Nucleo de fusion de aceptacion, Resúmenes de Derecho

¡Descarga Nucleo de fusion de aceptacion y más Resúmenes en PDF de Derecho solo en Docsity! UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES I UNIDAD 1. ESPACIOS VECTORIALES ACTIVIDAD 1. ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES ALUMNO: DIEGO FAJARDO MONDRAGÓN MATRICULA: ES1921008822 DOCENTE: MARIA DE LA LUZ PEREZ LIMON GRUPO: MT-MCVV1-2201-B1-002 LUGAR Y FECHA DE ENTREGA: CIUDAD DE MÉXICO 28/02/22 ¿Qué es un espacio vectorial? Sea V un conjunto no vacío de vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma vectorial y multiplicación por escalares, el conjunto V y las dos operaciones están sujetas a los diez axiomas que se enlistan a continuación. Los siguientes axiomas deben ser válidos ∀ [(𝑢, 𝑣 , 𝑤 ∈ 𝑉) ∧ (𝑐, 𝑑 ∈ ℝ)]: 1) (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝑉 Cerradura bajo la adición 2) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 Propiedad conmutativa de la adición 3) (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) Propiedad asociativa de la adición 4) 𝑢 + 0 = 𝑢 Propiedad del idéntico aditivo 5) 𝑢 + (−𝑢) = 0 Propiedad del inverso aditivo 6) 𝑐𝑢 ∈ 𝑉 Cerradura bajo la multiplicación escalar 7) 𝑐(𝑢 + 𝑣) = 𝑐𝑢 + 𝑐𝑣 Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial 8) (𝑐 + 𝑑)𝑢 = 𝑐𝑢 + 𝑑𝑢 Propiedad distributiva respecto a la suma escalar 9) 𝑐(𝑑𝑢) = (𝑐𝑑)𝑢 Propiedad asociativa de la multiplicación 10) 1(𝑢) = 𝑢 Propiedad del idéntico multiplicativo ¿Qué es un subespacio vectorial? Un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V, se denomina subespacio de V si W es un espacio vectorial sujeto a los diez axiomas de suma de vectores y multiplicación por escalares. Teniendo las siguientes relaciones el subconjunto W con su conjunto V: a) El elemento idéntico de V también se encuentra en W. b) Para todo elemento u, v perteneciente a W, la suma de los elementos u, v debe pertenecer tanto a él subconjunto W como al conjunto V. c) Sea un escalar c, y un elemento u perteneciente a W, la multiplicación del escalar c con el elemento u, debe pertenecer tanto al subconjunto W como el conjunto V. Por lo tanto: (𝑖1, 𝑖2, 𝑖3) = −(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) Y debido a que: −(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ ℝ3 ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 • Cerradura bajo la multiplicación escalar: Sea: 𝛼(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, 𝛼𝑥3) ∈ ℝ3 ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Debido a que la multiplicación de dos números reales siempre da un número real. • Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial: 𝛼[(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) + (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3)] = 𝛼(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) + 𝛼(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) 𝛼(𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, 𝑥3 + 𝑦3) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, 𝛼𝑥3) + (𝛼𝑦1, 𝛼𝑦2, 𝛼𝑦3) (𝛼(𝑥1 + 𝑦1), 𝛼(𝑥2 + 𝑦2), 𝛼(𝑥3 + 𝑦3)) = (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑦1, 𝛼𝑥2 + 𝛼𝑦2, 𝛼𝑥3 + 𝛼𝑦3) (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑦1, 𝛼𝑥2 + 𝛼𝑦2, 𝛼𝑥3 + 𝛼𝑦3) = (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑦1, 𝛼𝑥2 + 𝛼𝑦2, 𝛼𝑥3 + 𝛼𝑦3) ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 • Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares: (𝛼 + 𝛽)(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝛼(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) + 𝛽(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ((𝛼 + 𝛽)𝑥1, (𝛼 + 𝛽)𝑥2, (𝛼 + 𝛽)𝑥3) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, 𝛼𝑥3) + (𝛽𝑥1, 𝛽𝑥2, 𝛽𝑥3) (𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥1, 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥2, 𝛼𝑥3 + 𝛽𝑥3) = (𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥1, 𝛼𝑥2 + 𝛽𝑥2, 𝛼𝑥3 + 𝛽𝑥3) ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 • Propiedad asociativa de la multiplicación: Si: 𝑐, 𝑑 𝜖 ℝ Entonces: 𝑐(𝑑(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)) = (𝑐𝑑)(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) 𝑐(𝑑𝑥1, 𝑑𝑥2, 𝑑𝑥3) = (𝑐𝑑𝑥1, 𝑐𝑑𝑥2, 𝑐𝑑𝑥3) (𝑐𝑑𝑥1, 𝑐𝑑𝑥2, 𝑐𝑑𝑥3) = (𝑐𝑑𝑥1, 𝑐𝑑𝑥2, 𝑐𝑑𝑥3) ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 • Propiedad del idéntico multiplicativo: ∀(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ ℝ3; ∃ ℎ ∈ ℝ |(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)h = h(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) Se tiene que: ℎ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) (ℎ𝑥1, ℎ𝑥2, ℎ𝑥3) = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) Por igualdad: ℎ𝑥1 = 𝑥1 → ℎ = 1 ℎ𝑥2 = 𝑥2 → ℎ = 1 ℎ𝑥3 = 𝑥3 → ℎ = 1 Y dado que: ℎ = 1 𝜖 ℝ ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Se demuestra que ℝ3 cumple con todas las propiedades de un espacio vectorial. b) Define ℝ𝑛 y demuestra que es un espacio vectorial: ℝ𝑛 es el conjunto de todas las n-ordenadas de números reales denominado espacio n- vectorial en el cual se definen las operaciones de adición de vectores y multiplicación por un escalar de la siguiente manera: ?̅? + ?̅? = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) + (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) 𝛼?̅? = 𝛼(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, ⋯ , 𝛼𝑥𝑛) Demostración que ℝ𝑛 es un espacio vectorial: ∀ (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛), (𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧3) ∈ ℝ𝑛 ∧ ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: • Cerradura bajo adición: (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) + (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ∈ ℝ𝑛 ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Por qué: (𝑥1 + 𝑦1) ∈ ℝ (𝑥2 + 𝑦2) ∈ ℝ . . . (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) ∈ ℝ Dado que la suma de dos números reales siempre da un número real. • Propiedad conmutativa de la adición: (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) + (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) + (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = (𝑦1 + 𝑥1, 𝑦2 + 𝑥2, … , 𝑦𝑛 + 𝑥𝑛) ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Por qué: (𝑥1 + 𝑦1) = (𝑦1 + 𝑥1) (𝑥2 + 𝑦2) = (𝑦2 + 𝑥2) . . . (𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) = (𝑦𝑛 + 𝑥𝑛) Dada la propiedad de conmutatividad de la suma. • Propiedad asociativa de la adición: [(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) + (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)] + (𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛) = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) + [(𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) + (𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛)] [(𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛)] + (𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛) = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) + [(𝑦1 + 𝑧1, 𝑦2 + 𝑧2, … , 𝑦𝑛 + 𝑧𝑛)] 𝑐(𝑑𝑥1, 𝑑𝑥2, … , 𝑑𝑥𝑛) = (𝑐𝑑𝑥1, 𝑐𝑑𝑥2, … , 𝑐𝑑𝑥𝑛) (𝑐𝑑𝑥1, 𝑐𝑑𝑥2, … , 𝑐𝑑𝑥𝑛) = (𝑐𝑑𝑥1, 𝑐𝑑𝑥2, … , 𝑐𝑑𝑥𝑛) ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 • Propiedad del idéntico multiplicativo: ∀(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ𝑛; ∃ ℎ ∈ ℝ |(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)h = h(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) Se tiene que: ℎ(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) (ℎ𝑥1, ℎ𝑥2, … , ℎ𝑥𝑛) = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) Por igualdad: ℎ𝑥1 = 𝑥1 → ℎ = 1 ℎ𝑥2 = 𝑥2 → ℎ = 1 . . . ℎ𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 → ℎ = 1 Y dado que: ℎ = 1 𝜖 ℝ ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Se demuestra que ℝ𝑛 cumple con todas las propiedades de un espacio vectorial. c) Demuestra que el eje Y = {(0, y)|y ∈ ℝ} es un espacio vectorial con las mismas operaciones definidas en ℝ3. Demostración que el eje Y es un espacio vectorial: ∀ [(0, a), (0, b), (0, c)|𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ] ∧ ∀ (𝛼, 𝛽 ∈ ℝ), 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: • Cerradura bajo adición: (0, a) + (0, b) = (0 + 0, a + b) = (0, 𝑎 + 𝑏) ∈ Y ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Por qué: 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ Dado que la suma de dos números reales siempre da un número real. • Propiedad conmutativa de la adición: (0, a) + (0, b) = (0, b) + (0, a) (0, 𝑎 + 𝑏) = (0, 𝑏 + 𝑎) ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Por qué: a + b = 𝑏 + 𝑎 Dada la propiedad de conmutatividad de la suma. • Propiedad asociativa de la adición: [(0, a) + (0, b)] + (0, c) = (0, a) + [(0, b) + (0, c)] (0, 𝑎 + 𝑏) + (0, c) = (0, a) + (0, b + c) (0, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = (0, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Dada la propiedad de conmutatividad de la suma. • Propiedad del idéntico aditivo: ∀(0, 𝑎) ∈ Y; ∃ (0, e) ∈ Y | (0, 𝑎) + (0, 𝑒) = (0, e) + (0, a) = (0, a) Donde se tiene que: (0, 𝑎) + (0, 𝑒) = (0, a) Esto se cumple si y solo si: (0, 𝑒) = (0,0) Dado que: (0,0) ∈ Y ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 • Propiedad del inverso aditivo: ∀(0, 𝑎) ∈ Y; ∃ (0, 𝑖) ∈ Y | (0, 𝑎) + (0, i) = (0, i) + (0, a) = (0, e) Dado que: (0, 𝑒) = (0,0) Entonces: (0, 𝑎) + (0, 𝑖) = (0,0) Por lo tanto: (0, i) = −(0, a) = (0, −𝑎) Y debido a que: (0, −𝑎) ∈ Y ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 • Cerradura bajo la multiplicación escalar: Sea: 𝛼(0, a) = (0, 𝛼a) ∈ Y ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 Debido a que la multiplicación de dos números reales siempre da un número real. • Propiedad distributiva respecto a la suma vectorial: 𝛼[(0, 𝑎) + (0, 𝑏)] = 𝛼(0, a) + 𝛼(0, b) 𝛼(0, 𝑎 + 𝑏) = (0, 𝛼𝑎) + (0, 𝛼𝑏) (0, 𝛼(𝑎 + 𝑏)) = (0, 𝛼(𝑎 + 𝑏)) ∴ 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒