Problemas Tipler . Capìtulo 4. Leyes de Newton 1, Ejercicios de Física

¡Descarga Problemas Tipler . Capìtulo 4. Leyes de Newton 1 y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! LEYES DE NEWTON 1. Capítulo 4 TIPLER Primera ley de Newton: La lay de la inercia. 1. ¿Cómo podemos distinguir si un sistema de referencia determinado es un sistema de referencia inercial? En mecánica newtoniana se dice que un sistema de referencia es no inercial cuando en él no se cumplen las leyes del movimiento de Newton. Dado un sistema de referencia inercial, un segundo sistema de referencia será no inercial cuando describa un movimiento acelerado con respecto al primero. 2. Se ha determinado que un objeto en un sistema particular posee una aceleración a sin que actúen sobre él fuerzas de ningún tipo. ¿Cómo podría utilizarse esta información para obtener un sistema de referencia inercial? Nuestro sistema es no inercial, por tanto, podemos considerar que un sistema inercial visto des de él tendrá una aceleración –a. Fuerza, masa y segunda ley de Newton. 3. Si un objeto no posee aceleración en un sistema de referencia inercial, ¿quiere esto decir que sobre él no actúa ningún tipo de fuerzas? La fuerza resultante es nula, pero pueden actuar fuerzas, siempre que se contrarresten. 4. Si sobre un objeto actúa una sola fuerza, ¿acelerará el objeto en un sistema de referencia inercial? ¿Puede tener velocidad cero alguna vez? Sí. Si el objeto tiene una aceleración de sentido contrario a la velocidad podrá tener en algún momento velocidad nula. 5. Si sobre un objeto actúa una sola fuerza conocida, ¿podemos saber en qué dirección se movería el objeto (no teniendo otra información)? No. Dependerá de la relación entre la velocidad y la fuerza (misma dirección, diferente dirección). 6. Se observa que un objeto se mueve a velocidad vectorial constante en un sistema de referencia inercial. Esto significa a) Que ninguna fuerza actúa sobre el objeto. b) Que una fuerza constante actúa sobre el objeto en la dirección del movimiento. c) Que la fuerza neta que actúa sobre el objeto es cero. d) Que la fuerza neta que actúa sobre el objeto es igual y opuesta a su peso. C 7. Un cuerpo se mueve con velocidad escalar constante en línea recta en un sistema de referencia inercial. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Ninguna fuerza actúa sobre el cuerpo. b) Una sola fuerza constante actúa sobre el cuerpo en la dirección del movimiento. c) Una sola fuerza constante en dirección opuesta al movimiento actúa sobre el cuerpo. d) Una fuerza neta cero actúa sobre el cuerpo. e) Una fuerza neta actúa sobre el cuerpo en la dirección del movimiento. D 8. La figura muestra la gráfica de posición x en función del tiempo t de una partícula que se mueve en una dimensión. ¿Durante qué periodo de tiempo existe una fuerza neta actuando sobre la partícula? Dar sentido + o – dela fuerza neta en estos instantes. Cuando la gráfica es lineal, la velocidad es constante, no existe aceleración, la fuerza resultante será cero. Esto ocurre entre 0 y 2 s i a partir de los 8 s. En el tramo entre 2 y 3 s, aproximadamente, el cuerpo pierde velocidad positiva y está llega a ser cero (aproximadamente a los 3 s). La fuerza será negativa. A partir de los 3 s la fuerza continúa siendo negativa y la velocidad pasa de ser cero a aumentar negativamente. Alrededor de los 5 s la fuerza cambia de sentido, pasa a ser positiva, y el cuerpo pierde velocidad, hasta llegar a los 7 s dónde la velocidad es cero. La fuerza continúa actuando hasta los 8 s y la velocidad aumenta en sentido positivo. Alrededor de los 8 s la fuerza deja de actuar y la velocidad se mantiene constante. 9. Una partícula de masa m se mueve a una velocidad inicial vo=25,0 m/s. Cuando una fuerza neta de 15,0 N actúa sobre ella, alcanza el reposo después de recorrer 62,5 m. ¿Cuál es el valor de m? a) 37,5 kg b) 3,00 kg c) 1,50 kg d) 6,00 kg e) 3,75 kg La partícula tendrá m.r.u.a. 𝒗𝟐 − 𝒗𝒐 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 −𝟐𝟓𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝟔𝟐,𝟓 𝒂 = − 𝟓 𝒎/𝒔𝟐 ?⃗? 𝒓 = 𝒎 ∗ ?⃗? 𝒎 = 𝟏𝟓 𝟓 = 𝟑 𝒌𝒈 Respuesta correcta b. 10. a) Un objeto experimenta una aceleración de 3 m/s2 cuando sobre él actúa una cierta fuerza Fo. ¿Cuál es su aceleración si la fuerza se duplica? b) Un segundo objeto experimenta una aceleración de 9 m/s2 bajo la influencia dela fuerza Fo.¿Qué relación existe entre las masas de los dos objetos? c) Si los dos objetos se atan juntos, ¿qué aceleración producirá la fuerza Fo? En los primeros 3 s la velocidad aumenta uniformemente, por tanto: 𝒂 = ∆𝒗 ∆𝒕 = 𝟑 − 𝟎 𝟑 = 𝟏 𝒎/𝒔𝟐 𝑭 = 𝟖 ∗ 𝟏 = 𝟖 𝑵 Entre 5 y 6 s el movimiento vuelve a ser uniformemente acelerado: 𝒂 = ∆𝒗 ∆𝒕 = 𝟎 − 𝟑 𝟏 = −𝟑 𝒎/𝒔𝟐 𝑭 = 𝟖 ∗ (−𝟑) = −𝟐𝟒 𝑵 En los tramos intermedios podemos suponer que la fuerza varia uniformemente entre los valores inicial y final. T(s) F( N) 0 8 3 8 4 0 5 -24 6 -24 7 0 8 24 17. Un objeto de 4 kg está sometido a la acción de dos fuerzas F1=2 N i – 3 N j y F2=4 N i - 11 N j. El objeto está en reposo en el instante t=0. a) ¿Cuál es la aceleración del objeto? b) ¿Cuál es su velocidad en el instante t = 3 s? c) ¿Dónde está el objeto en el instante t = 3 s? a) 𝑭𝑹⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝟔 𝑵𝒊 − 𝟏𝟒 𝑵 𝒋 ?⃗? = ?⃗? 𝑹 𝒎 = 𝟏, 𝟓 𝒎 𝒔𝟐 𝒊 − 𝟑,𝟓 𝒎 𝒔𝟐 𝒋 -30 -20 -10 0 10 20 30 0 2 4 6 8 10 F b) ?⃗? = 𝟏, 𝟓 ∗ 𝒕 𝒊 − 𝟑,𝟓 ∗ 𝒕 𝒋 (𝒆𝒏 𝒎 𝒚 𝒔) ?⃗? (𝟑) = 𝟏,𝟓 ∗ 𝟑 𝒊 − 𝟑, 𝟓 ∗ 𝟑 𝒋 = 𝟒,𝟓 𝒎 𝒔 𝒊 ⃗⃗⃗ − 𝟏𝟎,𝟓 𝒎 𝒔 𝒋⃗⃗ ⃗ c) Suponemos que el objeto parte del origen de coordenadas. ?⃗? = 𝟎, 𝟕𝟓 ∗ 𝒕𝟐𝒊 − 𝟏,𝟐𝟓 ∗ 𝒕𝟐𝒋 ?⃗? (𝟑) = 𝟎,𝟕𝟓 ∗ 𝟑𝟐 𝒊 − 𝟏,𝟐𝟓 ∗ 𝟑𝟐𝒋 = 𝟔, 𝟕𝟓 𝒎 ?⃗? − 𝟏𝟏,𝟐𝟓 𝒎 𝒋 Peso y masa 18. Un objeto se envía al espacio, lejos de galaxias, estrellas u otros objetos. ¿Cómo se modifica su masa? ¿Y su peso? La masa no se modifica, el peso si, será 0. 19. ¿En qué circunstancias una astronauta en estado de ingravidez aparente toma consciencia de su propia masa? Para acelerar deberá aplicar una fuerza proporcional a su masa. 20. ¿En qué circunstancias el peso aparente de una persona puede ser mayor que su peso real? En los momentos en que sufra aceleraciones verticales. 21. Sobre la Luna, la aceleración debida a la gravedad es sólo 1/6 de la que existe en la Tierra. Un astronauta cuyo peso en la Tierra es 600 N se desplaza a la superficie lunar. Su masa medida en la Luna será a) 600 kg b) 100 kg c) 61,2 kg d) 9,81 kg e) 360 kg La c. En la Tierra P=m/g, la masa es constante. 22. Especificar el peso de una muchacha de 54 kg en a) newtons b) libras. a) P=m*g=54*9,8=529,2 N b) 𝟓𝟐𝟗,𝟐 𝑵 𝟏 𝒍𝒃 𝟒,𝟒𝟓 𝑵 = 𝟏𝟏𝟖,𝟗 𝒍𝒃 23. Determinar la masa de un hombre de 165 lb en kg. 𝟏𝟔𝟓 𝒍𝒃 𝟒,𝟒𝟓 𝑵 𝟏 𝒍𝒃 = 𝟕𝟑𝟒,𝟐𝟓 𝑵 Si estemos en la Tierra, g = 9,81 N/kg. 𝟕𝟑𝟒,𝟐𝟓 𝑵 𝟏 𝒌𝒈 𝟗,𝟖𝟏 𝑵 = 𝟕𝟒,𝟗 𝒌𝒈 24. Despu´s de ver un documental sobre el espacio en la televisión, Luis especula sobre la posibilidad de ganar dinero combinando el fenómeno de la ingravidez con el deseo de adelgazar de la población en general. Estudiando el tema, aprende que la fuerza gravitatoria sobre una masa m a una altura h sobre la superficie de la tierra viene dada por la expresión 𝑭 = 𝒎 𝒈 𝑹𝑻 𝟐/(𝑹𝑻 + 𝒉) 𝟐, donde RT es el radio de la Tierra ( aproximadamente 6370 km y g es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. a) Utilizando esta expresión, determinar el peso en newtons y libras de una persona de 83 kg en la superficie de la Tierra. b) Si esta persona fuera rica y consciente de su peso y Luis consiguiera venderle un billete para un viaje espacial a 400 km de altura sobre la superficie terrestre, ¿Cuánto peso perdería? c) ¿Cuál sería la masa de esta persona a esta altura? a) La expresión en la superficie de la Tierra, h=0, nos queda: 𝑭 = 𝒎𝒈 = 𝟖𝟑 ∗ 𝟗,𝟖𝟏 = 𝟖𝟏𝟒 𝑵 𝟖𝟏𝟒 𝑵 𝟏 𝒍𝒃 𝟒,𝟒𝟓 𝑵 = 𝟏𝟖𝟑 𝒍𝒃 b) 𝑭 = 𝟖𝟑 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (𝟔𝟑𝟕𝟎)𝟐 (𝟔𝟑𝟕𝟎+𝟒𝟎𝟎)𝟐 = 𝟕𝟐𝟏 𝑵 Peso perdido: 814-721=93 N c) La masa es la misma en los dos lugares. 25. Una joven astronauta aterriza su vehículo espacial sobre un planeta desconocido. Aunque carece de mapas y la visibilidad es escasa, consigue ponerse en contacto con una persona a través de un canal local de comunicación y le pregunta la dirección que debe seguir para llegar a la Tierra. La respuesta es “Ud. Se encuentra en la Tierra”. La astronauta, sin embargo, desconfía y deja caer una bola de plomo de 76,5 g desde la parte más elevada de su cápsula que está a 18 m por encima de la superficie del planeta. La bola tarda 2,5 s en llegar al suelo. a) Si la masa de la astronauta es de 68,5 kg, ¿Cuál será su peso en este planeta? b) ¿Está ella sobre la Tierra? a) La bola caerá con m.r.u.a. y aceleración g. ∆𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 𝒈 = 𝟐 ∆𝒚 𝒕𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟖 𝟐, 𝟓𝟐 = 𝟓, 𝟕𝟔 𝒎/𝒔𝟐 𝑬𝒍 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒂𝒔𝒕𝒓𝒐𝒏𝒂𝒖𝒕𝒂 𝒔𝒆𝒓á:𝑷 = 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟔𝟖,𝟓 ∗ 𝟓,𝟕𝟔 = 𝟑𝟗𝟓 𝑵 b) No está sobre la Tierra donde g= 9,81 m/s2. Tercera ley de Newton 26. Verdadero o falso. a) Las fuerzas de acción-reacción nunca actúan sobre un mismo cuerpo. b) La acción es igual a la reacción sólo si los cuerpos no están acelerándose. a) Verdadero. b) Falso. 27. Un hombre de 80 kg patina sobre el hielo empujando a un muchacho de 40 kg, también sobre patines, con una fuerza de 100 N. La fuerza ejercida por el muchacho sobre el hombre es de: a) 200 N b) 100 N c) 50 N d) 40 N Correcta la b. 28. Un muchacho sostiene un pájaro en su mano. La fuerza de reacción ejercida por la mano del muchacho sobre el pájaro es a) La fuerza de la Tierra sobre el pájaro. b) La fuerza del pájaro sobre la Tierra. c) La fuerza de la mano sobre el pájaro. d) La fuerza del pájaro sobre la mano. e) La fuerza de la Tierra sobre la mano. La correcta es la d. La fuerza de reacción al peso del pájaro es a) La fuerza de la Tierra sobre el pájaro. b) La fuerza del pájaro sobre la Tierra. c) La fuerza de la mano sobre el pájaro. d) La fuerza del pájaro sobre la mano. e) La fuerza de la Tierra sobre la mano. Correcta es la b. Fuerzas de contacto 33. Un muelle vertical, cuya constante de fuerza vale 600 N/m está unido a un bloque de 12 kg que descansa sobre una mesa horizontal de modo que el muelle ejerce una fuerza hacia arriba sobre el bloque. El muelle se alarga 10 cm. a) ¿Qué fuerza ejerce el muelle sobre el bloque? b) ¿Qué fuerza ejerce la superficie sobre el bloque? a) Sobre el bloque actúan tres fuerzas, la fuerza que hace el muelle sobre el bloque será la fuerza elástica: La resultante ha de ser cero. 𝑵 + 𝑭𝒆𝒍𝒂𝒔 − 𝑷 = 𝟎 𝑭𝒆𝒍𝒂𝒔 = 𝒌 ∆𝒍 = 𝟔𝟎𝟎 ∗ 𝟎,𝟏 = 𝟔𝟎 𝑵 b) La fuerza pedida es N. 𝑵 = 𝑷 − 𝑭𝒆𝒍𝒂𝒔 = 𝟏𝟐 ∗ 𝟗,𝟖 − 𝟔𝟎 = 𝟓𝟕,𝟔 𝑵 34. Un bloque de 6 kg se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento y está unido a un muelle horizontal de constante elástica 800 N/m. Si el muelle se alarga 4 cm desde su posición de equilibrio, ¿Cuál es la aceleración del bloque? La fuerza elástica es la responsable del movimiento del bloque. 𝑭𝒆𝒍𝒂𝒔 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒌 ∗ ∆𝒍 = 𝒎 ∗ 𝒂 𝒂 = 𝒌 ∗ ∆𝒍 𝒎 = 𝟖𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟒 𝟔 = 𝟓, 𝟑𝟑 𝒎/𝒔𝟐 35. La aceleración a en función de la longitud L del muelle, observada cuando una masa de 0,5 kg es arrastrada por un muelle a lo largo de una mesa sin rozamiento, viene indicada en la siguiente tabla: L(cm) 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 a(m/s2) 0 2,0 3,8 5,6 7,4 9,2 11,2 12,8 14,0 14,6 14,6 a) Representar en un gráfico la fuerza ejercida por el muelle en función de la longitud L. b) Si el muelle se alarga hasta 12,5 cm. ¿Qué fuerza ejerce? c) ¿Cuánto se alargará el muelle si la masa está en reposo suspendida y al nivel del mar, en donde g=9,81 N/kg? a) b) Si el muelle se alarga 12,5 cm la aceleración será de 14,3 m/s2. 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟏𝟒,𝟑 = 𝟕,𝟏𝟓 𝑵 A partir de los datos podemos obtener la fuerza ( F= m*a) Si consideramos la elongación a partir de los 4 cm, obtenemos la tabla y la gráfica: f 0 1 1,9 2,8 3,7 4,6 5,6 allarg 0 1 2 3 4 5 6 K(N/cm) 1 0,95 0,933 0,925 0,92 0,933 K=0,94 N/cm Por tanto: 𝒌 ∗ ∆𝒍 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∆𝒍 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝒌 = 𝟎,𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 𝟎,𝟗𝟒 = 𝟓, 𝟐 𝒄𝒎 Resolución de problemas 36. Un cuadro se soporta por dos alambres. La tensión en el alambre más próximo a la vertical, ¿es mayor o menor que la tensión en el otro alambre? Aplicando la segunda ley de Newton en los ejes x e y: 𝑻𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12 Longitud /aceleración 𝑻𝟐 𝑻𝟏 = 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎 = 𝟏,𝟕 Por tanto, T2 es mayor que T1. 37. Una cuerda de tender ropa se tensa y se sujeta por los dos extremos. Se coloca una toalla húmeda en el centro de la cuerda. ¿Es posible que la cuerda permanezca horizontal? En el eje vertical tenemos: 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 + 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝟐 ∗ 𝑻𝟏 El cociente no puede ser nulo, por tanto, el ángulo no puede ser de 90 grados. 38. ¿Cuál de los diagramas de fuerzas de sistemas aislados de la figura representa un bloque que se desliza por una superficie inclinada sin rozamiento? La correcta es la c. Actúan el peso, vertical abajo y la normal, perpendicular al plano inclinado. 39. Una lámpara de masa m=42,6 kg cuelga de unos alambres como indica la figura. La tensión T1 en el alambre vertical es a) 209 N b) 418 N c) 570 N d) 360 N e) 730 N La cuerda vertical soportará una tensión igual al peso del objeto. 𝑻𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟒𝟐,𝟔 ∗ 𝟗,𝟖𝟏 = 𝟒𝟏𝟕,𝟗 𝑵 Respuesta correcta la b. 40. Un objeto de 40,0 kg suspendido de una cuerda vertical está inicialmente en reposo. El objeto se acelera entonces hacia arriba. La tensión en la cuerda necesaria para que el objeto alcance una velocidad hacia arriba es 3,5 m/s en 0,700 s es a) 590 N b) 390 N c) 200 N d) 980 N e) 720 N Aplicamos la segunda ley de Newton al objeto: 46. Una bala de rifle de masa 9 g parte del reposo y sale del cañón de longitud 0,6 m a 1200 m/s. Determinar la fuerza que se ejerce sobre la bala en el cañón mientras sale del mismo, suponiendo que esta fuerza es constante. 𝒗𝟐 − 𝒗𝒐 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚 𝟏𝟐𝟎𝟎𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝟎, 𝟔 ; 𝒂 = 𝟏,𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝒎/𝒔𝟐 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟗 ∗ 𝟏, 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 = 𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎 𝑵 47. Un cuadro que pesa 2 kg cuelga de dos cables de igual longitud que forman un ángulo θ con la horizontal como indica la figura. a) Determinar la tensión T para un valor general de θ y un `peso w del cuadro. ¿Para qué ángulo θ es T mínimo? ¿Y máximo? b) Si θ=30º, determinar la tensión de los cables. a) Eje x: 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ; 𝒏𝒐 𝒂𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂 𝒏𝒂𝒅𝒂. Eje y: 𝟐 ∗ 𝑻𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒘 ; 𝑻 = 𝒘 𝟐∗𝒔𝒆𝒏𝜽 Está expresión será máxima cuando el valor del seno sea mínimo, por tanto, θ=0º; T mínimo cuando el valor del seno sea máximo, θ=90º. b) 𝑻 = 𝒘 𝟐∗𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝟐∗𝟗,𝟖 𝟐∗𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝟏𝟗,𝟔 𝑵 48. Una bala de 1,8 10-3 kg de masa que lleva una velocidad de 500 m/s choca contra un gran bloque de madera y se introduce 6 cm en su interior antes de alcanzar el reposo. Suponer que la desaceleración de la bala es constante y calcular la fuerza ejercida por la madera sobre la bala. 𝒗𝟐 − 𝒗𝒐 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚 𝟎𝟐 − 𝟓𝟎𝟎𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝟎,𝟎𝟔 ; 𝒂 = −𝟐, 𝟎𝟖𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝒎/𝒔𝟐 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝟏, 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟐,𝟎𝟖𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔 = 𝟑𝟕𝟓𝟎 𝑵 49. Una grúa sostiene un peso de 1 tonelada. Calcular la tensión del cable que lo soporta si a) El peso es acelerado hacia arriba a 2 m/s2. b) Se levanta el peso con velocidad constante. c) El peso es levantado con una velocidad que disminuye 2 m/s en cada segundo. a) Aplicando la segunda ley de Newton: 𝑻 − 𝑷 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝑻 = 𝑷 + 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐 = 𝟏𝟏𝟖𝟎𝟎 𝑵 b) T=P=1000*9,8=9800 N c) 𝒂 = 𝟐 𝒎/𝒔𝟐 𝑷 − 𝑻 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝑻 = 𝑷 − 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖 − 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟐 = 𝟕𝟖𝟎𝟎 𝑵 50. Un coche arrastrado por caballos desacelera a 3,0 m/s2 mientras se mueve en línea recta. Una lámpara de masa 0,844 kg cuelga del techo de carruaje suspendido de una cuerda de 0,6 m de longitud. El ángulo que la cuerda forma con la velocidad es a) 8,5º hacia el frente del coche. b) 17º hacia el frente del coche . c) 17º hacia atrás. d) 2,5º hacia el frente del coche. e) 0º, es decir, verticalmente hacia abajo. Si desacelera la fuerza resultante debe ser hacia atrás. Descomponiendo en vertical y horizontal: Eje x: 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂 Eje y: 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝒕𝒈𝜽 = 𝒂 𝒈 = 𝟑 𝟗, 𝟖 = 𝟎,𝟑𝟎𝟔 ;𝜽 = 𝟏𝟕𝒐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒄. 51. Determinar las tensiones y masas desconocidas delos sistemas en equilibrio que se representan en la figura. a) Eje x: 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 = 𝟑𝟎 Eje y: 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 = 𝑻𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 Por tanto: 𝑻𝟏 = 𝟑𝟎 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 = 𝟔𝟎 𝑵 ; 𝒎 = 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 𝒈 = 𝟔𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 𝟗, 𝟖 = 𝟓, 𝟑 𝒌𝒈 ; 𝑻𝟐 = 𝟓, 𝟑 ∗ 𝟗,𝟖 = 𝟓𝟐 𝑵 b) Eje x: 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 = 𝟖𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 Eje y: 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 + 𝑻𝟐 = 𝟖𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 ; 𝑻𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 Por tanto: 𝑻𝟏 = 𝟖𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 = 𝟒𝟔,𝟐 𝑵 𝑻𝟐 = 𝟖𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 − 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 = 𝟖𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 − 𝟒𝟔,𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 = 𝟒𝟔,𝟐 𝑵 𝒎 = 𝑻𝟐 𝒈 = 𝟒𝟔,𝟐 𝟗, 𝟖 = 𝟒, 𝟕 𝒌𝒈 c) Eje x: 𝑻𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 = 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 Eje y: 𝑻𝟐 = 𝟔 ∗ 𝟗, 𝟖 ; 𝑻𝟑 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 + 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 = 𝟔 ∗ 𝟗, 𝟖 ; 𝑻𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒈 De esto: 𝑻𝟐 = 𝟓𝟖,𝟖 𝑵 𝑻𝟑 = 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 + 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎 = 𝟓𝟖,𝟖 ; 𝑻𝟏 = 𝟑𝟒 𝑵 𝑻𝟑 = 𝟑𝟒 𝑵 𝒎 = 𝑻𝟏 𝒈 = 𝟑𝟒 𝟗, 𝟖 = 𝟑,𝟓 𝒌𝒈 52. Un coche está estancado en terreno blando. El conductor está solo, pero dispone de una cuerda larga y fuerte. El conductor que ha estudiado física, ata la cuerda tensa a un poste telefónico y tira de ella lateralmente como indica la figura. a) Determinar la fuerza ejercida por la cuerda sobre el coche cuando el ángulo θ es 3º y el conductor tira con una fuerza de 400 N, pero el coche no se mueve. b) ¿Qué resistencia debería tener la cuerda si se tirase con una fuerza de 600 N bajo un ángulo θ = 4º para mover el coche? 57. Una fuerza horizontal de 100 N actúa sobre un bloque de 12 kg haciéndole subir por un plano inclinado sin rozamiento, que forma un ángulo de 25º con la horizontal. a) ¿Cuál es la fuerza normal que el plano inclinado ejerce sobre el bloque? b) ¿Cuál es la aceleración del bloque? a) Eje x: F*cos25-m*g*sen25= m*a Eje y: N= F*sen25+m*g*cos25 De la segunda ecuación: 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟓 + 𝟏𝟐 ∗ 𝟗,𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟓 = 𝟏𝟒𝟗 𝑵 b) De la primera: 𝒂 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟓 − 𝟏𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟓 𝟏𝟐 = 𝟑,𝟒𝟏 𝒎/𝒔𝟐 58. Una muchacha de 65 kg se pesa subiéndose a una balanza que está dispuesta sobre una plataforma espacial con ruedas, que se desplaza por un plano inclinado. Suponer que no hay rozamiento y que la fuerza ejercida por el plano inclinado sobre la plataforma es perpendicular al plano inclinado. ¿Cuál es la lectura de la balanza si θ=30º? Tenemos como diagrama de fuerzas: La lectura de la balanza es la fuerza normal. 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎 = 𝟔𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎 = 𝟓𝟓𝟐 𝑵 ; 𝒔𝒊 𝒍𝒐 ponemos 𝒆𝒏 𝒌𝒈 𝟓𝟔,𝟑 𝒌𝒈 Elevadores 59. Un objeto se suspende del techo de un elevador que desciende a velocidad constante de 9,81 m/s. La tensión de la cuerda que sujeta al objeto es a) Igual al peso del objeto. b) Menor que el peso del objeto c) Mayor que el peso del objeto. d) Cero. Respuesta correcta a. T-P=0. 60. ¿Qué efecto produce la velocidad de un elevador sobre el peso aparente de una persona en su interior? La velocidad no afecta al peso aparente, le afecta la aceleración. 61. Una persona se encuentra de pie sobre una balanza de resorte en el interior de un ascensor que desciende. Mientras se detiene al llegar a la planta baja, ¿la lectura de la balanza sobre el peso de esta persona será correcta, más baja o más alta? La balanza marca la fuerza que hace la persona sobre ella, que es la fuerza normal. Tenemos, si frena, aceleración hacia arriba: 𝑵 − 𝑷 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝑵 = 𝑷 + 𝒎 ∗ 𝒂 El peso aparente aumenta, lectura más alta. 62. Una persona de peso w se encuentra en un elevador subiendo, cuando el cable del mismo se rompe súbitamente. ¿Cuál es el peso aparente de la persona inmediatamente después de la rotura del cable? a) w b) Mayor que w c) Menor que w d) 9,8 w e) Cero Respuesta correcta e. 63. Un hombre que sostiene un cuerpo de 10 kg mediante una cuerda capaz de resistir 150 N sube a un ascensor. Cuando el ascensor arranca, la cuerda se rompe. ¿Cuál fue la aceleración mínima del ascensor? La tensión de la cuerda ha de ser 150 N. 𝑻 − 𝑷 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒂 = 𝑻 − 𝒎 ∗ 𝒈 𝒎 = 𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟎 ∗ 𝟗,𝟖 𝟏𝟎 = 𝟓, 𝟐 𝒎/𝒔𝟐 64. Una muchacha de 60 kg se pesa mediante una balanza de resorte en el interior de un Ascensor. Determinar qué marca la escala cuando a) El ascensor desciende con una velocidad de 10 m/s. b) El ascensor desciende con una velocidad de 10 m/s y gana velocidad a razón de 2 m/s2. c) El ascensor asciende a 10 m/s pero experimenta una disminución en su velocidad de 2 m/s en cada segundo. a) La balanza marcará la fuerza que el cuerpo hace sobre ella. La normal. N=P=M*g=60*9,8=588 N b) P-N=m*a ; N=P-m*a =60*9,8-60*2=468 N c) La ecuación es la misma que en el caso anterior, la aceleración está dirigida hacia abajo, P-N = m*a ; N=468 N 65. Un cuerpo de 2 kg cuelga de un dinamómetro (calibrado en newtons) sujeto al techo de un ascensor. Determinar la lectura que indicará el dinamómetro a) Cuando el ascensor se mueve hacia arriba con velocidad constante de 30 m/s. b) Cuando el ascensor desciende con velocidad constante de 30 m/s. c) Cuando el ascensor sube a 20 m/s y acelera hacia arriba a 10 m/s2. d) De t=0 a t = 2s el ascensor se mueve hacia arriba a 10 m/s. Su velocidad se reduce entonces uniformemente a cero en los siguientes 2 segundos, de modo que queda en reposo para t = 4 s. Describir la lectura del dinamómetro durante el tiempo t=0 a t = 4 s. a) b) No hay aceleración, P=T=19,6 N c) 𝑻 − 𝑷 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝑻 = 𝑷 + 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝟏𝟗,𝟔 + 𝟐 ∗ 𝟏𝟎 = 𝟑𝟗,𝟔 𝑵 d) Entre 0 y 2 s T=P. Entre 2 y 4 s, fuerza resultante hacia abajo, consideramos a positiva: 𝑷 − 𝑻 = 𝒎 ∗ 𝒂;𝑻 = 𝑷 − 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝟏𝟗,𝟔 − 𝟐 ∗ 𝟓 = 𝟗, 𝟔 𝑵 66. Un hombre se encuentra sobre una balanza situada en un ascensor que posee una aceleración ascendente a. La escala de la balanza marca 960 N. Al coger una caja de 20 kg, la escala marca 1200 N. Calcular la masa del hombre, su peso y la aceleración a. La balanza marca la fuerza normal. 𝑵 − 𝑷 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝑵 = 𝒎 ∗ (𝒈 + 𝒂) En el primer caso: 𝟗𝟔𝟎 = 𝒎 ∗ (𝟗,𝟖 + 𝒂) Con la caja: 𝟏𝟐𝟎𝟎 = (𝒎 + 𝟐𝟎) ∗ (𝟗,𝟖 + 𝒂) Sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, despejamos m y a: 𝒎 = 𝟖𝟎 𝒌𝒈 ; 𝒂 = 𝟐, 𝟐 𝒎/𝒔𝟐 𝑷 = 𝟖𝟎 ∗ 𝟗,𝟖 = 𝟕𝟖𝟒 𝑵 67. Dos bloques de masa m1 y m2 conectados entre sí por una cuerda de masa despreciable, se aceleran sobre una superficie sin rozamiento, como se indica en la figura. La relación de las tensiones T1/T2 vine dada por 𝑭𝟏𝟐 = 𝑭 ∗ 𝒎𝟐 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) b) Poniendo los valores: 𝒂 = 𝟎, 𝟒 𝒎 𝒔𝟐 ; 𝑭𝟏𝟐 = 𝟐, 𝟒 𝑵 70. Repetir el problema anterior, intercambiando la posición de los dos bloques. 𝑭 − 𝑭𝟏𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂 𝑭𝟏𝟐 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂 De esto se deduce: 𝒂 = 𝑭 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) 𝑭𝟏𝟐 = 𝑭 ∗ 𝒎𝟏 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) 𝑷𝒐𝒏𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔:𝒂 = 𝟎, 𝟒 𝒎 𝒔𝟐 ; 𝑭𝟏𝟐 = 𝟎,𝟖 𝑵 71. Dos bloques de 100 kg son arrastrados a lo largo de una superficie sin rozamiento con una aceleración constante de 1,6 m/s2, como se indica en la figura. Cada cuerda tiene una masa de 1 kg. Determinar la fuerza F y la tensión de las cuerdas en los puntos A, B y C. Como las cuerdas tienen masa se han de considerar como un cuerpos más, las tensiones en sus extremos no serán iguales. Las fuerzas de acción y reacción son iguales entre ellas. Aplicamos la segunda ley de Newton: Cuerda 1: 𝑭 − 𝑭𝟑𝟒 = 𝒎𝟒 ∗ 𝒂 Cuerpo 3 : 𝑭𝟑𝟒 − 𝑭𝟐𝟑 = 𝒎𝟑 ∗ 𝒂 Cuerda 2 : 𝑭𝟐𝟑 − 𝑭𝟏𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂 Cuerpo 1: 𝑭𝟏𝟐 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂 Tenemos 4 ecuaciones y 4 incógnitas, F, F34,F23 y F12. La resolución del sistema nos lleva a: 𝑭 = 𝟐𝟎𝟐 𝑵 ; 𝑭𝟑𝟒 = 𝟐𝟎𝟏 𝑵 ; 𝑭𝟐𝟑 = 𝟏𝟎𝟏 𝑵 ; 𝑭𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝑵 72. Dos objetos están conectados por una cuerda de masa despreciable, como se indica en la figura. El plano inclinado y la polea carecen de rozamientos. Determinar la aceleración de los objetos y la tensión de la cuerda para a) Valores generales de θ, m1 y m2. b) Θ = 30º, m1=m2=5 kg. a) Aplicamos la segunda ley de Newton a cada cuerpo: Cuerpo1: 𝑻 − 𝑷𝒙 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂 ; 𝑻 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂 Cuerpo2: 𝑷𝟐 − 𝑻 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂 Operando obtenemos para a y T: 𝒂 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) 𝑻 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒎𝟏 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) 𝑻 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) − 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 b) Poniendo los valores: 𝒂 = 𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 − 𝟓 ∗ 𝟗, 𝟗 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 𝟏𝟎 = 𝟐, 𝟒𝟓 𝒎/𝒔𝟐 𝑻 = 𝟓 ∗ 𝟗. 𝟖 − 𝟓 ∗ 𝟐,𝟒𝟓 = 𝟑𝟔,𝟕𝟓 𝑵 73. Dos alpinistas, que están sobre una pendiente con hielo (sin rozamiento) atados entre sí por una cuerda de 30 m, se encuentran en la difícil situación que muestra la figura. En el instante t=0, la velocidad de cada uno es cero, pero el alpinista más próximo a la cima, Paul (masa 52 kg), ha dado un paso en falso y su amigo Juan (masa 74 kg) ha perdido su pico. a) Determinar la tensión en la cuerda cuando Paul cae y su velocidad justo antes de llegar al suelo. b) Si Paul desengancha su cuerda, justo después de llegar al suelo, determinar la velocidad de Juan en el momento de llegar al suelo. a) La segunda ley de Newton para cada cuerpo es: Paul: 𝒎𝑷 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝑷 ∗ 𝒂 Juan:𝑻 − 𝒎𝑱 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎 = 𝒎𝑱 ∗ 𝒂 Sumando y despejando a: 𝒂 = 𝒎𝒑 ∗ 𝒈 − 𝒎𝒋 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎 𝒎𝑷 + 𝒎𝑱 = 𝟓𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 − 𝟕𝟒 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟎 𝟓𝟐 + 𝟕𝟒 = 𝟎, 𝟑𝟒𝟓 𝒎/𝒔𝟐 𝒗𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟎,𝟑𝟒𝟓 ∗ 𝟏𝟓 ; 𝒗 = 𝟑,𝟐 𝒎/𝒔 𝑻 = 𝟓𝟐 ∗ 𝟗,𝟖 − 𝟓𝟐 ∗ 𝟎, 𝟑𝟒𝟓 = 𝟒𝟗𝟐 𝑵 b) En el momento de llegar al suelo Paul, Juan lleva su misma velocidad, durante la caída de Paul ha subido 20 m por la rampa. La longitud total de la rampa es: 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟎 = 𝟐𝟓 𝒍 ; 𝒍 = 𝟑𝟖,𝟗 𝒎 La longitud de la cuerda es de 30 m, cuando la corta le faltan 5 m para llegar a la cima (33,9 m de ciada) La aceleración de su caída es: g*sen40=6,3 m/s2. 𝒗𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟔,𝟑 ∗ 𝟑𝟑,𝟗 ; 𝒗 = 𝟐𝟎, 𝟕 𝒎/𝒔 74. La cara noroeste del Half Dome, una enorme roca del Parque Nacional de Josemite (California, EE. UU.) forma un ángulo de θ= 7,0º con la vertical. Una alpinista yace horizontalemnte en lo alto de la roca intentando soportar a su infortunada compañera de igual masa que cuelga de una cuerda sobre el borde del precipicio como muestra la figura. Si el rozamiento es despreciable (la cumbre está helada). ¿con qué aceleración deslizaran ambas hacia abajo, antes de que la alpinista que está en la cumbre consiga agarrarse a la mano de otra persona y detener la caída? Aplicamos la segunda ley de Newton a cada alpinista: 𝑻 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎 ∗ 𝒂 Sumamos las ecuaciones: 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂 𝒂 = 𝒈 ∗ (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝜽) = 𝟗,𝟖 ∗ (𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟕) = 𝟖, 𝟔 𝒎/𝒔𝟐 75. En una representación escénica del cuento de Peter Pan, el actor que hace el papel de Peter (masa 50 kg) ha de “volar” verticalmente y para coincidir con el fondo musical debe bajar una distancia de 3,2 m en 2,2 s. Entre bastidores, una superficie pulida, inclinada 50º, soporta un contrapeso de masa m, como indica la figura. Indicar los cálculos que debe realizar el director de escena para determinar a) La masa del contrapeso que debe utilizarse. a) Aplicamos la segunda ley de Newton al sistema, si la pintora hace una fuerza F sobre la cuerda, la cuerda hace una fuerza F sobre la pintora: Sobre el montacargas y la pintora:𝑻 + 𝑭 − 𝒎𝑻 ∗ 𝒈 = 𝒎𝑻 ∗ 𝒂 Sobre la cuerda: T=F De esto obtenemos F: 𝑭 = 𝒎𝑻 ∗ 𝒂 + 𝒎𝑻 ∗ 𝒈 𝟐 = 𝟑𝟗𝟕,𝟓 𝑵 b) Como a es cero, F=367,5 N 79. La figura muestra un bloque de 20 kg que desliza sobre otro de 10 kg. Todas las superficies se consideran sin rozamiento. Determinar la aceleración de cada bloque y la tensión en la cuerda que los conecta. Aplicando la segunda ley de Newton a cada cuerpo, dado que no hay fricción no hace falta usar las componentes verticales (eje y). Masa de 20 kg: 𝒎𝟐𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 − 𝑻 = 𝒎𝟐𝟎 ∗ 𝒂 Masa de 10 kg: 𝑻 − 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 = 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒂 Sumando ecuaciones y despejando a: 𝒂 = 𝒎𝟐𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 − 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 𝒎𝟐𝟎 + 𝒎𝟏𝟎 = 𝟏,𝟏𝟐 𝒎/𝒔𝟐 Despejando T: 𝑻 = 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒂 + 𝒎𝟏𝟎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟎 = 𝟒𝟒,𝟖 𝑵 80. Un bloque de 20 kg dotado de una polea se desliza a lo largo de una superficie sin rozamiento. Está conectado mediante una cuerda a un bloque de 5 kg según el dispositivo que se muestra en la figura. Determinar l aceleración de cada uno de los bloques y la tensión de la cuerda. La clave de estos ejercicios está en que la longitud de la cuerda es fija, de manera que cuando el bloque de la derecha se desplaza x el de la izquierda debe desplazarse x/2 (imagínatelo de este modo: el de la izquierda se mueve 10 cm; por tanto, "desaparecen" del lado izquierdo dos trozos de 10 cm, uno por arriba y el otro por abajo; lógicamente, "aparecen" 20 cm de cuerda del lado derecho). ∆𝒙𝟓 = 𝟏 𝟐 𝒂𝟓∆𝒕 𝟐 ∆𝒙𝟐𝟎 = 𝟏 𝟐 𝒂𝟐𝟎∆𝒕 𝟐 𝑪𝒐𝒎𝒐 ∆𝒙𝟐𝟎 = 𝟏 𝟐 ∆𝒙𝟓 ; a20=1/2 a5. Aplicando la segunda ley de Newton a cada cuerpo: 𝟐𝑻 = 𝒎𝟐𝟎 ∗ 𝒂𝟐𝟎 𝒎𝟓 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟓 ∗ 𝒂𝟓 ; 𝒎𝟓 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟓 ∗ 𝟐 ∗ 𝒂𝟐𝟎 Multiplicamos la segunda por dos y sumando las ecuaciones: 𝟐 ∗ 𝒎𝟓 ∗ 𝒈 = 𝒎𝟐𝟎 ∗ 𝒂𝟐𝟎 + 𝟐 ∗ 𝒎𝟓 ∗ 𝟐 ∗ 𝒂𝟐𝟎 𝒂𝟐𝟎 = 𝟐 ∗ 𝒎𝟓 ∗ 𝒈 𝒎𝟐𝟎 + 𝟒 ∗ 𝒎𝟓 = 𝟐,𝟒𝟓 𝒎/𝒔𝟐 𝒂𝟓 = 𝟐,𝟒𝟓 ∗ 𝟐 = 𝟒,𝟗 𝒎/𝒔 𝟐 𝑻 = 𝒎𝟐𝟎 ∗ 𝒂𝟐𝟎 𝟐 = 𝟐𝟒,𝟓 𝑵 Máquina de Atwood 81. El aparato de la figura se denomina máquina de Atwood y se utiliza para medir la aceleración debida a la gravedad g a partir de la aceleración de los dos bloques. Suponiendo que la cuerda y la polea tienen una masa despreciable y la polea carece de rozamiento, demostrar que la aceleración de cualquiera de los bloques y la tensión de la cuerda son 𝒂 = 𝒎𝟏−𝒎𝟐 𝒎𝟏+𝒎𝟐 ∗ 𝒈 y 𝑻 = 𝟐∗𝒎𝟏∗𝒎𝟐 𝒎𝟏+𝒎𝟐 Aplicando segunda ley de Newton a cada cuerpo: 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂 𝑻 − 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒂 Sumando y despejando a: 𝒂 = 𝒎𝟏 − 𝒎𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 Despejando T: 𝑻 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒂 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒎𝟏 − 𝒎𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 = 𝟐 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒎𝟐 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 82. Si una de las masas de la máquina de Atwood de la figura anterior es 1,2 kg, ¿Cuál sería la otra masa para que el desplazamiento de cualquiera de ellas durante el primer segundo de comenzar el movimiento fuese 0,3 m? ∆𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒂 ∆𝒕𝟐 ; a= 0,6 m/s2 De las ecuaciones del problema anterior: 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 − 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) ∗ 𝒂 𝒎𝟐 = 𝒎𝟏(𝒈 − 𝒂) 𝒈 + 𝒂 = 𝟏,𝟐 ∗ (𝟗, 𝟖 − 𝟎,𝟔) 𝟗,𝟖 + 𝟎, 𝟔 = 𝟏, 𝟏𝟎 𝒌𝒈 Si suponemos ahora que la masa de 1,2 kg es la menor (m2): 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐(𝒈 + 𝒂) 𝒈 − 𝒂 = 𝟏,𝟐 ∗ (𝟗, 𝟖 + 𝟎,𝟔) 𝟗,𝟖 − 𝟎, 𝟔 = 𝟏, 𝟑𝟔 𝒌𝒈 83. Una pequeña piedra de masa m descansa sobre el bloque de masa m2 de la máquina de Atwood de la figura del problema 81. Determinar la fuerza ejercida por la piedra sobre m2. Sobre la masa m2 actúan el peso de m y la fuerza normal que ejerce m2. Dado que el sistema acelera hacia arriba, la segunda ley nos dice: 𝑵 − 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒂 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒂 + 𝒎 ∗ 𝒈 Para las otras dos masas tenemos: 90. Una fuerza F1 causa en un cuerpo una aceleración de 6*106 m/s2. Otra fuerza F2 causa en el mismo cuerpo una aceleración de 15*106 m/s2. a) ¿Cuál es la aceleración del objeto si las dos fuerzas actúan simultáneamente sobre el cuerpo en la misma dirección y sentido? b) ¿Y si actúan en sentido opuesto? c) ¿Y si las dos fuerzas son perpendiculares entre sí? a) En el primer caso tenemos: 𝑭𝟏 = 𝒎 ∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎 𝟔 En el segundo caso: 𝑭𝟐 = 𝒎 ∗ 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎 𝟔 Si actúan las dos: 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = 𝒎 ∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎 𝟔 + 𝒎 ∗ 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟔 = 𝒎 ∗ 𝟐𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟔 Por tanto, la aceleración será 21*106 m/s2. b) En sentido opuesto será: 𝑭𝟏 − 𝑭𝟐 = 𝒎 ∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎 𝟔 − 𝒎 ∗ 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟔 = −𝒎 ∗ 𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟔 La aceleración será de 9*106 m/s2 en el sentido de F2. c) Si son perpendiculares tendremos: 𝑭𝒓 = √(𝒎 ∗ 𝟔 ∗ 𝟏𝟎 𝟔)𝟐 + (𝒎 ∗ 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟔)𝟐 = 𝒎 ∗ 𝟏𝟔,𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔 Por tanto, la aceleración será 16,2 *106 m/s2. 91. Cierta fuerza aplicada a una masa m1 le produce una aceleración de 20 m/s2. La misma fuerza aplicada a m2 le produce una aceleración de 50 m/s2. Se unen las dos masas y se les aplica la misma fuerza a la combinación; hallar la aceleración resultante. En el primer caso: 𝑭 = 𝒎𝟏 ∗ 𝟐𝟎 En el segundo caso: 𝐅 = 𝒎𝟐 ∗ 𝟓𝟎 Con las dos masas juntas: 𝑭 = (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) ∗ 𝒂 𝑭 = ( 𝑭 𝟐𝟎 + 𝑭 𝟓𝟎 ) ∗ 𝒂 𝟏 = ( 𝟏 𝟐𝟎 + 𝟏 𝟓𝟎 ) ∗ 𝒂 𝒂 = 𝟏𝟒,𝟑 𝒎/𝒔𝟐 92. Un cuerpo de 6 kg es arrastrado a lo largo de una superficie horizontal sin rozamiento mediante una fuerza horizontal de 10 N. a) Si el objeto está en reposo para t=0 s, ¡qué velocidad posee al cabo de 3 s? b) ¿Qué distancia ha recorrido desde t= 0 s a t= 3 s? a) 𝒂 = 𝑭 𝒎 = 𝟏𝟎 𝟔 = 𝟏, 𝟕 𝒎/𝒔𝟐 𝒗 = 𝒂 ∗ ∆𝒕 = 𝟏, 𝟕 ∗ 𝟑 = 𝟓 𝒎/𝒔 b) ∆𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒂 ∆𝒕𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏, 𝟕 ∗ 𝟑𝟐 = 𝟕, 𝟕 𝒎 93. Una persona pesa 125 lb sobre la Tierra. ¿Cuál sería su peso en libras sobre la Luna, conde la aceleración en caída libre debido a la gravedad es 5,23 pies/s2? Si tenemos en cuenta la aceleración de la gravedad en este sistema en la Tierra 32,2 pies/s2. En la Tierra: 125 = m*32,2 En la Luna: PL=m*5,23 De esto: 𝑷𝑳 = 𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝟓,𝟐𝟑 𝟑𝟐,𝟐 = 𝟐𝟎,𝟑 𝒍𝒃 94. Un pájaro carpintero golpea la corteza de un árbol extremadamente duro – la velocidad de su cabeza alcanza aproximadamente el valor de v=3,5 m/s antes del impacto. Si la masa de la cabeza del pájaro es 0,060 kg, y la fuerza media que actúa sobre la cabeza durante el impacto es de F=6,0 N, determinar a) La aceleración de la cabeza (suponiendo que es constante). b) La profundidad de penetración en la corteza. c) El tiempo t que tarda la cabeza del pájaro en detenerse. a) 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒂 = 𝑭 𝒎 = 𝟔 𝟎,.𝟎𝟔 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎 𝒔𝟐 𝑺𝒊 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒏𝒆𝒕𝒂 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒓á 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂( 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒂 𝒗). b) 𝒗𝟐 − 𝒗𝒐 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 ; ∆𝒙 = 𝒗𝟐−𝒗𝒐 𝟐 𝟐∗𝒂 = −𝟑,𝟓𝟐 𝟐∗(−𝟏𝟎𝟎) = 𝟎,𝟎𝟔𝟏 𝒎 c) 𝒗 = 𝒗𝒐 + 𝒂 ∗ ∆𝒕; ∆𝒕 = ∆𝒗 𝒂 = −𝟑,𝟓 −𝟏𝟎𝟎 = 𝟎,𝟎𝟑𝟓 𝒔 95. Puede construirse un acelerómetro sencillo colgando un pequeño cuerpo de una cuerda sujeta a un punto fijo en el objeto que se acelera, por ejemplo, en el techo de un vagón de pasajeros. Cuando exista una aceleración, el cuerpo se desviará y la cuerda formará un ángulo determinado con la vertical. a) ¿En qué sentido se desviará el cuerpo suspendido respecto a la aceleración? b) Demostrar que la aceleración a está relacionada con el ángulo θ que la cuerda forma con el techo por a= g tg θ. c) Supóngase que el acelerómetro está sujeto al techo de un automóvil que frena hasta llegar al reposo desde una velocidad de 50 km/h en una distancia de 60 m. ¿qué ángulo formará la cuerda? ¿La masa se moverá hacia adelante o hacia atrás? a) Sobre el cuerpo del acelerómetro actúan dos fuerzas, la tensión de la cuerda y el peso del objeto, si no hay aceleración la resultante es cero y la cuerda ha de estar vertical, si acelera hacia la derecha, la fuerza resultante ha de estar dirigida hacia la derecha, tenemos el primer dibujo, el segundo caso lilustra el caso de que acelere hacia la izquierda: b) Si observamos los dibujos, tenemos en el eje x: 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂 En el eje y: 𝑻 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 Dividiendo las ecuaciones y despejando a obtenemos: 𝒂 = 𝒈 ∗ 𝒕𝒈 𝜽 c) 𝟓𝟎 𝒌𝒎 𝒉 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝟏 𝒌𝒎 ∗ 𝟏 𝒉 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔 = 𝟏𝟑,𝟗 𝒎/𝒔 𝒗𝟐 − 𝒗𝒐 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 ; 𝒂 = 𝒗𝟐 − 𝒗𝒐 𝟐 𝟐 ∗ ∆𝒙 = −𝟏𝟑,𝟗𝟐 𝟐 ∗ 𝟔𝟎 = −𝟏,𝟔𝟏 𝒎/𝒔𝟐 Aplicando la ecuación obtenida para a: 𝒕𝒈 𝜽 = 𝒂 𝒈 ; 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝟏,𝟔𝟏 𝟗,𝟖 ) = 𝟗,𝟑𝒐 96. El mástil de un balandro de 10 m de longitud está sujeto a proa y a popa por cables de acero inoxidable, el delantero y el trasero con sus anclajes separados por una distancia de 10 m (figura). El mástil de 12 m de altura pesa 800 N y se apoya verticalmente sobre la cubierta del balandro. El mástil dista 3,5 m del anclaje del cable delantero (el más próximo a la proa). La tensión de este cable es de 500 N. Determinar la tensión en el cable trasero y la fuerza que el mástil ejerce sobre la cubierta del balandro. Las fuerzas que actúan sobre el sistema son: El sistema está en equilibrio: Eje x: 𝑻𝑩 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝑩 = 𝑻𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝑭 Eje y: 𝑭𝒎𝒂𝒔𝒕 = 𝑻𝑩 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝑩 + 𝑻𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝑭 De los datos del problema: 𝜽𝑭 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝟑,𝟓 𝟏𝟐 ) = 𝟏𝟔,𝟑𝒐 𝜽𝑩 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈( 𝟔,𝟓 𝟏𝟐 ) = 𝟐𝟖,𝟒 𝒐 Utilizando la tensión del cable delantero y la ecuación del eje x: 𝑻𝑩 = 𝑻𝑭 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝑭 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝑩 = 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟔,𝟑 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟖,𝟒 = 𝟐𝟗𝟓 𝑵 La fuerza del mástil ha de ser: 𝑭𝒎𝒂𝒔𝒕 = 𝑻𝑩 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝑩 + 𝑻𝑭 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝑭 = 𝟐𝟗𝟓 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟖,𝟒 + 𝟓𝟎𝟎 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔,𝟑 = 𝟕𝟑𝟗 𝑵 La fuerza del mástil sobre la cubierta del barco será: 𝑭𝒎𝒂𝒔𝒕 𝒄𝒖𝒃𝒊𝒆𝒓𝒕𝒂 = 𝑭𝒎𝒂𝒔𝒕 + 𝑷 = 𝟕𝟑𝟗 + 𝟖𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟑𝟗 𝑵 97. Un bloque de masa m1 es impulsado por una fuerza F aplicada en el extremo de una cuerda que tiene una masa m2 mucho menor, como se indica en la figura. El bloque se desliza a lo largo de una superficie horizontal pulida. a) Determinar la aceleración de la cuerda y el bloque conjuntamente. b) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre la cuerda? c) Determinar la tensión de la cuerda en el punto donde está atada al bloque. d) El dibujo de la figura con la cuerda horizontal no es totalmente correcto para esta situación. Corregirlo y determinar cómo esta corrección afecta a la solución del problema. a) En el caso de 5 masas a cada lado: 𝑻𝒐 = 5 *m*g Cuando quitamos una masa: 𝑻 = 𝑻𝒐 − 𝟎,𝟑 ; 𝑻 = 𝟓 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝟎, 𝟑 𝟓 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝟓 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 𝑻 − 𝟒 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟒 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 Sumando las ecuaciones y despejando a: 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟗 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 𝒂 = 𝒈 𝟗 = 𝟏,𝟏 𝒎/𝒔𝟐 Despejando T de las ecuaciones: 𝑻 = 𝟒 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝟒 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝟒 ∗ 𝒎 ∗ (𝒈 + 𝒂) = 𝟒 ∗ 𝒎 ∗ (𝒈 + 𝒈 𝟗 ) = 𝟒𝟎 𝟗 ∗ 𝒈 ∗ 𝒎 Substituimos esta expresión en la obtenida por la reducción de la tensión: 𝑻 = 𝟓 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝟎,𝟑 𝟒𝟎 𝟗 ∗ 𝒈 ∗ 𝒎 = 𝟓 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝟎,𝟑 Despejamos m: 𝒎 = 𝟎, 𝟑 (𝟓 − 𝟒𝟎 𝟗 ) ∗ 𝒈 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟓 𝒌𝒈 b) Al quitar la segunda arandela: 𝟓 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝟓 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 𝑻 − 𝟑 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟑 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 Sumando las ecuaciones y despejando a: 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟖 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 𝒂 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝒈 = 𝟐,𝟒𝟓 𝒎/𝒔𝟐 Despejando T: 𝑻 = 𝟑 ∗ 𝒎 ∗ (𝒈 + 𝒂) = 𝟐, 𝟎 𝑵 102. Consideremos la máquina de Atwood del problema anterior. Cuando se transfieren N arandelas del lado izquierdo al lado derecho, este último desciende 47,1 cm en 0,40 s. Determinar N. Por los datos del problema podemos calcular a: ∆𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐 ; 𝒂 = 𝟐 ∗ ∆𝒙 ∆𝒕𝟐 = 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟒𝟕𝟏 𝟎,𝟒𝟎𝟐 = 𝟓, 𝟖𝟗 𝒎 Aplicando la segunda ley de Newton: (𝟓 + 𝑵) ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 − 𝑻 = (𝟓 + 𝑵) ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 𝑻 − (𝟓 − 𝑵) ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = (𝟓 − 𝑵) ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 Sumando: 𝟐 ∗ 𝑵 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟏𝟎 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 𝑵 = 𝟓 ∗ 𝒂 𝒈 = 𝟑 103. Dos bloques de masas m y 2 m están conectados por una cuerda (figura). a) Si las fuerzas son constantes, determinar la tensión de la cuerda. b) Si las fuerzas varían con el tiempo según F1=Ct y F2=2 Ct, en donde C es una constante y t el tiempo, determinar el tiempo t0 en el cual la tensión de la cuerda es T0. Aplicando la segunda ley de Newton: 𝑭𝟐 − 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂 𝑻 − 𝑭𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒂 a) Sumando las ecuaciones y despejando a: 𝒂 = 𝑭𝟐 − 𝑭𝟏 𝟑 𝒎 Sustituimos en la segunda: 𝑻 = 𝑭𝟏 + 𝒎 ∗ 𝑭𝟐 − 𝑭𝟏 𝟑 𝒎 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 𝟑 − 𝑭𝟏 𝟑 = 𝟐 ∗ 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 𝟑 b) En este caso, sustituimos los valores de las fuerzas dados en la expresión dada para el apartado (a): 𝑻𝒐 = 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ 𝒕𝟎 + 𝟐 ∗ 𝑪 ∗ 𝒕𝟎 𝟑 = 𝟒 ∗ 𝑪 ∗ 𝒕𝒐 𝟑 𝒕𝒐 = 𝟑 ∗ 𝑻𝒐 𝟒 ∗ 𝑪 104. Determinar la fuerza normal y la fuerza tangencial ejercida por la carretera sobre las ruedas de una bicicleta a) Cuando el ciclista asciende por una carretera de pendiente 8 % a velocidad constante. b) Cuando desciende por la misma pendiente a velocidad constante. (Una pendiente del 8 % significa que el ángulo de inclinación θ viene dado por tgθ=0,08) a) Aplicamos la segunda ley de Newton al ciclista, sobre el actúa la fuerza Normal, el peso y la fuerza tangencial que hace la carretera (que ha de equilibrar el peso tangencial) para hacer una resultante nula. Suponemos una masa conjunta ciclista y bicicleta de 80 kg. El ángulo de la rampa es: 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝟎,𝟎𝟖) = 𝟒,𝟓𝟕𝟎 𝑵 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟖𝟎 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒,𝟓𝟕 = 𝟕𝟖𝟐 𝑵 𝑭𝒕 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟖𝟎 ∗ 𝟗,𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟒, 𝟓𝟕 = 𝟔𝟐,𝟓 𝑵 b) No hay diferencia con el caso anterior dado q ue las fuerzas que actúan son las mismas. 105. La polea de una máquina de Atwood experimenta una aceleración hacia arriba a, como se muestra en la figura. Determinar la aceleración de cada masa y la tensión de la cuerda de la máquina. En el caso de a=0 teníamos para cada masa: 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒂