Números Naturales, Enteros, Racionales y Reales, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

¡Descarga Números Naturales, Enteros, Racionales y Reales y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 1 LOS NÚMEROS REALES1 Números Naturales Los números que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una colección u ordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los números naturales, simbolizado por N. N = {1, 2, 3, 4, ...}  N es un conjunto infinito.  El primer elemento de N es el 1.  Cada número natural tiene un sucesor o siguiente.  Un número natural y su siguiente se denominan consecutivos. N0 denota el conjunto de los números naturales al que se le agrega el cero. N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = N {0}  N0 es un conjunto infinito.  El primer elemento de N0 es el 0. Al representar en la recta numérica al conjunto N0: se observa que  Entre un número de N0 y su siguiente no hay otro número natural.  Los conjuntos de números que tienen esta propiedad se llaman discretos. Números Enteros Los números naturales, los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros que simbolizamos con la letra Z. Z = N {0} {..., -3, -2, -1} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , ....} En la recta numérica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero: Se observa que cada número negativo es simétrico respecto del cero de un número natural. Por ejemplo 2 y -2 son simétricos respecto del cero. 1 Elizondo, Giuggiolini; Módulo 1, Números y operaciones, UBA XXI, Articulación, 2007 UBA XXI Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 2 Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2. Conviene recordar que: El opuesto de un número a lo simbolizamos –a Si a es un número entero, su opuesto –a es un número entero. El opuesto de 0 es 0. Si a es el opuesto de b, b es el opuesto de a  Si a = 2 el opuesto de a es –a = 2  Si a = -2 el opuesto de a es –a = -(-2) = 2 La expresión –a no significa que el número sea negativo. Sólo indica el opuesto de a. -2 es un número entero. Su opuesto –(-2) = 2 es también un número entero Y también Z es un conjunto infinito Cada número entero es el siguiente de otro. Entre un número entero y el siguiente no hay otro número entero. Por poseer esta propiedad se dice que el conjunto de los enteros es un conjunto discreto.  N es un conjunto discreto  El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los enteros: N Z  A los números naturales también se los llama enteros positivos: N = Z+ . (El símbolosignifica incluido) Números Racionales Un sistema más amplio de números lo constituye el de los números racionales (Q) Los números racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos números enteros, donde el divisor es distinto de cero (es decir, q p con p y q enteros, q 0). Cada número entero a puede representarse como un número racional en la forma 1 a (por ejemplo, 1 2 2  ). Todo número entero es racional: Z Q Además N Z Q Entre dos números racionales siempre hay otro número racional. Por ello se dice que los números racionales forman un conjunto denso. UBA XXI Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 5 Los números reales Entre los números conocidos, existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos números enteros. Son los llamados números irracionales (I) Los números irracionales (I), junto con los números racionales (Q) forman el conjunto de los números reales (). = I Q Además = I Q Son números irracionales: 0, 01001000100001... 0,123456789101112... ...718281,2e ...1415926535,3 ...4142135623,12     Estos números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros.  Los números irracionales tienen un desarrollo decimal infinito no periódico. Operaciones en los reales. Propiedades En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: Adición y multiplicación.  Por adición entendemos que a todo par de números reales a, b se le asigna un número real llamado la suma de a con b que indicamos a + b.  Por multiplicación entendemos que a todo par de números reales a, b se le asigna un número real llamado producto de a con b que indicamos a b. Multiplicación y división de fracciones Ejemplos 1. 2. 3 5 es el inverso multiplicativo de 5 3 3. 6 -7 .23 (-1)7 2 -1 3 7    12 5 3 5 4 1 5 3: 4 1  10 -3 2 -1 5 3 (-2): 5 3   Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.  Para dividir una fracción por otra distinta de cero, se multiplica la primera por el inverso multiplicativo de la segunda. Si c0 db ca d c b a   cb da c d b a d c 1 b a d c : b a    UBA XXI Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 6 Propiedades de la adición Propiedades de la multiplicación Cualesquiera sean los números reales a, b y c se verifica:  La adición es conmutativa: a + b = b + a  La adición es asociativa: ( a + b) + c = a + (b + c)  a + 0 = 0 + a = a (0 es el elemento neutro para la adición)  a + (-a) = (-a) + a = 0 (-a es el inverso aditivo de a) Cualesquiera sean los números reales a, b y c se verifica:  La multiplicación es conmutativa: a b = b a  La multiplicación es asociativa: ( a b) c = a ( b c)  a 1 = 1 . a = a (1 es el elemento neutro para el producto)  a a-1 = 1 (si a 1) (a-1 es el inverso multiplicativo de a) La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, vincula ambas operaciones:  Cualesquiera sean los números reales a, b y c vale que a . (b + c) = a . b + a . c Observación  En el conjunto de los números naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivo para la adición, ni la de inverso multiplicativo.  En el conjunto de los números enteros, no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo Otras propiedades importantes  El opuesto de la suma es la suma de los opuestos: - (a + b) = - a + (- b )  El producto de cualquier número real por (-1) es igual al opuesto del número real: a (-1) = (-1) a = (-a)  El producto de un número real por cero es cero: a 0 = 0 a = 0  Si a b = 0 entonces a = 0 ó b = 0  Ley cancelativa: o de la suma: Si a + c = b + c entonces a = b o del producto: Si a c = b c y c 0 entonces a = b Recordamos que:  Restar dos números reales a y b significa sumar a con el opuesto de b. a – b = a + (- b )  Dividir dos números reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativo de b a : b = a . b-1 UBA XXI Modalidad virtual Matemática U Orden en  En  consideramos la relación “menor que”, que denotamos “<” que satisface las siguientes propiedades: 1. Tricotomía. Si a y b son dos números reales, vale una y sólo una de las siguientes posibilidades: a < b ó a = b ó a > b 2. Transitividad: a < b y b < c  a < c 3. Monotonía de la suma: a < b  a + c < b + c 4. Monotonía del producto: a < b ; c > 0  a c < bc También escribiremos:  a > b para indicar que a es mayor que b.  a < b < c para indicar a < b y b < c.  a b para indicar que a es mayor o igual que b.  a b para indicar que a es menor o igual que b. es un conjunto ordenado Otras propiedades de orden. Sean a, b y c elementos cualesquiera de . Entonces: 1. Si a < 0 entonces –a > 0 2. a < b  -b < -a 3. Si a < b y c < 0 entonces a c > b c 4. a b > 0  a < 0 y b < 0 ó a > 0 y b > 0 5. a b < 0  a < 0 y b > 0 ó a > 0 y b < 0 6. a > b  a – b > 0 Los números reales y la recta real C l C l m P s a b sí y solo sí a > b ó a = b a b sí y solo sí a < b ó a = bLos números reales se pueden ubicar sobre la recta: a cada punto de la recta le correspondeBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 7 onsideremos una recta, donde se fija un origen y la unidad de ongitud. ada número positivo está representado por un punto situado a a derecha del origen, y cada número negativo a la izquierda del ismo. ara ubicar los números enteros dibujamos consecutivamente obre la recta el segmento unidad. un único número real y a cada número real un único punto en la recta. -3 -2 -1 0 1 2 3 UBA XXI Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 10 Propiedades de la potenciación Si a y b son números reales y además n y m enteros valen las siguientes: Propiedades (en algunos casos a 0 y b 0) Ejemplos nmnm aaa.1  Producto de potencias de igual base 243-(-3)(-3)(-3)(-3) 53232   a a a .2 n-m n m  Cociente de potencias de igual base 933 3 3 22-5 2 5  nmnm a)(a3.  Potencia de potencia   15.6255)(-(-5) 632  mmm bab)(a.4  Potencia de un producto   51264)8(4(-2)4(-2 333  n nn b a b a.5       Potencia del cociente 27 8 3 2 3 2 3 33       Exponente fraccionario. La expresión n 1 a , con n entero mayor que 1, recibe el nombre de raíz n-ésima de a Así: 2 1 a es la raíz cuadrada de a y 3 1 a es la raíz cúbica de a. La expresión n 1 a se representa también mediante n a . Recordamos que:  Si n es par, a debe ser mayor o igual que cero.  Si n es impar, a puede tomar cualquier valor real, positivo, nulo o negativo. Definición: Si a0 es un número real llamamos raíz cuadrada de a y lo simbolizamos a al único número real b 0 tal que b2 = a. Es decir que: a = b si y sólo si b 0 y b2 = a Proposición: Si a es un número real cualquiera |a|a2  0asi a b b a 6. n nn        25 16 5 4 5 4 4 5 2 222             n a Índice de la raíz Radicando UBA XXI Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 11 Definición.  Si m y n son números naturales Propiedades Si a es un número real y a > 0 valen las siguientes propiedades: q p n m q p n m aaa.1   Producto de potencias de igual base qn pm q p n m aa2. )(    Potencia de potencia n m n m n m ba)b(a.3  Distributividad respecto a la multiplicación. Ejemplos: Calcular aplicando propiedades 1. 63 1616  Solución: Usando la notación de exponente fraccionario y propiedades de la potenciación escribimos: 2. 4 625 216 Solución: Por propiedad 3 escribimos: 5 4 625 216 625 216 4 4 4  3. 53 )6( Solución: Usando la definición de exponente fraccionario y operando: 4. 2)16( Solución: a. Aplicando la propiedad ||2 aa  , es: 16|-16|)16( 2  b. También podemos resolverlo así: 16256)16( 2  3 55 3 1 5 3 1 53 66 6)6(            n mn 1 mn 1 .m n m a)(aaa  416 16 16 16161616 2 1 6 1 3 1 6 1 3 1 63      UBA XXI Modalidad virtual Matemática UBA XXI – MÁTEMATICA - NÚMEROS REALES 12 Supresión de raíces en el denominador Expresiones como: que contienen raíces en el denominador, pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nueva expresión no contenga raíces en el denominador. Vemos algunos ejemplos. Ejemplo 1. 2 1 Multiplicando numerador y denominador por 2 y aplicando propiedades de la potenciación es:   2 2 2 2 22 21 2 1 2     Ejemplo 2. 5 32 2 Multiplicando numerador y denominador por 5 22 (ya que 23 22 = 25) y aplicando propiedades de la potenciación es: 5 2 5 2 5 5 5 2 5 25 3 5 2 5 3 2 2 22 2 22 22 22 2 2         En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresión del tipo n ma . Se busca multiplicar numerador y denominador por otra expresión con el mismo índice, n pa , y tal que el producto de sus bases am y ap sea una potencia de an. Ejemplo 3. 51 4  El denominador es en este caso una diferencia entre dos números. Multiplicando numerador y denominador por la suma de ellos, y operando es: )51(- 4 )51(4 )5(-1 )51(4 )51()51( )51(4 51 4 22        Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos números, en donde uno de ellos o ambos es un irracional cuadrático, se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los términos del denominador, en el caso de una suma, o por la suma en el caso de una diferencia. Así el denominador queda expresado en la forma: (a + b)(a – b) = a2 – b2 36 4 ; 5-3 1 ; 16 1 ; 2 1 3 