Muestreo de aceptación, Apuntes de Control de Procesos

¡Descarga Muestreo de aceptación y más Apuntes en PDF de Control de Procesos solo en Docsity! MUESTREOS DE ACEPTACIÓN 1. APUNTES DE CLASE Profesor: Arturo Ruiz-Falcó Rojas Madrid, Febrero 2006 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Muestreos de aceptación Pág. 2 Muestreos de aceptación (Apuntes) INDICE DE CONTENIDOS 1. PLANTEAMIENTO ESTADÍSTICO DEL PROBLEMA............................................3 2. APLICACIONES DEL MUESTREO DE ACEPTACIÓN..........................................4 3. TIPOS DE MUESTREOS DE ACEPTACIÓN ..........................................................5 4. MUESTREOS POR ATRIBUTOS............................................................................6 4.1. GENERALIDADES ................................................................................................6 4.2. CURVA DE OPERACIÓN (CO) ...............................................................................6 4.3. NIVEL DE CALIDAD ACEPTABLE (NCA) Y CALIDAD LÍMITE (CL) ...............................8 4.4. PROCEDIMIENTO APROXIMADO PARA DETERMINAR UN PLAN DE MUESTREO QUE SATISFAGA UN NCA Y UNA CL FIJADA..............................................................................10 4.5. CURVA DE CALIDAD DE SALIDA MEDIA ................................................................11 4.6. MUESTREOS LOTE A LOTE: MIL-STD-105E........................................................12 4.7. OTROS PLANES DE MUESTREO POR ATRIBUTOS DE USO CORRIENTE. ......................14 5. MUESTREOS POR VARIABLES..........................................................................15 5.1. GENERALIDADES ..............................................................................................15 5.2. PLANTEAMIENTO ESTADÍSTICO ...........................................................................16 5.3. MUESTREOS LOTE A LOTE SEGÚN MIL-STD-414.................................................21 6. MUESTREOS SECUENCIALES (CONTINUOS) ..................................................24 ANEXO I. PRINCIPALES FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EMPLEADAS EN MUESTREOS DE ACEPTACIÓN......................................................33 ANEXO II. PRINCIPALES TABLAS DE LAS NORMAS ..........................................41 Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 5 De acuerdo con este criterio, el muestreo no tiene sentido. No obstante hay que tener en cuenta lo siguiente: ♦ La inspección por medios destructivos no puede ser 100% por razones obvias. ♦ En el caso de lotes muy grandes la inspección 100% deja de ser 100% fiable debido a factores como la fatiga, etc. Además en lotes grandes la relación entre el tamaño de la muestra requerida y el tamaño del lote decrece, por lo que el empleo de métodos de muestreo puede estar justificado. 3. TIPOS DE MUESTREOS DE ACEPTACIÓN Los planes de muestreo se pueden clasificar de diversas formas: ♦ De acuerdo con la naturaleza de la población base. Pueden ser:
Lote aislado.
Lote a lote (producción uniforme de lotes).
Fabricaciones continuas (por ejemplo industria química, plantas embotelladoras, etc.). ♦ De acuerdo con la naturaleza de la característica inspeccionada. Pueden ser:
Por atributos. La característica es de tipo cualitativo (pasa /no- pasa). Una variante es la que considera “el número de defectos”, de modo que un pieza puede estar penalizada por varios defectos.
Por variables. La característica es de tipo cuantitativo (por ejemplo longitud, peso, etc.). ♦ De acuerdo con el número de muestras a tomar. Pueden ser:
Simples. Se toma una muestra con la que hay que decidir la aceptación o el rechazo.
Dobles. Se toman hasta dos muestras con las que hay que decidir la aceptación o el rechazo. Es posible aceptar o rechazar solo con la primera muestra si el resultado es muy bueno o muy malo. Si es un resultado intermedio, se extrae una segunda muestra. En principio el tamaño de las dos muestras puede ser diferente.
Múltiple. Conceptualmente es igual al muestreo doble pero en este caso se extrae hasta n muestras diferentes.
Secuencial. En este caso se van extrayendo los elementos uno a uno y según los resultados que se van acumulando de elementos aceptados y rechazados, llega un momento en el que se tiene información suficiente para aceptar o rechazar el lote. Muestreos de aceptación Pág. 6 Muestreos de aceptación (Apuntes) 4. MUESTREOS POR ATRIBUTOS. 4.1. GENERALIDADES El muestreo por atributos se puede aplicar a lotes aislados o series homogéneas de lotes. En el primer caso la población es finita y se rige por la distribución hipergeométrica (muestreo de tipo A), aunque para lotes grandes se puede aproximar por la binomial. En el segundo caso se supone la población compuesta de infinitos elementos y por tanto se rige por la distribución binomial (muestreo de tipo B). En el caso que el muestreo sea por número de defectos, la función a aplicar es la de Poisson, independientemente que se trate de un lote aislado o una serie de lotes. 4.2. CURVA DE OPERACIÓN (CO) Un plan de muestreo se caracteriza por su CURVA DE OPERACION (ver Fig. 2). En el eje de abscisas OX se representa la fracción defectuosa p del lote a inspeccionar (o el número de defectos medio µ en el caso de contabilizar defectos). En el eje de ordenadas OY se representan las probabilidades de aceptación de los lotes de esas características. Evidentemente P(0) = 1 y P(1) = 0. CURVA DE OPERACIÓN n=50 Ac=2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 % UNID. DEFECTUOSAS PR OB . AC EP TA CI ÓN p P(p) Fig. 2 Curva de operación de un plan de muestreo. Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 7 INTERPRETACIÓN DE LA CURVA DE OPERACIÓN: p p p p P(p) % 1- P(p) % Si se aplica el plan de muestreo y los lotes tienen p % de unidades defectuosas, en promedio se aceptan P(p) % de los lotes Fig. 3 Interpretación del significado de la Curva de Operación En el caso de planes de muestreos simples, la ecuación de la CO se calcula simplemente a partir de la función de distribución aplicable. Por ejemplo, supongamos que se quiere calcular la CO de un plan de muestreo en el que se toman muestras de 50 unidades y se rechaza si hay más de un elemento no conforme en la muestra. Se supone un muestreo lote a lote. En este caso resulta aplicable la distribución binomial, ( )∑ = −−     = x i ini pp i n XP 0 )1()( Luego la ecuación de la curva de operación sería en este caso ( )∑ = −−     = 1 0 50)1( 50 )( i ii pp i pP En el caso de muestreos dobles o múltiples, el cálculo anterior se complica ligeramente dependiendo de lo complejo que sean los criterios de aceptación, pero el fundamento es, naturalmente el mismo. Muestreos de aceptación Pág. 10 Muestreos de aceptación (Apuntes) ¿Qué distribución de probabilidad de ha aplicado y porqué? ¿Qué ocurre si Ac = 1? 4.4. PROCEDIMIENTO APROXIMADO PARA DETERMINAR UN PLAN DE MUESTREO QUE SATISFAGA UN NCA Y UNA CL FIJADA Supongamos que se quiere determinar un plan de muestreo que satisfaga NCA = 0.01 y CL=0.06. Es decir, P(aceptar un lote p=0.01)=0.95 y P(aceptar un lote p=0.06)=0.10. Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande y p pequeño (tal que pn >1 y p <0.10) se puede aproximar la distribución binomial por una distribución de Poisson: ∑ = − == Ac i NCAn i e i NCAn NCAnP 0 * 95.0 ! )*( )*( ∑ = − == Ac i CLn i e i CLn CLnP 0 * 10.0 ! )*( )*( De manera general, la resolución de este sistema de ecuaciones en el que una de las incógnitas está en el índice sumatorio, es complicada. Para cada valor del número de aceptación Ac, existe una solución única de (n*NCA) y (n*CL). En la tabla siguiente se recogen las soluciones para algunos valores de Ac: Ac P(n*NCA) = 0.95 P(n*CL) = 0.10 CL / NCA 0 n*NCA =0.051 n*CL =2.303 44.89 1 n*NCA=0.352 n*CL =3.881 11.02 2 n*NCA=0.817 n*CL =5.314 6.50 3 n*NCA=1.360 n*CL =6.678 4.91 Tabla 1 La relación entre CL y NCA da una idea de la pendiente que ha de tener la curva de operación. En este caso CL / NCA 0.06/ 0.01 = 6 y por lo tanto la familia de curvas que más se aproxima es la que corresponde a Ac = 2. Una vez fijado Ac, resultan dos ecuaciones con una incógnita. En este caso: 827.81817.001.0 ≈=⇒= nn 896.88314.506.0 ≈=⇒= nn Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 11 El plan de muestreo n=82 y Ac = 3 tiene un NCA de 0.01 y una CL próxima a 0,06, mientras que el plan de muestreo n=89 y Ac = 3 tiene una CL = 0.06 y un NCA próximo a 0.01. A partir de ahí se puede optar por tomar la solución más conservadora (tamaño de muestra mayor n= 89) o una solución de compromiso (tamaño de muestra medio n =85. 4.5. CURVA DE CALIDAD DE SALIDA MEDIA Si se aplica un plan de muestreo a una serie de lotes, de modo que aquellos que se rechazan se inspeccionan al 100%, la CALIDAD MEDIA de SALIDA (CSM) es: ppPapPappPaCSM )(0))(1()( =−+= La CSM en inglés se denomina Average Outgoing Quality (AOQ) y el valor depende de p. El máximo es el LIMITE DE LA CALIDAD DE SALIDA MEDIA (LCSM), en inglés Average Outgoing Quality Limit (AOQL). En la Fig. 5 se ha representado esta curva. CURVA DE CALIDAD DE SALIDA MEDIA n=50 Ac=2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 CALIDAD MEDIA DE LO S LO TES ENTRANTES % C A L ID A D M E D IA D E L O S L O T E S SA L IE N T E S % LÍMITE DE LA CALIDAD DE SALIDA MEDIA Fig. 5 Curva de Calidad de Salida Media Muestreos de aceptación Pág. 12 Muestreos de aceptación (Apuntes) INTERPRETACIÓN DE LA CURVA DE CALIDAD DE SALIDA MEDIA: p p p p P(p) % 1- P(p) % p 0 CSM=P(p)p Inspección 100% La calidad promedio de los lotes después de la inspección es: Fig. 6 Interpretación de la Curva de Calidad de Salida Media Otro parámetro importante a la hora de decidir cuál es el plan de muestreo más apropiado es el TAMAÑO DE MUESTRA MEDIO, en inglés Average Sample Number (ASN). Evidentemente en planes simples, el ASN coincide con la muestra del lote, pero para planes dobles o múltiples este valor varía con la calidad de los lotes inspeccionados. Si ésta es muy buena o muy mala, los lotes se aceptarán / rechazarán generalmente sin necesidad de coger una segunda muestra y el ASN será pequeño. Si los lotes tienen una calidad intermedia, entonces frecuentemente se cogerá una segunda muestra y el ASN será grande. 4.6. MUESTREOS LOTE A LOTE: MIL-STD-105E. Este plan de muestreo es posiblemente el que ha tenido mayor difusión. Ha sido adoptado con pequeñas variaciones por casi todos los cuerpos de normas importantes (ANSI, ISO, BS, JIS, UNE, etc.). La revisión anterior (MIL-STD- 105D) estuvo en vigor más de 25 años y la primera revisión data de 1950. La revisión actual no incluye ningún cambio en los fundamentos estadísticos, pero si actualiza su aplicación contractual. Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 15 Sistema Philips. Se basa en curvas CO que pasan por el punto de indiferencia (fracción defectuosa que tiene igual probabilidad de ser aceptada que rechazada). Este punto se acuerda entre proveedor y cliente. Los planes dan el tamaño de la muestra según el tamaño del lote y el número máximo de unidades defectuosas admitido. Los planes son simples para lotes inferiores a 1000 unidades y dobles para lotes mayores. La segunda muestra es de doble tamaño que la primera. Tablas de Dodge-Romig. Las tablas Dodge-Romig contienen dos juegos distintos. El primero de ellos utiliza la CL y por lo tanto es apropiado para lotes aislados. El segundo de ellos utiliza el LIMITE DE LA CALIDAD MEDIA DE SALIDA y proporciona el plan cuya inspección media total es mínima. Para la aplicación de estas tablas se precisa conocer aproximadamente la fracción defectuosa con la que se fabricaron las piezas. 5. MUESTREOS POR VARIABLES 5.1. GENERALIDADES La teoría expuesta en el apartado anterior sobre curvas de operación es trasladable fácilmente al caso de que la característica de calidad tenga un carácter cuantitativo (muestreos por variables) y se contraste si la producción supera un determinado nivel de fracción defectuosa, es decir, verificar si el porcentaje de piezas no conformes supera un porcentaje prefijado. El muestreo por variables presenta algunas particularidades como por ejemplo que el problema de encontrar el plan de muestreo que pase por el NCA y CL tiene siempre solución. En general el muestreo por variables tiene la ventaja de precisar tamaños de muestra menores que su equivalente por atributos. Las contrapartidas son: 1. En general es más costoso medir un componente que realizar una inspección por atributos. 2. Lleva consigo la servidumbre de recogida de datos y cálculos. 3. En caso de que un elemento esté definido por varias características variables, es necesario realizar varios planes de muestreo simultáneamente para cada una de las características, mientras que en el caso de atributos es posible globalizarlo en uno. Muestreos de aceptación Pág. 16 Muestreos de aceptación (Apuntes) Indudablemente estos inconvenientes pasan a tener una importancia menor con sistemas de inspección automáticos. 5.2. PLANTEAMIENTO ESTADÍSTICO El muestreo por variables requiere que las características a inspeccionar estén distribuidas según una ley normal y se trata de estimar la media poblacional a través de la media muestral. Pueden presentarse los casos siguientes:  σ conocida y un solo límite de tolerancia.  σ conocida y dos límites de tolerancia (tolerancias bilaterales).  σ desconocida y un solo límite de tolerancia.  σ desconocida y dos límites de tolerancia (tolerancias bilaterales). El hecho de que se conozca o no la σ determina la distribución estadística a emplear en la estimación de la media (ver Tabla 2). Por otra parte, si las piezas tienen tolerancias bilaterales implica que deben considerarse las dos colas de la distribución, mientras que si hay un solo límite debe considerarse una sola cola. PARÁMETRO ESTADÍSTICO DISTRIBUCIÓN µ (σ conocido) ( ) n x /σ µ− N(0,1) µ (σ desconocido) ( ) ns x / µ− , donde ( ) 1 1 2 − − = ∑ = n xx s n i i tn-1 Tabla 2 Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 17 SIGMA CONOCIDA Y UN SOLO LÍMITE DE TOLERANCIA De manera análoga al muestreo por atributos, se define el NCA como aquella fracción defectuosa con la que un lote tiene el 95% de probabilidades de ser aceptado por el plan de muestreo. En el caso de que exista un solo límite de tolerancia, la distancia de la media del lote y la tolerancia deberá ser tal que (ver Fig. 8): σµ σ µ TTT zT T zAQLzzP −=−==≥ ; ;)( Si la media del lote es µ (y por tanto la fracción defectuosa es igual al NCA), el concepto de NCA requiere fijar un nivel crítico k, tal que: 65.1)95.0(z ;95.0) / ( 11 ===≥ − −− zz n x P αασ µ Lo que equivale a que la media muestral será inferior a (ver Fig. 8): σσσσσµ kT n z zT n zzT n zx TT −=      −−=+−=+≤ )95,0()95,0()95,0( Si la media muestral es superior a ese valor, entonces se puede rechazar el lote con un nivel de significación α =100 – 95 = 5%. Muestreos de aceptación Pág. 20 Muestreos de aceptación (Apuntes) En este caso el cálculo de n y k que satisfagan un NCA y una CL prefijados son: NCA = p1+ p2 2 1 )10.0()95.0(       − −= CLP zz zz n )10.0()95.0( )95.0()10.0(1 zz zzzz k CLP − +−= SIGMA DESCONOCIDA En este caso, la t de Student nos permite realizar un contraste de la media pero no nos permite fijar una fracción defectuosa del lote. Una vez obtenida una muestra de tamaño n, con una media y una desviación típica muestral, el problema es determinar k tal que si k s xT ≤− se rechace el lote con un nivel de significación prefijado. ksx − es una variable aleatoria cuya media es µ - kσ y su varianza es: )()()()( 2 2 2 sVark n sVarkxVarksxVar +=+=− σ Por otra parte: )1( 2 )1(2 )1( )( )1( )Var( ; )1( ;)1( 4 2 4 2 12 4 22 1 2 22 12 2 − =− − = − = − ∝∝− −−− n n n Var n s n s s n nnn σσχσχσχ σ teniendo en cuenta que: x xx y dx dy σσ = = Entonces: )1(2 ; )1(21 2 2 1 24 − = − = − = n Var(s) nn s σσσ σ σ Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 21       +≈ − +=− 2 1 )1(2 )( 22 2 22 k n k nn ksxVar σσσ Con lo que se deduce que el hecho de desconocer la varianza del lote, penaliza el tamaño de la muestra requerido en un factor       + 2 1 2k . De manera que, si se fija un NCA y una CL, el plan de muestreo requerido es (caso de un límite de tolerancia): )10.0()95.0( )95.0()10.0( zz zzzz k CLAQL − +− = 2 2 )10.0()95.0( 2 1         − −       += CLAQL zz zzk n En el caso de dos límites de tolerancia sería necesario realizar las mismas correcciones que en el caso de que la que la σ sea conocida. 5.3. MUESTREOS LOTE A LOTE SEGÚN MIL-STD- 414 La MIL-STD-414 está estructurada de una forma parecida a la MIL-STD-105E. Utiliza el concepto de NCA, cuenta con cinco niveles de inspección (I - V) y niveles de inspección normal, reducida y rigurosa. Si no se indica otra cosa el nivel a aplicar es el IV. Consta a su vez de cuatro secciones A, B, C y D. Sección A Descripción General. Sección B Varianza desconocida. Método de la desviación típica muestral. Parte I Un solo límite especificado. Parte II Dos límites especificados (Mismo NCA / Distinto NCA). Parte III Estimación de la media del proceso y criterios de cambio Rigurosa - Normal - Reducida. Sección C Varianza desconocida. Método del rango muestral. Parte I Un solo límite especificado. Parte II Dos límites especificados (Mismo NCA / Distinto NCA). Parte III Estimación de la media del proceso y criterios de cambio Rigurosa - Normal - Reducida. Sección D Varianza conocida. Parte I Un solo límite especificado. Muestreos de aceptación Pág. 22 Muestreos de aceptación (Apuntes) Parte II Dos límites especificados. (Mismo NCA / Distinto NCA). Parte III Estimación de la media del proceso y criterios de cambio Rigurosa - Normal - Reducida. La mecánica es la siguiente: 1. Fijación del NCA y nivel de inspección (por ejemplo NCA=0.65 Nivel IV). Dato: tamaño del lote (por ejemplo 300). Supongamos el caso de σ desconocida, que la especificación marca un solo límite (por ejemplo el superior U) y que se quiere utilizar el método de la desviación típica muestral. 2. Comprobar en la Tabla A-1 el NCA equivalente que hay que utilizar. Búsqueda de la letra - código en la Tabla A-2. En este caso resulta ser la H. Si se trata de un lote aislado sería necesario comprobar que la CL es aceptable. Ello se puede comprobar en este caso utilizando la Tabla A-3. 3. A continuación depende si se desea utilizar la forma 1 o la forma 2. La forma 1 se basa en comparar el valor obtenido de z con el valor k que deja una cola de la normal igual a la fracción defectiva admisible M. Es decir: s mU z −= ( ) MkxP => La forma 2 se basa en comparar la fracción defectiva del lote Pu con la fracción defectiva admisible M. Pu se calcula: uPzxP => )( Si se sigue la forma 1 se va a la Tabla B-1 y se halla el tamaño de la muestra (n=20 en este caso) y k=1,96. Si se sigue la forma 2 se va a la Tabla B-3 y se halla el tamaño de la muestra (que naturalmente coincide con la calculada de la otra forma) y M=2,05. 4. Se calcula el valor de m (media muestral) y de s, desviación típica muestral: 1 )( 1 2 − − = ∑ = n xx s n i i 5. Se calcula el valor de: s mU z −= Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 25 La norma más conocida de muestreos secuenciales es la MIL-STD-1235, que ha adoptado una estructura que recuerda a la MIL-STD-105. Está compuesta por los siguientes planes: Plan de Muestreo Características Parámetros entrada Datos salida Observaciones CSP-1 Alternan secuencias de inspección 100% con muestras periódicas aleatorias, de manera indefinida. Requiere restaurar la inspección 100% cuando se detecta una no conformidad. Letra Código AQL I, F Cambios bruscos en la demanda de necesidad de inspectores. CSP-F Variación de CSP-1 aplicable a lanzamientos de pocas piezas. Consiste en dividir el número de unidades a fabricar en grupos más pequeños, por lo tanto permite prescindir de la inspección 100% tras inspeccionar un número más reducido de unidades. Letra Código AQL N I, F Num. Unidades 100% más reducido que si se considerara un solo grupo. CSP-2 Modificación del CSP-1 Requiere restaurar la inspección 100% cuando se detectan dos no conformidades separadas menos de cierto número de muestras. Letra Código AQL I, F, S Reduce el riesgo de volver a inspección 100% CSP-T Requiere restaurar la inspección 100% cuando se detecta una no conformidad y permite reducir la frecuencia de muestreo si los resultados son buenos. Letra Código AQL I, F, S Recomendable si la fracción defectuosa es muy baja CSP-V Permite reducir el número de unidades a inspeccionar al 100% para reinstaurar la inspección por muestreo. Letra Código AQL I, X, F, S Recomendable si la fracción defectuosa es muy baja. F Fracción inspeccionada aleatoriamente I Número de unidades a inspeccionar al 100% para pasar a inspeccionar por muestreo (Clearance number) X Número total de unidades a inspeccionar al 100% poder restaurar la inspección por muestreo (en muestreos CSP-V) S Número máximo de unidades que se pueden inspeccionar sin salir de inspección 100% Tabla 3: Características de los planes de muestreo De manera similar a MIL-STD-105, los planes de muestreo se caracterizan por un AQL. Sin embargo, en este caso el AQL sirve únicamente para clasificar los distintos planes y no tienen ningún significado especial. La Tabla 4 indica las letras código que se permiten según el del número de unidades a producir. Para especificar un plan de muestreo es necesario indicar la letra código (con Muestreos de aceptación Pág. 26 Muestreos de aceptación (Apuntes) las restricciones impuestas por la Tabla 4) y el tipo de plan de muestreo CSP-1, CSP-F, CSP-2, CSP-T o CSP-V. Número de unidades en el intervalo de producción Letras Códigos permitidas 2 – 8 A, B 9 – 25 A hasta C 26 – 90 A hasta D 91 – 500 A hasta E 501 – 1.200 A hasta F 1201 – 3.200 A hasta G 3201 – 10.000 A hasta H 10.001 – 35.000 A hasta I 35.001 – 150.000 A hasta J 150.001 en adelante A hasta K Tabla 4 Letras códigos permitidas en función del número de unidades a producir Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 27 COMIENZO INSPECCIÓN 100% ¿i unidades conformes? No INSPECCIÓN DE UNA FRACCIÓN f Sí ¿CONFORME? No Sí Fig. 11 Plan CSP-1 Muestreos de aceptación Pág. 30 Muestreos de aceptación (Apuntes) COMIENZO INSPECCIÓN 100% ¿i unidades conformes? INSPECCIÓN DE UNA FRACCIÓN f Sí ¿CONFORME? No ¿i UNIDADES SIN DEFECTOS? Sí No INSPECCIÓN DE UNA FRACCIÓN f/2 ¿CONFORME? Sí No ¿i UNIDADES SIN DEFECTOS? Sí INSPECCIÓN DE UNA FRACCIÓN f/4 Sí ¿CONFORME? No ¿ NÚMERO DE UNIDADES INSPECCIONA DAS > S? STOP SíNo No Fig. 14 Plan CSP-T Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 31 COMIENZO INSPECCIÓN 100% ¿i unidades conformes? No INSPECCIÓN DE UNA FRACCIÓN f Sí ¿CONFORME? INSPECCIÓN 100% ¿CONFORME? No ¿ x<i UNIDADES SIN DEFECTOS? Sí No Sí Sí ¿ NÚMERO DE UNIDADES INSPECCIONA DAS > S? No No STOP Sí Fig. 15 Plan CSP-V Muestreos de aceptación Pág. 32 Muestreos de aceptación (Apuntes) RESUMEN a) El muestreo de aceptación sirve para reducir el esfuerzo de inspección y comporta unos riesgos. b) La muestra debe ser representativa, lo que requiere que se extraiga aleatoriamente. c) Aunque se basan en distribuciones de probabilidades, existen normas para facilitar su aplicación y reconocimiento. Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 35 DISTRIBUCIÓN DE POISSON Supongamos un proceso en el que se producen sucesos puntuales sobre un soporte continuo, por ejemplo entradas de llamadas en una central telefónica a lo largo del tiempo, defectos producidos en una línea de montaje, etc. S1 S7S2 S3 S4 S5 S6 . Fig. 17 Proceso de Poisson Este proceso se llama proceso de Poisson si además verifica las condiciones siguientes: 1. El número medio de sucesos (es decir llamadas recibidas / minuto, defectos / producto, etc.) es estable a lo largo del tiempo. Lo representaremos por µ. 2. Los sucesos son independientes unos de otros. Es decir que el proceso “no tiene memoria”. La función de probabilidad es: ( ) ( )µµ −= exp !x xf x La esperanza matemática y la varianza de la distribución de Poisson es: [ ] [ ] µ== xVarxE Obsérvese que el proceso de Poisson puede ser asimilado a una variable aleatoria binomial en la que se estén sacando muestras continuamente y donde µ=np. En efecto, puede comprobarse que si se calcula el límite de la función binomial cuando n tiende a infinito se obtiene precisamente la distribución de Poisson. Muestreos de aceptación Pág. 36 Muestreos de aceptación (Apuntes) 0 1 2 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 x P ro ba bi lid ad FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON Media= 0.05 Fig. 18: Funcíon de probabilidad de Poisson DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS Sin ninguna duda es la distribución más importante en estadística. Su función de densidad es: ( ) ( )        −−= 2 2 2 exp 2 1 σ µ σπ x xf ∞>>∞− x y la función de distribución: ( ) ( ) dxxxF x∫ ∞−        −−= 2 2 2 exp 2 1 σ µ σπ Su [ ]xE y [ ]xVar son µ y σ2 respectivamente. Es simétrica entorno a µ (es decir, el coeficiente de asimetría es CA=0). Tiene las propiedades de que µ ± 3σ contiene el 99.73% de la población, y que en el intervalo µ ± 2σ está incluida el 95.46%. Es decir que menos de un 4 por mil de los casos de una población distribuida normalmente caerá fuera del intervalo µ ± 3σ. Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 37 Capacidad del proceso X 0.1 0.2 0.3 0.4 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 68 % 95 % 99,73 % Fig. 19: Distribución normal Para facilitar los cálculos, está tabulada la normal tipificada a µ = 0 y σ = 1 o abreviadamente N(0,1). El cambio de variable necesario para tipificar la normal es: σ µ−= xz DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO. Sean (x1, x2, x3,.. ,xn) n variables aleatorias normales N(0,1), es decir con µ = 0 y σ = 1, e independientes entre sí. Construyamos la variable aleatoria: 22 2 2 1 2 nn xxx +++= Kχ Esta variable aleatoria se distribuye de acuerdo con la siguiente función de densidad, que se denomina Chi-Cuadrado con n grados de libertad: ( ) ( ) ( )2/exp2/2 xxKxf nn −= − Muestreos de aceptación Pág. 40 Muestreos de aceptación (Apuntes) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x P (x ) NORMAL vs t de Student N(0,1) t 15 g. de l. t 10 g. de l. t 5 g. de l. t 2 g. de l. Fig. 22 Distribución t de Student(función de densidad) Muestreos de aceptación Introducción a la calidad (Apuntes) Pág. 41 ANEXO II. PRINCIPALES TABLAS DE LAS NORMAS ♦ MIL-STD-105E ♦ DODGE ROMIG ♦ MIL-STD-414 ♦ MIL-STD-1235