Movimiento Ondulatorio. Problemas Tipler, Ejercicios de Física

¡Descarga Movimiento Ondulatorio. Problemas Tipler y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! Movimiento ondulatorio. Tipler. Capítulo 15. Velocidad de ondas. 1. Una cuerda cuelga verticalmente del techo. Cuando las ondas se mueven de abajo hacia arriba por la cuerda, ¿lo hacen más rápidamente, más lentamente o a la misma velocidad que las ondas que se mueven de arriba hacia abajo? Razonar la respuesta. 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 ;𝑻𝑻 = 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻ó𝑻𝑻 𝒄𝒄𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 ,𝝁𝝁 = 𝒄𝒄𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒍𝒍𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒄𝒄𝒍𝒍. En una cuerda que cuelga la tensión aumenta hacia arriba, al aumentar el peso de cuerda que cuelga. Por ello las ondas que suben se mueven más rápidamente hacia arriba. 2. a) El módulo ce compresibilidad del agua es 2,0 109 N/m2.Utilizar este valor para hallar la velocidad del sonido en el agua. b) La velocidad del sonido en mercurio es 1410 m/s. ¿Cuál es el módulo de compresibilidad del mercurio (ρ=13,6 103 kg/m3). a) 𝒗𝒗 = �𝑩𝑩 𝝆𝝆 = �𝟐𝟐,𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝑻𝑻 b) 𝑩𝑩 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑵𝑵/𝒎𝒎𝟐𝟐 3. Calcular la velocidad de las ondas del sonido en el gas hidrógeno a T=300 K. (Tomar M=2 g/mol y ϒ=1,4). 𝒗𝒗 = �𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 = �𝟏𝟏,𝟏𝟏∗𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒎𝒎/𝑻𝑻 4. Un hilo de acero de 7 m de largo tiene una masa de 100 g. Si está sometido a una tensión de 900 N, ¿Cuál es la velocidad de un pulso de onda transversal en este hilo? 𝝁𝝁 = 𝒎𝒎 𝑳𝑳 ; 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 = �𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = �𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝑻𝑻 5. Sobre un alambre de 80 cm de longitud que está bajo una tensión de 550 N viajan ondas transversales a 150 m/s. ¿Cuál es la masa del alambre? 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 = �𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 ;𝒎𝒎 = 𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎∗𝟎𝟎,𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟗𝟗𝟔𝟔 𝒌𝒌𝒌𝒌 6. Un pulso de onda se propaga a lo largo de un alambre en el sentido positivo del eje de las x a 20 m/s. Cuál será la velocidad del pulso a) ¿Si duplicamos la longitud del alambre, pero mantenemos constante la tensión y la masa por unidad de longitud? b) ¿Si duplicamos la tensión mientras se mantienen constantes la longitud y la masa por unidad de longitud? c) ¿si duplicamos la masa por unidad de longitud mientras se mantienen constantes las demás variables? a) 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 . Per tanto v= 20 m/s. b) 𝒗𝒗 = √𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟖𝟖,𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝑻𝑻 c) Duplicamos la densidad. 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 √𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝑻𝑻 7. Una cuerda de piano de acero tiene 0,7 m de longitud y una masa de 5 g. Se tensa mediante una fuerza de 500 N. a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales de la cuerda? b) Para reducir la velocidad de la onda en un factor 2 sin modificar la tensión, ¿qué masa de alambre de cobre habrá que enrollar alrededor del hilo de acero? a) 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 = �𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = �𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎𝟎,𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝑻𝑻 b) 𝒗𝒗′ = �𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎′ 𝒗𝒗 𝒗𝒗′ = �𝒎𝒎′ 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎′ = 𝟏𝟏 ∗𝒎𝒎 ∆𝒎𝒎 = 𝒎𝒎′ −𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 ∗ 𝒎𝒎−𝒎𝒎 = 𝟏𝟏 ∗ 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒌𝒌 8. El cable de un telesquí de 80 kg de masa asciende 400 m por la ladera de una montaña. Cuando el cable recibe un golpe transversal en un extremo, el pulso de retorno se detecta 12 s después. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda? b) ¿Cuál es la tensión del cable? a) 𝒗𝒗 = ∆𝒙𝒙 ∆𝒕𝒕 = 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕 𝒎𝒎/𝑻𝑻 b) 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 = �𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 ;𝑻𝑻 = 𝒗𝒗𝟐𝟐∗𝒎𝒎 𝑳𝑳 = 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟗𝟗 𝑵𝑵 9. Una regla práctica común para calcular la distancia a la que cae un rayo es empezar a contar el tiempo cuando se observa el relámpago y detener el cronómetro cuando se oye el estampido del trueno. El número de segundo contados se divide entonces por 3 para obtener la distancia en kilómetros. ¿Cómo se justifica esto? ¿Cuál es la velocidad del sonido en kilómetros por segundo? ¿Cuánta exactitud tiene este procedimiento? ¿Tiene importancia la corrección que tiene en cuenta el tiempo empleado por la luz en llegar a nosotros? (La velocidad de la luz es aproximadamente 3 108m/s). Para el sonido en el aire v=340 m/s. 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒎𝒎/𝑻𝑻 En un tiempo t el sonido recorrerá: 𝑻𝑻 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕 Si suponemos que la luz llega instantáneamente. El tiempo transcurrido dividido por 3 es: 𝒕𝒕 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕 Como se puede ver las dos expresiones son parecidas. La exactitud del procedimiento: ∆𝑻𝑻 𝑻𝑻 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎𝟔𝟔 ;𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟔𝟔 % La corrección con el tiempo empleado por la luz: ∆𝒕𝒕𝒍𝒍𝒄𝒄𝒍𝒍 ∆𝒕𝒕𝑻𝑻𝒔𝒔𝑻𝑻𝑻𝑻𝒄𝒄𝒔𝒔 = 𝒗𝒗𝑻𝑻𝒔𝒔𝑻𝑻𝑻𝑻𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒗𝒗 𝒍𝒍𝒄𝒄𝒍𝒍 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖 ~𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 Por tanto, la corrección es irrelevante. 10. Un método para medir la velocidad del sonido utilizando un reloj ordinario (con un segundero) consiste en permanecer a una cierta distancia de una pared plana grande y batir palmas rítmicamente de tal modo que el eco de la pared se oiga en el punto medio entre cada dos palmadas. Demostrar que la velocidad del sonido viene dada 𝒗𝒗 = �𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝑻𝑻 ��𝟏𝟏 + 𝒕𝒕 𝟐𝟐𝑻𝑻𝒔𝒔 � = (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏+ 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟎𝟎𝟔𝟔 𝒕𝒕)𝒎𝒎/𝑻𝑻 𝒗𝒗 = �𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 ; 𝒄𝒄𝒗𝒗 𝒄𝒄𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑻𝑻 ; 𝒄𝒄𝒗𝒗 𝒄𝒄𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝒕𝒕+𝟐𝟐𝟕𝟕𝟏𝟏 ∆𝒕𝒕 = 𝒕𝒕 ; ∆𝒗𝒗 = 𝒗𝒗(𝒕𝒕) − 𝒗𝒗𝟎𝟎 𝒗𝒗(𝒕𝒕) = �𝒗𝒗𝟎𝟎 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕∗𝒗𝒗 𝒕𝒕+𝟐𝟐𝟕𝟕𝟏𝟏 � ≈ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏+ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏+ 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟎𝟎𝟔𝟔 𝒕𝒕 15. Mientras estudia física en su dormitorio, una alumna escucha en la radio la trasmisión de un partido de baloncesto, que se juega en un campo a 1,6 km de distancia. En la radio, la alumna oye el ruido generado por el pulso electromagnético de un rayo. Dos segundos más tarde, oye también por la radio el trueno que ha sido recogido por el micrófono situado en el campo de baloncesto. Cuatro segundos después de haber escuchado el primer ruido indicado en la radio, el trueno hace temblar sus ventanas. Respecto al campo de baloncesto, ¿en dónde cayo el rayo? L lugar del relámpago; P campo de baloncesto y R dormitorio. Utilizando el teorema del coseno: 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑳𝑳𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑳𝑳 ∗ 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝟏𝟏𝟖𝟖𝟎𝟎 − 𝜽𝜽) = 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑳𝑳𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑳𝑳 ∗ 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝜽𝜽 𝜽𝜽 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻�𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹 𝟐𝟐 −𝒄𝒄𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟐𝟐 −𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒄𝒄𝑳𝑳𝑳𝑳∗𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹 � 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝒗𝒗𝑻𝑻𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝟖𝟖𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹 = 𝒗𝒗𝑻𝑻𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕𝑳𝑳𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒄𝒄𝑳𝑳𝑹𝑹 = 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝜽𝜽 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻�𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐−𝟔𝟔𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐𝟐−𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝟔𝟔𝟖𝟖𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 � = ±𝟐𝟐𝟖𝟖,𝟏𝟏𝒔𝒔 16. Un muelle en espiral de tipo Slinky se deforma alargándose hasta una longitud L. Tiene una constante de fuerza k y una masa m. a) Demostrar que la velocidad de las ondas de compresión longitudinales a lo largo del muelle viene dada por 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳�𝒌𝒌/𝒎𝒎. b) Demostrar que este valor es también el de la velocidad de las ondas transversales a lo largo del muelle si la longitud natural del muelle es mucho menor que L. a) 𝒗𝒗 = �𝑩𝑩 𝝆𝝆 𝝆𝝆 = 𝒎𝒎 𝑽𝑽 ;𝑩𝑩 = − 𝑳𝑳 ∆𝑽𝑽 𝑽𝑽 Si a es el área de la sección transversal del muelle: 𝑽𝑽 = 𝑨𝑨 ∗ 𝑳𝑳 𝝆𝝆 = 𝒎𝒎 𝑨𝑨∗𝑳𝑳 ;𝑳𝑳 = −𝒌𝒌 ∗ ∆𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝑩𝑩 = 𝒌𝒌∗∆𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑨𝑨∗∆𝑳𝑳 𝑨𝑨∗𝑳𝑳 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑳𝑳 𝑨𝑨 𝒗𝒗 = � 𝒌𝒌∗𝑳𝑳𝑨𝑨 𝒎𝒎 𝑨𝑨∗𝑳𝑳 = 𝑳𝑳 ∗ �𝒌𝒌 𝒎𝒎 b) 𝒗𝒗 = �𝒅𝒅 𝝁𝝁 𝝁𝝁 = 𝒎𝒎 𝑳𝑳 𝒅𝒅 = 𝒌𝒌 ∗ ∆𝑳𝑳 = 𝒌𝒌 ∗ (𝑳𝑳 − 𝑳𝑳𝒔𝒔) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑳𝑳 ∗ �𝟏𝟏 − 𝑳𝑳𝒔𝒔 𝑳𝑳 � Si 𝑳𝑳𝒔𝒔 ≪ 𝑳𝑳: 𝒅𝒅 ≈ 𝒌𝒌 ∗ 𝑳𝑳 𝒗𝒗 = �𝒌𝒌∗𝑳𝑳 𝒎𝒎/𝑳𝑳 = 𝑳𝑳 ∗ �𝒌𝒌 𝒎𝒎 La ecuación de onda 17. Demostrar explícitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda: a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = (𝒙𝒙+ 𝒗𝒗𝒕𝒕)𝟏𝟏. b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻𝒌𝒌(𝒙𝒙−𝒗𝒗𝒕𝒕), 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻 𝑨𝑨 𝒚𝒚 𝒌𝒌 𝑻𝑻𝒔𝒔𝑻𝑻 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝑻𝑻𝒕𝒕𝒄𝒄𝑻𝑻𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑻𝑻 = √−𝟏𝟏. c) 𝒚𝒚(𝒙𝒙.t)=𝒍𝒍𝑻𝑻𝒌𝒌(𝒙𝒙+ 𝒗𝒗𝒕𝒕). a) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 ∗ (𝒙𝒙+ 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗 ∗ (𝒙𝒙+ 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ (𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) Por tanto: 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ (𝒙𝒙+ 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 b) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝑻𝑻 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = − 𝑻𝑻 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻∗𝒌𝒌∗(𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 c) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = − 𝒌𝒌𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = −𝒗𝒗∗𝒌𝒌 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = − 𝒗𝒗𝟐𝟐∗𝒌𝒌𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = − 𝒌𝒌𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒗𝒗∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 18. Demostrar que la función y=A senkx coswt satisface la ecuación de onda. 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝑼𝑼𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒗𝒗 = 𝒘𝒘 𝒌𝒌 ; 𝒘𝒘 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒘𝒘∗ 𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 19. Considerar la siguiente ecuación: 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑻𝑻𝒊𝒊 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = 𝟎𝟎 , 𝑻𝑻 = √−𝟏𝟏 En donde α es una constante. Demostrar que 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙 −𝒘𝒘𝒕𝒕)no es una solución de esta ecuación, pero que las funciones 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙−𝝎𝝎𝒕𝒕) e 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙+𝝎𝝎𝒕𝒕)sí la satisfacen. 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙 −𝒘𝒘𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) 𝑼𝑼𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒘𝒘 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕) Por tanto, no se cumple la igualdad dada. 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙−𝝎𝝎𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙−𝝎𝝎𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙−𝝎𝝎𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = −𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙−𝝎𝝎𝒕𝒕) 𝑺𝑺𝑻𝑻 𝒉𝒉𝒄𝒄𝒄𝒄𝑻𝑻𝒎𝒎𝒔𝒔𝑻𝑻 𝒊𝒊 = −𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝑻𝑻𝒊𝒊 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = 𝑻𝑻 ∗ −𝒌𝒌 𝟐𝟐 𝒘𝒘 ∗ �−𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙−𝝎𝝎𝒕𝒕)� = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙−𝝎𝝎𝒕𝒕) = 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙+𝝎𝝎𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙+𝝎𝝎𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = −𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙+𝝎𝝎𝒕𝒕) 𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 = 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻 ∗ 𝒘𝒘 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙+𝝎𝝎𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = (𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒎𝒎)𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝟔𝟔𝟐𝟐,𝟖𝟖 𝒎𝒎−𝟏𝟏𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑻𝑻−𝟏𝟏𝒕𝒕). a) ¿En qué sentido se desplaza esta onda y cuál es su velocidad? b) Hallar la longitud de onda, la frecuencia y periodo de la misma. c) ¿Cuál es el máximo desplazamiento de un segmento cualquiera de la cuerda? a) Dado que tenemos kx+𝝎𝝎t la onda viaja en el sentido de x negativo, si fuera kx-𝝎𝝎t viajaría en el sentido de x positivo. 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟔𝟔𝟐𝟐,𝟖𝟖 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝑻𝑻 b) 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟔𝟔𝟐𝟐,𝟖𝟖 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎; 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻 ;𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝑯𝑯𝒍𝒍 c) A=0,001 m 29. Una onda armónica con una frecuencia de 80 Hz y una amplitud 0,025 m se propaga hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s. a) Escribir una expresión que sea adecuada para la función de onda de la misma. b) Determinar la velocidad máxima de un punto sobre la cuerda. c) Determinar la aceleración máxima de un punto sobre la cuerda. a) 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄/𝑻𝑻 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 ;𝒌𝒌 = 𝝎𝝎 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄/𝑻𝑻 𝒚𝒚 = 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟗𝟗 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒗𝒗𝒎𝒎𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐,𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝑻𝑻 c) 𝒄𝒄𝒎𝒎𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝑨𝑨 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝒎𝒎/𝑻𝑻 30. A lo largo de una cuerda que tiene 20 m de largo, una masa de 0,06 kg y una tensión de 50 N se mueven ondas de frecuencia 200 Hz y amplitud 1 cm. a) ¿Cuál es la energía total de las ondas en la cuerda? b) Hallar la potencia transmitida que pasa por un punto determinado de la cuerda. a) 𝑬𝑬𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟔𝟔 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟏𝟏 𝑱𝑱 b) 𝑳𝑳𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ �𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝑳𝑳𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟔𝟔 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ � 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟔𝟔 𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟔𝟔 𝑾𝑾 31. En una cuerda real, una onda pierde cierta energía cuando se propaga a lo largo de una cuerda. Tal situación puede describirse por una función de onda cuya amplitud A(x) depende de x: 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨(𝒙𝒙)𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙 − 𝝎𝝎𝒕𝒕) = �𝑨𝑨𝒔𝒔𝑻𝑻−𝒃𝒃𝒙𝒙�𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙 − 𝝎𝝎𝒕𝒕) a) ¿Cuál es la potencia original transportada por la onda en el origen? b) ¿Cuál es la potencia transportada por la onda en el punto x? a) 𝑳𝑳𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑳𝑳𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄(𝟎𝟎) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨(𝟎𝟎)𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 b) 𝑳𝑳𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨(𝒙𝒙)𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻−𝟐𝟐∗𝒃𝒃∗𝒙𝒙 32. Se ha transmitido una determinada potencia a lo largo de un alambre tenso mediante ondas armónicas transversales. La velocidad de la onda es de 10 m/s y la densidad másica lineal del alambre es 0,01 kg/m. La fuente de potencia oscila con una amplitud de 0,50 mm. a) ¿Qué potencia media se transmite a lo largo del alambre si la frecuencia es de 400 Hz? b) La potencia transmitida puede aumentarse aumentando la tensión en el alambre, la frecuencia de la fuente o la amplitud de las ondas. Si sólo se varía una de estas magnitudes, ¿cómo habría de modificarse cada una de ellas con objeto de producir un aumento de potencia en un factor de 100? c) ¿Cuál de las variaciones indicadas se podría realizar probablemente con mayor facilidad? a) 𝑳𝑳𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑳𝑳𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟕𝟕𝟗𝟗 𝑾𝑾 b) Si la frecuencia se hace 10*fo, la potencia se hará 100 veces mayor. Si la tensión se aumenta 10000 veces, como 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 ; la potencia aumenta en un factor 100. Si la amplitud aumenta en un factor de 10, la potencia lo hará en un factor de 100. c) Posiblemente lo más sencillo fuera aumentar f o A. Ondas sonoras armónicas 33. Una onda sonora en aire produce una variación de presión dada por 𝒑𝒑(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻 𝝅𝝅/𝟐𝟐 (𝒙𝒙− 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒕𝒕) En donde p está en pascales, x en metros y t en segundos. a) ¿Cuál es la amplitud de la presión? b) La longitud de onda. c) La frecuencia. d) La velocidad de la onda sonora. a) Po=0,75 Pa. b) 𝒌𝒌 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒎𝒎 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝅𝝅/𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎 c) 𝝎𝝎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄/𝑻𝑻;𝒇𝒇 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟖𝟖𝟐𝟐 𝑯𝑯𝒍𝒍 d) 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝝅𝝅 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝑻𝑻 34. a) La nota Do central de la escala musical tiene una frecuencia de 262 Hz. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire? b) La frecuencia de la nota Do una octava por encima del Do central es el doble que la de este último. ¿Cuál es la longitud de onda de esta nota en el aire? a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 ; 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒎𝒎 35. a) ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 100 Hz y amplitud de la presión 10-4 atm? b) La amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 300 Hz 10-7 m. ¿Cuál es la amplitud de presión de esta onda? a) 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔; 𝑻𝑻𝒔𝒔 = 𝒑𝒑𝒔𝒔 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝒄𝒄𝒕𝒕𝒎𝒎∗𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝑳𝑳𝒄𝒄 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒎𝒎 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻−𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎𝑻𝑻 = 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝒎𝒎 b) 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻−𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎 𝑻𝑻 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟕𝟕𝒎𝒎 = 𝟖𝟖,𝟐𝟐𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝑳𝑳𝒄𝒄 36. a) Hallar la amplitud de desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 500 Hz cuando la amplitud de presión correspondiente al umbral de dolor es de 20 Pa. b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda sonora con la misma amplitud de presión, pero con una frecuencia de 1 kHz. a) 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔; 𝑻𝑻𝒔𝒔 = 𝒑𝒑𝒔𝒔 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟗𝟗 𝑳𝑳𝒄𝒄 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻−𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎𝑻𝑻 = 𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝒎𝒎 b) 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔; 𝑻𝑻𝒔𝒔 = 𝒑𝒑𝒔𝒔 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐𝟗𝟗 𝑳𝑳𝒄𝒄 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻−𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎𝑻𝑻 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝒎𝒎 37. Una onda de un sonido intenso típico con una frecuencia de 1 kHz tiene una amplitud de presión de 10-4 atm aproximadamente. a) Cuando t=0 la presión es máxima en un cierto punto x1. ¿Cuál es el desplazamiento en dicho punto para t=0? b) ¿Cuál es el valor máximo del desplazamiento en un instante y posición cualquiera? (Considerar que la densidad del aire es 1,29 kg/m3). a) Si la presión es máxima el desplazamiento es 0. b) 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔; 𝑻𝑻𝒔𝒔 = 𝒑𝒑𝒔𝒔 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝒄𝒄𝒕𝒕𝒎𝒎∗𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐𝑳𝑳𝒄𝒄 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒎𝒎 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻−𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎𝑻𝑻 = 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔𝒎𝒎 38. a) Hallar la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 500 Hz si la amplitud de presión corresponde al umbral de audición que es 2,9 10-5 Pa. b) Hallar la amplitud de desplazamiento para una onda de la misma amplitud de presión, pero de frecuencia 1 kHz. a) 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔; 𝑻𝑻𝒔𝒔 = 𝒑𝒑𝒔𝒔 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐,𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝑳𝑳𝒄𝒄 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻−𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎𝑻𝑻 = 𝟐𝟐,𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟏𝟏𝒎𝒎 b) 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔; 𝑻𝑻𝒔𝒔 = 𝒑𝒑𝒔𝒔 𝝆𝝆∗𝝎𝝎∗𝒗𝒗 = 𝟐𝟐,𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝑳𝑳𝒄𝒄 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻−𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎𝑻𝑻 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟏𝟏𝒎𝒎 Ondas en tres dimensiones: Intensidad 39. Un pistón situado en un extremo de un tubo largo lleno de aire a la temperatura ambiente y a la presión normal, oscila con una frecuencia de 500 Hz y una amplitud de 0,1 mm. El área del pistón es 100 cm2. a) ¿Cuál es la amplitud de presión de las ondas sonoras generadas en el tubo? b) ¿Cuál es la intensidad de las ondas? c) ¿Qué potencia media se necesita para mantener oscilando el pistón (despreciando el rozamiento)? a) 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻−𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎 𝑻𝑻 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝑳𝑳𝒄𝒄 b) 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒑𝒑𝒔𝒔 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝒍𝒍 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝒎𝒎 𝑰𝑰 = 𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟖𝟖 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) 𝑳𝑳𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑾𝑾 40. Un foco esférico radia el sonido uniformemente en todas direcciones. A una distancia de 10 m, el nivel de intensidad del sonido es de 10-4 W/m2. a) ¿A qué distancia del foco el nivel de intensidad es de 10-6 W/m2? b) ¿Qué potencia está radiando dicho foco? a) 𝑳𝑳𝒎𝒎𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝟏𝟏𝟐𝟐 49. ¿Qué fracción de la potencia acústica de un ruido deberá eliminarse Para disminuir su nivel de intensidad sonora de 90 a 70 dB? ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 ;𝟐𝟐 = 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑰𝑰𝟐𝟐−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑰𝑰𝟏𝟏−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗 ;𝟗𝟗𝟗𝟗 % 50. La sonoridad de una conversación normal entre personas a 1 m de distancia es de 65 dB. Estimar la potencia con la que hablamos los seres humanos. 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 ; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟐𝟐 ;𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝑾𝑾 51. Una fuente esférica irradia un sonido uniformemente en todas las direcciones. A una distancia de 10 m el nivel acústico es de 80 dB. a) ¿A qué distancia de la fuente el nivel acústico es de 60 dB? b) ¿Cuál es la potencia irradiada por la fuente? a) 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒄𝒄𝟏𝟏 ∗ � 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷𝟏𝟏−𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ √𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 𝑳𝑳 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟐𝟐𝟔𝟔 𝑾𝑾 52. Una fuente esférica de intensidad Io irradia un sonido uniformemente en todas las direcciones. Su nivel acústico es β1 a una distancia r1 y β2 a una distancia r2. Determinar β2/ β1. 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒔𝒔 ; 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟏𝟏𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒔𝒔 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟐𝟐𝑰𝑰𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟏𝟏𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟐𝟐−𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝒔𝒔 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌�𝑰𝑰𝟏𝟏∗ 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟐𝟐�−𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟏𝟏+𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌� 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒄𝒄𝟐𝟐 �−𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝒔𝒔 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟏𝟏−𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟏𝟏𝑰𝑰𝒔𝒔 +𝟐𝟐∗𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌�𝒄𝒄𝟏𝟏𝒄𝒄𝟐𝟐 � 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟏𝟏𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟏𝟏𝑰𝑰𝒔𝒔 +𝟐𝟐𝟎𝟎∗𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌�𝒄𝒄𝟏𝟏𝒄𝒄𝟐𝟐 � 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝑰𝑰𝟏𝟏𝑰𝑰𝒔𝒔 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝜷𝜷𝟏𝟏 = 𝜷𝜷𝟏𝟏+𝟐𝟐𝟎𝟎∗𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌� 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒄𝒄𝟐𝟐 � 𝜷𝜷𝟏𝟏 53. Un altavoz genera en un concierto de rock 10-2 W/m2 a 20 m a una frecuencia de 1 kHz. Suponiendo que la energía del cantante se extienda uniformemente en todas las direcciones. a) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 20 m? b) ¿Cuál es la potencia acústica total generada por el cantante? c) ¿A qué distancia alcanzará la intensidad el umbral de dolor de 120 dB? d) ¿Cuál es el nivel de intensidad a 30 m? a) 𝜷𝜷𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌� 𝟏𝟏𝟎𝟎 −𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌�𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎� = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑩𝑩 b) 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝑾𝑾 c) 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌� � 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟐𝟐 � 𝑰𝑰𝒔𝒔 � ;𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 = � 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟐𝟐 � 𝑰𝑰𝒔𝒔 ;𝟏𝟏 = 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟐𝟐 : 𝒄𝒄 = � 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅 𝒄𝒄 = �𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝟏𝟏∗𝝅𝝅 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎 54. Un artículo sobre contaminación acústica señala que el nivel de intensidad sonora en grandes ciudades ha estado aumentando en 1 dB anualmente. a) ¿A qué aumento porcentual de intensidad corresponde esto? ¿Parece razonable este incremento? b) ¿Aproximadamente en cuántos años se duplicará la intensidad de sonido si se incremente 1 dB anualmente? a) ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟔𝟔 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟔𝟔 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟔𝟔∗𝑰𝑰𝟏𝟏−𝑰𝑰𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟔𝟔∗𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎𝟔𝟔 ;𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟔𝟔 % b) 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟏𝟏 ∆𝜷𝜷 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟏𝟏 ;𝒑𝒑𝒔𝒔𝒄𝒄 𝒕𝒕𝒄𝒄𝑻𝑻𝒕𝒕𝒔𝒔 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝒕𝒕𝒄𝒄𝑻𝑻𝑻𝑻 𝒄𝒄ñ𝒔𝒔𝑻𝑻 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑻𝑻𝒍𝒍 𝑻𝑻𝑻𝑻𝒄𝒄𝒄𝒄𝑻𝑻𝒎𝒎𝑻𝑻𝑻𝑻𝒕𝒕𝒔𝒔 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝑩𝑩 𝒑𝒑𝒔𝒔𝒄𝒄 𝒄𝒄ñ𝒔𝒔. 55. Tres fuentes sonoras producen unos niveles de intensidad de 70,73 y 80 dB cuando actúan separadamente. Cuando actúan juntas las intensidades se suman. a) Hallar el nivel de intensidad sonora en decibelios cuando las tres fuentes actúan simultáneamente. b) Estudiar la utilidad de eliminar las dos fuentes menos intensas con objeto de reducir el nivel de ruido. a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟏𝟏+𝑰𝑰𝟐𝟐+𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ �𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌� �𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒔𝒔 �+ �𝑰𝑰𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒔𝒔 �+ �𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝒔𝒔 ��� 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕,𝟏𝟏𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ �𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌� 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕,𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖��𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ (𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟖𝟖𝟏𝟏,𝟏𝟏 𝒄𝒄𝑩𝑩 b) Si eliminamos las dos menos intensas: 𝜷𝜷 = 𝟖𝟖𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑩𝑩; la reducción no es significativa. 56. La ecuación 𝑰𝑰 = 𝑳𝑳𝒎𝒎 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟐𝟐 se cumple cuando el medio transmisor no absorbe energía. Sabemos que la absorción del sonido por aire seco da lugar a una disminución de intensidad del orden de 8 dB/km. La intensidad del sonido a una distancia de 120 m de un motor de reacción es 130 dB. Determinar la intensidad a 2,4 km del motor de reacción a) Suponiendo que no hay absorción del sonido por el aire. b) Suponiendo una disminución de 8 dB/km. (Suponer que el sonido irradia por igual en todas direcciones). a) 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∶ 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑾𝑾 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑳𝑳 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝒄𝒄𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) Suponemos que a 120 m el nivel de intensidad es de 120 dB, Si no hay pérdida de energía el nivel de decibelios a 2,4 km será: 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝟐𝟐,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟗𝟗𝟏𝟏 𝒄𝒄𝑩𝑩 Si aplicamos la pérdida de dB del enunciado: 𝟐𝟐,𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 ∗ 𝟖𝟖 𝒄𝒄𝑩𝑩 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟗𝟗,𝟐𝟐 𝒄𝒄𝑩𝑩 𝒑𝒑𝑻𝑻𝒄𝒄𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻 Nivel de intensidad después de la pérdida: 𝟗𝟗𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟗𝟗,𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟏𝟏,𝟖𝟖 𝒄𝒄𝑩𝑩 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟕𝟕𝟏𝟏.𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 −𝟐𝟐𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 57. Todas las personas que han acudido a un cocktail se encuentran hablando igual de ruidosamente. Si sólo estuviese hablando una persona, el nivel de sonido sería de 72 dB. Calcular el nivel de sonido cuando las 38 personas hablan a la vez. 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟕𝟕𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 Para las 38 personas: 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝟔𝟔,𝟎𝟎𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟕𝟕,𝟖𝟖 𝒄𝒄𝑩𝑩 𝒄𝒄𝑩𝑩 58. Cuando un violinista mueve su arco sobre una cuerda, la fuerza que ejerce es pequeña, del orden de 0,6 N. Supongamos que el arco se mueve a través de la cuerda “la”, que vibre con una frecuencia de 440 Hz a 0,5 m/s. Un oyente a 35 m del músico oye un sonido de intensidad 60 dB. ¿Cuál es el rendimiento de la transformación de la energía mecánica de la pulsación en energía sonora? (Suponer que el sonido irradia uniformemente en todas las direcciones). 𝑳𝑳𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄𝒍𝒍 = 𝒅𝒅 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝑾𝑾 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑻𝑻𝒔𝒔𝑻𝑻𝑻𝑻𝒄𝒄𝒔𝒔 = 𝑰𝑰 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝑾𝑾 𝜼𝜼 = 𝑳𝑳𝑻𝑻𝒔𝒔𝑻𝑻𝑻𝑻𝒄𝒄𝒔𝒔 𝑳𝑳𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒄𝒄𝑻𝑻𝒄𝒄𝒍𝒍 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏 ;𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟏𝟏 % 59. El nivel de ruido en un aula vacía donde se va a realizar un examen es de 40 dB. Cuando 100 alumnos se encuentran escribiendo su examen, los sonidos de las respiraciones y de las plumas escribiendo sobre el papel elevan el nivel de ruido a 60 dB. (No tener en cuenta los carraspeos ocasionales). Suponiendo que la contribución de cada alumno a la potencia de ruido es la misma, calcular el nivel de ruido cuando sólo quedan 50 alumnos en el aula. ∆𝜷𝜷 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑩𝑩 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑰𝑰𝒔𝒔 ; 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑰𝑰𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑰𝑰𝒔𝒔; 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 𝚫𝚫𝜷𝜷𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝟐𝟐𝟎𝟎∗𝑰𝑰𝒔𝒔 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒄𝒄𝑩𝑩 𝜷𝜷𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎+ 𝟏𝟏𝟕𝟕 = 𝟐𝟐𝟕𝟕𝟓𝟓𝟓𝟓 b) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎+𝟖𝟖𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑯𝑯𝒍𝒍 69. Consideremos en caso del problema 68 en el sistema de referencia en que el observador está en reposo. a) ¿Cuál es la velocidad del viento en este sistema? b) ¿Cuál es la velocidad de del sonido de la fuente al observador en este sistema, es decir, relativa a este último? c) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador en este sistema. d) Hallar la frecuencia oída por el observador. a) El observador adjudicará su velocidad al viento en este sistema, por ello velocidad del viento 80 m/s, des de la fuente al observador. b) 𝒗𝒗𝑻𝑻 = 𝒗𝒗 + 𝒗𝒗𝒗𝒗 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎+ 𝟖𝟖𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝑻𝑻 c) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟎𝟎 𝒎𝒎 d) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗𝑻𝑻 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑯𝑯𝒍𝒍 70. El observador se mueve con una velocidad de 80 m/s respecto al aire en reposo alejándose de una fuente estacionaria. Hallar la frecuencia oída por dicho observador. 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎+𝟖𝟖𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐,𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟖𝟖𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 71. Un reactor se mueve a un Mach de 2,5 a una altitud de 5000 m. a) ¿Cuál es el ángulo que la onda de choque forma con la trayectoria del reactor? (Suponer que la velocidad del sonido a esta altura sigue siendo 340 m/s). b) ¿En dónde se encontrará el reactor cuando una persona en el suelo oiga la onda de choque? a) 𝜽𝜽 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒕𝒕𝒌𝒌�𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒄𝒄∗𝒕𝒕 � = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒕𝒕𝒌𝒌�𝒗𝒗 𝒄𝒄 � = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒕𝒕𝒌𝒌� 𝟏𝟏 𝟐𝟐,𝟗𝟗 � = 𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟔𝟔𝒔𝒔 b) 𝒕𝒕𝒌𝒌𝜽𝜽 = 𝒉𝒉 𝒙𝒙 ;𝒙𝒙 = 𝒉𝒉 𝒕𝒕𝒌𝒌𝜽𝜽 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒕𝒕𝒌𝒌𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟔𝟔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 72. Una persona corre a toda velocidad hacia un foco sonoro de frecuencia 1000 Hz. Estimar la frecuencia del sonido que percibe esta persona. Suponer que esta persona es capaz de reconocer un cambio en la frecuencia del 3 %. ¿Puede utilizarse esta valoración de la frecuencia para estimar su propia velocidad? 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗+𝒗𝒗𝒔𝒔 𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎+𝒗𝒗𝒔𝒔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒔𝒔∗� 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎+𝒗𝒗𝒔𝒔𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 −𝟏𝟏� 𝒇𝒇𝒔𝒔 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎+𝒗𝒗𝒔𝒔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 − 𝟏𝟏� Si suponemos una velocidad de 10 m/s: 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐𝟗𝟗𝟏𝟏 ;𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟏𝟏 % 𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐢𝐕𝐕𝐢𝐢𝐕𝐕𝐕𝐕 𝐕𝐕𝐕𝐕 𝟏𝟏 % 73. Un dispositivo de radar emite microondas con una frecuencia de 2,00 GHz. Cuando las ondas se reflejan en un coche que se aleja frontalmente del emisor, se detecta una diferencia de frecuencia de 293 Hz. Determinar la velocidad del coche. La velocidad del coche en movimiento es u. La frecuencia recibida por el coche en movimiento es: 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 La frecuencia recibida por el detector será: 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝟏𝟏 = �𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 � ∗ �𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 � ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒄𝒄 � ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 − 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒄𝒄 = ∆𝒇𝒇∗𝒄𝒄 𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟗𝟗𝟏𝟏∗𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖 𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝑻𝑻 74. Un destructor que se encuentra en reposo está equipado con un sonar que envía pulsos sonoros de 40 MHz. Los pulsos que se reciben han sido reflejados por un submarino que se encuentra directamente debajo con un retraso de tiempo de 80 ms y con una frecuencia de 39,958 MHz. Si la velocidad del sonido en el agua de mar es de 1,54 km/s, calcular a) La profundidad del submarino. b) Su velocidad vertical. a) Utilizando el tiempo que tardan las ondas en recorrer una distancia 2D, donde D es la distancia entre destructor y submarino: 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐∗𝑫𝑫 ∆𝒕𝒕 ;𝑫𝑫 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 ∗ ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝑻𝑻 ∗ 𝟖𝟖𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝑻𝑻 = 𝟔𝟔𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝒎𝒎 La frecuencia recibida por el submarino: 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝒗𝒗𝑻𝑻±𝒄𝒄 𝒗𝒗𝑻𝑻 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 La frecuencia de vuelta al barco: 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝑻𝑻±𝒄𝒄 𝒗𝒗𝑻𝑻 ∗ 𝒇𝒇𝟏𝟏 = �𝒗𝒗𝑻𝑻±𝒄𝒄 𝒗𝒗𝑻𝑻 � ∗ �𝒗𝒗𝑻𝑻±𝒄𝒄 𝒗𝒗𝑻𝑻 � ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 ≈ �𝟏𝟏 ± 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒗𝒗𝑻𝑻 � ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒔𝒔 − 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒗𝒗𝑻𝑻 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 𝒄𝒄 = ∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗𝑻𝑻 𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒔𝒔 = (𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟗𝟗,𝟗𝟗𝟐𝟐𝟖𝟖)𝑴𝑴𝑯𝑯𝒍𝒍∗𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎/𝑻𝑻 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑯𝑯𝒍𝒍 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝑻𝑻 Como la frecuencia se reduce, el submarino se aleja del destructor, va hacia abajo. 75. Dos aviones, volando uno hacia el este y el otro hacia el oeste, están separados 15 km en peligro de colisión frontal cuando el piloto de uno de ellos, que vuela a 900 km/h, observa la presencia del otro en su radar Doppler. La unidad de radar emite ondas electromagnéticas de frecuencia 3 1010 Hz. La pantalla del radar indica que la velocidad del otro avión es 750 km/h. Determinar la frecuencia de la señal recibida por el radar de este piloto. Utilizando la expresión de la variación de frecuencia de los problemas anteriores: ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 El valor de u será: 𝒄𝒄 = (𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎+ 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟎𝟎)𝒌𝒌𝒎𝒎/𝒉𝒉 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗(𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎+𝟕𝟕𝟐𝟐𝟎𝟎)𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒉𝒉 ∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻 𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝒎𝒎/𝑻𝑻 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝑯𝑯𝒍𝒍 = 𝟗𝟗,𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝟐𝟐 − 𝒇𝒇𝒔𝒔 ; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = ∆𝒇𝒇 + 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎′𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝑯𝑯𝒍𝒍 76. Una unidad de radar de la policía transmite microondas de frecuencia 3 1010 Hz. La velocidad de estas ondas en el aire es 3,0 108 m/s. Supóngase que un coche se aleja de esta unidad de radar a una velocidad de 140 km/h. ¿Cuál es la diferencia de frecuencia entre la señal transmitida y la señal recibida por el coche? La frecuencia recibida por el coche: 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 La recibida de nuevo por el radar: 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒔𝒔 − 𝒇𝒇′ = 𝒇𝒇𝒔𝒔 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒌𝒌𝒎𝒎𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝒎𝒎/𝑻𝑻 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑯𝑯𝒍𝒍 = 𝟕𝟕,𝟕𝟕𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝑯𝑯𝒍𝒍 77. Supóngase que el coche de la policía del problema 76 se mueve en la misma dirección que el otro vehículo a lo velocidad de 60 km/h. ¿Cuál es entonces la diferencia de frecuencia entre las señales emitida y reflejada? La frecuencia recibida por el coche: 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 La recibida de nuevo por el radar: 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒄𝒄−𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 ≈ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 ∆𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒔𝒔 − 𝒇𝒇′ = 𝒇𝒇𝒔𝒔 − �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒄𝒄 � ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 ∆𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒉𝒉 ∗ 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑻𝑻∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝒎𝒎/𝑻𝑻 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑯𝑯𝒍𝒍 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏𝑯𝑯𝒍𝒍 78. En el tiempo t=0, un avión supersónico está directamente sobre un punto P volando hacia el oeste a una altura de 12 km y una velocidad Mach 1,6. ¿Dónde está el avión cuando se escucha el estampido sónico? 𝒄𝒄 = ∆𝒇𝒇∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝑻𝑻 83. Un pequeño altavoz que emite un sonido de 1000 Hz está unido a uno de los extremos de una larga barra de 0,8 m que puede girar libremente por el otro extremo. La barra gira en el plano horizontal comuna velocidad angular de 4,0 rad/s. Deducir una expresión para la frecuencia percibida por un observador estacionario alejado del altavoz rotatorio. Como tenemos fuente móvil: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝑻𝑻 𝒗𝒗 � −𝟏𝟏 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 ≈ �𝟏𝟏+ 𝒄𝒄𝑻𝑻 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 La velocidad tangencial del cuerpo emisor en rotación es: 𝒄𝒄𝑻𝑻 = 𝒄𝒄 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒄𝒄𝑻𝑻 = 𝟎𝟎,𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏,𝟎𝟎 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝟏𝟏,𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏+ 𝟎𝟎,𝟖𝟖∗𝟏𝟏,𝟎𝟎∗𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝟏𝟏,𝟎𝟎∗𝒕𝒕) 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 � ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎+ 𝟗𝟗,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝟏𝟏 ∗ 𝒕𝒕),𝑺𝑺. 𝑰𝑰. 84. Una persona se encuentra a bordo del Queen Elizabeth II en medio del Atlántico rumbo al este a 45 km/h cuando el Concorde pasa directamente sobre su cabeza volando hacia el oeste con velocidad Match 1,6 a una altura de 12500 m. ¿Dónde está el Concorde respecto al QEII cuando el pasajero escucha el estampido sónico? Sea C la posición del Concorde y P la del barco: 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐𝜽𝜽 𝒄𝒄 = 𝒉𝒉 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐𝜽𝜽 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝜽𝜽 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒄𝒄∗𝒕𝒕 ; 𝜽𝜽 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻�𝒗𝒗 𝒄𝒄 � = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻� 𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟔𝟔 � = 𝟏𝟏𝟖𝟖,𝟕𝟕º 𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐𝟏𝟏𝟖𝟖,𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗𝟐𝟐𝟕𝟕 𝒎𝒎 85. Un globo arrastrado por un viento de 35 km/h emite un sonido de 800 Hz cuando se aproxima a un edificio. a) ¿Cuál es la frecuencia del sonido percibido por un observador asomado a una ventana de este edificio? b) ¿Cuál es la frecuencia del sonido reflejado que escucha un viajero del globo? a) Aplicando la fuente móvil: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏− 𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟖𝟖𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 b) Aplicando receptor móvil: 𝒇𝒇𝒄𝒄 = �𝟏𝟏+ 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏+ 𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 � ∗ 𝟖𝟖𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟖𝟖 𝑯𝑯𝒍𝒍 86. Un coche se aproxima a una pared reflectora. Un observador inmóvil situado detrás del coche escucha un sonido de frecuencia 745 Hz procedente de la bocina del coche y un sonido de frecuencia 863 Hz procedente de la pared. a) ¿Cuál es la velocidad del coche? b) ¿Cuál es la frecuencia de la bocina? c) ¿Cuál es la frecuencia escuchada por el conductor del coche, procedente de la reflexión del sonido en la pared? a) Aplicando el caso de fuente móvil, alejándose del observador: 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+𝒄𝒄𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 La frecuencia procedente de la pared, recibida por la persona: 𝟖𝟖𝟔𝟔𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 𝟖𝟖𝟔𝟔𝟏𝟏 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏+𝒄𝒄𝒗𝒗 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒗𝒗 Despejando u: 𝒄𝒄 = 𝒗𝒗 ∗ 𝟖𝟖𝟔𝟔𝟏𝟏−𝟕𝟕𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟖𝟖𝟔𝟔𝟏𝟏+𝟕𝟕𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟖𝟖𝟔𝟔𝟏𝟏−𝟕𝟕𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟖𝟖𝟔𝟔𝟏𝟏+𝟕𝟕𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝑻𝑻 b) 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟖𝟖𝟔𝟔𝟏𝟏 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 � = 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝒍𝒍 c) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒔𝒔𝒄𝒄𝒉𝒉𝑻𝑻 = �𝟏𝟏+ 𝒄𝒄 𝒗𝒗 � ∗ 𝟖𝟖𝟔𝟔𝟏𝟏 = �𝟏𝟏+ 𝟐𝟐𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 � ∗ 𝟖𝟖𝟔𝟔𝟏𝟏 = 𝟗𝟗𝟐𝟐𝟔𝟔 𝑯𝑯𝒍𝒍 87. La conductora de un coche que viaja a 100 km/h hacia un acantilado vertical hace sonar brevemente la bocina. Exactamente un segundo después, ella escucha el eco y observa que su frecuencia es de 840 Hz. ¿A qué distancia del acantilado se encontraba el coche cuando la conductora hizo sonar la bocina y cuál es la frecuencia del sonido emitido? La frecuencia del sonido reflejado es: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 La frecuencia captada por el coche es: 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒔𝒔𝒄𝒄𝒉𝒉𝑻𝑻 = �𝟏𝟏+ 𝒄𝒄 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏+𝒄𝒄𝒗𝒗� 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒗𝒗 𝟏𝟏+𝒄𝒄𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒔𝒔𝒄𝒄𝒉𝒉𝑻𝑻 = 𝟏𝟏− 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏+ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 Sea d la distancia que separa inicialmente el coche el acantilado, el sonido hace esta distancia d de ida, a la vuelta hace una distancia d-u*t. Por tanto: 𝒄𝒄 + 𝒄𝒄− 𝒄𝒄 ∗ 𝒕𝒕 = 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕 ; 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄 = (𝒗𝒗 + 𝒄𝒄) ∗ 𝒕𝒕 ;𝒄𝒄 = 𝒗𝒗+𝒄𝒄 𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎+𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏.𝟔𝟔 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟖𝟖𝟏𝟏 𝒎𝒎 88. Una persona en un vuelo transatlántico viaja hacia el oeste a 800 km/h. Un concorde que vuela con velocidad Match 1,6 se encuentra a 3 km al norte del primer avión y su rumbo es también este-oeste. ¿Cuál es la distancia entre los dos aviones cuando desde el vuelo transatlántico se oye el estampido sónico producido por el Concorde? 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐𝜽𝜽 𝒄𝒄 = 𝒉𝒉 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐𝜽𝜽 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝜽𝜽 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒄𝒄∗𝒕𝒕 ; 𝜽𝜽 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻�𝒗𝒗 𝒄𝒄 � = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻� 𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟔𝟔 � = 𝟏𝟏𝟖𝟖,𝟕𝟕º 𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐𝟏𝟏𝟖𝟖,𝟕𝟕 = 𝟏𝟏𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 89. Los astrónomos pueden deducir la existencia de un sistema binario de estrellas, visualmente irresolubles, observando el desplazamiento Doppler alternativo de una línea espectral. Supongamos que una observación astronómica muestra que la fuente luminosa se eclipsa una vez cada 18 horas. La longitud de onda de la línea espectral observada cambia desde un máximo de 563 nm a un mínimo de 539 nm. Supongamos también que el sistema binario consta de un objeto oscuro muy masivo y una estrella relativamente luminosa que irradia la línea espectral observada. Utilizar los datos para determinar la separación entre los dos objetos (suponer que el ente luminoso se encuentra en una órbita circular alrededor del ente masivo) y la masa del objeto obscuro. (utilizar la aproximación ∆𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒔𝒔� = 𝒗𝒗/𝒄𝒄) Utilizando efecto Doppler relativista, la longitud de onda mínima: 𝝀𝝀′ = 𝝀𝝀 ∗ �𝟏𝟏−𝒗𝒗/𝒄𝒄 𝟏𝟏+𝒗𝒗/𝒄𝒄 Usando las aproximaciones: �𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝒄𝒄 � 𝟏𝟏/𝟐𝟐 ≈ 𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 ; �𝟏𝟏+ 𝒗𝒗 𝒄𝒄 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ≈ 𝟏𝟏 + 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒄𝒄 �𝟏𝟏−𝒗𝒗/𝒄𝒄 𝟏𝟏+𝒗𝒗/𝒄𝒄 ≈ 𝟏𝟏 − 𝒗𝒗 𝒄𝒄 En t=0 el segmento entre 1 y 2 cm se mueve hacia abajo, entre 2 y 3 cm hacia arriba. En x= 2 cm está instantáneamente en reposo. 96. Hacer un esquema de la velocidad de cada segmento de la cuerda en función de la posición en el caso del pulso de la figura anterior. La velocidad es negativa entre1 y 2 cm. Positiva entre dos y 3c. Nula en 2cm. 97. Consideremos una línea larga de coches igualmente separados en la longitud de un coche y moviéndose con la misma velocidad. Uno de ellos repentinamente frena para evitar un perro y luego acelera hasta que de nuevo recupera la distancia de un coche detrás del anterior. Analizar como se propaga la separación entre los coches hacia atrás a lo largo de la línea. ¿En qué se parece a un pulso de onda? ¿Existe transporte de energía? ¿De qué depende la velocidad de propagación? Los coches de atrás frenan y luego aceleran, pues cada uno reacciona en función de la distancia que le separa con el coche que le precede. Esto origina un pulso de ondas longitudinal que se propaga hacia atrás a lo largo de la fila de coches. No se transporta energía. La velocidad de propagación es proporcional a la longitud del coche e inversamente proporcional al tiempo de reacción medio del conductor. 98. En el instante t=0, la forma de un pulso de onda sobre una cuerda viene dada por la función: 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟏𝟏 (𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 En donde x está en metros. a) Dibujar y(x,0) en función de x. Expresar la función de onda y(x,t) en un instante cualquiera si b) El pulso se está moviendo hacia la derecha (sentido positivo de las x) comuna velocidad de 10 m/s. c) Si se está moviendo hacia la izquierda (sentido negativo de las x) comuna velocidad del mismo valor. a) b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 − 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟏𝟏 (𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝟐𝟐+(𝒙𝒙−𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 c) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∗ 𝒕𝒕) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙 + 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟏𝟏 (𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝟐𝟐+(𝒙𝒙+𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝒕𝒕)𝟐𝟐 99. Una onda de frecuencia 1200 Hz se propaga a lo largo de un alambre que está bajo una tensión de 800 N. La longitud de onda de la onda es de 24 cm. ¿Cuál será la longitud de onda si la tensión decrece a 600 N y la frecuencia se mantiene constante? 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 𝑣𝑣 = �𝑇𝑇 𝜇𝜇 Si la tensión decrece la velocidad baja y la longitud de onda crece. 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝝀𝝀𝟏𝟏 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝀𝝀𝟐𝟐 ; �𝑻𝑻𝟏𝟏 𝝀𝝀𝟏𝟏 = �𝑻𝑻𝟐𝟐 𝝀𝝀𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀𝟐𝟐 = �𝑻𝑻𝟐𝟐 �𝑻𝑻𝟏𝟏 ∗ 𝝀𝝀𝟏𝟏 = �𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟖𝟖 𝒄𝒄𝒎𝒎 100. En clase, una demostración común de pulsos de onda consiste en atar un tubo de goma por uno de sus extremos a un poste fijo, pasarlo por una polea y colgar un peso por su otro extremo. Supóngase que la distancia desde el soporte fijo a la polea es de 10 m. La masa de esta longitud de tubo es de 0,7 kg y el peso suspendido es de 110 N. Si se le da al tubo una sacudida transversal en un extremo, ¿Cuánto tiempo empleará el pulso resultante en alcanzar el otro extremo? 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 = � 𝑻𝑻 𝒎𝒎/𝑳𝑳 = � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟕𝟕/𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟗𝟗,𝟔𝟔𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝑻𝑻 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳 𝚫𝚫𝒕𝒕 ; 𝚫𝚫𝒕𝒕 = 𝑳𝑳 𝒗𝒗 = 𝑳𝑳 � 𝑻𝑻 𝒎𝒎/𝑳𝑳 = �𝒎𝒎∗𝑳𝑳 𝑻𝑻 = �𝟎𝟎,𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑻𝑻 101. Las siguientes funciones de onda representan ondas en movimiento: a) 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝒌𝒌(𝒙𝒙+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒎𝒎 𝑻𝑻 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝒌𝒌(𝒙𝒙−𝟐𝟐𝟎𝟎𝒎𝒎𝑻𝑻 ∗𝒕𝒕) 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 y c) 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑩𝑩 ∗ 𝒄𝒄 + ( 𝒌𝒌 ∗ �𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎 𝑻𝑻 ∗ 𝒕𝒕� ) 𝟐𝟐 En donde x se expresa en metros, t en segundos y A, k, B y C son constantes que tienen las unidades apropiadas para que y resulte en metros. Determinar la dirección de propagación y la velocidad de la onda en cada caso. a) V=34 m/s , dirección de propagación izquierda ( x negativas). b) V= 20 m/s, dirección propagación derecha. c) V= 10 m/s, propagación derecha. 102. Un bote que se mueve a 10 m/s sobre un lago tranquilo forma una onda de proa con un ángulo de 20º con su dirección de movimiento. ¿Cuál es la velocidad de la onda de proa? Donde v es la velocidad de la onda y u la del bote. 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝜽𝜽 = 𝒗𝒗∗𝒕𝒕 𝒄𝒄∗𝒕𝒕 = 𝒗𝒗 𝒄𝒄 ;𝒗𝒗 = 𝒄𝒄 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝜽𝜽 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝑻𝑻 103. Si una longitud de onda es mucho mayor que el diámetro de un altavoz, éste irradia en todas direcciones como si fuera un foco puntual. En cambio, si la longitud de onda es mucho menor que el diámetro, el sonido de propaga aproximadamente en línea recta por delante del altavoz. Determinar la frecuencia de una onda sonora que tiene una longitud de onda a) 10 veces mayor que el diámetro de un altavoz de 30 cm. b) Un décimo del diámetro de un altavoz de 30 cm. c) Repetir el problema para un altavoz de 6 cm. a) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎 ; 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 b) 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒎𝒎 ; 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 c) 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝒎𝒎;𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟕𝟕 𝑯𝑯𝒍𝒍 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟔 𝒎𝒎;𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟔𝟔,𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 104. Un silbato de 500 Hz de frecuencia se mueve en una circunferencia de 1 m de radio a 3 rev /s. ¿Cuáles son las frecuencias máxima y mínima oídas por un observador estacionario situado en el plano del círculo y 5 m alejado de su centro? 𝒇𝒇′𝟐𝟐−𝒇𝒇 ′ 𝟏𝟏 𝒇𝒇𝟐𝟐 ′ = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 = 𝟏𝟏− 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 𝟏𝟏+𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 𝟏𝟏 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏+ 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 𝟏𝟏+𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 ;𝟎𝟎,𝟗𝟗 = 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 𝟏𝟏+𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 ;𝟎𝟎,𝟗𝟗 ∗ �𝟏𝟏+ 𝒄𝒄𝑻𝑻 𝒗𝒗 � = 𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝑻𝑻 𝒗𝒗 ;𝟏𝟏,𝟗𝟗 ∗ 𝒄𝒄𝑻𝑻 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝒄𝒄𝑻𝑻 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗 𝟏𝟏,𝟗𝟗 = 𝟏𝟏𝟕𝟕,𝟗𝟗 𝒎𝒎/𝑻𝑻 110. Un altavoz con un diafragma de 20 cm de diámetro vibra con una frecuencia de 800 Hz y una amplitud de 0,025 mm. Suponiendo que las moléculas de aire de las proximidades poseen la misma amplitud de vibración, calcular a) La amplitud de presión justo enfrente del diafragma del altavoz. b) La intensidad del sonido. c) La potencia acústica que se está radiando. a) 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝒍𝒍 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎 𝑻𝑻 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝒎𝒎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟏𝟏 𝑵𝑵/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗 𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝒍𝒍)𝟐𝟐 ∗ �𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝒎𝒎�𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎 𝑻𝑻 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) 𝑳𝑳 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑾𝑾 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ (𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝒎𝒎)𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗 𝑾𝑾 111. Una onda acústica plana y armónica que oscila en el aire con una amplitud de 10-6 m tiene una intensidad de 100 dB. ¿Cuál es la frecuencia de dicha onda? 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 ; 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷𝟏𝟏𝟎𝟎; 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝜷𝜷𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = � 𝟐𝟐∗𝑰𝑰 𝝆𝝆∗𝟏𝟏∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝑻𝑻𝒔𝒔𝟐𝟐∗𝒗𝒗 = � 𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗∗𝟏𝟏∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗(𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔)𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 112. Por un tubo de radio 5 cm fluye agua a la velocidad de 7 m/s. Una placa de área igual a la sección transversal del tubo se inserta súbitamente en éste para detener el flujo. Determinar la fuerza ejercida sobre la placa. Tomar el valor de 1,4 km/s para la velocidad del sonido en el agua. (Sugerencia: Cuando se inserta la placa, una onda de presión se propaga a través del agua a la velocidad del sonido, vs. La masa de agua detenida en el tiempo Δt es la contenida en una longitud del tubo igual a vsΔt). 𝒅𝒅 = ∆𝒑𝒑 ∆𝒕𝒕 = ∆𝒎𝒎∗𝒗𝒗𝒄𝒄 ∆𝒕𝒕 ∆𝒎𝒎 = 𝝆𝝆 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑨𝑨 ∗ ∆𝒙𝒙 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗𝑻𝑻 ∗ ∆𝒕𝒕 𝒅𝒅 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒗𝒗𝑻𝑻 ∗ 𝒗𝒗𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟕𝟕 = 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟗𝟗𝟔𝟔𝟗𝟗 𝑵𝑵 113. Dos alambres de diferentes densidades másicas lineales se sueldan extremo a extremo y luego se someten a una tensión F (la misma en los dos alambres). La velocidad de la onda en el segundo alambre es triple que en el primero. Cuando una onda armónica que se mueve por el primer alambre se refleja en la unión de ellos, la onda reflejada tiene la tercera parte de amplitud que la onda transmitida. a) Si la amplitud de la onda incidente es A, ¿Cuáles son las amplitudes de la onda reflejada y transmitida? b) Admitiendo que no hay pérdidas en el alambre, ¿qué fracción de la potencia incidente se refleja en la unión y qué fracción se transmite? c) Demostrar que el desplazamiento justo a la izquierda de la unión es igual al desplazamiento justo a la derecha de la misma. a) 𝑳𝑳𝑻𝑻𝑻𝑻 = 𝑳𝑳𝒕𝒕 + 𝑳𝑳𝒄𝒄 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒕𝒕𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝒅𝒅 𝝁𝝁𝟏𝟏 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝒅𝒅 𝝁𝝁𝟐𝟐 ; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏; 𝑨𝑨𝒄𝒄 = 𝑨𝑨𝒕𝒕 𝟏𝟏 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 ¸ 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒕𝒕𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝒕𝒕𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟐𝟐 Usando las relaciones entre amplitudes y velocidades: 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝑨𝑨𝒕𝒕𝟐𝟐 𝟗𝟗� 𝒗𝒗𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝒕𝒕𝟐𝟐 𝟏𝟏∗𝒗𝒗𝟏𝟏 ; 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑨𝑨𝒕𝒕𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝟗𝟗 + 𝟏𝟏 𝟏𝟏 � ; 𝑨𝑨𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 𝑨𝑨𝒄𝒄 = 𝑨𝑨 𝟐𝟐 b) 𝑳𝑳𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏/𝟏𝟏 ∗ 𝑳𝑳𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑳𝑳𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒕𝒕𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟗𝟗 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝟗𝟗 𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 𝑳𝑳𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏 ∗ 𝑳𝑳𝑻𝑻𝑻𝑻 c) 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝟏𝟏 + 𝒚𝒚𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝟏𝟏 En el segundo alambre: 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝟏𝟏 De donde los dos desplazamientos son iguales. 114. Una tropa bien entrenada mantiene el paso escuchando la banda de música que está situada a la cabeza de la columna. La música se lleva a un ritmo que corresponde a 100 pasos por minuto. Una cámara de televisión muestra que sólo la tropa que está a la cabeza de la columna y la que está en su parte posterior lleva realmente el paso. Los soldados de la sección intermedia se encuentran adelantando el pie izquierdo cuando los que componen los otros dos grupos mencionados están adelantando el pie derecho. La tropa está tan bien entrenada que, a pesar de esto, están seguros de que llevan el paso de acuerdo con la música. Explicar el origen del problema y calcular la longitud de la columna. El sonido tarda un tiempo en desplazarse desde la cabeza de la columna hasta el final. 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 ∗ ∆𝒕𝒕 ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒑𝒄𝒄𝑻𝑻𝒔𝒔𝑻𝑻/𝒎𝒎𝑻𝑻𝑻𝑻 ∗ 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝑻𝑻 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝑻𝑻𝑻𝑻 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝑻𝑻 𝒑𝒑𝒄𝒄𝑻𝑻𝒔𝒔 𝑳𝑳 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝒎𝒎 𝑻𝑻 ∗ 𝟎𝟎,𝟔𝟔 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒎𝒎 115. Asomado sobre los abismos del infierno, el demonio observa cómo se precipita (con velocidad límite) y le sobrepasa un alumno de ingeniería; la frecuencia del grito que da disminuye desde 842 a 820 Hz. a) Calcular la velocidad con que cae el alumno. b) El grito del alumno se refleja en el fondo del pozo infernal. Determinar la frecuencia del eco escuchado por el alumno. c) Determinar la frecuencia del eco escuchado por el demonio. a) Al acercarse: 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝟏𝟏−𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 Al alejarse: 𝒇𝒇" = 𝟏𝟏 𝟏𝟏+𝒄𝒄𝑻𝑻𝒗𝒗 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 Despejando us: 𝒄𝒄𝑻𝑻 = (𝒇𝒇′−𝒇𝒇")∗𝒗𝒗 𝒇𝒇′+𝒇𝒇" = (𝟖𝟖𝟏𝟏𝟐𝟐−𝟖𝟖𝟐𝟐𝟎𝟎)∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟐𝟐+𝟖𝟖𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝑻𝑻 b) La onda reflejada en el fondo té una frecuencia de 842 Hz. El alumno cae hacia el fondo comuna velocidad de 4,5 m/s. 𝒇𝒇′ = �𝟏𝟏+ 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒗𝒗 � ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = �𝟏𝟏+ 𝟏𝟏,𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 � ∗ 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟖𝟖𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑯𝑯𝒍𝒍 c) El sonido reflejado tiene una frecuencia de 842 Hz, y esta es la que escuchará el ser demoniaco. 116. Un murciélago que vuela hacia un obstáculo a 12 m/s emite pulsos sonoros breves y de alta frecuencia con una frecuencia de repetición de 80 Hz. ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre los pulsos de eco oídos por el murciélago? 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗+𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒗𝒗−𝒄𝒄𝑻𝑻 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 El tiempo entre pulsos: ∆𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇′ = 𝒗𝒗−𝒄𝒄𝑻𝑻 (𝒗𝒗+𝒄𝒄𝒄𝒄)∗𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐 (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎+𝟏𝟏𝟐𝟐)∗𝟖𝟖𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 𝑻𝑻 117. Un diapasón unido a un alambre tenso genera ondas transversas. La vibración del diapasón es perjudicial al alambre. Su frecuencia es de 400 Hz y su amplitud de oscilación es de 0,50 mm. El alambre tiene una densidad de masa lineal de 0,01 kg/m y está sometido a una tensión de 1 kN. Se supone que no hay ondas reflejadas. a) Hallar el periodo y frecuencia de las ondas en el alambre. b) ¿Cuál es la velocidad de las ondas? c) ¿Cuál es la longitud de onda y el número de ondas? d) Escribir una función de onda adecuada para las ondas sobre el alambre. e) Calcular la velocidad y aceleración máximas de un punto del alambre. f) ¿A qué potencia media debe suministrarse energía al diapasón para mantenerlo oscilando con amplitud constante? a) La frecuencia de las ondas en el alambre será la misma que la del diapasón: 400 Hz. 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑻𝑻 b) 𝒗𝒗 = �𝒅𝒅 𝝁𝝁 = �𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒎𝒎/𝑻𝑻 c) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟕𝟕𝟗𝟗 𝒎𝒎 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟕𝟕𝟗𝟗 = 𝟕𝟕,𝟗𝟗𝟐𝟐 𝒎𝒎−𝟏𝟏 d) 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑻𝑻−𝟏𝟏 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟕𝟕,𝟗𝟗𝟐𝟐 ∗ 𝒕𝒕) 𝒅𝒅 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒌𝒌 = 𝝁𝝁 ∗ 𝒚𝒚 ∗ 𝒌𝒌 𝒗𝒗 = � 𝝁𝝁∗𝒚𝒚∗𝒌𝒌 𝝁𝝁 = �𝒚𝒚 ∗ 𝒌𝒌 b) La velocidad del pulso no es constante: 𝒗𝒗 = 𝒄𝒄𝒚𝒚 𝒄𝒄𝒕𝒕 = �𝒚𝒚 ∗ 𝒌𝒌 ;𝒄𝒄𝒕𝒕 = 𝒄𝒄𝒚𝒚 �𝒚𝒚∗𝒌𝒌 = 𝟏𝟏 �𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒚𝒚 �𝒚𝒚 ∫ 𝒄𝒄𝒕𝒕𝒕𝒕 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 �𝒌𝒌 ∗ ∫ 𝒄𝒄𝒚𝒚 �𝒚𝒚 ; 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏 �𝒌𝒌 ∗ �𝟐𝟐 ∗ �𝒚𝒚�𝟎𝟎 𝟏𝟏𝒚𝒚 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 √𝟗𝟗,𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ √𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑻𝑻 𝑬𝑬𝒍𝒍 𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻𝒎𝒎𝒑𝒑𝒔𝒔 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑻𝑻𝒄𝒄 𝑻𝑻 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒍𝒍𝒗𝒗𝑻𝑻𝒄𝒄 𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑻𝑻𝒍𝒍 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒃𝒃𝒍𝒍𝑻𝑻:𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑻𝑻 122. La densidad de masa lineal de un alambre no uniforme a tensión constante disminuye gradualmente a lo largo del alambre de modo que se transmite sin reflexión una onda incidente. El alambre es uniforme para -∞≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝟎𝟎. En esta región tiene la forma 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝟐𝟐𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒕𝒕) en donde x e y están en metros y t en segundos. Desde x=0 hasta x= 20 cm, la masa lineal disminuye gradualmente de µ1 a µ1/4, siendo constante e igual a este último valor para 𝟐𝟐𝟎𝟎 ≤ 𝒙𝒙 ≤ ∞. a) ¿Cuál es la velocidad de la onda para valores grandes de x? b) ¿Cuál es la amplitud de la onda para valores grandes de x? c) Dar y(x,t) para 𝟐𝟐𝟎𝟎 ≤ 𝒙𝒙 ≤ ∞. a) 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝑻𝑻 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝒅𝒅 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ � 𝒅𝒅 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝑻𝑻 b) Por conservación de energía: 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∗ ∆𝒍𝒍 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏,𝒎𝒎𝒄𝒄𝒙𝒙 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁𝟏𝟏 𝟏𝟏 ∗ ∆𝒍𝒍 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐,𝒎𝒎𝒄𝒄𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ; 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟔 𝒎𝒎 c) 𝝎𝝎𝟏𝟏 = 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑻𝑻−𝟏𝟏 𝒌𝒌𝟐𝟐 = 𝝎𝝎 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐,𝟐𝟐 𝒎𝒎−𝟏𝟏 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝟏𝟏𝟐𝟐,𝟐𝟐𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒕𝒕) 123. En este problema hay que deducir una expresión para la energía potencial de un segmento de una cuerda por el que se propaga un tren de ondas (figura). La energía potencial de un segmento es igual al trabajo realizado por la tensión al estirar la cuerda, de valor ∆𝑼𝑼 = 𝒅𝒅(∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙), en donde F es la tensión, ∆𝒍𝒍la longitud del segmento estirado e ∆𝒙𝒙 su longitud original. En la figura puede verse que ∆𝒍𝒍 = �(∆𝒙𝒙)𝟐𝟐 + (∆𝒚𝒚)𝟐𝟐 = ∆𝒙𝒙 �𝟏𝟏+ �∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 a) Utilizar el desarrollo del binomio para demostrar que ∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 �∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙 y por tanto ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅�∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙. b) Calcular 𝒄𝒄𝒚𝒚 𝒄𝒄𝒙𝒙 a partir de la función de onda expresada por la ecuación 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌𝒙𝒙 −𝝎𝝎𝒕𝒕) y demostrar que ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐 (𝒌𝒌𝒙𝒙 − 𝝎𝝎𝒕𝒕)∆𝒙𝒙. c) Utilizar 𝒅𝒅 = 𝝁𝝁 𝒗𝒗𝟐𝟐 y 𝒗𝒗 = 𝝎𝝎 𝒌𝒌 para demostrar que el resultado obtenido en (b) es el mismo que el de la ecuación ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝝁𝝁 𝝎𝝎𝟐𝟐𝑨𝑨𝟐𝟐∆𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐(𝒌𝒌𝒙𝒙 −𝝎𝝎𝒕𝒕). a) ∆𝑼𝑼 = 𝒅𝒅 ∗ (∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙) Para ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 ≪ 𝟏𝟏: ∆𝒍𝒍 = ∆𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 � ∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙 = ∆𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 � − ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 Por tanto: ∆𝑼𝑼 = 𝒅𝒅 ∗ (∆𝒍𝒍 − ∆𝒙𝒙) = 𝒅𝒅 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 ∗ �∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒄𝒄𝒚𝒚 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ≈ ∆𝒚𝒚 ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 ∗ (𝑨𝑨 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝐜𝐜𝐕𝐕 𝐬𝐬(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕))𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙 c) ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎 𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙 ∆𝑼𝑼 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝑻𝑻𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∆𝒙𝒙