Ondas. Superposición. Ondas Estacionarias. Problemas Tipler., Apuntes de Física

¡Descarga Ondas. Superposición. Ondas Estacionarias. Problemas Tipler. y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity! SUPERPOSICIÓN Y ONDAS ESTACIONARIAS Tipler problemas. Capítulo 16. Superposición e interferencia 1. Verdadero o falso: a) Las ondas de dos fuentes coherentes que emiten en fase interfieren constructivamente en todos lo putos del espacio. b) Dos fuentes de ondas que están desfasadas 180º son incoherentes. c) Los diagramas de interferencia se observan solo en fuentes coherentes. a) Falso b) Falso c) Verdadero 2. Dos violinistas próximos están tocando las mismas notas. ¿Existirán puntos en la sala donde ciertas notas no se escuchan por causa de una interferencia destructiva? Razonar la respuesta. En principio si se producen dos notas iguales, dependiendo de la frecuencia de las notas , de la separación entre los violinistas y de las dimensiones de la sala podrían existir puntos con interferencia destructiva. 3. Dos pulsos de onda rectangulares se mueven en sentidos opuestos a lo largo de una cuerda. En t=0 los dos pulsos se encuentran tal y como indica la figura. Dibujar las funciones de onda para t=1,2 y 3 s. 4. Repetir el problema 3 para el caso en que el pulso de la derecha en la figura esté invertido. 5. Dos ondas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido tienen la misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm y una amplitud de 0,02 m. Determinar la amplitud de la onda resultante si las dos ondas difieren en fase a) En π/6. b) En π/3. a) 𝒚𝒚𝟏𝟏 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝜹𝜹 𝟐𝟐 )� ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔�𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝜹𝜹� 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 � 𝝅𝝅 𝟏𝟏𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 �𝝅𝝅 𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 6. ¿Cuál es la diferencia de fase entre las dos ondas del problema 5 si la amplitud de la onda resultante es 0,02 m, que es la misma que poseen las ondas componentes? 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � ; 𝜹𝜹 𝟐𝟐 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝑨𝑨 𝟐𝟐∗𝒚𝒚𝒐𝒐 � 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝑨𝑨 𝟐𝟐∗𝒚𝒚𝒐𝒐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 � = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 7. Dos ondas que tienen la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud, se están moviendo en la misma dirección y sentido. Si difieren en fase en π/2 y cada una de ellas tiene una amplitud de 0,05 m, hallar la amplitud de la onda resultante. 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 �𝝅𝝅 𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 8. Dos fuentes sonoras oscilan en fase con la misma amplitud A. Están separadas en el espacio por una distancia λ/3. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante de las dos fuentes en un punto situado en la línea que une las fuentes, admitiendo que el punto no está entre las fuentes? La diferencia de fase debido a la diferencia de caminos es: 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝀𝝀 𝟎𝟎 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟎𝟎 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝝅𝝅 𝟎𝟎 � = 𝑨𝑨 c) 𝜹𝜹 = 𝜹𝜹𝒇𝒇𝒅𝒅𝒔𝒔𝒔𝒔𝒕𝒕𝒔𝒔𝒄𝒄 + 𝜹𝜹𝒄𝒄𝒂𝒂𝒎𝒎𝒊𝒊𝒔𝒔𝒐𝒐𝒄𝒄 = 𝝅𝝅 + 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 = (𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 )𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 Interferencia destructiva; I=0. 14. Dos altavoces separados cierta distancia emiten ondas sonoras de la misma frecuencia, pero el altavoz 1 tiene una fase adelantada en 90º a la del altavoz 2. Sea r1 la distancia de un punto determinado al altavoz 1 y r2 la que dista del mismo punto al altavoz 2. Hallar el menor valor de r2-r1 tal que el sonido en el punto sea a) Máximo. b) Mínimo. (Expresar la respuesta en función de la longitud de onda) a) 𝜹𝜹 = 𝜹𝜹𝒇𝒇𝒅𝒅𝒔𝒔𝒔𝒔𝒕𝒕𝒔𝒔𝒄𝒄 + 𝜹𝜹𝒄𝒄𝒂𝒂𝒎𝒎𝒊𝒊𝒔𝒔𝒐𝒐𝒄𝒄 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐−𝒂𝒂𝟏𝟏 𝝀𝝀 Máximo, implica 𝜹𝜹 = 𝟎𝟎 𝝅𝝅 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐−𝒂𝒂𝟏𝟏 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎 ; 𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝝀𝝀 𝟎𝟎 b) Mínimo implica 𝜹𝜹 = 𝝅𝝅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 𝝅𝝅 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟏𝟏−𝒂𝒂𝟐𝟐 𝝀𝝀 = 𝝅𝝅 ; 𝒂𝒂𝟏𝟏 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝝀𝝀 𝟎𝟎 15. Demostrar que, si la separación entre dos fuentes de sonido que irradian coherentemente en fase es inferior a media longitud de onda, la interferencia totalmente destructiva no se presentará en ninguna dirección. 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒂𝒂 𝝀𝝀 𝚫𝚫𝒂𝒂 < 𝒓𝒓 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ≤ 𝒓𝒓 𝛅𝛅 < 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓∗𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝝀𝝀 ≤ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 𝝀𝝀 Como 𝒓𝒓 < 𝝀𝝀 𝟐𝟐 𝛅𝛅 < 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 𝝀𝝀 = 𝝅𝝅 Para una interferencia destructiva: 𝜹𝜹 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝅𝝅 . Como δ < π no se producirá. 16. Una onda transversal de frecuencia 40 Hz se propaga por una cuerda. Dos puntos separados entre sí 5 cm estás desfasados en π/6. a) ¿Cuál es la longitud de onda? b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos desplazamientos en un punto determinado para instantes separados 5 ms entre sí? c) ¿Cuál es la velocidad de onda? a) 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝝀𝝀 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝝅𝝅 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝟎𝟎 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 c) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 17. Se supone que el cerebro determina la dirección de una fuente de sonido porque es capaz de apreciar la diferencia de fase entre las ondas sonoras que chocan contra los tímpanos auditivos. Una fuente sonora distante emite un sonido de frecuencia 680 Hz. Si nuestro rostro está frontalmente dirigido hacia la fuente sonora, no apreciamos diferencia de fase. Estimar el cambio de diferencia de fase entre los sonidos recibidos por los oídos si ahora giramos 90º respecto a la posición frontal. Sea la distancia entre los ojos 0,2 m. ∆𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙∗𝒇𝒇 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐∗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 18. Una fuente sonora A está localizada en x=0, y=0 y otra B en x=0, y = 2,4 m. Las dos fuentes emiten coherentemente en fase. Una observadora en x=40 m, y=0 observa que cuando camina en dirección y positiva o negativa alejándose de y=0, la intensidad del sonido disminuye. ¿Cuál es la frecuencia más baja y más alta de las fuentes que puede explicar dicha observación? La distancia del observador a la fuente A: 𝒂𝒂𝑨𝑨 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎. La distancia del observador a la fuente B: 𝒂𝒂𝑩𝑩 = �𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 + 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟐𝟐 m. La diferencia de caminos entre las dos fuentes en el punto del observador es: ∆𝒂𝒂 = �𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 + 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟐𝟐 − 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐦𝐦 La condición de interferencia constructiva es: ∆𝒂𝒂 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝀𝝀 ; 𝝀𝝀 = 𝚫𝚫𝒂𝒂 𝒔𝒔 ;𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐,𝟎𝟎,𝟎𝟎, … ; 𝒇𝒇 = 𝒔𝒔∗𝒗𝒗 𝚫𝚫𝒂𝒂 = 𝒔𝒔∗𝒗𝒗 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝒔𝒔 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒇𝒇 = (𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔) 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏 ;𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐; 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 19. Suponer que la observadora del problema 18 localiza un punto de intensidad mínima en x=40 m, y=0. ¿Cuál es entonces la frecuencia más alta y más baja congruente con esta observación? La condición de interferencia destructiva: ∆𝒂𝒂 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔+ 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒂𝒂 𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏 ; 𝒇𝒇 = (𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏)∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒂𝒂 ;𝒔𝒔 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐,𝟎𝟎… 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎 ;𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒂𝒂 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏; 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎∗𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝚫𝚫𝒂𝒂 = 𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 20. Dos focos puntuales que están en fase se encuentran separados una distancia d. Se detecta un esquema de interferencia a lo largo de una recta paralela a la que une los focos y situada a una distancia grande D, como se india en la figura. a) Demostrar que la diferencia de trayectos desde los dos focos al mismo punto de la línea situado a un ángulo ϴ viene dada aproximadamente por Δs =d senϴ (Sugerencia: Suponer que las líneas procedentes de las fuentes a P son aproximadamente paralelas). b) Demostrar que la distancia ym desde el punto correspondiente al máximo central hasta el máximo m de interferencia viene dada aproximadamente por 𝒚𝒚𝒎𝒎 = 𝒎𝒎𝑫𝑫 𝝀𝝀 𝒓𝒓 a) 𝚫𝚫𝒄𝒄 ≈ 𝒓𝒓 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 b) Para ángulos pequeños 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 ≈ 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒔𝒔 𝚫𝚫𝒄𝒄 ≈ 𝒓𝒓 ∗ 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒔𝒔 Por el dibujo del problema: 𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒔𝒔 ≈ 𝒚𝒚𝒎𝒎 𝑫𝑫 𝚫𝚫𝒄𝒄 ≈ 𝒓𝒓 ∗ 𝒚𝒚𝒎𝒎 𝑫𝑫 Para una interferencia constructiva: 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒄𝒄 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔 ;𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐,𝟎𝟎, … Utilizando la expresión de Δs: 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓∗𝒚𝒚𝒎𝒎𝑫𝑫 𝝀𝝀 𝑷𝑷𝒐𝒐𝒄𝒄𝒊𝒊𝒄𝒄𝒊𝒊ó𝒔𝒔 𝟏𝟏: 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟎𝟎𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝟎𝟎𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 Posición 2: Simétrico, pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = −𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝑷𝑷𝒐𝒐𝒄𝒄𝒊𝒊𝒄𝒄𝒊𝒊ó𝒔𝒔 𝟎𝟎:: 𝒙𝒙𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟐𝟐 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟐𝟐 𝒎𝒎 Posición 4, Simétrico: pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟐𝟐 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 = −𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟐𝟐 𝒎𝒎 La siguiente, corresponde a n=0 y es el punto “central”:𝒙𝒙𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝒓𝒓 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔+ 𝟏𝟏) ; 𝒔𝒔 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔�𝝀𝝀∗(𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏) 𝟐𝟐∗𝒓𝒓 � 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎 ; 𝒔𝒔𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔� 𝝀𝝀 𝟐𝟐∗𝒓𝒓 � = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎º 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏 ; 𝒔𝒔𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔�𝟎𝟎∗𝝀𝝀 𝟐𝟐∗𝒓𝒓 � = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎º 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐 ; 𝒔𝒔𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔�𝟎𝟎∗𝝀𝝀 𝟐𝟐∗𝒓𝒓 � = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟐𝟐º 𝑷𝑷𝒐𝒐𝒄𝒄𝒊𝒊𝒄𝒄𝒊𝒊ó𝒔𝒔 𝟏𝟏: 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 Posición 2: Simétrico, pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = −𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝑷𝑷𝒐𝒐𝒄𝒄𝒊𝒊𝒄𝒄𝒊𝒊ó𝒔𝒔 𝟎𝟎:: 𝒙𝒙𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 Posición 4, Simétrico: pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 = −𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝑷𝑷𝒐𝒐𝒄𝒄𝒊𝒊𝒄𝒄𝒊𝒊ó𝒔𝒔 𝟎𝟎:: 𝒙𝒙𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟐𝟐,𝟐𝟐 𝒎𝒎 Posición 6, simétrico, pero con y negativa: 𝒙𝒙𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 ; 𝒚𝒚𝟎𝟎 = −𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 25. Un radiotelescopio se compone de dos antenas separadas una distancia de 200 m. Cada antena se sintoniza a una frecuencia particular como 20 MHz. Las señales procedentes de cada antena pasan a un amplificador común, pero una de las señales pasa primero por un ajustador de fase, que retrasa la fase en una cantidad, que retrasa la fase en una cantidad prevista de modo que el telescopio puede “mirar” en diferentes direcciones. Con un retraso de fase cero, las ondas de radio planas que inciden verticalmente se suman constructivamente en el amplificador. ¿Cuál deberá ser el retraso de fase para que las señales que vienen formando un ángulo de ϴ=10º con la vertical (en el plano formado por la vertical y la línea que une las antenas) se sumen constructivamente en el amplificador? La diferencia de fase viene dada por: 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒄𝒄 𝝀𝝀 𝚫𝚫𝒄𝒄 = 𝒓𝒓 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝝀𝝀 = 𝒄𝒄 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝚫𝚫𝒄𝒄 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝚫𝚫𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝀𝝀 + 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝝀𝝀 Por ser interferencia constructiva, el desfase ha de eliminar la parte “que sobra”: 0,315λ. 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝝀𝝀 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓 Pulsaciones 26. Las pulsaciones se producen por superposición de dos ondas armónicas sólo si a) Sus amplitudes y frecuencias son iguales. b) Sus amplitudes son iguales, pero sus frecuencias difieren ligeramente. c) Sus frecuencias difieren ligeramente incluso si sus amplitudes no son iguales. d) Sus frecuencias son iguales pero sus amplitudes difieren ligeramente. La respuesta correcta es la c. 27. Verdadero o falso: La frecuencia de batido entre dos sonoras de frecuencia casi iguales es igual a la diferencia de frecuencias de las ondas sonoras individuales. La frecuencia de batido es: 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒂𝒂𝒕𝒕𝒊𝒊𝒓𝒓𝒐𝒐 = 𝚫𝚫𝒇𝒇. Por tanto, es correcto. 28. ¿Con qué exactitud podemos sintonizar una cuerda de piano y un diapasón? Los pianos se afinan haciendo sonar el diapasón y la nota del piano simultáneamente y afinando la cuerda del piano hasta que los tiempos estén separados; es decir, el tiempo entre latidos es muy largo. Si asumimos que 2 s es el período máximo detectable para los latidos, entonces uno debería poder afinar la cuerda del piano a por lo menos 0,5 Hz. 29. Dos diapasones tienen frecuencias de 256 Hz y 260 Hz. ¿Cuál es la frecuencia de los batidos si ambos vibran al mismo tiempo? 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒂𝒂𝒕𝒕𝒊𝒊𝒓𝒓𝒐𝒐 = 𝚫𝚫𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 30. Cuando se toca una cuerda de violín (sin pulsar con los dedos) al mismo tiempo que un diapasón de frecuencia 440 Hz, se oyen los batidos de la cuerda a un ritmo de 3 por segundo. Cuando la tensión en la cuerda se aumenta ligeramente, disminuye la frecuencia de los batidos. ¿Cuál era la frecuencia inicial de la cuerda del violín? 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒂𝒂𝒕𝒕𝒊𝒊𝒓𝒓𝒐𝒐 = 𝚫𝚫𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒐𝒐 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 Al aumentar la tensión, aumentamos la velocidad, v=λ*f; disminuye la frecuencia, por tanto, como disminuye la frecuencia de los batidos, Δf se hace menor, por tanto, f=443 Hz. 31. Se golpean simultáneamente dos diapasones y se oyen cuatro batidos por segundo. La frecuencia de uno de los diapasones es 500 Hz. a) ¿Cuáles son los valores posibles de la frecuencia del otro diapasón? b) Se coloca un trocito de cera en el diapasón de 500 Hz para disminuir ligeramente su frecuencia. Explicar cómo puede utilizarse la medida de la nueva frecuencia de batido para determinar cuál de las respuestas a la parte (a) es la frecuencia correcta del segundo diapasón. a) 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒂𝒂𝒕𝒕𝒊𝒊𝒓𝒓𝒐𝒐 = 𝚫𝚫𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒐𝒐 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) Si la frecuencia de los batidos aumenta, al bajar la frecuencia del segundo, su frecuencia es de 504 Hz. Si la frecuencia de los batidos baja, como hemos bajos la frecuencia del segundo, la respuesta es 496 Hz. Ondas estacionarias 32. Verdadero o falso: a) La frecuencia del tercer armónico es tres veces la del primer armónico. b) La frecuencia del quinto armónico es cinco veces la del fundamental. c) En un tubo abierto por un extremo y cerrado por el otro no se excitan los armónicos pares. Si hablamos de una cuerda atada por los dos extremos. a) Verdadero, dado que las frecuencias de los armónicos son múltiplos de la fundamental. b) Verdadero, por el mismo motivo. c) En este caso solo se dan los armónicos dados por: 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝒔𝒔 ∗ 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 ;𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎,𝟎𝟎, .. Verdadero. 33. Las ondas estacionarias proceden de la superposición de dos ondas de a) La misma amplitud, frecuencia y sentido de propagación. b) La misma amplitud, frecuencia y sentidos opuestos de propagación. c) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y el mismo sentido de propagación. d) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y sentidos opuestos de propagación. La opción correcta es la b. 34. Un tubo de órgano abierto por ambos extremos tiene una frecuencia fundamental de 400 Hz. Si ahora se cierra un extremo de este tubo, la frecuencia fundamental será a) 200 Hz b) 400 Hz c) 546 Hz d) 800 Hz Las ondas fundamentales en cada caso viene dadas por : En el primer caso 2*L=λ ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 . En el segundo caso, L=𝝀𝝀 𝟎𝟎 ; 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐∗𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 . La frecuencia se ha reducido a la mitad. Respuesta a. 35. Una cuerda fija por ambos extremos resuena con una frecuencia fundamental de 180 Hz. ¿Cuál de las acciones siguientes reducirá la frecuencia fundamental a 90 Hz? a) Duplicar la tensión y duplicar la longitud. b) Reducir a la mitad la tensión y mantener fija la longitud. c) Mantener fija la tensión y duplicar la longitud. d) Mantener fija la tensión y reducir la longitud a la mitad. 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀𝟐𝟐; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎 𝟐𝟐 ∗ 𝝀𝝀𝟎𝟎; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 = 𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝟏𝟏,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 41. Una cuerda de 4 m de longitud se fija por un extremo y se liga por el otro a una cuerda ligera de modo que puede moverse libremente en dicho extremo. La velocidad de las ondas sobre la cuerda es 20 m/s. Hallar la frecuencia a) Del armónico fundamental. b) Del segundo armónico. c) Del tercer armónico. a) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) El segundo armónico, n=2, no existe al estar libre en un extremo. c) El tercero 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎 𝟎𝟎 ∗ 𝝀𝝀𝟐𝟐; 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 = 𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 42. Una cuerda de piano sin arrollamientos tiene una frecuencia fundamental de 200 Hz. Cuando se le arrolla un hilo, su densidad másica lineal se duplica. ¿Cuál es la nueva frecuencia fundamental, suponiendo que no se varia la tensión? 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝝀𝝀 = � 𝑻𝑻 𝝁𝝁𝟐𝟐 𝝀𝝀 = � 𝑻𝑻 𝟐𝟐∗𝝁𝝁 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 √𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 √𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 √𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 43. El intervalo normal de audición humana está comprendido entre 20 Hz y 20 000 Hz. ¿Cuál es la mayor longitud de un tubo de órgano cuya nota fundamental se encuentre dentro de este intervalo si a) Está cerrado por un extremo. b) Está abierto por los dos extremos. a) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 ; 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝒇𝒇 Para 20 Hz: 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ; 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 44. La longitud de la cuerda Si en una cierta guitarra es 60 cm. Su frecuencia fundamental es 247 Hz. a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales sobre la cuerda? b) Si la densidad másica lineal de la cuerda es 0,01 g/cm, ¿Cuál deberá ser su tensión cuando esté afinada? a) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ;𝒗𝒗 = 𝒇𝒇 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 b) 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 ;𝑻𝑻 = 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎 𝟐𝟐 ∗ �𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎�𝒌𝒌𝒕𝒕 𝒎𝒎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝑵𝑵 45. La función de onda y(x,t) correspondiente a cierta onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos viene dada por 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 (𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙)𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒕𝒕) Con y y x en centímetros y t en segundos. a) ¿Cuáles son las longitudes de onda y frecuencia de estas ondas? b) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en esta cuerda? c) Si la cuerda está vibrando en su cuarto armónico, ¿Cuál es su longitud? a) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟏𝟏,𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇:𝒇𝒇 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 c) 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎 46. La función de onda y(x,t) para una cierta onda estacionaria sobre una cuerda que está fija por ambos extremos es 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = (𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎)𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔�𝟐𝟐,𝟎𝟎 𝒎𝒎−𝟏𝟏𝒙𝒙�𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄−𝟏𝟏𝒕𝒕) a) Hallar la velocidad y la amplitud de las dos ondas móviles que originan la onda estacionaria. b) ¿Cuál es la distancia entre nodos sucesivos en la cuerda? c) ¿Cuál es la longitud más corta posible de la cuerda? a) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟐𝟐,𝟎𝟎 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇:𝒇𝒇 = 𝝎𝝎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝒘𝒘 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 𝑨𝑨 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝚫𝚫𝒙𝒙(𝒔𝒔𝒐𝒐𝒓𝒓𝒐𝒐− 𝒔𝒔𝒐𝒐𝒓𝒓𝒐𝒐) = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎 c) La cuerda está fija por los dos extremos, en ellos hemos de tener un nodo, por tanto, Lmín=1,26 m. 47. Una cuerda de 2,51 m de largo tiene la función de onda dada Enel problema 46. a) Dibujar la posición de la cuerda en los instantes t=0, t=1/4T, t=1/2 T y t=3/4T. en donde T=1/f es el periodo de la vibración. b) Hallar T en segundos. c) En un instante t en el que la cuerda es horizontal, es decir, y(x)=0 para todo valor de x, ¿Cuál resulta ser la energía de la onda? a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙) 𝒚𝒚(𝒙𝒙,𝑻𝑻/𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄� 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟎𝟎.𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒇𝒇′ 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 d) Según lo dicho son el tercer, el quinto y el séptimo armónico. e) 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 ; 𝑳𝑳 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 50. El espacio que hay por encima del agua en un tubo semejante al siguiente: Tiene una longitud de 120 cm. Cerca del extremo abierto existe un altavoz accionado por un oscilador de audio cuya frecuencia puede variar de 10 a 5000 Hz. a) ¿Cuál es la frecuencia más baja del oscilador que resonará dentro del tubo? b) ¿Cuál es la frecuencia mayor con la que resonará? c) ¿Cuántas frecuencias diferentes del oscilador producirán resonancia? (Despreciar la corrección del extremo) a) 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) La expresión general para las frecuencias será: 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 + 𝟏𝟏) 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝒎𝒎 ;𝒎𝒎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎𝟎∗𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 ∗ 𝒎𝒎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 c) 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 + 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝒔𝒔 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒔𝒔𝒄𝒄𝒅𝒅𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄𝒊𝒊𝒂𝒂𝒄𝒄 51. Un diapasón de 460 Hz produce resonancia en el tubo del ejemplo anterior cuando la parte superior del tubo está a 18,3 cm y a 55,8 cm por encima de la superficie del agua. a) Hallar la velocidad del sonido en el aire. b) ¿Cuál es la corrección del extremo para ajustar el hecho de que el vientre no se presente exactamente en el extremo del tubo abierto? a) La diferencia entre dos armónicos sucesivos es 𝝀𝝀/𝟐𝟐. 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎− 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒗𝒗 = 𝒇𝒇 ∗ 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 b) 𝑳𝑳𝒔𝒔𝒇𝒇𝒔𝒔𝒄𝒄 = 𝑳𝑳 + 𝚫𝚫𝑳𝑳 En la primera resonancia: 𝑳𝑳𝒔𝒔𝒇𝒇𝒔𝒔𝒄𝒄 = 𝝀𝝀 𝟎𝟎 = 𝑳𝑳 + 𝚫𝚫𝑳𝑳 ; 𝚫𝚫𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟎𝟎 − 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎 − 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 52. A 16ºC la frecuencia fundamental de un tubo de órgano es 440,0 Hz. ¿Cuál será la frecuencia fundamental del tubo si la temperatura aumenta a 32ºC? ¿Sería preferible construir el tubo con un material que se dilatara sustancialmente cuando aumenta la temperatura o con un material que mantuviera su longitud a todas las temperaturas normales? 𝒗𝒗 = �𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 ∗ �𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 𝒇𝒇′ = 𝟏𝟏 𝝀𝝀′ ∗ �𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻′ 𝑴𝑴 Si el tubo no ha cambiado de longitud, 𝝀𝝀 = 𝝀𝝀′. 𝒇𝒇 𝒇𝒇′ = �𝑻𝑻 𝑻𝑻′ ;𝒇𝒇 = 𝒇𝒇′ ∗ �𝑻𝑻 𝑻𝑻′ = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ �𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝑯𝑯𝑯𝑯 Es mejor que se expanda de forma que el cociente v/L se mantenga constante. 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 53. Una cuerda de violín de 40 cm de longitud y 1,2 g de masa tiene una frecuencia de 500 Hz cuando está vibrando en su modo fundamental. a) ¿Cuál es la longitud de onda de la onda estacionaria de la cuerda? b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda? c) ¿Dónde se debería colocar el dedo para incrementar la frecuencia a 650 Hz? a) 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 ;𝑻𝑻 = 𝝀𝝀𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝑵 c) 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 ;𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 ; 𝑳𝑳 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 ∗ �𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ � 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏,𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 Los dedos se han de poner a 0,40-0,3077=0,0923 cm del extremo. 54. La cuerda Sol de un violín tiene 30 cm de longitud. Cuando se toca sin pulsar, vibra con una frecuencia de 196 Hz. Las notas próximas más altas en la escala son: La (220 Hz), Si (247 Hz), Do (262 Hz) y Re (294 Hz). ¿A qué distancia del extremo de la cuerda debe colocarse un dedo para generar estas notas? 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 La longitud de la cuerda para las diferentes notas viene dada por: 𝑳𝑳′ = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 La distancia al extremo es: 𝒓𝒓 = 𝑳𝑳 − 𝑳𝑳′ = 𝑳𝑳 − 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 = 𝑳𝑳 − 𝟐𝟐∗𝑳𝑳∗𝒇𝒇𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝒇𝒇 = 𝑳𝑳 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒇𝒇𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒇𝒇 � Para el La: 𝒓𝒓 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎 Para el Si: 𝒓𝒓 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎 Para el Do: 𝒓𝒓 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 Para el Re: 𝒓𝒓 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎 ∗ �𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 � = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 55. Una cuerda con una densidad de masa 4 10-3 kg/m está sometida a una tensión de 360 N y está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz. La frecuencia de resonancia más alta siguiente es 450 Hz. a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia fundamental? b) ¿qué armónicos son los que se dan? c) ¿Cuál es la longitud de la cuerda? a) 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 b) ¿Qué punto tiene la máxima velocidad en un instante cualquiera? ¿Cuál es esta velocidad máxima? c) Hallar la aceleración de un segmento de cuerda en un punto cualquiera x en función del tiempo. d) ¿Qué punto tiene la mayor aceleración? ¿Cuánto vale esta aceleración máxima? a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙) 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄( 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒗𝒗(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒗𝒗(𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙) ⟶ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 ;𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟏𝟏 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝒔𝒔+ 𝟏𝟏) 𝒙𝒙 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 + 𝟏𝟏);𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒗𝒗(𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 c) 𝒂𝒂(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕) d) 𝒂𝒂(𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙) ⟶ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 ;𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 𝟏𝟏 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 (𝟐𝟐𝒔𝒔+ 𝟏𝟏) 𝒙𝒙 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 + 𝟏𝟏);𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒂𝒂(𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒎𝒎/𝒄𝒄𝟐𝟐 61. Una estudiante lleva consigo un pequeño oscilador y altavoz cuando pasea muy ligeramente por una larga sala. El altavoz emite un sonido de frecuencia 680 Hz que se refleja en las paredes de los extremos de la sala. La estudiante observa que cuando pasea a lo largo de la sala, la intensidad del sonido que ella percibe, pasa por una serie de máximos y mínimos sucesivos. ¿qué distancia debe recorrer para que el sonido pase de un máximo al siguiente? 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 Si suponemos que la persona camina hacia la pared, la diferencia de camino entre la onda reflejada en una pared cercana y la reflejada en la pared más lejana será, si d es la distancia que camina la persona entre dos máximos y se dirige a la pared más cercana: 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝀𝝀 = 𝚫𝚫𝒙𝒙𝒑𝒑𝒂𝒂𝒂𝒂𝒔𝒔𝒓𝒓 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒔𝒔𝒂𝒂 + 𝚫𝚫𝒙𝒙𝒑𝒑𝒂𝒂𝒂𝒂𝒔𝒔𝒓𝒓 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒂𝒂𝒔𝒔𝒂𝒂 𝚫𝚫𝒙𝒙𝒑𝒑𝒂𝒂𝒂𝒂𝒔𝒔𝒓𝒓 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂𝒄𝒄𝒂𝒂𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 . Reducción de distancia en 2d. 𝚫𝚫𝒙𝒙𝒑𝒑𝒂𝒂𝒂𝒂𝒔𝒔𝒓𝒓 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒂𝒂𝒔𝒔𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 . Aumenta la distancia en 2d. 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐏𝐏: 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎 ∗ 𝒓𝒓 𝐭𝐭 ∗ 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 ∗ 𝒓𝒓 𝐏𝐏𝐭𝐭𝐏𝐏𝐭𝐭 𝐭𝐭 = 𝟏𝟏: 𝐝𝐝 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇∗𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎 62. Suponer que la cinta de caucho del problema 57 se comporta como un muelle ideal. La cinta se ata a dos postes cuya separación D puede modificarse. a) Deducir una expresión para la frecuencia de la vibración fundamental de este sistema. b) ¿Cuál debería ser la separación entre los extremos fijos de la cinta de caucho, para que vibrase comuna frecuencia fundamental de 21 Hz? a) 𝟐𝟐 ∗ 𝑫𝑫 = 𝝀𝝀 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑫𝑫 𝑴𝑴𝒊𝒊𝒂𝒂𝒂𝒂𝒔𝒔𝒓𝒓𝒐𝒐 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒑𝒑𝒂𝒂𝒐𝒐𝒃𝒃𝒔𝒔𝒔𝒔𝒎𝒎𝒂𝒂 𝟎𝟎𝟎𝟎: Para T=7,60 N , D=1,20 m , 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎; Longitud sin tensión =0,80 m; m=6*10-3 kg. En estas condiciones: 𝒌𝒌 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝑻𝑻 ;𝒌𝒌 = 𝑻𝑻 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑵𝑵/𝒎𝒎 Para una longitud D de la molla: 𝒇𝒇 = � 𝑻𝑻 𝒎𝒎 𝑫𝑫 𝟐𝟐∗𝑫𝑫 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ � 𝑻𝑻 𝒎𝒎∗𝑫𝑫 Si consideramos T=k* 𝚫𝚫𝒙𝒙 y 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝑫𝑫 − 𝑳𝑳. 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �𝒌𝒌∗𝚫𝚫𝒙𝒙 𝒎𝒎∗𝑫𝑫 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ �𝒌𝒌∗(𝑫𝑫−𝑳𝑳) 𝒎𝒎∗𝑫𝑫 b) 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎 ∗ 𝒌𝒌∗(𝑫𝑫−𝑳𝑳) 𝒎𝒎∗𝑫𝑫 𝑫𝑫 = 𝒌𝒌∗𝑳𝑳 𝒌𝒌−𝟎𝟎∗𝒇𝒇𝟐𝟐∗𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎∗𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒎𝒎 63. Se fija una cuerda de 2 m por un extremo y se la hace vibrar en su tercer armónico con una amplitud de 3 cm y una frecuencia de vibración de 100 Hz. a) Escribir la función de onda correspondiente a esta vibración. b) Escribir una expresión para la energía cinética de un segmento de cuerda de longitud dx en el punto x y en un cierto tiempo t. ¿en qué instante es máxima esta energía cinética? ¿Cuál es la forma de la cuerda en dicho momento? c) Hallar la energía cinética máxima de la cuerda integrándola expresión anterior (b) en la longitud total de la cuerda. a) 𝒚𝒚𝟎𝟎(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝝎𝝎𝟎𝟎 ∗ 𝒕𝒕) 𝝎𝝎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = (𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅)𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓/𝒄𝒄 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎∗𝝀𝝀𝟎𝟎 𝟎𝟎 ; 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 𝟎𝟎 = 𝝀𝝀𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟎𝟎 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀𝟎𝟎 = 𝟎𝟎∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 = 𝟎𝟎∗𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝟎𝟎∗𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝟐𝟐 = 𝟎𝟎∗𝝅𝝅 𝟎𝟎 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓/𝒎𝒎 𝒚𝒚𝟎𝟎(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔�𝟎𝟎∗𝝅𝝅 𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) b) 𝒓𝒓𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝒓𝒓𝒙𝒙 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒓𝒓𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �𝟎𝟎∗𝝅𝝅 𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒄𝒄 La energía cinética es máxima cuando la velocidad es máxima, por tanto: 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟏𝟏 ;𝒘𝒘 ∗ 𝒕𝒕 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟏𝟏 ; 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ; 𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝝎𝝎 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝝅𝝅 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄 La situación se repita cada T/2 s: 𝒕𝒕 = (𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎+ 𝒔𝒔 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 )𝒄𝒄 ; t=0,025; 0,075 ; 0,125,… 𝑳𝑳𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒅𝒅𝒔𝒔𝒂𝒂𝒓𝒓𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒔𝒔í𝒔𝒔𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒂𝒂𝒔𝒔𝒄𝒄𝒕𝒕𝒂𝒂. c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ ∫ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �𝟎𝟎∗𝝅𝝅 𝟎𝟎 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒓𝒓𝒙𝒙𝑳𝑳 𝟎𝟎 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳 ∗ 𝟏𝟏 𝒌𝒌 ∗ �𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙)� 𝟎𝟎 𝑳𝑳 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 Paquetes de ondas (opcional) 64. Una información para uso en ordenadores se transmite por cable en forma de pulsos eléctricos cortos a razón de 107 pulsos por segundo. a) ¿Cuál es la duración máxima de cada pulso para que dos pulsos no se solapen? b) ¿Cuál es el intervalo de frecuencias a las cuales debe responder el equipo receptor? a) 𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝒄𝒄 b) ∆𝝎𝝎 ∗ ∆𝒕𝒕 ≈ 𝟏𝟏;𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒇𝒇 ∗ ∆𝒕𝒕 ≈ 𝟏𝟏; ∆𝒇𝒇 ≈ 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗∆𝒕𝒕 = 𝒇𝒇 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄−𝟏𝟏 65. Un diapasón de frecuencia fo empieza a vibrar en el instante t=0 y se detiene después de un intervalo de tiempo Δt. La forma de la onda sonora un cierto tiempo después se muestra como una función de x. Sea N el número (aproximado) de ciclos en esta forma de onda. a) ¿Cómo están relacionados entre sí N, fo y Δt? b) Si Δx es la longitud en el espacio de este grupo de ondas, ¿Cuál es la longitud de onda en función de Δx y N? c) ¿Cuál es el número de onda k en función de N y Δx? d) El número de ciclos N posee una incertidumbre de ±1 ciclo aproximadamente. Explicar por qué, usando la figura inferior. e) Demostrar que la incertidumbre del número de onda debido a la incertidumbre en N es 𝟐𝟐𝝅𝝅/∆𝒙𝒙. a) ∆𝒕𝒕 ≈ 𝑵𝑵 ∗ 𝑻𝑻 = 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒐𝒐 b) 𝝀𝝀 ≈ ∆𝒙𝒙 𝑵𝑵 c) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑵𝑵 ∆𝒙𝒙 d) La incertidumbre se debe a que el inicio de la onda y su extinción son progresivos y no de repente, el inicio y el final no están bien definidos. e) ∆𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗∆𝑵𝑵 ∆𝒙𝒙 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 ∆𝒙𝒙 ;𝒑𝒑𝒐𝒐𝒂𝒂 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒂𝒂 ∆𝑵𝑵 = ±𝟏𝟏. Problemas generales 66. Cuando dos ondas se mueven en direcciones opuestas se superponen como en la figura 75. El canal auditivo, que tiene una longitud próxima a los 2,5 cm, se puede considerar como un tubo cerrado por un extremo y abierto por el otro. a) ¿Cuáles son las frecuencias de resonancia del mismo? b) Describir los posibles efectos de los modos de resonancia del canal auditivo sobre el umbral de audición. a) Las longitudes de onda vienen dadas por: 𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔+ 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟎𝟎 ; n=0,1,2,3,4.. ; 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 + 𝟏𝟏) ∗ 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 + 𝟏𝟏) ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 + 𝟏𝟏) ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) Las frecuencias alrededor de la fundamental serán las mejor percibidas. 76. Una cuerda de 160 g y 4 m de largo está fija por un extremo y ligada a una cuerda ligera por el otro. Su tensión es 400 N. a) ¿Cuáles son las longitudes de onda del armónico fundamental y los dos siguientes? b) ¿Cuáles son las frecuencias de estas ondas estacionarias? a) 𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔+ 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟎𝟎 ; n=0,1,2,3,4.. ; 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏 𝝀𝝀𝟏𝟏 = 𝟎𝟎∗𝟎𝟎 𝟏𝟏 =16 m 𝝀𝝀𝟐𝟐 = 𝟎𝟎∗𝟎𝟎 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝝀𝝀𝟎𝟎 = 𝟎𝟎∗𝟎𝟎 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀𝒔𝒔 = 𝒗𝒗∗(𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏) 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 = �𝑻𝑻𝝁𝝁∗(𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏) 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 = (𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏) 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 ∗ �𝑻𝑻∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 𝒇𝒇𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎∗𝟎𝟎 ∗ �𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒇𝒇𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎 ∗ �𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒇𝒇𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎 ∗ �𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 77. Los tubos más cortos utilizados en los órganos tienen aproximadamente 7,5 cm de largo. a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de un tubo con esta longitud que está abierto por ambos extremos? b) ¿Cuál es el armónico más alto para un tubo de estos que está dentro del intervalo audible? (Entre 20 y 20 000 Hz). a) 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝑳𝑳 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒔𝒔 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝒔𝒔 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 El noveno armónico estará por encima de los 20 000 Hz. 78. Dos ondas procedentes de dos fuentes coherentes poseen la misma longitud de onda λ, frecuencia ω y amplitud A. ¿Cuál es la diferencia de trayectos si la onda resultante en algún punto tiene la amplitud A? 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝟏𝟏 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 𝜹𝜹 𝟐𝟐 � ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝜹𝜹� Para una amplitud A = yo. 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 𝜹𝜹 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ; 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝟎𝟎 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∆𝒙𝒙 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 𝟎𝟎 ; 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝝀𝝀 𝟎𝟎 79. Una cuerda de 35 m tiene una densidad másica lineal de 0,0085 kg/m y soporta una tensión de 18 N. Determinar las frecuencias de los cuatro primeros armónicos si a) El muelle está fijo por ambos extremos. b) La cuerda está fija por un extremo y atada a un hilo largo y de masa despreciable en el otro extremo. a) 𝑳𝑳 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒔𝒔 𝒇𝒇 = 𝒔𝒔 ∗ �𝑻𝑻/𝝁𝝁 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏;𝒇𝒇 = � 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐;𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎;𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎;𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 b) 𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔+ 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟎𝟎 ; 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏 𝒇𝒇 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 + 𝟏𝟏) ∗ �𝑻𝑻/𝝁𝝁 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎;𝒇𝒇 = � 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏;𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 ∗ � 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐;𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 ∗ � 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎;𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 ∗ � 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 80. Una persona encuentra un pozo de una mina abandonada y desea medir su profundidad. Utilizando un oscilador de audio de frecuencia variable, observa que se producen Enel pozo resonancias sucesivas a frecuencias de 63,58 y 89,25 Hz. ¿Cuál es la profundidad del pozo? 𝑳𝑳 = 𝒔𝒔 ∗ 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝒇𝒇𝒔𝒔 𝑳𝑳 = (𝒔𝒔 + 𝟐𝟐) ∗ 𝒗𝒗 𝟎𝟎∗𝒇𝒇𝒔𝒔+𝟐𝟐 Dividiendo: 𝟏𝟏 = 𝒔𝒔 𝒔𝒔+𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎∗𝒇𝒇𝒔𝒔+𝟐𝟐 𝟎𝟎∗𝒇𝒇𝒔𝒔 ; (𝒔𝒔 + 𝟐𝟐) ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝒔𝒔 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔+𝟐𝟐 ;𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝒇𝒇𝒔𝒔 𝒇𝒇𝒔𝒔+𝟐𝟐−𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟎𝟎 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 81. Una cuerda de 5 m de largo que está fija sólo por un extremo está vibrando en su quinto armónico con una frecuencia de 400 Hz. El desplazamiento máximo de cualquier segmento de la cuerda es 3 cm. a) ¿Cuál es la longitud de onda del mismo? b) ¿Cuál es el número de ondas k? c) ¿Cuál es la frecuencia angular? d) Escribir la función de onda correspondiente a esta onda estacionaria. a) 𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔+ 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟎𝟎 ; 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏 = 𝟎𝟎∗𝟎𝟎 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 b) 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓/𝒎𝒎 c) 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒓𝒓/𝒄𝒄 d) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔�𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 82. Una onda estacionaria en una cuerda está representada por la siguiente función de onda 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎𝝅𝝅𝒙𝒙)𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟎𝟎𝟎𝟎𝝅𝝅𝒕𝒕) En donde x e y se expresan en metros y t en segundos. Determinar el máximo desplazamiento y la máxima velocidad de un punto de la cuerda situado en a) x=0,10 m b) x=0,25 m c) x= 0,30 m d) x=0,50 m. 𝒗𝒗𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒙𝒙) 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒙𝒙) a) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 b) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟎𝟎) = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎) = 𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 c) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎) = −𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒎𝒎 ; en valor absoluto 0,012 m 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎) = −𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎/𝒄𝒄 ; en valor absoluto 2.22 m d) 𝒚𝒚𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝟎𝟎.𝟎𝟎) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎.𝟎𝟎) = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒗𝒗𝒚𝒚,𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙(𝟎𝟎,𝟏𝟏) = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎) = 𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 83. Un alambre de 2,5 m y masa 0,10 kg está fijo por ambos extremos bajo una tensión de 30 N. Al excitar el armónico n se forma un nodo a 0,5 m de un extremo. a) ¿Cuánto vale n? b) ¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres modos permitidos de vibración? a) 𝑳𝑳 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒔𝒔 𝑳𝑳𝒂𝒂 𝒓𝒓𝒊𝒊𝒄𝒄𝒕𝒕𝒂𝒂𝒔𝒔𝒄𝒄𝒊𝒊𝒂𝒂 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒕𝒕𝒂𝒂𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒐𝒐𝒓𝒓𝒐𝒐𝒄𝒄 𝒔𝒔𝒄𝒄 𝝀𝝀 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝒎𝒎; 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝒎𝒎. 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟎𝟎 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 b) 𝒇𝒇 = 𝒔𝒔 ∗ �𝑻𝑻/𝝁𝝁 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒔𝒔 = 𝟏𝟏;𝒇𝒇 = � 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟐.𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟐𝟐.𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟐𝟐;𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏.𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎;𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟎𝟎 𝑯𝑯𝑯𝑯 84. En un método antiguo (método de Kunt) para determinar la velocidad del sonido en gases, se colocaba horizontalmente un tubo de vidrio cilíndrico y se esparcía en el fondo del tubo una determinada cantidad de un polvo muy fino. Un extremo se cerraba con un pistón que podía ajustarse a un oscilador de frecuencia conocida f (como un diapasón). El otro extremo se cerraba por un pistón cuya posición podía modificarse. Mientras se hacía oscilar el primer pistón cuya posición a la frecuencia f, se ajustaba la posición del Y se hace sonar con un arco de violín de modo que oscile con su frecuencia fundamental. El nivel del agua del tubo se hace bajar hasta que se obtiene por primera vez la resonancia a 18 cm por debajo de la parte superior del tubo Utilizar estos datos para determinar la velocidad del sonido en el aire. ¿por qué no es muy exacto este método? Para la columna tenemos: 𝑳𝑳 = (𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔+ 𝟏𝟏) ∗ 𝝀𝝀 𝟎𝟎 ; 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎∗𝑳𝑳 (𝟐𝟐∗𝒔𝒔+𝟏𝟏) Para el primer armónico: 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 𝒗𝒗 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇 Para la cuerda tenemos: 𝑳𝑳 = 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳𝒄𝒄𝒅𝒅𝒔𝒔𝒂𝒂𝒓𝒓𝒂𝒂 𝒗𝒗 = �𝑻𝑻 𝝁𝝁 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳𝒄𝒄𝒅𝒅𝒔𝒔𝒂𝒂𝒓𝒓𝒂𝒂 ∗ 𝒇𝒇 ; 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑳𝑳𝒄𝒄𝒅𝒅𝒔𝒔𝒂𝒂𝒓𝒓𝒂𝒂 ∗ �𝑻𝑻 𝝁𝝁 Por tanto: 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳𝒄𝒄𝒐𝒐𝒔𝒔𝒅𝒅𝒎𝒎𝒔𝒔𝒂𝒂 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑳𝑳𝒄𝒄𝒅𝒅𝒔𝒔𝒂𝒂𝒓𝒓𝒂𝒂 ∗ �𝑻𝑻 𝝁𝝁 𝒗𝒗 = 𝟎𝟎 ∗ 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎 ∗ � 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎/𝒄𝒄 La poca sensibilidad del método radica en que el nodo de la columna no se produce exactamente en su extremo libre. 88. En un día de mucho viento resuena a veces un tubo de desagüe. Estimar la frecuencia de resonancia de este tubo en una casa de un solo piso. Estimar el cambio de esta frecuencia del invierno al verano en una región templada. Podemos considerar el tubo de desagüe un tubo abierto en sus dos extremos, por tanto: 𝑳𝑳 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝀𝝀 𝟐𝟐 ; 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒔𝒔 𝒇𝒇 = 𝒗𝒗 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∗ 𝒔𝒔 Si suponemos unos 5 m de altura en la casa: 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐∗𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒔 La velocidad del sonido Enel aire viene dada por: 𝒗𝒗 = �𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 𝑳𝑳𝒂𝒂 𝒇𝒇𝒂𝒂𝒔𝒔𝒄𝒄𝒅𝒅𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄𝒊𝒊𝒂𝒂 𝒃𝒃𝒂𝒂𝒆𝒆𝒂𝒂𝒂𝒂á 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒊𝒊𝒔𝒔𝒗𝒗𝒊𝒊𝒔𝒔𝒂𝒂𝒔𝒔𝒐𝒐 𝒚𝒚 𝒄𝒄𝒅𝒅𝒃𝒃𝒊𝒊𝒂𝒂á 𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒗𝒗𝒔𝒔𝒂𝒂𝒂𝒂𝒔𝒔𝒐𝒐. 89. Un alambre de 50 cm de longitud, fijo por ambos extremos, vibra con una frecuencia fundamental fo cuando la tensión es de 50 N. Si la tensión se incrementa a 60 N, la frecuencia fundamental se incrementa en 5 Hz y un incremento posterior de la tensión hasta 70 N da lugar a una frecuencia fundamental de (fo +9,6) Hz. Determinar la masa del alambre. �𝑻𝑻𝟏𝟏∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ 𝒇𝒇𝒐𝒐 �𝑻𝑻𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ (𝒇𝒇𝒐𝒐 + 𝟎𝟎) �𝑻𝑻𝟎𝟎∗𝑳𝑳 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 ∗ (𝒇𝒇𝒐𝒐 + 𝟎𝟎,𝟎𝟎) De las dos últimas obtenemos: �𝑻𝑻𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟎𝟎 = 𝒇𝒇𝒐𝒐+𝟎𝟎 𝒇𝒇𝒐𝒐+𝟎𝟎,𝟎𝟎 ; 𝒇𝒇𝒐𝒐 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎∗�𝑻𝑻𝟐𝟐𝑻𝑻𝟎𝟎 −𝟎𝟎 𝟏𝟏−�𝑻𝑻𝟐𝟐𝑻𝑻𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎∗�𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝟏𝟏−�𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑫𝑫𝒔𝒔 𝒔𝒔𝒂𝒂 𝒑𝒑𝒂𝒂𝒊𝒊𝒎𝒎𝒔𝒔𝒂𝒂𝒂𝒂: 𝒎𝒎 = 𝑻𝑻𝟏𝟏 𝟎𝟎∗𝑳𝑳∗𝒇𝒇𝒐𝒐𝟐𝟐 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝟎𝟎.𝟎𝟎∗𝟎𝟎𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒕𝒕 90. Una onda estacionaria sobre una cuerda viene descrita por la siguiente función de onda: 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔�𝝅𝝅𝒙𝒙 𝟐𝟐 �𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟎𝟎𝟎𝟎𝝅𝝅𝒕𝒕) En donde x e y están en metros y t en segundos. a) Escribir funciones de onda para dos trenes de ondas que al superponerse producirán un esquema de ondas estacionarias. b) ¿Cuál es la distancia entre los nodos de la onda estacionaria? c) ¿Cuál es la velocidad de un segmento de cuerda en x=1 m? d) ¿Cuál es la aceleración del mismo segmento de cuerda? a) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 − 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙+ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) b) La distancia entre nodos es λ/2. 𝝀𝝀 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝅𝝅/𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝒎𝒎 . Distancia entre nodos 2 m. c) 𝒗𝒗(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒗𝒗(𝟏𝟏, 𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏� ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒗𝒗(𝟏𝟏, 𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) d) 𝒂𝒂(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅)𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒂𝒂(𝟏𝟏, 𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅)𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔 �𝝅𝝅 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏� ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 𝒂𝒂(𝟏𝟏, 𝒕𝒕) = −𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗ (𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅)𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒕𝒕) 91. Dos altavoces idénticos emiten uniformemente en todas direcciones ondas sonoras de 680 Hz de frecuencia con una potencia de salida total de audio de 1 mW cada uno de ellos. Un punto P está a una distancia de 2,00 m de un altavoz y a 3,00 m del otro. a) Hallar las intensidades I1 y I2 de cada altavoz en el punto P separadamente. b) Si los altavoces se alimentan coherentemente y en fase, ¿Cuál será la intensidad en el punto P? c) Si se alimentan coherentemente, pero desfasados 180º, ¿Cuál será la intensidad en el punto p? d) Si los altavoces son incoherentes, ¿Cuál es la intensidad en el punto P? a) 𝑰𝑰 = 𝑷𝑷 𝟎𝟎∗𝝅𝝅∗𝒂𝒂𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑷𝑷 𝟎𝟎∗𝝅𝝅∗𝒂𝒂𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝝅𝝅∗𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑷𝑷 𝟎𝟎∗𝝅𝝅∗𝒂𝒂𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝟎𝟎∗𝝅𝝅∗𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 b) 𝝀𝝀 = 𝒗𝒗 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎 𝒎𝒎 La intensidad en el punto será proporcional a la amplitud al cuadrado de la onda en el punto: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑪𝑪𝒐𝒐𝒔𝒔𝒄𝒄𝒕𝒕𝒂𝒂𝒔𝒔𝒕𝒕 ∗ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝟐𝟐 ; 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 𝑪𝑪 ∗ �𝑰𝑰𝟏𝟏 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝒐𝒐𝒔𝒔𝒄𝒄𝒕𝒕𝒂𝒂𝒔𝒔𝒕𝒕 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐𝟐𝟐 ; 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑪𝑪 ∗ �𝑰𝑰𝟐𝟐 La amplitud resultante será: 𝑨𝑨𝟐𝟐 = (𝑨𝑨𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝟐𝟐)𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗ ��𝑰𝑰𝟏𝟏 + �𝑰𝑰𝟐𝟐� 𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰 Donde: 𝑰𝑰 = ��𝑰𝑰𝟏𝟏 + �𝑰𝑰𝟐𝟐� 𝟐𝟐 = ��𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 + �𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 � 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 c) En este caso debido al desfase tenemos: 𝑰𝑰 = ��𝑰𝑰𝟏𝟏 − �𝑰𝑰𝟐𝟐� 𝟐𝟐 = ��𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 − �𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 � 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 d) 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝟏𝟏 + 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 + 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐 92. Tres ondas con la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud, se mueven en la misma dirección y sentido. Las tres ondas vienen dadas por 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒙𝒙 −𝝎𝝎𝒕𝒕 − 𝝅𝝅 𝟎𝟎 ) 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒙𝒙 −𝝎𝝎𝒕𝒕) 𝒚𝒚𝟎𝟎(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒙𝒙 −𝝎𝝎𝒕𝒕 + 𝝅𝝅 𝟎𝟎 ) Hallar la onda resultante. Podemos representar una función armónica como un vector girando con una frecuencia angular ω. Podemos representar las tres ondas de esta manera, la onda resultante vendrá dada por el vector resultante de los tres: Los vectores en el eje y se anulan. El vector resultante Enel eje x es: 𝑨𝑨 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝝅𝝅 𝟎𝟎 �+ 𝑨𝑨 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�−𝝅𝝅 𝟎𝟎 �+ 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 El vector resultante tiene dirección x y módulo 2*A. 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟎𝟎.𝟏𝟏 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 93. a) Demostrar que, si la temperatura varía en una pequeña cantidad ΔT, la frecuencia fundamental de un tubo de órgano varía aproximadamente en Δf, siendo 𝚫𝚫𝒇𝒇 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝚫𝚫𝑻𝑻 𝑻𝑻 . b) Suponer un tubo de órgano cerrado por un extremo y que tiene una frecuencia fundamental de 200 Hz cuando la temperatura es de 20º C. ¿Cuál será su frecuencia fundamental cuando la temperatura sea de 30ºC? (Ignorar cualquier variación de longitud del tubo debido a la dilatación térmica). a) 𝒗𝒗 = �𝜸𝜸∗𝑹𝑹∗𝑻𝑻 𝑴𝑴 95. La energía cinética de un segmento Δm de una cuerda vibrante viene dada por ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∆𝒎𝒎�𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 � 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝝁𝝁 �𝝏𝝏𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒕𝒕 � 𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙 a) Hallar la energía cinética total del modo enésimo de vibración de una cuerda de longitud L fija por ambos extremos. b) Dar la energía cinética máxima de la cuerda. c) ¿Cuál es la función de onda cuando la energía cinética tiene su valor máximo? d) Demostrar que la energía cinética máxima del modo enésimo es proporcional a 𝒔𝒔𝟐𝟐𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐. a) 𝒚𝒚𝒔𝒔(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒔𝒔 ∗ 𝒄𝒄𝒊𝒊𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒔𝒔 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕) Con 𝒌𝒌𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀𝒔𝒔 y 𝑳𝑳 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝀𝝀𝒔𝒔 𝟐𝟐 ;𝒔𝒔 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐,𝟎𝟎, …. 𝝀𝝀𝒔𝒔 = 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 𝒔𝒔 𝒌𝒌𝒔𝒔 = 𝒔𝒔 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝅𝝅 𝑳𝑳 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒕𝒕 (𝒚𝒚𝒔𝒔(𝒙𝒙, 𝒕𝒕)) = 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒕𝒕 �𝑨𝑨𝒔𝒔 ∗ 𝒄𝒄𝒊𝒊𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒔𝒔 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕)� = −𝑨𝑨𝒔𝒔 ∗ 𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒄𝒄𝒊𝒊𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒔𝒔 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕) 𝚫𝚫𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ {−𝑨𝑨𝒔𝒔 ∗ 𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒄𝒄𝒊𝒊𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒔𝒔 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔(𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕)}𝟐𝟐 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 𝚫𝚫𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒔𝒔 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐((𝒌𝒌𝒔𝒔 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝝁𝝁 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒔𝒔 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕) ∗ ∫ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(�𝒔𝒔 ∗ 𝝅𝝅 𝑳𝑳 ∗ 𝒙𝒙� ∗ 𝒓𝒓𝒙𝒙𝑳𝑳 𝟎𝟎 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟎𝟎 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒔𝒔 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕) b) La energía máxima corresponde a sen=1 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 𝟎𝟎 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒔𝒔 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕) = 𝟏𝟏 ; 𝝎𝝎𝒔𝒔 ∗ 𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐 ; 𝒕𝒕 = 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝝎𝝎𝒔𝒔 c) 𝒚𝒚𝒔𝒔 �𝒙𝒙, 𝝅𝝅 𝟐𝟐∗𝝎𝝎𝒔𝒔 � = 𝑨𝑨𝒔𝒔 ∗ 𝒄𝒄𝒊𝒊𝒔𝒔(𝒌𝒌𝒔𝒔 ∗ 𝒙𝒙) ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝝅𝝅 𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎 d) 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 𝟎𝟎 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝒔𝒔 𝟐𝟐 𝝎𝝎𝒔𝒔 = 𝒔𝒔 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 e) 𝑬𝑬𝒄𝒄(𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙) = 𝟏𝟏 𝟎𝟎 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ (𝒔𝒔 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏)𝟐𝟐 = 𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝟎𝟎 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝝎𝝎𝟏𝟏 𝟐𝟐� = 𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒔𝒔𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝒐𝒐𝒔𝒔𝒄𝒄𝒕𝒕𝒂𝒂𝒔𝒔𝒕𝒕 -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y(1) 96. a) Demostrar que, si la tensión de una cuerda fija por ambos extremos varía en una pequeña cantidad dF, la frecuencia del armónico fundamental varía aproximadamente en df, siendo 𝒓𝒓𝒇𝒇 𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝒅𝒅/𝒅𝒅. ¿se aplica este resultado a todos los armónicos? b) Utilizar este resultado para hallar la variación porcentual de la tensión que se necesita para aumentar la frecuencia del armónico fundamental de una cuerda de piano de 260 a 262 Hz. a) La expresi´0on general de los armónicos de una cuerda es: 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝒔𝒔 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ; n=1,2,3… 𝒗𝒗 = �𝒅𝒅 𝝁𝝁 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝒔𝒔 ∗ �𝒅𝒅𝝁𝝁 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 Derivando: 𝒓𝒓𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝒔𝒔 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∗ 𝟏𝟏 √𝝁𝝁 ∗ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 √𝒅𝒅 ∗ 𝒓𝒓𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒔𝒔 𝟐𝟐∗𝑳𝑳 ∗ 𝟏𝟏 √𝝁𝝁 ∗ √𝒅𝒅 𝒅𝒅 ∗ 𝒓𝒓𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇𝒔𝒔 ∗ 𝒓𝒓𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒓𝒓𝒇𝒇𝒔𝒔 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝒅𝒅 𝒅𝒅 Valido para todos los armónicos. b) Poniendo la expresión anterior en incrementos: ∆𝒇𝒇𝒔𝒔 𝒇𝒇𝒔𝒔 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒅𝒅 𝒅𝒅 ∆𝒅𝒅 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ ∆𝒇𝒇𝒔𝒔 𝒇𝒇𝒔𝒔 ∆𝒅𝒅 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ;𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 % 97. Dos fuentes tienen una diferencia de fase δo que es proporcional al tiempo δo=Ct, siendo C una constante. La amplitud de la onda procedente de cada fuente en el punto P es Ao. a) Escribir las funciones de onda de cada una de las ondas en el punto P admitiendo que este punto está a una distancia x1 de una fuente y a x1+Δx de la otra. b) Hallar la función de onda resultante y demostrar que su amplitud es 2Aocos1/2(δ+ δo), siendo δ la diferencia de fase en P debida a la diferencia de trayectos. c) Hacer un esquema de la intensidad en el punto P en función del tiempo para una diferencia cero de trayectos. (Sea Io la intensidad debida a cada onda separadamente). ¿Cuál es el promedio temporal de la intensidad? d) Hacer el mismo esquema para un punto cuya diferencia de trayectos sea media longitud de onda. a) 𝒚𝒚𝟏𝟏(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) 𝒚𝒚𝟐𝟐(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ (𝒙𝒙𝟏𝟏 + ∆𝒙𝒙) −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐) b) 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ {𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕) + 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(𝒌𝒌 ∗ (𝒙𝒙𝟏𝟏 + ∆𝒙𝒙) −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐)} Usando: 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝑨𝑨+ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝑩𝑩 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝑨𝑨+𝑩𝑩 𝟐𝟐 � ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝑨𝑨−𝑩𝑩 𝟐𝟐 � 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝒌𝒌 ∗ ∆𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝜹𝜹+𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝒌𝒌 ∗ ∆𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝜹𝜹+𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � 𝑫𝑫𝒐𝒐𝒔𝒔𝒓𝒓𝒔𝒔 𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒉𝒉𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒄𝒄𝒂𝒂𝒓𝒓𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄(−𝑨𝑨) = 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 𝑨𝑨 La diferencia de fase debida a la diferencia de caminos es: 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝀𝝀 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 ; 𝒌𝒌 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 = 𝜹𝜹 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝒌𝒌 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙 + 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 �𝜹𝜹+ 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � 𝒚𝒚(𝒙𝒙, 𝒕𝒕) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝜹𝜹+ 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙𝟏𝟏 −𝝎𝝎 ∗ 𝒕𝒕 + 𝒌𝒌 ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙+ 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � La amplitud será: 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝜹𝜹+ 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � c) La intensidad en un punto P es: 𝑰𝑰 = 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐 = 𝑪𝑪 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄�𝜹𝜹+ 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 �� 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝟐𝟐 �𝜹𝜹 + 𝜹𝜹𝒐𝒐 𝟐𝟐 � Para δ=0 𝑰𝑰 = 𝟎𝟎 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝟐𝟐 � 𝑪𝑪∗𝒕𝒕 𝟐𝟐 � La intensidad media es: 𝑰𝑰𝒎𝒎𝒔𝒔𝒓𝒓𝒊𝒊𝒂𝒂 = 𝟎𝟎 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 La intensidad en función del tiempo es: 𝑰𝑰 = 𝟎𝟎 ∗ 𝑰𝑰𝒐𝒐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝟐𝟐 � 𝑪𝑪∗𝒕𝒕 𝟐𝟐 � Para C=1 Para C=3 El valor de C hace que la variación sea más o menos rápida. d) En este caso δ=π. 𝑰𝑰 = 𝟎𝟎 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑨𝑨𝒐𝒐𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝟐𝟐 �𝝅𝝅+ 𝑪𝑪∗𝒕𝒕 𝟐𝟐 � -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y