PUNTO DE EQUILIBRIO, Apuntes de Volumen

¡Descarga PUNTO DE EQUILIBRIO y más Apuntes en PDF de Volumen solo en Docsity! XXVII CONGRESO ARGENTINO DE PROFESORES UNIVERSITARIOS DE COSTOS Análisis de Costo-Volumen-Utilidad bajo condiciones de Incertidumbre Autores: Dr. Paulino Eugenio Mallo C.P. Maria Antonia Artola C.P. Marcelo Javier Galante C.P. Mariano Enrique Pascual C.P. Mariano Morettini Sr. Adrian Raul Busetto Tandil, noviembre de 2004 INDICE: 1 - Introducción ..................................................................................................02 2 - Consideraciones sobre punto de equilibrio...................................................03 3 - Incorporación de la Incertidumbre para un solo producto.............................04 4 - Punto de equilibrio en términos monetarios para empresas con márgenes uniformes ..............................................................................05 5 - Incorporación de la Incertidumbre al punto de equilibrio en términos monetarios con márgenes uniformes ...........................................................06 6 - Punto de equilibrio en términos monetarios para empresas con márgenes múltiples ......................................................................................06 7 - Incorporación de la Incertidumbre al punto de equilibrio en términos monetarios con márgenes múltiples .............................................................07 8 - Generalización para multiproductos .............................................................08 9 - Incorporación de la Incertidumbre en el punto de equilibrio generalizado para multiproductos.................................................................10 10- Aplicación a un caso práctico .......................................................................11 11- Herramientas complementarias para reducir la Incertidumbre .....................13 12- Conclusión....................................................................................................17 13- Anexos..........................................................................................................18 14- Referencias bibliográficas.............................................................................20 Este tipo de análisis es viable, únicamente para un margen de incertidumbre aceptable, de lo contrario el intervalo determinado toma valores extremos haciendo prácticamente imposible una decisión. Bajo estas condiciones, encontramos en la Matemática Borrosa herramientas para solucionar la incertidumbre planteada. 2. Consideraciones sobre punto de equilibrio Para comenzar, recordaremos algunas definiciones en condiciones de certeza: 1) PUNTO DE EQUILIBRIO: es el volumen en el cual los ingresos igualan al costo total y se determina con la siguiente función: e CFq pv cvu CF mc = = − Donde: qe = cantidad de equilibrio CF = costo fijo total pv = precio de venta unitario cvu = costo variable unitario mc = margen de contribución unitaria 2) Su análisis se fundamenta en: 2.1 la variabilidad de los costos (clasificación en fijos y variables) 2.2 el precio de venta no cambia a medida que cambia el volumen 2.3 la mezcla de venta de múltiples productos, permanece constante 2.4 las políticas básicas no cambian a corto plazo 2.5 la estabilidad monetaria a corto plazo se mantiene 2.6 la eficiencia y productividad de la mano de obra permanece sin cambio a corto plazo 2.7 los niveles de producción y ventas habrán de ser aproximadamente iguales, es decir, no se esperan cambios en los niveles de inventario. 3) La variabilidad de costos es proporcional a los niveles de volumen y quedan representados por rectas (es decir lineal), por lo cual su gráfico sería: Figura 2 Punto de equilibrio 3. Incorporación de la incertidumbre para un solo producto 3 Si pasamos a trabajar con valores presupuestados se puede plantear incertidumbre al fijar precios de ventas o estimar los costos (fijos y/o variables), o en todos los conceptos, por eso la determinación de la cantidad de equilibrio variará conforme a la decisión adoptada, (es decir al valor elegido). Si la variabilidad planteada, la incorporamos en el cálculo, a través de intervalos de confianza, se obtendría un área donde determinar la cantidad a producir, llamada umbral de rentabilidad, cuya función generadora sería: ,[CF ]CF10q , ,[pv pv ] [cvu ]cvu100 1 e = − ],0 ],[ mc1[mc CF1CF0 = Donde los subíndices estarían indicando; para cada concepto: 0 ⇒ el valor o límite inferior 1 ⇒ el valor o límite superior Concretamente podemos observar cómo se realiza el cálculo a través del siguiente caso práctico: Una empresa conoce que el precio al que puede colocar su producto en el mercado oscila entre pv=[120,180]. Los costos son predeterminados a fin de medir eficiencia dentro de la empresa, fijándose para: los costos variables unitarios un intervalo entre cvu =[50,70], para todo el rango de producción y los costos semifijos y fijos totales a través del intervalo CF= [130.000,180.000]. Conforme a los datos aportados, el primer paso consiste en determinar el margen de contribución unitaria, de la siguiente manera: mc = [120,180] - [50,70] = [120-70 , 180-50] = [50,130] Obtenida la misma, se procede a determinar la cantidad de equilibrio, conforme se expresa en la función: qe = [130.000,180.000] / [50,130] Cociente que debe calcularse mediante el producto de números borrosos, es decir el numerador de la ecuación anterior por el inverso del número borroso obtenido al determinar el margen de contribución, en las estimaciones mínimas y máximas de las ventas, en conclusión: qe = [130.000,180.000] x [1/130,1/50] = [1.000,3.600] Gráficamente, en nuestro caso, el punto de equilibrio en situación de incertidumbre está representado por el área comprendida entre los puntos a; b; c; d. Siendo la que se observa sombreada en la siguiente figura: 4 1.000 3.600 Figura 3 Punto de equilibrio con incertidumbre 4. Punto de equilibrio en términos monetarios para empresas con márgenes uniformes La expresión sobre la cual se realizó el análisis puede considerarse de uso un tanto limitado por la circunstancia de ser aplicable tan solo a los casos de empresas que elaboran o venden un solo producto. El ámbito de aplicación de la fórmula del punto de equilibrio se ve sensiblemente ampliado, cuando la cantidad de unidades (Q) aparece reemplazada por el monto de ventas expresado en pesos. Este monto de ventas de equilibrio, indica el punto en que la empresa cubre la totalidad de sus costos fijos, con las contribuciones marginales generadas por cada peso de venta de cualquiera de sus productos, con idéntico margen de marcación. Para expresar el punto de equilibrio en términos monetarios utilizamos la siguiente expresión: e CFV cvu 11 1 pv 1+ m CF = = − − Ve = monto de ventas de equilibrio CF = costo fijo total pv = precio de venta unitario cvu = costo variable unitario m = margen de marcación. Es el porcentaje que se adiciona al costo variable para obtener el precio de venta. pv = cvu (1+m) 5 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 1 0 1 A A B B 0 1 0 1 A A B B 0 1 0.5 , 0.6 1 , 1 0.5 , 0.6 , , 1.20 , 1.25 1.533 , 1.60 , , 1 , 1 e , 70000 , 80000 (1+m) (1+m) (1+m) (1+m) 1 CF CF P P P P V   = = −       − +     − +             [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }0.5 , 0.6 0.4 , 0.5 1.20 , 1.25 1.533 , 1.60 1 , 1 0.4 , 0.5 0.25 , 0.3261 1 , 1 e 70000 , 80000 70000 , 80000V = = − + − +    [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 , 1 0.65 , 0.8261 0.1739 , 0.350 70000 , 80000 70000 , 80000 e 200.000 , 460.000V = = =   − En este caso, dados los valores entre los cuales se estima oscilaran las variables, el monto de ventas de equilibrio variara entre $ 200.000 y $ 460.000 mensuales. 8. Generalización para multiproductos El caso desarrollado en el punto anterior es de fácil aplicación práctica, y soluciona el problema de trabajar con un único margen de marcación promedio. Sin embargo, está implícito el supuesto de que se debe conocer con antelación, el porcentaje de participación en el monto de ventas de cada línea de productos (o al menos conocer entre que valores oscilará, sí es que trabajamos con Matemática Borrosa). Asimismo, para poder aplicar el modelo anterior, la participación de cada producto sobre el monto total de ventas (o el intervalo que define los límites entre los cuales variará) deberá permanecer inalterable ante cambios en los niveles previstos. Si no podemos estimar entre qué porcentajes variará la participación de cada línea o familia de productos, o pudiéndola estimar no tenemos seguridad sobre si permanecerá inalterable ante cambios en el volumen de ventas, la determinación de la cantidad a producir (en condición de certeza) se obtendría de la siguiente manera: PRODUCTOS: 1 , 2 , 3 , … , n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 21 1 2 2 n ii i i 1 n ...CF pv q pv q pv qcvu cvu cvu CF pv qcvu = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = = + + + ∑ n n = Matemáticamente nos encontramos con el inconveniente de tener una ecuación con “n” incógnitas, para cuya resolución se utilizan técnicas de programación lineal determinando el mínimo de ventas necesario para cubrir costos totales, con satisfacción de restricciones técnicas, comerciales y financieras, o fijadas por el propio sistema. 8 1 MÍNIMO n i i i V p = = ⋅∑ v q (F i 9 Con estas consideraciones queda establecido el punto de equilibrio en unidades monetarias: Es la función objetivo que queremos minimizar uncional). Representa el monto de ventas mínimo que cubre la totalidad de los costos. Correspondiéndole las siguientes restricciones: a) ( )ii i i 1 n CFpv qcvu = − ⋅ =∑ Que representa la función del punto de equilibrio. Las contribuciones marginales generadas por cada producto o línea de producto deben contribuir a cubrir la totalidad de los costos fijos. b) i i CFcvupv − ≥ Nos indica que cada línea de productos como mínimo debe cubrir los costos fijos que ella genera en forma directa. c) ( ) ii i i i i SPC i 1 i SPC n n n CESPCCF CFpv cvu q ∈ = = − ⋅ + +∑ ∑ ∑≥ Esta restricción, es para aquellas líneas de productos que requieren un subproceso productivo común (SPC). En este caso las contribuciones marginales, que genera la venta de productos de cada línea, deben cubrir los costos fijos propios del proceso particular (CFi), más los costos fijos propios del subproceso (CFi para SP) y los costos de estructura del subproceso (CESPC) que involucra a todas las líneas. d) A qi :: B (2) Son restricciones técnicas, comerciales, financieras o propias del sistema si las hubiere e) qi ≥ 0 Para evitar la negatividad de las incógnitas 2 El símbolo está indicando proporcionalidad de las cantidades 9. Incorporación de la Incertidumbre en el punto de equilibrio generalizado para multiproductos En la medida que dentro de este esquema incorporemos la incertidumbre, emplearemos los intervalos de confianza de la Matemática Borrosa para calcular el punto de equilibrio. A este fin se deberá determinar la variación de los componentes donde la condición de equilibrio queda definida por: ( ){ ( ) ( ) } 0 1 0 1 0 1 0 1 T T 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 n n n n n n CF ,CF , , , , , , ... pv pv cvu cvu q q pv pv cvu cvu q q cvu cvu q ,qpv ,pv , ⋅ ⋅ ⋅ − + −= + + + −                                      1 0 A efectos de simplificar la expresión señalada, consideraremos: pv - cvu = mc margen de contribución por unidad de producto cantidad mínima a vender del artículo i para alcanzar el punto de equilibrio. cantidad máxima a vender de artículo i para alcanzar el equilibrio. 0 iq 1 iq Entonces: ∑ =    ⋅   = =   ⋅   ++   ⋅   +   ⋅   =    n 1i 1 iq,0 iq1 imc,0 imc 1 nq,0 nq1 nmc,0 nmc...1 2q,0 2q1 2mc,0 2mc1 1q,0 1q1 1mc,0 1mc1 TCF,0 TCF Recordando que, los superíndices “0” y “1” indican los valores mínimo y máximo de cada elemento, respectivamente. En consecuencia, pueden plantearse dos situaciones: 1°) LA MÁS DESFAVORABLE PARA LA EMPRESA, es decir obtener el precio de ventas mínimo, frente a los costos totales máximos: n n n 1 0 1 1 1 1 1 T i i T i i S i 1 i 1 i S CF mc q ,para CF CF CF CE CE = = ∈ = ⋅ = + + +∑ ∑ ∑ 2°) LA MÁS FAVORABLE PARA LA EMPRESA, mediante la cual se presentan los precios de venta máximos, para los costos totales mínimos: n n n 0 1 0 0 0 0 0 T i i T i i S i 1 i 1 i S CF mc q ,para CF CF CF CE CE = = ∈ = ⋅ = + + +∑ ∑ ∑ Donde CEs corresponde a los costos de estructura del subproceso productivo común y CE representan los costos de estructura. 10 y líneas, como se observa en la figura 4: Figura 4 Pto de equilibrio Máx - Pto. de equilibrio Mín 0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000 14000000 16000000 1 2 3 4 5 6 7 8 Producto U ni da de s m on et ar ia s Ingresos máx Ingresos mín Costos máx costos mín 11. Herramientas complementarias para reducir la incertidumbre Como puede observarse se llegó a un intervalo que fija los límites entre los que variará el volumen de ventas, conforme a los costos incurridos, que puede llegar a expresarse como un número borroso, según el siguiente detalle: 1 , para 12.484.400 0.9 , prácticamente 12.484.400 0.8 , casi 12.484.400 0.7 , cercano a 12.484.400 0.6 , más cerca de 12.484.400 que de 6.840.978 0.5 , tan cerca de 12.484.400 como de 6.840.978 0.4 , más cerca de 6.840.978 que de 12.484.400 0.3 , cercano a 6.840.978 0.2 , casi 6.840.978 0.1 , prácticamente 6.840.978 0 , para 6.840.978 Número que puede reducirse a la siguiente expresión: 6.840.978 + (12.484.400 - 6.840.978) * α ∴α∈ [0,1]. Siendo α el nivel de aceptación borroso. En función a esta estructura (llamada sistema endecadario), se requiere la opinión de varios expertos para que fijen el umbral de rentabilidad, conforme al número indicado. Supongamos que se produce la respuesta de 12 expertos con los siguientes resultados: 13 Experto Respuesta Experto Respuesta 1 0.40 7 0.30 2 0.20 8 0.50 3 0.60 9 0.60 4 0.80 10 0.70 5 0.50 11 0.50 6 0.70 12 0.40 Una vez recibidas las respuestas, se procede a contar la cantidad de veces que se ha obtenido cada nivel de α, armándose una tabla con las frecuencias acumuladas para cada nivel, de la siguiente manera: Niveles de α Frecuencia de respuesta de expertos Valores acumulados absolutos Valores acumulados relativos 1 0 0 0 0.90 0 0 0 0.80 1 1 0.08333 0.70 2 3 0.25 0.60 2 5 0.41666 0.50 3 8 0.66666 0.40 2 10 0.83333 0.30 1 11 0.91666 0.20 1 12 1 0.10 0 12 1 0 0 12 1 Pudiendo ahora, definirse el intervalo así: 1 6.840.978 + 5.643.422 (.) 0 6.840.978 0.9 6.840.978 + 5.643.422 (.) 0 6.840.978 0.8 6.840.978 + 5.643.422 (.) 0.08333 7.311.263 0.7 6.840.978 + 5.643.422 (.) 0.25 8.251.833 0.6 6.840.978 + 5.643.422 (.) 0.41666 9.192.404 0.5 6.840.978 + 5.643.422 (.) 0.66666 = 10.603.259 0.4 6.840.978 + 5.643.422 (.) 0.83333 11.543.830 0.3 6.840.978 + 5.643.422 (.) 0.91666 12.014.115 0.2 6.840.978 + 5.643.422 (.) 1 12.484.400 0.1 6.840.978 + 5.643.422 (.) 1 12.484.400 0 6.840.978 + 5.643.422 (.) 1 12.484.400 Si calculamos la esperanza matemática (Ε) de las opiniones de los expertos obtendríamos una estimación del punto de equilibrio, siendo para el ejemplo: Ε(opiniones) = 0.51666 y el umbral de rentabilidad quedaría como: UR = 6.840.978 + 5.643.422 ∗ 0.51666 = 9.756.746 14 Se obtendrían idénticos resultados trabajando con los valores acumulados (excepto para α = 0), de la siguiente manera: 1) con la esperanza de las frecuencias acumuladas relativas: 51666,0 10 0.083330.250.416660.666660.833330.9166611E = +++++++ = 2) con la esperanza del umbral de rentabilidad: 12.484.400 12.484.400 12.014.115 ..... 6.840.978 E 9.756.746 10 + + + + = = Este proceso puede generalizarse utilizando como elemento los R-expertones, mediante los cuales los expertos pueden opinar sobre la situación del umbral de rentabilidad dentro de un intervalo: [ α∗ , α∗] comprendido en el segmento [0,1]. Es decir los “n” expertos proporcionarán “n” intervalos de confianza, con los cuales se obtiene un expertón , ⋅ con el cual se determina el R-expertón , tal que: ⋅ ~ α ⋅ ⋅ ~ A ( ) ⋅⋅ ⋅−+= ∗ ∗ ∗ ~~ ααααA Volviendo a las posibles respuestas de nuestros 12 expertos, tenemos: EXPERTO RESPUESTA 1 [0.4 , 0.6] 2 0.6 3 0.4 4 [0.3 , 0.5] 5 [0.5 , 0.7] 6 0.2 7 [0.3 , 0.4] 8 [0.7 , 0.8] 9 0.5 10 0.4 11 [0.2 , 0.5] 12 0.6 Ahora efectuaremos los mismos cálculos que los realizados anteriormente, pero con cada extremo del intervalo en forma independiente (3): 3 Los datos de las dos primeras columnas corresponden al límite inferior de cada respuesta, mientras que las dos últimas columnas reflejan las respuestas del límite superior. 15 13. Anexos ANEXO 1: Determinación de las cantidades a producir. Primer paso: Se debe determinar la función a minimizar, con sus respectivas restricciones. Para nuestro caso lo plantearemos para V1 = ∑ pi 0 qi 1, de la siguiente manera: Función Objetivo: Min V1 = 400 q1 1 + 440 q2 1 + 640 q3 1 + 240 q4 1 + 840 q5 1 + 240 q6 1 + 120 q7 1 + 120 q8 1 Restricciones: (1) 60 q1 1 + 50 q2 1 + 95 q3 1 + 50 q4 1 + 40 q5 1 + 30 q6 1 + 40 q7 1 + 40 q8 1 = 2.923.800 (2) 60 q1 1 ≥ 264.000 ⇒ 60 q1 1 - P1 + A1 = 264.000 (4) (3) 50 q2 1 ≥ 94.000 ⇒ 50 q2 1 - P2 + A2 = 94.000 (4) 95 q3 1 ≥ 117.800 ⇒ 95 q3 1 - P3 + A3 = 117.800 (5) 50 q4 1 ≥ 176.000 ⇒ 50 q4 1 + P4 + A4 = 176.000 (6) 40 q5 1 ≥ 45.000 ⇒ 40 q5 1 - P5 + A5 = 45.000 (7) 30 q6 1 ≥ 72.000 ⇒ 30 q6 1 - P6 + A6 = 72.000 (8) 40 q7 1 ≥ 32.000 ⇒ 40 q7 1 - P7 + A7 = 32.000 (9) 40 q8 1 ≥ 32.000 ⇒ 40 q8 1 - P’8 - A8 = 32.000 (10) 40 q5 1 + 30 q6 1 + 40 q7 1 + 40 q8 1 ≥ 732.000 ⇒ 40 q5 1 + 30 q6 1 + 40 q7 1 + 40 q8 1 p9 + A9 = 732.000 (11) q1 1 = 3 q2 1 (12) q7 1 = 2 q8 1 4 Los valores de “P” son para convertir las ecuaciones ≥, los valores “A” son para evitar la negatividad de las incógnitas tomando un valor muy elevado que nunca aparece en la solución del problema, por ejemplo M = 1000). 18 Segundo paso: se deben armar los cuadros para el cálculo propuesto por la metodología simplex. Para la obtención de las cantidades óptimas de producción (y venta) se utilizaron los aplicativos WINQSB (Linear and integer programming) y Tora (versión 2.0)5: q1 1 = 5.640 q5 1 = 1.125 q2 1 = 1.880 q6 1 = 2.400 q3 1 = 1.240 q7 1 = 34.676 q4 1 = 3.520 q8 1 = 17.338 Tercer paso: se determina el límite inferior del umbral de rentabilidad VMin 1 = 400⋅5640+440⋅1880+640⋅1240+240⋅3520+840⋅1125+240⋅2400+120⋅34676+ 120⋅17338 = 12.484.400 con estos valores se podría comprobar si se ha cubierto el costo total (en su límite superior), de la siguiente manera: CT1 = 60⋅5640+50⋅1880+95⋅1240+50⋅3520+40⋅1125+30⋅2400+40⋅34676+40⋅17338 = 2.923.000 Nota: El mismo desarrollo se debe efectuar para minimizar el límite inferior de ventas (VMin 0 = 6.840.978), para el cual se determinaron las siguientes cantidades mínimas: q1 0 = 3.690 q5 0 = 475 q2 0 = 1.230 q6 0 = 1.122 q3 0 = 770 q7 0 = 16.110 q4 0 = 1.709 q8 0 = 8.055 5 El cálculo realizado en forma manual (mediante el algoritmo simplex) permite arribar a una solución, con cierto grado de aproximación. 19 Referencias bibliográficas 1. 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