Tema 1: Números Reales, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

¡Descarga Tema 1: Números Reales y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity! TEMA 1: NÚMEROS REALES 1. FRACCIONES. EXPRESIONES DECIMALES Los conjuntos numéricos que conocemos hasta el momento son:  Los naturales: ℕ = {0, 1, 2, 3, … } El cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a.C. y fue utilizado por diversas civilizaciones pero los romanos no lo utilizaron, sus números eran letras del alfabeto.  Los enteros: ℤ = {… , −2, −1, 0, 1, 2, … } El conjunto de los enteros incluye al de los naturales: ℕ ⊂ ℤ  Los racionales: ℚ, estos números se pueden expresar como…: Fracción: 3 4 , − 1 2 , … Porcentaje: 25% = 25 100 = 1 4 Decimal: pudiendo ser decimal exacto, periódico puro y periódico mixto. El conjunto de los racionales incluye a los enteros: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ En la siguiente tabla se muestra el método para expresar cualquier decimal exacto o periódico en forma de fracción. Ej Fórmula para fracción generatriz Fracción generatriz Decimales exactos 20,15 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 sin 𝑐𝑜𝑚𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 2015 100 Decimales periódicos puros 3, 41̂ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 sin 𝑐𝑜𝑚𝑎 − 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 9 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 341 − 3 99 Decimales periódicos mixtos 0,127̂ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 sin 𝑐𝑜𝑚𝑎 − 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑦 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 9 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 0 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 127 − 12 900 Ejercicio 1: Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números: 2,342 ; 3,262626... ; 6,52727272... ; 3,54 ; - 6,876876876... ; 23,1288888.... ; - 2,6435435.... 𝑆𝑜𝑙: 𝑎) 1171 500 𝑏) 323 99 𝑐) 359 55 𝑑) 177 50 𝑒) − 2290 333 𝑓) 5204 225 𝑔) − 8803 3330 Ejercicio 2: Realiza las siguientes operaciones expresando los números decimales como fracciones: a) 3, 21 ̂ − 2,31̂ − 5 4 b) 17,5 − 100 3 + 12, 12̂ 𝑆𝑜𝑙: 𝑎) − 691 1980 𝑏) − 245 66 Ejercicio 3: Calcula, pasando a fracción, las operaciones: a) (0,333... ): (0,525252...) b) (5,2333... )· (1,3222...) 𝑆𝑜𝑙: 𝑎) 33 52 𝑏) 18683 2700 2. NÚMEROS REALES Aparece ahora un nuevo conjunto que engloba a todos aquellos decimales ilimitados que no tienen periodo  Los irracionales: 𝕀, son todos aquellos números decimales ilimitados sin periodo. Algunos ejemplos de números irracionales son √2; √5 3 ; 𝜋. Los irracionales no pueden escribirse en forma de fracción. Los números racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales, que se designa con la letra ℝ. ℝ = ℚ ∪ 𝕀 Ejercicio 4: Clasifica en racionales o irracionales los siguientes números: 𝑎) − 6,7895555 … 𝑏) 94,56735326 … 𝑐) 0,004565656 … 𝑑) 0,49 Ejercicio 5: Indica el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen cada uno de los siguientes números. 𝑎) − 21 3 𝑏) 5,818181 … 𝑐) 3𝜋 4 𝑑) − √16 4 𝑒) − 34 𝑓) √−8 3 𝑔) (−2)4 Ejercicio 6: Observa la siguiente lista de números reales y coloca cada uno en el recuadro correspondiente (observa que puede estar un mismo número en más de un recuadro): 5;8;9;2;10;10;001.0;2.43;43; 6 84 ; 3 5 ; 5 3 ;3.0;13;1.0;11.0;11 333    Naturales(N) Enteros(Z) Racionales(Q) Irracionales(I)                                  ........................º,,,6,5,2:)( .,......... 7 5 , 3 2 ,25.1: ,.......8, 7 49 ,4: .,......... 5 50 ,64,5,1,0:)( )( )( : 3 3 áureoneIsIrracinale iosFraccionar NegativosEnteros NNaturales ZEnteros QRacionales  Ejemplo: Utilizando el teorema de Pitágoras representa en la recta real los siguientes números √2 ; √11 Ejercicio 16: Representa los siguientes números utilizando el teorema de Pitágoras √27 ; √34 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real, a, es la distancia que existe entre ese número y el cero. Como no hay distancias negativas, el valor absoluto siempre será positivo. Se representa como |𝒂| y coincide con el número si es positivo y con su opuesto si es negativo. |5| = 5 |−3| = −(−3) En general, para cualquier número: |𝑎| = { 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 > 0 −𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0 La distancia entre los número a y b es igual a |𝒃 − 𝒂| Para resolver ecuaciones en valor absoluto se procede como se explica a continuación para una expresión lineal (si no lo fuera se actuaría de manera análoga):     c b x ax b c a ax b c c b c bax b c x a a                    Ejercicio 17: Halla los siguientes valores absolutos: 𝑎) |−41| 𝑏) |3 − 7| 𝑐) |−√7| 𝑑) |√5 − 1| 𝑒) |1 − √5| 𝑆𝑜𝑙: 𝑎) 41 𝑏) 4 𝑐)√7 𝑑)√5 − 1 𝑒)√5 − 1 Ejercicio 18: ¿Qué valores puede tener N? a) | N | = 11 c) | -N | = 5 e) | N | = -2 b) | 2N | = 12 d) | N - 1 | = 4 f) 9 1 3 N  𝑆𝑜𝑙: 𝑎) ± 11 𝑏) ± 6 𝑐) ± √5 𝑑) − 3; 5 𝑒)∄ 𝑁 ∈ ℝ ⋰ |𝑁| = −2 𝑓) ± 1 3 Ejercicio 19: Decir si las siguientes igualdades son ciertas o falsas y en ese caso indicar la solución correcta. a) | 2 - 10 | = -8 b) | 3 - 15 | =| 3 | -| 15 | c) | 13 - 3 | =| 13 | +| -3 | d) | 4 - 7 | =| |4| - |7| | 𝑆𝑜𝑙: 𝑎) 8 𝑏) 12 𝑐)10 𝑑)𝑉 0 1 2 0 1 2 3 4 Ejercicio 20: Resolver las siguientes ecuaciones en valor absoluto: a) 73x  b) 95x2  c) 114x3  d) 91x2 2  e) 5 7 1x 3x2    f) 225x12  𝑆𝑜𝑙: 𝑎) − 4; 10 𝑏) − 7; 2 𝑐) − 7 3 ; 5 𝑑) ± 2 𝑒) − 22 3 ; − 8 17 𝑓) 17 12 ; 9 4 5. INTERVALOS, SEMIRRECTAS Y ENTORNOS Intervalo: conjunto de números comprendidos entre sus extremos. Subconjunto Notación Definición Representación Intervalo abierto (𝑎, 𝑏) ]𝑎, 𝑏[ (𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Intervalo semiabierto por la izq. (𝑎, 𝑏] ]𝑎, 𝑏] (𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} Intervalo semiabierto por la dcha. [𝑎, 𝑏) [𝑎, 𝑏[ [𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Semirrecta: conjunto de todos los números mayores (o menores) que el origen de la misma. Subconjunto Notación Definición Representación Semirrectas abiertas (𝑎, ∞) (𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > 𝑎} (−∞, 𝑎) (−∞, 𝑎) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < 𝑎} Semirrectas cerradas [𝑎, ∞) [𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≥ 𝑎} (−∞, 𝑎] (−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≤ 𝑎} Ejercicio 21: Escribe la condición que deben cumplir los números reales que pertenecen a los siguientes conjuntos y represéntalos. 𝑎) [−3, 4] 𝑏) (−3, 4] 𝑐) [2, ∞) 𝑑) (−∞, −4) Ejercicio 22: Escribe en forma de intervalo y representa: 𝐼) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ −1} 𝐼𝐼) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ / −3 ≤ 𝑥 ≤ −2} Ejercicio 23: Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:                 )6,1[)5,2() )6,1[)5,2() 2,24,4- d) 2,24,4- c) 47,,-3- b) 47,,-3- a)       f e     Entorno: pertenecen al entorno de un punto a con radio r todos los puntos que se encuentran a una distancia de a menor (o igual) que r. rax  Y se representa: E[a, r] Ejemplo: Entorno cerrado de centro 5 y radio 2 E[5, 2]=[5-2, 5+2]=[3, 7] |𝑥 − 5| ≤ 2 Entorno abierto de centro 5 y radio 2 E(5, 2)=(5-2, 5+2)=(3, 7) |𝑥 − 5| < 2 Dado un intervalo m < x < n, podemos conocer su diámetro (d), su radio (r) y su centro (a): 𝑑 = 𝑛 − 𝑚 𝑟 = 𝑛 − 𝑚 2 𝑎 = 𝑚 + 𝑛 2 Para pasar de una ecuación en valor absoluto a desigualdad en línea para expresar ese conjunto de número en forma de intervalo procedemos así:     raxra raxrax rax rax rax rax              Ejercicio 24: Escribe el signo ∈, pertenece, o ∉, no pertenece, según corresponda en cada caso: a)  1,3E b)  2,0;8,0 3 2 E c)  2,0;7,2 3 5  E Ejercicio 25: Expresa, mediante intervalos abiertos, los entornos de a y radio r que se indican: a) 01,0r ; 5a  b) -210r ; 4a  c) -110r ; 10a  d) 50 3 r ; 9a  e) 0,01r ; 2a  f) 250 1 r ; 5,2a  𝑆𝑜𝑙: 𝑎) (4,99; 5,01) 𝑏) (3,99; 4,01) 𝑐) (9,9; 10,1) 𝑑) ( 447 50 , 453 50 ) 𝑒) (1,99; 2,01) 𝑓) (2,496; 2,504) Ejercicio 26: a) Escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos; b) indica el diámetro y el radio; c) calcula su centro; d) exprésalos como entornos I) 6x 3 7  II) 11x11  III) 8 3 x 4 3  IV) 2 5 x 5 2  𝑆𝑜𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑑): 𝐼)𝐸 [ 25 6 , 11 6 ] 𝐼𝐼) 𝐸(0, 11) 𝐼𝐼𝐼) 𝐸 [− 3 16 , 9 16 ] 𝐼𝑉) 𝐸 [ 29 20 , 21 20 ] Ejercicio 27: Escribir como una desigualdad en valor absoluto los siguientes intervalos: a) 7x3  b)  12,2I  c) 6x0  d)  2,4I  e) 5x3  f)  5,2E 𝑆𝑜𝑙: 𝑎) |𝑥 − 2| < 5 𝑏)|𝑥 − 7| < 5 𝑐) |𝑥 − 3| ≤ 3 𝑑) |𝑥 + 1| ≤ 3 𝑒) |𝑥 − 1| < 4 𝑓) |𝑥 − 2| < 5 Ejercicio 28: Escribir en forma de entorno las desigualdades siguientes: a) 5.23x  b) 2x33.0  c) 5 7 x 3 2   d) 12 48 x3  𝑆𝑜𝑙: 𝑎)𝐸(3; 2,5) 𝑏) 𝐸 ( 167 200 , 233 200 ) 𝑐) 𝐸 ( 11 30 , 31 15 ) 𝑑) 𝐸 ( 7 2 , 1 2 )