Problemas rotación Tipler, Ejercicios de Física

¡Descarga Problemas rotación Tipler y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! Rotación 1. Dos puntos sobre un disco giran a velocidad angular constante: uno de ellos está en el borde del disco y el otro a la mitad de distancia entre el borde y el eje. ¿Cuál de los dos puntos recorre una mayor distancia en un tiempo determinado? ¿Cuál gira un ángulo mayor? ¿Cuál posee mayor velocidad? ¿Y mayor velocidad angular? ¿Cuál tiene mayor aceleración tangencial? ¿Y mayor aceleración angular? ¿Y mayor aceleración centrípeta? e El que está más alejado recorre más distancia. + Los dos giran el mismo ángulo. e El que está más alejado tiene mayor velocidad lineal. + Los dos tienen la misma velocidad angular. + Los dos tienen la misma aceleración angular, el más alejado tiene más aceleración tangencial. + El más alejado tiene mayor aceleración normal o centrípeta. 2. Verdadero o falso: a) La velocidad angular y la velocidad lineal tiene las mismas dimensiones. b) Todas las partes de una rueda giratoria tienen la misma velocidad angular. c) Todas las partes de una rueda giratoria deben tener la misma aceleración angular. Falso, verdadero y verdadero. 3. Partiendo del reposo, un disco realiza 10 revoluciones hasta alcanzar la velocidad angular w. Con aceleración angular constante, ¿Cuántas revoluciones adicionales debe realizar para alcanzar una velocidad 2 w? a) 10rev b) 20 rev c) 30 rev d) 40 rev e) 50 rev w2=2x*ax*xA0p=20x0 4: w?—w? =2* a+ Apz 4:*20xa-20xa=2+*a* Ap, Ap, = 30 rev Respuesta c 4. Una partícula se mueve en una circunferencia de radio 90 m con una velocidad de módulo constante de 25 m/s. a) ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por segundo alrededor del centro de la circunferencia? b) ¿Cuántas revoluciones realiza en 30 s? a) w=2=2B=0278.% R 90 s b) A0=wxAt=0,278x30=8,34rad 8,34rad*« =1,33 rev 2-mrad 5. Una rueda parte del reposo y tiene aceleración angular constante de 2,6 rad/s?. a) ¿Cuál es su velocidad angular después de 6 s? b) ¿Qué ángulo habrá girado? c) ¿Cuántas revoluciones habrá realizado? d) ¿Cuál es la velocidad y la aceleración de un punto situado a 0,3 m del eje de rotación? a) 0=0w,+ax*At w=2,6x*6=15,6rad/s b) 0=0,+w,+At+3=a + at 0=2:2,6+6*=46,8 rad 1rev 2-mrad c) 46,8rad * d) v=wx*R v(6) = 15,6+0,3 = 4,68 m/s a¿=a*R=2,6:x0,3=0,78m/s? = 7,45 rev 2 An == =w?xR an (6) = 15,62: 0,3 =73m/s? a= lad+al a(6) =,/0,782 +73? =73m/s? 6. Un tocadiscos que gira a 33 1/3 rev/min se desconecta. Se frena con aceleración angular constante y queda parada al cabo de 26 s. a) Hallar la aceleración angular. b) ¿Cuál es la velocidad angular media del tocadiscos? c) ¿Cuántas revoluciones realiza antes de detenerse? a) a= e rev 2=mrad 1min a reo Tos a= =2 = —-0,134 rad/s? = 3,49 rev/s AO b) Om == 0=0,+0)+At+hxa a 0= 3,49 + 26” -2+0,134-26? =45,45 rad Om -- -E5 =1,75rad/s c) 45,45 rad * Lrev 7,23 rev 2=mrad 7. Un disco de 12 cm de radio alrededor de su eje partiendo del reposo con aceleración angular constante de 8 rad/s?. Al cabo de t= 5 s. a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco? b) ¿Cuál es la aceleración tangencial a: y centrípeta a. de un punto del borde del disco? a) w=0w,+4axAt w(5)=8x5=40 rad/s b) a, =a*R=8+0,12=0,96m/s? 2 an = z =wxR an(5) = 40? x 0,12 = 192 m/s? 8. Los locutores de radio que todavía utilizan discos de vinilo deben tener cuidado cuando conectan discos grabados en directo. Mientras los álbumes gravados ene estudio tienen espacios en blanco entre las canciones, los discos mencionados suelen tener los aplausos del público. Si los niveles de volumen se dejan elevados cuando el disco se conecta, suena como si la audiencia hubiera irrumpido súbitamente a través de la pared. Si un disco que parte del reposo gira 102 en 0,5 s, ¿cuánto tiempo debe esperar el locutor antes de que el disco alcance la velocidad angular requerida de 33 1/3 rev/min? Suponer aceleración angular constante. 0=0,+ 0): A+ haa v 5 Las áreas totales son las mismas en las dos situaciones, dado que la cinta es la misma: m«R—mr?=2 «mn *Ri= 2 mer? R24r2 R= La velocidad lineal de la cinta es constante y su valor es: v= > donde Les la longitud de la cinta y T el tiempo de funcionamiento. Substituimos la expresión de Ry y v en la primera ecuación: __L/T__ 246/(2-3600) _ 1,04rad/s w=-= += = === R24r2 0,04524+0,0122 Voz No z 1,04%, 27,22 — 9,93 rev/min 2=rrad” 1min Momento de una fuerza, momento de inercia y segunda ley de Newton aplicada a la rotación 16. Las dimensiones del momento de una fuerza son las mismas que las del a) Impulso b)energía c) cantidad de movimiento d) ninguna de las anteriores Las dimensiones del momento son: [F*d] =M+*13«T-2 Coinciden con las de la energía y trabajo que son : [W] =M «13 «T7? 17. El momento de inercia de un objeto de masa M a) Esuna propiedad intrínseca del objeto. b) Depende de la elección del eje de rotación. c) Es proporcional a M independientemente de la elección del eje. d) Ambos (b) y (c) son correctos. La opción correcta es la d. Depende de la masa y de los ejes de rotación. 18. ¿Puede un objeto seguir girando en ausencia del momento de una fuerza? Si, con movimiento circular y uniforme. 19. El momento resultante aplicado, ¿incrementa siempre la velocidad angular de un objeto? El momento resultante hace variar la velocidad angular, pero puede aumentarla o disminuirla. 20. Verdadero o falso: a) Sila velocidad angular de un objeto es cero en algún momento, el momento resultante que actúa sobre el objeto debe ser cero en ese instante. b) El momento de inercia de un objeto depende de la localización del eje de rotación. c) El momento de inercia de un objeto depende de la velocidad angular del objeto. A es falsa, el momento hace cambiar la velocidad angular, si fuera así un objeto parado no podría ponerse a rotar o uno que se está parando permanecería en reposo. B es correcta, depende de la masa del objeto y de los ejes de rotación. Ces falsa. 21. Un disco gira libremente alrededor de un eje. Una fuerza aplicada a una distancia d del eje le ocasiona una aceleración angular a. ¿qué aceleración angular se produce si la misma fuerza se aplica a una distancia 2d del eje? a) a b)2a cja/2 d)4a eja/a Respuesta b. Doble momento doble aceleración. 22. Una muela de afilar en forma de disco tiene una masa de 1,7 kg y un radio de 8 cm y está girando a 730 rev/min. Cuando se desconecta el motor, una mujer continúa afilando su hacha manteniéndola contra la muela durante 9 s hasta que se detiene. a) Hallar la aceleración angular de la muela de afilar. b) ¿Cuál es el momento ejercido por el hacha sobre la muela? Suponer constante la aceleración angular y que no existen otros momentos de fuerzas de rozamiento. a) 730rev 2erad 1 min —8,49 rad/s? at 95 b) 1=¿+M+R? r=1+a=l.M=R=a=le 1,7 x0,08? « (-8,49) = -0,0462 N xm 23. Un cilindro de 2,5 kg y radio 11 cm está ¡jalmente en reposo. Una cuerda de masa despreciable se arrolla sobre él y se tira de la cuerda con una fuerza de 17 N. Determinar a) El momento ejercido por la cuerda. b) La aceleración angular del cilindro. c) La velocidad angular del cilindro al cabo de t=5 s. a) 7=F:*d=17+0,11=1,87N*xm 2.1 21,87 1 b) 1=1xa=7*M=R**a; == 350112 7 124rad/s Cc) 0=0,+4xAt w = 124*5= 620 rad/s 24. Una cuerda montada sobre un eje con rozamiento se encuentra jalmente en reposo. Durante 20 s se aplica a la rueda un momento externo de 50 N m, con lo cual la rueda adquiere una velocidad angular de 600 rev/min. Se retira entonces el momento externo y la rueda alcanza el reposo 120 s más tarde. Determinar a) El momento de inercia de la rueda b) El momento de rozamiento supuesto constante. 600 rev 2+1e rad 1 min = 2% — min "tre 003 — 3,14 rad/s? 20s 600 rev 2+1t rad 1 min — Mw _ 9 min trev 60 — 2 => 1205 0,524 rad/s Para cada parte en rotación tenemos: Text —= Tfr =1* 01 Tfr =1* 0% Sumando y despejando 1: Text 50 b) Tp, =1+a,= 19,1 + (0,524) = 10,0 N <m 25. Un péndulo formado por una cuerda de longitud L y una lenteja de masa m oscila en un plano vertical. Cuando la cuerda forma un ángulo € con la vertical, a) ¿Cuál es la componente tangencial de la aceleración de la lenteja? b) ¿Cuáles el momento ejercido respecto al punto pivote? c) Demostrar que 7 = la con a; = La da lugar a la misma aceleración tangencial deducida en la parte (a). a) mE F, =m:x g xsen0 a, = g*sen0 b) T=mx*g+*sen0 « L c) t=m«l«Í=meL+g «send 26. Una barra uniforme de masa M y longitud L pivota sobre un extremo y cuelga como se muestra en la figura, de modo que puede oscilar sin rozamiento alrededor del pivote. Una fuerza horizontal F. golpea la barra durante un corto tiempo At a una distancia x por debajo del pibote como indica la figura. a) Demostrar que la velocidad del centro de masas de la barra inmediatamente después del golpe es vo=3F.xAt/2ML. b) Determinar la fuerza suministrada por el pivote y demostrar que esta fuerza es cero si x=2L/3. (Nota: el punto x=2L/3 se llama centro de percusión de la barra) $ , a! den a) El centro de masas está en el centro (L/2). Por tanto, si la barra se mueve con una velocidad angular w: L Von =0+R=0w +5 El momento de la fuerza aplicada: Forx 1 El momento de inercia de la barra respecto de un eje perpendicular en un extremo es: T=F,*x=Ixa,a= 33. Utilizar el teorema de los ejes paralelos para hallar el momento de inercia de una esfera maciza de masa M y radio R alrededor de un eje tangente a la esfera (figura). 1 15 «da 1 1 1 1 Lo Lom MAMA RAMA RS MAR 34. Una rueda de vagón de 1,0 m de diámetro está formada por una llanta delgada de masa 8 kg y seis radios, cada uno de los cuales tiene una masa de 1,2 kg. Determinar el momento de inercia de la rueda respecto a su eje de rotación. Irueda = Iilanta + Iradios Itanta = M+R? Tradio = Lon emo (2) mo Rm =hme«R? Lrueda = MR? 46h me RI (M+2 <m)«R? Irueda = (8+2* 1,2) 0,5? = 2,6 kg m? 35. Dos masas puntuales m, y m, están separadas por una barra sin masa de longitud L. a) Deducir una expresión para el momento de inercia de este sistema respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa a través de ésta por un punto situado a la distancia x1 de la masa m,. b) Calcular dl/dx y demostrar que | es mínimo cuando el eje pasa por el centro de masas del sistema. a) I=m+*ri+m«r=m,*x32+m23* (Lx 1 b) E 2 mx 2 mz» (Lx) Por la condición de mínimo: 2*m,*x-2*m3*(L-x)=0 = mal mi+m Coincide con la posición del centro de masas. 36. Una placa rectangular uniforme tiene una masa m y sus lados valen a y b. a) Demostrar por integración que su momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la placa y que pasa por uno de sus vértices es 1/3 m(a?+b?). b) ¿Cuál es el momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de masas y que sea perpendicular a la placa? a) (0,0) (a/2,0) (a,0) dm=0x*dS =0x*dx+* dy 1= [lio lo + dx + dy) + (2? + y?) =hox(a+b+b3a)=h+0+axb» (a? +12) =Z+ Mx (a? +0?) b) lo =lom+M=d?, Lan = 1 -M+42= LM (42) me (L4L) AC) 37. Dos jóvenes A y B están realizando un trabajo de investigación intensiva sobre el “bastón acrobático giratorio teórico”. Ambos utilizan el mismo modelo de bastón: Dos esferas uniformes, cada una de masa 500 g y radio 5 cm, montadas en los extremos de una varilla uniforme de 30 cm de longitud y masa 60 g (figura). A y B desean calcular el momento de inercia del bastón modelo respecto a un eje perpendicular a la varilla que pasa por su centro. A utiliza la aproximación de que las dos esferas pueden considerarse como partículas puntuales que distan 20 cm del eje de rotación y que la masa de la varilla es despreciable. B, sin embargo, hace los cálculos sin aproximaciones. a) Comparar los resultados. b) Silas esferas tuvieran la misma masa, pero fueran huecas, ¿aumentaría o disminuiría la inercia de la rotación? Justificar la respuesta brevemente. No es necesario calcular el nuevo valor de l. 500 g 500 g a) I,=2*M+x0,2?=2+x0,5: 0,2? =0,04kg m? lg =2*1,+1) Para la esfera: 1, = MR? +M«d?=2x0,520,05% +0,5+0,2? = 0,0205 kg m? )=2+M+1?=2+0,06 * 0,3? = 0.00045 kg m? bo 12 38. 39. Ig = 0.00045 +2 + 0.0205 = 0.04145 kg m? la — 20t 0965 Ig 0,04145 b) Para una esfera hueca el momento de inercia respecto a un diámetro es: 1I=1+M+R? Este valor es mayor que el de la esfera compacta, por tanto, el momento de inercia en este caso es mayor. La molécula de metano (CHa) tiene cuatro átomos de hidrógeno localizados en los vértices de un tetraedro regular de lado 1,4 nm con el átomo de carbono en el centro (figura). Encontrar el momento de inercia de esta molécula respecto a un eje de rotación que pase a través del átomo de carbono y uno de los átomos de hidrógeno. 1=3*my+*r? Por geometría: r=2 v3 2 1=3 my += Mya? Tomando los valores para la masa del hidrógeno de 1,67 107?” kg: 1=1,67* 107 + (1,4 + 1079)? = 3,27 * 107% kg m? Un cilindro hueco de masa m tiene un radio exterior R, y un radio interior Ri. Demostrar que su momento de inercia respecto a su eje de simetría es l= 1/2 m(R22+Ra?). x Consideramos el cono una superposición de discos de diferente radio, el momento de nar. ; 1 inercia de un disco es ¿M+ R?, 1=1/2/1?*dm=/r?*p+ru*r?*dz Para un cono tenemos: r_R R I=E ip=z 0h zH 4 4 4 5 a 1 H(__R port HS mepaRÓAH I=ixprrmx (25) *dz = E ARAN 25P do . 2Ht 5 10 Expresando la masa en función de la densidad: M=jpxdm= [merda pom et) adn RA o H, 3 1=2+M+«R? 10 43. Utilizar el cálculo integral para determinar el momento de inercia de un cono circular recto, hueco, de paredes delgadas de masa M, altura H y radio de la base R, respecto a su eje de simetría. Consideramos el cascarón formado por dos partes un disco y un cascarón cónico sin base. Para el disco el momento de inercia es: ML rd e rte meredrro Romo frio 1/2«m*px+R* La Ri= My + R h=ln+*2 172 m+R? R Para el cascarón, usando - =$ 3 * L=Jrrdm=jrt+2+meredzrp=2<m+prf, da 2 RH 1 mt R=p RAR AH La superticio lateral de un cono es: H S=f,2*m*r«*dz= Con esto, tenemos: 2mR 4 «|, z*dz=mT*R*H H o Para todo el cascarón: I=1,+1,=5*(M, + M)) +R?=7+M+R 44. Utilizar el cálculo integral para determinar el momento de inercia de un disco delgado uniforme de masa M y radio R respecto a un diámetro como eje de rotación. I=j2+*dm=/2+*0*2*m*r+«dz Utilizamos: R=r+2 ir =VR2—Z2 1 1=2 0% [2 RI da [7 229 (RE 22 Yen dz Para hacer la integral: z=Rxsin(u);u = arcsen (7); az =Rxcos(u) « du 1 1 1 12052 (RP dz— STR sind) + (RR? sin?) Ro cos(u) « du Usamos: 1 ES —R? x sinr(u))' =Rxcos(u) De Da Ro any Sin (a) + cos* (a) «due = Ro finan, sin?) » (1 — sen?(u)) » du Rx presento) (sen?(u) - sen*(u)) * du aresen(-1) Aplicamos: - senil $ senr(u) « du = = * [senr(u) * du— costrsen (9 arcsen(1) 2 _ (feos()+sen(u)]tresert) 1 caresen(1) Zaresen=ay SER) + du = ( 2 soy a Sarcsent=y QU) = _ pi - ame 2 2 aresen(-1) De la misma forma: arcsen(1) arcsen(1) 4 _ (cos(u):senV(u) 3 arcsen(1) 2 _ resentza) Sent) » dee — (SE Daseent-1 Y Sarcsenty SO) » du = (Esc0-zentco _ restan) y no 4 8 8 Jarcsen(-1) Por tanto: arcsen(1) Res (eestorsent( _ cos(uj+sem() |. 2) 4 8 8/aresen(-1) Podemos deshacer la sustitución: z u = arcsen (5 sen(u) = 5 cos(u) = Deshaciendo: R Rt=arcsen(;) + Reza Az Rirxx 1 m Re 8 4 8 8 —R Por tanto: . . I=2x0«m*=-MagÉ 8 mr 45. Utilizar el cálculo integral para determinar el momento de inercia de un anillo circular de radio R y masa M respecto a un diámetro como eje de rotación. I=jy?+dm=Jy?*2+R*d0=2+Re ["Rxsend0 + dO=A+R3 + Se” sento »d0 Usamos: J senr(u) « du =* cos(u)+sen"-Ku) 1 n—2 - 5 x* | senr2(u) « du = 27 3 M 3 1 2 | =2+R3+m= «Rem=leMeR o 2=m+R 2 9 cosO:seng 2 2 46. Un vendedor de helados junto a la carretera utiliza conos rotatorios para llamar la atención de los viajeros. Cado cono gira alrededor de un eje de simetría que pasa por el vértice. Los tamaños de los conos son variables y el propietario piensa si sería más rentable energéticamente utilizar conos más pequeños o unos pocos muy grandes. Para obtener una respuesta debe calcular el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo de altura H, radio de la base R y densidad p. ¿Cuál es el resultado? 1=4+R3 + | Y Por teorema Steiner, para un disco diferencial del cono: dl, = dI disco + dm « z? dm=p*dV=p+*u*r? *dz 1 Ea _ ¿lr mr Ecz Flqro? mzsr72 Por la definición del centro de masas: Tom = 03m «ri =m3 +1 2 =% cm My r7 TD Ea — Mm, má m2 Ez mm om 53. Calcular la energía cinética de rotación de la Tierra y compararla con la energía cinética del movimiento del centro de masas de la Tierra. Admitir que la Tierra es una esfera homogénea de masa 6,0 10” kg y cuyo radio vale 6,4 10% m. El radio de la órbita terrestre es 1,5 10'! m. 1I= MR? 2 1 2 12 2 (ue 2mrad 1h ) =1 xa? =l +2 M+R?x * * Ecrot = 0 == AMAR e 30005 Bonos =E+ 6,0 + 10% + (6,4+ 100)” + (7,27 + 1075)” =2,60+ 107] 2 1 21 24 (presion m idia 1h =l+Mxv.=2+6,0* y (A * Ectrasta =7*M*v*=7*6,0 +10 365 dias 24h "36005, =2,68*10*J Ectrasla 4.4 Ecrot 10 54. Un bloque de 2000 kg asciende a una velocidad constante de 8 cm/s mediante un cable que pasa por una polea de masa despreciable y se arrolla al tambor de un torna impulsado por un motor (figura). El radio del tambor es de 30 cm. a) ¿Qué fuerza ejerce el cable? b) ¿Qué momento ejerce la tensión del cable sobre el tambor? c) ¿Cuál es la velocidad angular del tambor? d) ¿Qué potencia debe desarrollar el motor para hacer girar el tambor del torno? ”n r=30cm LE 2 (2000 kg)g a) T=m+g=2000+9,81=19,6+ 103 N b) M=T+*r=19,6*103*0,3=5,89*103Nm ce) w=-=-===0,267 rad/s r 03 d) P=T*v=19,6+* 107 + 0,08 = 1,57 « 107 W 55. Un disco uniforme de masa M y radio R está sujeto de modo que puede girar libremente respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco. Se sujeta una pequeña partícula de masa m al borde del disco y en su parte superior directamente encima del eje de rotación. El sistema se hace girar inicialmente con suavidad. a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco cuando la partícula se encuentra en el punto más bajo de su trayectoria? 56. 57. b) En este punto, ¿Cuál es la fuerza ejercida por el disco sobre la partícula para que ésta permanezca en el disco? a) Por conservación de la energía: Ec, + Epr = Ec + Ep2 En el punto 1, inicial: E. =0] Ep => m*g*2x*R En el punto 2: Ey =]1+02=Le(2-M+R24m+R2) «0? Er = 0] Por tanto: m«g«2+R=]+R?+(M+2<m) +0? 8-mg R=(M4+2:m) - = 2 R;F= 29D, p= Bm b) Pm g= meat RF me gime (nto) R= mog o (14 2) Un anillo de 1,5 m de radio de diámetro pivota sobre un punto de su circunferencia de modo que es libre de girar alrededor de un eje horizontal. Inicialmente la línea que pasa por el soporte y por el centro del anillo es horizontal. w= a) Sise deja oscilar libremente desde el reposo, ¿Cuál es su velocidad angular máxima? b) ¿Qué velocidad angular debe imprimirse i una revolución completa? a) Por conservación energías: Ec, + Epr = Ec + Ep2 ¡cialmente para que dé justamente m«grAh=3=1+0? Donde: I=m*R+m«*R?=2«m+*R? ¡Ah =R. = fas fa [om o= - E 075 3,62 rad/s b) Por conservación energías: m«gxAh=3=I=op 0m= E = 3,62 rad/s Queremos diseñar un coche que utilice la energía almacenada en un volante formado por un cilindro de 100 kg uniforme y de radio R. El volante debe suministrar una potencia de 2 MJ de energía mecánica por kilómetro con una velocidad angular máxima de 400 rev/s. Determinar el valor mínimo de R, tal que el coche pueda recorrer 300 km sin que el volante necesite ser recargado. Calculamos la energía de rotación del cilindro: 1 Ec=¿*1*0w? Donde! es: I=1+m+*R? 2 Ec=2xlxmx«R? x aw? 2 2 R 2 Ec 2 2-106 =x = — Fa * w m 4002, Pzrad 100 s rev 58. Una escala portátil de 8,6 m de longitud y masa 60 kg se sitúa en posición vertical contra la pared de un edificio. Una persona de pie sobre un peldaño tiene su centro 195m de masas a la altura de la parte más alta de la escalera. Su masa es de 8 kg. Al inclinarse ligeramente, la escalera comienza a girar alrededor de su base alejándose de la pared. ¿Qué es menos peligroso para esta persona: saltar rápidamente de la escalera al suelo o agarrarse a la escalera y saltar justo un momento antes de que el extremo de la escalera choque contra el suelo? Para la caída de la persona: mavh= me ga Lv =[2=g=L Para la caída del sistema persona escalera: Prat m+grL+MegeL/2 Dondel es: 1= persona Hescalera = 11243 M1? P(m-1242M=12) +0? =m+g+L+M=»g+L/2 Para la velocidad lineal tenemos: w=v/L Por tanto: v 2 P(m«12+3=M+12)=(2) =m+=g+L+M=g+L/2 Despejamos la velocidad: Para los datos del problema: z = vÍ 60+8/3 La velocidad si cae junto es mayor que si salta. 59. Considerar la situación del problema 58 con una escalera de longitud L y una masa M, determinar la relación entre3 la velocidad de la persona agarrada a la escalera cuando llega al suelo y la velocidad que tendría si saltara inmediatamente, en función de M/m, en donde m es la masa de la persona. Hecho en el problema 58. 1,01 Poleas, yo-yos y objetos colgantes 60. Un bloque de 4 kg que descansa sobre una plataforma horizontal sin rozamiento está conectado a otro bloque colgante de 2 kg mediante una cuerda que pasa por una polea. Esta polea está formada por un disco uniforme de radio 8 cm y una masa de 0,6 kg. 66. 67. El sistema de la figura se deja libre desde el reposo. El cuerpo de 30 kg se encuentra a 2 m de la plataforma. La polea es un disco uniforme de 10 cm de radio y 5 kg de masa. Calcular a) La velocidad del cuerpo de 30 kg justo antes de que llegue a tocar la plataforma. b) La velocidad angular de la polea en ese instante. c) Las tensiones de las cuerdas. d) Eltiempo que invierte el cuerpo de 30 kg en alcanzar la plataforma. Suponer que la cuerda no desliza sobre la polea. m=Skg NAC r=100m a) Por conservación energías: 1 1 1 m«g+h=*m3p 0? + mayo? + la? La velocidad angular de la polea es w = v/R. 1 =x El momento de inercia de la polea es I = z 2 pr, Substituyendo: 2 1 1 1.1 y Map +9 * hay =h map mp rot em, «Rs (2) + Moo * 9 * hzo 2-(msg=m20)=9=hx9 _ 1 may +m29+3"mp b) w=2=2=27rad/s mE x m3) *9-T¿=m3+*a T¡-mo*9=mzp+*a (T¿—T¡)*R=1xa/R Como tenemos la velocidad final: v? 27 v?.=2x*ax*Ax;a= PC 1,87m/s? Tz, = Mzo + (g— a) = 30 » (9,81 — 1,87) = 240N T, = mp + (a+ g)= 20» (1,87 + 9,81) =230N Una esfera uniforme de masa M y radio R puede girar libremente respecto a un eje horizontal que pasa por su centro. Se enrolla una cuerda alrededor de la esfera y se une a un cuerpo de masa m como se indica en la figura. Calcular a) La aceleración del cuerpo. b) La tensión de la cuerda. | a) m:*«g-T=mxa a T*R=1*h El momento de inercia de la esfera estM+R? m*g-T=mxa T«R=Í+M+R + Obtenemos: T=2+Mra a R Substituyendo en la primera: 2 m«g-¿*Mxa =mx*a Obtenemos: me a= 2 z z Mim b) T= MA ZMtm — 2M+4Sm 68. Una máquina de Atwood posee dos objetos de masas m,=500 g y m»= 510 g, unidos por una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea sin rozamiento (figura). La polea es un disco uniforme de masa 50 g y un radio de 4 cm. La cuerda no se desliza sobre la polea. a) Hallar la aceleración de las masas. b) ¿Cuál es la tensión de la cuerda que soporta a m4? ¿Y de la cuerda que soporta a m2? ¿En cuánto difieren? o _m=508 NPSÓr4m a) T¡-m>*wg=m,*a - = 2, (2 (Ty Ty) +R=1/2<M+R?x (2) m2*g-T¿=mx*a Despejando a: a= (m2-m1):g _ (0,510-0,500)-9,81 mz+m1+3+M > 0,510+0,k500+3+0,05 = 0,0949 m/s? b) Del sistema obtenemos las tensiones: T, = my * (g + a)= 0,500 + (9,81 + 0,0949 T, = mz * (g — a)= 0,510 » (9,81 — 0,0949) AT=0,01N 69. Dos objetos cuelgan de dos cuerdas unidas a dos ruedas capaces de girar respecto a un mismo eje del modo que se indica en la figura. El momento total de inercia de las dos ruedas es de 40 kg m?. Los radios son R;=1,2 m y R,= 0,4 m. a) Si m,=24 kg, calcular el valor de m, para que sea nula la aceleración angular de las dos ruedas. b) Sise colocan con suavidad 12 kg sobre la parte superior de m,, calcular la aceleración angular de las ruedas y la tensión de las cuerdas. 9) my 4,95N 4,96 N ( | o | mg Xx a) T¡*R¡ =T,*Rz T,=m*g;T¿=m,*g m>*g*R¡=m2*g*R, m,=m*2=24+2=72 kg Rz 04 b) En este caso las ecuaciones son: (my +m) * g Ty = (m,+m) * a+Ry T¡*R¡—T¿*R¿=Ixa T¿-m*g=m,*ax*R; Despejando a: 2 1+(m,+m)+R3-mz+R3 404+(24+12)+1,224+72+0,42 1,37 rad/s a= Aplicando la segunda ley de Newton: m¿*g+*sen0 —T=m,+*a T«* 1 2,4 =1, R2x2 R ¿Mu R R Despejando a: mz*g+sen9 _ g+sen0 a = —— == 74. 1 matzomy > Vzz guseno PO zm 1 1 b) T=7*m>x*a=7=m+* c) E=m2¿*g*h d) La energía mecánica se conserva dado que no hay fricción, en esta situación es energía cinética de traslación para m, y de rotación para m,. 2 E=2xm,+*v? +iim + R2 2 2 2 R 1 1 e) m¿=grh=*m¿+ + «mv? _ |2:gh PE 20mz f) Para 0=0,a=0;T=0; E=0; v=0 Para O=90: -_2 a Z-m3 1 Y T==*m*-=7 2201 4 Zomz La velocidad es la misma. Si la masa 1es: a=g+*sen0 T=0N v=/Z=grk En la figura se muestra un dispositivo para medir el momento de inercia de un objeto. Una plataforma circular posee un tambor concéntrico de radio 10 cm alrededor del cual se arrolla una cuerda. Ésta cuerda pasa por una polea sin rozamiento y de su extremo cuelga un peso de masa M. El peso se deja caer desde el reposo y se mide el tiempo que transcurre cuando cae una distancia D. El sistema entonces se rebobina, el objeto cuyo momento de inercia se desea medir se sitúa sobre la plataforma y el sistema de nuevo se deja libre desde el reposo. El tiempo requerido ahora para que el peso descienda la misma distancia D proporciona los datos necesarios para el cálculo de l. Con M=2,5 kg y D=1,8 m, el tiempo es 4,2 s. a) Determinar el momento de inercia combinado de la plataforma, el eje del tambor y la polea. b) Con un objeto situado sobre la plataforma el tiempo es 6,8 s para D=1,8 m. Determinar el momento de inercia del objeto sobre el eje de la plataforma. a) Substituimos: T=M*xg-M+a 2 (M«g-M=a)=R=1=a;1=(Meg-M=a)=E _ 2 g_ _ 2 gue q _ 2 I=MR. (21) =M=R (EE 1) =2,5+ 0,12 x( 1,177 kg m? b) En la nueva situación: e a) ao (Pa) 3 125% 2 E =2, , =3, gm 98142 ) _ 2:18 2*D 2:1,8 Para este caso es I, =I +1¿;1,¿=1,—I I¿= 3,125-— 1,177 = 1,948 kg m? Objetos rodantes sin deslizamiento 75. Verdadero o falso: Cuando un objeto rueda sin deslizamiento, el rozamiento no realiza trabajo alguno sobre el objeto. Verdadero 76. Una rueda de radio R rueda sin deslizamiento. La velocidad del punto de la periferia que está en contacto con la superficie, relativo a la superficie es a) Igual a Rw en el sentido del movimiento del centro de masas. b) Igual a Rw en sentido opuesto al del movimiento del centro de masas. c) Cero. d) Igual a la velocidad del centro de masas en el mismo sentido. e) Igual a la velocidad del centro de masas, pero en sentido contrario. Si la rueda rueda sin patinar, un punto en la parte superior de la rueda se mueve con una velocidad dos veces mayor que la del centro de masa de la rueda, pero la parte inferior de la rueda está momentáneamente en reposo. Respuesta c. 77. Un cilindro sólido y una esfera sólida tienen una masa igual. Ambos cuerpos ruedan sin deslizamiento sobre una superficie horizontal. Si sus energías cinéticas son iguales, entonces a) La velocidad de translación del cilindro e mayor que la de la esfera. 78. 79. b) La velocidad de translación del cilindro es menor que la de la esfera. c) Las velocidades de translación de los dos objetos son iguales. d) Los resultados (a), (b) y (c) dependen de los radios de los objetos. Para el cilindro: 2 E=l+lMiRxE 2 2 R2 4E v= | M Para la esfera: p= [+£ M La respuesta correcta es la b. Partiendo del reposo al mismo tiempo, una moneda y un anillo ruedan por un plano linado sin deslizamiento. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a) Elanillo llega primero a la base del plano. b) La moneda llega en primer lugar. c) Elanillo y la moneda llegan simultáneamente. d) El resultado de la carrera depende de sus masas relativas. e) El resultado de la carrera depende de sus diámetros relativos. El momento de inercia del anillo es M,,,¿1zp * R? Para la moneda Mmoneda * R?. Consideramos las energías cinéticas: 2 Vanillo 1 = 2 2 = 2 Ecin anillo 2" Manillo * Vanillo +5 * Manillo * R* + RT Manillo * Vanillo 2 Si la cadia se da desde una latura h: Manitlo * 9 * h= Manilto * Vanillos Vanillo = /9 *h Para la moneda: 2 Umoneda — ez = 2 1 2 1.1 Ecin mmoneda — 7 * Mmoneda * V'moneda +7 *7* Mmoneda * R 2x 2 4 * Mmoneda * Vmoneda Para la caída: Mmoneda * 9 * h= z * Mmoneda * Uinoneda? Umoneda = 2* q La velocidad de la moneda es mayor. Un anillo de masa M y radio R rueda sin deslizamiento, ¿Es mayor su energía cinética de translación o su energía cinética de rotación? a) La energía cinética de translación es mayor. b) La energía cinética de rotación es mayor. c) Ambas son iguales. d) La respuesta depende del radio. e) La respuesta depende de la masa. 1 Ectras = 7 * MR? ? a 1,Mxv 2 1 1 Eorot =3* 1x0? = ¿MR? + Respuesta correcta (c) N=m+xg *cos0 f=H4*N=u*m*g*cos0 A partir del resultado de b: 2 Hem g*cos0 = ¿+= m « g «send 5 tg0 ==*p 5 0 = arctg E * a) 87. Un bote vacío de masa total 3 M rueda sin deslizar. Si su masa está distribuida como indica la figura. ¿Qué relación existe entre la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación alrededor de su centro de masas? M NM 1 Esp moev? Eeror =5* 1+ a? I=M*R?4+M+«R?4+MxR?=3xMxR? 1 v?_ 3 Ecror =3*3*M*R*G=3*Mrw? Ecrot Zerot — 3 Ectr 88. Una bicicleta de masa 14 kg lleva ruedas de 1,2 m de diámetro, cada una de masa 3 Kg. La masa del ciclista es 38 kg. Estimar la fracción de energía cinética total de la bicicleta y el ciclista asociada a la rotación de las ruedas. Eco = mov? = ¿+ (14+ 38) + w? =26:v* E¿=29*v Borat _3_ Ecroto 400) e 57 0,10; % = 10% 89. Una esfera hueca y otra sólida (y uniforme) de iguales masas m y radios R ruedan sin deslizamientos por un plano inclinado desde la misma altura H (figura). Ambas se mueven horizontalmente al salir de la rampa. Cuando las esferas chocan contra el suelo, el alcance de la esfera hueca es L. Determinar el alcance Ll” de la esfera uniforme sólida. Esfera uniforme — Esfera hueca Por conservación de energías, para la esfera hueca: 1 1,2 va 6 m«gH=hemeo + (Gema R2) «PE; oy = 59H Para la esfera maciza: 1 1,2 ve 10 megrH=hemeo + hr (eme R?) 0%; 0, 79H El punto de caída de cada bola vendrá dado por: L=vyv.= Ego Hebe L=voM= [Deg+H+<at Lo _ [1077 L 90. Un cilindro hueco y otro cilindro sólido uniforme ruedan horizontalmente sin desplazamiento. La velocidad del dro hueco es v. Ambos cilindros encuentran un plano inclinado por el que trepan sin deslizar. Si la altura máxima que alcanzan es la misma, determinar la velocidad v” del cilindro uniforme. =1,09 Para el cilindro hueco: 1 241 Di .p2= ¿Mv +3*(my+R?)+G=my=g+*h;v =g+*h Para el macizo: y2 92 ra q moxgrh;v?=z*g+h 1 12,1 =xmp¿x =x ¿Mov + vr v 3 91. Un cilindro hueco, de paredes delgadas, y una esfera sólida parten del reposo y ruedan sin deslizamiento por un plano inclinado de longitud 3 m. El cilindro llega a la base del plano 2,4 s después de la esfera. Determinar el ángulo que forma el plano inclinado con la horizontal. Para el cilindro: m«*gx*sen0-—f=mx«*a 2,4 for=me+ th f=me+a De esto: 1 a=,*g*sen0 Para la esfera: m«*gx*sen0-—f=mx«*a 2 2,4 for=amairt Despejando: a= : *gx*sen0 Como los dos salen del reposo y tienen un movimiento uniformemente acelerado: Para el cilindro: =1,(1 A Lp (Gr9 seno) 4; gaseno Para la esfera: =1,(2 2 q, = [AEL_ L= 2" G .g* seng) “4584 5+g+sen0 =4-t=|l2- [4 L saca a E Despejando: 0,332+3 2,42:9,81 0= arcsen ( ) =0,33 92. Una bola uniforme de radio r rueda sin deslizarse a lo largo de una vía que forma un bucle según se indica a la figura. Parte del reposo a la altura h por encima del punto inferior del lazo. a) Sila bola no abandona la vía en la parte superior del bucle, ¿Cuál es el valor mínimo que puede tener h en función del radio del bucle? b) ¿Cuál debería ser h si la bola hubiera de deslizarse a lo largo de una vía sin rozamiento en lugar de rodar? a) Para no abandonar la vía en la parte superior: 2 2 P-N =m+«F ¡Valor mínimo:N =0;m+g = m«+ Portanto:v=./g*R Por conservación energías: 2 m«g«h=hemevi+ temer? +meg+2<R h=2,7*R b) En este caso no hay energía cinética de rotación: me«grh=hme«v +mogr2=R h=2,5*R 93. Una rueda posee una delgada llanta de 3,0 kg y cuatro radios, cada uno de masa 1,2 kg. Determinar la energía cinética de la rueda al rodar sobre una superficie horizontal a la velocidad de 6,0 m/s. 2 EM Para el momento de inerca tenemos: 1 4 1= Mp + R? 443% Miadio * R?= Rx (Mz +2+Madio) Con esto: 98. Pr liME É Tenemos la aceleración del bloque ( as), la aceleración del cilindro (ac) respecto del suelo y la aceleración del cilindro en su rotación relativa al bloque(acg = —a * R). A¿= Ag + Acg Aplicando la segunda ley de Newton: Masam:F—f' =mxag;F, —mxg-Fy=0 Masa M: fx R=ZxM+R22 52; Fm-M*g=0;f=M+xac(1) De la ecuación de rotación de M: f= Mac =f' (2) Para la ecuación x de m: F-2+M=acp=m>-=ap Utilizando a, = ag —a*R;Rx*a=agz- a, y (1)Y (2): ¿+M+(a5—a,)=M+a; Agp =3x* ac Por tanto: F-f'=mx*az ¡F-M+a¿=m«ap;F-M+Zxap =mx az Despejando: F 3F Ay = = B maloM 3-m+M 97. (a) Determinar la aceleración angular del cilindro en el problema 96. ¿es horaria o anti horaria la rotación del cilindro? (b) Cual es aceleración lineal del cilindro respecto a la mesa? Tomemos como sentido el mismo que indica la dirección de F. (c) ¿Cuál es la aceleración del cilindro respecto del bloque? a) Apartir de las mismas ecuaciones del problema 96: 2 _ cg _ Aga. 20. 2 R R R R > Rx(3=m+M) Sentido anti horario. ap F bja¿ =%= Va aa 3F -2F F Da a a a Fan Si la fuerza del problema 96 actúa a lo largo de una distancia d, determinar a) La energía cinética del bloque. b) La energía cinética del cilindro. c) Demostrar que la energía cinética total es igual al trabajo realizado sobre el sistema. 3F Fm” A Usando al valor de aceleración encontrado en el problema anterior. a) vi=2ragrd=2* 1 2 _ 3F=m Fam Eca= MO E B 2 3:m+M m+h-M b) Usando la aceleración encontrada en el problema 96: F aC mM Dado que esta aceleración es tres veces menor que la de B, la velocidad de Cserá tres veces menor que la de B. 2_v2_2 _3F rd=? E C "99 3:m+M 3" 3:m+M La energía cinética de traslación del cilindro es: 1 2. 3F F=-M:d SN A AOS Ectrasc MA 3-(3-m-M) Para la energía cinética de rotación del —=1,(1 2 Evotscitin = 5 + (q M + R?) +22 La aceleración de rota Acg = A¿— Ag=-2*0c Por tanto, la velocidad será dos veces la de b: V(p = -2*Vc 2 _ 2__ 8:Fed =4x* =P Vip = 4 *vC 3-(3:-m+M) E _ 8-F-d 2F=d+M rot,cilin y 3-(3:m+M) 3:(3=m+M) Sumando: F-M+d Ec. = Ecsras e + Erotcilin = Ty) FaMid 3=Fsmed M+3=m' gd E, - a Pd (E) — Pd ) Ecintotal = ma 3 mim 3-m+M. 99. Una boli ialmente en reposo en el punto más alto de una gran esfera fija, comienza a rodar sin deslizamiento por la superficie de la esfera (figura). Determinar el ángulo desde el polo de la esfera hasta el punto donde la bolita pierde el contacto con aquella, El radio de la bolita es 1 cm y el de la esfera 80 cm. A => ll Para “saltar” de la esfera: 2 N=m*% R 2 y m+g*cos0=m+*F;v? =g*Rx*cos0 Teniendo en cuenta la conservación de energías, considerando h=0 en el centro de la esfera: m»g+R=leme»v?+ lo (2omor2) ++ mo g + (R»c050) g+R==g+R+c0s0 +3 g+R=c0s0 +g+*R+*c0s0 ? ;¡0= arccos (2) = 540 Rodadura con deslizamiento 100. Verdadero o falso: Cuando una esfera rueda y desliza sobre una superficie rugosa la energía mecánica se disipa. Verdadero, si desliza la fuerza de fricción disipará energía. 101. Untaco de billar golpea una bola en un punto muy próximo a su parte más superior, de modo que comienza a girar sobre sí misma. Como desliza la fuerza de rozamiento a) Incrementa Vem. b) Decrece Vcm. c) Notiene efecto sobre Vem. Debido a que la bola se golpea lo suficientemente alto como para tener un efecto liftado, la fuerza de fricción está hacia adelante; reduciendo w hasta que se cumpla la condición antideslizante. (a) Es correcta. cos0 = 102. Enuna bolera se lanza una bola de masa M y radio R de modo que en el instante que toque el suelo se esté moviendo con una velocidad v, sin rodamiento. La bola desliza durante un tiempo t; a lo largo de una distancia si, antes de empezar a rodar sin deslizamiento. a)Si , es el coeficiente de rozamiento por deslizamiento entre la bola y el suelo, calcular s,t, y la velocidad final v, de la bola. b)Determinar la relación entre la energía mecánica final e inicial de la bola. Cc) Evaluar estas magnitudes para vo=8 m/s y 1 =0,06. a)Para el tramo de deslizamiento: f.=—t¿*M*g=Mxacn; Acn = —Ho* g Ven = Vo — ACM*t=V— Mor grt Para el momento tenemos: T=1xa po MegR=(¿=M+R?)+a a=3,109 2 R Para la velocidad angular tenemos: 0=w+axt=art= tb La condición de rodadura es vcy =R+*0w : Dv) M19 rt Ro Reid Despejando el tiempo: 2»v, => 17 720019 Para la distancia: 2 = 1 2 2v, 1 2D, $1 =V)*t1+7*0 xt ar (e) _ 122 > 49-19 Con la velocidad: D=v Hr gr 2-19 1 o e *g 7=10*g 5 V1 =>7*Vo 106. m-vy Fmed Fmed * At =m+*0v,; At = Substituimos: mv) _ (2 2 Fmed + (hr) 2% = (E mer )- 00 med 5, (h-r)ww _ 5, (0,09-0,05):-200 _ o A 8000 rad/s LON Por la segunda ley de Newton: f, =m*a;u*m*g=mx*a;a=uxg N=mxg Para la rotación: f,*r=Ix*a Para la velocidad tenemos: v=axAt=pux*gx*At Utilizando la ecuación de la rotación: Lor petor 5,109 a= = = 1 Pomar 2 gamer r Teniendo en cuenta m.c.u.a: 5 e 0= 0) 0+ A =0) + Er At Para la velocidad lineal: V+HU*grdt=r*0, Despejando At: 0,05-8000-200 y A Ss = 11,6 s (d) 2 7 Por tanto: V=V,+H+*g * At =200+0,5x 9,81 + 11,6 =257m/s Una bola de billar de 0,3 kg y radio 3 cm es golpeada por el taco mediante un impulso horizontal que pasa por su centro. La velocidad inicial de la bola es 4 m/s. el coeficiente de rozamiento cinético es 0,6. a) ¿Durante cuántos segundos desliza la bola antes de que comience a rodar sin deslizamiento? b) ¿Cuál es el tiempo de deslizamiento? c) ¿Cuál es su velocidad cuando comienza a rodar sin deslizamiento? a) La fuerza resultante sobre la bola es la fuerza de rozamiento. f,=m*a;u*m*g=mx*a;a=uxg Vem = Vo —- AX At =vW, — Mo» g+* At Para la rotación: emeger _ 5 e T=p*m«g«r=I*a; a=! > =p r Tenemos para la rotación: =w) +axd=axpt=h+ (52) «ar Para la traslación: Dem =V) + g At Imponemos la condición de rodar sin deslizamiento: v=rx0w 0) gr E (52) El tiempo pedido es: Bv) A 7=4xg 7:0,6-9,81 0,1945 b) Para rodar sin deslizar: 0=2,86-0,6+*9,81:t, 2,86 = 0,49 s 0,6-9,81 c) La velocidad en este momento es: v=4-—0,6+* 9,81: 0,194 = 2,86 m/s (c) 107. Una bola de billar inicialmente en reposo recibe un golpe instantáneo mediante un taco. El impulso es horizontal y se aplica a una distancia 2R/3 por debajo de la línea central (figura). La velocidad inicial de la bola es vo y el coeficiente de rozamiento cinético hc. ti= Q= a) ¿Cuál es la velocidad angular inicial wo? b) ¿Cuál es la velocidad de la bola una vez que comienza a rodar sin deslizamiento? c) ¿Cuál es la energía cinética inicial de la bola? d) ¿Cuál es el trabajo de rozamiento realizado por la bola cuando desliza por la mesa? Prot =Fim*(h=R)*At=1x0, Prot = Peras *(h—R) =m+v,+(h—-R)=1+0, Despejando la velocidad inicial: 2 con — PEDOSAR) _ mevor(i=R) _ PoR _ 5, ve o 1 Zoo R2 2.92 3 R Aplicando la segunda ley de Newton: fro R=I+a;u=m«g+R=hmeRa F, =m=x*g Froz = Ma; p=m*g=-mxa; a=-4xg Despejando la aceleración angular en la primera: 59 2+R La velocidad angular en un momento dado: 009 +arM= 0) + oa Ae La velocidad lineal en un momento dado: V=V,+Ax* At =v,-— ur grat Teniendo en cuenta la condición de rodar sin deslizamiento: v=R:*w 5-pg 2R », ue gradt= (0, + =0t)+R Despejando el tiempo: 16-v, a = 2% 21:99 -1 2 Ecini =7*Mxv, 2 a 2 11 2.032 Eo final =3* M+ (¿+v,) +3*7*M*R*=(G) 2 2 1 2 1 Eofinal =Z+ Moo +h+M + (¿+v,) =3*Mxvy? W, fr ——=1/3 Ec.int / Problemas generales 110. El momento ejercido por la atracción gravitatoria terrestre sobre un satélite de telecomunicación en órbita es un vector a) ido hacia la Tierra. b) Dirigido paralelamente al eje terrestre hacia el polo norte. c) ido paralelamente al eje terrestre hacia el polo sur. d) Dirigido hacia el satélite. e) Nulo. La correcta es la b 111. La Luna gira sobre sí misma al mismo tiempo que gira alrededor de la Tierra, de modo que muestra siempre la misma cara. Utilizar este hecho para determinar la velocidad angular (en rad/s) de la Luna alrededor de su eje. (El periodo de revolución de la Luna alrededor de la Tierra es 27,3 días). lrev_ 2+mrad 1dia 1hora _ -6 27,3dias ' 1revv "24h 36005 2,66 10" rad/s 112. Determinar el momento de inercia de un aro alrededor de un eje perpendicular al plano del aro que pase por un punto de su borde. Ay *di = RdO Y m mer? *Rx*d0= zon R*d0 == I=fdm+*R?=R?*f2+dl=R?*f Aplicando el teorema de ejes paralelos: I=m*R?4m+«R?=2xmxR? 113. Con objeto de poner en marcha un tiovivo, se enrolla una cuerda alrededor de él y se tira de la misma. Se ejerce durante 12 s una fuerza de 260 N sobre la cuerda. Durante este tiempo el tiovivo, que tiene un radio de 2,2 m, realiza una rotación completa. +1," d0=mx*R? a) Hallar la aceleración angular del tiovivo admitiendo que es constante. b) ¿Qué momento ejerce la cuerda sobre el tiovivo? c) ¿Cuál es el momento de inercia del tiovivo? a) 10=l+axa82; a= 22-222 - 0,0873 rad/s? 2 Ati 144 b) T=F*R=260*2,2=572N <m [2 6,5510 kgm? =Ix*ajl=%= e) T=1+a31 a 0,0873 114. Un disco uniforme de radio 0,12 m y masa 5 kg tiene un eje central de modo que puede girar libremente a su alrededor. Se enrolla una cuerda alrededor del disco y se tira de ella con una fuerza de 20 N(figura). a) ¿Cuál es el momento ejercido por el disco? b) ¿Cuál es la aceleración angular del mismo? c) Siel disco parte del reposo, ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 s? d) ¿Cuál es su energía cinética después de 5 s? e) Hallar el ángulo total O que gira el disco en 5 s. f) Demostrar que el trabajo realizado por el momento, TA8 es igual a la energía cinética. a) T=F*R=20+0,12=2,40Nm FR 2F _ 2:20 T =Ixaja== = = b) T=I+a;a 1 PM Re M=R 5:0,12 c) w=ax*At=66,7*5 = 333 rad/s a) E¿= Lx = hh MR? 0? =L+ 50,12? + 333? = 2000 kJ = 66,7 rad/s? e 0 = rara =7+66,7+5* =834 rad ) W=t+40=I=<a+]+axatl =h+1<(a+ 00? =2=1<w? 115. Una barra de 0,25 kg y longitud 80 cm está suspendida de un pivote sin rozamiento por un extremo. Se mantiene horizontalmente y se deja en libertad. Inmediatamente después de su liberación, a) ¿Cuál es la aceleración del dentro de la barra? b) ¿Y la aceleración inicial de un punto del extremo de la barra? c) Determinar la velocidad lineal del centro de la barra cuando está en posición vertical. L_1 T=Ixam«g*=3me«l? a 3,9-3,981 L 2 089 3.g L_3 2 Talal=lrxg= ME) 7,36m/s a=3 2 a=arxX=> «L=2=g=14,72m/s* = 18,4 rad/s? b) a=axx= L-1,1 2 2 xgr=o=ltrLlsmxl?* c) mg 2733 Mw 1 m«g+L=¿*me*1?*o? v=wrx= [PL 3591 = 3 V3%9,81+0,80 = 2,43 m/s Lo2 116. Una barra uniforme de longitud 3 L está pivotada como se muestra en la figura y se mantiene en una posición horizontal. ¿Cuál es la aceleración angular inicial a de la barra si se deja en libertad? Tt=Ixa El momento de inercia será, el del centro es 1/12*M*L?: 2 M4 M+ (251) =1,Mx12 12 6 9 «(2:7+9)-3-M+12+a a Pin o 29 L 117. Una barra uniforme de longitud L y masa m está pivotada por el medio como indica la figura. En uno de los extremos tiene una masa 2m. Si el sistema se deja en libertad desde una posición horizontal, ¿Cuál es la velocidad máxima de la carga? 123. Deducir el llamado teorema de los ejes perpendiculares para figuras planas que relaciona los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares al plano de la figura con el momento de inercia respecto a un tercer eje perpendicular al plano de la figura. Considerar el elemento de masa dm de la figura situado en el plano xy. a) Expresar el momento de inercia de la figura respecto al eje z en función de dm y r. b) Relacionar la distancia r a dm con las distancias x e y y demostrar así que l,=1,+l,. c) Aplicar este resultado a la determinación del momento de inercia de un disco uniforme de radio R respecto a un diámetro del disco. 2 dl, =dm«*x dl, = dm» y? dl, =dm«*r? dl, + dl, = dm+x (2 + y?) = dm + 1? = dl, Por tanto: 1,+Ly=L Para el disco considerado 1, = Por tanto: L=%1L,=%M+*R? 2 4 124. Un disco uniforme de radio R y masa M pivota alrededor de un eje horizontal que pasa por su borde, paralelamente al eje de simetría, de tal manera que puede oscilar libremente en un plano vertical (figura). Desde una posición de reposo, con su centro de masas a la misma altura que el pivote, se deja en libertad. a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco cuando su centro de masas está directamente por debajo del pivote? b) ¿Qué fuerza ejerce el pivote en ese momento? b) Sobre el pivote actúa una fuerza F, de forma que: 2 F-M*g=M+==M+0?*R 125. F=M=g+M=w%R=M«g+M=Z2R F=l=M=g Un carrete de masa M descansa sobre un plano inclinado a una distancia D medida desde el fondo. El carrete tiene un radio máximo R y un radio mínimo r, y un momento de inercia | respecto a su eje. Una larga cuerda de masa despreciable se arrolla múltiples veces alrededor del centro del carrete y el otro extremo se sujeta a la parte más alta del plano inclinado de modo que la cuerda siempre se mantiene paralela al plano como muestra la figura. a) b) Supongamos que inicialmente la pendiente está recubierta de una capa de hielo, de modo que no hay rozamiento. ¿Cómo se mueve el carrete al descender por la pendiente? Utilizar consideraciones energéticas para determinar la velocidad del centro de masas del carrete cuando alcanza la base del plano inclinado. Dar la respuesta en función de M, l, r, R, g, D y O. Supongamos ahora que el hielo ha desaparecido y que cuando se deja el carrete en libertad hay suficiente rozamiento para evitar el deslizamiento sobre la pendiente. ¿Cuál es en este caso la dirección y magnitud de la fuerza de rozamiento? | El carrete baja por el plano inclinado acelerando hacia ab ajo y girando a causa de la tensión en sentido anti horario. Por energías, el trabajo de T se invierte en rotación, tenemos: 2 M+=g+Desen0=3=M+v+h=1 + (>) 2-M»g+D=sen0 NE AUN M+z b) fe Psin0 PcosO Con las condiciones dadas: M+*g+*sen0 -—T-f,¿=0 0; Ter =f «RR TE Substituimos T: M«g«seng LL -f,=0 r Despejando la fuerza de rozamiento: f.= M=g+sen0 _ M=g+seng+r o A ESA 126. Unjoven propone la siguiente modificación en el juego de hockey sobre hielo. En lugar del usual castigo de dos minutos sin jugar, el infractor será metido dentro de un barril en medio del campo y se le haría girar como una peonza por el equipo contrario. Una vez bien mareado, regresaría al campo de juego. Suponer que el jugador penalizado se introduce en un cilindro uniforme de 100 kg y 0,60 m de radio sobre hielo liso. Dos patinadores arrollan cuerdas alrededor del disco en el mismo sentido. Cada uno de ellos tira de su cuerda y patina alejándose de modo que ejercen fuerzas constantes de 40 N y 60 N, respectivamente, durante 6 s (figura). Describir el movimiento del cilindro. Es decir, ¿Cuál es la aceleración, la velocidad y la posición del centro de masas en función del tiempo? 44% r+R r El cilindro se mueve hacia la derecha con m.r.u.a y girando en sentido anti horario. Aplicando la segunda ley de Newton, durante los primeros 6 s: 60-40=mx*xa a == 00 2 0.2% El centro de masas tendrá m.r.u.a: v=axt=0,2*t x= nar 2=01+8 A partir del segundo 6 el cilindro se traslada con m.r.u., la velocidad del centro de masas será 1,2 m/s. Para la rotación tenemos: 100+R=(M+R2)+a;a=22=-20% -333:2 M=R 100:0,6 s El movimiento circular uniformemente acelerado tendrá durante los 6 s las ecuaciones: w=axt=3,33x*t 0= art =1,67+8 A partir del segundo 6 gira con movimiento circular uniforme de velocidad 19,98 rad/s. Por tanto, para todo el sistema: IS Mer MA mer 2 ma? Substituyendo valores: 1=+0,8:0,22 ++0,8-1,87+3+0,2- 0,27 +2+0,2-0,8 = 0,492 Nm? W =3+0,492 +24? +2+230,4+0,4 = 160,1] 130. Supongamos que en el sistema descrito en el problema 129, las constantes de los muelles, son para cada uno 60 N/m. El sistema parte del reposo y lentamente acelera hasta que las masas se encuentran a 0,8 m del centro del cilindro. ¿Qué trabajo se ha realizado en este problema? Sobre las masas interiores aplicamos la segunda ley de Newton: kx*Ax=mxw? *(x+Ax) k*Ax m«(x+Ax) 600,4 0,2:*0,8 w= = 12,2 rad/s W=hIat+ hake a w =3> 0,492 x 12,2? + 60:0,42=41,4] 131. Una cuerda se arrolla alrededor de un cilindro uniforme de radio R y masa M que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se tira horizontalmente de la cuerda desde la parte superior con una fuerza F. a) Demostrar que la aceleración angular del cilindro es doble que la necesaria para rodar sin deslizamiento, de modo que el cilindro desliza hacia atrás contra la mesa. b) Determinar la magnitud y dirección de la fuerza de rozamiento entre la masa y el cilindro necesaria para que el cilindro ruede sin deslizar. ¿Cuál es la aceleración del cilindro en este caso? a) Tus Sino hay fricción, f=0. F*R=Ix*a F«R=]+M+R <a 2F wr Para la traslación: F=M + Am La condición de rodar sin deslizar es: a =mm-=E Ro MPR Tenemos una aceleración doble de la necesaria. b) Consideramos el eje de rotación el punto de contacto con la superficie. Fr2*R=Ix*a — PER 1 El momento de inercia del cilindro reswpecto del eje de rotación es : I=M+R?+M+R?=Z+MeR? DR 4 a=4ER + 1 3-M=R La aceleración del centro de masas es: 4r =axR= Acm= A*R mM Por la segunda ley de Newton: F+f=M* Adm pm rior 132. Enla figura se muestra un cilindro sólido de masa M y radio R al cual se supone un cilindro hueco de radio r. Alrededor del cilindro se arrolla una cuerda. El cilindro sólido descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre el cilindro y la superficie es p.. Si se aplica una ligera tensión a la cuerda en dirección vertical, el cilindro rueda hacia la izquierda; si la tensión se aplica con la cuerda extendida horizontalmente, el cilindro rueda hacia la derecha. Determinar el ángulo que debe formar la cuerda con la horizontal para que el cilindro permanezca estacionario al aplicar una pequeña tensión a la cuerda. El diagrama de fuerzas es: El punto de giro es la base del cilindro, la única fuerza que tendrá momento es la tensión. Para el caso de que tengamos el ángulo €, el momento será nulo si la línea de acción de la tensión pasa por el punto de apoyo del cilindro, como se ve en el dibujo. coso =_ ¡0= arccos (2) 133. Un cilindro homogéneo pesado tiene una masa m y un radio R. Se ve acelerado por una fuerza T que se aplica mediante una cuerda arrollada a lo largo de un tambor ligero de radio r unido al cilindro (figura). El coeficiente de rozamiento estático es suficiente para que el cilindro ruede sin deslizar. a) Hallar la fuerza de rozamiento. b) Hallar la aceleración a del centro del cilindro. c) ¿Es posible escoger r de modo que a sea mayor que T/m? ¿Cómo? d) ¿Cuál es el sentido de la fuerza de rozamiento en la circunferencia descrita en la parte c? a) Aplicando la segunda ley de Newton: Tf, =M* Ac N=mxg Ter=f «R=Ia= IE Ter —f,«R=]M+ RF Despejando la fuerza de rozamiento en la última ecuación: - Er f=E Poniendo este valor en la primera ecuación: Ter Tr (E =1*Mx * Gem) = MA Aer Despejando la aceleración: Som y * (1 +5) Usando este valor en la expresión obtenida para la fuerza de rozamiento: Tr 1 Tr 1 2-T f.= =* Mom = Mo (5 -(1+7)) 1 23*M*4Qom R Operando: TO far EC) b) Encontrado en a: 27 Lem y -(1 + 2) C) Acm > d) En este caso: 2 > 1;portantof, > 1. La fuerza tendrá el sentido de la tensión. 134. Se hace pasar un eje por uno de los extremos de una barra uniforme de longitud L y masa M de modo que la barra cuelgue de él. La barra se suelta desde el reposo formando un ángulo 6, con la vertical. Demostrar que cuando el ángulo con la velocidad es 6, el