Numeros reales__________, Esquemas y mapas conceptuales de Matemáticas

¡Descarga Numeros reales__________ y más Esquemas y mapas conceptuales en PDF de Matemáticas solo en Docsity! Seminario Universitario. Material para Estudiantes Matemática Unidad 1. Números reales Prof. Osvaldo Chapov Secretaria Académica • Seminario Universitario 2 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes Contenidos Conjuntos numéricos. Números naturales, racionales, irracionales y re- ales. Representación gráfica. Radicación. Propiedades. Potencias de exponente fraccionario. Racionalización. Notación científica. Volumen de cuerpos. introduCCión Los formatos de hojas DIN. Existe un sistema internacionalmente aceptado de tamaños de hojas de papel rectangulares, llamados A0, A1, A2, A3, A4, etc. En la figura siguiente se muestra un diagrama con todos los tamaños juntos. a) ¿Cómo se determinaron estos tamaños de hojas? La hoja A1 se obtiene cortando por la mitad la hoja A0, en el sentido del ancho; l ahoja A2 se obtiene cortando por la mitad la hoja A1, en el sentido del ancho, y así sucesivamente, tal como se muestra en la secuencia siguiente: Situación Problemática Inicial SItUACIONES PRObLEMátICAS Secretaria Académica • Seminario Universitario 5 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes ConJuntos nuMÉriCos núMeros nAturALes A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los denomina números naturales. Designamos con la letra IN al conjunto de dichos números. IN = {1,2,3,4,5...} LA DIFERENCIA ENTRE DOS NÚMEROS NATURALES ¿ES SIEM- PRE UN NÚMERO NATURAL? núMeros enteros El conjunto de los números enteros es la unión de los conjuntos de números naturales, el cero y los naturales negativos. Simbólicamente: Z = N ∪ {0}∪N - ¿CUáNTOS NÚMEROS ENTEROS ExISTEN ENTRE -3 y 7? ¿CUáNTOS NÚMEROS ENTEROS ExISTEN ENTRE DOS ENTE- ROS DADOS? Secretaria Académica • Seminario Universitario 6 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes Un número racional se puede expresar como fracción m n , donde n y m son números en- teros y m ≠ 0 . ESCRIbIR UN NÚMERO RACIONAL ENTRE 7 3 y 3 2 . ¿CUáNTOS NÚMEROS RACIONALES hAy ENTRE LOS DOS DA- DOS? La siguiente secuencia algebraica muestra que todos los números reales son cero. ¿Dónde está el error? Si a ∈ R a = a a2 = a2 a2 - a2 = a2 - a2 (a - a) (a + a) = a (a - a) a + a = a a = a - a a = 0 núMeros reALes todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico. Los números que no se pueden expresar como fracción son números irracionales. DESAFIO Secretaria Académica • Seminario Universitario 7 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes EjEmplO 1 0,1234567891011... La parte decimal de este número irracional es la sucesión de los números naturales. EjEmplO 2 p ≅ 3,141592654 El símbolo ≅ indica que se esto representa una aproximación del número irracional . Notemos que también existen otras aproximaciones para este número; por ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc. El número aparece al calcular la longitud de una circunferencia y el área de un círculo. Se sugiere ver video http://www.rtve.es/aventura/universo- matematico/webcap2/actividades_parte_2.html EjEmplO 3 e ≅ 2,71 Representa una aproximación del número irracional e. Al efectuar cálculos en los que intervienen los números irracionales, tomamos una cantidad finita (entre 3 y 5) de cifras decimales. Por lo tanto, podemos considerar e ≅ 2,718 o bien e ≅ 2,71828. El número e se presenta en procesos de crecimiento de una población animal o vegetal, y en problemas de desintegración radiactiva. Seguramente habrás visto en el tendido de cables eléctricos que los cables entre un poste y otro determinan una curva en cuya ecuación también está presente el número e. EjEmplO 4 Otro número irracional muy famoso, 2 51+ , llamado el número de oro, se obtiene si realizas, por ejemplo, el cociente entre las longitudes del lado menor y el lado mayor de las hojas tamaño A4 que comúnmente se utilizan en fotocopiadora, o realizando el mismo cálculo con los lados de una tarjeta de crédito. EjEmplOS NÚmEROS IRRACIONAlES Secretaria Académica • Seminario Universitario 10 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes 3) En la potencia de potencia los exponentes se multiplican: ( ) m.nmn aa = 4) Potencia de exponente uno: Todo número (o letra) de exponente uno, es el mismo número (o letra). b1 = b 21 = 2 5) Potencia de exponente cero: Todo número (o letra) de exponente cero, da por resultado 1. b0 = 1 20 = 1 Cuidado: si la base es 0 no está definido: 00 6) La potencia distribuye al producto y al cociente: 225 4 3 2. 5 1 3 2. 5 1 222 =           =      7) Cuadrado de la suma de dos números Ejemplo: 8) La potencia no es conmutativa: 23 32 ≠ 9) La potencia no es asociativa: ( ) ( )3232 44 ≠ Secretaria Académica • Seminario Universitario 11 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes 10) La potenciación no es distributiva con respecto a la adición ni a la sustrac- ción ( ) 222 2424 +≠+ pues 36 es distinto que 20 radicación Decimos que: pues pues Pero no podemos encontrar solución a 10000- ya que no conocemos números que elevados al cuadrado den resultado negativo. Simbología: pan = n: índice, es un número natural mayor o igual que dos. a: radicando, es un número racional mayor o igual que cero. radical p: valor raíz o resultado La raíz enésima de un número racional a (no negativo) es un número racional b, lo que es equivalente a decir que a es la potencia enésima de b. abba nn =⇔= Raíz enésima par y a ≥≥0 Ejemplo: Calcular 169 Solución: El radical 169 representa un único número real no negativo, el número 13, que corresponde a un único punto de la recta numérica. Pero..... Secretaria Académica • Seminario Universitario 12 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes ¡Cuidado!!: Para resolver, por ejemplo la ecuación x2 = 169 procedemos así: 169x2 = , aplicando raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación, por propiedad de módulo. 2xx = , entonces, Pero, hay dos valores de “x” cuyo módulo es 13: y Debemos tener presente que la ecuación x = 169 tiene dos soluciones: x1 = - 13 y x2 = 13, mientras que el radical 169 representa un único número real como vimos. Propiedades de la radicación EjEmplO 1 Raíz de raíz (raíces sucesivas): es otra raíz cuyo índice es el producto de los índices dados. m.nn m aa = EjEmplO 2 La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y división: EjEmplOS RESUElTOS Secretaria Académica • Seminario Universitario 15 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes Conjunto Número Naturales Enteros Racional Irracio- nales Reales 7 -2,08 1,121221221 6 7 2) Aplicando propiedades calcula: ( ) ( ) ( ) 22 2134 28 28.28 + -+ - -- n nn 3) a) Escribir un número racional mayor que 1 y menor que 2 b) Escribir un número irracional mayor que 2 y menor que 2,1. 4) Expresar la medida exacta, en centímetros, del perímetro de un cuadrado si el lado mide 2 cm. 5) Expresar la medida exacta, en metros, de la superficie de un terreno triangular cuyos catetos miden 2 metros. 6) Calcular la medida de la diagonal de un terreno rectangular cuyos lados miden 10 metros y 12 metros. Expresar el resultado aproxi- mado con dos decimales. 7) Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado aproximado con 3 decimales. 8) Resolver y verificar el resultado con la calculador. Secretaria Académica • Seminario Universitario 16 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes a) b) núMeros irrACionALes Alguno de los problemas anteriores, requerían una respuesta en forma exacta y otros aproxi- mada. Evidentemente, habrá problemas donde convenga diferenciar entre algún tipo de respuesta, exacta o aproximada. La simbología utilizada para representar los números irracionales, por ejemplo 2 , es jus- tamente para identificar un número que tiene infinitas cifras decimales no periódicas y por lo tanto, como sabemos, la precisión depende de la cantidad de cifras que use como resultado de algún problema. Es decir; Continuando con la revisión de las propiedades de los números y sus operaciones, te pro- pongo el siguiente: 2 Valor exacto Valor aproximado en dos decimales 1,41 Secretaria Académica • Seminario Universitario 17 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes Sigue la secuencia siguiente y DESCUBRE EL ERROR: PotenCiA de exPonente rACionAL Extendemos la idea de potencia, de modo que los números racionales no enteros puedan funcionar como exponentes. Veremos que estas potencias guardan una estrecha relación con las raíces. n mn m aa = 5 25 2 33 = ¿Esto se cumple si el número “a” es menor que cero? EjEmplO Observa el siguiente ejemplo donde se expresa de distintas maneras, una operación, aplicando propiedades y exponente racional: DESAFIO Secretaria Académica • Seminario Universitario 20 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes EjEmplO 2 EjEmplO 3 MuLtiPLiCACión y diVisión de rAdiCALes radicales de igual índice Para multiplicar o dividir radicales de igual índice se aplica la propiedad recíproca de la dis- tributiva con respecto a la multiplicación (o división) EjEmplO 5 255 75 345 345 35 4 a.aaaa.aa.a ==== + radicales de distinto índice Una manera es utilizar la propiedad de escribir los radicales como potencia fraccionaria y viceversa para simplificar las expresiones. EjEmplO Secretaria Académica • Seminario Universitario 21 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes racionalización de denominadores Frecuentemente encontramos fracciones como: 3 2 ; 3 5 4- ; 32 5 + Dada una fracción cuyo denominador es un número irracional algebraico, el proceso de transformarla en otra fracción equivalente a la dada pero con denominador racional se llama racionalización. EjEmplO 1 Para racionalizar esta expresión: 2 3 2 2.3 2.2 2.3 2 2. 2 3 2 3 === La fracción obtenida tiene denominador racional. Si el denominador es un radical único de índice distinto de 2, haremos: EjEmplO 2 3 3.2 3 3.2 3 3. 3 2 3 2 5 2 5 5 5 2 5 2 5 2 5 35 3 === Si el denominador es un binomio de la forma: ba ± EjEmplO 3 Secretaria Académica • Seminario Universitario 22 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes EjEmplO 4 Racionalizar: 25 2 - EjEmplO 5 Racionalizar: 732 1 +- 1) Simplifica, utilizando la posibilidad de expresar la radicación como potencia fraccionaria. a) b) 2) Las siguientes figuras tienen área igual a 1. Calcular los lados descon- ocidos. Expresar todos los resultados sin radicales en el denominador. ACtiVidAd núMeros irrACionALes Secretaria Académica • Seminario Universitario 25 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes c) d) e) 11) Racionalizar y simplificar las expresiones: Es altamente recomendable que puedan adoptar algún recurso informático que complemente la revisión de las herramientas matemáticas básicas para iniciar su formación como ingeniero. La modelización de problemas se facilita mediante el uso de estas tecnologías, que no reemplazan al lápiz y papel pero que potencian el análisis, investigación de casos y la efectividad en las conclusiones. Utilizar el software Maxima, para verificar las actividades realizadas sobre números reales como la radicación. Como ejemplo se incluye la serie de comandos de la siguiente actividad: = ACtiVidAd Con softWAre MAteMÁtiCo Secretaria Académica • Seminario Universitario 26 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes Investigar las distintas opciones del menú Simplificar tales como: simpli- ficar expresión, simplificar radicales, factorizar expresión. Verificar la serie de actividades de Números Irracionales que pueda ser posible usando este software. notACión CientífiCA Situación 1 Se ha medido un espacio muy pequeño en un chip de computadora y tiene una anchura de 0.00000256m, una longitud de 0.00000014m y una altura de 0.000275m. ¿Cuál es su volumen? Situación 2 Los átomos tienen un núcleo con electrones que giran a su alrededor. En el núcleo de los átomos existen protones y neutrones. Los protones y los neutrones tienen cerca de 0,000000000000001 m. de ancho y una masa aproxi- mada de 0,0000000000000000000000000017 Kg. Situación 3 La luz recorre aproximadamente 300.000 km. por segundo. En un año recorre aproximadamente 9.460.000.000.000 Km., la cual se denomina año luz. Algunas galaxias cercanas se encuentran a 60.000.000 años luz. simplificar – simplificar radicales. Secretaria Académica • Seminario Universitario 27 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes Las situaciones anteriores involucran números muy grandes o muy pequeños. La herramien- ta que utilizan los científicos para simplificar la notación y poder operar con dichos números es la NOTACIÓN CIENTÍFICA. Para ello se utilizan las potencias de diez. Por ejemplo, para resolver la situación problemática 1, primero convertimos los datos a notación científica de la siguiente manera: Anchura: 0,00000256 m = 2,56 x 10-6 m. longitud: 0,00000014 m = 1,4 x 10-7 m. Altura: 0,000275 m. = 2,75 x 10-4 m. luego multiplicamos las cifras por un lado: 2,56 x 1,4 x 2,75 = 9,856 luego multiplicamos las potencias de diez utilizando las propiedades de las potencias con igual base: 10-6 x 10-7 x 10-4 = 10(-6-7-4) = 10-17 El volumen final es: 9,856 x 10-17 m3. 1) La luz que viaja aproximadamente a 3.0 × 105 km por segundo, tarda cerca de 5.0 × 102 102segundos en llegar a la tierra. ¿Cuál es la distancia aproximada, en notación científica, del Sol a la tierra? 2) La fisión nuclear se utiliza como fuente de energía. ¿Sabes cuánta energía proporciona un gramo de uranio 235? La respuesta es kilocalorías. Escríbela en notación científica. 3) El diámetro de un virus es de 5 x 104 m. ¿Cuántos de esos virus son necesarios para rodear la tierra? Radio medio de la tierra: 6370 km. 4) Una molécula de hidrógeno pesa 3,3 x 10-24 g. ¿Cuántas moléculas hay en un gramo de hidrógeno? respuestas: 1) 1.5 x 108 km. = 150.000.000 km. 2) 2 x 107. 3) 8 x 1013 virus. 4) 3 x 1023 moléculas. ACtiVidAd notACión CientífiCA Secretaria Académica • Seminario Universitario 30 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes VoLuMen de un PrisMA En el caso de un prisma con base rectangular, el volumen se calcula como: Volumen = Área de la base x altura VoLuMen de un CiLindro Se calcula de la misma manera que el prisma, entonces: Volumen = Área de la base x altura = h .r . 2p VoLuMen de unA PirÁMide Al comparar una pirámide con el prisma, se com- prueba que el volumen de la pirámide es tres veces menor que la del prisma, por lo que el volumen de la pirámide es: Volumen = Área de la base x altura 3 h = altura r = radio Secretaria Académica • Seminario Universitario 31 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes 1) La pirámide de Keops, en Egipto, es de base cuadrangular. El lado de la base mide 230 metros y su altura es de 160 metros. Calcula su volu- men total. 2) Calcular el peso de un bloque cúbico de hormigón de 1,9 metros de lado. (un metro cúbico de hormigón pesa 2350 kg.) 3) Se introduce una bola de plomo, de 1 cm. de radio, en un recipiente cilíndrico de 3,1 cm. de altura y 1,5 cm. de radio. Calcular el volumen de agua necesario para llenar el recipiente. 4) Durante una tormenta se registraron precipitaciones de 80 litros por metro cuadrado. ¿Qué altura alcanzaría el agua en un recipiente cúbico de 10 cm. de arista? 5) Un depósito de agua tiene forma cilíndrica. El diámetro de la base es de 1,8 metros y su altura es de 4,5 metros. Calcular el volumen total del depósito y la cantidad de litros que caben en él. 6) Hemos construido un cubo con cartulina. Para ello cubrimos todas las aristas con 240 cm. de cinta. ¿Cuánto mide cada arista? ¿Cuál es el volumen del cubo? 7) Calcular el volumen de los cuerpos siguientes. Ex- presar el resultado en cm3 y dm3. ACtiVidAd VoLuMen de CuerPos Secretaria Académica • Seminario Universitario 32 Matemática • Unidad 3. Números Reales • Material para Estudiantes 8) Para una obra en construcción se necesitan 5 m3 de arena. El camión que posee la empresa proveedora tiene un acoplado cuyas medidas son 1,72 metros de ancho, 2,45 metros de largo y 0,96 metros de profundi- dad. ¿Cuántos camiones debo pedir para cumplir con lo requerido por la obra? ¿Cuántos metros cúbicos de arena sobran en ese caso? 9) Se arrojan 7 cm3 de agua en un recipiente cilindro de 1,3 metros de radio. ¿Qué altura alcanzará el agua? 10) ¿Cuántos baldes cilíndricos de 47 cm de altura y 16 cm de radio, se tienen que vaciar en una piscina de 10 metros de largo, 6 metros de ancho y 1,5 metros de profundidad? 11) ¿Cuántas copas de pueden llenar con 6 litros de bebida, si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm.? 12) ¿Cuánto tiempo tardará una canilla en llenar un depósito si vierte 130 litros de agua por minuto? El depósito es un prisma de 3,6 metros de altura y base hexagonal, de 2 metros de lado y 1,7 metros de apo- tema. 13) Calcula el peso, en toneladas, de una pirámide de hormigón, con una base cuadrada de 6 metros de lado y 17 metros de altura. Un metro cúbico de hormigón pesa 2,35 toneladas. reCursos Software Maxima: http://maxima.sourceforge.net/es/ Software “Funciones para Windows” (y otros): http://www.acienciasgalilei.com/program/program-mates.htm Sitios interactivos de matemática: http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/index.htm Software Geogebra: http://www.geogebra.org/cms/ Unidades Didácticas del Proyecto Descartes: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/indice_ud.php