Problemas Tipler.Gravedad. Capítulo 11, Ejercicios de Física

¡Descarga Problemas Tipler.Gravedad. Capítulo 11 y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! GRAVEDAD Leyes de Kepler: 1. Verdadero o falso: a) La Ley de las áreas iguales de Kepler implica que la gravedad varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia. b) El planeta más próximo al Sol tiene, por término medio, el período de revolución más corto alrededor del Sol. a) Falsa, la única cosa que implican la ley de las áreas de Kepler es que la fuerza de la gravedad es central. b) Correcto, consecuencia de la tercera ley de Kepler. 2. Si la masa de un satélite se duplica, el radio de su órbita puede permanecer constante si la velocidad del satélite: a) Se incrementa en un factor de 8. b) Se incremente en un factor de 2. c) No varía. d) Se reduce en un factor de 8. e) Se reduce en un factor de 2. 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝒓𝒓 ;𝒗𝒗 = �𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 La velocidad del satélite es independiente de la masa de éste. 3. Un radioaficionado capta una noche un extraño mensaje: “¡Necesitamos ayuda! Escapamos de la Tierra para vivir en paz y serenidad y estamos desorientados. Todo lo que sabemos es que estamos en órbita alrededor del Sol con un período de 5 años. ¿Dónde estamos?”. El radioaficionado realiza unos cálculos y transmite a los viajeros su distancia media al Sol. ¿Cuál es esta distancia? Aplicando la leuy de la gravitación de Newton obtenemos la tercera ley de Kepler: 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 Para la Tierra: 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻𝟑𝟑 Para los viajeros: 𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺𝑽𝑽−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺𝑽𝑽𝟑𝟑 Dividiendo: 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺𝑽𝑽−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺𝑽𝑽 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺𝑽𝑽𝟑𝟑 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻𝟑𝟑 ∗ 𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺𝑽𝑽−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺𝑽𝑽 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻 ∗ � 𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺𝑽𝑽−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑽𝑽𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺𝑽𝑽 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ √𝟐𝟐𝟓𝟓𝟑𝟑 = 𝟒𝟒,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑻𝑻𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 4. El cometa Halley tiene un período de unos 76 años, ¿Cuál es su distancia media al Sol? 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑯𝑯𝑻𝑻𝑺𝑺𝑺𝑺𝑻𝑻𝑯𝑯−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑯𝑯𝑻𝑻𝑺𝑺𝑺𝑺𝑻𝑻𝑯𝑯 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑯𝑯𝑻𝑻𝑺𝑺𝑺𝑺𝑻𝑻𝑯𝑯 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻 ∗ � 𝑻𝑻𝑯𝑯𝑻𝑻𝑺𝑺𝑺𝑺𝑻𝑻𝑯𝑯−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ √𝟕𝟕𝟔𝟔𝟐𝟐𝟑𝟑 = 𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑻𝑻𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 5. Un cometa tiene un período que se estima en unos 4210 años. ¿Cuál es su distancia media al Sol? (4210 años fue el periodo estimado del cometa Hale-Boop, que fue visto Enel hemisferio septentrional a comienzos de 1997. Las interacciones gravitatorias que experimentó con los mayores planetas del sistema solar durante esta última aparición han cambiado gradualmente su periodo, que ahora se estima en unos 2380 años). 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑪𝑪𝑺𝑺𝒎𝒎𝑻𝑻𝒕𝒕𝑻𝑻 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻 ∗ � 𝑻𝑻𝑪𝑪𝑺𝑺𝒎𝒎𝑻𝑻𝒕𝒕𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ √𝟒𝟒𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑 = 𝟑𝟑,𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑻𝑻𝑺𝑺 𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 6.El radio de la órbita terrestre es 1,496*1011 m y el de Urano, 2,87*1012 m. ¿Cuál es el periodo de Urano? 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑼𝑼𝒓𝒓𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑼𝑼𝒓𝒓𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟑𝟑 𝑻𝑻𝑼𝑼𝒓𝒓𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 ∗ � 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑼𝑼𝒓𝒓𝑻𝑻𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏 ∗ � (𝟐𝟐,𝟖𝟖𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐)𝟑𝟑 (𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟑𝟑𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟑𝟑 = 𝟖𝟖𝟒𝟒 𝑻𝑻ñ𝑺𝑺𝑽𝑽 7. El asteroide Héctor, descubierto en 1907, describe una órbita casi circular de radio 5,16 UA alrededor del Sol. Determinar el periodo de este asteroide. 𝒓𝒓𝑻𝑻𝑺𝑺 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟑𝟑𝟓𝟓𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝑼𝑼𝑼𝑼 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝑯𝑯𝑻𝑻𝑯𝑯𝒕𝒕𝑺𝑺𝒓𝒓−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑯𝑯𝑻𝑻𝑯𝑯𝒕𝒕𝑺𝑺𝒓𝒓 𝟑𝟑 𝑻𝑻𝑯𝑯𝑻𝑻𝑯𝑯𝒕𝒕𝑺𝑺𝒓𝒓−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 ∗ � 𝒓𝒓𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺−𝑯𝑯𝑻𝑻𝑯𝑯𝒕𝒕𝑺𝑺𝒓𝒓 𝟑𝟑 𝒓𝒓𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝑻𝒓𝒓𝒓𝒓𝑻𝑻−𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺𝑺 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏 𝑻𝑻ñ𝑺𝑺 ∗ �𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟐𝟐 𝑻𝑻ñ𝑺𝑺𝑽𝑽 8. El asteroide Icaro, descubierto en 1949, se denominó así porque su órbita elíptica muy excéntrica le acerca mucho al Sol en su perihelio. La excentricidad de una elipse viene definida por la relación 𝒅𝒅𝑷𝑷 = 𝑻𝑻 ∗ (𝟏𝟏 − 𝑻𝑻), en donde dP es la distancia al perihelio y a el semieje mayor. Icaro tiene una excentricidad de 0,83. Su periodo es de 1,1 años. a) Determinar el semieje mayor de la órbita de Icaro. b) Determinar las distancias del perihelio y del afelio de la órbita de Icaro. a) 𝑻𝑻 = 𝒅𝒅𝑷𝑷 𝟏𝟏−𝑻𝑻 Por tercera ley de Kepler: 𝑻𝑻 = �𝑻𝑻𝟐𝟐 𝑪𝑪 𝟑𝟑 = � 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑺𝑺 𝟑𝟑 = ��𝟏𝟏,𝟏𝟏 𝑻𝑻ñ𝑺𝑺𝑽𝑽∗𝟑𝟑𝟔𝟔𝟓𝟓,𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒅𝒅𝑻𝑻𝑻𝑻𝑽𝑽 𝟏𝟏 𝑻𝑻ñ𝑺𝑺 ∗ 𝟐𝟐𝟒𝟒 𝒉𝒉 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝑻𝑻𝑻𝑻∗ 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑽𝑽 𝟏𝟏 𝒉𝒉𝑺𝑺𝒓𝒓𝑻𝑻� 𝟐𝟐 𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟕𝟕𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑽𝑽𝟐𝟐∗𝒎𝒎−𝟑𝟑 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 b) 𝒅𝒅𝑷𝑷 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ (𝟏𝟏 − 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟑𝟑) = 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑷𝑷 + 𝒅𝒅𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻 ; 𝒅𝒅𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑻𝑻 − 𝒅𝒅𝑷𝑷 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐,𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝒎𝒎 Ley de gravitación de Newton 9. ¿Por qué no sentimos la atracción de un gran edificio cuando andamos en sus proximidades? Todo y que en términos relativos la masa de un gran edificio es grande, es mucho menor que la de la Tierra, por tanto, la fuerza gravitatoria del edificio sobre nosotros será mucho menor que la del la Tierra sobre nosotros. 10. Los astronautas en el interior de un satélite en órbita a 300 km sobre la superficie de la Tierra experimentan el fenómeno de la ingravidez. ¿Por qué? ¿Es despreciable la fuerza de gravedad ejercida por la Tierra sobre los astronautas a la altura dada? 22. La velocidad de un asteroide es de 20 km/s en el perihelio y de 14 km/s en el afelio. Determinar la relación de las distancias al afelio y al perihelio. 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝑻𝑻 ∗ 𝒓𝒓𝑻𝑻 = 𝒎𝒎∗ 𝒗𝒗𝒑𝒑 ∗ 𝒓𝒓𝒑𝒑 ; 𝒓𝒓𝑻𝑻 𝒓𝒓𝒑𝒑 = 𝒗𝒗𝒑𝒑 𝒗𝒗𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟑𝟑 23. Un satélite de masa 300 kg se mueve en una órbita circular de 5 107 m por encima de la superficie terrestre. a) ¿Cuál es la fuerza gravitatoria sobre el satélite? b) ¿Cuál es la velocidad del satélite? c) ¿Cuál es el periodo del satélite? a) 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ;𝑴𝑴𝑻𝑻 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝒈𝒈∗𝒎𝒎 �𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉� 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 = 𝒈𝒈∗𝒎𝒎 �𝟏𝟏+ 𝒉𝒉 𝑹𝑹𝑻𝑻 � 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑,𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏 �𝟏𝟏+ 𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 � 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟕𝟕,𝟔𝟔 𝑵𝑵 b) 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 ;𝒗𝒗 = � 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 = �𝑮𝑮∗ 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 = �𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉 = � 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟏𝟏+ 𝒉𝒉 𝑹𝑹𝑻𝑻 = � 𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟏𝟏∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟏𝟏+ 𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟓𝟓𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝑽𝑽 c) 𝒗𝒗 𝒓𝒓 = 𝝎𝝎 ; 𝒗𝒗 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅 𝑻𝑻 ;𝑻𝑻 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗(𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕+𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕) 𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟓𝟓𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝑽𝑽 = 𝟑𝟑𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟒𝟒 𝒉𝒉 24. En el aeropuerto, un estudiante de física pesa 800 N. El estudiante embarca en un avión de reacción que asciende a una altura de 9500 m. ¿Cuál es la pérdida de peso experimentada por el estudiante? 𝑷𝑷𝑻𝑻 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ;𝒎𝒎 = 𝑷𝑷𝑻𝑻 𝒈𝒈 = 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟖𝟖𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒈𝒈 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴∗𝑮𝑮 𝑷𝑷 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗ 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴∗𝑮𝑮 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 (𝑹𝑹𝑻𝑻+𝒉𝒉)𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟐𝟐 𝑵𝑵 25. Supongamos que Kepler hubiese encontrado que el periodo de la órbita circular de un planeta es proporcional al cuadrado del radio de la órbita. ¿Qué conclusión hubiera deducido Newton respecto a la dependencia de la atracción gravitatoria sobre la distancia entre dos masas? 𝑻𝑻 = 𝑪𝑪 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 = 𝑭𝑭 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 (𝑪𝑪∗𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 = 𝑭𝑭 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝑪𝑪∗𝒓𝒓𝟑𝟑 26. Un medidor de la gravedad (basado en la superconductividad) puede medir cambios de esta magnitud del orden ∆𝒈𝒈 𝒈𝒈 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏. a) Estimar el intervalo máximo con el cual puede detectarse una persona de 80 kg con este medidor gravitatorio. b) ¿Qué variación vertical en la posición del medidor es detectable en el campo gravitatorio terrestre? a) 𝒈𝒈𝑻𝑻 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 El campo creado por una masa m, ∆𝒈𝒈 = 𝒈𝒈(𝒓𝒓): 𝒈𝒈𝒓𝒓 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒈𝒈𝑻𝑻 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐∗𝒎𝒎 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒓𝒓 = 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝒎𝒎 𝑴𝑴𝑻𝑻 = 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ � 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟖𝟖𝟏𝟏 𝟓𝟓,𝟑𝟑𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒 = 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟕𝟕 𝒎𝒎 b) Derivando g(r): 𝒅𝒅𝒈𝒈 𝒅𝒅𝒓𝒓 = −𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟑𝟑 = −𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∗ 𝑮𝑮∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 𝒓𝒓 𝒅𝒅𝒈𝒈 𝒈𝒈 = −𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 Considerando dr como ∆𝒓𝒓 y adoptando r como RT: ∆𝒓𝒓 = �𝟏𝟏𝟏𝟏 −𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟐𝟐 � = 𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 𝒎𝒎 27. Durante un eclipse solar, cuando la Luna está entre la Tierra y el Sol, la atracción gravitatoria de la Luna y el Sol sobre un estudiante tienen la misma dirección. a) Si la atracción de la Tierra sobre el estudiante es de 800 N, ¿Cuál es la fuerza de la Luna sobre el estudiante? b) ¿Y la fuerza del Sol sobre el estudiante? c) ¿Qué corrección en tanto por ciento debida al Sol y a la Luna, cuando estos astros están directamente sobre su cabeza, debería aplicarse en la lectura de una escala muy exacta para obtener el peso del estudiante? a) 𝑷𝑷𝑻𝑻 = 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ;𝒎𝒎 = 𝑷𝑷𝑻𝑻∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑻𝑻−𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝑷𝑷𝑻𝑻∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒅𝒅𝑻𝑻−𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟖𝟖𝟏𝟏𝟏𝟏∗�𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔�𝟐𝟐 𝟓𝟓,𝟑𝟑𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒∗(𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟕𝟕 𝑵𝑵 b) 𝑭𝑭𝑺𝑺 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝑻𝑻−𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝑷𝑷𝑻𝑻∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒅𝒅𝑻𝑻−𝑺𝑺 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏∗𝟖𝟖𝟏𝟏𝟏𝟏∗�𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔�𝟐𝟐 𝟓𝟓,𝟑𝟑𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒∗(𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟖𝟖𝟏𝟏 𝑵𝑵 c) 𝑷𝑷𝑹𝑹 = 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟏𝟏 − (𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟕𝟕+ 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟖𝟖𝟏𝟏) = 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟖𝟖𝟐𝟐𝟕𝟕 = 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟏𝟏𝟕𝟕𝟑𝟑 𝑵𝑵 % = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟖𝟖𝟐𝟐𝟕𝟕 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟏𝟏𝟕𝟕𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏 % 28. Si suponemos que la interacción gravitatoria entre una estrella de masa M y un planeta de masa m<<M es de la forma F=KMm/r, siendo K la constante gravitatoria, ¿Cuál sería la relación entre el radio de la órbita circular y su periodo? 𝑭𝑭 = 𝑲𝑲 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓 = 𝒎𝒎∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 ;𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑲𝑲∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐; 𝑻𝑻 ∝ 𝒓𝒓 29. La masa de la Tierra es 5,97 1024 kg y su radio 6370 km. El radio de la Luna es 1738 km. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna es 1,62 m/s2. ¿Cuál es la relación entre la densidad media de la Luna y la de la Tierra? 𝒈𝒈𝑳𝑳 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟑𝟑∗𝒅𝒅𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝑳𝑳 𝒈𝒈𝑻𝑻 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒅𝒅𝑻𝑻 𝒅𝒅𝑳𝑳 𝒅𝒅𝑻𝑻 = 𝒈𝒈𝑳𝑳∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝒈𝒈𝑻𝑻∗𝑹𝑹𝑳𝑳 = 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟏𝟏∗𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟑𝟑𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟏𝟏𝟓𝟓 30. Una plomada próxima a una gran montaña está ligeramente desviada de la vertical por la atracción gravitatoria de la montaña. Estimar el orden de magnitud del ángulo de desviación utilizando cualquier hipótesis. 𝒈𝒈𝑻𝑻 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝒈𝒈𝑴𝑴 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒕𝒕 = 𝒈𝒈𝑴𝑴 𝒈𝒈𝑻𝑻 = 𝑴𝑴𝒎𝒎∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒅𝒅𝒎𝒎𝟐𝟐 Si por ejemplo el cociente entre la masa de la montaña y de la Tierra es 10-9 y la distancia al centro de la montaña de 100 m: 𝒕𝒕𝒈𝒈𝒕𝒕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑∗(𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟒𝟒,𝟏𝟏𝟓𝟓𝟖𝟖 ; 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟕𝟕𝟏𝟏𝑺𝑺 Medida de G 31. ¿Por qué es G tan difícil de medir? Por ser G tna pequeña se necesitan cuerpos de masa muy grande o instrumentos muy sensibles para su medición. 32. Las masas en un aparato tipo Cavendish son m1=10 kg y m2=10 g, estando separados sus centros 6 cm, y la varilla que separa las dos masas pequeñas es de 20 cm de longitud. a) ¿Cuál es la fuerza de atracción entre las esferas grande y pequeña? b) ¿Qué momento debe ser ejercido por la suspensión para equilibrar estas fuerzas? a) 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑵𝑵 b) 𝝉𝝉 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟖𝟖𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏 = 𝟑𝟑,𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 ∗𝒎𝒎 33. Las masas en un aparato tipo Cavendish con m1=12 kg y m2=15 g estando separados sus centros 7 cm. a) ¿Cuál es la fuerza de atracción entre ambas masas? b) Si la varilla que separa las dos masas pequeñas tiene una longitud de 18 cm, ¿qué momento debe ser ejercido por la suspensión para equilibrar el momento ejercido por la gravedad? a) 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟐𝟐∗𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐𝟐 = 𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑵𝑵 b) 𝝉𝝉 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭 ∗ 𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 ∗𝒎𝒎 Explorando la naturaleza. Masa gravitatoria e inerte. 34. ¿Cómo se modificaría la vida ordinaria si las masas gravitatoria e inerte no fueran iguales? La masa inerte expresa la resistencia a ser acelerada: 𝑭𝑭 = 𝑴𝑴𝑻𝑻 ∗ 𝑻𝑻 La masa gravitatoria expresa como atrae una masa a otra masa: 𝑴𝑴𝒈𝒈 ∗ 𝒈𝒈 Si imaginamos dos esferas de masas gravitatorias M1g y M2g, la fuerza gravitatoria entre ellas es: 𝑭𝑭𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏𝒈𝒈 ∗𝑴𝑴𝟐𝟐𝒈𝒈 𝒓𝒓𝟐𝟐 43. Una corteza esférica tiene un radio R y una masa M. a) Escribir las expresiones correspondientes a la fuerza ejercida por la corteza sobre una masa puntual m0 cuando mo esté en el exterior o en el interior de la corteza. b) ¿Cuál es la función energía potencial U(r) para este sistema cuando la masa mo está a una distancia r (𝒓𝒓 ≥ 𝑹𝑹) si U=0 en r=∞ ? Calcular esta función para r=R. c) Utilizando la relación general 𝒅𝒅𝑼𝑼 = −𝑭𝑭�⃗ ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓�⃗ = −𝑭𝑭𝒓𝒓𝒅𝒅𝒓𝒓, demostrar que U es constante en todo punto interior a la corteza. d) Utilizando el hecho de que U es continua en todas partes, incluyendo los puntos en que r=R, hallar el valor de U constante en el interior de la corteza. e) Dibujar una gráfica de U ( r) en función de r para todos las valores posibles de r. a) 𝑭𝑭𝒅𝒅𝑻𝑻𝒓𝒓𝒕𝒕𝒓𝒓𝑺𝑺 = 𝟏𝟏 ,𝒑𝒑𝑺𝑺𝒓𝒓 𝑽𝑽𝑻𝑻𝒎𝒎𝑻𝑻𝒕𝒕𝒓𝒓𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑭𝑭�⃗𝒇𝒇𝒇𝒇𝑻𝑻𝒓𝒓𝑻𝑻 = 𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝒈𝒈��⃗ = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝑺𝑺 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓�⃗ b) 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒓𝒓 ≥ 𝑹𝑹) = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝑺𝑺 𝒓𝒓 ;𝑬𝑬𝒑𝒑(𝑹𝑹) = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝑺𝑺 𝑹𝑹 c) 𝑰𝑰𝒓𝒓𝒕𝒕𝑻𝑻𝒓𝒓𝑻𝑻𝑺𝑺𝒓𝒓: 𝑾𝑾𝑼𝑼→𝑩𝑩 = −∆𝑬𝑬𝒑𝒑; 𝑯𝑯𝑺𝑺𝒎𝒎𝑺𝑺 𝑭𝑭 = 𝟏𝟏 𝑻𝑻𝑺𝑺 𝑻𝑻𝒓𝒓𝒕𝒕𝑻𝑻𝒓𝒓𝑻𝑻𝑺𝑺𝒓𝒓; ∆𝑬𝑬𝒑𝒑 = 𝟏𝟏 ;𝑬𝑬𝒓𝒓𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈í𝑻𝑻 𝒑𝒑𝑺𝑺𝒕𝒕𝑻𝑻𝒓𝒓𝑯𝑯𝑻𝑻𝑻𝑻𝑺𝑺 𝑯𝑯𝑺𝑺𝒓𝒓𝑽𝑽𝒕𝒕𝑻𝑻𝒓𝒓𝒕𝒕𝑻𝑻 𝑻𝑻𝒓𝒓 𝑻𝑻𝑺𝑺 𝑻𝑻𝒓𝒓𝒕𝒕𝑻𝑻𝒓𝒓𝑻𝑻𝑺𝑺𝒓𝒓. d) Como 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝑹𝑹) = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝑺𝑺 𝑹𝑹 El valor en el interior: 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒓𝒓 ≤ 𝑹𝑹) = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝑺𝑺 𝑹𝑹 e) 44. Nuestra galaxia puede considerarse como un gran disco de radio R y masa M con densidad aproximadamente constante. a) Hallar la energía potencial gravitatoria de una masa de 1 kg situada sobre el eje del disco a una distancia x del mismo debida a un elemento de disco de forma de anillo de radio r y espesor dr. b) Integrar el resultado de la parte (a) para hallar la energía potencial gravitatoria total de una masa de 1 kg situada a una distancia x debida a todo el disco. c) Utilizando 𝑭𝑭𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝑼𝑼 𝒅𝒅𝒙𝒙 y el resultado de la parte (b), hallar el campo gravitatorio gx a lo largo del eje del disco. a) 𝑯𝑯𝑺𝑺𝑽𝑽𝒄𝒄 = 𝒙𝒙 �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ 𝝈𝝈 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝒅𝒅𝒎𝒎 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯𝑺𝑺𝑽𝑽𝒄𝒄 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒓𝒓∗𝝈𝝈∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 ∫ 𝒅𝒅𝒙𝒙∞ 𝑭𝑭𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = ∫ 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ 𝒙𝒙∗𝒅𝒅𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝒙𝒙 ∞ Haciendo el cambio: 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒇𝒇 ;𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒅𝒅𝒇𝒇. 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ � −𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝟏𝟏 𝟐𝟐 � = −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ � 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐� ∞ 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐 b) 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = ∫ �−𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 ∗ 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 �𝑹𝑹 𝟏𝟏 Haciendo el cambio: 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒇𝒇 ;𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝒅𝒅𝒇𝒇. 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = −𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝝈𝝈 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝟏𝟏 𝟐𝟐 = −𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝒇𝒇 𝟏𝟏 𝟐𝟐� = −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝝈𝝈 ∗ �(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝑹𝑹 == −𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ ��𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� c) 𝑭𝑭𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝑼𝑼 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ � 𝒙𝒙 (𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏� 45. La hipótesis de densidad uniforme del problema 44 es poco realista. En la mayor parte de las galaxias la densidad crece hacia el centro de la galaxia. Repetir el problema 44 suponiendo una densidad máxima superficial de la forma 𝝈𝝈(𝒓𝒓) = 𝑪𝑪/𝒓𝒓, en donde 𝝈𝝈(𝒓𝒓)es la masa por unidad de área del disco a la distancia r del centro. Determinar primero la constante C en función de R y M; después seguir como en el problema 44. a) 𝑴𝑴 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ ∫ 𝒓𝒓 ∗ 𝝈𝝈 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑪𝑪 ∗ ∫ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑹𝑹𝑹𝑹 𝟏𝟏 𝑹𝑹 𝟏𝟏 𝑪𝑪 = 𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝑺𝑺 ∗ 𝑴𝑴 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒙𝒙 𝒓𝒓 ∗ 𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟑𝟑/𝟐𝟐 𝒙𝒙 ∞ 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒙𝒙∗𝒅𝒅𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒙𝒙 ∞ Con el cambio 𝒇𝒇 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; du=2*x*dx. 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒇𝒇 𝒇𝒇𝟑𝟑/𝟐𝟐 = −𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒓𝒓 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 ∗ � 𝟐𝟐 𝒇𝒇𝟏𝟏/𝟐𝟐� 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = −𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ � 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐� ∞ 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = −𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒓𝒓 𝑹𝑹 ∗ � 𝟏𝟏 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) � 𝟏𝟏/𝟐𝟐 b) Para todo el disco: 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = −𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒓𝒓 (𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝟏𝟏 Con el cambio (𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐)𝟏𝟏/𝟐𝟐 = 𝒇𝒇 ; 𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒅𝒅𝒓𝒓 𝟐𝟐∗(𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒓𝒓𝟐𝟐) = 𝒅𝒅𝒇𝒇 −𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 ∗ �𝑺𝑺𝒓𝒓 �𝒓𝒓 +�𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝟐𝟐�� 𝟏𝟏 𝑹𝑹 𝑬𝑬𝒑𝒑(𝒙𝒙) = −𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝑺𝑺∗𝑴𝑴 𝑹𝑹 ∗ 𝑺𝑺𝒓𝒓 �𝑹𝑹+ �𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒙𝒙 � c) 𝑭𝑭𝒙𝒙 = −𝒅𝒅𝑼𝑼 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎𝑺𝑺 𝑹𝑹 ∗ � 𝒙𝒙 𝑹𝑹∗�𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐+𝒙𝒙𝟐𝟐+𝑹𝑹𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 � Velocidad de escape 46. ¿Cuál es el efecto de la resistencia del aire sobre la velocidad de escape próxima a la superficie de la Tierra? Aumenta la velocidad de escape y dependerá de la forma del cuerpo dado que la fuerza de fricción es: 𝑭𝑭 = −𝝆𝝆 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪𝒅𝒅 ∗ 𝑼𝑼 47. En principio, ¿sería posible que la tierra escapara del sistema solar? La velocidad de escape será: −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑽𝑽∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑽𝑽−𝑻𝑻 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 ∗ 𝒗𝒗𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝒗𝒗𝑻𝑻 = �𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑽𝑽 𝑹𝑹𝑽𝑽−𝑻𝑻 = �𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟒𝟒𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝑽𝑽 Para conseguir está velocidad se necesitaría un impacto muy grande. 48. Si la masa de un planeta se duplica sin aumentar su tamaño, la velocidad de escape a) Se incrementará en un factor 1,4. b) Se incrementará en un factor 2. c) No variará. d) Se reducirá en un factor 1,4. e) Se reducirá en un factor 2. 𝒗𝒗𝑻𝑻 = �𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑷𝑷 𝑹𝑹𝑷𝑷 La respuesta correcta es un aumento en √𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒. La a. 49. El planeta Saturno tiene una masa 95,2 veces mayor que la de la Tierra y un radio 9,47 veces el de ésta. Hallar la velocidad de escape para objetos situados cerca de la superficie de Saturno. 𝒗𝒗𝑻𝑻 = �𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑺𝑺 𝑹𝑹𝑽𝑽 = �𝟑𝟑𝟓𝟓,𝟐𝟐 𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟕𝟕 ∗ 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟕𝟕 ∗ 𝒗𝒗𝑻𝑻−𝑻𝑻 = 𝟑𝟑𝟓𝟓,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒎𝒎/𝑽𝑽 50. Hallar la velocidad de escape de un cohete que abandona la Luna. La aceleración de la gravedad en la Luna es 0,166 veces la de la Tierra y el radio de la Luna es 0,273 RT. 𝒈𝒈𝑳𝑳 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝒗𝒗𝑻𝑻 = �𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳 = �𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑹𝑹𝑳𝑳𝟐𝟐∗ ∗ 𝑹𝑹𝑳𝑳 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈𝑺𝑺 ∗ 𝑹𝑹𝑳𝑳 = �𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝒈𝒈𝑻𝑻 ∗ 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟕𝟕𝟑𝟑 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 59. Un objeto se proyecta verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra. Demostrar que la altura máxima alcanzada por el cuerpo es 𝑯𝑯 = 𝑹𝑹𝑻𝑻𝑯𝑯′/(𝑹𝑹𝑻𝑻 −𝑯𝑯′), en donde H’ es la altura que alcanzaría si el campo gravitatorio fuera constante. Caso de campo contante: 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑯𝑯′ = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐; 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑯𝑯′ = 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯′ Para el caso de campo variable: −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹+𝑯𝑯 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹 − 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹+𝑯𝑯 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯′ �𝟏𝟏 𝑹𝑹 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹+𝑯𝑯 � = 𝑯𝑯′ 𝑹𝑹𝟐𝟐 �𝟏𝟏 𝑹𝑹 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹+𝑯𝑯 � ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝑯𝑯′ 𝑯𝑯∗𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹∗(𝑹𝑹+𝑯𝑯) = 𝑯𝑯′ 𝑯𝑯 ∗ 𝑹𝑹 = 𝑯𝑯′ ∗ (𝑹𝑹 +𝑯𝑯) ; (𝑹𝑹− 𝑯𝑯′) ∗ 𝑯𝑯 = 𝑯𝑯′ ∗ 𝑹𝑹 𝑯𝑯 = 𝑯𝑯′∗𝑹𝑹 𝑹𝑹−𝑯𝑯′ Órbitas 60. Un cuerpo astronómico (por ejemplo, un cometa descubierto por primera vez) entra en el sistema solar y pasa alrededor del Sol. ¿Cómo podemos saber si este cuerpo retornará muchos años después o no volverá nunca? Midiendo su velocidad y comparándola con su velocidad de escape, si es mayor escapará. 61. Un vehículo espacial de 100 kg de masa se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura h=2RT. a) ¿Cuál es el periodo de la órbita de este vehículo alrededor de la Tierra? b) ¿Cuál es su energía cinética? c) Expresar el momento angular L del vehículo espacial en función de su energía cinética Ec y determinar su valor numérico. 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝒓𝒓 ; 𝒗𝒗 = �𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 a) 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ � 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟏𝟏 𝒈𝒈 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟏𝟏 𝒈𝒈 ∗ 𝟖𝟖∗𝑹𝑹𝑻𝑻𝟑𝟑 𝑹𝑹𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝟖𝟖∗𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝟑𝟑.𝟖𝟖𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟑𝟑𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑽𝑽 b) 𝑬𝑬𝑯𝑯 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑹𝑹 = 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑱𝑱 c) 𝑬𝑬𝑯𝑯 = 𝑳𝑳𝟐𝟐 𝟐𝟐∗𝑰𝑰 ; 𝑳𝑳 = �𝟐𝟐 ∗ 𝑬𝑬𝑯𝑯 ∗ 𝑰𝑰 𝑰𝑰 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 ∗ �𝟐𝟐 ∗ 𝑬𝑬𝑯𝑯 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 ∗ √𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟕𝟕.𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒈𝒈 ∗𝒎𝒎𝟐𝟐/𝑽𝑽 62. Hay muchos satélites en órbita alrededor de la Tierra, a unos 1000 km de altura sobre la superficie terrestre. Los satélites geo sincrónicos están en órbita a una distancia de 4,22 107 m del centro de la Tierra. ¿Cuánta energía más se requiere para lanzar un satélite de 500 kg a una órbita geo sincrónica que a una órbita de 1000 km por encima de la superficie terrestre? Calculamos la energía de un satélite en órbita: 𝑬𝑬 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 Usando la velocidad en órbita: 𝒗𝒗 = �𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 = �𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝒓𝒓 = �𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝒓𝒓 𝑬𝑬 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 ∗𝒎𝒎 𝒓𝒓 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 ∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 = − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝒓𝒓 Para cada órbita tenemos: 𝑬𝑬�𝑹𝑹 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� = −𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝑹𝑹+𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑬𝑬(𝒈𝒈𝑻𝑻𝑺𝑺) = −𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∆𝑬𝑬 = 𝑬𝑬(𝒈𝒈𝑻𝑻𝑺𝑺) −𝑬𝑬�𝑹𝑹 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ ( 𝟏𝟏 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 ) ∆𝑬𝑬 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟐𝟐 ∗ � 𝟏𝟏 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒.𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 � = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱 63. Teóricamente es posible situar un satélite en una posición entre la Tierra y el Sol sobre la línea que une estos astros, en donde las fuerzas gravitatorias del Sol y de la Tierra se combinan de tal forma que el satélite ejecutaría una órbita circular alrededor del Sol, geosíncrona con la órbita terrestre alrededor del Sol. (Dicho de otro modo, el satélite y la Tierra tienen el mismo período respecto al Sol, aunque sus distancias a este son diferentes. El satélite permanece siempre alineado con la Tierra y el Sol). Deducir una expresión que relacione la velocidad orbital circular apropiada de un satélite en tal situación y su distancia r al Sol. Esta expresión puede también incluir alguna de las magnitudes que se muestran en la figura, además de la constante de gravitación G. Sobre el satélite actúan la fuerza gravitatoria del Sol y la de la Tierra. Ambas en sentidos opuestos. 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑽𝑽∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 − 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 (𝑫𝑫−𝒓𝒓)𝟐𝟐 = 𝒎𝒎∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒓𝒓 𝒗𝒗 = �𝑮𝑮 ∗ �𝑴𝑴𝑽𝑽 𝒓𝒓 − 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒓𝒓 (𝑫𝑫−𝒓𝒓)𝟐𝟐 � Campo gravitatorio g 64. Una masa de 3 kg experimenta una fuerza gravitatoria de 12 N i en cierto punto P. ¿Cuál es el campo gravitatorio en ese punto? 𝑭𝑭�⃗ = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈��⃗ ; 𝒈𝒈��⃗ = 𝑭𝑭�⃗ 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒊𝒊 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒 𝒊𝒊 65. El campo gravitatorio en cierto punto viene dado por g=2,5 10-6 N/kg j. ¿Cuál es la fuerza gravitatoria sobre una masa de 4 g en ese punto? 𝑭𝑭�⃗ = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈��⃗ = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐,𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 𝒋𝒋 = 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝑵𝑵𝒋𝒋 66. Una masa puntual m está sobre el eje x en el punto x=L y otra masa puntual igual está sobre el eje y en el punto y=L. a) Determinar el campo gravitatorio en el origen. b) ¿Cuál es la magnitud de este campo? a) 𝒈𝒈𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 𝒈𝒈𝑯𝑯 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ 𝒋𝒋 b) 𝒈𝒈 = ��𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 + �𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 � 𝟐𝟐 = √𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝑳𝑳𝟐𝟐 67. Cinco masas iguales M están equidistantes sobre el arco de una semicircunferencia de radio R como se indica en la figura. Se sitúa una masa m en el centro de curvatura del arco. a) Si M es 3 kg, m vale 2 kg y R es 10 cm, ¿Cuál es la fuerza sobre m debida a las cinco masas M? b) Si m se retira, ¿Cuál es el campo gravitatorio en el centro de curvatura del arco? a) Por simetría la fuerza resultante estará sobre el eje y. El módulo de cada una de las fuerzas es: 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝟐𝟐 Sumando las 5 componentes y: 𝑭𝑭𝑯𝑯 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯𝑺𝑺𝑽𝑽𝟒𝟒𝟓𝟓+ 𝟏𝟏) = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑∗𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 ∗ (𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯𝑺𝑺𝑽𝑽𝟒𝟒𝟓𝟓+ 𝟏𝟏) = 𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝑵𝑵 b) 𝒈𝒈𝑯𝑯 = 𝑭𝑭𝑯𝑯 𝒎𝒎 = 𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒈𝒈 b) Determinar el campo gravitatorio debido a la estaca en el punto xo>L. a) 𝑴𝑴 = ∫ 𝝀𝝀 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 = ∫ 𝑪𝑪 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝑪𝑪 ∗ �𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝑳𝑳𝑳𝑳 𝟏𝟏 𝑳𝑳 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑪𝑪 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 b) El campo estará dirigido hacia el origen, consideremos un dm situado en x, su campo en módulo en un punto situado en x será: 𝒅𝒅𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒅𝒅𝒎𝒎 (𝒙𝒙𝑺𝑺−𝒙𝒙)𝟐𝟐 El campo total será, dirigido hacia el origen: 𝒈𝒈 = ∫ 𝑮𝑮 ∗ 𝑪𝑪∗𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝑺𝑺−𝒙𝒙)𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳 𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑪𝑪 ∗ ∫ 𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝑺𝑺−𝒙𝒙)𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙𝑳𝑳 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ �𝑺𝑺𝒓𝒓 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒙𝒙𝑺𝑺−𝑳𝑳 − 𝑳𝑳 𝒙𝒙𝑺𝑺−𝑳𝑳 � 72. Una varilla uniforme de masa M y longitud L está situada sobre el eje x con centro en el origen. Consideremos un elemento de longitud dx a una distancia x del origen. a) Demostrar que este elemento produce un campo gravitatorio en un punto xo sobre el eje x (xo>1/2L) dado por 𝒅𝒅𝒈𝒈𝒙𝒙 = − 𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑳𝑳(𝒙𝒙𝑺𝑺−𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 b) Integrar este resultado respecto a toda la varilla para hallar el campo gravitatorio total en el punto xo debido a la misma. c) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre un objeto de masa mo en xo? d) Demostrar que para xo>>L el campo es aproximadamente igual al ejercido por una masa puntual. a) 𝒅𝒅𝒈𝒈��⃗ 𝒙𝒙 = −𝑮𝑮 ∗ 𝒅𝒅𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 𝒅𝒅𝒎𝒎 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝑴𝑴 𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 La distancia del elemento al punto considerado: 𝒓𝒓 = 𝒙𝒙𝑺𝑺 − 𝒙𝒙 𝒈𝒈��⃗ 𝒙𝒙 = −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑳𝑳 (𝒙𝒙𝑺𝑺−𝒙𝒙)𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 ∗ 𝒊𝒊 b) 𝒈𝒈��⃗ 𝒙𝒙 = −𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒙𝒙 (𝒙𝒙𝑺𝑺−𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝑳𝑳 𝟐𝟐 −𝑳𝑳𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 = −𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝑳𝑳 ∗ � 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝑺𝑺−𝒙𝒙 � −𝑳𝑳𝟐𝟐 𝑳𝑳 𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 𝒈𝒈��⃗ 𝒙𝒙 = −𝑮𝑮 ∗𝑴𝑴 ∗ � 𝟏𝟏 𝒙𝒙𝑺𝑺𝟐𝟐− 𝟏𝟏 𝟒𝟒∗𝑳𝑳 𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 c) En las condiciones indicadas: 𝒙𝒙𝑺𝑺𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝟒𝟒 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐 ≈ 𝒙𝒙𝑺𝑺𝟐𝟐 𝒈𝒈��⃗ 𝒙𝒙 ≈ −𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒙𝒙𝑺𝑺𝟐𝟐 ∗ 𝒊𝒊 Campo gravitatorio g producido por objetos esféricos 73. Explicar por qué el campo gravitatorio crece con r, en lugar de disminuir según 1/r2 al alejarse del centro en el interior de una esfera sólida de masa uniforme. El campo en el interior de la esfera dependerá de la masa contendida en la parte interior al punto considerado, está masa interior dependerá de r3 (m=d*V=4/3*𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑). Como el campo dependerá de 1/r2, el resultado será una dependencia global de r. 74. Una corteza esférica tiene un radio de 2 m y una masa de 300 kg. ¿Cuál es el campo gravitatorio a las siguientes distancias del centro de la corteza: a) 0,5 m b) 1,9 m c) 2,5 m. a) Estamos en el interior, el campo será 0. b) Igual que en el caso anterior, g=0. c) El campo será el mismo que haría un objeto puntual situado en el centro de la esfera: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟑𝟑,𝟐𝟐𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒈𝒈 75. Una corteza esférica tiene un radio de 2 m y una masa de 300 kg; su centro está localizado en el origen de un sistema de coordenadas. Otra corteza esférica de radio 1 m y masa 150 kg está situada dentro de la corteza mayor con su centro a 0,6 m sobre el eje x. ¿Cuál es la fuerza gravitatoria de atracción entre las dos cortezas? El campo gravitatorio creado por la esfera exterior en su interior es 0, por tanto no ejerce ninguna fuerza de atracción sobre la interior, por la tercera ley de Newton la interior no ejercerá fuerza sobre la exterior. 76. Dos esferas S1 y S2 tienen radios iguales R y masas iguales M. La densidad de la esfera S1 es constante, mientras que la densidad de la esfera S2 depende de la distancia radial de acuerdo con la expresión 𝝆𝝆(𝒓𝒓) = 𝑪𝑪/𝒓𝒓. Si la aceleración de la gravedad en la superficie de S1 es g1, ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de la esfera S2? En el exterior de las dos esferas tenemos: 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝒈𝒈𝟐𝟐 77. Dos esferas homogéneas S1 y S2 tienen masas iguales, pero radios distintos R1 y R2. Si la aceleración de la gravedad en la superficie de la esfera S1 es g1. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en S2? 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 ;𝑴𝑴 = 𝒈𝒈𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒈𝒈𝟏𝟏∗𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑮𝑮 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝒈𝒈𝟏𝟏 ∗ 𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟐𝟐 78. Dos cortezas esféricas concéntricas y uniformes poseen masas M1 y M2 y radio a y 2a, como se muestra en la figura. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitatoria sobre una masa puntual m localizada a) A una distancia 3a del centro de las dos cortezas? b) A una distancia 1,9a del centro de las cortezas? c) A una distancia 0,9a del centro de las cortezas? a) Las dos cortezas contribuyen al campo: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏+𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟑𝟑∗𝑻𝑻𝟐𝟐 ;𝑭𝑭 = 𝒎𝒎∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏+𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟑𝟑∗𝑻𝑻𝟐𝟐 b) Solo creara campo la corteza interior: 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟐𝟐∗𝑻𝑻𝟐𝟐 ;𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟐𝟐∗𝑻𝑻𝟐𝟐 c) Estamos en la zona interior de las dos cortezas, el campo es nulo. 79. La corteza esférica interna del problema 78 se desplaza de modo que su centro está ahora en x=0,8 a. Los puntos 3a, 1,9a y 0,9a están ahora a lo largo de la misma línea radial desde el centro de la corteza esférica mayor. a) ¿Cuál es la fuerza sobre m en 3a? b) ¿Cuál es la fuerza sobre m en 1,9a? c) ¿Cuál es la fuerza sobre m en 0,9a? a) 𝒈𝒈𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟑𝟑∗𝑻𝑻𝟐𝟐 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 (𝟑𝟑∗𝑻𝑻−𝟏𝟏,𝟖𝟖∗𝑻𝑻)𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟒𝟒∗𝑻𝑻𝟐𝟐 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟑𝟑∗𝑻𝑻𝟐𝟐 + 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟒𝟒∗𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ �𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟑𝟑 + 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟒𝟒 � 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎∗ 𝑮𝑮 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ �𝑴𝑴𝟏𝟏 𝟑𝟑 + 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟒𝟒,𝟖𝟖𝟒𝟒 � b) En este caso solo produce campo la esfera 2: 𝒈𝒈𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 (𝟏𝟏,𝟑𝟑∗𝑻𝑻−𝟏𝟏,𝟖𝟖∗𝑻𝑻)𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟏𝟏∗𝑻𝑻𝟐𝟐 𝑭𝑭 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟏𝟏∗𝑻𝑻𝟐𝟐 c) En este caso el punto esta en el interior de las dos esferas, el campo gravitatorio será nulo. La fuerza será 0. Campo gravitatorio g en el interior de esferas sólidas 80. Supongamos que la Tierra fuera una esfera de masa uniforme y en ella se excavara un pozo de 15000 m de profundidad. Un estudiante que pesa 800 N en la superficie de la Tierra desciende en un montacargas hasta el fondo del pozo. ¿Cuál sería allí la pérdida de peso experimentada por el estudiante? En la superficie: 𝑷𝑷𝑽𝑽 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 = 𝒎𝒎∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝝆𝝆∗𝟒𝟒𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝒕𝒕 𝟑𝟑 𝑹𝑹𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎 ∗ 𝝆𝝆 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝒕𝒕 En el interior solo afecta al campo la masa interior: 𝒎𝒎 = ∫ ∫ � 𝑪𝑪 𝒓𝒓 ∗ 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓�𝑹𝑹 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑪𝑪 ∗ �𝒓𝒓𝟐𝟐�𝒓𝒓 𝟏𝟏 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑪𝑪∗�𝒓𝒓 𝟐𝟐� 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑪𝑪 = 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒈𝒈 , dirigida al centro. 85. En la esfera del problema 84 se taladra un agujero hacia el centro de la misma a una profundidad de 2 m por debajo de la superficie de la esfera. Desde la superficie se deja caer en el agujero una pequeña masa. Determinar la velocidad de esta masa al chocar contra el fondo del agujero. Aplicando la conservación de la energía: 𝑬𝑬𝒑𝒑𝑻𝑻 = 𝑬𝑬𝒑𝒑𝒇𝒇 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 𝒗𝒗 = �−𝟐𝟐∗∆𝑬𝑬𝒑𝒑 𝒎𝒎 Como g es constante e nel interior (𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑵𝑵/𝒌𝒌𝒈𝒈): ∆𝑬𝑬𝑷𝑷 = −∫ 𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓𝟐𝟐 𝟏𝟏 = −𝒎𝒎 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝟐𝟐 𝒗𝒗 = �𝟒𝟒∗𝒈𝒈∗𝒎𝒎 𝒎𝒎 = �𝟒𝟒 ∗ 𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝑽𝑽 86. La superficie sólida de la Tierra tiene una densidad de 3000 kg/m3 aproximadamente y un espesor de 40 km. Centrado a 2000 m por debajo de dicha superficie se encuentra un depósito esférico de metales pesados con una densidad de 8000 kg/m3 y un radio de 1000 m. Encontrar el cociente ∆𝒈𝒈/𝒈𝒈 directamente por encima de este depósito, siendo ∆𝒈𝒈 el aumento del campo gravitatorio debido al depósito. ∆𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ ∆𝑴𝑴 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝟑𝟑∗∆𝝆𝝆 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∆𝒈𝒈 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝟑𝟑∗∆𝝆𝝆 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒈𝒈 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑∗𝟓𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟏𝟏∗𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓 87. Dentro de una esfera de plomo de radio R se han taladrado dos huecos esféricos idénticos de radio R/2. Ambos son tangentes a la superficie de la esfera y pasan por su centro como se ve en la figura. Antes de formar los huecos la masa de la esfera de plomo era M. a) Hallar la fuerza de atracción que la esfera de plomo ejerce sobre una esferita de masa m situada en la posición que indica la figura. b) ¿Cuál es la fuerza de atracción si m se sitúa justo en la superficie de la esfera de plomo? a) Consideraremos la fuerza formada por tres partes, la fuerza de una esfera compacta de masa M, la fuerza de cada una de las cavidades de masa -M’. Esfera compacta: 𝑴𝑴 = 𝝆𝝆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆 𝑭𝑭𝑯𝑯 = 𝑮𝑮 ∗ 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹 𝟑𝟑∗𝝆𝝆∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝟐𝟐 ;𝒅𝒅𝑻𝑻𝒓𝒓𝑻𝑻𝒈𝒈𝑻𝑻𝒅𝒅𝑻𝑻 𝒉𝒉𝑻𝑻𝑯𝑯𝑻𝑻𝑻𝑻 𝑻𝑻𝑺𝑺 𝑺𝑺𝒓𝒓𝑻𝑻𝒈𝒈𝑻𝑻𝒓𝒓 (−𝒊𝒊). La fuerza de cada uno de los huecos: 𝑴𝑴′ = 𝟒𝟒 𝟑𝟑 ∗ 𝝅𝝅 ∗ �𝑹𝑹 𝟐𝟐 � 𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆 = 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟔𝟔 ∗ 𝝆𝝆 𝑭𝑭𝒉𝒉 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟔𝟔 ∗𝝆𝝆∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝟐𝟐+𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟒𝟒 En sentido vectorial las componentes y se anulan por simetría, la fuerza resultante tendrá únicamente componente x dirigido hacia el sentido de las x positivas: 𝑭𝑭𝒉𝒉𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟔𝟔 ∗𝒎𝒎∗𝝆𝝆 𝒅𝒅𝟐𝟐+𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟒𝟒 ∗ 𝒅𝒅 �𝒅𝒅𝟐𝟐+𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟒𝟒 = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟑𝟑 𝟔𝟔 ∗𝒎𝒎∗𝝆𝝆∗𝒅𝒅 (𝒅𝒅𝟐𝟐+𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟒𝟒 ) 𝟑𝟑/𝟐𝟐 La fuerza resultante: 𝑭𝑭�⃗ = 𝑭𝑭�⃗𝑯𝑯 + 𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭�⃗𝒉𝒉𝒙𝒙 𝑭𝑭�⃗ = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆 ∗𝒎𝒎 ∗ �− 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝒅𝒅 𝟑𝟑∗(𝒅𝒅𝟐𝟐+𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟒𝟒 ) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 b) En caso de d=R: 𝑭𝑭�⃗ = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟑𝟑 ∗ 𝝆𝝆 ∗𝒎𝒎 ∗ �− 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝑹𝑹𝟐𝟐 + 𝑹𝑹 𝟑𝟑∗(𝑹𝑹𝟐𝟐+𝑹𝑹 𝟐𝟐 𝟒𝟒 ) 𝟑𝟑 𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 𝑭𝑭�⃗ = 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝝆𝝆 ∗𝒎𝒎 ∗ �−𝟒𝟒 𝟑𝟑 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑∗�𝟏𝟏+𝟏𝟏𝟒𝟒 � 𝟑𝟑 𝟐𝟐 � 𝒊𝒊 = −𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑𝟒𝟒 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝝆𝝆 ∗𝒎𝒎 ∗ 𝒊𝒊 Problemas generales 88. Si Ec es la energía cinética de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra y U la energía potencial del sistema Tierra-Luna. ¿Cuál es la relación entre Ec y U? 𝑭𝑭𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝒅𝒅 −𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒅𝒅 = − 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 ;− 𝑼𝑼 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑬𝑬𝑯𝑯 89. Una mujer, cuyo peso en la Tierra es de 500 N, se traslada a una altura de dos radios terrestres por encima de la superficie de la Tierra. Su peso: a) Disminuirá a la mitad de su valor original. b) Disminuirá a un cuarto de su valor original. c) Disminuirá a un tercio de su valor original. d) Disminuirá a un noveno de su valor original. El radio pasa de R a 3R, el valor del peso disminuirá a la novena parte. Respuesta d. 90. La distancia media de Plutón al Sol es de 39,5 UA. Determinar el periodo de Plutón. Por la tercera ley de Kepler: 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝑪𝑪 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ;𝑪𝑪 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟑𝟑 (𝟏𝟏 𝑻𝑻ñ𝑺𝑺)𝟐𝟐 (𝟏𝟏 𝑼𝑼𝑼𝑼)𝟑𝟑 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟑𝟑 ;𝑻𝑻 = �𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟑𝟑 = 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟖𝟖 𝑻𝑻ñ𝑺𝑺𝑽𝑽 91. El semieje mayor de Ganímedes, satélite descubierto por Galileo, es 1,07 106km y su periodo 7,155 días. Determinar la masa de Júpiter. 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅 𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅 𝑴𝑴 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑻𝑻𝟐𝟐∗𝑮𝑮 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗(𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑)𝟑𝟑 (𝟕𝟕,𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟐𝟐𝟒𝟒∗𝟑𝟑𝟔𝟔𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐∗𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟕𝟕𝒌𝒌𝒈𝒈 92. Calcular la masa de la Tierra a partir de los valores de G, g y RT. 𝒈𝒈 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 ;𝑴𝑴 = 𝒈𝒈∗𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝑮𝑮 = 𝟑𝟑.𝟖𝟖𝟏𝟏∗�𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔�𝟐𝟐 𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟓𝟓,𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒 𝒌𝒌𝒈𝒈 93. Urano posee una luna, Umbriel, que describe una órbita de 2,67 108 m de radio medio y cuyo periodo es de 3,58 105 s. a) Calcular el periodo de otra de las lunas de Urano, Oberón, sabiendo que el radio medio de su órbita es de 5,86 108 m. b) Utilizar el valor ya conocido de G para calcular la masa de Urano. a) 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝑪𝑪 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 ;𝑪𝑪 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟑𝟑 (𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓)𝟐𝟐 (𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔)𝟑𝟑 = 𝑻𝑻𝟐𝟐 (𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 𝑻𝑻 = �(𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓)𝟐𝟐∗(𝟓𝟓.𝟖𝟖𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 (𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟔𝟔𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 𝑽𝑽 b) 𝑴𝑴 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑻𝑻𝟐𝟐∗𝑮𝑮 Para el primer satélite: 𝑴𝑴 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗(𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 (𝟑𝟑.𝟓𝟓𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓)𝟐𝟐∗𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖,𝟕𝟕𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒌𝒌𝒈𝒈 94. Joe y Sally saben que existe un punto entre la Tierra y la Luna en el cual se equilibran los efectos gravitatorios de ambos astros. Pertenecientes a un futuro espacial inician un viaje Tierra-Luna y deciden concebir un niño libre de la esclavitud de la gravedad. ¿A qué distancia del centro de la Tierra deben intentar concebir a Cero-g, el primer bebé de gravedad cero? 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝒕𝒕∗𝒎𝒎 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒎𝒎 (𝒅𝒅𝒕𝒕−𝑺𝑺−𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒕𝒕 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝑴𝑴𝑺𝑺 (𝒅𝒅𝒕𝒕−𝑺𝑺−𝒙𝒙)𝟐𝟐 Usando: 𝑴𝑴𝒕𝒕 𝑴𝑴𝑺𝑺 = 𝟖𝟖𝟏𝟏;𝒅𝒅𝒕𝒕−𝑺𝑺 = 𝟑𝟑.𝟖𝟖𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟔𝟔.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏.𝟏𝟏𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 = 𝟏𝟏 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑.𝟒𝟒𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝒙𝒙 = 𝟒𝟒.𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎 La solución correcta es 3.46 *108 m. 95. La fuerza ejercida por la Tierra sobre una partícula de masa m a la distancia r del centro del planeta tiene la magnitud 𝑮𝑮𝑴𝑴𝑻𝑻𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝒈𝒈𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 . a) Calcular el trabajo que debe realizarse contra la gravedad para desplazar la partícula de una distancia r1 a otra r2. b) Demostrar que cuando r1=RT y r2=RT+h, el resultado puede escribirse en la forma 𝑾𝑾 = 𝒎𝒎𝒈𝒈𝑹𝑹𝑻𝑻𝟐𝟐 � 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 − 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝑻𝑻 + 𝒉𝒉 � c) Demostrar que cuando h<<RT, el trabajo viene dado aproximadamente por W=mgh a) 𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑬𝑬 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑬𝑬 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟑𝟑 𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑬𝑬 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝟑𝟑 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗∗ 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽 𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝟑𝟑 𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟐𝟐 = 𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝟑𝟑 𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟑𝟑 ;𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽 = 𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽 ∗ � 𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝟑𝟑 𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟑𝟑 𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽 = 𝟐𝟐 ∗ ��𝟏𝟏.𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 � 𝟑𝟑 = 𝟒𝟒.𝟖𝟖𝟑𝟑 𝑻𝑻ñ𝑺𝑺𝑽𝑽 b) 𝑴𝑴𝑬𝑬 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝑻𝑻𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝒀𝒀𝑻𝑻𝒓𝒓𝒈𝒈𝑽𝑽𝟑𝟑 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗(𝟐𝟐∗𝟑𝟑𝟔𝟔𝟓𝟓,𝟐𝟐𝟓𝟓∗𝟐𝟐𝟒𝟒∗𝟑𝟑𝟔𝟔𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐 ∗ �𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏�𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑬𝑬 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒈𝒈 c) La velocidad en un punto viene determinada por la tercera ley de Newton: 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝒓𝒓 ;𝒗𝒗 = �𝑮𝑮∗𝑴𝑴 𝒓𝒓 Por tanto, la velocidad del objeto dependerá del radio, si el radio es el mismo la velocidad también. d) Si las dos tienen la misma velocidad en el punto A y la misma posición, tendrán la misma energía. e) En el punto P aumenta la energía potencial respecto del punto A, para que se conserve la energía total deberá disminuir la energía cinética respecto a la del punto P. 103. En un sistema de estrellas binarias, dos estrellas orbitan alrededor de su centro común de masas. Si las estrellas tienen masas m1 y m2 y están separadas por una distancia r, demostrar que el periodo de rotación está relacionado con r según la expresión 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝝅𝝅𝟐𝟐 𝑮𝑮 ∗ (𝒎𝒎𝟏𝟏 + 𝒎𝒎𝟐𝟐) ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 Consideramos r la distancia de separación entre las dos estrellas, r1 y r2 la distancia de rotación de cada una de ellas alrededor de su centro de masas (r=r1+r2). 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝝎𝝎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒓𝒓∗𝒓𝒓𝟐𝟐 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟏𝟏 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝟏𝟏 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟐𝟐 Para el centro de masas en el origen de coordenadas: 𝟏𝟏 = 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 − 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐; 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒓𝒓𝟏𝟏 = 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 Usando 𝒓𝒓 = 𝒓𝒓𝟏𝟏 + 𝒓𝒓𝟐𝟐 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ (𝒓𝒓 − 𝒓𝒓𝟐𝟐) = 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒓𝒓𝟐𝟐 ; 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒓𝒓 𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏 𝑻𝑻𝟐𝟐 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝟐𝟐∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒓𝒓 𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏 𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟏𝟏 = 𝟒𝟒∗𝝅𝝅𝟐𝟐∗𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑮𝑮∗(𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏) 104. Dos partículas de masa m1 y m2 se dejan libremente desde el reposo separadas una distancia infinita. Determinar sus velocidades v1 y v2 cuando su distancia de separación es r. Por conservación de la energía: 𝟏𝟏 = −𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐𝟐𝟐 Por otra parte, por conservación de la cantidad de movimiento: 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 = 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 Despejando una de las velocidades: 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏 Substituyendo en la conservación de la energía: 𝟏𝟏 = −𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ � 𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝒗𝒗𝟏𝟏� 𝟐𝟐 Despejando la velocidad 1 : 𝒗𝒗𝟏𝟏 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓∗�𝟏𝟏+𝒎𝒎𝟏𝟏𝒎𝒎𝟐𝟐 � = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒓𝒓∗(𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏) Haciendo igual para la velocidad de 2, obtenemos: 𝒗𝒗𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒓𝒓∗(𝒎𝒎𝟐𝟐+𝒎𝒎𝟏𝟏) 105. Como muestra la figura se perfora un pozo de pequeño diámetro desde la superficie de la Tierra hasta su centro. Despreciamos la rotación de la Tierra y la resistencia del aire. a) ¿Cuánto trabajo se necesitaría para trasladar un objeto pequeño de masa m desde la superficie de la Tierra hasta su superficie? b) Si se dejase caer el objeto por la abertura del agujero en la superficie terrestre, ¿con qué velocidad llegaría al centro? c) ¿Cuál es la velocidad de escape de una partícula de masa m proyectada desde el centro de la Tierra? Expresar las respuestas en función de m, g y RT. a) Como la fuerza que hacemos es contraria a la gravitatoria (−𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 ): 𝑾𝑾 = −∫ 𝑭𝑭 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟏𝟏 = ∫ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟏𝟏 M es la masa determinada por una esfera de radio r interior a la Tierra. Suponiendo densidad constante: 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 = 𝑴𝑴 𝒓𝒓𝟑𝟑 ; 𝑴𝑴 = 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓𝟑𝟑 𝑾𝑾 = 𝑮𝑮 ∗𝒎𝒎∫ 𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟑𝟑 ∗ 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴𝑻𝑻 𝑹𝑹𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟏𝟏 b) Por conservación de la energía: 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎 𝒗𝒗 = �𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 = √𝟑𝟑.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟕𝟕.𝟑𝟑𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒎𝒎/𝑽𝑽 c) La energía dada ha de llevar el cuerpo a la superficie y después hasta una distancia infinita, compensando la energía potencial en la superficie: 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝑻𝑻𝑽𝑽𝑯𝑯𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎+ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝑻𝑻𝑽𝑽𝑯𝑯𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎+ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑻𝑻∗𝒎𝒎 𝑹𝑹𝑻𝑻𝟐𝟐 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝑻𝑻𝑽𝑽𝑯𝑯𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 ∗ 𝒎𝒎+ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 𝒗𝒗𝑻𝑻𝑽𝑽𝑯𝑯 = �𝟑𝟑 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝑹𝑹𝑻𝑻 = √𝟑𝟑 ∗ 𝟑𝟑.𝟖𝟖𝟏𝟏 ∗ 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒎𝒎/𝑽𝑽 106. Una corteza esférica gruesa de masa M y densidad uniforme tiene un radio interior R1 y el radio exterior R2. Hallar el campo gravitatorio gn en función de r para todos los posibles valores de r. Esquematizar un gráfico de g en función de r. Consideramos las tres regiones: 𝒓𝒓 < 𝑹𝑹𝟏𝟏: 𝒈𝒈 = 𝟏𝟏 𝑹𝑹𝟐𝟐 > 𝒓𝒓 > 𝑹𝑹𝟏𝟏: 𝒈𝒈(𝒓𝒓) = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 𝒓𝒓𝟐𝟐 Para la densidad constante tenemos: 𝝆𝝆 = 𝑴𝑴 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗(𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑) = 𝒎𝒎 𝟒𝟒 𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗(𝒓𝒓𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑) ; 𝒎𝒎 = 𝑴𝑴 ∗ (𝒓𝒓𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑) (𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑) 𝒈𝒈(𝒓𝒓) = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗ �𝒓𝒓𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑� �𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑� 𝒓𝒓𝟐𝟐 = 𝑮𝑮 ∗𝑴𝑴 ∗ �𝒓𝒓𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑� 𝒓𝒓𝟐𝟐∗�𝑹𝑹𝟐𝟐 𝟑𝟑−𝑹𝑹𝟏𝟏 𝟑𝟑� 𝒓𝒓 > 𝑹𝑹𝟐𝟐: 𝒈𝒈(𝒓𝒓) = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴 𝑹𝑹𝟐𝟐 107. a) Dibujar una gráfica que nos dé un campo gravitatorio gx en función de x debido a un anillo uniforme de masa M y de radio R cuyo eje sea el eje x. b) ¿En qué puntos es máximo el valor de gx? 𝒅𝒅𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒅𝒅𝒎𝒎 𝒙𝒙𝟐𝟐 El elemento dm lo expresamos en función de la densidad: 𝒅𝒅𝒎𝒎 = 𝒎𝒎 𝑳𝑳 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒅𝑭𝑭 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑳𝑳∗𝒙𝒙𝟐𝟐 ∗ 𝒅𝒅𝒙𝒙 La fuerza sobre la varilla: 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑳𝑳 ∗ ∫ 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑻𝑻+𝑳𝑳 𝑻𝑻 = −𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑳𝑳 ∗ �𝟏𝟏 𝒙𝒙 � 𝑻𝑻 𝑻𝑻+𝑳𝑳 = 𝑮𝑮∗𝑴𝑴∗𝒎𝒎 𝑻𝑻∗(𝑻𝑻+𝑳𝑳) 110. Una varilla uniforme de masa M=20 kg y longitud L=5 m se dobla en forma de semicircunferencia. ¿Cuál es la fuerza gravitatoria ejercida por la varilla sobre una masa puntual m=0,1 kg situada en el centro del arco? Usando 𝒅𝒅𝑴𝑴 = 𝝀𝝀 ∗ 𝒅𝒅𝑺𝑺 = 𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹 ∗ 𝑹𝑹 ∗ 𝒅𝒅𝒕𝒕 = 𝑴𝑴 𝝅𝝅 ∗ 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝑮𝑮 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒅𝒅𝑴𝑴 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝑯𝑯𝑺𝑺𝑽𝑽𝒕𝒕 𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ ∫ 𝑯𝑯𝑺𝑺𝑽𝑽 𝒕𝒕 ∗ 𝒅𝒅𝒕𝒕 𝝅𝝅 𝟐𝟐 −𝝅𝝅𝟐𝟐 = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ �𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓�𝝅𝝅 𝟐𝟐 � − 𝑽𝑽𝑻𝑻𝒓𝒓 �−𝝅𝝅 𝟐𝟐 �� = 𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴 𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 ∗ 𝟐𝟐 Usando 𝑳𝑳 = 𝝅𝝅 ∗ 𝑹𝑹 ;𝑹𝑹 = 𝑳𝑳/𝝅𝝅 𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎∗𝑴𝑴 𝑳𝑳𝟐𝟐 Usando los valores del enunciado: 𝑭𝑭𝒙𝒙 = 𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏,𝟏𝟏∗𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟑𝟑,𝟑𝟑𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑵𝑵 111. Las mareas se producen como consecuencia de las fuerzas gravitatorias ejercidas por el Sol y la Luna sobre los océanos de la Tierra. a) Demostrar que el cociente entre la fuerza ejercida por el Sol y la ejercida por la Luna es 𝑴𝑴𝑽𝑽𝒓𝒓𝑳𝑳𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑳𝑳𝒓𝒓𝑳𝑳𝟐𝟐 � , en donde MS y ML son las masas del Sol y la Luna y rS y rL son las distancias de la Tierra al Sol y a la Luna. Evaluar este cociente. b) A pesar de que el Sol ejerce una fuerza mucho mayor sobre el Océano que la ejercida por la Luna. Ésta produce un efecto mucho mayor sobre las mareas porque el hecho importante es la diferencia de fuerzas entre un lado y oro de la Tierra. Diferenciar la expresión 𝑭𝑭 = 𝑮𝑮𝒎𝒎𝟏𝟏𝒎𝒎𝟐𝟐/𝒓𝒓𝟐𝟐para calcular la variación de F que se produce para una pequeña variación de r. Demostrar que 𝒅𝒅𝑭𝑭 𝑭𝑭 = (−𝟐𝟐𝒅𝒅𝒓𝒓)/𝒓𝒓. c) La variación más grande de la distancia desde el Sol o la Luna a un océano en un día completo (que se produce como consecuencia de la rotación) es el diámetro terrestre. Demostrar que para una pequeña variación de la distancia, la variación de la fuerza ejercida por el Sol está relacionada con la variación de la fuerza ejercida por la Luna por 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑺𝑺 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑴𝑴𝑺𝑺𝒓𝒓𝑳𝑳𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑳𝑳𝒓𝒓𝑺𝑺𝟑𝟑 Y calcular esta relación. a) 𝑭𝑭𝑺𝑺 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝑭𝑭𝑺𝑺 𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟐𝟐 Usando los valores de masas y distancias: 𝑭𝑭𝑺𝑺 𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏∗(𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟐𝟐 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗(𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕 b) 𝒅𝒅𝑭𝑭 𝒅𝒅𝒓𝒓 = −𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝒎𝒎𝟏𝟏∗𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒓𝒓𝟑𝟑 = −𝟐𝟐 ∗ 𝑭𝑭/𝒓𝒓 𝒅𝒅𝑭𝑭 𝑭𝑭 = −𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∗ 𝒅𝒅𝒓𝒓 c) Considerando 𝒅𝒅𝑭𝑭 = 𝚫𝚫𝑭𝑭 𝑯𝑯 𝒅𝒅𝒓𝒓 = 𝚫𝚫𝒓𝒓 𝚫𝚫𝑭𝑭 𝑭𝑭 = −𝟐𝟐 𝒓𝒓 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓 Para el Sol: 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑺𝑺 = 𝟐𝟐∗𝑭𝑭𝑽𝑽 𝒓𝒓𝑽𝑽 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 = 𝟐𝟐∗𝑮𝑮∗𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟐𝟐 𝒓𝒓𝑽𝑽 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟑𝟑 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 Con la Luna: 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∗ 𝑮𝑮 ∗ 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒎𝒎 𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑳𝑳 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑺𝑺 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟑𝟑 ∗ 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑳𝑳 Considerando 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑺𝑺 𝚫𝚫𝒓𝒓𝑳𝑳 ~𝟏𝟏 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑺𝑺 𝚫𝚫𝑭𝑭𝑳𝑳 = 𝑴𝑴𝑺𝑺∗𝒓𝒓𝑳𝑳 𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑳𝑳∗𝒓𝒓𝑺𝑺 𝟑𝟑 = 𝟏𝟏.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟏𝟏∗(𝟑𝟑,𝟖𝟖𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖)𝟑𝟑 𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐∗(𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟑𝟑 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟓𝟓𝟒𝟒