Problemas Tipler .Trabajo y energía, Ejercicios de Física

¡Descarga Problemas Tipler .Trabajo y energía y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity! Trabajo y energía Trabajo y energía cinética 1. Verdadero o falso: a) Sólo la fuerza que actúa sobre un objeto puede realizar trabajo. b) Ningún trabajo se realiza sobre una partícula que permanece en reposo. c) Una fuerza que en todo momento es perpendicular a la velocidad de una partícula no realiza trabajo sobre ésta. a) Falso b) Verdadero c) Falso 2. Una caja pesada ha de moverse desde lo alto de una mesa a lo alto de otra de igual altura situada en otro lugar de la habitación. ¿Requiere ello algún trabajo? El trabajo total será cero, 𝑾𝑻 = ∆𝑬𝒄. 3. Para levantarse de la cama por la mañana, ¿hay que realizar algún trabajo? Si consideramos que el centro de masa del cuerpo se eleva, se habrá producido un trabajo total. 4. ¿En qué factor se modifica la energía cinética de un automóvil al duplicar su velocidad? 𝑬𝒄 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 Al duplicar la velocidad la energía cinética se multiplica por 4. 5. Un objeto se mueve circularmente a velocidad constante. ¿Realiza trabajo la fuerza que causa su aceleración? Razonar la respuesta. No, si es m.c.u. la velocidad no cambia en módulo y por tanto 𝑾𝑻 = ∆𝑬𝒄 = 𝟎. La fuerza resultante es radial y perpendicular a la trayectoria. 6. Inicialmente un objeto posee la energía cinética Ec. El mismo objeto se mueve después en dirección opuesta y a una velocidad triple de la inicial. ¿Cuál es ahora su energía cinética? a) Ec b) 3 Ec c) -3 Ec d) 9 Ec e) – 9 Ec Respuesta correcta d. 7. Una bala de 15 g posee una velocidad de 1,2 km/s. a) ¿Cuál es su energía cinética en julios? b) Si la velocidad se reduce a la mitad, ¿Cuál será su energía cinética? c) ¿Y si la velocidad se duplica? a) 𝟏,𝟐 𝒌𝒎 𝒔 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝟏 𝒌𝒎 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒎/𝒔 𝑬𝒄 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 ∗ (𝟏𝟐𝟎𝟎)𝟐 = 𝟏𝟎𝟖𝟎𝟎 𝑱 b) V=600 m/s 𝑬𝒄 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 ∗ (𝟔𝟎𝟎)𝟐 = 𝟐𝟕𝟎𝟎 𝑱 c) V=2400 m/s d) 𝑬𝒄 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 ∗ (𝟐𝟒𝟎𝟎)𝟐 = 𝟒𝟑𝟐𝟎𝟎 𝑱 8. Determinar la energía cinética en julios de a) Una pelota de béisbol de 0,145 kg que lleva una velocidad de 45 m/s b) Un corredor de 60 kg que recorre una milla en 9 minutos a un ritmo constante. a) 𝑬𝒄 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎, 𝟏𝟒𝟓 ∗ (𝟒𝟓)𝟐 = 𝟏𝟒𝟔,𝟖 𝑱 b) 𝒗 = 𝟏𝟔𝟎𝟗,𝟑 𝒎 𝟗∗𝟔𝟎 𝒔 = 𝟐,𝟗𝟖 𝒎 𝒔 𝑬𝒄 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟔𝟎 ∗ (𝟐,𝟗𝟖)𝟐 = 𝟐𝟔𝟓𝟔,𝟒 𝑱 9. Una masa de 6 kg en reposo se eleva a una altura de 3 m por una fuerza vertical de 80 N. Determinar a) El trabajo realizado por la fuerza. b) El trabajo realizado por la gravedad. c) La energía cinética final de la masa. a) 𝑾𝑭 = 𝟖𝟎 ∗ 𝟑 = 𝟐𝟒𝟎 𝑱 b) 𝑾𝑷 = 𝟔 ∗ 𝟗,𝟖 ∗ 𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎 = −𝟏𝟕𝟔,𝟒 𝑱 c) 𝑾𝑻 = ∆𝑬𝒄. 𝟐𝟒𝟎 − 𝟏𝟕𝟔,𝟒 = 𝑬𝒄𝒇 − 𝟎 𝑬𝒄𝒇 = 𝟔𝟑,𝟔 𝑱 10. Una fuerza constante de 80 N actúa sobre una caja de masa 5,0 kg que se está moviendo en la dirección de la fuerza aplicada con una velocidad de 20 m/s. Tres segundos después la caja se mueve con una velocidad de 68 m/s. Determinar el trabajo realizado por esta fuerza. 𝑾𝑻 = ∆𝑬𝒄 𝑾𝑻 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟓,𝟎 ∗ 𝟔𝟖𝟐 − 𝟏 𝟐 ∗ 𝟓,𝟎 ∗ 𝟐𝟎𝟐 = 𝟏𝟎𝟓𝟔𝟎 𝑱 11. Un alumno compite en una carrera con su amiga. Al principio ambos tienen la misma energía cinética, pero el alumno observa que su amiga le está venciendo. Incrementando su velocidad en un 25 % el corre a la misma velocidad que ella. Si la masa del joven es 85 kg, ¿cuál es la masa de la muchacha? Sea 1 la chica y 2 el chico: 𝒗𝟏 = 𝟏, 𝟐𝟓 𝒗𝟐 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎𝟏 ∗ 𝒗𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎𝟐 ∗ 𝒗𝟐 𝟐 𝒎𝟏 ∗ (𝟏,𝟐𝟓 ∗ 𝒗𝟐) 𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒗𝟐 𝟐 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 𝟏,𝟐𝟓𝟐 = 𝟔𝟒,𝟒 𝒌𝒈 Trabajo realizado por una fuerza variable 12. ¿Qué trabajo se necesita para alargar un muelle en 2 cm a partir de su posición natural en comparación con el necesario para alargarle 1 cm también desde su posición natural? 𝑾𝑬𝒍𝒂 = − ∆𝑬𝒑 = − 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝒇 𝟐 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝒊 𝟐 = − 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝒇 𝟐 El trabajo externo será de signo contrario: a) Para encontrar el trabajo calculamos el área determinada en cada caso, el cálculo será aproximado, contando cuadros y fracción de cuadros. 𝑨𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒐 = 𝟎,𝟓 ∗ 𝟎,𝟐𝟓 = 𝟎,𝟏𝟐𝟓 𝑱 𝑾𝟎→𝟐 = 𝟐𝟐 ∗ 𝟎,𝟏𝟐𝟓 = 𝟐, 𝟕𝟓 𝑱 b) 𝑬𝒄𝒇 = 𝑾 + 𝑬𝒄𝒊 = 𝟐,𝟕𝟓 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝟐, 𝟒𝟎𝟐 = 𝟏𝟏,𝟒 𝑱 c) 𝒗𝒇 = √ 𝟐∗𝑬𝒄𝒇 𝒎 = √ 𝟐∗𝟏𝟏,𝟒 𝟑 = 𝟐,𝟕𝟔 𝒎/𝒔 d) El número de cuadros es aproximadamente de 26. 𝑾𝟎→𝟐 = 𝟐𝟔 ∗ 𝟎,𝟏𝟐𝟓 = 𝟑, 𝟐𝟓 𝑱 e) 𝑬𝒄𝒇 = 𝑾 + 𝑬𝒄𝒊 = 𝟑,𝟐𝟓 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝟐, 𝟒𝟎𝟐 = 𝟏𝟏,𝟗 𝑱 𝒗𝒇 = √ 𝟐∗𝑬𝒄𝒇 𝒎 = √ 𝟐∗𝟏𝟏,𝟗 𝟑 = 𝟐,𝟖𝟐 𝒎/𝒔 18. Cerca de la cabaña de Margaret hay una torre de agua de 20 m de altura que atrae muchos pájaros durante los meses de verano. El año pasado fue tan cálido que la torre se secó y Margaret tuvo que transportar el agua que necesitaba. Como se sentía muy sola sin los pájaros visitantes, decidió transportar algo de agua a la torre para que volviesen. Su cubo tiene una masa de 10 kg y una capacidad de 30 kg cuando está lleno. Sin embargo, el cubo tiene un agujero y cuando Margaret subía a velocidad constante el agua se derramaba también con ritmo uniforme. Algunos pájaros se duchaban con el agua que salía del cubo, pero cuando ella llegaba a lo alto de la torre, sólo quedaban 10 kg de agua para el baño de los pájaros. a) Escribir una expresión que indique la masa del cubo más el agua en función de la altura (y) trepada. b) Determinar el trabajo realizado por Margaret sobre el cubo. a) Dado que la perdida de agua es uniforme: 𝒎 = 𝟒𝟎 − 𝒄 ∗ 𝒚 40 kg es la masa inicial, y es la altura que va alcanzando Margaret y c la constante de proporcionalidad. Si consideramos que al llegar arriba quedaban 10 kg de agua, y su capacidad es 30 kg: 𝒄 = ∆𝒎 ∆𝒚 = 𝟐𝟎 𝒌𝒈 𝟐𝟎 𝒎 = 𝟏 𝒌𝒈/𝒎 ; m=40-y . b) 𝑾 = ∫ 𝒈 ∗ (𝟒𝟎 − 𝒚)𝒅𝒚 𝟐𝟎𝒎 𝟎𝒎 = 𝒈 ∗ [𝟒𝟎 ∗ 𝒚 − 𝒚𝟐 𝟐 ] 𝟎 𝟐𝟎 = 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ (𝟒𝟎 ∗ 𝟐𝟎 − 𝟐𝟎𝟐 𝟐 ) = 𝟓𝟖𝟗𝟎𝑱 Trabajo y energía en dos dimensiones 19. Supongamos que una fuerza actúa sobre una partícula, pero no se realiza ningún trabajo. ¿Puede la partícula estar moviéndose en línea recta? Si, la condición para que una fuerza no haga trabajo es que el ángulo entre ella i el desplazamiento sea de 90º. Puede no ser la fuerza resultante, por ejemplo, el peso en un cuerpo que se mueve horizontalmente. Si la fuerza es la resultante entonces el cuerpo no se moverá en línea recta dado que tendrá aceleración tangencial. 20. Un bloque de masa 6 kg se desliza hacia abajo por un plano inclinado sin rozamiento. El ángulo del plano inclinado es de 60º. a) Hacer una relación de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y determinar el trabajo realizado por cada fuerza cuando el bloque se desliza 2 m (medidos a lo largo del plano). b) ¿Cuál es el trabajo total realizado sobre el bloque? c) ¿Cuál es la velocidad del bloque después de recorrer 1,5 m si parte del reposo? d) ¿Y si parte con una velocidad inicial de 2 m/s? a) Diagrama de fuerzas: La Normal no hace trabajo (ángulo de 90º con desplazamiento). El trabajo del peso es: 𝑾𝑷 = −∆𝑬𝒑 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ (𝒉𝒐 − 𝒉𝒇) = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 = 𝟔 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 = 𝟏𝟎𝟐 𝑱 b) 𝑾𝑻 = 𝑾𝑷 + 𝑾𝑵 = 𝟏𝟎𝟐 𝑱 c) 𝑾𝑻 = ∆𝑬𝒄 ; 𝑬𝒄𝒇 = 𝑾𝑻 + 𝑬𝒄𝒐 ; 𝒗𝒇 = √ 𝟐∗(𝑾𝑻+𝑬𝒄𝒐) 𝒎 𝒗𝒇 = √ 𝟐∗𝒎∗𝒈∗∆𝒙∗𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 𝒎 = √𝟐 ∗ 𝒈 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 = √𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟏, 𝟓 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 = 𝟓, 𝟏 𝒎/𝒔 d) 𝒗𝒇 = √ 𝟐∗(𝑾𝑻+𝑬𝒄𝒐) 𝒎 = √(𝟐𝒈 ∗ ∆𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 + 𝒗𝒐𝟐 = √𝟐 ∗ 𝟗,𝟖 ∗ 𝟏,𝟓 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎 + 𝟐𝟐 𝒗𝒇 = 𝟓,𝟒 𝒎/𝒔 21. Un carro de 85 kg sube un escalón de 1,5 m mediante un plano inclinado formado por un tablón de longitud L apoyado entre los niveles inferior y superior del escalón (suponer que la rodadura equivale al deslizamiento sin rozamiento). a) Determinar la fuerza paralela al plano inclinado necesaria para impulsar el carro hacia arriba sin aceleración para valores de L iguales a 3, 4 y 5 m. b) Calcular directamente de la ecuación 𝑾 = ∫ 𝑭 ∗ 𝒅𝒔 𝑺𝟐 𝑺𝟏 el trabajo necesario para impulsar el carro por el plano inclinado hacia arriba para cada uno de los valores de L. c) Puesto que el trabajo encontrado en (b) es el mismo para cada valor de L, ¿qué ventaja resulta de elegir una longitud u otra? a) Sobre el objeto actúan tres fuerzas, el peso, la normal y la fuerza impulsora. La fuerza impulsora ha de ser igual a la componente tangencial del peso. 𝑷𝒕 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟖𝟓 ∗ 𝟗,𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 Para el ángulo tenemos: 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏( 𝟏,𝟓 𝑳 ) ; donde L será 3, 4 o 5 m. Por tanto, el ángulo será en cada caso: 30º, 22,2 º y 17,5º. La fuerza en cada caso será: 𝑭𝟏 = 𝟖𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝟒𝟏𝟔,𝟓 𝑵 𝑭𝟐 = 𝟖𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝟐,𝟐 = 𝟑𝟏𝟒,𝟕 𝑵 𝑭𝟑 = 𝟖𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟕,𝟓 = 𝟐𝟓𝟎,𝟓 𝑵 b) 𝑾𝟏 = 𝑭𝟏 ∗ 𝑳 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟏,𝟓 𝑳 ∗ 𝑳 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟏,𝟓 = 𝟏𝟐𝟒𝟗,𝟓 𝑱 Es el mismo en los tres casos. c) La diferencia en cada caso es la fuerza necesaria, cuanto mayor es el ángulo más fuerza necesitamos. 22. Un cuerpo de 2 kg sujeto al extremo de una cuerda se mueve sobre una superficie horizontal sin rozamiento en un círculo de 3 m de radio. La velocidad del cuerpo es 2,5 m/s. a) Determinar la tensión de la cuerda. b) Hacer una relación de fuerzas que actúan sobre el cuerpo y determinar el trabajo realizado por cada fuerza durante una revolución. a) 𝑻 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝑹 = 𝟐 ∗ 𝟐, 𝟓𝟐 𝟑 = 𝟒,𝟏𝟕 𝑵 b) En el dibujo vemos las tres fuerzas, ni la normal,ni el peso, ni la tensión hacen trabajo por ser perpendiculares al desplazamiento. Productos escalares 23. ¿Qué ángulo forman los vectores A y B si A B=- AB? 180º 24. Dos vectores A y B poseen magnitudes de 6 m y forman un ángulo de 60 entre si. Determinar el producto AB. 𝑨 . 𝑩 = 𝟔 ∗ 𝟔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 = 𝟏𝟖 𝒎𝟐 25. Determinar AB para los siguientes vectores: a) A=3i-6j ; B=-4i+2j. b) A=-5i+5j ; B=2i-4j. a) La potencia suministrada por el motor es constante. b) La potencia suministrada por el motor crece a medida que el coche aumenta su velocidad. c) La potencia suministrada por el motor decrece cuando el coche aumenta su velocidad. d) Ambas afirmaciones (b) y (c) son correctas. 𝑷 = ?⃗? ∗ ?⃗? = 𝒎 ∗ ?⃗? ∗ ?⃗? Si a es constante, a más velocidad más potencia. Respuesta b. 35. La fuerza A realiza un trabajo de 5 J en 10 s. La fuerza B realiza un trabajo de 3 J en 5 s. ¿Cuál de las dos fuerzas suministra mayor potencia? 𝑷𝟏 = 𝑾𝟏 ∆𝒕𝟏 = 𝟓 𝟏𝟎 = 𝟎,𝟓 𝑾 𝑷𝟐 = 𝑾𝟐 ∆𝒕𝟐 = 𝟑 𝟓 = 𝟎,𝟔 𝑾 La segunda 36. Un cuerpo de 5 kg es elevado por una fuerza igual al peso del cuerpo. El cuerpo se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 2 m/s. a) ¿Cuál es la potencia de la fuerza? b) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza en 4 segundos? a) 𝑷 = ?⃗? ∗ ?⃗? = 𝟓 ∗ 𝟗, 𝟖 ∗ 𝟐 = 𝟗𝟖 𝑾 b) 𝑾 = 𝑷 ∗ ∆𝒕=98*4=392 J 37. Un gato ha cazado un ratón y decide arrastrarle hasta la habitación para que loa dueña de la casa pueda admirar su acción cuando despierte. Para arrastrar el ratón por la alfombra a velocidad constante v basta aplicar una fuerza horizontal constante d 3 N. Si la fuerza del gato le permite realizar este trabajo con una potencia de 6 W. a) ¿Cuál es su velocidad? b) ¿Qué trabajo realiza el gato en 4 segundos? a) Suponemos que las fuerzas actúan en la misma dirección que la velocidad. 𝑷 = ?⃗? ∗ ?⃗? ; 𝒗 = 𝑷 𝑭 = 𝟔 𝟑 = 𝟐 𝒎/𝒔 b) 𝑾 = 𝑷 ∗ ∆𝒕 = 𝟔 ∗ 𝟒 = 𝟐𝟒 𝑱 38. Una fuerza simple de 5 N actúa en dirección x sobre un objeto de 8 kg. a) Si el objeto parte del reposo en la posición de x=0 en el tiempo t=0, determinar la velocidad v en función del tiempo t. b) Escribir una expresión para la potencia desarrollada por la fuerza en función del tiempo. c) ¿Cuál es la potencia desarrollada por la fuerza en el tiempo t= 3 s? a) 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒂 = 𝑭 𝒎 = 𝟓 𝟖 = 𝟎,𝟔𝟐𝟓 𝒎/𝒔𝟐 𝒗 = 𝒂 ∗ 𝒕 = 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 𝒕 𝑷 = ?⃗? ∗ ?⃗? = 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 ∗ 𝒕 = 𝟑, 𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝒕 b) 𝑷(𝟑) = 𝟑,𝟏𝟐𝟓 ∗ 𝟑 = 𝟗,𝟒 𝑾 39. Determinar la potencia suministrada por una fuerza F que actúa sobre una partícula que se mueve con una velocidad v en los casos a) ?⃗? = 𝟒 𝑵 𝒊 + 𝟑 𝑵 ?⃗? , ?⃗? = 𝟔 𝒎 𝒔 𝒊 . b) ?⃗? = 𝟔 𝑵 𝒊 − 𝟓 𝑵 𝒋 , ?⃗? = −𝟓 𝒎 𝒔 𝒊 + 𝟒 𝒎 𝒔 𝒋 . c) ?⃗? = 𝟑 𝑵 𝒊 + 𝟔 𝑵 𝒋 , ?⃗? = 𝟐 𝒎 𝒔 𝒊 + 𝟑 𝒎 𝒔 𝒋 . a) 𝑷 = ?⃗? ∗ ?⃗? = 𝟐𝟒 𝑾 b) 𝑷 = ?⃗? ∗ ?⃗? = 𝟔 ∗ (−𝟓) + (−𝟓) ∗ 𝟒 = −𝟓𝟎 𝑾 c) 𝑷 = ?⃗? ∗ ?⃗? = 𝟑 ∗ 𝟐 + 𝟔 ∗ 𝟑 = 𝟐𝟒 𝑾 40. Una partícula de masa m inicialmente en reposo ( t=0) se mueve bajo la influencia de una sola fuerza de magnitud F. Demostrar que la potencia suministrada por la fuerza en el tiempo t es P=F2t/m. Suponiendo que la fuerza actúa en el sentido positivo del eje x, y que en tiempo 0 la velocidad es 0. 𝑷 = ?⃗? ∗ ?⃗? = 𝒎 ∗ 𝒂 ∗ 𝒗 = 𝑭 ∗ 𝒂 ∗ 𝒕 = 𝑭 ∗ 𝑭 𝒎 ∗ 𝒕 = 𝑭𝟐 ∗ 𝒕 𝒎 41. A la velocidad de 20 km/h un coche de 1200 kg acelera a 3 m/s2 con una potencia de 4 w. ¿Qué potencia debe consumir para acelerar el coche a 2 m/s2 a la velocidad de 40 km/h? 𝑷𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒂𝟏 ∗ 𝒗𝟏 𝑷𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒂𝟐 ∗ 𝒗𝟐 𝑷𝟐 = 𝒂𝟐∗𝒗𝟐 𝒂𝟏∗𝒗𝟏 ∗ 𝑷𝟏 = 𝟐∗𝟒𝟎 𝟑∗𝟐𝟎 ∗ 𝟒 = 𝟓, 𝟑𝟑 𝒘 42. Un fabricante de automóviles anuncia que su coche puede acelerar desde el reposo a 100 km/h en 8 s. La masa del coche es de 800 kg. a) Suponiendo que esta aceleración se alcance a potencia constante, determinar la potencia desarrollada por el motor del coche. b) ¿Cuál será la velocidad del vehículo después de 4 s? (Despreciar el rozamiento y la resistencia del aire). a) 𝒗 = √ 𝟐∗𝑷 𝒎 ∗ 𝒕𝟏/𝟐 (ver problema 43) 𝑷 = 𝒗𝟐∗𝒎 𝟐∗𝒕 = ( 𝟏𝟎𝟎 𝟑,𝟔 ) 𝟐 ∗𝟖𝟎𝟎 𝟐∗𝟖 = 𝟑𝟖𝟓𝟖𝟎 𝑾 b) 𝒗 = √ 𝟐∗𝑷 𝒎 ∗ 𝒕 𝟏 𝟐 = √ 𝟐∗𝟑𝟖𝟓𝟖𝟎 𝟖𝟎𝟎 ∗ 𝟒 𝟏 𝟐 = 𝟏𝟗,𝟔 𝒎 𝒔 = 𝟕𝟎,𝟕 𝒌𝒎/𝒉 43. Demostrar que la posición x del camión en el ejemplo 6.11 viene relacionada con su velocidad por la ecuación x=(m/3P)v3. Primero consideramos el ejemplo 6.11: Un camión de masa m se acelera a partir del reposo en el tiempo t =0 con potencia constante P por una carretera horizontal. a) Determinar la velocidad del camión en función del tiempo. b) Demostrar que si x= 0 en el tiempo t = 0, la función de posición x(t) viene dada por la expresión: 𝒙 = √ 𝟖 𝑷 𝟗 𝒎 𝒕𝟑/𝟐 Todas las magnitudes segun eje x positivas: 𝑷 = 𝑭 ∗ 𝒗 = 𝒎 ∗ 𝒂 ∗ 𝒗 𝑷 = 𝒎 ∗ 𝒅𝒗 𝒅𝒕 ∗ 𝒗 𝒗 ∗ 𝒅𝒗 = 𝑷 𝒎 ∗ 𝒅𝒕 Integrando para v entre 0 y v y t entre 0 y t: 𝒗𝟐 𝟐 = 𝑷 𝒎 ∗ 𝒕 ; 𝒗 = √ 𝟐∗𝑷 𝒎 ∗ 𝒕𝟏/𝟐 b) 𝒅𝒙 𝒅𝒕 = √ 𝟐∗𝑷 𝒎 ∗ 𝒕𝟏/𝟐 Integramos entre 0 y x y 0 y t: 𝒙 = √ 𝟐∗𝑷 𝒎 ∗ 𝟐 𝟑 ∗ 𝒕𝟑/𝟐 𝒙 = √ 𝟖∗𝑷 𝟗∗𝒎 ∗ 𝒕𝟑/𝟐 De la ecuación de a: 𝒕𝟏/𝟐 = √ 𝒎 𝟐∗𝑷 ∗ 𝒗 ; 𝒕 = 𝒎 𝟐∗𝑷 ∗ 𝒗𝟐 Substituimos en la ecuación del apartado b del ejemplo: 𝒙 = √ 𝟖 ∗ 𝑷 𝟗 ∗ 𝒎 ∗ 𝒕𝟑/𝟐 = √ 𝟖 ∗ 𝑷 𝟗 ∗ 𝒎 ∗ ( 𝒎 𝟐 ∗ 𝑷 ∗ 𝒗𝟐) 𝟑/𝟐 = √ (𝟖 ∗ 𝑷 ∗ 𝒎𝟑 𝟗 ∗ 𝒎 ∗ 𝟖 ∗ 𝑷𝟑 ∗ 𝒗𝟑 = 𝒎 𝟑 ∗ 𝑷 ∗ 𝒗𝟑 44. Un coche de 700 kg acelera desde el reposo con potencia constante. Al cabo de 8,0 s, su velocidad es de 90 km/h y se encuentra a 133 m de su punto de partida. Si el coche continúa acelerando con igual potencia, ¿Cuál será su velocidad al cabo de 10 s y a que distancia se encuentra el coche de su punto de partida? 𝑷 = 𝒎 𝟑∗𝒙 ∗ 𝒗𝟑 = 𝟕𝟎𝟎 𝟑∗𝟏𝟑𝟑 ∗ ( 𝟗𝟎 𝟑,𝟔 ) 𝟑 = 𝟐𝟕𝟒𝟏𝟐 𝑾 𝒗(𝟏𝟎) = √ 𝟐∗𝑷 𝒎 ∗ 𝒕 𝟏 𝟐 = √ 𝟐∗𝟐𝟕𝟒𝟏𝟐 𝟕𝟎𝟎 ∗ √𝟏𝟎 = 𝟐𝟖 𝒎 𝒔 = 𝟏𝟎𝟎,𝟖 𝒌𝒎/𝒉 𝒙 = √ 𝟖∗𝑷 𝟗∗𝒎 ∗ 𝒕𝟑/𝟐 = √ 𝟖∗𝟐𝟕𝟒𝟏𝟐 𝟗∗𝟕𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎 𝟑 𝟐 = 𝟏𝟖𝟔,𝟔 𝒎 45. Un objeto de 4,0 kg inicialmente en reposo a x=0 se acelera con una potencia constante de 8,0 W. En t = 9,0 s su posición es x= 36,0 m. Determinar su velocidad a t= 6,0 s y su posición en este instante. Utilizamos ecuaciones problema 43. 𝒗 = √ 𝟐∗𝑷 𝒎 ∗ 𝒕 𝟏 𝟐 = √ 𝟐∗𝟖 𝟒 ∗ 𝟔 𝟏 𝟐 = 𝟒,𝟗 𝒎/𝒔 𝒙 = √ 𝟖∗𝑷 𝟗∗𝒎 ∗ 𝒕𝟑/𝟐 = √ 𝟖∗𝟖 𝟗∗𝟒 ∗ 𝟔 𝟑 𝟐 = 𝟏𝟗,𝟔 𝒎 𝒔 46. Un coche de 700 kg acelera desde el reposo en t=0 a una potencia constante. En t = 9 s se encuentra a 117,7 m de su punto de partida y su aceleración es entonces 1,09 m/s2. Determinar la potencia consumida por el motor despreciando las fuerzas de rozamiento. Utilizamos ecuaciones ejercicio 43. 𝒙 = √ 𝟖 ∗ 𝑷 𝟗 ∗ 𝒎 ∗ 𝒕𝟑/𝟐 ; 𝑷 = 𝟗 ∗ 𝒎 ∗ 𝒙𝟐 𝟖 ∗ 𝒕𝟑 = 𝟗 ∗ 𝟕𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟕,𝟕𝟐 𝟖 ∗ 𝟗𝟑 = 𝟏𝟐𝟕,𝟏 𝑾 57. En las cataratas Victoria, de 128 m de altura, el agua cae con un caudal medio de 1,4 106 kg/s. Si toda la energía potencial del agua se convirtiera en energía eléctrica, ¿cuánta potencia se produciría en el salto? 𝑷 = 𝑼 ∆𝒕 = 𝟏,𝟒 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝒌𝒈 𝒔 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 𝒎 𝒔𝟐 ∗ 𝟏𝟐𝟖 𝒎 = 𝟏𝟕𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑾 58. Un libro de 2 kg se desliza por un plano inclinado de pendiente 30º sin rozamiento. Parte del reposo en el tiempo t = 0 desde lo alto del plano inclinado a una altura de 20 m sobre el suelo. a) ¿Cuál es la energía potencial original del libro relativa al suelo? b) A partir de las leyes de Newton, determinar la distancia recorrida por el libro en 1 segundo y su velocidad para t = 1 s. c) Calcular la energía potencial y la energía cinética del libro para t= 1 s. d) Calcular la energía cinética y la velocidad del libro un instante antes de que choque contra el suelo. a) 𝑼 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟐𝟎 = 𝟑𝟗𝟐,𝟒 𝑱 b) 𝒂 = 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝟒, 𝟗 𝒎/𝒔𝟐 ∆𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒕𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟒, 𝟗 ∗ 𝟏𝟐 = 𝟐, 𝟒𝟓 𝒎 𝒗 = 𝒂 ∗ ∆𝒕 = 𝟒, 𝟗 ∗ 𝟏 = 𝟒,𝟗 𝒎/𝒔 c) ∆𝒉 = ∆𝒙 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝟏,𝟐𝟐𝟓 𝒎 La altura en el tiempo de 1 s será 20-1,225 =18,775 m 𝑼 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟖,𝟕𝟕𝟓 = 𝟑𝟔𝟖,𝟒 𝑱 𝑬𝒄 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝟒, 𝟗𝟐 = 𝟐𝟒 𝑱 d) 𝑬𝒄 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 = 𝟑𝟗𝟐,𝟒 𝑱 ; 𝒗 = √ 𝟐∗𝟑𝟗𝟐,𝟒 𝟐 = 𝟏𝟗,𝟖 𝒎/𝒔 59. Una fuerza Fx=6 N es constante. a) Determinar la función energía potencial asociada con esta fuerza para una posición arbitraria x0 en la cual U=0. b) Determinar U de modo que U=0 para x=4 m. c) Determinar U de modo que U = 14 J para x= 6 m. a) 𝑾𝑭 = −∆𝑼 = 𝑼(𝒙𝒐) − 𝑼(𝒙) 𝑼(𝒙) = 𝑼(𝒙𝒐) − 𝑾𝑭 = −∫ 𝟔 𝒅𝒙 = −𝟔 (𝒙 − 𝒙𝒐) 𝒙 𝒙𝒐 b) 𝑼(𝒙) = 𝑼(𝒙𝒐) − 𝑾𝑭 = −∫ 𝟔 𝒅𝒙 = −𝟔 (𝒙 − 𝟒) = 𝟐𝟒 − 𝟔𝒙 𝒙 𝟒 c) 𝑼(𝒙) = 𝑼(𝒙𝒐) − 𝑾𝑭 = −∫ 𝟔 𝒅𝒙 = −𝟔 (𝒙 − 𝒙𝒐) 𝒙 𝒙𝒐 Con la condición: 𝟏𝟒 = −𝟔 ∗ (𝟔 − 𝒙𝒐) ; 𝒙𝒐 = (𝟏𝟒+𝟑𝟔) 𝟔 = 𝟓𝟎 𝟔 𝑼(𝒙) = 𝟓𝟎 − 𝟔 𝒙 60. Un muelle tiene una constante de fuerza k=104 N/m. Cuanto debe alargarse para que su energía potencial sea a) 50 J b) 100 J a) 𝑬𝒑 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙𝟐 𝟓𝟎 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒙𝟐; 𝒙 = √ 𝟐∗𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟒 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟎 𝒎 b) 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒙𝟐; 𝒙 = √ 𝟐∗𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟒 = 𝟎,𝟏𝟒𝟏 𝒎 61. Una máquina de Atwood sencilla utiliza dos masas m1 y m2 (figura). Partiendo del reposo, la velocidad de las dos masas es 4,0 m/s al cabo de 3,0 s. En ese instante, la energía cinética del sistema es 80 J y cada una de las masas se ha desplazado una distancia de 6,0 m. Determinar los valores de m1 y m2. Aplicamos la conservación de la energía mecánica, inicialmente será 0 la cinética y la potencial si consideramos h=0 en el punto de salida. En la posición indicada en el enunciado, la masa m2 habrá bajado una altura 6 m y la masa 1 habrá subido 6 m. Por caída libre: 𝒉 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒕𝟐 𝒗 = 𝒂 ∗ 𝒕; 𝒂 = 𝒗 𝒕 Por tanto: 𝒉 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒗 𝒕 ∗ 𝒕𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒗 ∗ 𝒕 𝟎 = 𝟏 𝟐 ∗ (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) ∗ 𝒗 𝟐 + 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 − 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝟏 𝟐 ∗ (𝒎𝟏 + 𝒎𝟐) ∗ 𝒗 𝟐 = 𝟖𝟎 ; 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 = 𝟐∗𝟖𝟎 𝒗𝟐 𝟖𝟎 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 -𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 ; 𝟖𝟎 = (𝒎𝟐 − 𝒎𝟏) ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 ; 𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 = 𝟖𝟎 𝒈∗𝒉 Por tanto, tenemos: 𝒎𝟏 + 𝒎𝟐 = 𝟐∗𝟖𝟎 𝒗𝟐 𝒎𝟐 − 𝒎𝟏 = 𝟖𝟎 𝒈∗𝒉 = 𝟖𝟎 𝒈∗ 𝟏 𝟐 ∗𝒗∗𝒕 = 𝟐∗𝟖𝟎 𝒈∗𝒗∗𝒕 Sumamos las ecuaciones: 𝟐 ∗ 𝒎𝟐 = 𝟐∗𝟖𝟎 𝒗𝟐 + 𝟐∗𝟖𝟎 𝒈∗𝒗∗𝒕 ;𝒎𝟐 = 𝟖𝟎 ∗ ( 𝟏 𝒗𝟐 + 𝟏 𝒈∗𝒗∗𝒕 ) Substituimos valores: 𝒎𝟐 = 𝟖𝟎 ∗ ( 𝟏 𝟒𝟐 + 𝟏 𝟗,𝟖𝟏∗𝟒∗𝟑 ) =5,68 kg 𝒎𝟏 = −𝒎𝟐 + 𝟐∗𝟖𝟎 𝒗𝟐 = −𝟓, 𝟔𝟖 + 𝟐∗𝟖𝟎 𝟒𝟐 = 𝟒,𝟑𝟐 𝒌𝒈 62. Una barra recta de masa despreciable se monta sobre un pivote sin rozamiento como indica la figura. Las masas m1 y m2 se suspenden a las distancias l1 y l2 del modo indicado. a) Expresar la energía potencial gravitatoria de las masas en función del ángulo θ formado por la barra y la horizontal. b) ¿Para qué ángulo θ es mínima la energía potencial? ¿es compatible el resultado obtenido con la expresión “sistemas que tienden hacia el mínimo de energía potencial”? c) Demostrar que si m1l1=m2l2, la energía potencial es la misma para todos los valores de θ. (Cuando esto ocurra el sistema se equilibrará bajo el ángulo θ. Este resultado se conoce como ley de la palanca de Arquímedes). a) 𝑬𝒑 = −𝒎𝟏 ∗ 𝒈 ∗ 𝒍𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒍𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ (𝒎𝟐 ∗ 𝒍𝟐 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒍𝟏) b) 𝑑𝐸𝑝 𝑑𝜃 = 𝑔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ (𝒎𝟐 ∗ 𝒍𝟐 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒍𝟏) = 𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟎 ; 𝜽 = ∓𝟗𝟎𝟎 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒔𝒂𝒃𝒆𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐𝒐 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒃𝒖𝒔𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂: 𝒅𝟐𝑬𝒑 𝒅𝜽𝟐 = −𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∗ (𝒎𝟐 ∗ 𝒍𝟐 − 𝒎𝟏 ∗ 𝒍𝟏) 𝒅𝟐𝑬𝒑 𝒅𝜽𝟐 ( 𝝅 𝟐 ) < 𝟎 ; 𝒅𝟐𝑬𝒑 𝒅𝜽𝟐 (− 𝝅 𝟐 ) > 𝟎 Por tanto, en –π/2 tenemos mínimo y en π/2 máximo. c) Para la condición impuesta, la derivada es siempre nula, por tanto, estamos en situación de equilibrio indiferente. 63. La figura muestra una función energía potencial. potencial U en función de x. a) En cada punto indicado establecer si la fuerza Fx es positiva, negativa o cero. b) ¿En qué punto la fuerza posee la magnitud máxima? c) Identificar los puntos de equilibrio y establecer si el equilibrio es estable, inestable o neutro. a) 𝑭𝒙 = − 𝒅𝑼 𝒅𝒙 c) Determinar la distancia de equilibrio yo a partir de la función energía potencial. d) Comprobar la respuesta aplicando las leyes de Newton al gong. a) Consideramos que inicialmente la cuerda está horizontal: 𝑳 = 𝟐 ∗ 𝒚 + 𝟐 ∗ 𝒅 Cuando el gong ha bajado una distancia h, los personajes han subido una distancia h/2, la longitud de la cuerda no ha cambiado: 𝑳 = 𝟐 ∗ 𝒚 + 𝟐 ∗ 𝒅 = 𝟐 ∗ 𝒚 − 𝒉 + 𝟐 ∗ √𝒚𝟐 + 𝒅𝟐 𝒉 = 𝟐 ∗ √𝒚𝟐 + 𝒅𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒅 ; 𝒉 𝟐 = √𝒚𝟐 + 𝒅𝟐 − 𝒅 Por tanto: 𝑬𝑷 = 𝟐 ∗ 𝑴 ∗ 𝒈 ∗ [√𝒅 𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒅] − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒚 b) Derivamos respecto y e igualamos a 0: 𝒅𝑬𝒑 𝒅𝒚 = −𝒎 ∗ 𝒈 + 𝟐 ∗ 𝑴 ∗ 𝒈 ∗ 𝒚 √𝒅𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟎 𝟐 ∗ 𝑴 ∗ 𝒚 = 𝒎 ∗ √𝒅𝟐 + 𝒚𝟐 ; 𝟒 ∗ 𝑴𝟐 ∗ 𝒚𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ (𝒅𝟐 + 𝒚𝟐) (𝟒 ∗ 𝑴𝟐 − 𝒎𝟐) ∗ 𝒚𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒅𝟐 ; 𝒚 = √ 𝒎𝟐 ∗ 𝒅𝟐 𝟒 ∗ 𝑴𝟐 − 𝒎𝟐 = 𝒅 ∗ 𝒎√ 𝟏 𝟒 ∗ 𝑴𝟐 − 𝒎𝟐 Para ver si es mínimo hacemos segunda derivada y miramos si es negativa en el punto considerado: 𝒅𝟐𝑬𝒑 𝒅𝒚𝟐 = 𝟐 ∗ 𝑴 ∗ 𝒈 ∗ 𝒅𝟐 (𝒅𝟐 + 𝒚𝟐)𝟑/𝟐 En el punto (𝒅 ∗ 𝒎√ 𝟏 𝟒∗𝑴𝟐−𝒎𝟐 ) > 𝟎 𝑷𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐. c) Hecho en b. d) Considerando equilibrio: 𝟐 ∗ 𝑴 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 𝟐 ∗ 𝑴 Por geometría: 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒚 √𝒅𝟐 + 𝒚𝟐 Por tanto: 𝒎 𝟐∗𝑴 = 𝒚 √𝒅𝟐+𝒚𝟐 De donde: 𝒚 = √ 𝒎𝟐∗𝒅𝟐 𝟒∗𝑴𝟐−𝒎𝟐 = 𝒅 ∗ 𝒎√ 𝟏 𝟒∗𝑴𝟐−𝒎𝟐 70. La energía potencial de un objeto viene dada por U(x)=8x2-x4, en donde U se expresa en julios y x en metros. a) Determinar la fuerza que actúa sobre este objeto. b) ¿En qué posiciones el objeto se encuentra en equilibrio? c) ¿Cuáles de estas posiciones de equilibrio son estables y cuáles son inestables? a) 𝑭𝒙 = − 𝒅𝑼 𝒅𝒙 = 𝟏𝟔 ∗ 𝒙 − 𝟒 ∗ 𝒙𝟑 b) 𝑭𝒙 = 𝟎 = 𝟏𝟔 ∗ 𝒙 − 𝟒 ∗ 𝒙 𝟑 = 𝟒 ∗ 𝒙 ∗ (𝟒 − 𝒙𝟐) 𝒙 = 𝟎 ; 𝒙 = ±𝟐 c) 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 ∗ 𝒙𝟐 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 (𝟎) = 𝟏𝟔 > 𝟎 ;𝒎í𝒏𝒎𝒐,𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆. 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 (𝟐) = −𝟑𝟐 < 𝟎 ;𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐,𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆. 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 (𝟐) = −𝟑𝟐 < 𝟎 ;𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐,𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆. 71. La fuerza que actúa sobre un objeto viene dada por la expresión F(x)=x3-4x. Localizar las posiciones de equilibrio estable e inestable y demostrar que en estos puntos U(x) es respectivamente un máximo o un mínimo local. 𝑼(𝒙) − 𝑼(𝒙𝒐) = −∫𝑭𝒙𝒅𝒙 = − ∫(𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙)𝒅𝒙 𝑼(𝒙) = 𝑼(𝒙𝒐) − 𝟏 𝟒 ∗ 𝒙𝟒 + 𝟐 ∗ 𝒙𝟐 Para buscar equilibrio hacemos la fuerza cero: 𝟎 = 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 ; 𝒙 = 𝟎 ; 𝒙 = ±𝟐 Buscamos la segunda derivada de la energía potencial: 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 = −𝟑 ∗ 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 (𝟎) = 𝟒 ;𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐,𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆. 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 (𝟐) = −𝟖 < 𝟎 ;𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐,𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆. 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 (−𝟐) = −𝟖 < 𝟎 ;𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐,𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆 72. La energía potencial de un objeto de 4 kg viene dada por U(x)=3x2-x3 para x≤3 m, y U=0 para x≥ 𝟑 m, en donde U se expresa en julios y x en metros. a) ¿En qué posiciones se encuentra este objeto en equilibrio? b) Hacer un esquema del gráfico U en función de x. c) Analizar la estabilidad del equilibrio para los valores de x obtenidos en a. d) Si la energía de la partícula es 12 J, ¿Cuál es su velocidad para x=2 m? a) Para x menor o igual a 3 m: 𝑭𝒙 = − 𝒅𝑼 𝒅𝒙 = −𝟔 ∗ 𝒙 + 𝟑 ∗ 𝒙𝟐 𝑭𝒙 = 𝟎 = −𝟔 ∗ 𝒙 + 𝟑 ∗ 𝒙 𝟐 𝒙 = 𝟎;𝒙 = 𝟐 b) c) 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 = 𝟔 − 𝟔 ∗ 𝒙 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 (𝟎) = 𝟔,𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐.𝑬𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆. 𝒅𝟐𝑼 𝒅𝒙𝟐 (𝟐) = −𝟔,𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐,𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐 𝒊𝒏𝒆𝒔𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆. 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒙 ≥ 𝟑, 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝑼 = 𝟎;𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒐 𝒏𝒆𝒖𝒕𝒓𝒐. d) 𝑬𝒎 = 𝑼 + 𝑬𝒄 ;𝑼(𝟐) = 𝟑 ∗ 𝟐 𝟐 − 𝟐𝟑 = 𝟒 𝑱 ; 𝑬𝒄 = 𝟏𝟐 − 𝟒 = 𝟖 𝑱 ; 𝒗 = √ 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 = √ 𝟐∗𝟖 𝟒 = 𝟐 𝒎/𝒔 73. Una fuerza viene dada por F=Ax-3, siendo A=8 N m3. Como el trabajo motor ha de ser igual al trabajo resistente, al ser la fuerza motor la mitad de la resistente, la distancia ha de ser el doble 2 h. b) 𝑾𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 c) Este trabajo es igual al que realiza el agente. 78. En febrero de 1995 las centrales nucleares de los Estados Unidos produjeron 54,3 *103 millones de kWh de energía eléctrica. En esa época la población de los Estados Unidos era de 255 millones de habitantes. Si el estadounidense medio tiene una masa de 60 kg, y toda la producción energética de las centrales nucleares se utiliza para poner en funcionamiento un elevador gigante, estimar la altura h a la cual podría elevarse con este aparato toda la población del país. Suponer en los cálculos que el 25 % de la energía se consume en elevar la población, suponer también que g es constante en toda la altura h. ∆𝑬𝒑 = 𝑵 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 𝒉 = ∆𝑬𝒑 𝑵∗𝒎∗𝒈 = 𝟎,𝟐𝟓∗𝟓𝟒,𝟑∗𝟏𝟎𝟑∗𝟏𝟎𝟔 𝒌𝑾𝒉∗ 𝟑,𝟔∗𝟏𝟎𝟔𝑱 𝟏 𝒌𝑾 𝒉 𝟐𝟓𝟓∗𝟏𝟎𝟔∗𝟔𝟎∗𝟗,𝟖𝟏 = 𝟑, 𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟓𝒎 79. Una de las más poderosas grúas del mundo, que funciona en Suiza, es capaz de levantar lentamente una carga de M=6000 ton a una altura de h=12,0 m ( 1 ton= 1000 kg). a) ¿Cuánto trabajo que realiza la grúa? b) Determinar la potencia desarrollada por la grúa sabiendo que tarda 1,00 min en elevar la carga a velocidad constante a dicha altura. a) 𝑾𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟔𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎 𝟑 ∗ 𝟗, 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟐,𝟎 = 𝟕𝟎𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑱 b) 𝑷 = 𝑾 ∆𝒕 = 𝟕𝟎𝟔∗𝟏𝟎𝟔 𝑱 𝟔𝟎 𝒔 = 𝟏𝟏,𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟔𝑾 80. En Austria existía un telesquí de 5,6 km de longitud. Una góndola tardaba 60 min en recorrer todo el camino hasta el punto más alto. Si existieran 12 góndolas ascendiendo simultáneamente, cada una de masa 550 kg, y el ángulo de ascenso fuese de 30º, estimar la potencia P de la máquina necesaria para operar el telesquí. 𝑷 = 𝑾 ∆𝒕 = 𝑭 ∗ ∆𝒔 ∆𝒕 = 𝑵 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 ∆𝒕 = 𝟏𝟐 ∗ 𝟓𝟓𝟎 ∗ 𝟗,𝟖𝟏 ∗ 𝟓, 𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 𝟔𝟎 ∗ 𝟔𝟎 𝑷 = 𝟓𝟎,𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝑾 81. Un objeto de 2,4 kg atado a una cuerda horizontal se mueve con velocidad constante en un círculo de radio R sobre una superficie horizontal sin rozamiento. La energía cinética del objeto es 90 J y la tensión de la cuerda es de 360 N. Calcular R. 𝒗𝟐 = 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 𝑻 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝑹 = 𝒎 ∗ 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 𝑹 𝑹 = 𝟐∗𝑬𝒄 𝑻 = 𝟐∗𝟗𝟎 𝟑𝟔𝟎 = 𝟎,𝟓𝟎 𝒎 82. ¿A qué altura debe elevarse un automóvil Ford Escort de 800 kg para alcanzar una energía potencial igual a la energía cinética que posee cuando se mueve a 100 km/h. 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐; 𝒉 = 𝒗𝟐 𝟐∗𝒈 = ( 𝟏𝟎𝟎 𝟑,𝟔 ) 𝟐 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏 = 𝟑𝟗,𝟑 𝒎 83. Un grupo de actores se disponen a filmar una escena cinematográfica. Según el guion, un coche ha de estrellarse contra la pared vertical de una roca a 100 km/h. Sin embargo, llegado el momento, el coche no arranca y no disponen de ningún mecánico. Cuando están a punto de regresar al estudio y someterse a la ira del productor., el cámara tiene una idea. Utilizarán una grúa para levar el coche por su parte trasera y luego lo dejarán caer, filmando la caída bajo un ángulo tal que el coche aparecerá como si se moviera horizontalmente. ¿A qué altura deberá elevarse el coche para que alcance la velocidad de 100 km/h en la caída? 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒉 = 𝒗𝟐 𝟐∗𝒈 = ( 𝟏𝟎𝟎 𝟑,𝟔 ) 𝟐 𝟐∗𝟗,𝟖𝟏 = 𝟑𝟗,𝟑 𝒎 84. La fuerza que actúa sobre una partícula que se mueve a lo largo del eje x viene dada por 𝑭𝒙 = −𝒂𝒙 𝟐, siendo a una constante. Calcular la función de energía potencial U sabiendo que U=0 para x=0 y representar un gráfico de U en función de x. 𝑼(𝒙) − 𝑼(𝒙𝒐) = −∫𝑭𝒙𝒅𝒙 = ∫𝒂 ∗ 𝒙 𝟐 ∗ 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝒂 ∗ 𝒙𝟑 𝑼(𝒙) = 𝟏 𝟑 ∗ 𝒂 ∗ 𝒙𝟑 85. El agua de una presa fluye a través de una gran turbina a una velocidad de 1,5X106 kg/min. La turbina está situada a 50 m por debajo de la superficie del embalse y el agua sale de la turbina a la velocidad de 5 m/s. a) Despreciando toda disipación energética, ¿Cuál es la potencia de salida de la turbina? b) ¿Cuántos ciudadanos estadounidenses se beneficiarán con la energía de esta presa, si cada uno consume 3X1011 J de energía por año? a) 𝑷 = 𝒎∗𝒈∗𝒉 ∆𝒕 = 𝟏,𝟓∗𝟏𝟎𝟔∗𝟗,𝟖𝟏∗𝟓𝟎− 𝟏 𝟐 ∗𝟏,𝟓∗𝟏𝟎𝟔∗𝟓𝟐 𝟔𝟎 = 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔𝑾 b) 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟔𝑱 𝒔 ∗ 𝟑𝟔𝟓𝒅𝒊𝒂𝒔 ∗ 𝟐𝟒 𝒉 𝟏 𝒅𝒊𝒂 ∗ 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔 𝟏𝒉 ∗ 𝟏 𝒄𝒊𝒖𝒅𝒂𝒅𝒂𝒏𝒐 𝟑∗𝟏𝟎𝟏𝟏𝑱 = 𝟏𝟐𝟔𝟐 𝒄𝒊𝒖𝒅𝒂𝒅𝒂𝒏𝒐𝒔 86. Una fuerza actúa sobre un carro de masa m de tal modo que la velocidad v del carro se incrementa con la distancia x según la expresión v=Cx, en donde C es una constante. a) Determinar la fuerza que actúa sobre el carro en función dela posición. b) ¿Qué trabajo realiza la fuerza al moverse el carro de x=0 a x= x1? a) 𝑾𝑹 = ∆𝑬𝒄 ; 𝑭 ∗ 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑪𝟐 ∗ 𝒙𝟐 ; 𝑭(𝒙) = 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑪𝟐 ∗ 𝒙𝟐) 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝑪𝟐 ∗ 𝒙 b) 𝑾𝑹 = ∆𝑬𝒄 ; 𝑭 ∗ 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝑪𝟐 ∗ 𝒙𝟏 𝟐 87. Una fuerza F=(2 N/m2)x2i se aplica a una partícula. Determinar el trabajo realizado por la partícula cuando se mueve a lo largo de una distancia total de 5 m. a) Paralelamente al eje y desde el punto (2m,2m) hasta el punto (2m,7m). b) En línea recta desde (2m,2m) a (5m,6m). a) 𝑾 = ∫ ?⃗? ∗ 𝒅?⃗? = ∫ 𝟎 ∗ 𝒅𝒚 𝟕 𝟐 = 𝟎 (𝟐,𝟕) (𝟐,𝟐) b) 𝑾 = ∫ ?⃗? ∗ 𝒅?⃗? = ∫ 𝟐 ∗ 𝒙𝟐 ∗ 𝒅𝒙 𝟓 𝟐 = [ 𝟐 𝟑 ∗ 𝒙𝟑] 𝟐 𝟓(𝟓,𝟔) (𝟐,𝟐) = 𝟐 𝟑 ∗ (𝟓𝟑 − 𝟐𝟑) = 𝟕𝟖 𝑱 92. Repetir el problema 91 para la fuerza Fx que se muestra en la figura: Para la parte izquierda de la gráfica, la fuerza y el desplazamiento son negativos, el trabajo es positivo. xf(m) W(J) U(J) -4 6 -6 -3 4 -4 -2 2 -2 -1 0,5 -0,5 0 0 0 1 0,5 -0,5 2 1,5 -1,5 3 2,5 -2,5 4 3 -3 93. Una cuerda de longitud L y masa por unidad de longitud µ yace arrollada sobre el suelo. a) ¿Qué fuerza F se requiere para mantener un extremo de la cuerda a una distancia y<L por encima del suelo? b) Integrando Fdy desde y=0 a y=l, calcular el trabajo necesario para elevar un extremo de la cuerda a una altura l<L desde el suelo. a) 𝒅𝒇 = 𝒅𝒎 ∗ 𝒈 = µ ∗ 𝒅𝒚 ∗ 𝒈 𝑭 = ∫ µ ∗ 𝒈 ∗ 𝒅𝒚 𝒚 𝟎 = µ ∗ 𝒈 ∗ 𝒚 b)𝑾 = ∫ µ ∗ 𝒈 ∗ 𝒚 ∗ 𝒅𝒚 = 𝒍 𝟎 µ ∗ 𝒈 ∗ 𝒍𝟐 𝟐 94. Una caja de masa M se encuentra en la parte más baja de un plano inclinado sin rozamiento (figura). La caja está atada a una cuerda que tira de ella con una tensión constante T. a) Determinar el trabajo realizado por la tensión T cuando la caja se ha desplazado una distancia x a lo largo del plano. b) Determinar la velocidad de la caja en función de x y θ. c) Determinar la potencia desarrollada por la tensión en la cuerda en función de x y θ. a) 𝑾 = 𝑻 ∗ 𝒙 b) Aplicamos la segunda ley de Newton: 𝑻 − 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒂 = 𝑻−𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒎 𝒗 = √𝒗𝒐 𝟐 + 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒙 Si la velocidad inicial es cero: 𝒗 = √𝟐 ∗ ( 𝑻−𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒎 ) ∗ 𝒙 c) 𝑷 = 𝑻 ∗ 𝒗 = 𝑻 ∗ √𝟐 ∗ ( 𝑻−𝒎∗𝒈∗𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒎 ) ∗ 𝒙 95. Una fuerza en el plano xy viene dada por F=(Fo/r)(y i-x j), en donde F0 es una constante y 𝒓 = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐. a) Demostrar que la magnitud de esta fuerza es Fo y su dirección perpendicular a ?⃗? = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 . b) Determinar el trabajo realizado por esta fuerza sobre una partícula que se mueve en un círculo de radio 5 m centrado en el origen. ¿Es conservativa esta fuerza? a) 𝑭 = √𝑭𝒙 𝟐 + 𝑭𝒚 𝟐 = √ 𝑭𝒐 𝟐 𝒓𝟐 ∗ (𝒚𝟐 + 𝒙𝟐) = 𝑭𝒐 ?⃗? ∗ ?⃗? = 𝑭𝒐 𝒓 ∗ (𝒚 ∗ 𝒙 − 𝒙 ∗ 𝒚) = 𝟎 ; 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 , 𝒔𝒐𝒏 𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔. b) La fuerza tendrá la misma dirección y sentido que el desplazamiento (giro horario) o también sentido contrario (giro anti horario). 𝑾 = 𝑭 ∗ ∆𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟎 = 𝑭𝒐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = 𝟏𝟎 ∗ 𝝅 ∗ 𝑭𝒐 (giro horario). 𝑾 = 𝑭 ∗ ∆𝒔 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎 = −𝑭𝒐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 = −𝟏𝟎 ∗ 𝝅 ∗ 𝑭𝒐 (giro anti horario). Una condición para fuerza conservativa es : 𝑾𝑨→𝑨 = 𝟎. Por tanto, la fuerza no es conservativa.