Potencial eléctrico. Física Tipler. Problemas, Ejercicios de Física

¡Descarga Potencial eléctrico. Física Tipler. Problemas y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! Potencial eléctrico Potencial y diferencia de potencial 1. Un campo eléctrico uniforme de valor 2 kN/C está en la dirección x. Se deja en libertad una carga puntual Q = 3 µC inicialmente en reposo en el origen. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial V(4m)- V (0)? b) ¿Cuál es la variación de energía potencial de la carga desde x =0 hasta x = 4 m? c) ¿Cuál es la energía cinética de la carga cuando está en x = 4 m? Calcular el potencial V(x) si se toma V(x) como d) Cero para x =0 e) 4 kV para x = 0. F) cero para x = 1 m. a) ∆𝑽𝑽 = −𝑬𝑬 ∗ ∆𝒙𝒙 = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟒𝟒 = −𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 b) ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ �−𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑� = −𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝑱𝑱 c) ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = −∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝑱𝑱 d) 𝑽𝑽(𝒙𝒙)− 𝑽𝑽(𝟏𝟏) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 e) 𝑽𝑽(𝒙𝒙)− 𝑽𝑽(𝟏𝟏) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) 𝑽𝑽 = 𝑽𝑽(𝟏𝟏) − 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 − 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 f) 𝑽𝑽(𝒙𝒙)− 𝑽𝑽(𝟏𝟏) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = −𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 − 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒙𝒙 2. Un plano infinito de densidad de carga superficial σ=+2,5 µC/m2 se encuentra en el plano y z. a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico expresada en newtons por culombio? ¿En voltios por metro? ¿Cuál es la dirección de E para valores positivos de x? b) ¿Cuál es la diferencia de potencial Vb-Va cuando el punto b se encuentra en x = 20 cm y el punto a está en x = 50 cm? c) ¿Cuánto trabajo se necesita para que un agente externo desplace una carga testigo qo=+ 1,5 nC del punto a al b? a) 𝑬𝑬 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑵𝑵 𝑪𝑪 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝑽𝑽 𝒎𝒎 El campo estará dirigido en el sentido positivo de las x para x>0. b) ∆𝑽𝑽 = −𝑬𝑬 ∗ ∆𝒙𝒙 = −𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓(𝟏𝟏.𝟐𝟐 − 𝟏𝟏.𝟓𝟓) = 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑽𝑽 c) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = −𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒄𝒄 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑱𝑱 3. Dos placas conductoras paralelas poseen densidades de carga iguales y opuestas de modo que el campo eléctrico ente ellas es aproximadamente uniforme. La diferencia de potencial entre las placas es 500 V y están separadas 10 cm. Se deja en libertad un electrón desde el reposo en la placa negativa. a) ¿Cuál es al valor del campo eléctrico entre las placas? ¿Cuál placa está a potencial más elevado, la positiva o la negativa? b) Hallar el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando el electrón se mueve desde la placa negativa a la positiva. Expresar la respuesta en electrón-voltios y en julios. c) ¿Cuál es la variación de energía potencial del electrón cuando se mueve desde la placa negativa hasta la positiva? ¿Cuál es su energía cinética cuando llega a la placa positiva? a) En valores absolutos: ∆𝑽𝑽 = 𝑬𝑬 ∗ ∆𝒙𝒙 ;𝑬𝑬 = ∆𝑽𝑽 ∆𝒙𝒙 = 𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽/𝒎𝒎 El potencial más elevado es el de la placa positiva. b) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒄𝒄 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒄𝒄 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝒆𝒆 ∗ 𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑽𝑽 = 𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝑽𝑽 c) ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = −𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒄𝒄 = −𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = −∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒄𝒄 = 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 Potencial eléctrico y energía potencial 4. Explicar la diferencia entre potencial eléctrico y energía potencial electrostática. La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos será el trabajo eléctrico necesario para mover la unidad de carga positiva entre los dos puntos. La energía potencial electrostática en un punto de un campo eléctrico es el trabajo necesario para mover una carga desde el punto de energía potencial cero hasta ese punto del campo eléctrico. 5. Una carga positiva se deja libre desde el reposo en un campo eléctrico. ¿Se moverá hacia una región de mayor o menor potencial eléctrico? En un campo eléctrico las cargas positivas se mueven en la dirección del campo eléctrico y hacia potenciales menores, para perder energía potencial. 6. Un núcleo de litio y una partícula α están en reposo. El núcleo de litio tiene una carga de + 3 e y una masa de 7 u; la partícula alfa tiene una carga de +2 e y una masa de 4 u. ¿Cuál de los métodos siguientes acelerará a ambos con la misma energía cinética? a) Acelerarlas a través de la misma diferencia de potencial eléctrico. b) Acelerar la partícula α a través del potencial V1 y el núcleo de litio a través de 2/3V1. c) Acelerar la partícula α a través del potencial V1 y el núcleo de litio a través de 7/4 V1. d) Acelerar la partícula α a través del potencial V1 y el núcleo de litio a través de (2x7)/(3x4) V1. e) Ninguno de los anteriores. ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 Para la partícula α: ∆𝑬𝑬𝒄𝒄(𝜶𝜶) = 𝟐𝟐 ∗ 𝑽𝑽𝟏𝟏 Para obtener el mismo incremento de energía cinética en le núcleo de litio: 𝟐𝟐 ∗ 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝟑𝟑 ∗ 𝑽𝑽 ;𝑽𝑽 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑽𝑽𝟏𝟏 Respuesta b. 7. Una carga positiva de valor 2 µC está en el origen. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico V en un punto a 4 m del origen respecto al valor V=0 en el infinito? b) ¿Cuánto trabajo debe ser realizado por un agente exterior para llevar la carga de 3 µC desde el infinito hasta r = 4 m admitiendo que se mantiene fija en el origen la carga de 2 µC? 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒.𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 15. Los puntos A, B y C están en los vértices de un triángulo equilátero de 3 m de lado. Cargas iguales positivas de 2 µC están a A y B. a) ¿Cuál es el potencial en el punto C? b) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5 µC desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otras cargas? c) Responder a las partes (a) y (b) si la carga situada en B se sustituye por una carga de – 2 µC. a) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟏𝟏 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ �𝟏𝟏 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑 � = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑽𝑽 b) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑱𝑱 c) V=0 V 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝑱𝑱 16. Una esfera de radio 60 cm tiene su centro en el origen. A lo largo del ecuador de esta esfera se sitúan cargas iguales de 3 µC a intervalos de 60º. a) ¿Cuál es el potencial en el origen? b) ¿Cuál es el potencial eléctrico en su polo norte? a) Tenemos 6 cargas en el ecuador. 𝑽𝑽 = 𝟔𝟔 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝟏𝟏.𝟔𝟔 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟔𝟔 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑽𝑽 b) 𝒓𝒓 = �𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 = �𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟖𝟖𝟓𝟓 𝒎𝒎 𝑽𝑽 = 𝟔𝟔 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝟏𝟏.𝟖𝟖𝟓𝟓 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟖𝟖𝟓𝟓 = 𝟏𝟏.𝟗𝟗𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑽𝑽 17. Dos cargas puntuales q y q’ están separadas por una distancia a. En un punto a la distancia a/3 de q y a lo largo de la línea que une las dos cargas, el potencial es cero. Determinar la relación q/q’. 𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒂𝒂 𝟑𝟑 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒′ 𝟐𝟐∗𝒂𝒂 𝟑𝟑 ;𝟏𝟏 = 𝒒𝒒 + 𝒒𝒒′ 𝟐𝟐 ; 𝒒𝒒 𝒒𝒒′ = −𝟏𝟏/𝟐𝟐 18. Dos cargas puntuales positivas + q están en el eje en x= +a y x = -a. a) Hallar el potencial V(x) como una función de x para todos los puntos situados Enel eje x. b) Representar V(x) en función de x. c) ¿Cuál es el significado del mínimo de esta curva? a) Las distancias a cada carga se pueden escribir: 𝒓𝒓 = |𝒙𝒙 − 𝒂𝒂| 𝒚𝒚 𝒓𝒓 = |𝒙𝒙+ 𝒂𝒂| 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟏𝟏 |𝒙𝒙−𝒂𝒂| + 𝟏𝟏 |𝒙𝒙+𝒂𝒂| � b) Haciendo k*q=1 y a=1 obtenemos: c) El mínimo de la curva: 𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 ;𝑬𝑬 = −𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 19. Se sitúa una carga puntual de + 3 e en el origen y una segunda carga de – 2 e en el eje x a la distancia x = a. a) Dibujar la función potencial V(x) en función de x para todo valor de x. b) ¿Para qué punto o puntos es V(x) igual a cero? c) ¿Cuál es el trabajo que hay que realizar para llevar una tercera carga + e al punto x=1/2 a sobre el eje x? a) Las distancias las podemos poner: 𝒓𝒓𝟏𝟏 = |𝒙𝒙| 𝒚𝒚 𝒓𝒓𝟐𝟐 = |𝒙𝒙 − 𝒂𝒂| 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆 ∗ � 𝟑𝟑 |𝒙𝒙| − 𝟐𝟐 |𝒙𝒙−𝒂𝒂| � 𝑯𝑯𝒂𝒂𝒄𝒄𝑯𝑯𝒆𝒆𝑯𝑯𝒅𝒅𝑯𝑯 𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆 = 𝟏𝟏 𝒚𝒚 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 b) 𝟑𝟑 |𝒙𝒙| − 𝟐𝟐 |𝒙𝒙−𝒂𝒂| = 𝟏𝟏 Para la parte positiva del eje x: 𝟑𝟑 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝒙𝒙−𝒂𝒂 ;𝒙𝒙 = 𝟑𝟑 ∗ 𝒂𝒂 Para la parte entre 0 y a del eje x: 𝟑𝟑 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝒂𝒂−𝒙𝒙 ;𝒙𝒙 = 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝒂𝒂 c) 𝑾𝑾 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝒆𝒆 ∗ �𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆 ∗ � 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝒂𝒂 − 𝟐𝟐 �𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝒂𝒂−𝒂𝒂� � − 𝟏𝟏� 𝑾𝑾 = �𝒌𝒌 ∗ 𝒆𝒆𝟐𝟐 ∗ �𝟔𝟔 𝒂𝒂 − 𝟒𝟒 𝒂𝒂 �� = 𝟐𝟐∗𝒌𝒌∗𝒆𝒆𝟐𝟐 𝒂𝒂 Determinación del campo eléctrico a partir del potencial 20. Si el potencial eléctrico es constante en toda una región del espacio, ¿Qué podemos decir del campo eléctrico en esa región? Al ser E=-grad V; el campo será 0. 21. ¿Si E es conocido en solo un punto, puede determinarse el valor de V en ese punto? No, hace falta saber la variación de E. 22. ¿En qué dirección podemos movernos respecto a un campo eléctrico, de modo que el potencial eléctrico no varie? Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales, por tanto, hemos de movernos perpendicularmente al campo. 23. Un campo eléctrico uniforme tiene el sentido de las x negativas. Los puntos a y b están en el eje x, a en x = 2 m y b en x = 6 m. a) ¿Es positiva o negativa la diferencia de potencial Vb-Va? b) Si el valor de Vb-Va es 105 V, ¿Cuál es el valor del campo eléctrico E? a) 𝑬𝑬 = −𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙 ; por tanto, la diferencia de potencial es positiva en el sentido del campo. 𝑽𝑽𝒃𝒃 − 𝑽𝑽𝒂𝒂 > 𝟏𝟏. b) 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑵𝑵/𝑪𝑪 24. El potencial debido a una distribución particular de carga se mide en diversos puntos a lo largo del eje x como se muestra en la figura. ¿Para qué valor (o valores) en el intervalo 0<x<10 m es Ex=0? El campo será cero en el mínimo de la curva. Alrededor de x = 4,5 m. 25. Una carga puntual q = 3,00 µC se encuentra en el origen. a) Determinar el potencial V sobre el eje x en x = 3,00 m y en x = 3,01 m. b) ¿Crece o decrece el potencial cuando x crece? Calcular −∆𝑽𝑽/∆𝒙𝒙, siendo ΔV la variación de potencial desde x 0 3,00 m a 3,01 m y Δx = 0,01 m. c) Determinar el campo eléctrico en x = 3,00 m y comparar su valor con el de −∆𝑽𝑽/∆𝒙𝒙 hallado en la parte (b). d) Determinar el potencial (con tres cifras significativas) en el punto x=3,00 m, y = 0.01 m y comparar el resultado con el potencial sobre el eje x en x =3,00 m. analizar el significado de este resultado. a) 𝑽𝑽(𝒓𝒓) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓 𝑽𝑽(𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 𝑽𝑽(𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏) = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 b) El potencial decrece al crecer x. −∆𝑽𝑽 ∆𝒙𝒙 = −𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑−𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟑𝟑.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽/𝒎𝒎 ∆𝑽𝑽 = −∫ 𝑬𝑬 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙𝟑𝟑 𝟏𝟏 == −∫ 𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟏𝟏 = −𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ �𝒙𝒙 𝟒𝟒 𝟒𝟒 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∆𝑽𝑽 = −𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟐𝟐 ∗ �𝟐𝟐𝟒𝟒 − 𝟏𝟏𝟒𝟒� = −𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 32. Tres cargas iguales se encuentran sobre el plano xy. Dos de ellas están sobre el eje y en y = -a e y = + a, y la tercera está sobre el eje x en x =a. a) ¿Cuál es el potencial V(x) debido a estas cargas en un punto sobre el eje x? b) Determinar Ex a lo largo del eje x a partir de la función potencial V(x). Comprobar las respuestas de (a) y (b) en el origen y en x =∞ para ver si se obtienen los resultados esperados. a) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟏𝟏 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 |𝒂𝒂−𝒙𝒙|� = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟐𝟐 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 |𝒂𝒂−𝒙𝒙|� b) 𝑬𝑬 = −𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙 En x > a: 𝑬𝑬 = − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙−𝒂𝒂 � = −𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 (𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 (𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐� Para x < a: 𝑬𝑬 = − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 � 𝟐𝟐 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒂𝒂−𝒙𝒙 � = −𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 (𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 (𝒂𝒂−𝒙𝒙)𝟐𝟐� En el origen: 𝑽𝑽(𝟏𝟏) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ �𝟐𝟐 𝒂𝒂 + 𝟏𝟏 𝒂𝒂 � = 𝟑𝟑∗𝒌𝒌∗𝒒𝒒 𝒂𝒂 𝑽𝑽(∞) = 𝟏𝟏 𝑬𝑬(𝟏𝟏) = 𝒌𝒌∗𝒒𝒒 𝒂𝒂𝟐𝟐 𝑬𝑬(∞) = 𝟏𝟏 𝑵𝑵 Relación general entre E y V (opcional) 33. El potencial eléctrico en una región del espacio viene dado por 𝑽𝑽 = �𝟐𝟐 𝑽𝑽 𝒎𝒎𝟐𝟐� 𝒙𝒙𝟐𝟐 + �𝟏𝟏𝑽𝑽 𝒎𝒎𝟐𝟐� 𝒚𝒚𝒚𝒚. Determinar el campo eléctrico en el punto x = 2 m, y = 1 m, z = 2 m. 𝑬𝑬��⃗ = −𝟒𝟒 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒊𝒊 − 𝒚𝒚 ∗ 𝒌𝒌�⃗ − 𝒚𝒚 ∗ 𝒋𝒋 𝑬𝑬(𝟐𝟐,𝟏𝟏,𝟐𝟐) = −𝟖𝟖 ∗ 𝒊𝒊 − 𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌�⃗ − 𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 34. Un potencial viene dado por 𝑽𝑽(𝒙𝒙,𝒚𝒚, 𝒚𝒚) = 𝒌𝒌𝑸𝑸 �(𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 a) Determinar los componentes Ex , Ey , Ez del campo eléctrico por derivación de esta función potencial. b) ¿Qué simple distribución de carga puede ser responsable de este potencial? a) 𝑬𝑬𝒙𝒙 = − 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 � 𝒌𝒌𝑸𝑸 �(𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸∗𝒙𝒙 ((𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒚𝒚 = − 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 � 𝒌𝒌𝑸𝑸 �(𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸∗𝒚𝒚 ((𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒚𝒚 = − 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 � 𝒌𝒌𝑸𝑸 �(𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸∗𝒚𝒚 ((𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 b) Una carga Q situada a una distancia a del origen de coordenadas en el eje x. Cálculo de V para distribuciones continuas de carga 35. En el cálculo de V para un anillo de carga, ¿es importante que la carga Q se distribuya uniformemente alrededor del anillo? Si no fuera uniforme, ¿serían diferentes los valores de V o Ex? Si la carga no está distribuida uniformemente los resultados obtenidos para el campo y el potencial serían diferentes. 36. a) Dibujar V(x) en función de x para el anillo uniformemente cargado en el plano y z dado en la ecuación 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌𝑸𝑸 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 . b) ¿En qué punto es máximo V(x)? c) ¿Cuánto vale Ex en este punto? a) Considerando kq=1 y a=1. b) El potencial es máximo en el origen. c) 𝑬𝑬𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, al ser un máximo. 37. Una carga de q = + 10-8 C está distribuida uniformemente sobre una corteza esférica de 12 cm de radio. a) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico justo en el exterior de la corteza y justo en el interior de la misma? b) ¿Cuál es el valor del potencial eléctrico justo en el exterior y justo en el interior de la corteza? c) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el centro de la corteza? ¿Cuál es el campo eléctrico en dicho punto? a) Para justo exterior, aplicando Gauss: 𝑬𝑬 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑸𝑸 𝝐𝝐𝑯𝑯 ;𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝑪𝑪 En el interior, aplicando Gauss, la carga dentro seria 0, el campo es nulo. b) En el exterior: 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟖𝟖 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟗𝟗 𝑽𝑽 En el interior el campo es el mismo que en la superficie. c) Enel centro el potencial será de 749 V, el campo es nulo en el interior. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -20 -10 0 10 20 30 40 50 V 38. Un disco de radio 6,25 cm posee una densidad de carga superficial uniforme σ=7,5 nC/m2. Determinar el potencial sobre el eje del disco a una distancia a) 0.5 cm. b) 3,0 cm. c) 6.25 cm del disco. a) 𝒅𝒅𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒂𝒂∗𝒅𝒅𝒂𝒂 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅∫ 𝒂𝒂∗𝒅𝒅𝒂𝒂 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� 𝑽𝑽(𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟓𝟓) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ ��𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐 + 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓� 𝑽𝑽(𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟓𝟓) = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑽𝑽 b) 𝑽𝑽(𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟑𝟑) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ ��𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑� 𝑽𝑽(𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟑𝟑) = 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟏𝟏 𝑽𝑽 c) 𝑽𝑽(𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ ��𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐 + 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓� 𝑽𝑽(𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓) = 𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟖𝟖 𝑽𝑽 39. Una carga lineal infinita de densidad lineal λ= 1,5 µC/m se encuentra sobre el eje z. Suponiendo que V = 0 a 2,5 m, determinar el potencial a distancias de a) 2,0 m. b) 4,0 m. c) 12 m de la línea. a) El campo debido a una carga lineal infinita es: 𝑬𝑬𝒚𝒚 = 𝟐𝟐∗𝒌𝒌∗𝝀𝝀 𝒚𝒚 El potencial debido a una carga lineal infinita es: ∆𝑽𝑽 = −∫𝒚𝒚𝒚𝒚𝑯𝑯 𝟐𝟐∗𝒌𝒌∗𝝀𝝀 𝒚𝒚 ∗ 𝒅𝒅𝒚𝒚 ;𝑽𝑽 = 𝑽𝑽𝑯𝑯 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯(𝒚𝒚) El potencial es cero en y = 2,5 m: 𝟏𝟏 = 𝑽𝑽𝑯𝑯 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯(𝟐𝟐.𝟓𝟓); 𝑽𝑽𝑯𝑯 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯(𝟐𝟐.𝟓𝟓) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝀𝝀 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯 �𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝒚𝒚 � 𝑽𝑽(𝟐𝟐.𝟏𝟏) = 𝟐𝟐 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯 �𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝟐𝟐 � = 𝟔𝟔.𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝑽𝑽 b) 𝑽𝑽(𝟒𝟒.𝟏𝟏) = 𝟐𝟐 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯 �𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝟒𝟒 � = −𝟏𝟏𝟐𝟐.𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝑽𝑽 c) 𝑽𝑽(𝟏𝟏𝟐𝟐) = 𝟐𝟐 ∗ 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯 �𝟐𝟐.𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟐𝟐 � = −𝟒𝟒𝟐𝟐.𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝑽𝑽 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ (𝒆𝒆𝑯𝑯 �𝑳𝑳 +�𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑳𝑳𝟐𝟐 − 𝒆𝒆𝑯𝑯(𝟏𝟏+ 𝒙𝒙)� = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯 � 𝑳𝑳+ �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐 𝒙𝒙 � 45. Un disco de radio R posee una densidad de carga + σo para r<a y una densidad de carga igual pero opuesta, -σo para a<r<R. La carga total existente sobre el disco es cero. a) Determinar el potencial a una distancia x a lo largo del eje del disco. b) Obtener una expresión aproximada para V(x) cuando x >>R. a) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽+ + 𝑽𝑽− 𝑸𝑸+ = 𝑸𝑸− ; 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ �𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝝅𝝅 ∗ 𝒂𝒂𝟐𝟐� ;𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 ;𝒂𝒂 = 𝑹𝑹 √𝟐𝟐 𝑽𝑽+ = 𝒌𝒌 ∗ � 𝒅𝒅𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ � 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟏𝟏 El integral cumple: ∫𝒖𝒖𝑯𝑯 ∗ 𝒅𝒅𝒖𝒖 ,𝒄𝒄𝑯𝑯𝑯𝑯 𝒖𝒖 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒚𝒚 𝑯𝑯 = −𝟏𝟏/𝟐𝟐 ∫ 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒓𝒓 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟏𝟏 = �(𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐 𝟏𝟏/𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� 𝑽𝑽+ = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� 𝑽𝑽− = 𝒌𝒌 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝒂𝒂 = −𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∫ 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒓𝒓 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝒂𝒂 𝑽𝑽− = −𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝒂𝒂 𝑹𝑹 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐� 𝑽𝑽− = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ��𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐� 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 + �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐� 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟐𝟐 ∗ (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐� b) (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ≈ 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟑𝟑𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟒𝟒 � (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ≈ 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟒𝟒 � 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟐𝟐 ∗ (𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏+ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟑𝟑𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟒𝟒 � − 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟒𝟒 �� 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌∗𝝈𝝈𝟏𝟏∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟑𝟑 46. Utilizar el resultado obtenido en el problema 45 (a) para calcular el campo eléctrico a lo largo del eje del disco. A continuación, calcular el campo eléctrico por integración directa mediante la ley de Coulomb. 𝑬𝑬𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟐𝟐 ∗ (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 − �𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐�� 𝑬𝑬𝒙𝒙 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 ) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � Para calcular el campo usando la ley de Coulomb: El campo de un anillo de radio r es: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸∗𝒙𝒙 (𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 Considerando una suma de anillos: 𝑬𝑬+ = 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ ∫ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝝈𝝈𝑯𝑯∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒓𝒓 (𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ ∫ 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒓𝒓 (𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒂𝒂 𝟏𝟏 Integral de la forma ∫𝒖𝒖𝑯𝑯𝒅𝒅𝒖𝒖 con u = 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐y n= 3/2. La integral dará: 𝑬𝑬+ = 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ � �𝒓𝒓𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐�− 𝟏𝟏 𝟐𝟐 −𝟏𝟏𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝒂𝒂 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ � 𝟏𝟏 (𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 � 𝑬𝑬+ = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ � 𝟏𝟏 �𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙 𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 �𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙 𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝑬𝑬− = −𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ � 𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 (𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝒂𝒂 = −𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ � �𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐�− 𝟏𝟏 𝟐𝟐 −𝟏𝟏𝟐𝟐 � 𝒂𝒂 𝑹𝑹 𝑬𝑬− = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ � 𝟏𝟏 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 (𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝑬𝑬− = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ � 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 �𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙 𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝑬𝑬𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ �𝟏𝟏 − 𝒙𝒙 �𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙 𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 �𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙 𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � 𝑬𝑬𝒙𝒙 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝝈𝝈𝑯𝑯 ∗ � 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 �𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟐𝟐 +𝒙𝒙 𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� 47. Una barra de longitud L posee una carga Q distribuida uniformemente a lo largo de su longitud. La barra yace a lo largo del eje x con su centro en el origen. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en función de la posición a lo largo del eje x para x > L/2? b) Demostrar que para x >> L/2 el resultado se reduce al debido a una carga puntual Q. a) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌 ∗ ∫ 𝝀𝝀∗𝒅𝒅𝒖𝒖 𝒙𝒙−𝒖𝒖 𝑳𝑳 𝟐𝟐 −𝑳𝑳𝟐𝟐 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒖𝒖 𝒙𝒙−𝒖𝒖 𝑳𝑳 𝟐𝟐 −𝑳𝑳𝟐𝟐 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ [− 𝒆𝒆𝑯𝑯(𝒙𝒙 − 𝒖𝒖)]−𝑳𝑳/𝟐𝟐 𝑳𝑳/𝟐𝟐 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = −𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ (𝒆𝒆𝑯𝑯 �𝒙𝒙 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � − 𝒆𝒆𝑯𝑯�𝒙𝒙+ 𝑳𝑳 𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯� 𝒙𝒙+𝑳𝑳𝟐𝟐 𝒙𝒙−𝑳𝑳𝟐𝟐 � b) 𝒆𝒆𝑯𝑯 � 𝒙𝒙+𝑳𝑳𝟐𝟐 𝒙𝒙−𝑳𝑳𝟐𝟐 � = 𝒆𝒆𝑯𝑯� 𝟏𝟏+ 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 𝟏𝟏− 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � = 𝒆𝒆𝑯𝑯 �𝟏𝟏+ 𝟐𝟐 ∗ 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 + 𝟐𝟐∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟏𝟏− 𝑳𝑳 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 � 𝒆𝒆𝑯𝑯 � 𝒙𝒙+𝑳𝑳𝟐𝟐 𝒙𝒙−𝑳𝑳𝟐𝟐 � = 𝒆𝒆𝑯𝑯�𝟏𝟏 + 𝑳𝑳 𝒙𝒙 + 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝟐𝟐−𝑳𝑳𝒙𝒙 � ≈ 𝒆𝒆𝑯𝑯�𝟏𝟏+ 𝑳𝑳 𝒙𝒙 � Desarrollando: 𝒆𝒆𝑯𝑯 �𝟏𝟏+ 𝑳𝑳 𝒙𝒙 � ≈ 𝑳𝑳 𝒙𝒙 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ 𝒆𝒆𝑯𝑯� 𝒙𝒙+𝑳𝑳𝟐𝟐 𝒙𝒙−𝑳𝑳𝟐𝟐 � ≈ 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑳𝑳 ∗ 𝑳𝑳 𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒙𝒙 48. Una corteza conductora esférica de radio interior b y radio exterior c rodea concéntricamente una pequeña esfera metálica de radio a<b. La esfera metálica tiene una carga positiva Q. La carga total sobre la corteza esférica conductora es – Q. a) ¿Cuál es el potencial de la corteza esférica? b) ¿Cuál es el potencial de la esfera metálica? a) Calculamos el campo en el punto r aplicando Gauss: 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �𝒙𝒙 ∗ �𝟏𝟏 + 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟒𝟒 � − 𝒙𝒙)� 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �� 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 − 𝑹𝑹𝟒𝟒 𝟖𝟖∗𝒙𝒙𝟑𝟑 �� ≈ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒙𝒙 53. En el ejemplo 24.12 se obtuvo la expresión 𝑽𝑽(𝒓𝒓) = 𝒌𝒌𝑸𝑸 𝟐𝟐𝑹𝑹 �𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 � Para el potencial en el interior de una esfera sólida de densidad constante de carga, determinando en primer lugar el campo eléctrico. En este problema hay que deducir la misma expresión por integración directa. Consideremos una esfera de radio R que contiene una carga Q uniformemente distribuida. Queremos determinar V para cualquier punto r<R. a) Determinar la carga q’ en el interior de una esfera de radio r y el potencial V1 en r debido a esta parte de la carga. b) Determinar el potencial dV2 en r debido a la carga en una corteza de radio r’ y espesor dr’ siendo r’>r. c) Integrar la expresión obtenida en (b) desde r’=r a r’=R para obtener V2. d) Determinar el potencial total V en r mediante la suma V=V1+V2. a) 𝒒𝒒′ = 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝑸𝑸 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝟑𝟑 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 = 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ′ 𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 b) 𝒅𝒅𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒒𝒒′ 𝒓𝒓′ 𝒅𝒅𝒒𝒒′ = 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓′𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓′ ∗ 𝝆𝝆 = 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓′𝟐𝟐 ∗ 𝑸𝑸 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓′ = 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓′𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓′ 𝒅𝒅𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓′𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 ′ 𝒓𝒓′ = 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓′ ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓′ c) 𝑽𝑽𝟐𝟐 = ∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓′ ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓𝑹𝑹 𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ (𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒓𝒓𝟐𝟐) d) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝟑𝟑∗𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ �𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝒓𝒓𝟐𝟐� = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 ∗ �𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 � 54. Una esfera no conductora de radio R posee una densidad de carga 𝝆𝝆 = 𝝆𝝆𝑯𝑯𝒓𝒓/𝑹𝑹, en donde ρo es una constante. a) Demostrar que la carga total es igual a 𝑸𝑸 = 𝝅𝝅𝑹𝑹𝟑𝟑𝝆𝝆𝑯𝑯. b) Demostrar que la carga total en el interior de una esfera de radio r<R es igual a 𝒒𝒒 = 𝑸𝑸𝒓𝒓𝟒𝟒/𝑹𝑹𝟒𝟒. c) Utilizar la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico Er para cualquier punto. d) Utilizar 𝒅𝒅𝑽𝑽 = −𝑬𝑬𝒓𝒓𝒅𝒅𝒓𝒓 para calcular el potencial V en cualquier punto, suponiendo que V=0 para r = ∞. (recordar que V es una función continua en r = R). a) 𝒅𝒅𝒒𝒒 = 𝝆𝝆𝑯𝑯 ∗ 𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 𝑸𝑸 = 𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓𝑹𝑹 𝟏𝟏 = 𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝑹𝑹 ∗ 𝑹𝑹 𝟒𝟒 𝟒𝟒 = 𝝆𝝆𝑯𝑯 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 b) 𝒅𝒅𝒒𝒒 = 𝝆𝝆𝑯𝑯 ∗ 𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 𝒒𝒒 = 𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓𝒓𝒓 𝟏𝟏 = 𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝑹𝑹 ∗ 𝒓𝒓 𝟒𝟒 𝟒𝟒 = 𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒 𝑹𝑹 Usando la carga total encontrada anteriormente: 𝑸𝑸 = 𝝆𝝆𝑯𝑯 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ; 𝝆𝝆𝑯𝑯 = 𝑸𝑸 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝒒𝒒 = 𝑸𝑸 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟒𝟒 𝑹𝑹 = 𝑸𝑸∗𝒓𝒓𝟒𝟒 𝑹𝑹𝟒𝟒 c) r<R: 𝑬𝑬 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒒𝒒 𝝐𝝐𝑯𝑯 = 𝑸𝑸∗𝒓𝒓𝟒𝟒 𝑹𝑹𝟒𝟒∗𝝐𝝐𝑯𝑯 ; 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒓𝒓 > 𝑹𝑹: 𝑬𝑬 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑸𝑸 𝝐𝝐𝑯𝑯 = 𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝝐𝝐𝑯𝑯 ;𝑬𝑬 = 𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝝐𝝐𝑯𝑯 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝟐𝟐 d) r>R: El campo, si la carga es positiva estará dirigido hacia fuera, si el potencial es cero en infinito, al acercar la carga de 1 C positiva a r el potencial aumenta: 𝑽𝑽𝒓𝒓 − 𝑽𝑽∞ = −∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∞ ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝆𝝆𝑯𝑯 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ � 𝟏𝟏 𝒓𝒓 � 𝑽𝑽𝒓𝒓 = 𝒌𝒌∗𝝆𝝆𝑯𝑯∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝒓𝒓 = 𝒌𝒌∗ 𝑸𝑸 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒓𝒓 En la superficie de la esfera: 𝑽𝑽(𝑹𝑹) = 𝒌𝒌 ∗ 𝝆𝝆𝑯𝑯 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 𝒓𝒓 < 𝑹𝑹: 𝑽𝑽𝒓𝒓 − 𝑽𝑽𝑹𝑹 = −∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 = −𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ �𝒓𝒓 𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟑𝟑 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ �𝑹𝑹 𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝟑𝟑 � 𝑽𝑽𝒓𝒓 = 𝑽𝑽𝑹𝑹 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ �𝑹𝑹 𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝟑𝟑 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ �𝑹𝑹 𝟑𝟑 𝟑𝟑 − 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝟑𝟑 � 𝑽𝑽𝒓𝒓 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 − 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑽𝑽𝒓𝒓 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 − 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟒𝟒 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 Superficies equipotenciales y ruptura dieléctrica 55. Dos esferas metálicas cargadas, A y B, se conectan mediante un alambre, siendo A mayor que B (figura). La magnitud del potencial eléctrico de la esfera A es a) Mayor que el correspondiente a la superficie de la esfera B. b) Menor que el correspondiente a la superficie de la esfera B. c) El mismo que el correspondiente a la superficie de la esfera B. d) Mayor que, o menor que, el correspondiente a la superficie de la esfera B, según los radios de las esferas. Al conectar las dos esferas cargadas pasarán cargas por el hilo hasta que se igualen sus potenciales. Respuesta c. 56. La figura muestra dos placas metálicas paralelas mantenidas a potenciales de 0 y 60 V. Equidistante entre las placas hay una esfera de cobre. Dibujar las superficies equipotenciales y las líneas de campo entra las dos placas. Sobre la esfera se induce una separación de cargas, la carga total en ella es cero. El esquema de las superficies seria: 57. La figura muestra una esfera metálica comuna carga – Q y una carga puntual + Q. dibujar las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales en la proximidad de este sistema de cargas. 62. Una carga puntual q=-1/9*10-8 C está en el origen. Considerando que el potencial es cero para r = ∞, situar las superficies equipotenciales a intervalos de 20 V desde 20 hasta 100 V y hacer un esquema a escala. ¿están igualmente separadas estas superficies? El potencial creado por una carga puntual es: 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒓𝒓 𝒓𝒓𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟖𝟖 𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟒𝟒𝟏𝟏 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟖𝟖 𝟒𝟒𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟓𝟓𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟔𝟔𝟏𝟏 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟖𝟖 𝟔𝟔𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟖𝟖 𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝑽𝑽 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟖𝟖 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒎𝒎 No están igualmente separadas. 63. a) Determinar la carga neta máxima que puede situarse sobre un conductor esférico de radio 16 cm antes de que se produzca ruptura dieléctrica en el aire. b) ¿Cuál es el potencial de la esfera cuando posee esta carga máxima? a) El campo de ruptura es de 3 MV/m. 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟐𝟐 ;𝑸𝑸 = 𝑬𝑬∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒌𝒌 = 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟖𝟖.𝟓𝟓𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝑪𝑪 b) 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ 𝟖𝟖.𝟓𝟓𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟒𝟒𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽 64. Determinar la densidad de carga superficial máxima σmax que puede existir sobre un conductor antes de que ocurra la ruptura dieléctrica del aire. 𝑬𝑬 = 𝝈𝝈 𝜺𝜺𝑯𝑯 ; 𝝈𝝈 = 𝑬𝑬 ∗ 𝜺𝜺𝑯𝑯 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟖𝟖.𝟖𝟖𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟔𝟔.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝑪𝑪/𝒎𝒎𝟐𝟐 65. Dos esferas conductoras se cargan y se sitúan muy separadas una de otra y se conectan mediante un cable delgado alargado (figura). La esfera mayor tiene un diámetro doble al de la menor. ¿Qué esfera tiene el campo eléctrico mayor cerca de su superficie? ¿En qué factor es mayor que el campo de la superficie en la otra esfera? El potencial en las dos esferas ha de ser el mismo al estar en contacto. 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝑽𝑽𝟐𝟐 ; 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝟏𝟏 = 𝒅𝒅𝟐𝟐;𝟒𝟒 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐; 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝑸𝑸𝟏𝟏 = 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑬𝑬𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑬𝑬𝟏𝟏 𝑬𝑬𝟐𝟐 = 𝑸𝑸𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐∗𝑸𝑸𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓 ∗ 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐 El campo en la esfera pequeña es 2 veces superior. 66. Dos esferas conductoras se cargan y se sitúan muy separadas una de otra y se conectan mediante un cable delgado alargado. El radio de la esfera menor es de 5 cm y el de la mayor de 12 cm. el campo eléctrico en la superficie de la esfera mayor es de 200 kV/m. Determinar la densidad superficial de carga en cada esfera. 𝑽𝑽𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝑽𝑽𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 ;𝑸𝑸𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑸𝑸𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 ; 𝑸𝑸𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑸𝑸𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑬𝑬𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝝈𝝈𝟐𝟐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 ; 𝝈𝝈𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝑬𝑬𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒌𝒌∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝑪𝑪/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑸𝑸𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑸𝑸𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝝈𝝈𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐 𝝈𝝈𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 𝝈𝝈𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝝈𝝈𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝑪𝑪/𝒎𝒎𝟐𝟐 67. Dos conductores en forma de corteza esférica concéntrica poseen cargas iguales y opuestas. La corteza interior tiene un radio a y una carga +q; la corteza exterior tiene un radio b y carga -q. Hallar la diferencia de potencial entre las cortezas, Va-Vb. Aplicando Gauss en la zona exterior, la carga tota es nula y el campo será cero. Por tanto, en la zona exterior: 𝑽𝑽𝒃𝒃 − 𝑽𝑽∞ = −∫ 𝟏𝟏 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓𝒓𝒓 ∞ ; 𝑽𝑽𝒃𝒃 = 𝟏𝟏 Aplicando Gauss en la zona entre capas: 𝑬𝑬 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒒𝒒 𝜺𝜺𝑯𝑯 ;𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑽𝑽𝒂𝒂 − 𝑽𝑽𝒃𝒃 = −∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓𝒂𝒂 𝒃𝒃 ; 𝑽𝑽𝒃𝒃 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ �𝟏𝟏 𝒂𝒂 − 𝟏𝟏 𝒃𝒃 � 68. Dos esferas metálicas idénticas sin carga, conectadas mediante un alambre, se sitúan próximas a dos esferas semejantes con cargas iguales y opuestas, como se indica en la figura. a) Dibujar las líneas de campo eléctrico entre las esferas 1 y 3 y entre las esferas 2 y 4. b) ¿Qué podemos decir de los potenciales V1, V2, V3 y V4 de las esferas? c) Si las esferas 3 y 4 están conectadas por un alambre, demostrar que la carga final sobre cada una de ellas sería cero. a) b) Los potenciales 1 y 2 han de ser iguales. Dado que el campo entre la esfera 3 y 1 es saliente de 3 y entrante en 1, el potencial de 3 ha de ser mayor que el de 1. De la misma manera el potencial de 2 ha de ser mayor que el de 4. c) Si 3 y 4 están conectados, el potencial de 3 y 4 será el mismo. De las condiciones expresadas en el apartado (b) se deduce que la única posibilidad es que todos sean cero. La carga ha de ser cero. Problemas generales 69. Dos cargas puntuales positivas e iguales +Q se encuentran sobre el eje x. Una se encuentra en x = -a y la otra en x =+a. En el origen a) E= 0 y V = 0. b) E= 0 y V=2kQ/a. c) 𝑬𝑬 = �𝟐𝟐𝒌𝒌𝑸𝑸 𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 � 𝑯𝑯 𝒚𝒚 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏. d) 𝑬𝑬 = �𝟐𝟐𝒌𝒌𝑸𝑸 𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 � 𝑯𝑯 𝒚𝒚 𝑽𝑽 = 𝟐𝟐𝒌𝒌𝑸𝑸/𝒂𝒂. e) Ninguno de los anteriores es correcto. En el punto medio 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 a) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 b) 𝑬𝑬𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 �𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 � = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 = 𝟐𝟐∗𝒌𝒌∗𝒒𝒒 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 77. Si una esfera conductora ha de cargarse hasta un potencial de 10 000 V, ¿Cuál es el radio más pequeño posible de la esfera, tal que el campo eléctrico no exceda la resistencia dieléctrica del aire? 𝑬𝑬𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒓𝒓𝒎𝒎𝑯𝑯𝑯𝑯 𝟐𝟐 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓𝒎𝒎𝑯𝑯𝑯𝑯 𝑽𝑽𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 𝑬𝑬𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙 = 𝒓𝒓𝒎𝒎𝑯𝑯𝑯𝑯 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟑𝟑.𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝒎𝒎 78. Una esfera de aluminio aislada, de radio 5,0 cm, se encuentra a un potencial de 400 V. ¿Cuántos electrones se han extraído de la esfera para llevarla a este potencial? 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 𝒓𝒓 ;𝒒𝒒 = 𝑽𝑽∗𝒓𝒓 𝒌𝒌 = 𝟒𝟒𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 = 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗𝑪𝑪 𝟐𝟐.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗𝑪𝑪 ∗ 𝟏𝟏 𝒆𝒆 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟗𝟗𝑪𝑪 = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆 79. Una carga puntual Q se encuentra en el origen. Una partícula de masa m=0,002 kg transporta una carga de 4,0 µC. La partícula se deja libre desde el reposo a x = 1,5 m. Su energía cinética es 0,24 J al pasar por el punto x = 1,0 m. determinar la carga Q. Dado que al acercarse al origen aumenta la energía cinética la carga ha de ser negativa. ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 + ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟏𝟏 ; (𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟒𝟒 − 𝟏𝟏)− 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒 ∗ 𝑸𝑸 ∗ �𝟏𝟏 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟓𝟓 � = 𝟏𝟏 𝑸𝑸 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟒𝟒 𝒌𝒌∗𝒒𝒒∗�𝟏𝟏𝟏𝟏− 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟓𝟓� = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟒𝟒 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗�𝟏𝟏𝟏𝟏− 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟓𝟓� = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝑪𝑪 80. Una cuña conductora está cargada eléctricamente a un potencial V respecto a una gran lámina conductora (figura). a) Dibujar las líneas del campo eléctrico y las equipotenciales de esta configuración. ¿En dónde es máximo el campo |𝑬𝑬| a lo largo del eje x? b) Un electrón de masa me abandona la lámina con velocidad cero. ¿Cuál es su velocidad v cuando alcanza la cuña? (Prescindir del efecto de la gravedad). a) Las líneas de campo serían: Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo. El campo es máximo en la punta. b) 𝒒𝒒 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ;𝒗𝒗 = �𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗𝑽𝑽 𝒎𝒎 81. Un generador de Van de Graaff tiene una diferencia de potencial de 1,25 MV entre la cinta y la esfera exterior. La carga se suministra a una velocidad de 200 µC/s. ¿Qué potencia mínima se necesita para accionar la cinta móvil? 𝑾𝑾 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 𝑷𝑷 = 𝒅𝒅𝑾𝑾 𝒅𝒅𝒆𝒆 = ∆𝑽𝑽 ∗ 𝒅𝒅𝒒𝒒 𝒅𝒅𝒆𝒆 = 𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟏𝟏 𝑾𝑾 82. Una carga puntual positiva + Q está localizada en el punto x = - a. a) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una segunda carga puntual igual y positiva + q desde el infinito a x = + a? Si tenemos dos cargas iguales positivas en x = +a y x = -a. b) ¿Cuánto trabajo se requiere para desplazar una tercera carga desde el infinito hasta el origen? c) ¿Cuánto trabajo es necesario para mover la carga – Q desde el origen hasta el punto x = 2 a a lo largo de una trayectoria semicircular (figura)? a) 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝑸𝑸 ∗ �𝑽𝑽(𝒂𝒂)− 𝑽𝑽(∞)� = 𝑸𝑸 ∗ 𝑽𝑽(𝒂𝒂) = 𝑸𝑸 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝟐𝟐∗𝒂𝒂 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝒂𝒂 b) 𝑽𝑽(𝟏𝟏) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝑸𝑸 ∗ 𝑽𝑽(𝟏𝟏) = 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝟐𝟐 𝒂𝒂 Si la carga en el origen es negativa, - Q: 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = −𝑸𝑸 ∗ 𝑽𝑽(𝟏𝟏) = − 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝟐𝟐 𝒂𝒂 c) El trabajo será independiente de la trayectoria, al ser un campo conservativo. 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = −𝑸𝑸 ∗ (𝑽𝑽(𝟐𝟐𝒂𝒂)− 𝑽𝑽(𝟏𝟏)) 𝑽𝑽(𝟐𝟐𝒂𝒂) = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝟑𝟑∗𝒂𝒂 + 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝒂𝒂 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = −𝑸𝑸 ∗ �𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝒂𝒂 − 𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝒂𝒂 � = −𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 ∗ � 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝒂𝒂 − 𝟐𝟐 𝒂𝒂 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 𝟑𝟑∗𝒂𝒂 83. Una carga de 2 nC está uniformemente distribuida alrededor de un anillo de radio 10 cm que tiene su centro en el origen y su eje a lo largo del eje x. Una carga puntual de 1 nC está localizada en x = 50 cm. Determinar el trabajo necesario para desplazar la carga puntual al origen en julios y en electrón voltios. 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ ∆𝑽𝑽 = 𝒒𝒒 ∗ (𝑽𝑽(𝟏𝟏) − 𝑽𝑽(𝒙𝒙 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓)) Para un anillo el potencial en un punto del eje x es: 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = ∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒒𝒒 𝒓𝒓 𝑸𝑸 𝟏𝟏 = ∫ 𝒌𝒌 ∗ 𝒅𝒅𝒒𝒒 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑸𝑸 𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = 𝒒𝒒 ∗ �𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ 𝒒𝒒 ∗ �𝟏𝟏 𝒂𝒂 − 𝟏𝟏 �𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝑾𝑾𝒆𝒆𝒙𝒙𝒆𝒆 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 ∗ � 𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 �𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐+𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝑱𝑱 𝟏𝟏.𝟒𝟒𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝑱𝑱 ∗ 𝟏𝟏 𝒆𝒆𝑽𝑽 𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟗𝟗𝑱𝑱 = 𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝑽𝑽 84. Los centros de dos esferas metálicas de radio 10 cm están separados 50 cm sobre el eje x. Las esferas son inicialmente neutras, pero una carga Q se transfiere de una esfera a la otra, creando una diferencia de potencial entre las esferas de 100 V. Un protón se libera desde el reposo en la superficie de la esfera positivamente cargada y se mueve hacia la esfera cargada negativamente. ¿A qué velocidad choca contra la esfera negativa? ∆𝑬𝑬𝒄𝒄 = −∆𝑬𝑬𝒑𝒑 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒒𝒒 ∗ |∆𝑽𝑽| ;𝒗𝒗 = �𝟐𝟐∗𝒒𝒒∗|∆𝑽𝑽| 𝒎𝒎 = �𝟐𝟐∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟏𝟏 = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒎𝒎/𝒔𝒔 85. Un conductor esférico de radio R1 está cargado a 20 kV. Cuando se conecta mediante un fino y largo alambre a una segunda esfera conductora situada lejos de él, su potencial cae a 12 kV. ¿Cuál es el radio de la segunda esfera? 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ; Q1 es la carga inicial en la esfera, carga total del sistema. 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ; Q2 es la carga final en la esfera 1. 𝑫𝑫𝑯𝑯𝒗𝒗𝑯𝑯𝒅𝒅𝑯𝑯𝒆𝒆𝑯𝑯𝒅𝒅𝑯𝑯: 𝑸𝑸𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 𝟑𝟑 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 La carga inicial, Q1, se ha repartido en la situación final en las dos esferas: La carga final en la esfera 2 será: 𝑸𝑸 = 𝑸𝑸𝟏𝟏 − 𝑸𝑸𝟐𝟐. El potencial final de las dos esferas ha de ser el mismo. 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸𝟏𝟏−𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝑸𝑸𝟏𝟏−𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 Utilizando la expresión que relaciona Q1 y Q2: 𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 𝟑𝟑∗𝑸𝑸𝟐𝟐−𝑸𝑸𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 ; 𝑹𝑹𝟐𝟐 = �𝟓𝟓 𝟑𝟑 − 𝟏𝟏� ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 86. Un anillo cargado uniformemente, de radio a y carga Q, se encuentra sobre el plano y z con su eje a lo largo del eje x. Una carga puntual Q’ se sitúa sobre el eje x en x = 2 a. a) Determinar el potencial en cualquier punto del eje x debido a la carga total Q+Q’. b) Determinar el campo eléctrico para cualquier punto sobre el eje x. a) Para puntos entre 0 y 2 a: ∆𝑽𝑽 = ∆𝑽𝑽𝟏𝟏 + ∆𝑽𝑽𝟐𝟐 + ∆𝑽𝑽𝟑𝟑 ∆𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝝈𝝈∗𝒆𝒆𝟏𝟏 𝜺𝜺𝑯𝑯 ∆𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝝈𝝈∗𝒆𝒆𝟐𝟐 𝜺𝜺𝑯𝑯 El campo en el interior del metal es cero, por tanto: ∆𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 ∆𝑽𝑽 = ∆𝑽𝑽𝟏𝟏 + ∆𝑽𝑽𝟑𝟑 = 𝝈𝝈∗𝒆𝒆𝟏𝟏 𝜺𝜺𝑯𝑯 + 𝝈𝝈∗𝒆𝒆𝟐𝟐 𝜺𝜺𝑯𝑯 = 𝝈𝝈∗(𝒆𝒆𝟏𝟏+𝒆𝒆𝟐𝟐) 𝜺𝜺𝑯𝑯 𝒅𝒅 = 𝒆𝒆𝟏𝟏 + 𝒆𝒆𝟐𝟐 + 𝒂𝒂 ; 𝒆𝒆𝟏𝟏 + 𝒆𝒆𝟐𝟐 = 𝒅𝒅 − 𝒂𝒂 ∆𝑽𝑽 = 𝝈𝝈∗(𝒅𝒅−𝒂𝒂) 𝜺𝜺𝑯𝑯 93. Un anillo cargado uniformemente con una carga total de 100 µC y un radio de 0,1 m yace en el plano y z con su centro en el origen. Una regla de metro tiene una carga puntual de 10 µC en el extremo marcado con el 0 y una carga puntual de 20 µC en el extremo marcado con 100 cm. ¿Qué trabajo hay que realizar para transportar la regla de metro desde una distancia muy grande hasta una posición a lo largo del eje x con el extremo marcado con 0 en x = 0,2 m y el otro extremo en x = 1,2 m? El potencial de un anillo cargado en un punto del eje x es: 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 El trabajo a realizar vendrá dado por: 𝑾𝑾 = ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝒒𝒒𝟏𝟏 ∗ (𝑽𝑽𝟏𝟏 − 𝟏𝟏) + 𝒒𝒒𝟐𝟐 ∗ (𝑽𝑽𝟐𝟐 − 𝟏𝟏) 𝑾𝑾 = 𝒒𝒒𝟏𝟏 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒒𝒒𝟐𝟐 ∗ 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 �𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ ⎝ ⎛ 𝒒𝒒𝟏𝟏 �𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒒𝒒𝟐𝟐 �𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐⎠ ⎞ 𝑾𝑾 = 𝟖𝟖.𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 �𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 �𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟐𝟐 � = 𝟓𝟓𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑱𝑱 94.Tres grandes placas conductoras paralelas entre sí tienen conectadas la cara exterior por medio de un alambre. La placa del medio está aislada y posee una densidad de carga σ1 sobre la superficie superior y σ2 sobre la superficie inferior, siendo σ1+ σ2 = 12 µC/m2. Esta placa dista 1 mm de la placa superior y 3 mm de la placa del fondo. Determinar σ1 y σ2. Como las placas superior e inferior están conectadas, la diferencia de potencial entre la central y ellas ha de ser igual: ∆𝑽𝑽𝟏𝟏 = ∆𝑽𝑽𝟐𝟐 𝝈𝝈𝟏𝟏∗∆𝒙𝒙𝟏𝟏 𝜺𝜺𝑯𝑯 = 𝝈𝝈𝟐𝟐∗∆𝒙𝒙𝟐𝟐 𝜺𝜺𝑯𝑯 ; 𝝈𝝈𝟏𝟏 ∗ ∆𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝝈𝝈𝟐𝟐 ∗ ∆𝒙𝒙𝟐𝟐 La última ecuación junto con esta: 𝝈𝝈𝟏𝟏 + 𝝈𝝈𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 Permiten encontrar las densidades: 𝝈𝝈𝟏𝟏 = 𝝈𝝈𝟐𝟐∗∆𝒙𝒙𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙𝟏𝟏 Substituyendo en la segunda: 𝝈𝝈𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∆𝒙𝒙𝟐𝟐 ∆𝒙𝒙𝟏𝟏 +𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗∆𝒙𝒙𝟏𝟏 ∆𝒙𝒙𝟐𝟐+∆𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑+𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝑪𝑪/𝒎𝒎𝟐𝟐 𝝈𝝈𝟏𝟏 = 𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝑪𝑪/𝒎𝒎𝟐𝟐 95. Una carga puntual q1 está en el origen y una segunda carga puntual q2 está sobre el eje x en x = a, como en el ejemplo 24.5. (Potencial en el eje x encontrado: 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝒌𝒌 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒙𝒙−𝒂𝒂 ;𝒙𝒙 > 𝒂𝒂 𝑽𝑽 = 𝒌𝒌 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝒌𝒌 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒂𝒂−𝒙𝒙 ;𝟏𝟏 < 𝒙𝒙 < 𝒂𝒂 𝑽𝑽 = −𝒌𝒌𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝒌𝒌 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒂𝒂−𝒙𝒙 ;𝒙𝒙 < 𝟏𝟏 ) a) Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del eje x a partir de la función potencial dada en dicho ejemplo. b) Determinar el potencial en un punto cualquiera del eje y. c) Utilizar el resultado de (b) para calcular el componente y del campo eléctrico sobre el eje y. Comparar el resultado así obtenido con el que resulta directamente de la ley de Coulomb. a) 𝑬𝑬𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙 x>a: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 �𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒙𝒙−𝒂𝒂 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 (𝒙𝒙−𝒂𝒂)𝟐𝟐 𝟏𝟏 < 𝒙𝒙 < 𝒂𝒂: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 �𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒂𝒂−𝒙𝒙 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 (𝒂𝒂−𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝒙𝒙 < 𝟏𝟏: 𝑬𝑬𝒙𝒙 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 �−𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒂𝒂−𝒙𝒙 � = −𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 (𝒂𝒂−𝒙𝒙)𝟐𝟐 b) 𝑽𝑽(𝒚𝒚) = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 |𝒚𝒚| + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 �𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 c) 𝑬𝑬𝒚𝒚 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒚𝒚 �𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒚𝒚 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 �𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 � = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐∗𝒚𝒚 (𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 Seria la misma expresión que se obtendría usando la ley de Coulomb. 𝑬𝑬𝟏𝟏𝒚𝒚 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟏𝟏 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝑬𝑬𝟐𝟐𝒚𝒚 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝑯𝑯𝒔𝒔𝒄𝒄 == 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐 𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 ∗ 𝒚𝒚 �𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒒𝒒𝟐𝟐∗𝒚𝒚 (𝒚𝒚𝟐𝟐+𝒂𝒂𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 96. Una partícula de masa m que posee una carga positiva q está restringida a moverse a lo largo del eje x. En los puntos x = -L y x = L hay dos cargas anulares de radio L (figura). Cada anillo está centrado sobre el eje x y localizado en un plano perpendicular al mismo, siendo ambos portadores de la misma carga positiva Q. a) Obtener una expresión del potencial entre las cargas anulares en función de x para – L<x<L. b) Demostrar que en esta región V(x) pasa por un mínimo para x =0. c) Deducir una expresión para la frecuencia angular de oscilación de la masa m si se desplaza ligeramente del origen y se deja libre. a) 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽𝟏𝟏 + 𝑽𝑽𝟐𝟐 El potencial creado por un anillo de carga viene dado por: 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐 donde x es la distancia al anillo. Aplicando esta expresión a los dos anillos: 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 �(𝒙𝒙+𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐 ;𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 �(𝒙𝒙−𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 �(𝒙𝒙+𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐 + 𝒌𝒌∗𝑸𝑸 �(𝒙𝒙−𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐 b) 𝒅𝒅𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ � 𝑳𝑳−𝒙𝒙 ((𝒙𝒙−𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 − 𝑳𝑳+𝒙𝒙 ((𝒙𝒙+𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 � = 𝟏𝟏 𝑳𝑳−𝒙𝒙 ((𝒙𝒙−𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 − 𝑳𝑳+𝒙𝒙 ((𝒙𝒙+𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 (𝑳𝑳 − 𝒙𝒙) ∗ �(𝒙𝒙+ 𝑳𝑳)𝟐𝟐 + 𝑳𝑳𝟐𝟐� 𝟑𝟑 𝟐𝟐 = (𝑳𝑳 + 𝒙𝒙) ∗ �(𝒙𝒙 − 𝑳𝑳)𝟐𝟐 + 𝑳𝑳𝟐𝟐� 𝟑𝟑 𝟐𝟐 �(𝒙𝒙+𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐� 𝟑𝟑 𝟐𝟐 ((𝒙𝒙−𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 = (𝑳𝑳+𝒙𝒙) (𝑳𝑳−𝒙𝒙) Esta igualdad se cumple para x =0. Haciendo la segunda derivada: 𝒅𝒅𝟐𝟐𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝒌𝒌 ∗ 𝑸𝑸 ∗ � 𝟑𝟑∗(𝑳𝑳−𝒙𝒙)𝟐𝟐 ((𝒙𝒙−𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐) 𝟓𝟓 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 ((𝒙𝒙−𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 + 𝟑𝟑∗(𝑳𝑳+𝒙𝒙)𝟐𝟐 ((𝒙𝒙+𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐) 𝟓𝟓 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 ((𝒙𝒙+𝑳𝑳)𝟐𝟐+𝑳𝑳𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 � 𝒅𝒅𝟐𝟐𝑽𝑽 𝒅𝒅𝒙𝒙𝟐𝟐 (𝟏𝟏) = 𝟑𝟑∗𝟐𝟐∗𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟓𝟓/𝟐𝟐∗𝑳𝑳𝟓𝟓 = 𝟑𝟑∗𝒌𝒌∗𝑸𝑸 𝟐𝟐∗√𝟐𝟐∗𝑳𝑳𝟑𝟑 > 𝟏𝟏 Estamos en un máximo. c) Haciendo un desarrollo en serie de Taylor: 𝑽𝑽(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽(𝟏𝟏) + 𝑽𝑽′(𝟏𝟏) ∗ 𝒙𝒙+ 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑽𝑽′′(𝟏𝟏) ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 +⋯ 𝑷𝑷𝒂𝒂𝒓𝒓𝒂𝒂 𝒙𝒙 ≪ 𝑳𝑳: