¡Descarga Probabilidades y identidades: Ejercicios resueltos - Prof. Alba y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity! Llista 1. Probabilitat. (Amb solució) 1. Descriu l’espai mostral (Ω) associat als següents experiments aleatoris: a. Tirem dos daus distingibles i observem els números de les cares superiors. b. Tirem dos daus distingibles i observem la suma de les cares superiors. c. Tirem tres monedes i observem el número de cares obtingudes. d. El nombre d’encerts en una travessa de 15 partits. Solució: a. Si considerem que els dos daus són distingibles i seguint amb les notacions de l’apartat anterior, Ω = {(d1, d2) |d1 = 1, . . . 6; d2 = 1, . . . 6} on d1 està modelant el resultat observat a la cara superior del primer dau i d2 l’observat a la cara superior del segon. Aqúı, el nombre d’elements de Ω és 62 = 36 doncs, per exemple, (1, 2) 6= (2, 1). Si ens haguessin dit que els dos daus són indistingibles, aleshores Ω = {d1, d2 |d1 = 1, . . . 6; d2 = 1, . . . 6}; aqúı d1 i d2 modelen el resultat que apuntaŕıem en primer i segon lloc. Observem que el nombre d’elements de Ω és ( 6 5 ) + 6 = 21 doncs, per exemple, {1, 2} = {2, 1}. b. La suma de les cares superiors en tirar dos daus, pren el seu valor ḿınim en 2, que correspon a quan als dos daus s’ha observat el valor igual a 1 i que podem denotar com a (1,1), entenent que la primera coordenada modela el resultat del primer dau i la segona el segon. El seu valor màxim es pren en 12, quan s’ha observat (6,6). Tots els naturals entre el 2 i el 12 són igualment observables i per tant Ω = {2, 3, . . . , 12} c. En tirar tres monedes podem obtenir 0, 1, 2 o bé 3 cares i per tant Ω = {0, 1, 2, 3}. d. En fer una travessa de 15 partits podem obtenir 0, 1, . . . , 15 encerts i per tant Ω = { 0, 1, . . . , 15}. 2. Amb l’ajuda de diagrames de Venn, demostra (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) , on A, B i C són esdeveniments qualsevol. 3. Siguin A i B dos esdeveniments qualsevol. Demostra les següents identitats a. Si B és un subconjunt de A (B ⊂ A), aleshores P (B) ≤ P (A). b. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B). c. Si B és un subconjunt de A (B ⊂ A), aleshores P (A ∩B) = P (A)− P (B). Solució: a. Podem expressar A = (A∩B)∪(A∩B) on aquesta unió és disjunta. Per la propietat d’additivitat de la probabilitat, P (A) = P (A∩B) +P (A∩B) i com que en aquest cas P (A∩B) = P (B), tenim que P (B) ≤ P (A) ja que P (A) = P (B) + P (A ∩B) i P (A ∩B) ∈ [0, 1]. b. Podem expressar B = (B ∩A)∪ (B ∩A) i A∪B = A∪ (B ∩A) on aquestes unions són totes disjuntes. Aleshores, novament per l’additivitat de la probabilitat P (B) = P (B∩A)+P (B∩A) i P (A ∪ B) = P (A) + P (B ∩ A). Äıllant P (B ∩ A) i igualant obtenim P (B) − P (B ∩ A) = P (A ∪B)− P (A), és dir P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B). c. Si B és un subconjunt de A, aleshores A = B ∪ (A ∩ B), sent aquesta unió disjunta. Una vegada més per l’additivitat de P , tenim P (A) = P (B) + P (A ∩ B) o, en altres paraules, P (A ∩B) = P (A)− P (B). 4. Considera els subconjunts de R següents i descriu els conjunts que s’indiquen a continuació: A = {x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5} B = {x | 3 ≤ x ≤ 8} C = {x | x ≤ 0} a. A b. A ∪B c. B ∩ C d. (A ∪B) ∩ C Solució: a. [x < −1] ∪ [x > 5] b. [−1 ≤ x ≤ 8] c. B d. C 5. Suposem que els esdeveniments A i B satisfan P (A) = 712 , P (B) = 7 12 i P (A ∩B) = 1 4 . Avalua P (B), P (A ∩B), P (A ∪B) i P (A ∪B). Solució: Determinem primer P (B); com P (B) = 1−P (B), igualant tenim 712 = 1−P (B) per tant P (B) = 512 . com A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) i en ser aquesta unió disjunta, per la propietat de σ–additivitat 7 12 = 1 4 + P (A ∩B), és a dir P (A ∩B) = 1 3 . Sabem que P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B); substituint els nostres valors obtenim P (A∪B) = 7 12 + 7 12 − 1 3 = 5 6 . Finalment, apliquem les lleis de Morgan per calcular l’última probabilitat P (A ∪ B) = P (A ∩B) = 1− P (A ∩B) = 1− 14 = 3 4 . 2
