espaciados: Xx 0 0.5 1.0 15 2.0 2.5 3.0 fc) | 1oo | 080 | p.20 | 025 | 031 | 038 | 0.44 Encuentre f'(1.5) para esquemas de 0(0.5)2 hacia atrás, adelante y central. (Ayuda: ¿Grafique los puntos de la tabla y vea qué problema puede encontrar para los esquemas solicitados) Cuál es el esquema más apropiado para este caso? ¿por qué? 1 0 1 2 EN 4 E 6 Xx 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 1(X) 0,8 0,2 0,25 0,31 0,38 0,44 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Integración Numérica Problema 1 (Oscar Gamboa). e sen(x) dx 2 o 1+x a) Regla del trapecio simple y compuesta Regla del trapecio simple La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de integración de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la siguiente ecuación es de primer grado: b b If fix)dx= $ f, (ax La línea recta se puede representar como: fxi=plale LL ZE Pala) El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b: b fibl-fla) I=[| [fla LT (xa) d: fia» b=a (x—a) [dx El resultado de la integración es: I=io-a Lbrfal 2 Conocida como la regla del trapecio simple. Geométricamente, es equivalente a aproximar el área del trapezoide bajo la línea recta que conecta f(a) y f(b) a b Tomado de: https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule Error en la Regla trapezoidal: . ES f [Ellb=aP Donde ¿ está en algún lugar en el intervalo de a a b. Aplicando el ejercicio inicial T sen| 12), sen( 0) zp 1+(0P 1+ 2 ig a 2 2 Resolviendo 1=2=0.226509 4+rT Error en la Regla trapezoidal: -1 12 Regla del trapecio compuesta Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es dividir el intervalo de integración de a a b en un número n de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos. Hay n+1 puntos igualmente espaciados (x,,x,,X»...X,). En consecuencia, hay n segmentos de igual anchura: _b-a n h Si a y b son x, y X, designados como y x n respectivamente, la integral total se representará como: % Írlxjacr $ Faja... | f(x)dx Xo Ln Al sustituir la regla trapezoidal para cada integral: plebe la), Ll), Lale - A, epa Expresándolo de la forma general PE rlassaje2 3 flxjefla,=0) Error regla trapezoidal de múltiple aplicación alba o, ES 21 (5) Aplicando al ejercicio: 30 h==— 6 h=E sen sen|0| ) ¿+ 2 1+(0) T Lo | E sen 2] 2 An ! L 12) 2 2 1+ "| 12) TI = 0,533480214 Compuesta b h n-1 n-2 $ fxdax=>3|1[xo)+4 2 1lx)+2 Y Flx)+F (xo a 3 j=135 j=2,46 Aplicando al ejercicio T T Ti sn | T ] | El zm, y [senl==| sen[—=| sen == sen[=| sen Z|| [sen 2 [[sen!0| 112) 14) 112] 16] 13) 12) I=2 3 |+4 3+ 3+ 3 +2 3+ 3 + 3 30), z] 1+ z 1+ sn Ea) 1+ ” 1+ ” a 4 pm “le 311112) 1=0,527216779 Regla de Simpson 3/8 simple y compuesta Simple Teniendo en cuenta: N=3 u ais = In Aplicando en el ejercicio sen|0| 3 + 1+[0) | 37 16 1=0,531090684 Compuesta b 1= [ fia 8 Aplicando al ejercicio 1=0.52759806 a o b 1,57079633 n 6 h 0,26179939 k xi f(xi) [0] [0] [0] 1 | 0,26179939 | 0,24221771 2 | 0,52359878 | 0,39241673 3 | 0,78539816 | 0,43733597 4 | 1,04719755 | 0,41305734 5 | 1,30899694 0,355974 6 | 1,57079633 | 0,28840044 Método Valor Error Aprox. TrapSimple 0,22650918 57,02% TrapSiemason 3/0 ,Sin9piza66 1,38% Simpson1/3 S 053348071 1,23% pa Sal Simpsori/3€7-0;5: 1678 0,05% Simpson 3/85 0,53109068 0,78% Simpson 3/8C 0,52759806 0,12% "Exacta" 0,526979 Teniendo en cuenta los resultados de cada método y haciendo una comparación de los resultados de cada uno mediante el porcentaje de error (error aproximado), se puede observar que la regla de Simpson 1/3 compuesta presenta un error de aproximación del 0.05%, indicándonos que se aproxima más al valor de la integral de manera exacta (este valor dado por una calculadora). 1,57079633 n 3 h 0,52359878 k|xi £(xi) 0 0 0 0,3924167 1 0,52359878 3 0,4130573 2 1,04719755 4 0,2884004 3 1,57079633 4 Problema 2: (Yeison Álvarez) J2in(3x)ax a) Regla del trapecio simple y compuesto. * Simple Tenemos que A la) Í flx)ax = braLarflo) a 2 Dónde: b=a=2,f/aJ=f[1/=21n/3.1)|=21n[3)|=2,1972 f(b'—f(3/=21n/3.3)=2 1n[9)=4,3944 2,1972+4,3944 3 Así f2In(3x)dx=2 =6,5916 1 + Compuesta b Í flx)ax Plplareflashjesflaskile+f1b) Eriojacn(o-a)LLeleLlo) a En este caso, a=0,b=1/2 flaj=2 1+sin(0) Entonces: al2 S —L r(n/2-0) 1+0.5 1 1780972450962 o 1+sin(x) 2 - 1 - =1,f(bJ> 1+sin(72/2) 05 La fórmula de integración con la regla del trapecio compuesta es: Mx +2 f(x )+2 f(x. ]+...+2f(x ]+ lx) Hallamos el ancho del intervalo con n=6 h= n/2— m2-0_ 112 6 Hallamos los valores de xi x¡=a+ ih XxX =0,x,= x= x= yal ol q =l o 70% 60 4 30 12% 2 Reemplazamos en la fórmula: al2 / S 1 dx n/12 1 +2 1 +2 l +2 l +2 l +2 y 1+sen(x) 2 |1+sen(0) “1+sen(r/12) * 1+sen(n/6) “1+sen(r/4) * 1+sen[1/3) “1+sen al2 $ —L__ dr1.056795802 o 1+sen(x) b) Regla de Simpson1/3 simple y compuesta La fórmula de la regla de Simpson 1/3 simple es: a+b F fto)d 2 10) +41 (E ) +10]. Sustituyendo, G 1 r/2—0 dxr y 1+sen(x) 6 Loa 1, 1 1+sen[0) 1+sen[n/4) 1+sen[r/2) m/2 S ts 1.0061332047058 y 1+sen(x) La fórmula de la regla de Simpson1/3 compuesta es: > h (n/2)-1 n/2 [rior hr Y 1) +4 10 +00), 2 j=l j=1 Sustituyendo, G 1 ala] 1 +a poto, 1 leal o, y 1+sen(x) 3 |1+sen(0) “| 1+sen(7e/12) 1+sen(1/4) 1+sen(51/12)) “| 1+sen(n/6) 1+se m/2 S =— dx*1.0001192168223 y 1+sen(x) Cc) Regla de Simpson3/8 simple y compuesta Regla de Simpson3/8 simple A 3 [100005 DIA) AI) +3I0) +10) 1/20 En este caso h= =116 Sustituimos, al2 ¡hen ljgot yg _t , 1 y 1+sen(x) 816/|1+sen(0) * 1+sen[r/6) * 1+sen(r/3) 1+sen(r/2) m/2 S =— dx*1.0028935984016 y 1+sen(x) Regla de Simpson 3/8 compuesta con n=6. 1/20 h= =1/12 Hallamos el valor de x; x¿=0,x, > q% Go al2 [aL] A 1 too Q9ot., 1 + 1+sen(x) 8112) 1+sen(0) “1+sen[r/4) “| 1+sen(re/12) 1+sen(r/6) 1+sen(m/3) 1+sen[5 S =— dx*1.000249000853 y 1+sen(x) Análisis comparativo La solución analítica exacta de esta integral es: al2 n/2 J ages 7 =1 o : tan[ 2 [+1 V ! 0 Trapecio Trapecio Simpson Simpson Simpson Simpson simple compuesto 1/3 simple 1/3 3/8 3/8 compuesta simple compuesta 1.178097 1.005679 1.006133 1.000119 1.002893 1.000249 De los resultados obtenidos se puede observar que el método del trapecio simple es el menos preciso. En general los métodos de integración compuestos dan mejores resultados, en este caso la mejor aproximación se consiguió con el método de Simpson 1/3 compuesto. También se observa que cuanto más grandes sea el número de particiones, o sea el valor de n, se obtienen resultados más precisos. Problema 4 (Carlos Moreno) 7/3 o y sen(x)dx LF) I=(b- (b-a z Simpson 1/3 Simple AU) Simpson 1/3 Compuesta E =3 FJ), F)+42Y) MH) e (AN as 5 JAS Ancho Peso promedio Simpson 3/8 Simple y PERA AS 8 Altura promedio I=(b=a Ancho Simpson 3/8 Compuesta n-2 n-1 n-3 ES Y rara Y dra Y 500)+ 16%] i=147. 225,8 236,9. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Problema 1 (Oscar Gamboa) Calcule la Ecuación Diferencial Ordinaria: xlel=t=x,x[1)=1 Empleando cada uno de los siguientes métodos con h=0,1. Realice los cálculos hasta 5h: a) Método de Euler Partiendo de la ecuación Yi =Y + Xp y )h Error de truncamiento _flxuyi) 2 2! x Xy Error 1 1 0 1,99 1,1 1 0,21 2,19 1,2 11021 | 0,397559 2,38979 0,5647969 | 2,5893924 1,3 1,0607559 2 4 1,11723559 | 0,7117846 | 2,7888276 14 2 3 4 1,18841405 | 0,8376720 | 2,9881158 15 5 3 6 1,27218125 | 0,9415548 | 3,1872781 16 9 5 9 1,36633674 3,3863366 1,7 3| 1,0231239 3 1,46864913 | 1,0830697 | 3,5853135 18 4 2 1 1,57695610 | 1,1232094 | 3,7842304 1,9 6 4 4 1,1463430 | 3,9831072 2 | 1,68927705 5 3 1,80391135 | 1,1559038 | 4,1819608 2,1 5 2 9 1,91950173 | 1,1555130 | 4,3808049 2,2 7 8 8 2,03505304 4,5796494 2,3 5 | 1,1485591 7 2,14990895 | 1,1378914 | 4,7785009 2,4 6 8 1 2,26369810 | 1,1256708 | 4,9773630 2,5 4 9 2 2,37626519 | 1,1133637 | 5,1762373 2,6 3 3 5 2,48760156 | 1,1018384 | 5,3751239 2,7 6 5 8 2,59778541 | 1,0915109 | 5,5740221 2,8 1 6 5 2,9 | 2,70693650 | 1,0824947 | 5,7729306 7 5 3 2,81518598 2 1,0747278 9 5,9718481 4 3,1 2,92265877 1 1,0680657 1 6,1707734 1 3,2 3,02946534 2 1,0623397 4 6,3697053 5 3,3 3,13569931 6 1,0573898 6,5686430 1 314 3,24143829 6 1,0530777 7 6,7675856 2 3,5 3,34674607 3 1,0492907 2 6,9665325 4 3,6 3,45167514 5 1,0459386 9 7,1654832 5 3,7 3,55626901 4 1,0429507 7,3644373 1 3,8 3,66056408 4 1,0402705 9 7,5633943 6 3,9 3,76459114 3 1,0378535 3 7,7623540 9 3,86837649 6 1,0356632 9 7,9613162 4 4,11 3,97194282 4 1,0336702 8,1602805 7 4,2 4,07530984 4 1,0318496 7 8,3592469 4,3 4,17849481 2 1,0301811 1 8,5582150 5 44 4,28151292 3 1,0286470 9 8,7571848 7 4,5 4,38437763 2 1,0272327 8 8,9561562 2 4,6 4,48710091 1,0259254 2 9,1551289 9 4,7 4,58969345 2 1,0247140 1 9,3541030 7 4,8 4,69216485 4 1,0235889 9 9,5530783 5 4,9 4,79452375 2 1,0225419 9 9,7520547 6 4,89677795 1 1,0215657 9,9510322 2 ka=f(xi+h, yi+ kh) kt th/2 | xekth/2 k2 t/2 | xek2h/2 k3 ten | k3h ka 1 1 o| 105 1 0,1025 105 105125 | -0,00262656 1,1 | 099973734 | 0,21052524 0,1962775 0,2889192 11 | 1006837869 1| 115 | 101665174 3 1,15 | 1115129748 -0,0029859 12 100653928 | 0,42687868 0,3857743 0,4682927 12 | 1026754916 4 | 125 | 104604363 2 1,25 | 126090127 | -0,02737202 13 102401771 | 0,64138772 0,5694260 0,6408376 13 1,05857164 8 | 135 | 108704294 4 1,35 | 137899046 | -0,07911469 14 1,05066017 0,8561132 0,7476784 0,8064574 14 | 1101054727 9 | 145 | 1113843865 4 1,445 | 1550428345 | -0,16036868 1,5 108501786 | 107273625 0,9649739 15 | 1152931264 | 09207495 | 1,55 | 1,19896874 6 1,55 | 163541825 | -0,27209284 16 1,12572198 | 1,29275002 1,1162977 16 121291896 | 10888276 | 165 | 1,26736034 7 165 | 177106784 | -0,41418131 17 1,17150083 | 151758581 1,2605336 17 | 1279763066 | 12522065 | 1,75 | 1,34237339 8 1,75 | 191002991 | -0,58571424 18 122119164 | 174869097 1,4113604 1,3980262 18 | 1352272005 2 | 185 | 142284003 6 185 | 2005128513 -0,7852707 19 1,27374493 | 198757384 1,5669697 1,5293570 19 | 11429346094 4 | 195 | 1550769458 5 1,95 | 2119402462 | -1,01124403 2 1,32822169 | 223582714 1,7199106 1,6553095 2 | 1509996477 4 | 205 | 159599201 1 2.05 | 2,33765123 | -126211328 | 21 138378515 | 249513866 1,8712235 1,7768177 21 | 1593353839 4 | 215 | 168691502 3 215 | 24817627 | -153664611 | 22 143968923 | 276729493 2,0220730 1,8949121 22 | 1678668201 7 | 2725 | 1,77977185 5 2,25 | 2,62612427 -1,8340287 | 23 1149526533 | 305418159 2,1737092 2,0106713 23 | 1765301893 3| 235 | 1,87398735 9 2,35 | 2,77063759 | -2115393266 | 24 1,54990863 | 335778325 2,3274357 2,1251851 24 | 1852718059 9 | 245 | 1,96908985 7 2,45 | 2,91531064 | -249653614 | 25 160306444 | 368018439 2,2395298 25 | 1940466696 2484589 | 2,55 | 2,06469615 2 2,55 | 306023161 | -286251749 | 26 165421495 | 402357291 2,6465272 2,3547563 26 | 2028169806 4 | 265 | 2116049617 1 2,65 | 320554796 | -3,25303773 | 2,7 1,70286603 | 4,39024727 2,8146315 2,4718889 27 | 2115506667 4 | 275 | 225623824 9 2,75 | 335145116 | -3,/66972488 | 28 174853418 | 4,78262822 2,9903160 2,5919337 28 2,2021998 4 | 285| 233517156 3 285 | 349816666 | -411467001 | 29 1,7907328 | 5,20327604 2,7158939 29 | 2288001792 | 3,1750478 | 2,95 | 244675418 7 2,95 | 364594878 | -4,59044249 3 182895754 | 565491431 3,3703759 2,8447940 3 | 2,372682876 7. | 305 | 254120167 5 3,05 | 3,7950799 | -510013145 | 31 186266973 | 6,14046147 3,5779710 2,9797099 3,1 2,45601892 6 | 315 | 263491747 1 3,15 | 394587387 | -564742063 | 3,2 189127686 | 666307185 3,7996763 32 | 2,537779278 4 | 3,25 | 272776309 | 3,1218085 3,25 | 409868353 | -6,23670666 | 3,3 191410861 | 7,22618822 4,0375747 3,2723982 33 | 2617713749 3| 335 | 281959249 2 3,35 | 4,25391286 -6,8732746 | 34 193038629 | 783360878 4,2940770 3,4329947 34 | 2695537595 8| 345 | 291024145 1 3,45 | 441203495 | -7,556355241 | 3,5 1,93918235 8,4895718 3,6054087 35 | 2770913153 | 45720403 | 3,55 | 299951517 6 3,55 | 4,57361753 | -8,31547733 | 36 193936542 | 919886177 4,8749291 3,7918668 36 | 2843425901 4 | 365 | 308717236 3 3,65 | 4,73935932 | -9,113902672 | 3,7 192952323 | 996694011 5,2070424 3,9951811 37 | 2912551726 4 | 375 | 3117290385 7 3,75 | 491014231 | -10,0469975 | 38 1,90785197 | 10,8001008 5,5738372 4,2189966 38 | 2977610236 8 | 385 | 32563021 3 3,85 | 508710855 | -11,0561734 | 39 187199289 | 117056426 39 | 3037695674 | 59824049 | 3195 | 333681592 | 44681594 3,95 | 5,27177542 | -12,1891161 4 181878407 | 126920245 9 9 6,4421890 4,7492861 4 | 3091570947 8 | 405| 34136804 2 405 | 546621401 | -13,4769956 | 4,11 1,74387139 | 13,7689126 6,9661000 41 | 3,137498992 7| 415 3,485804 | 5,0716705 4,15 | 567333424 | -14,9642214 | 42 164107685 | 14,9468668 7,5723032 5,4487896 42 | 3,172963409 1| 425 | 355157857 7 4,25 | 589735824 | -16,7163342 | 4,3 1,50132998 | 16,2360083 8,2871899 43 | 3,194183781 7 | 435 | 360854328 | 5,9009154 4,35 | 614464148 | -18,8341189 | 44 1,31077189 | 17,6418771 6,4598883 44 | 3195208114 | 91505173 | 4,445 | 365275398 7 445 | 6,4251723 | -2114803391 | 45 104719421 | 19,1533843 10,224682 7,1784035 45 | 3,1166278117 9 | 455 | 367751226 7 4,55 | 6,7554799 | -24 9340087 | 46 | 067287725 | 20,7072362 11,612168 8,1494525 46 | 3089956598 2| 465 | 367056501 1 4,65 | 7116468285 | -29,7101804 | 47 | 011893856 | 22/0758536 13,489078 9,5507045 4,7 | 2,932732699 9 | 475 | 360718665 1 4,75 | 7,70808495 | -36,8520736 | 48 | -0,75247467 | 224737819 11,755500 48 | 2622068074 | 16164759 | 4,85 | 343030603 6 4,85 | 8149981836 | -48,7244122 | 49 | -2,25037314 | 18,9458207 15,619557 49 197494735 | 20,109583 | 4,95 | 2,9804265 9 4,95 | 9,78472629 | -71,2383687 5 | -514888952 | -151106325 24,814271 22,707999 5 | 0430962319 5| 505 | 167167589 7 5/05 | 117849622 | -113,382833 | 51 -10,907321 | -92,9596519 2. Realice una gráfica comparando cada uno de los resultados encontrados en el numeral anterior con la solución exacta y realice un análisis basándose en la teoría revisada. ¿Qué sucede si aumenta el tamaño de h? qué sucede si disminuye el tamaño de h? Método de Euler 10 > —0—x —0— xy —0— Error Método de Runge Kutta Segundo Orden Gráfica R.K.2 08 07 06 os —- ki —- 10 04 03 02 01 Método de Runge Kutta Cuarto Orden R.K2 9 8 7 6 5 —e- ki z -— 4 3 2 1 0 0.5 1 15 2 5 3 4 5 Método de Runge - Kutta Cuarto Orden ki teh/2 | xektiv2 k2 tev2 | xe2h/2 k3 ten | ek3h ka 1 o] 10s 1 0,1025 1,05 105125 | -o/00262656 | 11 | 099973734 | 0,21052524 10068378 | 2,9862775 7 1| 205 | 115615174 | 286581314 | 205 | 243974444 | -1,74985294 | 21 | 083185257 | 3.71802129 1,1557748 | 7,6641844 ó 8 | 305 | 153898408 | 693408 | 305 | 462278886 | -120676768 | 31| -o05099283 | 9,60739973 12725129 | 14,380710 7 8 | 4os | 19915485 | 124362346 | 405 | 7,49063025 | -39,7070415 | 41 | -269819118 | 9,52976435 0,7619939 24,419365 9 2 | 505 | 198296224 | 215703607 | 505 | 115471744 | -107,834736 | 51 | -10,0214796 | -74,4200528 R.K4 o la Al aumentar el tamaño de h vemos que el número de iteraciones disminuye y por consiguiente Euler aumenta. En el caso de Runge - Kutta de orden 2, al aumentar las iteraciones, la gráfica tiene disminuir tanto en k1 como en k2 al tener un número mayor mientras que en las iteraciones donde h es igual a 0.1 vemos que progresivamente k2 disminuye y k1 aumenta progresivamente. En el caso de Runge - Kutta de orden 4 en caso de k3 y k4 en ambas gráficas se presenta una disminución, sólo que, a partir de 4, en el h aumentado en 1, tienden a bajar a partir de 4, mientras en h igual a 0.1 la gráfica baja drásticamente al llegar casi que a cinco. Si comparamos los datos de las tablas de los distintos métodos vemos que los datos aumentan considerablemente y si comparamos las iteraciones 1, 2, 3, 4 y 5 vemos que, a menor iteraciones, los datos son más pequeños. Si h disminuyera, los números de intervalos aumentaría y los datos en las iteraciones mencionadas anteriormente aumentarían, reflejándose en la gráfica y su comportamiento en la gráfica. Problema 2 (Yeison Álvarez) x([t)]=x+e",x[0]=1 1. Empleando cada uno de los siguientes métodos: a) Método de Euler b) Método de Runge - Kutta de orden 2 Cc) Método de Runge - Kutta de orden 4 con h=0.1. Realice los cálculos hasta 5h 2. Realice una gráfica comparando cada uno de los resultados encontrados en el numeral anterior con la solución exacta y realice un análisis basándose en la teoría revisada. Qué sucede si aumenta el tamaño de h? qué sucede si disminuye el tamaño de h? Problema 2 xltl=xte*;x[0)=¿ xi=x+e" x[0=1 h=0,1 K =hlx)+e**%¿=h[1+2'=0,1[3,71828|=0,371828 K,=h|x[0)+ K,+e*%**=0,531438 a) Método de Euler t x x+e"x dx/dt=x+e"x 0 1 3,71828 5,31437545 0,1 1,371828 |” t0=0 x0=1 8 02 1,9032655 | 8,61102018 h 0,1 ? 5 2 2,7643675 | 18,6333387 0,3 6 4 4,6277014 | 106,906082 0,4 4 9 15,318309 | 4494220,66 0,5 7 3 METODO DE RUNGE ORDEN 4 Problema 3 (Darío Segundo López) Calcule la Ecuación Diferencial Ordinaria: x'"(t)=cos(t), x(0)=2 71 1. Empleando cada uno de los siguientes métodos: a) Método de Euler con h = 0.1. Realice los cálculos hasta 5h Solución El método iterativo de Euler viene dado por la fórmula: Ya Y HALO Y) Comenzamos con t¿=0,x,=271T Por tanto x,=210+0.1c0s[0|=6.3831853071796 t,=t,+h=0+0.1=0.1 x,=X ¡+ 0.1cos (t,| =6.4826857237074 t,=t,+h=0.1+0.1=0.2 x3=Xy+ 0.1 cos(t, =6.5806923814915 t¿3t,+h=0.2+0.1=0.3 x4=X3+0.1 cos(t,|=6.6762260304041 t¿=t,+h=0.3+0.1=0.4 x¿=X4*+0.1c05|t, =6.7683321298044 b) Método de Runge -— Kutta de orden 2 Solución t,=0 x=2510 flt,x]=c0s (t) La fórmula del algoritmo de Runge — Kutta de orden 2 es: 1 2 ES k +5k) k,=f (E,,Xn) 3 3 k)=f[t,+h,x, +2 k,h Ant Aga Calculamos: k,=f (t,,xy)=c0s (0)=1 Al ser x una función que depende solamente de tse simplifican los cálculos: t,=0 k,=cos(0+=10.1))=c08(0.075)=0.9971888181122 - A x,=xp+0.1| 3k +2 k, =6.3829978950537 V 1 ] t,=0.1 k,=c0s (0.1)=0.995004165278 k,=c0s (0.1+/0.1))=0s (0.175)=0.9847265389049 - 2 x=X1+0.1[3k +3k,|=6.48181313649 V 1 ] t,=0.2 k,=c0s (0.2)=0.9800665778412 k,=c0s (0.2+=H/0.1) =co0s(0.275)=0.9624251976282 x¿=X,+ 0.1 5k +3k,|=0.5786437022599 | 1 ] t,=0.3 k,=c0s (0.3)=0.9553364891256 k,=c0s (0.3+<,/0.11)=c0s(0.375)=0.9305076219123 Xa =x,+0.1|3k + Flo |=0.6725220933582 V 1 ] t,=0.4 k,=c0s (0.4)=0.9210609940029 k,=c0s (0.4+F/0.1 |)=cos(0.475)=0.8892927216232 x5=x,40.1| Tk + 2h, |=6.7625103079332 V 1 ] Cc) Método de Runge — Kutta de orden 4 Solución t,¿=0 x =2 11 f|t,x|=c0s (e) La fórmula del algoritmo de Runge — Kutta de orden 4 es: h Una — Ya + ¡(la + ka 4 2 + ke) e Ka = £ (En: Yn) 6 h h ka=f (2. + gin + 34) 0 h h ka=f [+34 +5 27. 2 6) ka = f (Ln +R,Yn + Aka) (6) Entonces t,=0.1 k,=f (xo, yo =c0s (0)=1 Sin lugar a dudas el método de Rung- Kutta 4 es el mejor se aproxima y el de Euler el menos preciso. Si disminuye el tamaño de h se obtienen resultados más exactos y se aumenta el tamaño de h entonces se obtienen soluciones de menor precisión. Problema 4 (Carlos Moreno) EULER Xx (0) = (tx)? E) x(M=1 xeul 1 1,1 1 1,2] 1,05045537| 1,3 1,17412442| 1,4] 1,44816108 1,5 2,17452656| Método de Runge - Kutta ORDEN 2 x Y k, ph Yi kh K f 1] 1] o] 1,05] 1] 0,250595522] 0,250595522]| 1,1] 1,02505955| 0,56520525] 1,15| 1,05331981| 0,938427154| 0,938427154| 1,2] 1,11890227| 1,55117987| 1,25| 1,19646126| 2,429057342| 2,429057342| 1,3| 1,361808| 4,45117725| 1,35| 1,58436686| 8,407825234] 8,407825234]| 1,4| 2,20259053| 26,8462408| 145| 3,54490257| 123,8285085| 123,8285085] 1,5| 15,1854414] 11715,8401] 1,55| 600,977445| g08144148,1| 808144148, 1] os) os) ¡tradicional TERRA Ejercicio 5 (Yacsira Barrios) y =-ylt) solucion exacta y=0 001 to 0 yto 0 h 0,1 a 0,1 b 0,5 Formula Euler Ya = Yi FO, yi)h sa E ERA AI 5, sion z are E Y pisa 220 5 nu ara] snont Solución RK orden 2 t exacta enter ko Ye orden 2 o 1 1 - - - - 1 - 1 0,90483 - - 0,1 7 1 [0] -0,05 | 0,050125 | 0,10050125 | 0,9966562 0,075 1,005 0,81873 0,099 - - - 0,2 1 0,99 7 | 0,9974 | 0,156979 | 0,20247083 | 0,9723809 | 0,026247 | 0,999928 0,74081 0,194 - - - - 0,3 8 | 0,9702 5 | 0,97481 | 0,459505 | 0,30549941 | 0,9401427 | 0,127903 | 0,984919 0,4 | 0,67032 | 0,94109 | -0,282 - - - | 0,9082886 - | 0,960396 0,94508 | 0,296219 | 0,38790584 0,226822 0,60653 0,363 - - - 5 05 1 | 0,90345 3 | 0,91646 | -0,42935 | 0,47561182 | 0,8718763 | 0,320058 | 0,926948 0,54881 0,435 - - - - 6 |06 2 | 0,85828 9 | 0,8386 | 0,503838 | 0,55335605 | 0,8322596 | 0,404822 | 0,885429 0,49658 0,499 - - - - 7_|07 5 | 0,80678 4 | 0,84849 | 0,568545 | 0,62237988 | 0,7899468 | 0,478728 | 0,836868 0,44932 - - - - 8 |08 9 | 0,75031 | -0,553 | 0,81068 | 0,622861 | 0,68178632 | 0,7454753 | 0,539838 | 0,782447 0,596 - - 9 |09| 0,40657 | 0,69028 4 | 0,77082 | 0,666414 | -0,730905 | 0,6993999 | -0,58674 | 0,723452 0,36787 0,629 - - 10 1 9 | 0,62816 5 | -0,7293 | 0,699072 | -0,7693071| 0,652281 | 0,618595 | 0,66123 0,33287 0,652 - - - - 1 (11 1 | 0,56534 3 | 0,68653 | 0,720938 | 0,79681221 | 0,6046717 | 0,635151 | 0,597144 0,30119 0,665 - - - 12 |12 4 | 0,50315 1 | 0,64292 | -0,73234 | 0,81348686 | 0,557107 | 0,636732 | 0,532524 0,27253 0,668 - - - - 13 |13 2 | 0,44277 5 | 0,59889 | 0,733814 | 0,81963494 | 0,5100925 | 0,624196 | 0,468626 0,24659 0,663 - - - - 14 |14 7 | 0,38521 1 | 0,55485 | 0,726077 | 0,81578037 | 0,4640953 | 0,598868 | 0,406598 0,649 - - 15 |15| 0,22313 | 0,33128 7| 0,5112 -0,71 | 0,80264304 | 0,4195357 | 0,562459 | 0,347443 0,20189 0,629 - - - - 16 |16 7 | 0,28159 3 | 0,46831 | 0,686574 | 0,78110898 | 0,3767808 | 0,516961 | 0,292002 0,18268 0,602 - - - - 17 117 4 | 0,23654 8 | 0,42652 | 0,656876 | 0,75219628 | 0,3361402 | 0,464545 | 0,240937 0,16529 0,571 - - - - 18 |18 9 | 0,19633 4 | 0,38614 | 0,622033 | 0,71701822 | 0,297863 | 0,407452 | 0,194726 0,14956 0,536 - - - - 19 |19 9 | 0,1609 2 | 0,34746 | 0,583186 | 0,67674514 | 0,2621373 | 0,347887 | 0,153662 20 2 | 0,13533 | 0,1304 - | -0,3107 - | -0,6325668 | 0,2290909 - | 0,117864 5 0,498 0,541461 0,287931 Pasando a la parte práctica, su estudio nos puede ayudar a modificar, entender e incluso simplificar algún tipo de software que los maneje, esto resulta mucha ventaja para el usuario, pues si conoces lo que haces lo puedes usar con más provecho y optimización. Lista de Referencias > Aiden, K (s.f). Regla de Simpson 1/3 simple [Power Point]. Recuperado de: https://www.slideserve.com/kawena/regla-de-simpson-1-3-simple > Alfa Teorema. (2014). Ejemplo de Runge-Kutta de orden 2. [Vídeo]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=pOTwV3kCxdw > Alfa, T. (2012). Método de Euler [Video] Recuperado de https: //www.youtube.com/watch?v=F-dxL9Dnxc08feature=youtu.be > Alvarez, C. (2019). UNAD MetNum EDO EulerEjemplo 20191604. [Vídeo]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=31wsloHt-- YSfeature=youtu.be > Alvarez, C. (2020). UNAD MetNum DifFinita20201601. [Vídeo]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch? v=gWgm2gu0qgcUsfeature=youtu.be > Alvarez, C. (2020). UNAD MetNum EDO 20191604. [Vídeo]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=njimWqgF- NARkéfeature=youtu.be Alvarez, C. (2020). UNAD MetNum EDO RKEjemplo 20191604. [Vídeo]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch? v=8bWfGjsx6SISfeature=youtu.be Alvarez, C. (2020). UNAD MetNum Unidad3 IntegracionNumérica 20200424. [Vídeo]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch? v=DlvL 7dOIEZYSfeature=youtu.be Asesores. (2011). Método de Runge Kutta [Video] Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=6bP6gcuLQoMé:feature=youtu.be Centremo. (2014). Regla de Simpson [Video] Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=jJdp1n4vaGg Cetremo. (2014). Regla del Trapecio [Video] Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=v0ilhdP9oxE éfeature=youtu.be Chapra, S. C., 8: Canale, R. P. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.). Pág. 719 — 756. Recuperado de https: //ebookcentral-proquest- com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/reader.action? docID=45086488:ppg=745 Cortés, D. (2013). Simpson 3/8. [Prezi]. Recuperado de: https: //prezi.com/Oscs244e5gie/simpson-38/ Gómez, M. (27,03,2017). Métodos de Integración Numérica. [Archivo de video]. Recuperado de http://repository.unad.edu.co/handle/10596/11809 Martinez, A. (2017). Método de Runge Kutta 4o orden. [Vídeo]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=YCLUN-2£QB8 Nieves, H. A. (2014). Métodos numéricos: aplicados a la ingeniería: aplicados a la ingeniería. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Pág. 454 — 505. Recuperado de https: //ebookcentral - proquest-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/ lib/unadsp/reader.action?docID=32276408:ppg=471 Ríos, J.A. (2012). Integrales Múltiples [Video] Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=hHJzmjkVVs88zfeature=youtu.be Riveros, R (s.f). CAPITULO 9 DERIVACION NUMERICA 1. Introducción 2. Derivación numérica. Recuperado de: https: //studylib.es/doc/897581/capitulo-9-derivacion-numerica-1.-- introduccidC3%B 3n-2.--deriv... UNED (s.f). Aproximación de Integrales. Recuperado de: http://repositorio.uned.ac.cr/multimedias/metodos_numericos_ensenanz a/modulo4/descripcion.html Vera, 1. (2013). Integración de Romberg [Video] Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=144hSGuXY K88:feature=youtu.be