Oscilaciones . Tipler, Ejercicios de Física

¡Descarga Oscilaciones . Tipler y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! Oscilaciones Movimiento armónico simple. 1. Un muchacho avanza a velocidad suicida con sus patines de ruedas cuando sus tirantes super elásticos se enganchan en el poste de una valla y comienza a oscilar adelante y atrás con una amplitud A. ¿qué distancia recorre en un periodo? En un período iniciara un nuevo ciclo, por ello recorre una distancia de 4ª, y se encuentra en la misma posición inicial. 2. Un vecino toma una instantánea del muchacho oscilante del problema 1 en un momento en que su velocidad es nula. ¿Cuál es su distancia al poste en ese instante? En el momento inicial su velocidad es máxima y se encuentra en el centro de oscilación, en el momento en que su velocidad es nula se encuentra en x=A. 3. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de un oscilador de amplitud A y frecuencia f cuando su aceleración es máxima? ¿Y cuándo su desplazamiento es máximo? En el momento en que la aceleración es máxima tendremos x=±A, dado que 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥. Por tanto: 𝑎𝑎 = 4∗𝜋𝜋2 𝑇𝑇2 ∗ 𝐴𝐴 = 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑓𝑓2 ∗ 𝐴𝐴 El valor es el mismo en los dos casos. 4. ¿Pueden tener la misma dirección el desplazamiento y la aceleración de un oscilador armónico simple? ¿Y el desplazamiento y la velocidad? ¿Y la aceleración y la velocidad? Razonar las respuestas. Tomaremos la pregunta con sentido, dado que en sentido estricto el movimiento armónico unidimensional tiene una única dirección. El sentido del desplazamiento y la aceleración son siempre opuestos, dado que 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥. La velocidad puede tener el mismo sentido que el desplazamiento, por ejemplo, puede ir hacia la derecha y tener velocidad positiva, o ir hacia la izquierda y tener velocidad negativa. Cuando el objeto se dirige hacia el centro de oscilación su aceleración va hacia el centro y la velocidad también está dirigida hacia él. 5. Verdadero o falso: a) En el movimiento armónico simple, el período es proporcional al cuadrado de su amplitud. b) En el movimiento armónico simple, la frecuencia no depende de la amplitud. c) Si la aceleración de una partícula es proporcional al desplazamiento, pero de sentido opuesto, el movimiento es armónico simple. a) Falso, el período es independiente de la amplitud. b) Correcto. c) Correcto, que 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔2 𝑥𝑥. 6. La posición de una partícula viene dada por x=(7 cm)*cos6πt, en donde t viene dado por segundos. Determinar a) La frecuencia. b) El período. c) La amplitud del movimiento de la partícula. d) ¿Cuál es el primer instante después de t=0 en que la partícula está en su posición de equilibrio? ¿En qué sentido se está moviendo en ese instante? a) 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 ; 𝑓𝑓 = 𝜔𝜔 2∗𝜋𝜋 = 6∗𝜋𝜋 2∗𝜋𝜋 = 3 𝐻𝐻𝐻𝐻 b) 𝑇𝑇 = 1 𝑓𝑓 = 0,33 𝑠𝑠 c) 𝐴𝐴 = 7 𝑐𝑐𝑐𝑐 d) La partícula sale de x=A. Pasará por la posición de equilibrio en T/4. 𝑡𝑡 = 0,0825 𝑠𝑠. En ese instante se está moviendo hacia la izquierda. 7. a) ¿Cuál es la velocidad máxima de la partícula del problema 6? b) ¿Cuál es su aceleración máxima? a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 0,07 ∗ 6 ∗ 𝜋𝜋 = 1,32 𝑐𝑐/𝑠𝑠 b) 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 = 0,07 ∗ (6 ∗ 𝜋𝜋)2 = 24,87 𝑐𝑐/𝑠𝑠2 8. ¿Cuál es la constante de fase δ en la ecuación x=A*cos(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛿𝛿) si la posición de la partícula oscilante en el instante t=0 es a) 0 b)-A c) A d) A/2. a) 0 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 ; 𝛿𝛿 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0 = ± 𝜋𝜋 2 b) −1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 ; 𝛿𝛿 = arccos (−1) = 𝜋𝜋 c) 1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 ; 𝛿𝛿 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1 = 0 d) 1 2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 ; 𝛿𝛿 = arccos �1 2 � = ± 𝜋𝜋 3 9. Una partícula de masa m empieza estando en reposo en x=+25 cm y oscila alrededor de su posición de equilibrio en x=0 con un período de 1,5 s. Escribir las ecuaciones para a) La posición x en función del tiempo. b) La velocidad v en función de t. c) La aceleración a en función de t. a) 𝐴𝐴 = 0,25 𝑐𝑐 𝜔𝜔 = 2∗𝜋𝜋 𝑇𝑇 = 2 1,5 ∗ 𝜋𝜋 = 1,33 ∗ 𝜋𝜋 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 0 , 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ; 𝛿𝛿 = 0 𝑥𝑥 = 0,25 ∗ cos (1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (SI) b) 𝑣𝑣 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) = −0.25 ∗ 1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) 𝑣𝑣 = −1,045 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (𝑆𝑆𝑆𝑆) c) 𝑎𝑎 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) = 0,25 ∗ (1,33 ∗ 𝜋𝜋)2 ∗ cos (1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) 𝑎𝑎 = −4,36 ∗ cos(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (𝑆𝑆𝑆𝑆) 10. Hallar a) La velocidad máxima. b) La aceleración máxima de la partícula del problema 6. c) ¿Cuál es la primera vez en que la partícula está en x=0 y moviéndose hacia la derecha? a) 𝑥𝑥 = 0,07 ∗ cos(6 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (𝑆𝑆𝑆𝑆) 15. La posición de una partícula viene dada por x=2,5*cosπt, en donde x se expresa en metros y t en segundos. a) Determinar la velocidad máxima y la aceleración máxima de la partícula. b) Determinar la velocidad y la aceleración de la partícula cuando x=1,5 m. a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 2,5 ∗ 𝜋𝜋 = 7,85 𝑐𝑐/𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 = 2,5 ∗ 𝜋𝜋2 = 24,67 𝑐𝑐/𝑠𝑠2 b) 𝑣𝑣 = − 2,5 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) 1,5 = 2,5 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) ; 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 = arccos(0,6) ; 𝑡𝑡 = 0,295 𝑠𝑠 𝑣𝑣(0,295) = −2,5 ∗ 𝜋𝜋 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 0,295) = −6,28 𝑐𝑐/𝑠𝑠 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔2 ∗ 𝑥𝑥 = −𝜋𝜋2 ∗ 1,5 = −14,8 𝑐𝑐/𝑠𝑠2 16. En mar gruesa, la proa de un destructor sufre un movimiento de balanceo vertical equivalente a un movimiento armónico simple de 8,0 s de período y 2,0 m de amplitud. a) ¿Cuál es la máxima velocidad vertical de la proa del destructor? b) ¿Cuál es su aceleración máxima? c) Un marinero de 80 kg está subido a una báscula de una cámara de proa. ¿Cuáles son la máxima y mínima lecturas de la báscula en newtons? a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 2,0 ∗ 2∗𝜋𝜋 8,0 = 1,18 𝑐𝑐/𝑠𝑠 b) 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 = 2,0 ∗ �2∗𝜋𝜋 8,0 � 2 = 0,925 𝑐𝑐/𝑠𝑠2 c) En el punto más alto de la oscilación la báscula marcará: 𝐹𝐹 + 𝑃𝑃 = 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴 + 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 ∗ 𝐴𝐴 + 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 80 ∗ ��2∗𝜋𝜋 8,0 � 2 ∗ 2,0 + 9,81� = 883,5 𝑁𝑁 En el punto inferior: 𝑃𝑃 − 𝐹𝐹 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 ∗ 𝐴𝐴 = 80 ∗ �9.81 − �2∗𝜋𝜋 8,0 � 2 ∗ 2,0� = 686,1 𝑁𝑁 Movimiento armónico simple y movimiento circular 17. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad constante de 80 cm/s. Hallar a) La frecuencia. b) El periodo del movimiento. c) C) Escribir una ecuación para el componente x de la posición de la partícula en función del tiempo t, suponiendo que la partícula está sobre el eje x en el instante t = 0. a) 𝜔𝜔 = 𝑣𝑣 𝑅𝑅 = 80 𝑐𝑐𝑚𝑚/𝑠𝑠 40 𝑐𝑐𝑚𝑚 = 2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠; 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓; 𝑓𝑓 = 𝜔𝜔 2∗𝜋𝜋 = 2 2∗𝜋𝜋 = 0.3183 𝐻𝐻𝐻𝐻 b) 𝑇𝑇 = 1 𝑓𝑓 ;𝑇𝑇 = 3,14 𝑠𝑠 c) 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿) 𝑅𝑅 = 0,4 𝑐𝑐 ; 𝜔𝜔 = 2 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 0 ; 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ; 𝛿𝛿 = arccos(1) = 0 𝑥𝑥 = 0,4 ∗ cos (2 ∗ 𝑡𝑡) (S.I.) 18. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 15 cm, dando 1 rev cada 3s. a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula? b) ¿Cuál es su velocidad angular? c) Escribir una ecuación para el componente x de la posición de la misma en función de t, suponiendo que está sobre el eje x en el instante t=0. a) 𝑣𝑣 = 𝜔𝜔 ∗ 𝑅𝑅 = 2∗𝜋𝜋 𝑇𝑇 ∗ 𝑅𝑅 = 2∗𝜋𝜋 3 ∗ 0,15 = 0,314 𝑐𝑐/𝑠𝑠 b) 𝜔𝜔 = 2∗𝜋𝜋 𝑇𝑇 = 2∗𝜋𝜋 3 = 2.094 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠 c) 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿) 𝑅𝑅 = 0,15 𝑐𝑐 ; 𝜔𝜔 = 2.094 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 0 ; 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ; 𝛿𝛿 = arccos(1) = 0 𝑥𝑥 = 0,15 ∗ cos (2.094 ∗ 𝑡𝑡) (S.I.) La energía en el movimiento armónico simple 19. Si la amplitud de un oscilador armónico simple se triplica, ¿en qué factor se modifica la energía? 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 Si triplicamos la amplitud la energía del movimiento se hará 9 veces mayor. 20. Un objeto sujeto a un muelle tiene un movimiento armónico simple de amplitud 4,0 cm. Cuando el objeto se encuentra a 2,0 cm de la posición de equilibrio, ¿qué fracción de su energía total es energía potencial? a) Un cuarto. b) un terció. C) la mitad. D) dos tercios. E) tres cuartos. 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 𝐸𝐸𝑝𝑝 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥2 𝐸𝐸𝑝𝑝 𝐸𝐸 = 𝑚𝑚2 𝐴𝐴2 = 22 42 = 0,25 Respuesta a. 21. Un objeto de 2,4 kg está sujeto a un muelle horizontal de constante de fuerza k=4,5 kN/m. El muelle se estira 10 cm desde el equilibrio y se deja en libertad. Determinar su energía total. 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 = 1 2 ∗ 4,5 ∗ 103 ∗ 0,12 = 22,5 𝐽𝐽 22. Determinar la energía total de un objeto de 3 kg que oscila sobre un muelle horizontal con una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 2,4 Hz. 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 ∗ 𝐴𝐴2 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑓𝑓2 ∗ 𝐴𝐴2 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 2.42 ∗ 0.12 = 3.41 𝐽𝐽 23. Un objeto de 1,5 kg oscila con movimiento armónico simple unido a un muelle de constante de fuerza k=500 N/m. Su velocidad máxima es 70 cm/s. a) ¿Cuál es la energía total? b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación? a) 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 = 1 2 ∗ 1,5 ∗ 0,72 = 0.3675 𝐽𝐽 b) 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2;𝐴𝐴 = �2∗𝐸𝐸 𝑘𝑘 = �2∗0.3675 500 = 0.0383 𝑐𝑐 24. Un objeto de 3 kg que oscila unido a un muelle de constante 2 kN/m tiene una energía total de 0,9 J. a) ¿Cuál es la amplitud del movimiento? b) ¿Cuál es su velocidad máxima? a) 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2;𝐴𝐴 = �2∗𝐸𝐸 𝑘𝑘 = �2∗0,9 2000 = 0.03 𝑐𝑐 b) 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 ; 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �2∗𝐸𝐸 𝑚𝑚 = �2∗0.9 3 = 0.775 𝑐𝑐/𝑠𝑠 25. Un objeto oscila unido a un muelle con una amplitud de 4,5 cm. Su energía total es 1,4 J. ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle? 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 ; 𝑘𝑘 = 2∗𝐸𝐸 𝐴𝐴2 = 2∗1,4 0.0452 = 1382.7𝑁𝑁/𝑐𝑐 26. Un objeto de 3 kg oscila sobre un muelle con una amplitud de 8 cm. Su aceleración máxima es 3,50 m/s2. Determinar la energía total. 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2;𝑤𝑤 = �𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴 = �3,50 0,08 = 6.61 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝐴𝐴2 ∗ 𝜔𝜔2 = 1 2 ∗ 3 ∗ 0.082 ∗ 6.612 = 0.419 𝐽𝐽 Muelles 27. Verdadero o falso. a) El período de un objeto que oscila sobre un determinado muelle es el mismo, independientemente de que el muelle sea vertical u horizontal. b) La velocidad máxima de un objeto que oscila con amplitud A sobre un determinado muelle es la misma, independientemente de que el muelle sea vertical u horizontal. a) 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 . La constante es característica del muelle. Por tanto es correcta. b) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔. Correcta. 28. Un músico planea anunciar el año nuevo tocando el trombón mientras oscila arriba y abajo sobre un muelle que cuelga de un rascacielos en Times Square en Nueva York. Intenta oscilar con un período de un segundo en sincronía con los espectadores, mientras estos hacen la cuenta atrás hasta el momento justo de la media noche. Si utiliza un muelle de contante de fuerza 3000 N/m, el músico debe estar seguro de que el total de su masa vibrante debe alcanzar el valor total de a) 3000 kg b) √3000 𝑘𝑘𝑔𝑔 c) 4𝜋𝜋2(3000)𝑘𝑘𝑔𝑔 d) 3000 4𝜋𝜋2� 𝑘𝑘𝑔𝑔 e) ninguno de los anteriores. 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2;𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4∗𝜋𝜋 2 𝑇𝑇2 ;𝑐𝑐 = 𝑘𝑘∗𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 Por tanto, respuesta correcta d. 29. Un objeto de 2,4 kg está sujeto a un muelle horizontal de constante de fuerza k=4,5 kN/m. El muelle se estira 10 cm desde el equilibrio y se deja en libertad. Determinar a) La frecuencia del movimiento. b) El período. c) La amplitud. d) La velocidad máxima. c) Escribir expresiones para el desplazamiento x, la velocidad v y la aceleración a en función de t. a) 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2;𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑓𝑓2 ;𝑐𝑐 = 𝑘𝑘 4∗𝜋𝜋2∗𝑓𝑓2 = 1800 4∗𝜋𝜋2∗5.52 = 1,507 𝑘𝑘𝑔𝑔 b) 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑥𝑥 ; ∆𝑥𝑥 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔 𝑘𝑘 = 1.507∗9.81 1800 = 0.00821 𝑐𝑐 c) Suponemos que en t=0 la partícula comienza el movimiento en x=-A. 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋) 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 = 11 ∗ 𝜋𝜋 𝑥𝑥 = 0,025 ∗ cos (11 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋) 𝑣𝑣 = −0.275 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(11 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋) 𝑎𝑎 = −3.025 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(11 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋) 37. Un muelle sin deformación cuelga verticalmente y en su extremo se cuelga un cuerpo de masa desconocida que se suelta desde el reposo. Cae 3,42 cm antes de que quede en reposo por primera vez. Hallar el período del movimiento. Consideramos que la situación inicial es h=0. El sistema baja una altura h ( -h) y se estira, si la situación inicial tiene energía cero, la final también. Por conservación de energías: 0 = −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ + 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥2 0 = −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 + 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 ∗ 𝑥𝑥2 𝑔𝑔 ∗ ℎ = 1 2 ∗ 4∗𝜋𝜋 2 𝑇𝑇2 ∗ 𝑥𝑥2 ;𝑇𝑇 = �2∗𝜋𝜋2∗𝑚𝑚2 𝑔𝑔∗𝑚𝑚 = �2∗𝜋𝜋2∗0.03422 9.81∗0.0342 = 0.262 𝑠𝑠 38. Un muelle de constante k=250 N/m se cuelga de un soporte rígido y se une a su extremo inferior un objeto de 1 kg de masa, que se deja en libertad cuando el muelle está sin deformar. a) ¿Cuánto desciende el objeto antes de empezar a ascender de nuevo? b) ¿A qué distancia por debajo del punto de partida está la posición de equilibrio del objeto? c) ¿Cuál es el período de oscilación? d) ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando alcanza por primera vez su posición de equilibrio? e) ¿Cuánto sucede esto? a) Alargamiento del muelle: 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑘𝑘 ∗ 𝑦𝑦 ; 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔 𝑘𝑘 = 1∗9.81 250 = 0.03924 𝑐𝑐 b) Si consideramos como altura cero el punto de alargamiento del muelle anterior, y punto d energía potencial elástica nulo el mismo punto anterior. Aplicamos conservación energía mecánica: 0 = −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ + 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥2 ;𝑑𝑑𝑐𝑐𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑥𝑥 = ℎ 𝑥𝑥 = 2∗𝑚𝑚∗𝑔𝑔 𝑘𝑘 = 2∗9.81∗1 250 = 0.07848 𝑐𝑐 c) 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2;𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ �2∗𝜋𝜋 𝑇𝑇 � 2 ;𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑚𝑚 𝑘𝑘 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 1 250 = 0.397 𝑠𝑠 d) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0.07848 ∗ 2∗𝜋𝜋 0.397 = 1.242 𝑐𝑐/𝑠𝑠 e) El objeto sale de x=-A en t=0, en el centro, x=0, habrá pasado T/4 s. 𝑡𝑡 = 𝑇𝑇 4 = 0.397 4 = 0.09925 𝑠𝑠 39. El arco de St. Luis tiene una altura de 192 m. Supongamos que una atleta de 60 kg salta de la parte más alta del arco con una banda elástica atada a sus pies y alcanza justo el suelo con velocidad cero. Determinar su energía cinética Ec a los 2,00 segundos del salto. Suponer que la banda elástica obedece la ley de Hooke y despreciar su longitud natural). Suponemos que durante toda la caída el cuerpo tiene m.v.a.s., de forma que su ecuación para la velocidad es: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿) Suponemos que A=192/2=96 m. La posición inicial vendrá dada por x=A en t=0. Por tanto, 𝛿𝛿=0. Inicialmente tenemos energía potencial gravitatoria. 𝐸𝐸1 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ En el punto final, h=0, v=0 y tenemos energía potencial elástica: 𝐸𝐸2 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ (𝑥𝑥)2 Donde x=h. Por conservación energía: 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ (ℎ)2 ; 𝑘𝑘 = 2∗𝑚𝑚∗𝑔𝑔 ℎ = 2∗60∗9,81 192 = 6,13 𝑁𝑁/𝑐𝑐 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 ; 𝜔𝜔 = �𝑘𝑘 𝑚𝑚 = �2∗𝑔𝑔 ℎ = �2∗9.81 192 = 0.320 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠 𝑣𝑣(2) = −96 ∗ 0.320 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(0.320 ∗ 2) = −18,35 𝑐𝑐/𝑠𝑠 𝐸𝐸𝑐𝑐(𝑡𝑡 = 2) = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣(2) = 1 2 ∗ 60 ∗ 18.352 = 10097 𝐽𝐽 40. Un bloque de 0.12 kg está suspendido de un muelle. Cuando una pequeña piedra de masa 30 g se sitúa sobre el bloque, el muelle se alarga 5 cm más. Con la piedra sobre el bloque, el muelle oscila con una amplitud de 12 cm. a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento? b) ¿Cuánto tiempo tardará el bloque en recorrer la distancia entre el punto más bajo y el punto más alto? c) ¿Cuál es la fuerza neta de la piedra cuando se encuentra en un punto de máximo desplazamiento hacia arriba? a) Con el alargamiento producido por la piedra: 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ; 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔 𝑚𝑚 = 0.030∗9.81 0.05 = 5.886 𝑁𝑁/𝑐𝑐 Para la vibración hemos de considerar la masa total del sistema, piedra más bloque): 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 ; 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑓𝑓2 ; 𝑓𝑓 = � 𝑘𝑘 𝑚𝑚∗4∗𝜋𝜋2 = � 5.886 (0.12+0.030)∗4∗𝜋𝜋2 = 0.997 𝐻𝐻𝐻𝐻 b) El tiempo entre los puntos indicados será ½*T 𝑇𝑇 = 1 𝑓𝑓 = 1 0.997 = 1.003 𝑠𝑠 ∆𝑡𝑡 = 1 2 ∗ 𝑇𝑇 = 0.502 𝑠𝑠 c) En el punto más alto, x=A. 𝐹𝐹 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 + 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴 = 0.15 ∗ 9.81 + 5.886 ∗ 0.12 = 2.18 𝑁𝑁 41. Determinar en el problema 40 la máxima amplitud de oscilación con la condición de que la piedra permanezca sobre el bloque. En el punto más alto de la oscilación, la fuerza sobre la piedra viene dada por P-N: 𝑃𝑃 −𝑁𝑁 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑎𝑎 El valor máximo de a para que la piedra no se separe del bloque es el que hace que N=0, por ello: 𝑃𝑃 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑎𝑎 ;𝑎𝑎 = 𝑔𝑔 Si miramos el bloque, su aceleración máxima será: 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑔𝑔 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑘𝑘 𝑚𝑚 ;𝐴𝐴 = 𝑔𝑔∗𝑚𝑚 𝑘𝑘 Usando para k los cálculos del problema 40: Con el alargamiento producido por la piedra: 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ; 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔 𝑚𝑚 = 0.030∗9.81 0.05 = 5.886 𝑁𝑁/𝑐𝑐 𝐴𝐴 = 9.81∗0.15 5.886 = 0.25 𝑐𝑐 42. Un objeto de masa 2.0 kg está sujeto en la parte superior de un muelle vertical que está anclado en el suelo. La longitud del muelle es de 8,0 cm y la posición de equilibrio del objeto sobre el muelle está a 5.0 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto está en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0,3 m/s. a) ¿A que máxima altura, respecto al nivel del suelo, se elevará el objeto? b) ¿Cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar la máxima altura la primera vez? c) ¿Volverá el muelle a estar sin compresión? ¿qué velocidad inicial mínima debe darse al objeto para que el muelle no tenga compresión en un instante dado? a) En la posición de equilibrio el muelle se ha comprimido 3 cm, por tanto: 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ;𝑘𝑘 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔 ∆𝑚𝑚 = 2∗9.81 0.03 = 654 𝑁𝑁/𝑐𝑐 Para el sistema en vibración: 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ �𝑘𝑘 𝑚𝑚 ;𝐴𝐴 = 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∗ � 𝑚𝑚 𝑘𝑘 = 0.3 ∗ �2.0 654 = 0.0166 𝑐𝑐 ℎ = 𝐴𝐴 + ℎ0 = 0.0166 + 0.05 = 0.0666 𝑐𝑐 b) Sale del centro, se mueve hacia abajo, en llegar al punto más bajo emplea T/4, en llegar al punto más alto des de el punto inferior T/2, en total: ∆𝑡𝑡 = 𝑇𝑇 4 + 𝑇𝑇 2 = 3 4 ∗ 𝑇𝑇 𝑇𝑇 = 2∗𝜋𝜋 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑚𝑚 𝑘𝑘 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �2.0 654 = 0,348 𝑠𝑠 ∆𝑡𝑡 = 3 4 ∗ 0.348 = 0.261 𝑠𝑠 c) La altura máxima es de 6,666 m, no llega a los 8 cm iniciales de distancia al suelo, por tanto, el muelle no estará sin compresión. La velocidad dada debe conseguir que Δh= 0.03 m. Por conservación de energías: Punto inicial, tenemos potencial gravitatoria, potencial elástica y cinética: 𝐸𝐸1 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣2 + 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ1 + 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑦𝑦2 En el punto final, a una altura de 8 cm, tendremos potencial gravitatoria únicamente: 𝐸𝐸2 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ2 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣2 + 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ1 + 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑦𝑦2 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ2 49. La longitud de la cuerda o alambre que soporta un péndulo crece ligeramente al aumentar su temperatura. ¿Cómo afectará esto a un reloj que funciona por la acción de un péndulo simple? 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙 𝑔𝑔 Si l crece, T se hace mayor, por tanto, el reloj se retrasa. 50. Hallar la longitud de un péndulo simple si el período del péndulo es 5 s en un punto donde g=9.81 m/s2. 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙 𝑔𝑔 𝑐𝑐 = 𝑇𝑇2∗𝑔𝑔 4∗𝜋𝜋2 = 25∗9.81 4∗𝜋𝜋2 = 6.21 𝑐𝑐 51. ¿Cuál deberá ser el período del péndulo del problema 50 en la Luna, en donde la aceleración de la gravedad es un sexto de la correspondiente a la Tierra? 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙 𝑔𝑔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙∗6 𝑔𝑔𝑇𝑇 = 5 ∗ √6 = 12,25 𝑠𝑠 52. Si el período de un péndulo de 70 cm de longitud es 1,68 s. ¿Cuál es el valor de g en el sitio donde está situado el péndulo? 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙 𝑔𝑔 ;𝑔𝑔 = 4∗𝜋𝜋2 𝑇𝑇2 ∗ 𝑐𝑐 = 4∗𝜋𝜋2 12.682 ∗ 0.70 = 9.79 𝑐𝑐/𝑠𝑠2 53. Un péndulo colgado en el hueco de una escalera de un edificio de 10 pisos se compone de una masa grande suspendida de un alambre de 34,0 m de longitud. ¿Cuál es su período de oscilación (g=9,81 m/s2)? 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙 𝑔𝑔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �34,0 9.81 = 11.7 𝑠𝑠 54. Demostrar que la energía total de un péndulo simple que se mueve con oscilaciones de pequeña amplitud Φo es aproximadamente E=1/2mgL Φo 2(Sugerencia: Utilizar la aproximación cos Φ=1-Φ2/2 para valores pequeños de Φ). En el punto 1 toda la energía es potencial, tomando su origen en el punto 2 (h=0). 𝐸𝐸 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (𝐿𝐿 − 𝐿𝐿 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅) = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅) Utilizando la aproximación indicada: 𝐸𝐸 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ �1− 1 + ∅2 2 � = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ ∅ 2 2 55. Un péndulo simple de longitud L está sujeto a un carro que desliza sin rozamiento hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo ϴ con la horizontal, como muestra la figura. Determinar el período de oscilación de un péndulo sobre el carro deslizante. 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝑙𝑙 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑒𝑒 Donde gef es: 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 − 𝑎𝑎 Por dinámica: 𝑔𝑔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑎𝑎 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 ∗ (1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝑙𝑙 𝑔𝑔∗(1−𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠) 56. Un péndulo simple de longitud L se libera del reposo des de un ángulo Φo. a) Suponiendo que el péndulo realiza un movimiento armónico simple, determinar su velocidad cuando atraviesa la posición Φ=0. b) Considerando la conservación de la energía, determinar exactamente esta velocidad. c) Demostrar que los resultados de (a) y (b) coinciden cuando Φo es pequeño. d) Determinar la diferencia de los resultados para Φo=0,20 rad y L=1m. a) 𝑣𝑣 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑟𝑟∅ 𝑟𝑟𝑒𝑒 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑒𝑒 (∅𝑐𝑐cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)) = −𝐿𝐿 ∗ ∅𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐿𝐿 ∗ ∅𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐿𝐿 ∗ ∅𝑐𝑐 ∗ � 𝑔𝑔 𝐿𝐿 b) Por energías, tomando h=0 en el punto inferior. 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅𝑐𝑐) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅𝑐𝑐) c) Para ángulos pequeños: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅ = 1 − ∅2 2 ; 1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅ = ∅2 2 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅𝑐𝑐) = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ ∅𝑜𝑜 2 2 = ∅𝑐𝑐 ∗ �𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 El resultado del apartado (a) se puede escribir: 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐿𝐿 ∗ ∅𝑐𝑐 ∗ � 𝑔𝑔 𝐿𝐿 = ∅𝑐𝑐 ∗ �𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 d) Para el primer caso: 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑎𝑎) = ∅𝑐𝑐 ∗ �𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 = 0.20 ∗ √9.81 ∗ 1 = 0.6264 𝑐𝑐/𝑠𝑠 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑏𝑏) = �2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅𝑐𝑐) = �2 ∗ 9.81 ∗ 1 ∗ (1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0.2) = 0.6254 𝑐𝑐/𝑠𝑠 ∆𝑣𝑣 = 0.001 𝑐𝑐/𝑠𝑠 Péndulos físicos 57. Un disco delgado de 5 kg de masa y con un radio de 20 cm se suspende mediante un eje horizontal perpendicular al disco y que pasa por su periferia. El disco se desplaza ligeramente del equilibrio y se deja libremente. Hallar el período del movimiento armónico simple subyacente. 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐼𝐼 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚 +𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 = 1 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 +𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 = 3 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 3 2∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅 2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑅𝑅 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �3∗𝑅𝑅 2∗𝑔𝑔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 3∗0.2 2∗9.81 = 1.10 𝑠𝑠 58. Un arco circular de 50 cm de radio se cuelga de una varilla horizontal delgada, permitiéndose que oscile en el plano del aro. ¿Cuál es el período de su oscilación, suponiendo que la amplitud es pequeña? 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐼𝐼 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚 +𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 +𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 = 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �2∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑅𝑅 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �2∗𝑅𝑅 𝑔𝑔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �2∗0.5 9.81 = 2.01 𝑠𝑠 59. Se suspende una figura plana de 3 kg de un punto situado a 10 cm de su centro de masas. Cuando está oscilando con amplitud pequeña, el período de oscilación es 2,6 s. Hallar el momento de inercia I respecto a un eje perpendicular al plano de la figura que pasa por el punto de pivotamiento. 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐼𝐼 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑆𝑆 = 𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷 = 2.62 4∗𝜋𝜋2 ∗ 3 ∗ 9.81 ∗ 0.1 = 0.504 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑐𝑐2 𝑇𝑇12 4∗𝜋𝜋2 = 𝐼𝐼𝑜𝑜+𝑀𝑀∗(𝐿𝐿1+𝑟𝑟)2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿1+𝑟𝑟) 𝑆𝑆𝑐𝑐 = 𝑇𝑇12 4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (𝐿𝐿1 + 𝑑𝑑) −𝑀𝑀 ∗ (𝐿𝐿1 + 𝑑𝑑)2 𝑇𝑇22 4∗𝜋𝜋2 = 𝐼𝐼𝑜𝑜+𝑀𝑀∗(𝐿𝐿2+𝑟𝑟)2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿2+𝑟𝑟) Substituyendo el momento de inercia despejado: 𝑇𝑇22 4∗𝜋𝜋2 = 𝑇𝑇1 2 4∗𝜋𝜋2∗𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿1+𝑟𝑟)−𝑀𝑀∗(𝐿𝐿1+𝑟𝑟)2+𝑀𝑀∗(𝐿𝐿2+𝑟𝑟)2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿2+𝑟𝑟) Despejando d: 𝑑𝑑 = 𝑇𝑇1 2 4∗𝜋𝜋2∗𝑔𝑔∗𝐿𝐿1− 𝑇𝑇2 2 4∗𝜋𝜋2∗𝑔𝑔∗𝐿𝐿2−𝐿𝐿1 2+𝐿𝐿22 𝑇𝑇2 2 4∗𝜋𝜋2∗𝑔𝑔− 𝑇𝑇1 2 4∗𝜋𝜋2∗𝑔𝑔+2∗𝐿𝐿1−2∗𝐿𝐿2 Substituyendo los valores: 𝑑𝑑 = 2.62 4∗𝜋𝜋2 ∗9.81∗1− 2.52 4∗𝜋𝜋2 ∗9.81∗0.8−12 +0.82 2.52 4∗𝜋𝜋2 ∗9.81− 1.62 4∗𝜋𝜋2 ∗9.81+2∗1−2∗0.8 = 0.283 𝑐𝑐 𝑆𝑆𝑐𝑐 = 2.62 4∗𝜋𝜋2 ∗ 3.2 ∗ 9.81 ∗ (1 + 0.283) − 3.2 ∗ (1 + 0.283)2 = 1.6291 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑐𝑐2 El período pedido será: 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝑆𝑆𝑐𝑐 + 𝑀𝑀 ∗ (𝐿𝐿 + 𝑑𝑑)2 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (𝐿𝐿 + 𝑑𝑑) = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 1.6291 + 3.2 ∗ (0.5 + 0.283)2 3.2 ∗ 9.81 ∗ (0.5 + 0.283) = 2,4 𝑠𝑠 64. Cuando una persona de baja estatura y otra de alta estatura caminan juntas a la misma velocidad, la persona baja debe dar un número mayor de pasos. Supongamos que la pierna es un péndulo físico que oscila alrededor de la articulación de la cadera. Estimar la frecuencia natural de este péndulo para una persona de altura media y compara el resultado con el ritmo que esta persona da sus pasos normalmente sin prisas. El periodo de la persona con piernas costas es mayor que el de la persona con piernas largas, la persona con piernas cortas moverá las piernas mayor número de veces por segundo que la de piernas largas. 65. La figura muestra un disco uniforme de radio R=0,8 m y masa 6 kg con un pequeño agujero a la distancia d del centro del disco que puede servir de punto de pivote. a) ¿Cuál debe ser la distancia d para que el período de este péndulo físico sea 2,5 s? b) ¿A qué distancia d este péndulo físico tendrá el período menor posible? ¿cuál es este período? a) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐼𝐼 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑟𝑟 𝑆𝑆 = 1 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 +𝑐𝑐 ∗ 𝑑𝑑2 𝑇𝑇2 = 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ �12∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2+𝑀𝑀∗𝑟𝑟2� 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑟𝑟 𝑀𝑀 ∗ 𝑑𝑑2 − � 𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔� ∗ 𝑑𝑑 − 1 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 = 0 𝑑𝑑2 − � 𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑔𝑔� ∗ 𝑑𝑑 − 1 2 ∗ 𝑅𝑅2 = 0 Substituyendo por los valores: 𝑑𝑑2 − 1.553 ∗ 𝑑𝑑 − 032 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: 𝑑𝑑 = 0.245 𝑐𝑐 ; 𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝ó𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑦𝑦𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑞𝑞𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑝𝑝𝑐𝑐. b) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 1 2∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅 2+𝑀𝑀∗𝑟𝑟2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑇𝑇 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 2∗𝑀𝑀2∗𝑔𝑔∗𝑟𝑟2−�12∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅 2+𝑀𝑀∗𝑟𝑟2�∗𝑀𝑀∗𝑔𝑔 (𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑟𝑟)2 ∗ 1 2∗� 1 2∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅2+𝑀𝑀∗𝑑𝑑2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑇𝑇 𝑟𝑟𝑟𝑟 = 0 → 2 ∗ 𝑑𝑑2 − 1 2 ∗ 𝑅𝑅2 − 𝑑𝑑2 = 0 ;𝑑𝑑 = 𝑅𝑅 √2 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 1 2∗𝑅𝑅 2+𝑅𝑅 2 2 𝑔𝑔∗ 𝑅𝑅 √2 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 1 2∗0.82+0.82 2 9.81∗0.81 √2 = 2.13 𝑠𝑠 66. Un objeto plano tiene un momento de inercia i respecto a su centro de masa. Cuando se hace girar alrededor del punto P1, como se indica en la figura, oscila alrededor del pivote con un período T. Existe otro punto P2 en el lado opuesto del centro de masas respecto al cual el objeto oscila con el mismo período T. Demostrar que ℎ1 + ℎ2 = 𝑔𝑔𝑇𝑇2 4𝜋𝜋2 . 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝐼𝐼+𝑀𝑀∗ℎ12 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗ℎ1 𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 = 𝐼𝐼+𝑀𝑀∗ℎ12 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗ℎ1 ; 𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 = 𝐼𝐼 ℎ1 + 𝑀𝑀 ∗ ℎ1 Por ser el mismo período para los puntos 1 y 2: 𝐼𝐼 ℎ1 + 𝑀𝑀 ∗ ℎ1 = 𝐼𝐼 ℎ2 + 𝑀𝑀 ∗ ℎ2 ; 𝑆𝑆 = 𝑀𝑀 ∗ ℎ1 ∗ ℎ2 𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 = 𝑀𝑀∗ℎ1∗ℎ2+𝑀𝑀∗ℎ12 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗ℎ1 𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 ∗ 𝑔𝑔 = ℎ2 + ℎ1 67. Un péndulo físico se compone de una lenteja esférica de radio r y masa m colgada de una cuerda (figura). La distancia desde el centro de la esfera al punto de suspensión es L. Cuando r es mucho menor que L, este péndulo suele considerarse como un péndulo simple de longitud L. a) Demostrar que para pequeñas oscilaciones el período viene dado por 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑐𝑐�1 + 2𝑟𝑟2 5𝐿𝐿2 En donde 𝑇𝑇𝑐𝑐 = 2𝜋𝜋�𝐿𝐿 𝑔𝑔 es el período del péndulo simple de longitud L. b) Demostrar que cuando r es mucho menor que L, el período vale aproximadamente 𝑇𝑇~𝑇𝑇𝑐𝑐(1 + 𝑟𝑟2 5𝐿𝐿2 ). c) Si L=1 m y r= 2 cm, hallar el error cuando se utiliza la aproximación 𝑇𝑇~𝑇𝑇𝑐𝑐para este péndulo. ¿qué tamaño deberá tener el radio de la lenteja para que el error sea el 1 por ciento? a) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐼𝐼 𝑚𝑚∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷 ∆𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙 𝑔𝑔 ∗ � 1 22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(4,2) − 1 22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �1 2 ∗ ∅0�� ∆𝑇𝑇 2∗𝜋𝜋∗�𝑙𝑙 𝑔𝑔 = ∆𝑇𝑇 𝑇𝑇 = 1 22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2(4,2) − 1 22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �1 2 ∗ ∅0� = 48 86400 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �1 2 ∗ ∅0� = 0.05605 ∅0 = 6,43𝑐𝑐 72. Un reloj de péndulo que oscila con una amplitud muy pequeña adelanta 5 minutos cada día. ¿qué amplitud angular deberá dársele al péndulo para mantener el tiempo correcto? ∆𝑇𝑇 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑙𝑙𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙𝑜𝑜−𝑇𝑇𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑙𝑙𝑜𝑜 𝑇𝑇 = 5 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠 1 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚 ∗ 1 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚 24 ℎ ∗ 1 ℎ 3600 𝑠𝑠 ∗ 60 𝑠𝑠 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑠𝑠 = 5 1440 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙 𝑔𝑔 ∗ �1 + 1 22 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �1 2 ∗ ∅0�� ∆𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐 − 𝑇𝑇𝑒𝑒𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 Suponiendo la amplitud del péndulo lento pequeña: 𝑇𝑇𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑐𝑐 ≈ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙 𝑔𝑔 ∆𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑙𝑙 𝑔𝑔 ∗ �1− 1 − 1 4 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �1 2 ∗ ∅0�� ∆𝑇𝑇 2∗𝜋𝜋∗�𝑙𝑙 𝑔𝑔 = ∆𝑇𝑇 𝑇𝑇 = −1 4 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 �1 2 ∗ ∅0� = − 5 1440 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �1 2 ∗ ∅0� = 0.1178 ∅0 = 13,5𝑐𝑐 Oscilaciones amortiguadas 73. Verdadero o falso: La energía de un oscilador no forzado, amortiguado, decrece exponencialmente con el tiempo. Verdadero, la energía es: 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠−𝑒𝑒/𝜏𝜏 Donde 𝐸𝐸𝑐𝑐es la energía inicial i 𝜏𝜏 es la constante de tiempo. 74. Demostrar que la constante de amortiguamiento, b, tiene unidades de kg/s. 𝐹𝐹𝑟𝑟 = −𝑏𝑏 ∗ 𝑣𝑣 ; 𝑏𝑏 = −𝐹𝐹𝑑𝑑 𝑣𝑣 Por dimensiones: [𝑏𝑏] = 𝑀𝑀∗𝐿𝐿∗𝑇𝑇−2 𝐿𝐿∗𝑇𝑇−1 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑇𝑇−1 75. Un oscilador tiene un factor Q igual a 200. ¿En qué porcentaje disminuye su energía durante un período? 𝐹𝐹𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑝𝑝𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑:𝑄𝑄 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ 𝜏𝜏 = 𝜔𝜔0∗𝑚𝑚 𝑏𝑏 ;𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 �|∆𝐸𝐸| 𝐸𝐸 � 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑜𝑜 �|∆𝐸𝐸| 𝐸𝐸 � 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐 = 2∗𝜋𝜋 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 200 = 0,0314 ; 3,14 % 76. Un objeto de 2 kg oscila con una amplitud inicial de 3 cm con un muelle de constante k=400 N/m. Hallar a) El período. b) La energía inicial total. c) Si la energía disminuye en un 1 % por período, hallar la constante de amortiguamiento b y el factor Q. a) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑚𝑚 𝑘𝑘 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 2 400 = 0.444 𝑠𝑠 b) 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 = 1 2 ∗ 400 ∗ 0.032 = 0,180 𝐽𝐽 c) 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 �|∆𝐸𝐸| 𝐸𝐸 � 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑜𝑜 = 2∗𝜋𝜋 0,01 = 628 𝑄𝑄 = 𝜔𝜔0∗𝑚𝑚 𝑏𝑏 ; 𝑏𝑏 = 𝜔𝜔0∗𝑚𝑚 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋∗𝑚𝑚 𝑇𝑇∗𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋∗2 0,444∗628 = 0,0451 𝑘𝑘𝑔𝑔/𝑠𝑠 77. Demostrar que el cociente de las amplitudes de dos oscilaciones sucesivas en un oscilador forzado es constante. 𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠 − 𝑙𝑙2∗𝜏𝜏 𝐴𝐴(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠 − 𝑙𝑙+𝑇𝑇2∗𝜏𝜏 𝐴𝐴(𝑒𝑒) 𝐴𝐴(𝑒𝑒+𝑇𝑇) = 𝐴𝐴𝑜𝑜∗𝑒𝑒 − 𝑙𝑙2∗𝜏𝜏 𝐴𝐴𝑜𝑜∗𝑒𝑒 − 𝑙𝑙+𝑇𝑇2∗𝜏𝜏 = 𝑠𝑠 𝑇𝑇 2∗𝜏𝜏 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠 78. Un oscilador tiene un período de 3 s. Su amplitud disminuye en un 5 por ciento durante cada ciclo. a) ¿En cuento disminuye su energía en cada ciclo? b) ¿Cuál es la constante de tiempo τ? c) ¿Cuál es el factor Q? a) 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 ;𝑑𝑑𝐸𝐸 = 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝑑𝑑𝐴𝐴 ; 𝑟𝑟𝐸𝐸 𝐸𝐸 = 𝑘𝑘∗𝐴𝐴∗𝑟𝑟𝐴𝐴 1 2∗𝑘𝑘∗𝐴𝐴 2 = 2∗𝑟𝑟𝐴𝐴 𝐴𝐴 ; ∆𝐸𝐸 𝐸𝐸 = 2∗∆𝐴𝐴 𝐴𝐴 ∆𝐸𝐸 𝐸𝐸 = 2 ∗ 0,05 = 0,1 ; 10 % b) ∆𝐸𝐸 𝐸𝐸 = 𝑇𝑇 𝜏𝜏 ; 𝜏𝜏 = 𝑇𝑇 ∆𝐸𝐸 𝐸𝐸 = 3 0,1 = 30 𝑠𝑠 c) 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 �|∆𝐸𝐸| 𝐸𝐸 � 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑜𝑜 ;𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 0,1 = 62,8 79. Un oscilador posee un factor Q igual a 20. a) ¿En qué fracción la energía disminuye en cada ciclo? b) Utilizar la ecuación 𝜔𝜔′ = 𝜔𝜔𝑐𝑐�1− � 𝑏𝑏 2𝑚𝑚𝜔𝜔𝑜𝑜 � 2 para determinar la diferencia relativa entre w’ y wo.( Sugerencia: Utilizar la aproximación (1+x)1/2=1+1/2x para valores pequeños de x). a) �|∆𝐸𝐸| 𝐸𝐸 � 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐 = 2∗𝜋𝜋 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 20 = 0,314 b) 𝜔𝜔′ = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ �1− � 𝑏𝑏 2∗𝑚𝑚∗𝜔𝜔𝑜𝑜 � 2 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ �1− 𝑏𝑏2 4∗𝑚𝑚2∗𝜔𝜔𝑜𝑜 2 Usando: 𝑄𝑄 = 𝜔𝜔0∗𝑚𝑚 𝑏𝑏 ; 𝑏𝑏 𝑚𝑚∗𝜔𝜔𝑜𝑜 = 1 𝑄𝑄 𝜔𝜔′ = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ �1− 1 4∗𝑄𝑄2 Usando: �1− 1 4∗𝑄𝑄2 � 1/2 ~1 − 1 2 ∗ 1 4∗𝑄𝑄2 = 1− 1 8∗𝑄𝑄2 𝜔𝜔′ = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ �1− 1 8∗𝑄𝑄2 � 𝜔𝜔′ − 𝜔𝜔𝑐𝑐 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ �1− 1 8∗𝑄𝑄2 � − 𝜔𝜔𝑐𝑐 = − 1 8∗𝑄𝑄2 ∗ 𝜔𝜔𝑐𝑐 𝜔𝜔′−𝜔𝜔𝑜𝑜 𝜔𝜔𝑜𝑜 == − 1 8∗𝑄𝑄2 == − 1 8∗202 = −0.0003125 ; 0,03125 % 80. Si no suministramos energía a un columpio infantil, su amplitud disminuye en un factor 1/e aproximadamente en ocho períodos. Estimar el factor Q de este sistema. En t=0 la amplitud es Ao. 𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠 − 𝑙𝑙2∗𝜏𝜏 Para t=8T: 𝐴𝐴(8 ∗ 𝑇𝑇) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠 − 8∗𝑇𝑇2∗𝜏𝜏 = 𝐴𝐴𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠 − 4∗𝑇𝑇𝜏𝜏 𝐴𝐴(8∗𝑇𝑇) 𝐴𝐴𝑜𝑜 = 𝑠𝑠− 4∗𝑇𝑇𝜏𝜏 Según el enunciado este cociente es 1/e: 1 𝑒𝑒 = 𝑠𝑠− 4∗𝑇𝑇𝜏𝜏 ; 1 = 4∗𝑇𝑇 𝜏𝜏 ; 𝜏𝜏 𝑇𝑇 = 4 𝑄𝑄 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ 𝜏𝜏 = 2∗𝜋𝜋∗𝜏𝜏 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 4 = 25.1 81. Un sistema masa-muelle oscila con una frecuencia de 200 Hz. La constante de tiempo del sistema es 2.0 s. En el tiempo t=0, la amplitud de la oscilación es 6,0 cm y la energía del sistema oscilante es 60 J. a) ¿Cuáles son las amplitudes de oscilación para t=2,0 s y t=4,0 s? b) ¿Cuánta energía se disipa en el primer intervalo de 2 s y en el segundo intervalo de 2 s? a) 𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠 − 𝑙𝑙2∗𝜏𝜏 𝐴𝐴(2) = 0,06 ∗ 𝑠𝑠− 22∗2 = 3,64 ∗ 10−2𝑐𝑐 𝐴𝐴(4) = 0,06 ∗ 𝑠𝑠− 42∗2 = 2,21 ∗ 10−2𝑐𝑐 b) 𝐸𝐸(0) = 60 𝐽𝐽 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 = 𝐸𝐸(0) ∗ 𝑠𝑠− 𝑙𝑙 𝜏𝜏 𝐸𝐸(2) = 𝐸𝐸(0) ∗ 𝑠𝑠− 22 = 60 ∗ 𝑠𝑠−1 ∆𝐸𝐸(0− 2 𝑠𝑠) = 60 ∗ (1 − 𝑠𝑠−1) = 37,9 𝐽𝐽 𝐸𝐸(4) = 𝐸𝐸(0) ∗ 𝑠𝑠− 42 = 60 ∗ 𝑠𝑠−2 ∆𝐸𝐸(2− 4 𝑠𝑠) = 60 ∗ (𝑠𝑠−1 − 𝑠𝑠−2) = 14 𝐽𝐽 82. Se ha establecido que la Tierra en vibración posee un período de resonancia de 54 min y un factor Q de aproximadamente 400, y que después de un gran terremoto, la Tierra “tiembla” (se produce una vibración continua) durante dos meses. a) ¿En qué factor disminuye la amplitud de las vibraciones durante este período de tiempo? 89. Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza k= 400 N/m. La constante de amortiguamiento es b=2,00 kg/s. Está impulsada por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular ω=10 rad/s. a) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones? b) Si se varia la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a qué frecuencia se producirá la resonancia? c) Hallar la amplitud de las vibraciones de resonancia. d) ¿Cuál es la anchura Δω de la resonancia? a) 𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝑜𝑜 �𝑚𝑚2∗�𝜔𝜔𝑜𝑜 2−𝜔𝜔2�2+𝑏𝑏2∗𝜔𝜔2 𝜔𝜔𝑐𝑐 = �𝑘𝑘 𝑚𝑚 = �400 2 = 14,14 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠 𝐴𝐴 = 10 �22∗(14,142−102)2+22∗10′2 = 4,98 ∗ 10−2𝑐𝑐 b) Resonancia si ω=ωo=14,14 rad/s c) 𝐴𝐴𝑟𝑟 = 𝐹𝐹𝑜𝑜 √𝑏𝑏2∗𝜔𝜔2 = 𝐹𝐹𝑜𝑜 𝑏𝑏∗𝜔𝜔 = 10 2∗14,14 = 0,354 𝑐𝑐 d) ∆𝜔𝜔 = 𝑏𝑏 𝑚𝑚 = 2 2 = 1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠 90. Un oscilador amortiguado pierde 3,5 por ciento de su energía en cada ciclo. a) ¿Cuántos ciclos han de transcurrir antes de que se disipe la mitad de su energía? b) ¿Cuál es el factor Q? c) Si la frecuencia natural es 100 Hz, ¿Cuál es la anchura de la curva de resonancia cuando el oscilador se ve impulsado exteriormente? a) Utilizamos solución encontrada problema 92: 𝐸𝐸𝑠𝑠 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∗ �1− ∆𝐸𝐸 𝐸𝐸 � 𝑠𝑠 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∗ (1 − 0.035)𝑠𝑠 𝐸𝐸𝑜𝑜 2 = 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∗ (1− 0.035)𝑠𝑠 ; 1 2 = (0.965)𝑠𝑠 ;𝑠𝑠 = 𝑙𝑙𝑠𝑠0.5 𝑙𝑙𝑠𝑠0.965 = 19,5 ~20 b) 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 �|∆𝐸𝐸| 𝐸𝐸 � 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑜𝑜 = 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 0.035 = 180 c) ∆𝜔𝜔 𝜔𝜔𝑜𝑜 = 1 𝑄𝑄 ; ∆𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝑜𝑜 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋∗𝑓𝑓𝑜𝑜 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋∗100 180 = 3,49 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠 91. Imaginemos a Tarzán columpiándose en la selva colgando de una liana con un período de 3 s. Su famoso chimpancé Chita le impulsa de modo que su amplitud permanece constante. La masa de Tarzán es 90 kg y su velocidad en el extremo de la liana es 2.0 m/s. a) ¿Cuál es la energía total de Tarzán? b) Si Q=20, ¿Cuánta energía se disipa en cada oscilación? c) ¿Cuál es la potencia suministrada por Chita? (Nota: el impulso que se da a un columpio no suele ser sinusoidal. Sin embargo, para mantener una amplitud estacionaria, la energía perdida en cada ciclo debida al amortiguamiento, debe reemplazarse por una fuente de energía externa). a) 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 2 = 1 2 ∗ 90 ∗ 4 = 180 𝐽𝐽 b) 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 �|∆𝐸𝐸| 𝐸𝐸 � 𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑜𝑜 ; �|∆𝐸𝐸| 𝐸𝐸 � 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐𝑙𝑙𝑐𝑐 = 2∗𝜋𝜋 𝑄𝑄 = 2∗𝜋𝜋 20 = 0,31114; ∆𝐸𝐸 = 56,5 𝐽𝐽 c) 𝑃𝑃 = ∆𝐸𝐸 𝑇𝑇 = 56.5 3 = 18,8 𝑊𝑊 Colisiones 92. Un muchacho apoya lateralmente su caja de sorpresas sobre una mesa, con la tapa abierta, de modo que una cara de payaso de 0,4 kg sobresale de la caja horizontalmente en el extremo de un muelle. El muchacho dispara una bolita de masilla con su tirachinas a la cabeza del payaso. La bolita se adhiere a la cabeza y el payaso comienza a oscilar con una amplitud de 16 cm y una frecuencia de 0,38 Hz. Suponiendo que la caja permanece inmóvil, determinar a) La velocidad de la masilla antes de la colisión. b) La constante del muelle. a) Suponemos m la masa de la masilla y M =0,4 kg la masa de la cara. En el movimiento del sistema suponemos que se conserva la energía, v es la velocidad máxima. 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 = 1 2 ∗ (𝑀𝑀 +𝑐𝑐) ∗ 𝑣𝑣2 𝑣𝑣2 = 𝑘𝑘∗𝐴𝐴2 (𝑀𝑀+𝑚𝑚) = (𝑀𝑀+𝑚𝑚)∗4∗𝜋𝜋2∗𝑓𝑓2∗𝐴𝐴2 (𝑀𝑀+𝑚𝑚) ; 𝑣𝑣 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 ∗ 𝐴𝐴 En la colisión, inelástica, se conserva la cantidad de movimiento, sea V la velocidad inicial de la masilla: 𝑐𝑐 ∗ 𝑉𝑉 = (𝑀𝑀 +𝑐𝑐) ∗ 𝑣𝑣 𝑉𝑉 = (𝑀𝑀+𝑚𝑚)∗𝑣𝑣 𝑚𝑚 = (𝑀𝑀+𝑚𝑚)∗2∗𝜋𝜋∗𝑓𝑓∗𝐴𝐴 𝑚𝑚 = (0.4+𝑚𝑚)∗2∗𝜋𝜋∗𝑓𝑓∗𝐴𝐴 𝑚𝑚 𝑉𝑉 = (0.4+𝑚𝑚)∗2∗𝜋𝜋∗0.38∗0.16 𝑚𝑚 = 0.382 ∗ 0.4+𝑚𝑚 𝑚𝑚 b) 𝑘𝑘 = (𝑀𝑀 +𝑐𝑐) ∗ 𝜔𝜔2 = (𝑀𝑀 + 𝑐𝑐) ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑓𝑓2 𝑘𝑘 = (0.4 +𝑐𝑐) ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 0.382 = 5.7 ∗ (0.4 +𝑐𝑐)𝑁𝑁/𝑐𝑐 93. La figura muestra un sistema vibrante masa-muelle soportado por una superficie sin rozamiento y una segunda masa igual que se mueve hacia la masa vibrante con velocidad v. El movimiento de la masa vibrante viene dado por 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = (0.1 𝑐𝑐)cos (40 𝑠𝑠−1𝑡𝑡) En donde x es el desplazamiento de la masa desde su posición de equilibrio. Las dos masas chocan elásticamente justo cuando la masa vibrante pasa por su posición de equilibrio y se mueve hacia la derecha. a) ¿Cuál debe ser la velocidad v de la segunda masa para que el sistema masa-muelle quede en reposo después de la colisión elástica? b) ¿Cuál es la velocidad de la segunda masa después de la colisión elástica? a) Por ser colisión elástica se conservan la cantidad de movimiento y la energía: 𝑣𝑣1𝑚𝑚 + 𝑣𝑣2𝑚𝑚 = 𝑣𝑣2𝑓𝑓 Por conservación energía: 𝑣𝑣1𝑚𝑚2 + 𝑣𝑣2𝑚𝑚2 = 𝑣𝑣2𝑓𝑓2 𝑣𝑣2𝑚𝑚2 = 𝑣𝑣2𝑓𝑓2 − 𝑣𝑣1𝑚𝑚2 = �𝑣𝑣2𝑓𝑓 − 𝑣𝑣1𝑚𝑚� ∗ (𝑣𝑣2𝑓𝑓 + 𝑣𝑣1𝑚𝑚) Usando la primera ecuación en ésta: 𝑣𝑣2𝑚𝑚2 = (𝑣𝑣1𝑚𝑚 + 𝑣𝑣2𝑚𝑚 − 𝑣𝑣1𝑚𝑚) ∗ (𝑣𝑣1𝑚𝑚 + 𝑣𝑣2𝑚𝑚 + 𝑣𝑣1𝑚𝑚) 𝑣𝑣2𝑚𝑚2 = 𝑣𝑣2𝑚𝑚 ∗ (2 ∗ 𝑣𝑣1𝑚𝑚 + 𝑣𝑣2𝑚𝑚) = 2 ∗ 𝑣𝑣1𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣2𝑚𝑚 + 𝑣𝑣2𝑚𝑚2 Por tanto: 2 ∗ 𝑣𝑣1𝑚𝑚 ∗ 𝑣𝑣2𝑚𝑚 = 0 ; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑣𝑣1𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎,𝑑𝑑𝑠𝑠𝑏𝑏𝑠𝑠𝑎𝑎á 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑣𝑣2𝑚𝑚 . 𝑣𝑣2𝑚𝑚 = 0 b) Al tratarse de una colisión elástica entre dos masas iguales la masa libre deberá salir con una velocidad igual a la que llevaba la masa atada al muelle. La masa atada al muelle tiene su velocidad máxima: 𝑣𝑣 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 0.1 ∗ 40 = 4 𝑐𝑐/𝑠𝑠 94. Después de la colisión elástica del problema 93, la energía de la masa de retroceso es 8.0 J. Determinar el valor de las masas m y la constante del muelle. 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣2;𝑐𝑐 = 2∗𝐸𝐸 𝑣𝑣2 = 2∗8 16 = 1 𝑘𝑘𝑔𝑔 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 = 1 ∗ 402 = 1600 𝑁𝑁/𝑐𝑐 95. Un objeto de 2 kg de masa apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento se une a un muelle de constante 600 N/m. Otro objeto de 1 kg de masa desliza sobre la superficie acercándose al primero a 6 m/s. a) Hallar la amplitud de oscilación si el segundo objeto choca de forma inelástica perfecta quedando unido también al muelle. ¿Cuál es el período de oscilación? b) Hallar la amplitud y el período de oscilación si el choque fuese elástico c) Para cada tipo de colisión, escribir una expresión para la posición en función del tiempo t para el objeto unido al muelle, suponiendo que el choque se produce Enel instante t=0. a) En el choque tendremos conservación cantidad de movimiento: 𝑐𝑐1 ∗ 𝑣𝑣1 +𝑐𝑐2 ∗ 𝑣𝑣2 = (𝑐𝑐1 +𝑐𝑐2) ∗ 𝑣𝑣 𝑣𝑣 = 𝑚𝑚1∗𝑣𝑣1+𝑚𝑚2∗𝑣𝑣2 (𝑚𝑚1+𝑚𝑚2) = 2∗0+1∗(−6) 3 = −2 𝑐𝑐/𝑠𝑠 Una vez producido el choque los dos cuerpos unidos inician la oscilación, siendo la velocidad anterior la máxima de la oscilación. Por conservación de la energía en la oscilación: 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣2 ;𝐴𝐴 = �𝑚𝑚∗𝑣𝑣2 𝑘𝑘 = �𝑚𝑚 𝑘𝑘 ∗ 𝑣𝑣 = � 3 600 ∗ 2 = 0.141 𝑐𝑐 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4∗𝜋𝜋 2 𝑇𝑇2 ;𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑚𝑚 𝑘𝑘 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 3 600 = 0,444 𝑠𝑠 b) 𝑐𝑐1 ∗ 𝑣𝑣1 +𝑐𝑐2 ∗ 𝑣𝑣2 = 𝑐𝑐1 ∗ 𝑣𝑣1′ +𝑐𝑐2 ∗ 𝑣𝑣2′ La conservación de la energía es equivalente a: 𝑣𝑣1 + 𝑣𝑣1′ = 𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣2′ Despejamos 𝑣𝑣1′ de la segunda ecuación y lo substituimos en la primera: 𝑣𝑣1′ = 𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣2′ − 𝑣𝑣1 𝑐𝑐1 ∗ 𝑣𝑣1 +𝑐𝑐2 ∗ 𝑣𝑣2 = 𝑐𝑐1 ∗ (𝑣𝑣2 + 𝑣𝑣2′ − 𝑣𝑣1) + 𝑐𝑐2 ∗ 𝑣𝑣2′ Despejamos 𝑣𝑣2′ y 𝑣𝑣1′ : 𝑣𝑣2′ = 2∗𝑚𝑚1∗𝑣𝑣1+𝑚𝑚2∗𝑣𝑣2−𝑚𝑚1∗𝑣𝑣2 𝑚𝑚1+𝑚𝑚2 𝑣𝑣1′ = 𝑣𝑣2 − 𝑣𝑣1 + 2∗𝑚𝑚1∗𝑣𝑣1+𝑚𝑚2∗𝑣𝑣2−𝑚𝑚1∗𝑣𝑣2 𝑚𝑚1+𝑚𝑚2 Usando los valores: 𝑐𝑐1 = 2 𝑘𝑘𝑔𝑔 ; 𝑣𝑣1 = 0; 𝑐𝑐2 = 1𝑘𝑘𝑔𝑔 ; 𝑣𝑣2 = −6𝑐𝑐/𝑠𝑠 𝑣𝑣2′ = 2∗2∗0+1∗(−6)−2∗(−6) 3 = 2 𝑐𝑐/𝑠𝑠 𝑣𝑣1′ = −6− 0 + 2∗2∗0+1∗(−6)−2∗(−6) 3 = −4 𝑐𝑐/𝑠𝑠 El objeto ligado al muelle sale con una velocidad de 4 m/s. Por conservación de la energía en el movimiento del cuerpo ligado al muelle: 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣2 ;𝐴𝐴 = �𝑚𝑚∗𝑣𝑣2 𝑘𝑘 = �𝑚𝑚 𝑘𝑘 ∗ 𝑣𝑣 = � 2 600 ∗ 4 = 0.231 𝑐𝑐 102. Una partícula posee un desplazamiento dado por x=0,4cos(3t+π/4) en donde x viene en metros y t en segundos. a) Hallar la frecuencia f y el período T del movimiento. b) ¿En dónde está la partícula en t=0? c) ¿Y en t=0,5 s? a) 𝜔𝜔 = 3 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟 𝑠𝑠 ; 𝑓𝑓 = 𝜔𝜔 2∗𝜋𝜋 = 0,478 𝐻𝐻𝐻𝐻 ;𝑇𝑇 = 1 𝑓𝑓 = 2,094 𝑠𝑠 b) 𝑥𝑥(0) = 0,4 ∗ cos �𝜋𝜋 4 � = 0,283 𝑐𝑐 c) 𝑥𝑥(0,5) = 0,4 ∗ cos �3 ∗ 0,5 + 𝜋𝜋 4 � = −0,262 𝑐𝑐 103. a) Hallar una expresión para la velocidad de la partícula cuya posición viene dada en el problema 102. b) ¿Cuál es la velocidad en el instante t=0? c) ¿Cuál es la velocidad máxima? d) ¿En qué momento después de t=0 se presenta esta velocidad máxima? a) 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = −0,4 ∗ 3 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �3 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋 4 � b) 𝑣𝑣(0) = −0,4 ∗ 3 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝜋𝜋 4 � = −0,849 𝑐𝑐/𝑠𝑠 c) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 0,4 ∗ 3 = 1,2 𝑐𝑐/𝑠𝑠 d) 1 = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �3 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋 4 � ; 3 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋 4 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(−1); 3 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋 4 = −𝜋𝜋 2 ; 3 ∗ 𝑡𝑡 = −3∗𝜋𝜋 4 𝑡𝑡 = −𝜋𝜋 4 = −0.785 Como la situación se repite cada T/2 s, el primer valor positivo de t será: 𝑡𝑡 = −0,785 + 2,094 2 = 0,262 𝑠𝑠 104. Un cuerpo unido a un muelle horizontal oscila con un período de 4 s. Si el cuerpo se suspende verticalmente del muelle, ¿en cuánto se alarga el muelle respecto a su longitud natural cuando el cuerpo está en equilibrio? 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑚𝑚 𝑘𝑘 ; 𝑇𝑇2 = 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑚𝑚 𝑘𝑘 ;𝑘𝑘 = 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑚𝑚 𝑇𝑇2 Al colgarlo verticalmente: 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ; ∆𝑦𝑦 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔 4∗𝜋𝜋2∗𝑚𝑚𝑇𝑇2 = 𝑔𝑔∗𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 = 9.81∗42 4∗𝜋𝜋2 = 3,96 𝑐𝑐 105. Una partícula pequeña de masa m se desliza sin rozamiento en un cuenco esférico de radio r. a) Demostrar que el movimiento de la masa es el mismo que si estuviese sujeta a un muelle de longitud r. b) Se desplaza una masa m1, una pequeña distancia s1 de la parte inferior del cuerpo (figura) siendo s1 mucho menor que r. Otra segunda masa m2 se desplaza en sentido opuesto a una distancia s2=3 s1 (s2 es también mucho menor que r). Si las masas se dejan libres en el mismo instante, ¿en dónde se encontrarán? Explicarlo. a) La partícula está sujeta a la fuerza normal y su peso. Se puede observar que las fuerzas son análogas al caso del péndulo simple. −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑟𝑟 2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 Como s=R*ϴ 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 = 𝑅𝑅 ∗ 𝑟𝑟 2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 Obtenemos, considerando ángulos pequeños (senϴ ~ϴ): 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 ~− 𝑔𝑔 𝑅𝑅 ∗ 𝑠𝑠 Igual que el caso de cuerpo ligado a un muelle, donde k=-g/R. b) En el movimiento armónico simple el período es independiente de la masa y de la amplitud: 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝑅𝑅 𝑔𝑔 Las dos partículas tienen el mismo periodo, llegan al punto inferior al mismo tiempo. Coinciden en el punto inferior. 106. Cuando un avión disminuye su velocidad a fin de aterrizar, un viajero mide su aceleración suspendiendo un yo-yo como un péndulo simple y observando que cuando la lenteja (masa 40 kg) está en reposo respecto a él, la cuerda (longitud 70 cm) forma un ángulo de 22º con la vertical. Determinar el período T para pequeñas oscilaciones de éste péndulo. El período del yo-yo viene dado por: 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐿𝐿 𝑔𝑔′ Por el diagrama: 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔′ ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 ;𝑔𝑔′ = 𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝐿𝐿∗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑔𝑔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �0.7∗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠22 9,81 = 1,62 𝑠𝑠 107. Dos bloques idénticos situados uno sobre el otro descansan sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El bloque inferior está unido a un muelle de constante k=600 N/m. Cuando se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, el sistema oscila con una frecuencia de 1,8 Hz. Cuando la amplitud de oscilación excede 5 cm, el bloque superior comienza a deslizarse respecto al inferior. a) ¿Cuáles son las masas de los dos bloques? b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático entre los dos bloques? a) Consideramos que los dos bloques se mueven juntos, todas las fuerzas horizontales a considerar son internas excepto la fuerza elástica. Podemos considerar un único cuerpo de masa 2 m que se mueve bajo la acción de la fuerza elástica: −𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 = −2 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 ∗ 𝑥𝑥 ;𝑐𝑐 = 𝑘𝑘 2∗𝜔𝜔2 = 𝑘𝑘 8∗𝜋𝜋2∗𝑓𝑓2 = 600 8∗𝜋𝜋2∗1,82 = 2,35 𝑘𝑘𝑔𝑔 b) En el cuerpo superior tenemos: 𝜇𝜇 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑎𝑎 Cuando A=5 cm : 𝑎𝑎 = 𝜔𝜔2 ∗ 𝐴𝐴 𝜇𝜇 = 𝜔𝜔2∗𝐴𝐴 𝑔𝑔 = 2∗𝜋𝜋2∗𝑓𝑓2 𝑔𝑔 = 2∗𝜋𝜋2∗1,82 9,81 = 0,65 108. Dos átomos están ligados entre sí en una molécula. La energía potencial U que resulta de su interacción se muestra en la figura. La variable r es la distancia entre los centros atómicos y Eo es la energía más baja (estado fundamental). a) Como resultado de una colisión, la molécula adquiere una energía cinética de vibración cuyo valor máximo es 1,0 ev. Con esta energía cinética, ¿en qué intervalo de separación vibrará la molécula? b) Determinar un valor aproximado para la fuerza f(r) entre los dos átomos cuando su separación es r=0,4 nm. Expresar la respuesta en las unidades utilizadas en el gráfico de la figura. c) Calcular la fuerza obtenida en (b) en Newtons. ¿Es atractiva o repulsiva esta fuerza? 𝑀𝑀′ = 𝜌𝜌 ∗ 𝑉𝑉′ = 𝑀𝑀 4 3∗𝜋𝜋∗𝑅𝑅𝑇𝑇 3 ∗ 4 3 ∗ 𝜋𝜋 ∗ ((𝑅𝑅𝑇𝑇 − ℎ)3 Por tanto: 𝑔𝑔1 = 𝐺𝐺 ∗ 𝑀𝑀 4 3∗𝜋𝜋∗𝑅𝑅𝑇𝑇 3∗ 4 3∗𝜋𝜋∗((𝑅𝑅𝑇𝑇−ℎ)3 (𝑅𝑅𝑇𝑇−ℎ)2 = 𝐺𝐺 ∗ 𝑀𝑀 𝑅𝑅𝑇𝑇 3 ∗ (𝑅𝑅𝑇𝑇 − ℎ) = 𝑔𝑔 ∗ (𝑅𝑅𝑇𝑇−ℎ) 𝑅𝑅𝑇𝑇 = 𝑔𝑔 ∗ �1− ℎ 𝑅𝑅𝑇𝑇 � 𝑔𝑔2 = 𝐺𝐺 ∗ 𝑀𝑀 (𝑅𝑅𝑇𝑇+ℎ)2 = 𝐺𝐺 ∗ 𝑀𝑀 𝑅𝑅𝑇𝑇 2 ∗ 1 �𝑅𝑅𝑇𝑇+ℎ� 2 𝑅𝑅𝑇𝑇 2 = 𝑔𝑔 ∗ 1 �1+ ℎ 𝑅𝑅𝑇𝑇 � 2 Por ejemplo, para h=1000 m y tomando RT=6500 km, obtenemos: 𝑔𝑔1 = 9,80849 ; 𝑔𝑔2 = 9,80698 ; ∆𝑔𝑔1 = 0.00151 𝑦𝑦 ∆𝑔𝑔2 = 0.00302 112. La figura muestra un péndulo de longitud L con una lenteja de masa M. La lenteja está unida a un muelle de constante k como se indica. Cuando la lenteja está directamente por debajo del soporte del péndulo, el muelle tiene su longitud natural de equilibrio. a) Deducir una expresión para el período de este sistema oscilante para vibraciones de pequeña amplitud. b) Suponer que M=1 kg y L es tal que en ausencia del muelle el período del sistema oscilante es 2,0 s. ¿Cuál es la constante del muelle k si el período del sistema oscilante es 1,0 s? a) −𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 − 𝑇𝑇 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑎𝑎 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑟𝑟2𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑒𝑒2 𝑇𝑇 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 Despejamos T de la segunda y lo substituimos en la primera: 𝑇𝑇 = 𝑀𝑀∗𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 −𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 − 𝑀𝑀∗𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑟𝑟2𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑒𝑒2 Por otra parte: 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑠𝑠 −𝑘𝑘 ∗ 𝐿𝐿 ∗ 𝑠𝑠 − 𝑀𝑀∗𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑟𝑟 2𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑒𝑒2 Además: 𝑟𝑟2𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑒𝑒2 = 𝐿𝐿 ∗ 𝛼𝛼 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑟𝑟 2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 −𝑘𝑘 ∗ 𝐿𝐿 ∗ 𝑠𝑠 − 𝑀𝑀∗𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑀𝑀 ∗ 𝐿𝐿 ∗ 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 Para ángulos pequeños 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠~𝑠𝑠: −𝑘𝑘 ∗ 𝐿𝐿 ∗ 𝑠𝑠 −𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑠𝑠 = 𝑀𝑀 ∗ 𝐿𝐿 ∗ 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 = −�𝑘𝑘 𝑀𝑀 + 𝑔𝑔 𝐿𝐿 � ∗ 𝑠𝑠 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 𝑐𝑐. 𝑣𝑣.𝑎𝑎. 𝑠𝑠. ∶ 𝛼𝛼 = −𝜔𝜔2 ∗ 𝑠𝑠 𝜔𝜔 = �𝑘𝑘 𝑀𝑀 + 𝑔𝑔 𝐿𝐿 Para el período: 𝑇𝑇 = 2∗𝜋𝜋 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 1 �𝑘𝑘 𝑀𝑀+ 𝑔𝑔 𝐿𝐿 b) Utilizando el período sin muelle: 𝑇𝑇1 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝐿𝐿 𝑔𝑔 ; 𝐿𝐿 = 𝑇𝑇12∗𝑔𝑔 4∗𝜋𝜋2 Con muelle: 𝑇𝑇2 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 1 �𝑘𝑘 𝑀𝑀+ 𝑔𝑔 𝐿𝐿 ; 𝑘𝑘 𝑀𝑀 + 𝑔𝑔 𝐿𝐿 = 4∗𝜋𝜋2 𝑇𝑇22 ;𝑘𝑘 = 𝑀𝑀 ∗ �4∗𝜋𝜋 2 𝑇𝑇22 − 𝑔𝑔 𝐿𝐿 � = 𝑀𝑀 ∗ �4∗𝜋𝜋 2 𝑇𝑇22 − 4∗𝜋𝜋2 𝑇𝑇12 � 𝑘𝑘 = 1 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ � 1 122 − 1 212 � = 29,6 𝑁𝑁/𝑐𝑐 113. Una masa m1 se desliza sobre una superficie horizontal lisa y está sujeta a un muelle de constante de fuerza k y oscila con amplitud A. cuando el muelle está con su mayor deformación y la masa está instantáneamente en reposo, se coloca en la parte superior de m1 otra masa m2. a) ¿Cuál es el menor valor del coeficiente de rozamiento estático µe que puede existir sin permitir que m2 se deslice sobre m1? b) Explicar cómo se modifican la energía total E, la amplitud A, la frecuencia angular ω y el período T al situar m2 sobre m1. Suponiendo que el rozamiento es suficientemente grande para que no haya deslizamiento. a) Para el objeto superior, m2: 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑐𝑐2 ∗ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑁𝑁2 = 𝑐𝑐2 ∗ 𝑔𝑔 La fuerza de rozamiento máximo cumple: 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑁𝑁2 = 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑐𝑐2 ∗ 𝑔𝑔 𝜇𝜇𝑒𝑒 ∗ 𝑐𝑐2 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑐𝑐2 ∗ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Usando: 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑘𝑘 𝑚𝑚1+𝑚𝑚2 𝜇𝜇𝑒𝑒 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑔𝑔 = 𝐴𝐴 𝑔𝑔 ∗ 𝑘𝑘 𝑚𝑚1+𝑚𝑚2 b) La energía del sistema en ausencia de fricciones con el suelo se mantiene. La frecuencia se reduce al cambiar la masa: 𝜔𝜔1 = � 𝑘𝑘 𝑚𝑚1 ; 𝜔𝜔2 = � 𝑘𝑘 𝑚𝑚1+𝑚𝑚2 Al cambiar la pulsación también cambiará el periodo, éste aumenta. 114. La aceleración debida a la gravedad g varía con el lugar de la Tierra debido a su rotación y porque la Tierra no es esférica exactamente. Este hecho fue descubierto por primera vez durante el siglo XVII, cuando se observó que un reloj de péndulo cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo correcto en París, atrasaba alrededor de 90 s/d cerca del Ecuador. a) Demostrar que una pequeña variación en la aceleración Δg produce un pequeño cambio ΔT en el período de un péndulo dado por ∆𝑇𝑇 𝑇𝑇 = −1 2 ∆𝑔𝑔 𝑔𝑔 (utilizar diferencias para aproximar los valores de ΔT y Δg). b) ¿Qué variación de g se necesita para justificar un cambio de período de 90 s/d? a) 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝐿𝐿 𝑔𝑔 𝑟𝑟𝑇𝑇 𝑟𝑟𝑔𝑔 = −𝜋𝜋 ∗ √𝐿𝐿 ∗ 1 �𝑔𝑔3 = −2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �𝐿𝐿 𝑔𝑔 ∗ 1 2∗𝑔𝑔 = − 𝑇𝑇 2∗𝑔𝑔 𝑟𝑟𝑇𝑇 𝑇𝑇 = − 𝑟𝑟𝑔𝑔 2∗𝑔𝑔 ; ∆𝑇𝑇 𝑇𝑇 ~ − ∆𝑔𝑔 2∗𝑔𝑔 b) ∆𝑔𝑔 = −2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ∆𝑇𝑇 𝑇𝑇 = −2 ∗ 9,81 ∗ �90𝑠𝑠 𝑟𝑟 ∗ 1 𝑟𝑟í𝑚𝑚 24 ℎ ∗ 1 ℎ 3600𝑠𝑠 � = 0.0204 m/s2 115. La figura muestra dos masas iguales de 0,6 kg unidas con pegamento entre sí y conectadas con pegamento entre sí y conectadas a un muelle de constante k=240 N/m. Las masas, que descansan sobre una superficie horizontal sin rozamiento, se desplazan 0,6 m de su posición de equilibrio y se dejan en libertad. Antes de liberarse se depositan unas gotas de disolvente sobre el pegamento que las une. a) Determinar la frecuencia de vibración, amplitud y energía total del sistema vibrante antes de que el pegamento se haya disuelto. b) Determinar la frecuencia de vibración, amplitud y energía del sistema vibrante si el pegamento se disuelve (1) en la compresión máxima y (2) en la extensión máxima. a) 𝑓𝑓 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ � 𝑘𝑘 𝑚𝑚1+𝑚𝑚2 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ � 240 0.6+0.6 = 2,25 𝐻𝐻𝐻𝐻 𝐴𝐴 = 0,6 𝑐𝑐 ;𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 = 1 2 ∗ 240 ∗ 0,62 = 43,2 𝐽𝐽 b) En la compresión máxima: 𝑓𝑓1 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ � 𝑘𝑘 𝑚𝑚1 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ �240 0.6 = 3,18 𝐻𝐻𝐻𝐻 En la nueva situación la amplitud será: 𝐴𝐴1 = 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜔𝜔1 = 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ∗ � 𝑚𝑚 𝑘𝑘 118. El émbolo de una máquina de lanzamiento de bolas tiene una masa mp y está conectado a un muelle de constante de fuerza k (figura). El muelle se comprime una distancia xo a partir de su posición de equilibrio, x=0 y se deja en libertad. Una bola de masa mb está junto al émbolo. a) ¿En qué punto la bola se separará del émbolo? b) ¿Cuál es la velocidad vs de la bola cuando ésta se separa? c) ¿A qué distancia xf el émbolo se detiene momentáneamente? (Suponer que la superficie es horizontal y sin rozamiento de modo que la bola se desliza sin rodar). a) La bola se separará del émbolo en el punto de máxima velocidad, o sea en x=0. b) En el punto de separación: 𝑣𝑣𝑠𝑠 = 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝑥𝑥𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 = 𝑥𝑥𝑐𝑐 ∗ � 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑝𝑝+𝑚𝑚𝑏𝑏 c) Por conservación de la energía: 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥𝑓𝑓2 = 1 2 ∗ 𝑐𝑐𝑏𝑏 ∗ 𝑣𝑣𝑠𝑠2 ; 𝑥𝑥𝑓𝑓 = �𝑚𝑚𝑏𝑏 𝑘𝑘 ∗ 𝑣𝑣𝑠𝑠 = �𝑚𝑚𝑏𝑏 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥𝑐𝑐 ∗ � 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑝𝑝+𝑚𝑚𝑏𝑏 𝑥𝑥𝑓𝑓 = � 𝑚𝑚𝑏𝑏 𝑚𝑚𝑝𝑝+𝑚𝑚𝑏𝑏 ∗ 𝑥𝑥𝑐𝑐 119. Una plataforma llana vibra horizontalmente con movimiento armónico simple con un período de 0,8 s. a) Una caja sobre la plataforma comienza a deslizar cuando la amplitud de vibración alcanza los 40 cm: ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático entre la caja y la plataforma? b) Si el coeficiente de rozamiento estático entre la caja y la plataforma fuera de 0,40, ¿Cuál sería la amplitud máxima de vibración antes de que la caja deslice? a) Aplicando la segunda ley de Newton: 𝐹𝐹𝑟𝑟𝑐𝑐𝑟𝑟 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝜇𝜇 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 ; 𝜇𝜇 = 𝐴𝐴∗𝜔𝜔2 𝑔𝑔 = 𝐴𝐴∗4∗𝜋𝜋2 𝑇𝑇2∗𝑔𝑔 𝜇𝜇 = 0,4∗4∗𝜋𝜋2 0,82∗9,81 = 2,52 b) 𝜇𝜇 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 ;𝐴𝐴 = 𝜇𝜇∗𝑔𝑔 𝜔𝜔2 = 𝜇𝜇∗𝑔𝑔∗𝑇𝑇2 4∗𝜋𝜋2 = 0,40∗9,81∗0,82 4∗𝜋𝜋2 = 0,0636 𝑐𝑐 120. La energía potencial de una masa m en función de la posición viene expresada por 𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 �𝛼𝛼 + 1 𝛼𝛼 �, en donde α=x/a y a es una constante. a) Representar U(x) en función de x para 0,1a< 𝑥𝑥 < 3a. b) Determinar el valor de x=xo en el equilibrio estable. c) Expresar la energía potencial U(x) para x=xo+ε, siendo ε un pequeño desplazamiento de la posición de equilibrio xo. d) Aproximar el término 1/x utilizando el desarrollo binómico: (1 + 𝑎𝑎)𝑠𝑠 = 1 + 𝑠𝑠𝑎𝑎 + 𝑠𝑠(𝑠𝑠−1) (2)(1) 𝑎𝑎2 + 𝑠𝑠(𝑠𝑠−1)𝑠𝑠(𝑠𝑠−2) (3)(2)(1) 𝑎𝑎3 +⋯ Con 𝑎𝑎 = 𝜀𝜀/𝑥𝑥𝑐𝑐 ≪ 1 y despreciar los términos de potencia superior a r2. e) Comparar el resultado obtenido con el potencial de un oscilador armónico simple para pequeños desplazamientos del equilibrio y determinar la frecuencia de este movimiento. a) 𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ �𝛼𝛼 + 1 𝛼𝛼 � Tomando a=1, Uo =1 podemos observar la forma de la gráfica: b) 𝐹𝐹 = 𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 ; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎𝑝𝑝𝑐𝑐 𝐹𝐹 = 0 𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 = 0 ; 𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑚𝑚 �𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ � 𝑚𝑚 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑚𝑚 �� = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ � 1 𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 𝑚𝑚2 � = 0 ; 1 𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 𝑚𝑚2 𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ; 𝛼𝛼 = 1 c) 𝑈𝑈(𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝜀𝜀) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ � 𝑚𝑚𝑜𝑜+𝜀𝜀 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑜𝑜+𝜀𝜀 � = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ � 𝑚𝑚𝑜𝑜 𝑚𝑚 + 𝜀𝜀 𝑚𝑚 + 1 𝑚𝑚𝑜𝑜 𝑚𝑚 + 𝜀𝜀 𝑚𝑚 � Utilizando el resultado de b: 𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ; 𝛼𝛼 = 1 𝑈𝑈(𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝜀𝜀) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ �1 + 𝜀𝜀 𝑚𝑚 + 1 1+𝜀𝜀𝑚𝑚 � 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑𝑐𝑐 𝛽𝛽 = 𝜀𝜀 𝑚𝑚 : 𝑈𝑈(𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝜀𝜀) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ �1 + 𝛽𝛽 + 1 1+𝛽𝛽 � d) 1 1+𝛽𝛽 = (1 + 𝛽𝛽)−1 = 1 + (−1) ∗ 𝛽𝛽 + (−1)∗(−1−1) (2)(1) 𝛽𝛽2 = 1 − 𝛽𝛽 + 𝛽𝛽2 𝑈𝑈(𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝜀𝜀) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ �1 + 𝛽𝛽 + 1 1+𝛽𝛽 � = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ (1 + 𝛽𝛽 + 1 − 𝛽𝛽 + 𝛽𝛽2) 𝑈𝑈(𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝜀𝜀) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ (2 + 𝛽𝛽2) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ �2 + 𝜀𝜀2 𝑚𝑚2 � = 2 ∗ 𝑈𝑈𝑐𝑐 + 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ 𝜀𝜀2 𝑚𝑚2 e) Para un oscilador armónico: 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝑐𝑐 + 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝜖𝜖2 Por comparación: 1 2 ∗ 𝑘𝑘 = 𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑚𝑚2 ;𝑘𝑘 = 2∗𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑚𝑚2 0 20 40 60 80 100 120 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 U 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 = 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑓𝑓2; 𝑓𝑓 = � 𝑘𝑘 𝑚𝑚∗4∗𝜋𝜋2 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ �2∗𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑚𝑚2∗𝑚𝑚 = 1 2∗𝜋𝜋∗𝑚𝑚 ∗ �2∗𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑚𝑚 121. Resolver el problema 120 con 𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 𝑈𝑈𝑐𝑐(𝛼𝛼2 + 1 𝛼𝛼2 ). a) 𝑈𝑈(𝑥𝑥) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ �𝛼𝛼2 + 1 𝛼𝛼2 � Tomando a=1, Uo =1 podemos observar la forma de la gráfica: b) 𝐹𝐹 = 𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 ; 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑏𝑏𝑎𝑎𝑝𝑝𝑐𝑐 𝐹𝐹 = 0 𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 = 0 ; 𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑚𝑚 �𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ � 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚2 𝑚𝑚2 �� = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ � 2∗𝑚𝑚 𝑚𝑚2 − 2∗𝑚𝑚2 𝑚𝑚3 � = 0 ; 2∗𝑚𝑚 𝑚𝑚2 − 2∗𝑚𝑚2 𝑚𝑚3 𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ; 𝛼𝛼 = 1 c) 𝑈𝑈(𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝜀𝜀) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ � (𝑚𝑚𝑜𝑜+𝜀𝜀)2 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚2 (𝑚𝑚𝑜𝑜+𝜀𝜀)2� = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ (𝑚𝑚𝑜𝑜 2 𝑚𝑚2 + 𝜀𝜀2 𝑚𝑚2 + 2∗𝑚𝑚𝑜𝑜∗𝜀𝜀 𝑚𝑚2 + 1 𝑚𝑚𝑜𝑜2 𝑚𝑚2 + 𝜀𝜀2 𝑚𝑚2 +2∗𝑚𝑚𝑜𝑜∗𝜀𝜀𝑚𝑚2 Utilizando el resultado de b: 𝑥𝑥𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ; 𝛽𝛽 = 𝜀𝜀/𝑎𝑎. d) Poniendo: 𝑈𝑈(𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝜀𝜀) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ �1 + 𝛽𝛽2 + 2 ∗ 𝛽𝛽 + 1 1+𝛽𝛽2+2∗𝛽𝛽 � = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ �1 + 𝛽𝛽2 + 2 ∗ 𝛽𝛽 + 1 (1+𝛽𝛽)2 � 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑𝑐𝑐 𝛽𝛽 = 𝜀𝜀 𝑚𝑚 . Usando: 1 (1+𝛽𝛽)2 = 1 − 2𝛽𝛽 + 3 ∗ 𝛽𝛽2 𝑈𝑈(𝑥𝑥𝑐𝑐 + 𝜀𝜀) = 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ 2 ∗ (1 + 2 ∗ 𝛽𝛽2) = 2 ∗ 𝑈𝑈𝑐𝑐 + 4 ∗ 𝑈𝑈𝑐𝑐 ∗ 𝜀𝜀2 𝑚𝑚2 e) Para un oscilador armónico: 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝑐𝑐 + 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝜖𝜖2 Por comparación: 1 2 ∗ 𝑘𝑘 = 4∗𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑚𝑚2 ; 𝑘𝑘 = 8∗𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑚𝑚2 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔2 = 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋2 ∗ 𝑓𝑓2; 𝑓𝑓 = � 𝑘𝑘 𝑚𝑚∗4∗𝜋𝜋2 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ �8∗𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑚𝑚2∗𝑚𝑚 = 1 𝜋𝜋∗𝑚𝑚 ∗ �2∗𝑑𝑑𝑜𝑜 𝑚𝑚 122. Un tambor cilíndrico sólido de masa 6,0 kg y diámetro 0,06 m rueda sin deslizamiento sobre una superficie horizontal (figura). El eje del tambor está atado a un muelle de constante k=4000 N/m como se indica. 0 20 40 60 80 100 120 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 U Derivando respecto al tiempo: 0 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷 ∗ 𝑠𝑠 ∗ 𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒 +𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ �3 2 − 𝐷𝐷 𝑅𝑅 ∗ 2� ∗ 𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒 ∗ 𝑟𝑟 2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 𝑅𝑅2 ∗ �3 2 − 𝐷𝐷 𝑅𝑅 ∗ 2� ∗ 𝑟𝑟 2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 + 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷 ∗ 𝑠𝑠 = 0 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 + 𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑅𝑅2∗�32− 𝐷𝐷 𝑅𝑅∗2� ∗ 𝑠𝑠 = 0 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑡𝑡𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐ó𝑠𝑠𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎: 𝜔𝜔2 = 𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑅𝑅2∗�32− 𝐷𝐷 𝑅𝑅∗2� Utilizando la relación D/R: 𝜔𝜔2 = 𝑔𝑔∗ 4 3∗𝜋𝜋 𝑅𝑅∗�32− 8 3∗𝜋𝜋� = 8 (9∗𝜋𝜋−16) ∗ 𝑔𝑔 𝑅𝑅 𝑇𝑇 = 2∗𝜋𝜋 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ �(9∗𝜋𝜋−16) 8 ∗ 𝑅𝑅 𝑔𝑔 = 7,78 ∗ �𝑅𝑅 𝑔𝑔 124. Repetir el problema 123 substituyendo el semicilindro por una semiesfera. La energía de la esfera viene dada por: 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑝𝑝 + 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (ℎ − 𝐷𝐷) + 1 2 ∗ 𝑆𝑆𝑐𝑐 ∗ 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 El momento de inercia del cilindro completo de masa 2M es: 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑠𝑠𝑓𝑓𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚 = 2 5 ∗ 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 = 4 5 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 Para media esfera: 𝑆𝑆𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑓𝑓𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚 = 1 2 ∗ 4 5 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 = 2 5 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 = 𝑆𝑆𝑐𝑐 Por el teorema de Steiner para el eje 0: 𝑆𝑆𝑐𝑐 = 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚 +𝑀𝑀 ∗ 𝐷𝐷2 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚 = 𝑆𝑆𝑐𝑐 −𝑀𝑀 ∗ 𝐷𝐷2 = 2 5 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 − 𝑀𝑀 ∗ 𝐷𝐷2 Para el momento de inercia respecto de C: 𝑆𝑆𝑐𝑐 = 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚 +𝑀𝑀 ∗ 𝑎𝑎2 = 2 5 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 −𝑀𝑀 ∗ 𝐷𝐷2 + 𝑀𝑀 ∗ 𝑎𝑎2 = 𝑀𝑀 ∗ �2 5 ∗ 𝑅𝑅2 − 𝐷𝐷2 + 𝑎𝑎2� Por el teorema del coseno: 𝑎𝑎2 = 𝑅𝑅2 + 𝐷𝐷2 − 2 ∗ 𝑅𝑅 ∗ 𝐷𝐷 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑆𝑆𝑐𝑐 = 𝑀𝑀 ∗ �2 5 ∗ 𝑅𝑅2 − 𝐷𝐷2 + 𝑅𝑅2 + 𝐷𝐷2 − 2 ∗ 𝑅𝑅 ∗ 𝐷𝐷 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠� = 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ �7 5 − 2 ∗ 𝐷𝐷 𝑅𝑅 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠� Para la energía tenemos: 𝐸𝐸 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (ℎ −𝐷𝐷) + 1 2 ∗ 𝑆𝑆𝑐𝑐 ∗ 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷 ∗ (1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠) + 1 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ �7 5 − 2 ∗ 𝐷𝐷 𝑅𝑅 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠� ∗ 𝑟𝑟 2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 Para ángulos pequeños: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 ≈ 1 − 1 2 ∗ 𝑠𝑠2 𝐸𝐸 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷 ∗ 1 2 ∗ 𝑠𝑠2 + 1 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ �7 5 − 𝐷𝐷 𝑅𝑅 ∗ (2 − 𝑠𝑠2� ∗ 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 Si consideramos ángulo pequeño 2 − 𝑠𝑠2 ≈ 2: 𝐸𝐸 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷 ∗ 1 2 ∗ 𝑠𝑠2 + 1 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ �7 5 − 𝐷𝐷 𝑅𝑅 ∗ 2� ∗ 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 Derivando respecto al tiempo: 0 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷 ∗ 𝑠𝑠 ∗ 𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒 +𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅2 ∗ �7 5 − 𝐷𝐷 𝑅𝑅 ∗ 2� ∗ 𝑟𝑟𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒 ∗ 𝑟𝑟 2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 𝑅𝑅2 ∗ �7 5 − 𝐷𝐷 𝑅𝑅 ∗ 2� ∗ 𝑟𝑟 2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 + 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷 ∗ 𝑠𝑠 = 0 𝑟𝑟2𝑠𝑠 𝑟𝑟𝑒𝑒2 + 𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑅𝑅2∗�75− 𝐷𝐷 𝑅𝑅∗2� ∗ 𝑠𝑠 = 0 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑡𝑡𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐ó𝑠𝑠𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎: 𝜔𝜔2 = 𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑅𝑅2∗�75− 𝐷𝐷 𝑅𝑅∗2� Utilizando la relación D/R: 𝜔𝜔2 = 𝑔𝑔∗ 4 3∗𝜋𝜋 𝑅𝑅∗�75− 8 3∗𝜋𝜋� = 0.77 ∗ 𝑔𝑔 𝑅𝑅 𝑇𝑇 = 2∗𝜋𝜋 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 1 0.77 ∗ 𝑅𝑅 𝑔𝑔 = 7,16 ∗ �𝑅𝑅 𝑔𝑔 125. Se perfora un túnel pequeño a través de la Tierra como se indica en la figura. Suponer que las paredes carecen de rozamiento. a) La fuerza gravitatoria ejercida por la tierra sobre una partícula de masa m a una distancia r del centro de la misma cuando 𝑎𝑎 < 𝑅𝑅𝑇𝑇 es 𝐹𝐹𝑟𝑟 = −𝐺𝐺𝑚𝑚𝑀𝑀𝑇𝑇 𝑅𝑅𝑇𝑇 3 𝑎𝑎, en donde MT y RT son la masa y el radio de la Tierra respectivamente. Demostrar que la fuerza neta sobre una partícula de masa m situada a una distancia x del centro del túnel viene dada por 𝐹𝐹𝑚𝑚 = −(𝐺𝐺𝑐𝑐𝑀𝑀𝑇𝑇/𝑅𝑅𝑇𝑇3)𝑥𝑥, y que el movimiento de la partícula es, por consiguiente, armónico. b) Demostrar que el período del movimiento viene dado por 𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋�𝑅𝑅𝑇𝑇 𝑔𝑔 y hallar su valor en minutos. (Resulta ser el mismo período que el de un satélite que orbitase la tierra cerca de su superficie y es independiente de la longitud del túnel). a) 𝑭𝑭𝒎𝒎 = 𝑭𝑭𝒓𝒓 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒎𝒎 𝒓𝒓 == −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 ∗ 𝒎𝒎 Como la fuerza es del tipo -k*x el movimiento será de tipo armónico simple. b) 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒂𝒂 = 𝒎𝒎∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ; por tanto: 𝝎𝝎𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 ;𝝎𝝎 = �𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝝎𝝎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻 Usando: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝑹𝑹𝑻𝑻 𝒈𝒈 Usando valores: 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟗𝟗.𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒔𝒔 𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒔𝒔 ∗ 𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒔𝒔 𝟔𝟔𝟏𝟏 𝒔𝒔 = 𝟖𝟖𝟖𝟖,𝟖𝟖 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒔𝒔 126. Un oscilador amortiguado tiene una frecuencia ω’ que es un 10 por ciento menor que su frecuencia sin amortiguamiento. a) ¿En qué factor disminuye su amplitud en cada oscilación? b) ¿En qué factor se reduce su energía durante cada oscilación? a) En un oscilador amortiguado: 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠 −� 𝑏𝑏 2𝑚𝑚�∗𝑒𝑒 𝜔𝜔′ = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ �1− � 𝑏𝑏 2∗𝑚𝑚∗𝜔𝜔𝑜𝑜 � 2 Operando: 𝑏𝑏 2∗𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ �1− (𝑤𝑤′ )2 𝜔𝜔𝑜𝑜 2 Por los datos del enunciado: 𝜔𝜔′2 𝜔𝜔𝑜𝑜 2 = 0,92 𝑏𝑏 2∗𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝑐𝑐 ∗ �1 − 0,92 = 0,436 ∗ 𝜔𝜔𝑐𝑐 𝑇𝑇 = 2∗𝜋𝜋 𝜔𝜔′ = 2∗𝜋𝜋 0,9∗𝜔𝜔𝑜𝑜 Utilizando en la expresión de la amplitud, t=T: 𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑜𝑜 = 𝑠𝑠−� 𝑏𝑏 2𝑚𝑚�∗𝑇𝑇 = 𝑠𝑠−0,436∗𝜔𝜔𝑜𝑜∗ 2∗𝜋𝜋 0,9∗𝜔𝜔𝑜𝑜 = 𝑠𝑠− 0,436∗2∗𝜋𝜋 0,9 = 𝑠𝑠−3.04 = 0,0478 b) 𝐸𝐸𝑐𝑐 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴𝑐𝑐2 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴2 𝐸𝐸 𝐸𝐸𝑜𝑜 = 𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝑜𝑜2 = 0,04782 = 0,00228 127. Demostrar mediante sustitución directa que la ecuación 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) es una solución de la ecuación 𝑐𝑐𝑟𝑟2𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑒𝑒2 + 𝑏𝑏 𝑟𝑟𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑒𝑒 + 𝑐𝑐𝜔𝜔𝑐𝑐2𝑥𝑥 = 𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑟𝑟𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑒𝑒 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) 𝑟𝑟2𝑚𝑚 𝑟𝑟𝑒𝑒2 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) −𝑐𝑐 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) − 𝑏𝑏 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) +𝑐𝑐 ∗𝜔𝜔𝑐𝑐 2 ∗ 𝐴𝐴 ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) = 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) Usamos: cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) = cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿 sin(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) = sen(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿 −𝑐𝑐 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔2 ∗ (cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿) − 𝑏𝑏 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ (sen(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿) +𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔𝑐𝑐2 ∗ 𝐴𝐴 ∗ (cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿) = 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) Sacando factor común: 𝑐𝑐 ∗ 𝐴𝐴 ∗ (𝜔𝜔𝑐𝑐2 − 𝜔𝜔2) ∗ (cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿) − 𝑏𝑏 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ (sen(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿) = 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) Usamos T=2s.𝜔𝜔 = 𝜋𝜋 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠. 𝑥𝑥 = (𝐴𝐴 − 𝑥𝑥0) ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) + 𝑥𝑥𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 9 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) + 1 t x 0 10 0,1 9,55950 0,2 8,2811 0,3 6,290 0,4 3,781 0,5 1 0,6 -1,781 0,7 -4,2901 0,8 -6,281 0,9 -7,5595 1 -8 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥0) ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) − 𝑥𝑥𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 8 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) − 1 1,1 -7,6573 1,2 -6,663 1,3 -5,114 1,4 -3,163 1,5 -1 1,6 1,1631 1,7 3,1146 1,8 4,6631 1,9 5,65742 2 6 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑐𝑐) ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) + 𝑥𝑥𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 6 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) + 1 2,1 5,7552 2,2 5,0450 2,3 3,9388 2,4 2,5450 2,5 1 2,6 -0,5451 2,7 -1,9390 2,8 -3,0451 2,9 -3,7553 3 -4 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥0) ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) − 𝑥𝑥𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 4 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) − 1 3,1 -3,853 3,2 -3,4270 3,3 -2,7632 3,4 -1,9270 3,5 -1 3,6 1,9271 3,7 0,7634 3,8 1,4271 3,9 1,8531 4 2 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑐𝑐) ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) + 𝑥𝑥𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 2 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) + 1 4,1 1,951 4,2 1,81 4,3 1,5878 4,4 1,309 4,5 1 4,6 0,691 4,7 0,412 4,8 0,191 4,9 0,05 5 0 129. En este problema hay que obtener la expresión correspondiente a la potencia media cedida por una fuerza impulsora a un oscilador forzado: -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 6 x m a) Demostrar que la potencia instantánea cedida por la fuerza impulsora es 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹𝑣𝑣 = −𝐴𝐴𝜔𝜔𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) b) Utilizar la identidad trigonométrica sen(ϴ1-ϴ2)=senϴ1cosϴ2-cosϴ1senϴ2 para demostrar que ésta última expresión puede escribirse 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝜔𝜔𝐹𝐹𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜔𝜔𝑡𝑡 − 𝐴𝐴𝜔𝜔𝐹𝐹𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜔𝜔𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝑡𝑡 c) Demostrar que el valor medio del segundo término del resultado de la parte (b) extendido en uno o más períodos es cero y que, por tanto, 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1 2 𝐴𝐴𝜔𝜔𝐹𝐹𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿 d) A partir de la ecuación 𝑡𝑡𝑔𝑔𝛿𝛿 = 𝑏𝑏𝜔𝜔 𝑚𝑚(𝜔𝜔𝑜𝑜 2−𝜔𝜔2) , construir un triángulo rectángulo en el que el cateto opuesto al ángulo δ es bω y el adyacente es 𝑐𝑐(𝜔𝜔𝑐𝑐2 − 𝜔𝜔2) y utilizar este triángulo para demostrar que 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿 = 𝑏𝑏𝜔𝜔 �𝑚𝑚2(𝜔𝜔𝑜𝑜 2−𝜔𝜔2)2+𝑏𝑏2𝜔𝜔2 = 𝑏𝑏𝜔𝜔𝐴𝐴 𝐹𝐹𝑜𝑜 e) Utilizar este resultado (d) para eliminar ωA de forma que la potencia media cedida puede escribirse 𝑃𝑃𝑚𝑚 = 1 2 𝐹𝐹𝑜𝑜2 𝑏𝑏 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝛿𝛿 = 1 2 � 𝑏𝑏𝜔𝜔2𝐹𝐹𝑜𝑜2 𝑚𝑚2(𝜔𝜔𝑜𝑜 2−𝜔𝜔2)2+𝑏𝑏2𝜔𝜔2� a) 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹 ∗ 𝑣𝑣 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 En nuestro caso ϴ=0: 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹 ∗ 𝑣𝑣 La fuerza impulsora cumple: 𝐹𝐹 = 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) La posición cumplirá: 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) ; 𝑣𝑣 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) Substituyendo: 𝑃𝑃 = 𝐹𝐹 ∗ 𝑣𝑣 = −𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) 𝑃𝑃 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) b) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ cos(𝛿𝛿) − cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿 𝑃𝑃 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ cos(𝛿𝛿)− cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿) P== −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ cos(𝛿𝛿) − cos2(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿) 𝑃𝑃 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ (cos2(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ cos(𝛿𝛿)) c) [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)]𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) ∗ 𝑑𝑑(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)2𝜋𝜋 0 Tomamos 𝑠𝑠 = 𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑠𝑠) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑠𝑠)]𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ ∫ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑠𝑠) ∗ cos(𝑠𝑠) ∗ 𝑑𝑑𝑠𝑠2𝜋𝜋 0 [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑠𝑠) ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑠𝑠)]𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ �1 2 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2𝑠𝑠� 0 2𝜋𝜋 = 0 [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2(𝑤𝑤𝑡𝑡) ∗]𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)𝑑𝑑(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)2𝜋𝜋 0 [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2(𝑤𝑤𝑡𝑡) ∗]𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ ∫ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2(𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠2𝜋𝜋 0 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ 1 2 ∗ ∫ (1 + cos(2𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠2𝜋𝜋 0 [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2(𝑤𝑤𝑡𝑡) ∗]𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ (1 2 ∗ ∫ 1 ∗ 𝑑𝑑𝑠𝑠 + 1 2 ∗ ∫ cos(2𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠2𝜋𝜋 0 2𝜋𝜋 0 [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2(𝑤𝑤𝑡𝑡) ∗]𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1 2∗𝜋𝜋 ∗ (𝜋𝜋 + 0) = 1 2 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ � 1 2 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿� = 1 2 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝐹𝐹𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝛿𝛿 d)